Tài liệu Về sự tồn tại của nghiệm bài toán cân bằng vectơ

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: (i) Luận văn đã được hoàn thành với sự học tập, nghiên cứu, sưu tầm tài liệu của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Đỗ Văn Lưu. (ii) Luận văn trình bày các kết quả mới đây về tối ưu. Học viên Vy Thanh Hương 1 LỜI CẢM ƠN Trước tiên tôi xin được gửi lời cảm ơn đến tất cả quý Thầy Cô đã giảng dạy trong chương trình Cao học Toán ứng dụng khóa 1 – Trường Đại học Thăng Long, những người đã truyền đạt kiến thức hữu ích về ngành Toán ứng dụng làm cơ sở cho tôi hoàn thành luận văn này. Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn Thầy giáo PGS.TS. Đỗ Văn Lưu – Giảng viên Trường Đại học Thăng Long. Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luâ ̣n văn, đồng thời còn là người giúp tôi lĩnh hội được những kiến thức chuyên môn và rèn luyện cho tôi tác phong nghiên cứu khoa học. Qua đây, tôi cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè thân thiết là những người luôn sát cánh bên tôi, tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi, đã nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập, cũng như khi tôi thực hiện và hoàn thành luâ ̣n văn này. Mặc dù đã rất cố gắng song luâ ̣n văn không khỏi có những thiếu sót, rất mong nhận được ý kiến góp ý của các Thầy giáo, Cô giáo và các anh chị học viên để luâ ̣n văn được hoàn thiện hơn. Phú Thọ, tháng 04 năm 2015 Học viên thực hiêṇ Vy Thanh Hương 2 Thang Long University Libraty MỤC LỤC Chương 1. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ ............................................................................................................6 1.1. Các khái niệm và kết quả bổ trợ .......................................................... 6 1.2. Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ với giả thiết giả đơn điệu. ............................................................................................................. 14 1.3. Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ với giả thiết tựa đơn điệu. ............................................................................................................. 19 1.4. Trường hợp tổng quát hơn. ................................................................ 23 Chương 2. CÁC NGHIỆM HỮU HIỆU VÀ HỮU HIỆU HENIG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ................................................................ 27 2.1. Các khái niệm và định nghĩa ............................................................. 27 2.2. Phép vô hướng hóa bài toán cân bằng vectơ .................................... 30 2.3. Sự tồn tại nghiệm .............................................................................. 34 2.4. Tính liên thông của tập nghiệm ......................................................... 41 KẾT LUẬN .................................................................................................... 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 47 3 MỞ ĐẦU Bài toán cân bằng vectơ được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Nó bao gồm nhiều bài toán như các trường hợp đặc biệt: Bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ, bài toán tối ưu vectơ, bài toán điểm bất động, bài toán bù vectơ, bài toán cân bằng Nash,.... Người ta nghiên cứu bài toán cân bằng vectơ về sự tồn tại nghiệm, điều kiện tối ưu, tính ổn định nghiệm, thuật toán tìm nghiệm,…. Nhiều kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng đã nhận được. Bianchi, Hadjisavvas và Schaible (1997) đã chứng minh các kết quả về sự tồn tại nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán cân bằng vectơ với các giả thiết về tính giả đơn điệu hoặc tựa đơn điệu. Gong (2001) đã thiết lập một số kết quả về sự tồn tại nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu Henig của bài toán cân bằng vectơ và tính liên thông của tập nghiệm hữu hiệu Henig của bất đẳng thức biến phân vectơ. Đây là đề tài được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Chính vì vậy tôi chọn đề tài: “Về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ”. Luận văn trình bày các kết quả nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm và tính liên thông của tập nghiệm của bài toán cân bằng vectơ của Bianchi, Hadjisavvas, Schaible (1997) và Gong (2001). Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1. Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ Trình bày các kết quả của M. Bianchi, N. Hadjisavvas và Schaible [3] về sự tồn tại nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán cân bằng vectơ với các song hàm giả đơn điệu hoặc tựa đơn điệu cùng với một điều kiện bức. 4 Thang Long University Libraty Chương 2. Các nghiệm hữu hiệu và hữu hiệu Henig của bài toán cân bằng vectơ Trình bày khái niệm nghiệm hữu hiệu Henig của bài toán cân bằng vectơ, các kết quả về vô hướng hóa bài toán cân bằng vectơ, các kết quả về tồn tại nghiệm hữu hiệu và tính liên thông của tập nghiệm hữu hiệu Henig và tập nghiệm hữu hiệu yếu của bất đẳng thức biến phân Hartman – Stampacchia vectơ. Các kết quả trình bày trong chương này là của X. Gong [7]. 5 Chương 1 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ Chương 1 trình bày các kết quả về sự tồn tại nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán cân bằng vectơ với các song hàm giả đơn điệu hoặc tựa đơn điệu và điều kiện bức. Các kết quả trình bày trong chương này là của M. Bianchi, N. Hadjisavvas và Schaible [3]. 1.1. Các khái niệm và kết quả bổ trợ Cho X là một không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, Y là một không gian vectơ lồi địa phương thực. Xét nón C nhọn, đóng, lồi trong Y, int C   . Khi đó, C sinh ra một thứ tự vectơ trong Y, xác định bởi: x  y nếu và chỉ nếu y – x  C. Do int C   , ta cũng có một thứ tự yếu trong Y, được xác định bởi x ≮ y nếu và chỉ nếu y – x  int C, x ≰ y nếu và chỉ nếu y – x  C, x < y nếu và chỉ nếu y – x  C. Chú ý rằng y  0 kéo theo y ≮ 0. Hơn nữa, x  0, y  0  x  y  0 và x  0, y  0  x  y  0 , 6 Thang Long University Libraty bởi vì C  int C  int C. Nếu C là nón lồi đóng và Y là không gian lồi địa phương thực thì tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục khác 0 là   C * , trong đó   C*   Y * :  (y)  0,  y  C . Hơn nữa  C khi và chỉ khi  (y)  0 ( C*) ; y int C khi và chỉ khi  (y)  0 (  C * / 0) . Giả sử K  X là một tập không rỗng, đóng, lồi, và xét song hàm F: K  K  Y sao cho F(x, x)  0 với mọi x  K. Chúng ta sẽ trình bày các kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ (kí hiệu là VEP) như sau: Tìm x* K sao cho F(x*, y) ≮ 0, với mọi, y  K , hay tương đương F(x*, y)  -int C. Bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (kí hiệu là VVI) là một trường hợp đặc biệt của bài toán (VEP) với F(x, y) = A( x), y  x , 7 trong đó A là một ánh xạ từ K vào L(X, Y), không gian của tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y. Các bài toán (VEP) và (VVI) tổng quát hóa các bài toán tương ứng trong trường hợp vô hướng (Y = R), ta ký hiệu các bài toán vô hướng đó lần lượt là (EP) và (VI). Bổ đề 1.1.1. Giả sử a, b  Y, với a < 0 và b < 0. Khi đó, tập hợp các cận trên của a và b là không rỗng và giao với (-int C). Chứng minh. Ta phải chỉ ra tồn tại c < 0 sao cho a  c, b  c . Ta chỉ cần chọn c =  b, với  > 0 gần với 0. □ Bổ đề 1.1.2. Giả sử a, b  Y, với a < 0 và b ≱ 0. Khi đó, tập hợp các cận trên của a và b là không rỗng và giao với Y∖C. Chứng minh. Ta phải chỉ ra rằng tồn tại c ≱ 0 sao cho a  c, b  c . Vì int C  0, tồn tại d  int C sao cho d – b  C. Với t  [0, 1], ta đặt dt = td + (1 - t)b. Vì C là đóng và lồi nên tồn tại t0  (0, 1) sao cho dt  C, với mọi t  [ t0 , 1], dt  C, với mọi t  [0, t0 ). Nói riêng, ta có dt  0  a . Như vậy, 0 dt  a  int C . 0 Bởi vậy, với t1 < t0 đủ gần t0 , thì ta có 8 Thang Long University Libraty dt  a  int C . 1 Đặt c = dt . Khi đó, c  C và do đó c ≱ 0. Hơn nữa, chúng ta có 1 □ c  a, c  b  t1(d -b)  0 . Bây giờ, cho K  X là tập khác rỗng, đóng, lồi. Xét song hàm F: K x K  Y. Song hàm F được gọi là tựa đơn điệu nếu với mọi x, y  K, F(x, y) > 0  F(y, x)  0. Song hàm F được gọi là giả đơn điệu nếu với mọi x, y  K F(x, y) ≮ 0  F(y, x) ≯ 0, hoặc tương đương, F(x, y) > 0  F(y, x) < 0. Cuối cùng, song hàm F được gọi là giả đơn điệu chặt nếu với mọi x  y , x, y  K, F(x, y) ≮ 0  F(y, x) < 0. Rõ ràng, tính giả đơn điệu kéo theo tính tựa đơn điệu và tính giả đơn điệu chặt kéo theo tính giả đơn điệu trong trường hợp vô hướng. Điều ngược lại không đúng. Một hàm f : K  Y được gọi là nửa liên tục dưới nếu với mọi  Y , tập hợp 9 L( )  {x  K: f (x) ≯  }, là đóng trong K. Một hàm f : K  Y được gọi là nửa liên tục trên nếu với mọi  Y , tập hợp U ( )  {x  K: f (x) ≮  } đóng trong K. Chú ý rằng một hàm liên tục vừa là hàm nửa liên tục trên vừa là nửa liên tục dưới, bởi vì L( )  {x  K : f (x) -   int C} = f 1[(  int C )c ] L( )  {x  K : f (x) -   (int C )} = f 1[(  int C )c ] . Một hàm f : K  Y được gọi là hemi - liên tục nếu với mọi x, y  K , hàm  (t )  f ( x  t ( y  x)) , xác định với mọi t [0, 1] , là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới. Ta chỉ ra rằng tính nửa liên tục dưới là tương đương với tính C – liên tục. Nhắc lại: một hàm f : K  Y là C - liên tục tại x* K nếu với bất kỳ lân cận V của f (x*) trong Y, tồn tại một lân cận U của x* trong X sao cho f ( x) V  C, x U  K . Hơn nữa, f là C - liên tục trên K nếu nó là C - liên tục tại mọi x  K. Bổ đề 1.1.3. Hàm f : K  Y nửa liên tục dưới khi và chỉ khi nó là C liên tục. 10 Thang Long University Libraty Chứng minh. Theo định nghĩa, f là nửa liên tục dưới khi và chỉ khi với mọi  Y , tập hợp L( )c  {x  K : f (x) -   int C} = f 1[(  int C )] , là mở trong K. Giả sử f là C - liên tục. Lấy x* L( )c . Khi đó, a + int C là một lân cận của f(x*). Do đó, tồn tại một lân cận U của x* sao cho, với mọi x U  K f (x)  (a + int C) + C =  + int C; tức là, với mọi x U  K , ta có x  L( )c . Do đó, L( )c là mở trong K. Ngược lại, giả sử f là nửa liên tục dưới. Xét một lân cận V của f(x*) với x* K. Khi đó, tồn tại một   V sao cho  < f(x*). Vì L( )c là mở trong K nên tồn tại một lân cận U của x* sao cho, với mọi x U  K , x  L( )c , tức là f (x) >  . Do đó, f (x)   + int C  V + C, □ và f là C - liên tục. Từ Bổ đề 1.1.3, ta suy ra rằng, nếu f1: K  Y và f2: K  Y là các hàm nửa liên tục dưới thì hàm f1 + f2 cũng là nửa liên tục dưới. Thật vậy, cho x* K, với mỗi lân cận V của f1 (x*) + f2 (x*), ta có thể tìm được các lân cận Vi của fi (x*), i = 1, 2, sao cho V1  V2  V . Vì f1 và f2 là C – liên tục nên từ Bổ đề 1.1.3 ta có thể tìm được các lân cận Ui của x* sao cho fi ( x) Vi  C , x Ui  K và i = 1, 2. 11 Đặt U  U1 U 2 , ta thấy f1 + f2 là C – liên tục, bởi vậy nó là nửa liên tục dưới. Hệ quả khác của Bổ đề 1.1.3 có thể phát biểu như sau Bổ đề 1.1.4. Nếu f: K  Y là nửa liên tục dưới thì hàm giá trị thực  f là nửa liên tục dưới với mọi   C * . Chứng minh. Nếu  = 0 thì bổ đề được chứng minh. Bây giờ, giả sử   0 và x*  K . Với bất kỳ   0 , ta xác định V  {y  K :  ( y ) <  } . Từ Bổ đề 1.1.3, f là C – liên tục, bởi vậy với bất kỳ x*  K , tồn tại một lân cận U của x* sao cho f ( x)  ( f ( x*) V )  C, x U  K . Do đó với bất kỳ x U  K , tồn tại y V sao cho f ( x)  f ( x* )  y . Bởi vậy,  f ( x)   f ( x*)   , tức là  f là nửa liên tục dưới tại x* . □ Một hàm f: K  Y được gọi là tựa lồi nếu với mọi  Y , tập hợp L ( )   x  K : f (x)    , là tập lồi (xem [9]). Nếu hàm f là tựa lồi thì tập hợp 12 Thang Long University Libraty L ( )   x  K : f ( x)    , cũng là tập hợp lồi. Thật vậy, cho x, y  L ( ) , ta đặt zt  tx  (1  t ) y, t  (0,1) . Do Bổ đề 1.1.1, tồn tại   0 sao cho: f ( x)     ; f ( y)     . Từ tính tựa lồi, ta có f ( zt )       . Hàm f: K  Y được gọi là tựa lồi hiện nếu f là tựa lồi và với mọi x, y  K sao cho f (x) < f (y) thì f (zt) < f (y), với mọi zt  tx  (1 t ) y, t  (0,1) . Hàm f: K  Y được gọi là * - tựa lồi nếu với mọi   C * , hàm  f : K  R là tựa lồi. Hàm f: K  Y được gọi là * - tựa lồi bán chặt nếu với mọi   C * ∖{0} , hàm  f : K  R là tựa lồi bán chặt. Ta biết rằng mỗi hàm * - tựa lồi là trường hợp riêng của hàm tựa lồi (xem [9]). Bổ đề 1.1.5. Nếu hàm f: K  Y là nửa liên tục dưới và là * - tựa lồi bán chặt thì f là tựa lồi hiện. Chứng minh. Từ Bổ đề 1.1.4 thì hàm  f là nửa liên tục dưới với mọi   C * . Theo giả thiết  f là tựa lồi bán chặt. Do đó  f là tựa lồi. Điều 13 này kéo theo f là tựa lồi. Ta cần chỉ ra rằng: với mọi x, y  K sao cho f (x) < f(y) thì f (zt) < f (y), với mọi zt  tx  (1  t ) y, t  (0,1) . Từ điều kiện f (x) < f (y), ta suy ra rằng  f ( x)   f ( y),   C* ∖{0}. Vì  f là tựa lồi bán chặt nên bất đẳng thức trên kéo theo  f (zt )   f ( y),   C* ∖{0}, □ Do đó f (zt) < f (y). Ta gọi (xem [5]) một ánh xạ  : K  2K là một KKM – ánh xạ nếu với n mọi yi  K , i  1,..., n; và mọi y   i yi , i  0,  i  1 , ta có y   ( yi ) . i 1 1.2. Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ với giả thiết giả đơn điệu. Xét tập hợp  ( y )   x  K : F ( x, y ) ≮ 0}, y  K . Từ giả thiết F ( x, x)  0 ta có y  ( y) . Bổ đề 1.2.1. Giả sử W ( x)   y  K : F ( x, y )  0 là tập lồi với x  K . Khi đó,  là một KKM – ánh xạ. 14 Thang Long University Libraty Chứng minh. Giả sử ngược lại rằng y  ( yi ) . Do đó, y  ( yi ) , với mọi i = 1,..., n, và khi đó F ( y, yi )  0 với mọi i = 1,..., n. Điều này kéo theo yi W ( y ) , và từ giả thiết lồi của W(x) ta suy ra y W ( y) . Điều này mâu thuẫn với y  ( y) . □ Nhận xét 1.2.1. Tính lồi của tập hợp W(x), x  K , được đảm bảo nếu hàm F(x, .) tựa lồi với x  K . Bây giờ ta xét điều kiện bức sau: (C) Tồn tại một tập hợp compắc B  K và vectơ y*  B sao cho F(x, y*) < 0 với x  K ∖{0}. Từ điều kiện bức (C) ta suy ra  ( y* )  B . Do đó, nếu giả thiết của Bổ đề 1.2.1 thỏa mãn thì Bổ đề Fan [6] kéo theo yK  ( y)   , Trong đó  ( y) là bao đóng của  ( y) . Bây giờ, cho  * ( y)   x  K : F ( y, x) ≯ 0}, y  K . Để chứng minh kết quả tiếp theo, chúng ta đưa ra các giả thiết sau: (i) Với mọi c ≱ 0 và x  K thì tập hợp  y  K : F ( x, y)  c là tập lồi. 15 (ii) Nếu F(x, y) < F(x, z) và F(x, z) ≯ 0 thì F(x, zt) < F(x, z) với zt = ty + (1 - t)z và t  (0,1) . Nhận xét 1.2.2. Giả thiết (i) kéo theo tính lồi của tập W(x), x  K . Các giả thiết (i) và (ii) được suy ra từ tính tựa lồi hiện của hàm F(x, .), x  K . Nhắc lại: Ánh xạ T: X  Y được gọi là hemi – liên tục trên X nếu x, y  X , T ( x  ty) ⇀ T(x) khi t  0 (t R), trong đó kí hiệu ⇀ chỉ sự hội tụ yếu. Mệnh đề 1.2.1. Nếu song hàm F thỏa mãn các giả thiết (i), (ii) và nếu F( x, .) là hemi – liên tục với y  K thì yK  * ( y)  yK  ( y) . Chứng minh. Lấy x  yK  * ( y) . Khi đó F(y, x) ≯ 0 với y  K . Với một y  K cố định, ta đặt yt  ty  (1 t ) x, t  (0,1) . Khi đó, F(yt, x) ≯ 0, t  (0,1) . (1.1) Ta phải chứng minh rằng F ( yt , y) ≮0,  t  (0,1) . 16 Thang Long University Libraty Giả sử ngược lại rằng F(yt*, y) < 0 với t*  (0,1) nào đó. Ta xét 2 trường hợp: Trường hợp 1. Nếu F ( yt* , x)  0  F ( yt* , x)  F ( yt* , y) . Từ giả thiết (ii), ta thấy rằng F ( yt* , yt* )  F ( yt* , x) , do (1.1). Khi đó, F ( yt* , yt* )  0 kéo theo F ( yt* , x)  0 . Điều này mâu thuẫn với (1.1). Trường hợp 2. Nếu F ( yt* , x) ≱ 0, thì từ Bổ đề 1.1.2, tồn tại c ≱ 0 sao cho F ( yt* , x)  c, F ( yt* , y)  c . Từ giả thiết (i), ta suy ra F ( yt* , yt* )  c , cho nên c  0 , ta đi đến một mâu thuẫn. Do đó, F ( yt , y) ≮ 0 với t  (0,1) , và từ tính hemi – liên tục thì F ( x, y) ≮ 0 . Điều này thỏa mãn với y  K , và bởi vậy, x yK  ( y) . □ Định lí 1.2.1. Giả sử rằng F thỏa mãn các giả thiết của Mệnh đề 1.2.1, mà F(x, .) là nửa liên tục dưới với x  K và F(x, y) là giả đơn điệu. Nếu điều kiện bức (C) thỏa mãn thì (VEP) có một nghiệm. Chứng minh. Vì F là giả đơn điệu, ta có  ( y)   *( y), y  K . Từ tính nửa liên tục dưới,  * ( y) là tập đóng. Do đó,  ( y)   *( y) . Bởi vậy, yK  ( y)  yK  * ( y)  yK  ( y) , do Mệnh đề 1.2.1. 17 Vì vậy, yK  (y)   . Do đó, yK  (y)   ; □ tức là (VEP) có một nghiệm. Nhận xét 1.2.3. Chứng minh trên chỉ ra rằng, trong trường hợp các song hàm giả đơn điệu, tập nghiệm yK  ( y)  yK  * ( y) . Vấn đề này được chỉ ra cho trường hợp vô hướng trong [2]. Từ Định lí 1.2.1 và Nhận xét 1.2.2, ta suy ra kết quả sau Định lí 1.2.2. Giả sử rằng F thỏa mãn các giả thiết sau: (A1) F(. , y) là hemi – liên tục với y  K ; (A2) F(x, y) là giả đơn điệu; (A3) F(x, .) là nửa liên tục dưới và tựa lồi hiện với x  K . Nếu điều kiện bức (C) thỏa mãn thì bài toán (VEP) có một nghiệm. Hệ quả 1.2.1. Giả sử rằng F thỏa mãn các giả thiết của Định lí 1.2.1 hoặc Định lí 1.2.2. Khi đó tập nghiệm là khác rỗng và compắc. 18 Thang Long University Libraty Chứng minh. Do yK  ( y)  yK  ( y) , tập các nghiệm là đóng. Theo giả thiết (C), tồn tại tập hợp compắc B  K và phần tử y*  B sao cho  ( y* )  B . Bởi vậy, yK  ( y)  B , tức là tập nghiệm là compắc. Nhận xét 1.2.4. Với các giả thiết của Định lí 1.2.1 hoặc Định lí 1.2.2 tập nghiệm không lồi. Chúng ta xét ví dụ sau: Cho X  Y  R2, K  [0,1]  0,1 , C  R2+. Dễ thấy rằng, song hàm F(x, y) = (y1 – x1 , y2 – x2), với x = (x1, x2) và y = (y1, y2), thỏa mãn các giả thiết của Định lí 1.2.2. Các vectơ x* = (0, 1) và x  (1,0) là các nghiệm của (VEP), vì ( y1, y2  1) ≮ 0, y  K và ( y1 1, y2 ) ≮ 0, y  K . 1 1 Tuy nhiên, x =  ;  không phải là nghiệm, vì 2 2 F(x, y) = ( y1 – 1 1 1 1 , y2 – ) < 0, với 0  y1 < , 0  y2 < . 2 2 2 2 Từ định nghĩa của tính giả đơn điệu chặt, ta thấy hệ quả sau đúng. Hệ quả 1.2.2. Giả sử rằng F thỏa mãn các giả thiết của Định lí 1.2.1 hoặc Định lí 1.2.2 và cho F là giả đơn điệu chặt. Khi đó, nghiệm của bài toán là duy nhất. 19 1.3. Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ với giả thiết tựa đơn điệu. Nhắc lại: Phần trong đại số của tập K   trong không gian X là tập   Ai ( K )  x  K : x  X ,    0: x   x  K ,   0,   . Khi chúng ta chuyển từ tính giả đơn điệu sang giả thiết yếu hơn là tính tựa đơn điệu của F, thì cần có điều kiện mạnh hơn (A3) của Định lí 1.2.2. Chúng ta cần thêm hai giả thiết nữa như trong trường hợp vô hướng [2]. Điều này dẫn đến các giả thiết sau: (A1) F(. , y) là hemi – liên tục với y  K ; (A2’) F(x, y) là tựa đơn điệu; (A3’) F(x, .) là nửa liên tục dưới và * - tựa lồi bán chặt với x  K ; (A4) F(x, .) là * - tựa lõm bán chặt với x  K ; (A5) Điều kiện bức (C) thỏa mãn; (A6) Phần trong đại số Ai(K) của K là không rỗng. Bổ đề 1.3.1. Giả sử F thỏa mãn các giả thiết (A1), (A2’), (A4). Xét x, y  K sao cho x  ( y), x  *( y) , thì tồn tại   C * ∖{0} sao cho  ( F ( x, y))  0,  ( F ( x, y '))   ( F ( x, y)), y '  K. 20 Thang Long University Libraty