Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Về phương trình vi phân và lý thuyết điều khiển hệ thống...

Tài liệu Về phương trình vi phân và lý thuyết điều khiển hệ thống

.PDF
39
511
71

Mô tả:

VIỆN TOÁN HỌC VIỆT NAM VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM ĐOÀN THỊ THANH HUYỀN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN HỆ THỐNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2014 VIỆN TOÁN HỌC VIỆT NAM VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM ĐOÀN THỊ THANH HUYỀN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN HỆ THỐNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN KHOA SƠN HÀ NỘI - 2014 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Khoa Sơn người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tấm gương đam mê nghiên cứu khoa học, nghiêm túc trong công việc, gần gũi trong cuộc sống của thầy đã giúp cho tôi có niềm tin, ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao để hoàn thành luận văn của mình. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy. Tôi xin gửi lời cảm ơn gia đình và bạn bè, những người đã đồng hành, hết lòng động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như làm luận văn thạc sĩ này. Tác giả Đoàn Thị Thanh Huyền i Mục lục Mở đầu 1 Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt 1 1 Mở đầu 2 2 5 Một số bài toán cơ bản của lý thuyết điều khiển toán học 2.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Điều khiển tên lửa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 2.2.2 Điều khiển nhiệt độ thanh vật liệu . . . . . . . . . . 10 3 Bài toán điều khiển được của hệ tuyến tính 11 3.1 3.2 Khái niệm về điều khiển được . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Ma trận điều khiển được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.3 Tính quan sát được của hệ tuyến tính điều khiển được . . . 20 4 Hệ vô hạn chiều 23 4.1 Hệ điều khiển tuyến tính mô tả bởi nửa nhóm C0 . . . . . . 23 4.2 Toán tử điều khiển được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.3 4.4 Các khái niệm khác nhau của điều khiển được . . . . . . . . 28 Hệ với các toán tử bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Tài liệu tham khảo 35 ii Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt R C X, Y Rn A, B, C rankA D(A) U C[0, 1] L(X, Y ) tập các số thực tập các số phức không gian Banach không gian Euclide n chiều ma trận hạng của ma trận A miền xác định của toán tử A tập các tham số điều khiển tập các hàm khả vi liên tục trên đoạn [0, 1] không gian Banach của tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn. Ánh xạ X vào Y Lp [a, b] không gian các hàm khả tích 1 Chương 1 Mở đầu Lý thuyết điều khiển được phát triển từ 150 năm trước đây, khi các bài toán điều khiển trong cơ học bắt đầu được mô tả và phân tích bằng ngôn ngữ toán học. Hiện nay, lý thuyết điều khiển tiếp tục được phát triển mạnh mẽ và được xem là một lĩnh vực khoa học có nhiều ứng dụng trong thực tế. Một trong các khái niệm cơ bản của lý thuyết điều khiển là tính điều khiển được. Trong trường hợp hữu hạn chiều, hệ điều khiển tuyến tính ẋ = Ax + Bu, A ∈ Kn×n , B ∈ Kn×n với K = R hoặc C được gọi là điều khiển được nếu cho trạng thái tùy ý ban đầu x(0) = x0 và trạng thái mong muốn cuối cùng là x1 , thì tồn tai một số T > 0 và một hàm điều khiển u(t) ∈ Ω ⊂ Km , sao cho kx(T ) − x1 k = 0 (hàm u(t) chỉ cần giả thiết là hàm đo được trên [0, T ]). Khi đó, ta gọi cặp ma trận (A, B) ∈ Kn×n × Kn×m là điều khiển được. Đối với trường hợp hệ vô hạn chiều, tính điều khiển được phát biểu tương tự, tuy nhiên do đặc thù vô hạn chiều của không gian trạng thái nên bên cạnh tính điều khiển "chính xác" như phát biểu trên đây người ta còn phải xét đến khái niệm điều khiển được xấp xỉ : kx(T ) − x1 k < , với mọi  > 0 cho trước. Khái niệm về tính điều khiển được đã được Kalman đưa ra và bắt đầu nghiên cứu từ những năm 60 của thế kỷ trước và thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong suốt nửa thế kỷ qua. Bài toán chủ yếu được các nhà toán học tập trung nghiên cứu trong lĩnh vực này là tìm các tiêu chuẩn (điều kiện cần và đủ) để kiểm tra tính điều khiển được của hệ tuyến tính hữu hạn chiều và vô hạn chiều tổng quát nói 2 Chương 1. Mở đầu trên cũng như đối với các dạng hệ khác như: hệ tuyến tính không dừng (tức là khi các ma trận của hệ phụ thuộc thời gian A(t), B(t)), hệ thời gian rời rạc, hệ kỳ dị (tức là hệ có dạng E ẋ = Ax + Bu), hệ có chậm (ví dụ: ẋ(t) = A0 x(t) + A1 x(t − h) + Bu), v.v. Trong những năm gần đây, vấn đề đang được quan tâm đặc biệt là nghiên cứu tính điều khiển được của các hệ chịu ảnh hưởng của các "nhiễu nhỏ" và xác định bán kính điều khiển được của hệ nhằm định lượng hóa tính vững (robustness) của tính điều khiển được của hệ dưới tác động của nhiễu. Các bài toán về sự liên quan của tính điều khiển được với các tính chất khác như: tính ổn định, tính quan sát được, tính ổn định hóa được, v.v. cũng được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Các bài toán tương tự cho các hệ phi tuyến và các hệ tổng quát khác cũng được nhiều tác giả nghiên cứu với rất nhiều kết quả phong phú và sâu sắc. Trong luận văn này chúng tôi trình bày một số vấn đề cơ bản của tính điều khiển được trong không gian hữu hạn chiều và trong không gian vô hạn chiều. Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo và ba chương với nội dung sau: Chương 2: Trình bày một số kiến thức chung về lý thuyết điều khiển, các khái niệm cơ bản và các bài toán về tính chất định tính của hệ tuyến tính, và một số ví dụ minh họa cho các tính chất và bài toán được nghiên cứu trong lý thuyết định tính các hệ điều khiển. Chương 3: Trình bày các định lý và mệnh đề chính về tính điều khiển được tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều và ví dụ. Chương 4: Trình bày về tính điều khiển được trong không gian vô hạn chiều, bao gồm các hệ được mô tả bởi nửa nhóm của các toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian vô hạn chiều và trường hợp riêng là các hệ được mô tả bởi toán tử tuyến tính bị chặn A, B . Các tiêu chuẩn điều khiển được chính xác và xấp xỉ sẽ được phát biểu và chứng minh. Một số ví dụ được đưa ra để minh họa và nêu rõ sự khác biệt giữa hệ hữu hạn chiều và vô hạn chiều. Trong phần kết luận sẽ giới thiệu ngắn gọn một số kết quả tiêu biểu 3 Chương 1. Mở đầu trong các bài toán có liên quan khác như: bài toán quan sát được, bài toán ổn định hóa được, bài toán điều khiển hệ có ràng buộc trên điều khiển và bài toán tính bán kính điều khiển được. 4 Chương 2 Một số bài toán cơ bản của lý thuyết điều khiển toán học 2.1 Một số khái niệm Xuất phát điểm của lý thuyết điều khiển là phương trình vi phân f (0) = x ∈ Rn ẏ = f (y, u), (2.1) với vế bên phải phụ thuộc tham số u ∈ U ⊂ Rn . Tập U là tập các tham số điều khiển. Phương trình vi phân phụ thuộc tham số là một trong các đối tượng nghiên cứu của lý thuyết phương trình vi phân cổ điển trong một thời gian dài, ví dụ: bài toán về sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào tham số đã được nghiên cứu và giải quyết, dưới những điều kiện thích hợp. Tuy nhiên các vấn đề nghiên cứu trong lý thuyết điều khiển toán học có nội dung và đặc thù hơi khác trong đó khái niệm điều khiển đóng vài trò then chốt. Sự điều khiển được chia làm hai loại: "điều khiển vòng kín" (closed loop control) và "điều khiển vòng hở" (open loop control). Điều khiển vòng hở là một hàm bất kỳ u(.) : [0; +∞) −→ U sao cho phương trình: ẏ(t) = f (y(t), u(t)), t ≥ 0, y(0) = x (2.2) có nghiệm xác định. Điều khiển vòng kín được định nghĩa bằng ánh xạ k : Rn −→ U , có thể 5 2.1. MỘT Chương SỐ KHÁI 2. Một NIỆMsố bài toán cơ bản của lý thuyết điều khiển toán học phụ thuộc tham số t ≥ 0, sao cho phương trình ẏ(t) = f (y(t), k(y(t))), t ≥ 0, y(0) = x (2.3) có nghiệm xác định. Khi đó, ánh xạ k(.) được gọi là thông tin phản hồi. Điều khiển còn được gọi là chiến lược hay đầu vào, và nghiệm tương ứng của 2.2 và 2.3 được gọi là trạng thái hay đầu ra của hệ. Mục đích chính của lý thuyết điều khiển là tìm điều khiển (hay chiến lược, đầu vào) sao cho trạng thái (hay đầu ra) y(t) tương ứng có được các tính chất mong muốn. Phụ thuộc vào tính chất của đầu ra liên quan chúng ta có các khái niệm định tính và các bài toán điều khiển khác nhau. Tính điều khiển được Một trạng thái z ∈ Rn gọi là đạt được từ x trong thời gian T , nếu tồn tại điều khiển vòng hở u(.) sao cho nghiệm y(.), y(0) = x, y(T ) = z . Nếu mọi trạng thái bất kỳ z có thể đạt được từ một trạng thái tùy ý x trong thời gian T , thì hệ 2.1 được gọi là điều khiển được. Trong một số tình huống chúng ta cần các tính chất điều khiển được yếu hơn, ví dụ chuyển từ một trạng thái bất kỳ đến một trạng thái cho trước, cụ thể là gốc hoặc một điểm cân bằng nào đó. Bài toán tìm các đặc trưng có thể sử dụng để kiểm tra tính điều khiển được của một hệ điều khiển là một bài toán quan trọng của lý thuyết điều khiển, tuy nhiên đến nay chỉ mới được giải quyết cho các trượng hợp riêng, chẳng hạn đối với hệ tuyến tính. Tính ổn định định hóa được Giả sử tồn tại x ∈ Rn và u ∈ U , sao cho f (x, u) = 0. Khi đó (x̄, ū) gọi là cặp điểm dừng của hệ thống Hàm k : Rn −→ U thỏa mãn k(x) = u được gọi là điều khiển phản hồi ổn định hóa (stabilizing feedback control) nếu x là một trạng thái dừng ổn định đối với hệ ẏ = f (y(t), k(y(t))), t ≥ 0, y(0) = x. (2.4) Trong lý thuyết của phương trình vi phân có một vài phương pháp để xác định một trạng thái cân bằng cho trước có ổn định hay không. Trong lớp các phương trình dạng (2.4), câu hỏi có tồn tại hay không một trạng thái x ổn định là một vấn đề mới. 6 2.1. MỘT Chương SỐ KHÁI 2. Một NIỆMsố bài toán cơ bản của lý thuyết điều khiển toán học Tính quan sát được Trong nhiều tình huống trong thực tế, ta không quan sát được trạng thái y(t) mà là hàm h(y(t)), t ≥ 0. Do đó, ta cần thiết phải nghiên cứu hai phương trình ẏ = f (y, u), y(0) = x (2.5) w = h(y). (2.6) Hệ thức 2.6 được gọi là phương trình quan sát. Hệ gồm 2.5 và 2.6 được gọi là quan sát được nếu: biết trước hàm điều khiển u(.) và hàm quan sát w(.) trên một đoạn [0, T ] cho trước, chúng ta có thể xác định duy nhất điều kiện ban đầu x. Ổn định hóa của hệ quan sát được một phần Bài toán ổn định hóa trên đây sẽ trở nên phức tạp hơn nếu giả thiết rằng ta chỉ quan sát được một phần đầu ra, nói cách khác ta không biết y(t) mà chỉ biết hàm w(t) = h(t) . Tính huống này dẫn đến hệ điều khiển vòng kín dạng ẏ = f (y, k(h(y))), y(0) = 0. (2.7) Bài toán tìm điều kiện tồn tại hàm điều khiển k(.) sao cho điểm dừng x̄ là điểm cân bằng ổn định của hệ 2.7 là bài toán khó, hiện chưa có lời giải trọn vẹn. Bài toán hiện thực hóa Liên quan đến 2.5 và 2.6, người ta đặt ra bài toán về hiện thực hóa hệ thống như sau. Cho trước điều kiện ban đầu x ∈ Rn , khi đó hệ 2.5 - 2.6 xác định một ánh xạ R biến điều khiển vòng hở u(.) thành đầu ra xác định bởi 2.6: w(t) = h(y(t)), t ∈ [0, T ]. Ánh xạ R được gọi là ánh xạ vào - ra của hệ 2.5, 2.6 và hệ 2.5, 2.6 gọi là hiện thực hóa của R. Bài toán hiện thực hóa (realization) nghiên cứu các tính chất của R và tìm điều kiện để một ánh xạ cho trước có thể hiện thực hóa được bởi hệ dạng 2.5, 2.6 nào đó. Ngoài ra, người ta còn xét bài toán: trong tất cả các hiện thực hóa f, h có thể của R, tìm hiện thực hóa đơn giản nhất theo một nghĩa nào đó (ví dụ có số chiều nhỏ nhất). Cho đến nay, bài toán hiện thực hóa chỉ mới được 7 2.1. MỘT Chương SỐ KHÁI 2. Một NIỆMsố bài toán cơ bản của lý thuyết điều khiển toán học giải quyết cho các hệ tuyến tính (tức là : f (y, u) = Ay + Bu, h(y) = Cy , với A, B, C là các ma trận ). Bài toán điều khiển tối ưu Các bài toán trên đây chủ yếu nghiên cứu các tính chất định tính và tính chất cấu trúc của hệ điều khiển. Trong lý thuyết điều khiển hệ thống, bài toán điều khiển tối ưu cũng có ý nghĩa rất quan trọng và được quan tâm nghiên cứu. Nói một cách đại thể, bài toán điều khiển tối ưu nhằm giải quyết vấn đề: trong số các điều khiển (đầu vào) cho ta các trạng thái (đầu ra) mong muốn, có hay không và làm thế nào tìm được cái tốt nhất theo một nghĩa nào đó. Chẳng hạn, trong bài toán thời gian tối ưu ta tìm điều khiển chuyển hệ thống từ trạng thái x tới z trong thời gian T nhỏ nhất. Ví dụ khác, cho thời gian T > 0 cố định, tìm điều khiển u(.) để cực tiểu hóa tích phân Z T g(y(t), u(t))dt + G(y(T )) −→ min, 0 trong đó, g và G là các hàm cho trước. Đây là lĩnh vực được nghiên cứu mạnh trong lý thuyết điều khiển hệ thống. Các bài toán chính là : các định lý tồn tại điều khiển tối ưu, các điều kiện cần của tối ưu (trong đó nổi bật nhất là nguyên lý cực đại Pontryaghin), các điều kiện đủ và các thuật toán số giải bài toán điều khiển tối ưu. Hệ trên đa tạp Sự khó khăn của các tính chất khác nhau xảy ra nếu không gian trạng thái không là Rn hay một tập mở của Rn mà trên một đa tạp. Nó cực kỳ khó nếu quan tâm đến tính chất toàn cục của hệ điều khiển. Cũng tương tự như trong cơ học cổ điển,các công cụ và phương pháp của hình học vi phân được sử dụng để nghiên cứu các bài toán điều khiển hệ thống trên đa tạp. Tuy nhiên cho đến nay, các kết quả phần lớn chỉ có ý nghĩa lý thuyết. Hệ vô hạn chiều Bài toán nhắc đến ở trên luôn có ý nghĩa nếu nếu chúng ta thay phương trình vi phân bằng phương trình đạo hàm riêng loại parabolic 8 2.2. MỘT Chương SỐ VÍ2.DỤMột số bài toán cơ bản của lý thuyết điều khiển toán học hoặc hyperbolic. Tuy nhiên, phương pháp giải phức tạp hơn nhiều. Hệ thời gian rời rạc Tất cả các khái niệm và bài toán trên đây có thể được phát biểu tương tự cho các hệ điều khiển với thời gian rời rạc. Ví dụ, thay cho hệ điều khiển 2.2 ta có thể xét hệ rời rạc y(k + 1) = f (y(k), u(k)), k = 1, 2, ... y(0) = x. (2.8) Các hệ rời rạc có thể thu được bằng cách sai phân hóa hệ liên tục, nhưng cũng có thể dược xây dựng trực tiếp như là các mô hình toán học của hệ thực tiễn trong đó các thông số và biến trạng thái của mô hình được đo tại các thời điểm rời rạc cách đều nhau (ví dụ: hằng năm, hằng tháng, hằng phút, ...). 2.2 2.2.1 Một số ví dụ Điều khiển tên lửa Nếu bỏ qua lực cản không khí, chuyển động của một tên lửa đẩy bay thẳng đứng có thể mô tả bởi phương trình ḣ = v, mv̇ = −mg + f, trong đó h(t) là độ cao, m(t) là khối lượng của tên lửa, f (t) là lực đẩy của động cơ (tại thời điểm t). Đặt x1 = h, x2 = v, u = f /m − g ta thu được hệ điều khiển tuyến tính ẋ1 = x2 ẋ2 = u, (với các ràng buộc trên biến trạng thái và biến điều khiển). Có thể chứng minh, với một số điều kiện, hệ là điều khiển được và ta có thể đặt bài toán điều khiển tối ưu theo thời gian hoặc năng lượng cho bài toán đưa tên lửa lên độ cao và vận tốc cho trước. Trong trường hợp tính đến lực cản không 9 2.2. MỘT Chương SỐ VÍ2.DỤMột số bài toán cơ bản của lý thuyết điều khiển toán học khí p (là hàm phi tuyến phụ thuộc vào độ cao và vận tốc của tên lửa) thì ta có mô hình phi tuyến ẋ1 = x2 (2.9) ẋ2 = p(x1 , x2 ) + u. (2.10) Khi đó bài toán điều khiển cũng trở nên phức tạp hơn. 2.2.2 Điều khiển nhiệt độ thanh vật liệu Giả sử thanh vật liệu có độ dài = 1 với hai đầu được cách ly nhiệt, có nhiệt độ ban đầu x(θ) tại điểm θ ∈ [0, 1] và được đốt nóng với cường độ u(t)b(θ) . Ký hiệu y(t, θ) là nhiệt độ của thanh vật liệu tại thời điểm t ≥ 0 và tại điểm θ ∈ [0, 1], khi đó theo các định luật về truyền nhiệt ta có phương trình dạng parabolic mô tả sự thay đổi nhiệt của thanh vật liệu như sau: 2 ∂y 2 ∂ y (t, θ) = α 2 2 (t, θ) + u(t)b(θ), t ≥ 0, θ ∈ (0, 1), ∂t ∂ θ y(t, 0) = y(t, 1) = 0, y(0, θ) = x(θ), θ ∈ [0, 1], (2.11) (2.12) (2.13) (trong đó tham số α là hệ số nhiệt dung của vật liệu). Với mô hình trên, ta có thể đặt bài toán điều khiển nhiệt độ của thanh vật liệu như sau: Cho trước thời gian T > 0 và phân bố nhiệt độ x̂(θ), θ ∈ [0, 1], tìm hàm điều khiển cường độ đốt nóng u(t), t ∈ [0, T ] sao cho y(T, θ) = x̂(θ), ∀θ ∈ [0, 1]. Như vậy, nếu bài toán này có nghiệm với mọi hàm x̂(.) thuộc không gian hàm X[0, 1] nào đó thì hệ 2.11 có thể được xem là điều khiển được (trong không gian X ) từ gốc. Trong Chương 4 ta sẽ chỉ ra rằng hệ 2.11 có thể biểu diễn dưới dạng một hệ tuyến tính trong không gian vô hạn chiều sinh bởi nửa nhóm liên tục mạnh các toán tử tuyến tính bị chặn. 10 Chương 3 Bài toán điều khiển được của hệ tuyến tính Trong chương này, đầu tiên trình bày một số khái niệm cơ bản của lý thuyết điều khiển, sự điều khiển được và sự quan sát được. Tiếp theo sẽ trình bày các công thức cụ thể của điều khiển chuyển hệ thống từ một trạng thái sang một trạng thái khác, các đặc trưng đại số của các hệ tuyến tính điều khiển được và quan sát được. Một số ví dụ được đưa ra để minh hoa. 3.1 Khái niệm về điều khiển được Lý thuyết điều khiển cổ điển xuất phát từ phương trình vi phân dy = Ay(t) + Bu(t), dt y(0) = x ∈ Rn , u(t) ∈ Rm (3.1) và phương trình quan sát w(t) = Cy(t), t≥0 (3.2) với A : Rn → Rn , B : Rm → Rn , C : Rm → Rk là các toán tử tuyến tính, u(t) là hàm khả tích địa phương, tức là u(t) ∈ L1 [0, T ; Rm ] với mọi T > 0. Ta đã biết phương trình 3.1 có nghiệm duy nhất t Z S(t − s)Bu(s)ds, y(t) = S(t)x + 0 11 3.2. MA TRẬN ĐIỀU KHIỂN Chương ĐƯỢC 3. ở đây S(t) = eAt = ∞ P n=0 An n n! t Bài toán điều khiển được của hệ tuyến tính là ma trận nghiệm cơ bản. Định nghĩa 3.1.1. Trạng thái b được gọi là đạt được từ trạng thái a trong thời gian T > 0 nếu tồn tại điều khiển u(t) xác định trong [0, T ] sao cho phương trình 3.1 có nghiệm y(t) thỏa mãn y(0) = a, y(T ) = b. Quy ước: Trạng thái a đạt được từ a trong thời gian T = 0. Định nghĩa 3.1.2. Trạng thái b được gọi là đạt được từ trạng thái a hay trạng thái a dịch chuyển được đến trạng thái b nếu b đạt được từ a trong thời gian T > 0 nào đó. Định nghĩa 3.1.3. Hệ 3.1 được gọi là điều khiển được trong thời gian T > 0 nếu b và a là hai trạng thái bất kì thì b có thể đạt được từ a trong thời gian T. Định nghĩa 3.1.4. Hệ 3.1 được gọi là điều khiển được nếu b và a là hai trạng thái bất kì thì b có thể đạt được từ a. 3.2 Ma trận điều khiển được Một hàm bất kỳ U (.) xác định trên [0; +∞) khả tích địa phương và có các giá trị trong Rn sẽ được gọi là một sự điều khiển, chiến lược hoặc đầu vào của hệ 3.1 - 3.2. Nghiệm tương ứng của phương trình 3.1 sẽ được ký hiệu là y x,u (.) để nhấn mạnh sự phụ thuộc vào điều kiện ban đầu x và đầu vào U (.). Hệ 3.2 có thể được viết theo cách sau: w(t) = Cy x,u (t), t ∈ [0; T ]. Hàm w(t) là kết quả đầu ra của hệ điều khiển. Chúng ta giả sử rằng C = I hay w(t) = y x,u (t), t ≤ 0. Ta nói một điều khiển u chuyển một trạng thái a tới trạng thái b thì tại thời điểm T > 0 nếu y a,u (T ) = b. (3.3) Ta nói trạng thái a bị chuyển sang trạng thái b tại thời điểm T hay trạng thái b đạt được từ trạng thái a tại thời điểm T . Mệnh đề dưới đây nêu lên 12 3.2. MA TRẬN ĐIỀU KHIỂN Chương ĐƯỢC 3. Bài toán điều khiển được của hệ tuyến tính công thức điều khiển chuyển từ a tới b. Trong công thức này ma trận QT gọi là ma trận điều khiển được Gramaian: Z T QT = S(r)BB ∗ S ∗ (r)dr, T > 0 0 QT là đối xứng và xác định không âm. Bổ đề 3.2.1. Giả sử với T > 0 nào đó, ma trận QT không suy biến khi đó với mọi a, b ∈ Rn điều khiển u(s) = −B ∗ S ∗ (t − s)Q−1 T (S(T )a − b), s ∈ [0, T ] dịch chuyển từ trạng thái a đến trạng thái b trong thời gian T , tức là với điều khiển như trên hệ 3.1 có nghiệm y(t) thỏa mãn y(0) = a, y(T ) = b. Chứng minh. Ta có t Z S(t − s)Bu(s)ds y(t) = S(t)a + 0 t Z = S(t)a − 0 S(t − s)BB ∗ S ∗ (t − s)Q−1 T (S(T )a − b)ds. Dễ thấy y(0) = S(0)a = a. Z T  y(T ) = S(T )a − S(T − s)BB ∗ S ∗ (T − s)ds Q−1 T (S(T )a − b) 0 = S(T )a − QT Q−1 T (S(T )a − b) = b. Bổ đề 3.2.2. Nếu mọi trạng thái b ∈ Rn đều đạt được từ 0, khi đó ma trận QT không suy biến với mọi T > 0 Chứng minh. Xét T Z LT u = S(r)Bu(T − r)dr. 0 Suy ra LT u = y u (t) trong đó y u (t) là nghiệm của hệ 3.1 thỏa mãn y u (0) = 0. Đặt ET = LT (L1 [0, T ; Rm ]) là không gian véc tơ con của Rn . Vì mọi b ∈ Rn đều đạt được từ 0 nên ∪T >0 ET = Rn . Nếu T < T 0 thì ET ⊂ ET 0 , 13 3.2. MA TRẬN ĐIỀU KHIỂN Chương ĐƯỢC 3. Bài toán điều khiển được của hệ tuyến tính từ đó suy ra tồn tại T0 sao cho ET = Rn , ∀T ≥ T0 . Với mọi T > 0, v ∈ Rn , u ∈ L1 [0, T ; Rm ] ta có Z T  Z T hQT v, vi = h S(r)BB ∗ S ∗ (r)dr v, v = kB ∗ S ∗ (r)vk2 dr 0 0 Z T hLT u, vi = hu(r), B ∗ S ∗ (T − r)vidr. 0 Vì thế nếu QT v = 0 với v nào đó thuộc Rn , T > 0 thì hàm B ∗ S ∗ (r)v đồng nhất bằng 0 trong [0, T ] cho nên suy ra ET vuông góc với v . Do hàm f (r) = B ∗ S ∗ (r)v là hàm giải tích (có thể khai triển thành chuỗi Taylor vô hạn) và f (r) = 0 với mọi r ∈ [0, T ] cho nên f (r) phải bằng 0 với mọi r ∈ R+ . Từ công thức biểu diễn của QT suy ra QT v = 0, ∀T > 0, cụ thể QT0 v = 0 cho nên v vuông góc với ET0 = Rn . Suy ra v = 0. Vậy QT là không suy biến với mọi T > 0. Bổ đề 3.2.3. Im(LT ) = Im(ln ) với mọi T > 0. Chứng minh. ∀v ∈ Rn , u ∈ L1 [0, T ; Rm ], uj ∈ Rm , j = 0, 1 . . . , n − 1 ta có: Z T hLT u, vi = hu(s), B ∗ S ∗ (T − s)vids, 0 ln (u0 , . . . , un−1 ) = hu0 , B ∗ vi + . . . + hun−1 , B ∗ (A∗ )n−1 vi. Xét v nào đó, giả sử hln (u0 , . . . , un−1 ), vi = 0, ∀u0 , . . . , un−1 ∈ Rm . Suy ra B ∗ v = . . . = B ∗ (A∗ )n−1 v = 0. Theo Định lý Caley - Hamilton (A∗ )n + a1 (A∗ )n−1 + . . . + an = 0. Suy ra ∗ n (A ) = − n X ∗ n−k ak (A ) = n−1 X ck (A∗ )k . k=0 k=1 Bằng truy hồi thu được ∗ n+l (A ) = n−1 X cl,k (A∗ )k , ∀l ≥ 0. k=0 Từ đó suy ra B ∗ (A∗ )k v = 0, ∀k ≥ 0. Do đó ∗ ∗ ∗ A∗ t B S (t)v = B e v= ∞ X k=0 tk B (A ) v = 0, ∀t ≥ 0. k! 14 ∗ ∗ k 3.2. MA TRẬN ĐIỀU KHIỂN Chương ĐƯỢC 3. Bài toán điều khiển được của hệ tuyến tính Suy ra Z hLT u, vi = T hu(s), B ∗ S ∗ (T − s)vids = 0, ∀u ∈ L1 [0, T ; Rm ], ∀T > 0. 0 Ngược lại, giả sử hLT u, vi = 0, ∀u ∈ L1 [0, T, Rm ]. Suy ra B ∗ S ∗ (t)v = 0 với mọi t ∈ [0, T ]. Đặt f (t) = B ∗ S ∗ (t)v. Suy ra f (n) (0) = 0, ∀n ∈ N. Suy ra B ∗ (A∗ )k v = 0, ∀k ≥ 0. Do đó hln (u0 , . . . , un−1 ), vi = 0, ∀u0 , . . . , un−1 ∈ Rm . Vậy Im(LT )⊥ = Im(ln )⊥ , điều này tương đương với Im(LT ) = Im(ln ). Mệnh đề 3.2.1. Giả sử rằng với T > 0, ma trận QT không suy biến. Khi đó i. ∀a, b ∈ Rn , sự điều khiển b (s) = −B ∗ S ∗ (T − s)Q−1 (S(T )a − b), U T s ∈ [0, T ] (3.4) chuyển từ a tới b tại thời điểm T . ii. Trong tất cả các điều khiển U (.) chuyển a tới b tại thời điểm T điều RT khiển u b tối thiểu tích phân 0 |u(s)|2 ds. Hơn nữa, Z T (3.5) |b u(s)|2 ds = hQ−1 T (S(T )a − b), S(T )a − bi. 0 Chứng minh. Từ 3.4 a có điều khiển u b là trơn hoặc thậm chí phân tích từ 3.3 và 3.4 ta có Z T  a,b u ∗ ∗ −1 y (T ) = S(T )a − S(T − s)BB S (T − s)ds)(QT (S(T )a − b) 0 = S(T )a − QT (Q−1 T (S(T )a − b)) =b i. được chứng minh. Để chứng minh ii. ta chú ý rằng 3.5 là hệ quả của 15 3.2. MA TRẬN ĐIỀU KHIỂN Chương ĐƯỢC 3. Bài toán điều khiển được của hệ tuyến tính phép tính đơn giản sau: Z T Z T 2 |b u(s)|2 ds = |B ∗ S ∗ (T − s)Q−1 T (S(T )a − b)| ds 0 0 DZ T E ∗ ∗ −1 −1 = S(T − s)BB S (T − s)(QT (S(T )a − b))ds, QT (S(T )a − b) 0 −1 = hQT Q−1 T (S(T )a − b), QT (S(T )a − b)i = hQ−1 T (S(T )a − b), (S(T )a − b)i. Gọi u(.) là điều khiển bất kỳ từ a tới b tại thời điểm T . Giả sử rằng u(.) khả tích cấp 2 trên [0; T ]. Khi đó, Z T Z T hu(s), u b(s)ids = − hu(s), B ∗ S ∗ (T − s)Q−1 T (S(T )a − b)ids 0 0 Z T =− hS(T − s)Bu(s)ds, (Q−1 T (S(T )a − b))i 0 = hS(T )a − b, Q−1 T (S(T )a − b)i. RT RT u(s), u b(s)ids. Từ đó, ta có b(s)ids = 0 hb Do đó 0 hu(s), u Z T Z T Z T |u(s)|2 ds = |b u(s)|2 ds + |u(s) − u b(s)|2 ds 0 0 0 và hệ quả là tính chất cơ bản. Mệnh đề 3.2.2. Nếu trạng thái tùy ý b ∈ Rn có thể đạt được từ 0 thì ma trận QT là không suy biến với mọi T > 0 tùy ý. Chứng minh. Cho điều khiển u và T > 0, đặt Z T LT u = S(r)Bu(T − r)dr. (3.6) 0 Công thức 3.6 định nghĩa toán tử tuyến tính từ UL = L−1 [0, T ; Rm ] vào Rn . Chú ý LT u = y 0,u (T ) (3.7) Đặt ET = LT (UT ), T > 0. Từ 3.6, lớp không gian tuyến tính ET không 16
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan