Về phổ của toán tử tuyến tính

  • Số trang: 90 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 79 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 26946 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ VĂN HƯNG VỀ PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ VĂN HƯNG VỀ PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Phan Viết Thư Hà Nội - 2014 Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1. Các khái niệm cơ sở của giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1. Các không gian vectơ và họ tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1. Các định nghĩa cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2. Các không gian con và các không gian thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.3. Các tính chất cơ bản của không gian Hillbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2. Toán tử tuyến tính và các phiếm hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.1. Định lý Hahn - Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.2. Tính đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3. Các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.1. Định lý ánh xạ mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.2. Nguyên lý bị chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.3. Định lý miền giá trị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ∗ 1.4. Tôpô yếu và tôpô yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4.1. Tôpô yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ∗ 1.4.2. Tôpô yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Chương 2. Một số dạng định lý phổ cho một số lớp toán tử quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1. Toán tử Hilbert - Schmidt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2. Toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3. Định lý phổ của toán tử compact tự liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1 2.4. Phổ của một toán tử compact tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.5. Giới thiệu về định lý phổ tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.5.1. Phổ và giải thức trong một đại số Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.5.2. Định lý về phổ của toán tử tự liên hợp bị chặn trong không gian Hilbert 56 Chương 3. Độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.1. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2. Độ đo phổ ngẫu nhiên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3. Toán tử chiếu ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.4. Độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Chương 4. Khái niệm vết của toán tử và không gian Lp cho lớp toán tử compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.1. Định nghĩa vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.2. Lớp toán tử vết và lớp toán tử Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.3. Một dạng cụ thể của lớp toán tử Hilbert - Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.4. Không gian Lp của lớp toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, tác giả tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tới Thầy: PGS.TS. Phan Viết Thư, người đã tận tình hướng dẫn và đóng góp nhiều ý kiến quý báu. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tập thể các Thầy cô giáo, các nhà khoa học của trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – ĐHQG Hà Nội đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành cuốn luận văn này. Trong quá trình viết luận văn, mặc dù dưới sự chỉ đạo ân cần chu đáo của các Thầy cô giáo và bản thân cũng hết sức cố gắng, song bản luận văn này không tránh khỏi những hạn chế thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong được sự góp ý, giúp đỡ của các Thầy cô, các bạn để bản luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 19 tháng 08 năm 2014 Học viên Đỗ Văn Hưng 3 LỜI NÓI ĐẦU Mục đích của lý thuyết phổ là phân lớp các toán tử tuyến tính giữa các không gian Banach mà ta hạn chế xét trên không gian Hilbert do chúng là một đại diện đặc biệt của các không gian Banach. Chúng có liên hệ gần gũi với hình học Euclide. Ta có thể nghĩ đến nhiều cách khác nhau để phân loại các toán tử tuyến tính. Đại số tuyến tính (hữu hạn chiều) gợi ý rằng hai toán tử tuyến tính T1 , T2 : H1 → H2 liên hệ bởi công thức T2 ◦ U1 = U2 ◦ T1 , (1) với các toán tử khả nghịch Ui : Hi → Hi thì T1 , T2 có chung nhiều tính chất như nhau. Ta có thể coi chúng cùng một lớp. Trong trường hợp hữu hạn chiều, Ui tương ứng với đổi cơ sở trong Hi , chúng không làm thay đổi bản chất bên trong của các toán tử. Cách giải thích này nói chung không còn đúng trong trường hợp vô hạn chiều bởi ở đó không có khái niệm tốt về cơ sở, nhưng cách định nghĩa trên vẫn có ý nghĩa đáng quan tâm và ta có thể thử mô tả tất cả các toán tử từ H1 vào H2 bởi các quan hệ như trên. Để làm đơn giản ý tưởng, ta sẽ chọn H1 = H2 = H và coi hai toán tử T1 , T2 : H → H ở cùng một lớp nếu tồn tại một toán tử khả nghịch U : H → H sao cho T2 ◦ U = U ◦ T1 tức là T2 = U T1 U −1 . (2) Trong đại số tuyến tính, bài toán phân lớp được giải thành công bởi lý thuyết giá trị riêng, không gian riêng, đa thức đặc trưng và tối thiểu (minimal) dẫn đến “dạng chính tắc”. Cho các toán tử tuyến tính từ Cn → Cn với n ≥ 1. Khi H có số chiều vô hạn, ta không có một định lý tổng quát. Nhưng xuất hiện khả năng là nhiều toán tử rất quan trọng mà ta sử dụng có tính chất mà trong trường hợp số chiều hữu hạn có sự mô tả thậm chí đơn giản hơn. Chúng thuộc một trong các lớp đặc biệt các toán tử trên không gian Hilbert như: toán tử lấy liên hợp T → T ∗ , toán tử chuẩn, toán tử tự liên hợp, toán tử dương, toán tử Unita. Đối với các lớp này, nếu dim H = n thì luôn có một cơ sở trực chuẩn (e1 , ..., en ) của các vectơ riêng của T với giá trị riêng λ1 , ..., λn và trong cơ sở 4 này ta có thể viết X X T( αi ei ) = αi λi ei . i (3) i (Tương ứng với biểu diễn ma trận đường chéo). Trong trường hợp vô hạn chiều, nói chung ta không thể viết như thế một cách rõ ràng. Tuy nhiên có một cách giải thích của biểu diễn này là cho nó tuân theo sự tổng quát. Xét ánh xạ tuyến tính U : H → Cn ei 7−→ (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) với 1 ở vị trí thứ i. Ánh xạ này là một song ánh đẳng cự, do định nghĩa của một cơ sở trực chuẩn, nếu Cn là một tích trong tiêu chuẩn và ta định nghĩa T1 : Cn → Cn αi 7−→ (αi λi ). Thì (3) trở thành T1 ◦ U = U ◦ T. (4) Rõ ràng là khi ta giải nghĩa điều đó theo cách (nó cho ta một cách nhìn hơi khác bài toán phân lớp): Với mọi không gian Hilbert hữu hạn chiều H và toán tử chuẩn T ta nhận được không gian và toán tử “mẫu” (Cn , T1 ) sao cho (H, T ) tương đương với (Cn , T1 ). (Thực ra là unitary tương đương do U là đẳng cự). Định lý phổ mà chúng tôi trình bày trong luận văn này là sự tổng quát hóa của loại đưa về “dạng chính tắc” này. Điều này rất thành công vì các không gian và các toán tử “mẫu” hoàn toàn đơn giản: chúng là loại L2 (X, µ) với không gian có độ đo (X, µ) nào đó. (Trường hợp Cn tương ứng với X = {1, 2, ..., n} với độ đo đếm). Và toán tử “mẫu” là toán tử nhân (phép nhân): Tg : f 7−→ gf với một hàm g : X → C thích hợp. Toán tử nhân cho ta một “mẫu” cho mọi toán tử (chuẩn) trên không gian Hilbert. Giả sử (X, µ) là một không gian có độ đo hữu hạn (tức là µ(X) < +∞). Giả sử g ∈ L∞ (X, µ) là một hàm bị chặn thì ta có một ánh xạ tuyến tính liên tục: Mg : L2 (X, µ) → L2 (X, µ) f 7−→ gf 5 do Z |g(x)f (x)|2 dµ(x) ≤ kgk2∞ · kf k2 , X nên Mg được định nghĩa tốt và liên tục với chuẩn kMg k ≤ kgk∞ . Chú ý thêm rằng Z g(x)f1 (x)f2 (x)dµ(x) < Mg (f1 ), f2 > = X =< f1 , Mg (f2 ) > với mọi f1 , f2 ∈ L2 (X, µ). Do đó toán tử liên hợp của Mg được cho bởi Mg = Mg , dẫn đến Mg là tự liên hợp khi và chỉ khi g là tự liên hợp (hầu khắp nơi). Với g1 , g2 ∈ L∞ (X, µ), ta có Mg1 (Mg2 (f )) = g1 (g2 (f )) = g2 (g1 (f )) = Mg2 (Mg1 (f )). Do đó mọi toán tử Mg với g ∈ L∞ (X, µ) giao hoán. Suy ra chúng đều là chuẩn tắc. Nếu X ⊂ C là một tập đo được đối với độ đo Lebesgue µ thì trường hợp g(x) = x là đặc biệt quan trọng. Bổ đề sau cho biết ta không thể xây dựng nhiều hơn toán tử nhân bị chặn so với sử dụng hàm bị chặn. Bổ đề. Giả sử (X, µ) là một không gian có độ đo hữu hạn và giả sử g là một hàm đo được X → C. Nếu ϕ 7−→ gϕ ánh xạ L2 (X, µ) vào L2 (X, µ) không nhất thiết liên tục, thì g ∈ L∞ (X, µ). Trở lại câu hỏi động cơ thúc đẩy đến định lý phổ, tại sao ta muốn phân lớp các toán tử trên không gian Hilbert ? Động cơ căn bản đến từ nguồn chung giống như của giải tích hàm: Trong ứng dụng ta thường cần (hoặc muốn) giải các phương trình tuyến tính T (v) = w giữa các không gian Banach, đặc biệt là các không gian Hilbert. Vì mục đích này có một sự phân lớp cụ thể (dạng hiện) với mô hình mẫu đơn giản sẽ rất có ích. Nếu ta có quan hệ như (1) thì ta có T1 (v) = w ⇔ T2 (v1 ) = w1 với v1 = U1 (v), w1 = U2 (w). Như vậy nếu ta hiểu toán tử “mẫu” T2 và các ánh xạ khả nghịch U1 , U2 , ta có thể chuyển lời giải của các phương trình tuyến tính liên quan đến T1 thành lời giải tương ứng liên quan tới T2 . Tương tự đối với (2) hay (4). Bây giờ ta nhận thấy là với mẫu toán tử nhân T2 = Mg trên L2 (X, µ), lời giải của phương trình Mg (f ) = h thỏa mãn được trực tiếp (ít nhất là về mặt 6 g . Điều này tương ứng một cách trực giác đến chéo hóa hệ h các phương trình tuyến tính, và tất nhiên đòi hỏi nhiều sự thận trọng hơn vì hình thức) là f = hàm g có thể có nghiệm và tỷ số h/g có thể không thuộc L2 (X, µ). Trường hợp đặc biệt, tuy còn là hình thức, chú ý rằng làm thế nào biến đổi Fourier cùng với (6) gợi ý mạnh mẽ chúng ta hãy thử giải các phương trình liên quan đến toán tử Laplace ∆f = g bằng cách “chuyển sang thế giới của Fourier”. Thực tế đây là ý tưởng rất hiệu quả, nhưng tất nhiên đòi hỏi nhiều sự thận trọng hơn vì các toán tử liên quan không liên tục. Hiểu được ý nghĩa và khả năng ứng dụng to lớn của lý thuyết phổ toán tử, tác giả đã chọn đề tài luận văn của mình là “ Về phổ của toán tử tuyến tính”. Để tiếp tục tìm hiểu sâu về vấn đề này: Luận văn được chia làm bốn chương: Chương 1. Các khái niệm cơ sở của giải tích hàm và toán tử tuyến tính Chương này giới thiệu các khái niệm cơ bản về không gian Banach, không gian Hilbert và về khái niệm toán tử tuyến tính trên các không gian này cùng các tính chất cơ bản nhất của chúng. Chương 2. Một số dạng định lý phổ cho một số lớp toán tử quan trọng Chương này giới thiệu các định lý về phổ cho toán tử tự liên hợp, cho toán tử compact tổng quát, định lý phổ tổng quát, phổ và giải thức trong một đại số Banach và cuối cùng là định lý phổ của toán tử tự liên hợp bị chặn trong không gian Hilbert. Chương 3. Độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát Chương này giới thiệu về độ đo phổ ngẫu nhiên, độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát; Định lý hội tụ bị chặn cho độ đo phổ ngẫu nhiên và độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát; Định lý về bổ sung của một độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát. Chương 4. Khái niệm vết của toán tử và không gian Lp cho lớp toán tử compact Chương này giới thiệu khái niệm vết của toán tử và cách sử dụng chúng với vai trò tích phân của các hàm toán tử để xây dựng các không gian Lp cho đại số toán tử, ký hiệu là Bf (H), chẳng hạn B1 (H) với chuẩn kT k1 = tr (H) là lớp toán tử vết có vai trò như là không gian các hàm khả tích. B2 (H) là lớp toán 7 tử Hilbert-Schmidt có dạng như trong L2 là một không gian Hilbert ... Hà Nội, ngày 19 tháng 08 năm 2014 Học viên Đỗ Văn Hưng 8 Chương 1 Các khái niệm cơ sở của giải tích hàm 1.1. Các không gian vectơ và họ tôpô 1.1.1. Các định nghĩa cơ bản (1) Một chuẩn xác định một tôpô Hausdorff trên một không gian vectơ mà các phép toán đại số là liên tục, kết quả là được một không gian tuyến tính chuẩn. Nếu nó là đầy đủ thì được gọi là không gian Banach. (2) Tích trong (tích vô hướng) và nửa tích trong: Trong tập số thực một tích trong là một dạng song tuyến tính xác định dương từ X × X → R. Trong tập số phức, nó là dạng nửa song tuyến tính: X × X → C xác định dương, đối xứng Hermitian. Một (nửa) tích trong sinh ra một (nửa) chuẩn. Do vậy một không gian tích trong (không gian Unita) là một trường hợp đặc biệt của không gian tuyến tính chuẩn. Một không gian tích trong đầy đủ (không gian Unita đầy đủ) là một không gian Hillbert, một trường hợp đặc biệt của không gian Banach. Sự phân cực đơn vị biểu diễn chuẩn của một không gian có tích trong theo tích trong. Đối với một không gian tích trong thực, đó là: (x, y) = 1 (||x + y||2 − ||x − y||2 ). 4 9 Đối với không gian phức, đó là: (x, y) = 1 (||x + y||2 + i||x + iy||2 − ||x − y||2 − i||x − iy||2 ). 4 Trong các không gian tích trong, chúng ta cũng có quy tắc hình bình hành: ||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2 ). Điều này đưa ra một tiêu chuẩn để một không gian định chuẩn là một không gian tích trong. Bất kỳ một chuẩn nào sinh ra từ một tích trong đều thỏa mãn quy tắc hình bình hành và, ngược lại, nếu một chuẩn thỏa mãn quy tắc hình bình hành chúng ta có thể chỉ ra rằng (điều này không dễ) sự phân cực đơn vị xác định một tích trong, cái mà sinh ra chuẩn đó. (3) Một không gian vectơ tôpô là một không gian vectơ được trang bị một tôpô Hausdorff sao cho các phép toán đại số là liên tục. Chú ý rằng chúng ta có thể mở rộng khái niệm dãy Cauchy cũng như khái niệm đầy đủ trong một TVS: một dãy xn trong một TVS là Cauchy nếu với mọi lân cận U của 0 đều tồn tại N sao cho xm − xn ∈ U với mọi m, n ≥ N . Một không gian tuyến tính định chuẩn là một TVS, nhưng có một phép toán khác, tổng quát hơn liên quan đến chuẩn, nó trang bị không gian vectơ với một tôpô. Cho X là một không gian vectơ và giả sử rằng một họ {|| · ||α }α∈A của các nửa chuẩn trên X cho trước là đủ theo nghĩa ∩α {||x||α = 0} = 0. Khi đó tôpô sinh bởi các tập {||x||α < r}, α ∈ A, r > 0 biến X thành một TVS. Một dãy (hay lưới) xn hội tụ đến x nếu và chỉ nếu ||xn − x||α → 0 với mọi α. Chú ý rằng, |||xn ||α − ||x||α | → 0, chỉ ra rằng mỗi nửa chuẩn là liên tục. Nếu số lượng các nửa chuẩn là hữu hạn, chúng ta có thể bổ sung chúng để thu được một chuẩn sinh ra cùng một tôpô. Nếu số lượng các nửa chuẩn là đếm được, chúng ta có thể xác định một metric d(x, y) = X 2−n n ||x − y||n , 1 + ||x − y||n bởi vậy tôpô là metric hóa được. Các ví dụ: (1) Trên Rn hoặc Cn chúng ta có thể đưa vào chuẩn lp , 1 ≤ p ≤ ∞, hoặc lp chuẩn có trọng số với trọng số dương nào đó. Tất cả các chuẩn này là tương đương (thực vậy, trong không gian hữu hạn chiều thì mọi chuẩn là tương 10 đương), và sinh ra cùng một tôpô Banach. Chỉ với p = 2 thì nó là không gian Hillbert. (2) Nếu Ω là một tập con của Rn (hay, tổng quát hơn, một không gian Hausdorff bất kỳ) chúng ta có thể xác định không gian Cb (Ω) gồm các hàm liên tục và bị chặn với chuẩn sup. Đó là một không gian Banach. Nếu X là compact thì đó chỉ là không gian C(Ω) gồm các hàm liên tục trên Ω. (3) Để đơn giản hơn, xét khoảng đơn vị, và xác định C n ([0, 1]) và C n,α ([0, 1]), n ∈ N, α ∈ (0, 1]. Cả hai đều là các không gian Banach với các chuẩn tự nhiên. C 0,1 là không gian các hàm Lipschitz. C([0, 1]) ⊂ C 0,α ⊂ C 0,β ⊂ C 1 ([0, 1]) nếu 0 < α ≤ β ≤ 1. (4) Với 1 ≤ p < ∞ và Ω là một không gian con đóng hoặc mở của Rn (hay, tổng quát hơn, một không gian đo σ - hữu hạn), chúng ta có không gian Lp (Ω) gồm các lớp tương đương của các hàm đo được khả tích bậc p (sự tương đương là bằng nhau ngoài một tập có độ đo 0), và với p = ∞ thì đó là các lớp tương đương của các hàm bị chặn cốt yếu (bị chặn sau khi điều chỉnh trên một tập có độ đo không). Với 1 < p < ∞, bất đẳng thức tam giác là không hiển nhiên, đó là bất đẳng thức Minkowski. Do chúng ta lấy thương các hàm với Lp - nửa chuẩn 0, đó là một không gian tuyến tính định chuẩn, và định lý Reisz-Fischer khẳng định rằng nó là một không gian Banach. L2 là một không gian Hillbert. Nếu meas(Ω) < ∞, thì Lp (Ω) ⊂ Lq (Ω) nếu 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞. (5) Không gian các dãy lp , 1 ≤ p ≤ ∞ là một ví dụ của (4) trong trường hợp không gian đo là N với độ đo đếm. Mỗi một không gian trong số đó là một không gian Banach, l2 là một không gian Hillbert. lp ⊂ lq nếu 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ (chú ý rằng bất đẳng thức là đảo ngược so với ví dụ trên). Không gian con c0 gồm các hàm tiến về 0 là một không gian con đóng của l∞ . (6) Nếu Ω là một tập mở trong Rn (hay là một không gian Hausdorff bất kỳ), chúng ta có thể trang bị cho C(Ω) các chuẩn f 7−→ |f (x)| được đánh chỉ số bởi x ∈ Ω. Điều này làm cho C(Ω) là một TVS, với tôpô hội tụ điểm. Không gian này không đầy đủ (hội tụ điểm của các hàm liên tục có thể không liên tục). (7) Nếu Ω là một tập mở trong Rn chúng ta có thể trang bị cho C(Ω) các chuẩn f 7−→ ||f ||L∞ (K) được đánh chỉ số bằng các tập con compact của Ω, do vậy xác định tôpô của sự hội tụ đều trên các tập con compact. Chúng ta có thể 11 có được cùng tôpô như trên bằng cách sử dụng lượng đếm được các tập compact Kn = {x ∈ Ω : |x| ≤ n, dist(x, ∂Ω) ≥ 1/n}. Tôpô này là đầy đủ. (8) Trong ví dụ trên, nếu Ω là một miền trong C, ta lấy các hàm nhận giá trị phức, chúng ta có thể xét không gian H(Ω) gồm các hàm chỉnh hình (giải tích). Theo định lý Weierstrass, nó là một không gian con đóng, và vì vậy nó là một TVS đầy đủ. (9) Nếu f, g ∈ L1 (I), I = (0, 1) và Z 1 Z f (x)φ(x)dx = − 0 1 g(x)φ0 (x)dx, 0 với tất cả các hàm khả vi vô hạn φ có giá chứa trong I (vì vậy φ là đồng nhất với 0 ở gần 0 và 1), khi đó chúng ta nói rằng f là khả vi yếu và f 0 = g. Do đó chúng ta có thể xác định không gian Sobolev Wp1 (I) = {f ∈ Lp (I) : f 0 ∈ Lp (I)}, với chuẩn Z ||f ||Wp1 (I) = 1 |f (x)|p dx + 0 Z 1 1/p . |f 0 (x)|p dx 0 Đây là một không gian lớn hơn C 1 (I), nhưng vẫn kết hợp chặt chẽ với tính khả vi bậc một của f . Trường hợp p = 2 là trường hợp đặc biệt hữu ích, bởi vì nó cho phép chúng ta xử lý tính khả vi trong ngữ cảnh của một không gian Hillbert. Các không gian Sobolev có thể được mở rộng để đo bậc khả vi bất kỳ (thậm chí là phân đoạn), và có thể được xác định trên các miền bất kỳ của Rn . 1.1.2. Các không gian con và các không gian thương Nếu X là một không gian vectơ và S là một không gian con của nó, chúng ta có thể xác định không gian vectơ X/S gồm các lớp. Nếu X là định chuẩn, chúng ta có thể xác định ||u||X/S = inf ||x||X , hay tương đương với ||x||X/S = inf ||x − s||X . x∈u s∈S Đây là một nửa chuẩn, và nó sẽ là một chuẩn nếu và chỉ nếu S là đóng. Định lý 1.1. Nếu X là một không gian Banach và S là một không gian con đóng của X thì S là một không gian Banach và X/S cũng là một không gian Banach. 12 Chứng minh tóm tắt. Giả sử rằng xn là một dãy các phần tử của X sao cho các lớp xn là Cauchy. Chúng ta có thể lấy một dãy con sao cho ||xn − xn+1 ||X/S ≤ 2−n−1 , n = 1, 2, ... Đặt s1 = 0, xác định s2 ∈ S sao cho ||x1 − (x2 + s2 )||X ≤ 1 , 2 xác định s3 ∈ S sao cho ||(x2 + s2 ) − (x3 + s3 )||X ≤ 1 , ... 4 Khi đó {xn + sn } là dãy Cauchy trên X. . Điều ngược lại cũng đúng. Định lý 1.2. Nếu X là một không gian tuyến tính định chuẩn và S là một không gian con đóng của X sao cho S là một không gian Banach và X/S là một không gian Banach, khi đó X là một không gian Banach. Các không gian con hữu hạn chiều luôn đóng (chúng là đầy đủ). Tổng quát hơn: Định lý 1.3. Nếu S là một không gian con đóng của một không gian Banach và V là một không gian con hữu hạn chiều, thì S + V là đóng. Chứng minh tóm tắt. Trường hợp V là không gian 1 - chiều và V ∩ S = 0, ta có thể chứng minh dễ dàng. Chúng ta thấy rằng S + V là một tổng trực tiếp và do vậy chúng ta chỉ cần chứng minh rằng các phép chiếu S + V → S và S + V → V là liên tục (vì khi đó một dãy Cauchy trong S + V sẽ dẫn đến một dãy Cauchy trên từng không gian con đóng đó, và vì vậy có một dãy con hội tụ). Phép chiếu π : X → X/S hạn chế tới một ánh xạ 1-1 trên V vì vậy là một đẳng cấu của V lên ảnh V của nó. Cho µ : V → V là liên tục ngược. Do π(S + V ) ⊂ V , chúng ta có thể thành lập phép hợp thành µ...π|S+V : S + V → V và nó là liên tục. Nhưng nó chỉ là phép chiếu lên V . Phép chiếu lên S là id − µ...π, vì vậy nó cũng liên tục.  Chú ý 1.4. Tổng của các không gian con đóng của một không gian Banach không nhất thiết là đóng. Xét một phản ví dụ (trong một không gian Hillbert 13 tách được), cho S1 là một không gian vectơ gồm tất cả các dãy số thực (xn )∞ n=1 với xn = 0 nếu n lẻ, và S2 gồm các dãy thỏa mãn x2n = nx2n−1 , n = 1, 2, ... Rõ ràng X1 = l2 ∩ S1 và X2 = l2 ∩ S2 là các không gian con đóng của l2 , không gian các dãy bình phương khả tích (chúng được xác định như là giao của các không gian trống của các hàm tuyến tính liên tục). Hiển nhiên là mọi dãy đều có thể được viết một cách duy nhất dưới dạng tổng của các phần tử thuộc S1 và S2 : (x1 , x2 , ...) = (0, x2 − x1 , 0, x4 − 2x3 , 0, x6 − 3x5 , ...) + (x1 , x1 , x3 , 2x3 , x5 , 3x5 , ...). Nếu một dãy vô hạn nhưng có hữu hạn phần tử bằng 0 thì chúng ta có hai số hạng trên. Do vậy tất cả các dãy như vậy thuộc vào X1 + X2 , điều này chỉ ra rằng X1 + X2 trù mật trong l2 . Bây giờ xét dãy (1, 0, 1/2, 0, 1/3, ...) ∈ l2 . Đó chỉ là sự phân tích như là các phần tử của S1 và S2 (1, 0, 1/2, 0, 1/3, 0, ...) = (0, −1, 0, −1, 0, −1, ...) + (1, 1, 1/2, 1, 1/3, 1, ...) và do vậy nó không thuộc vào X1 + X2 . Do vậy X1 + X2 không đóng trong l2 . 1.1.3. Các tính chất cơ bản của không gian Hillbert Một tính chất cốt yếu của không gian Hillbert là khoảng cách từ một điểm đến một tập lồi đóng là luôn xác định. Định lý 1.5. Định lý về phép chiếu Giả sử X là một không gian Hillbert, K là một tập con lồi đóng, và x ∈ X. Khi đó tồn tại duy nhất một x ∈ K sao cho ||x − x|| = inf ||x − y||. y∈K Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng x = 0, và vì vậy chúng ta phải chỉ ra rằng có duy nhất một phần tử thuộc K có chuẩn bé nhất. Cho d = inf y∈K ||y|| và chọn xn ∈ K sao cho ||xn || → d. Khi đó quy tắc hình bình hành dẫn đến xn − xm 2 xn + xm 2 1 1 2 2 = ||xn || + ||xm || − ≤ 1 ||xn ||2 + 1 ||xm ||2 − d2 , 2 2 2 2 2 2 14 ở đây chúng ta đã sử dụng tính lồi để suy ra rằng (xn + xm )/2 ∈ K. Do vậy xn là một dãy Cauchy và vì vậy có một giới hạn x, giới hạn này phải thuộc K do K đóng. Do chuẩn là liên tục, ||x|| = limn ||xn || = d. Để chứng minh tính duy nhất, chú ý rằng nếu ||x|| = ||e x|| = d thì ||(x + x e)/2|| = d và từ quy tắc hình bình hành dẫn đến ||x − x e||2 = 2||x||2 + 2||e x||2 − ||x + x e||2 = 2d2 + 2d2 − 4d2 = 0. Phần tử duy nhất gần x nhất trong K thường được ký hiệu bởi PK x, và được xem như là hình chiếu của x lên K. Nó thỏa mãn PK ...PK = PK , định nghĩa của một phép chiếu. Thuật ngữ đặc biệt được sử dụng khi mà K là một không gian con đóng tuyến tính của X, trong trường hợp đó PK là một toán tử chiếu tuyến tính. Phép chiếu và tính trực giao. Nếu S là một tập con bất kỳ của không gian Hillbert X, cho S ⊥ = {x ∈ X :< x, s >= 0 với tất cả s ∈ S}. Khi đó S ⊥ là một không gian con đóng của X. Hiển nhiên là chúng ta có S ∩ S ⊥ = 0 và S ⊂ S ⊥⊥ . Khẳng định: Nếu S là một không gian con đóng của X, x ∈ X, và PS x là hình chiếu của x lên S, khi đó x − PS x ∈ S ⊥ . Thực vậy, nếu s ∈ S là tùy ý và t ∈ R, thì ||x − PS x||2 ≤ ||x − PS x − ts||2 = ||x − PS x||2 − 2t(x − PS x, s) + t2 ||s||2 , vì vậy đa thức bậc hai bên vế phải đạt giá trị nhỏ nhất khi t = 0. Đặt đạo hàm tại đó bằng 0 dẫn đến (x − PS x, s) = 0. Do vậy với bất kỳ x ∈ X chúng ta có thể viết như là s + s⊥ với s ∈ S và s⊥ ∈ S ⊥ (tức là s = PS x, s⊥ = x−PS x). Sự phân tích này hiển nhiên là duy nhất (nếu s + s⊥ là phân tích thứ hai thì chúng ta có s − s = s⊥ − s⊥ ∈ S ∩ S ⊥ = 0). Rõ ràng chúng ta có ||x||2 = ||s||2 + ||s⊥ ||2 . Một hệ quả trực tiếp là S ⊥⊥ = S với S là một không gian con đóng, vì nếu x ∈ S ⊥⊥ chúng ta có thể viết nó như là s + s⊥ , vì s⊥ ∈ S ⊥ ∩ S ⊥⊥ = 0, tức là 15 x ∈ S. Do vậy chúng ta thấy rằng sự phân tích x = (I − PS )x + PS x là sự phân tích (duy nhất) x thành tổng của các phần tử thuộc S ⊥ và S ⊥⊥ . Do vậy PS ⊥ = I − PS . Với bất kỳ tập con S của X, S ⊥⊥ là không gian con đóng nhỏ nhất chứa S. Các tập trực chuẩn và cơ sở trong không gian Hillbert. Cho e1 , e2 , ..., eN là các phần tử trực chuẩn của một không gian Hillbert X, và S là một mở rộng của chúng (họ các tổ hợp tuyến tính của các phần P P tử trên). Khi đó n < x, en > en ∈ S và x − n < x, en > en ⊥ S, vì vậy P n < x, en > en = PS x. Nhưng 2 N X X < x, en > en = < x, en >2 , n n=1 vì vậy N X < x, en >2 ≤ ||x||2 (Bất đẳng thức Bessel.) n=1 Bây giờ cho E là một tập trực chuẩn với lực lượng tùy ý. Từ bất đẳng thức Bessel thấy rằng với ε > 0 và x ∈ X, {e ∈ E :< x, e >≥ ε} là hữu hạn, và vì vậy {e ∈ E :< x, e >> 0} là đếm được. Do vậy chúng ta có thể mở rộng bất đẳng thức Bessel cho một tập trực chuẩn bất kỳ: X < x, e >2 ≤ ||x||2 , e∈E ở đây tổng là tổng đếm được của các số hạng dương. Điều này hữu ích trong việc mở rộng tổng trên các tập có lực lượng bất kỳ. Nếu E là một tập bất kỳ và f : E → X là một hàm ánh xạ vào một không gian Hillbert (hay một không gian tuyến tính định chuẩn hay thậm chí là một TVS), chúng ta nói X f (e) = x (*) e∈E nếu lưới P e∈F f (e), được đánh chỉ số bởi các tập con hữu hạn F của E, hội tụ tới x. Nói một cách khác, (*) đúng nếu với mọi lân cận U của gốc tọa độ, có P một tập con hữu hạn F0 ⊂ E sao cho x − e∈F f (e) ∈ U nếu F là một tập con 16 hữu hạn của E chứa F0 . Trong trường hợp E = N, điều này tương đương với sự P hội tụ tuyệt đối của một chuỗi. Chú ý rằng nếu e∈E f (e) hội tụ, thì với mọi ε tồn tại một tập hữu hạn F0 sao cho nếu F1 và F2 là các tập con hữu hạn của F0 , thì X X f (e) ≤ ε. f (e) − e∈F1 e∈F2 Điều này cho thấy mỗi tập {e ∈ E : ||f (e)|| ≥ 1/n} là hữu hạn, và vì vậy, f (e) = 0 với tất cả lượng e ∈ E đếm được. Bổ đề 1.6. Nếu E là một tập con trực chuẩn của một không gian Hillbert X P và x ∈ X, thì e∈E < x, e > e hội tụ. Chứng minh. Chúng ta có thể sắp thứ tự các phần tử e1 , e2 , ... của E với < x, e >6= 0. Chú ý rằng 2 N N X X < x, en > en = | < x, en > |2 ≤ ||x||2 . n=1 n=1 Điều này chỉ ra rằng các tổng riêng sN = PN < x, en > en tạo thành một P∞ dãy Cauchy, và vì vậy hội tụ đến một phần tử n=1 < x, en > en của X. Như n=1 là một bài tập áp dụng định nghĩa, chúng ta chỉ ra rằng X < x, e > e = ∞ X < x, en > en . n=1 e∈E Cho trước ε > 0, chọn N đủ lớn sao cho ∞ X | < x, en > |2 < ε. n=N +1 Nếu M > N và F là một tập con hữu hạn của E chứa e1 , ..., eN , khi đó M 2 X X < x, en > en − < x, e > e ≤ ε. n=1 e∈F Cho M tiến ra vô cùng, ∞ 2 X X < x, en > en − < x, e > e ≤ ε, n=1 e∈F ta có điều phải chứng minh. 17 Ta nhắc lại chứng minh rằng mọi không gian vectơ đều có một cơ sở. Chúng ta xét tập tất cả các tập con độc lập tuyến tính của không gian vectơ được sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm thức, và chú ý rằng nếu chúng ta có một tập con hoàn toàn sắp thứ tự của tập này, thì khi đó hợp sẽ là một tập con độc lập tuyến tính chứa tất cả các phần tử của nó. Sau đó áp dụng Bổ đề Zorn ta thấy rằng có một tập độc lập tuyến tính cực đại. Từ tính cực đại suy ra rằng tập này cũng mở rộng, tức là, nó là một cơ sở. Trong không gian tích trong chúng ta có thể sử dụng lập luận tương tự để chứng minh sự tồn tại của một cơ sở trực chuẩn. Thực tế là, trong khi các cơ sở tồn tại đối với mọi không gian vectơ, với các không gian vô hạn chiều các cơ sở rất khó hay không thể xây dựng và hầu như không bao giờ được sử dụng. Một khái niệm khác của cơ sở hữu ích hơn nhiều, tức là ta có thể dùng tôpô để cho phép (chấp nhận) các tổ hợp tuyến tính vô hạn. Để phân biệt các cơ sở thông thường từ khái niệm này, một cơ sở thông thường được gọi là cơ sở Hamel. Ở đây chúng ta mô tả một cơ sở trực chuẩn của không gian Hillbert. Theo định nghĩa, đó là một tập trực chuẩn cực đại. Theo Bổ đề Zorn, một tập trực chuẩn bất kỳ trong một không gian Hillbert có thể được mở rộng thành một cơ sở, và vì vậy các cơ sở trực chuẩn tồn tại. Nếu E là một cơ sở trực chuẩn như vậy, và x ∈ X, thì x= X < x, e > e. e∈E Thực vậy, chúng ta biết rằng tổng bên vế phải tồn tại trong X và dễ dàng kiểm tra rằng với bất kỳ e0 ∈ E tích trong của nó là < x, e0 >. Do vậy y := P x − e∈E < x, e > e là trực chuẩn với E, và nếu nó khác 0, thì chúng ta có thể thêm y/||y|| vào E để thu được tập trực chuẩn lớn hơn. Do vậy chúng ta đã chỉ ra rằng một phần tử x ∈ X bất kỳ có thể được biểu P diễn như là ce e với ce ∈ R, nhưng có nhiều phần tử 0. Dễ dàng để chỉ ra rằng P 2 các ce xác định duy nhất, cụ thể là ce =< x, e > và ||x||2 = ce . Khái niệm cơ sở trực chuẩn cho phép chúng ta xác định chiều của một không gian Hillbert, đó chính là lực lượng của một cơ sở trực chuẩn bất kỳ. Để thấy định nghĩa này là tốt, chúng ta cần kiểm tra rằng hai cơ sở bất kỳ phải có cùng lực lượng. Nếu một trong hai là hữu hạn thì điều này là tầm thường. Ngoài ra, cho E và F là hai cơ sở trực chuẩn vô hạn. Với mỗi 0 6= x ∈ X, tích trong 18
- Xem thêm -