Tài liệu Về một số bất đẳng thức đối với hàm lồi tổng quát và áp dụng

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẨN THỊ TUYẾT LAN VÊ MỘT SÔ BAT ĐĂNG THỨC ĐÔI VỚI HÀM LỒI TỔNG QUÁT VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Đinh - 2020 TRẨN THỊ TUYẾT LAN VÊ MỘT SÔ BAT ĐĂNG THỨC ĐÔI VỚI HÀM LỒI TỔNG QUÁT VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8460102 Người hướng dẫn PGS. TS. ĐINH THANH ĐỨC Mục lục MỞ ĐẦU 1 1 4 HÀM LỒI 1.1 Định nghĩa......................................................................................... 4 1.2 Các tính chất ..................................................................................... 7 2 HÀM LỒI TỔNG QUÁT 16 2.1 Hàm J-lồi tổng quát......................................................................... 16 2.1.1 Định nghĩa........................................................................... 16 2.1.2 Một số bất đẳng thức của hàm J-lồi tổng quát ... 18 2.2 Hàm lồi tổng quát............................................................................ 22 2.2.1 Giới thiệu và một vài kết quả...............................................22 2.2.2 Các đặc trưng của hàm lồi tổng quát...................................25 2.2.3 Đạo hàm của hàm lồi tổng quát ..........................................28 3 MỘT SỐ 3.1 3.2 3.3 3.4 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ÁP DỤNG 31 Giới thiệu lịch sử củanguyên lý trội..............................................31 Bất đẳng thức giao hoán...............................................................34 Một số kết quả khác.........................................................................37 Áp dụng............................................................................................40 3.4.1 Bất đẳng thức mở rộng của Lim..............................................40 3.4.2 Bất đẳng thức mở rộng của Petrovic...................................42 3.4.3 Một bất đẳng thức của hàm lồi tổng quát............................43 3.4.4 Bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard..........................44 3.4.5 Bất đẳng thức liên hệ giữa hàm lồi và hàm lồi tổng quát ..................................................................................... 47 3.4.6 Bất đẳng thức trung bình..................................................48 KẾT LUẬN DANH MỤC 51 TÀI LIÊU THAM KHẢO 52 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài Về một số bất đẳng thức về hàm lồi tổng quát và áp dụng là công trình nghiên cứu khoa học của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Đinh Thanh Đức, nội dung không sao chép của bất kỳ ai và chưa từng được công bố dưới bất kì hình thức nào, các kết quả không phải của riêng tôi đều được trích dẫn nguồn gốc rõ ràng. Bình Định, ngày tháng năm 2020 Học viên thực hiện đề tài Trần Thị Tuyết Lan 1 MỞ ĐẦU Các hàm lồi ([1], [3]) có nhiều tính chất đáng chú ý và được sử dụng rộng rãi trong nhiều lý thuyết và ứng dụng thực tiễn, đặc biệt trong giải tích lồi và tối ưu hoá. Các bất đẳng thức đối với hàm lồi tổng quát ([10]) là một chủ đề hấp dẫn với nhiều kết quả phong phú và luôn thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu. Trong những năm gần đây, nhiều công trình nghiên cứu và ứng dụng cũng như những hướng đi mới để tiếp cận các bất đẳng thức đối với hàm lồi tổng quát và áp dụng đã được các nhà toán học tìm hiểu và phát triển. Để có một cái nhìn chi tiết hơn và tổng kết những kết quả đạt được cho các bất đẳng thức đối với hàm lồi tổng quát cũng như áp dụng của nó trong việc giải bài toán có liên quan, tôi chọn đề tài “Về một số bất đẳng thức đối với hàm lồi tổng quát và áp dụng”. Hàm lồi tổng quát ([10]) có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu về toán lý thuyết và toán ứng dụng. Đặc biệt các bất đẳng thức đối với hàm lồi tổng quát có nhiều tính chất đặc biệt trong ứng dụng thực tiễn. Hàm lồi ra đời vào cuối thế kỷ thứ 19. Những người đặt nền móng đầu tiên cho hàm lồi có thể kể đến là O. Holder (1889), O. Stolz (1893) và J. Hadamard (1893). Vào đầu thế kỉ 20, Jensen lần đầu tiên nhận thấy tầm quan trọng và nghiên cứu một cách có hệ thống về hàm lồi. 2 Sau đó, hàm lồi cũng như bất đẳng thức đối với hàm lồi tổng quát nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu và đã phát triển mạnh mẽ, trở thành một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích toán học. Trong luận văn này, ta sẽ tổng kết một số kết quả đáng lưu ý về một số bất đẳng thức đối với hàm lồi tổng quát và áp dụng. Trình bày một cách có hệ thống, chi tiết các kiến thức về một số bất đẳng thức đối với hàm lồi tổng quát và áp dụng từ việc nêu định lý, chứng minh định lý và áp dụng. Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận, và Tài liệu tham khảo. Nội dung của luận văn gồm ba chương. Chương 1: Hàm lồi Chương này trình bày về định nghĩa hàm lồi, hàm lõm, ví dụ và một số tính chất cơ bản của hàm lồi. Chương 2: Hàm lồi tổng quát Chương này trình bày định nghĩa, tính chất, định lý của hàm J-lồi, hàm Jlồi tổng quát và sau đó chúng tôi giới thiệu định nghĩa và tính chất, định lý đối với hàm lồi tổng quát. Chương 3: Một số bất đẳng thức và áp dụng Chương này trình bày nguyên lý trội, bất đẳng thức giao hoán, một số bất đẳng thức khác được suy ra từ nguyên lý trội và bất đẳng thức giao hoán, cuối cùng là một số áp dụng của bất đẳng thức đối với hàm lồi tổng quát. Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của thầy hướng dẫn PGS. TS. Đinh Thanh Đức, Trường Đại học Quy Nhơn. Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán cùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Toán giải tích khóa 21 đã 3 giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến người thân, bạn bè đã luôn giúp đỡ động viên để tôi hoàn thành khóa học và luận văn này. Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng hết sức của bản thân, nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được những góp ý của quý thầy cô giáo để luận văn được hoàn thiện hơn. Chương 1 HÀM LỒI Hàm lồi có nhiều tính chất đặc biệt, thực sự cơ bản nhưng hữu ích, đáng chú ý và được sử dụng nhiều trong lý thuyết và ứng dụng thực tiễn, đặc biệt trong giải tích lồi và tối ưu hóa. Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày về định nghĩa hàm lồi, lõm, ý nghĩa hình học, một số ví dụ về hàm lồi, lõm và sau đó trình bày một số tính chất thú vị của chúng. Các kiến thức của chương này chủ yếu tham khảo trong các tài liệu các tài liệu [1], [3], [6]. 1.1 Định nghĩa Cho I c R là một khoảng (khoảng mở hoặc khoảng đóng hoặc nửa khoảng). Định nghĩa 1.1.1 (Hàm lồi và hàm lõm). Một hàm f : I R được gọi là (i) lồi nếu với mọi a, b E I, t E [0,1] ta có f ((1 - t)a + tb) < (1 - t)f (a) + tf (b). (1.1) (ii) lồi ngặt nếu với mọi a, b E I, a = b, t E [0,1] ta có f((1-t)a+tb) <(1-t)f(a)+tf(b). (1.2) (iii) lõm nếu — f là hàm lồi, nghĩa là f((1 — t)a + tb) > (1 — t)f(a) + tf(b). (1.3) Nhận xét 1.1.2 (Ý nghĩa hình học của hàm lồi). Từ định nghĩa của hàm lồi và hàm lõm, ta rút ra ý nghĩa hình học của chúng như sau: - Cho f là một hàm lồi, khi đó đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc đồ thị hàm số f (x) thì không nằm phía dưới đồ thị f (x). - Cho f là một hàm lõm, khi đó đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc đồ thị hàm số f (x) thì không nằm phía trên đồ thị f (x). Thật vậy, hàm F(t) = (1 — t)f (a) + tf (b) với t E [0,1] là hàm số của đoạn thẳng nối hai điểm (a, f (a)) và (b, f (b)). Từ Định nghĩa 1.1.1, ta suy ra F(t) > f((1—t)a+tb) với mọi t E [0,1]. Do đó, đoạn thẳng F luôn ở phía trên hoặc trùng đồ thị f trên [a, b]. Nhận xét 1.1.3. Nếu hàm số f xác định trên R thì có thể f lồi trên khoảng này nhưng lõm trên khoảng khác. Chẳng hạn, hàm số f (x) = sin(x) lồi trên khoảng (n; 2n) nhưng lõm trên khoảng (0; n). Chính vì vậy người ta thường xét tính lồi, lõm của hàm số trên một khoảng I c R. Ví dụ 1.1.4. Sau đây là một số ví dụ cơ bản về hàm lồi: Ví dụ 1.1.5. Sau đây là một số ví dụ cơ bản về hàm lõm: Sau khi định nghĩa hàm lồi trên một khoảng, chúng tôi sẽ xem xét một số tính chất cơ bản của nó. 1.2 Các tính chất Trước tiên, chúng tôi xem xét một tính chất quan trọng của hàm lồi được suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Tính chất này sẽ được dùng trong các mệnh đề tiếp theo. Mệnh đề 1.2.1. Nếu f : I R là một hàm lồi thì với mọi a,b,c E I, a < b < c, ta có f (b) - f (a) < f (c) - f (a) < f (c) - f (b) b—a 0 sao cho (x - ỗ,x + ổ) c intl. Từ (1.4), cho a = x - ỗ, c = x, b = y E (x - ỗ, x), thay vào bất đẳng thức thứ hai của (1.4) ta được f (x) - f (x - ỗ) ỗ < f (x) - f (y) x -y Tương tự, thay a = x, c = x + ỗ, b = y E (x, x + ỗ) vào bất đẳng thức thứ nhất của (1.4) ta được f (x) - f ( y) < f (x +ỗ) - f (x) x-y ỗ Từ đó, với bất kỳ y E (x — ỗ,x + ổ), ta có f (x) - f (y) < K với K E R . x— y + ( ) f (y) bị chặn trên và bị chặn dưới. Vì vậy, cố định e > 0 và Suy ra fx — y chọn ỗ = thì |x — y| < e. Vậy f liên tục tại mọi x E intl. Mệnh đề 1.2.3. Nếu f : I — R là hàm lồi thì đạo hàm trái f'_ và đạo hàm phải f+ tồn tại trên intl và f_ (x) < f+ (x) với mọi x E intl. Hơn nữa, f+ và f'_ là tăng trên intl. Chứng minh. Ta cần xác định đạo hàm trái và phải của f tại x = b với bất kỳ b E intl. Từ (1.4) ta có f (b) — f (a) < f (c) — f (a) ba ca f(b — (a) f(c — (a) fị(a) < ) f < ) f < f (c) f (b) — f(a) < f (c) — f(b) a——b lim ba c— b r/X P/7X suy ra giới hạn trên tồn tại và (b) < — ------7- - -. Tương tự, ta cũng c— b chứng minh được đạo hàm phải của f tại b tồn tại và fị (b) > f ( ) f ( ) Từ đó cb suy ra f— (b) < f+ (b) với bất kỳ b E intl. — — Mặt khác, nếu a < b < c E intl, ta có ba + ca Vì vậy, với bất kỳ x < y E intl, ta có f— (x) < fị(x) < f— (y) < fị(y). Vậy f—, f+ là tăng trên intl. - Nhận xét 1.2.4. Tính lồi kéo theo khả vi tại mọi điểm trong intl, chúng ta chỉ chứng minh được đạo hàm trái và phải tồn tại trong Mệnh đề 1.2.3, nhưng chúng không nhất thiết bằng nhau. Ví dụ 1.2.5. Xét hàm lồi f (x) = |x| trên R. Tại mọi điểm thuộc R, đạo hàm trái và phải của f tồn tại. Tuy nhiên, đạo hàm trái và phải của f không bằng nhau tại x = 0, nhưng chúng bằng nhau tại mọi điểm khác. Vì vậy f khả vi mọi nơi trừ gốc tọa độ. Định nghĩa 1.2.6. Một hàm f : X Y, trong đó X, Y c R, được gọi là Lipschitz nếu tồn tại một hằng số K G R sao cho với mọi x,y G X, |f(x) - f(y)| < K|x -y|. Nhận xét 1.2.7. Các hàm Lipschitz là liên tục tuyệt đối và liên tục đều. Mệnh đề 1.2.8. Nếu f : I R là hàm lồi thì f Lipschitz trên bất kỳ khoảng con compact chứa trong intl. Chứng minh. Cho [a, b] c intl bất kỳ. Chọn x,y E [a,b] sao cho x < y. Khi đó, đạo hàm trái và phải của f tại x, y, a, b tồn tại trên intl. Vì đạo hàm trái và phải của f là đơn điệu nên f+ (a) < f+ (x) < f (xx _ f(y) < f-(y) < f_(b). x-y Đặt K := max {\f+ (a)\ , \f_ (b) |}. Khi đó với bất kỳ x,y E [a, b], ta suy ra f (x) f (y) 0 trên intl vì f (x) là hàm tăng. z Ngược lại, giả sử f là hàm khả vi cấp hai sao cho f"(x) > 0 với mọi x E intl. Khi đó, từ Định lý Taylor, với bất kỳ y E intl ta có f (x) = f (y) + f (y)(x - y) +1 / r(Ệ)(x - y) 2 với x < < < y. Do đó, ta có f(x) - f( ) y > f (y)(x - y). / (1-8) Xét x = a < y = b < c sao cho b = (1 — t)a + tc, t E [0,1], thay vào bất đẳng thức (1.8) ta được f (a) — f (b) > tf (b)(a — c). (1.9) / Tương tự, xét a < y = b < x = c sao cho b = (1 — t)a + tc, t E [0,1], thay vào bất đẳng thức (1.8) ta được f(c) — f(b) > (1 — t)ff(b)(c — a). (1 10) . Nhân bất đẳng thức (1.9) và (1.10) lần lượt với 1 — t và t, sau đó cộng chúng lại ta được f (b) < (1 — t)f (a) + tf (c) trong đó b = (1 — t)a+tc, với mọi t E [0,1]. Vậy f là hàm lồi trên intl. □ Định nghĩa 1.2.12 (Dưới vi phân). Cho hàm f : I R, ta nói rằng f nhận một đường hỗ trợ (support line) tại x E I nếu tồn tại A E R sao cho f (y) > f (x) + A(y — x) với mọi y E I. (1.11) Ký hiệu df (x) là tập tất cả các A thỏa mãn (1.11). df (x) được gọi là dưới vi phân của f tại x. Về mặt hình học, dưới vi phân cho chúng ta độ dốc của các đường hỗ trợ cho đồ thị của f. Dưới vi phân là tập lồi và có thể rỗng. Bổ đề 1.2.13. Cho f là hàm lồi trên khoảng I. Khi đó df (x) = 0 tại mọi x E intl. Hơn nữa, với mọi hàm p : I R sao cho ^(x) E df (x) với bất kỳ x E intl thì bất đẳng thức sau đúng f (x ) — < ^(x) < f+(x) và do đó p không giảm trên intl. Chứng minh. Với bất kỳ x E intl, xét b E I, b > x. Từ Mệnh đề 1.2.1 ta có được bất đẳng thức sau f+ (x) < . Vì vậy, nếu chọn A < f+ (x), ta suy ra f (x) + A(b — x) < f (b) với mọi b > x. Tương tự, với mọi b E I, b < x ta có f (x ) - f(b) x-b Chọn A > f'_ (x), ta suy ra < f (x). — - f (x) + A(b — x) < f (b) với mọi b < x. Vậy nếu ta chọn bất kỳ A E [f'_ (x), f+ (x)], ta được f (x) + A(b — x) < f (b) với mọi b E I. Từ Mệnh đề 1.2.3, ta có f_(x) < f+ (x) với mọi x E intl, suy ra f(x), f+ (x)] khác rỗng, tức là luôn tồn tại A E [f_(x),f+ (x)] với mọi x E intl. Vậy df (x) = 0 tại mọi x E intl. Hơn nữa, với mọi hàm : I R sao cho ^(x) E df (x) với bất kỳ x E intl thì ^(x) E [f— (x),fị(x)] hay f (x) — < ^(x) < fị(x). Mà theo Mệnh đề 1.2.3, fị và fl là tăng trên intl nên suy ra không giảm trên intl. □ Định lý 1.2.14. Cho f là hàm lồi trên khoảng I và : I R sao cho ^(x) E df (x) với bất kỳ x E intI. Khi đó f (z) = sup {f (x) + (z — xMx)} với mọi z E I. Chứng minh. Với bất kỳ ^>(x) E df (x), Vx E intI, ta có p^(x)(z) = f (x) + (z — xMx) là một đường hỗ trợ của f. Ngoài ra, p^( )(z) nằm dưới đồ thị của f tại z x nên ta có f (z) > p^(x)(z). Từ đó suy ra điều phải chứng minh. □ Tóm lại, trong chương này, chúng tôi đã giới thiệu về hàm lồi, hàm lõm, ví dụ và một số tính chất cơ bản của hàm lồi.