Tài liệu Về một mô hình CSDL quan hệ với thông tin không chắc chắn dạng ngôn ngữ gần tự nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ PHẠM LÊ CƯƠNG VỀ MỘT MÔ HÌNH CSDL QUAN HỆ VỚI THÔNG TIN KHÔNG CHẮC CHẮN DẠNG NGÔN NGỮ GẦN TỰ NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN HÀ NỘI - 2008 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ PHẠM LÊ CƯƠNG VỀ MỘT MÔ HÌNH CSDL QUAN HỆ VỚI THÔNG TIN KHÔNG CHẮC CHẮN DẠNG NGÔN NGỮ GẦN TỰ NHIÊN Mã số : 1.01.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Người hướng dẫn khoa học: PGS,TSKH NGUYỄN CÁT HỔ HÀ NỘI - 2008 3 MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN .......................................................................................................1 LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................2 MỤC LỤC ...................................................................................................................3 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT ...............................................5 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ.....................................................................................6 MỞ ĐẦU .....................................................................................................................7 CHƯƠNG 1 – TỔNG QUAN .....................................................................................9 1.1 Lý thuyết mờ .........................................................................................................9 1.1.1 Tập mờ ...............................................................................................................9 1.1.2 Lôgic mờ ..........................................................................................................10 1.1.3 Hạn chế của việc quản lý và thao tác thông tin mờ biểu thị bằng lý thuyết tập mờ trong CSDL .........................................................................................................11 1.1.4 Giới thiệu đại số gia tử .....................................................................................12 1. 1.4.1 Đại số gia tử .................................................................................................14 1. 1.4.1.1 Những phát biểu cơ bản ............................................................................15 1.1.4.1.2 Các khái niệm và tính tuyến tính ...............................................................15 1.1.4.1.3 Topo và tính trù mật trong ĐSGT ..............................................................17 1.1.4.1.4 Độ đo tính mờ ............................................................................................20 1.1.4.1.5 Hàm định lượng ngữ nghĩa của biến ngôn ngữ ..........................................24 1.1.4.1.6 Sự tương tự tô-pô của dữ liệu định nghĩa bởi ánh xạ định lượng ngữ nghĩa ...................................................................................................................................28 CHƯƠNG 2 – XÂY DỰNG MÔ HÌNH CSDL QUAN HỆ VỚI THÔNG TIN NGÔN NGỮ .............................................................................................................33 2.1 Giới thiệu chung về cơ sở dữ liệu với thông tin ngôn ngữ .................................33 2.2 Quản lý ngữ nghĩa dữ liệu dựa trên ĐSGT .........................................................41 2.3 Phụ thuộc hàm dựa trên độ tương tự trong CSDL ngôn ngữ ..............................46 2.4 Các đặc điểm và tính chất của mô hình mới .......................................................56 CHƯƠNG 3- CÀI ĐẶT MỘT SỐ THỦ TỤC CỦA CSDL NGÔN NGỮ ..............58 3.1 Lập hàm sign .......................................................................................................58 3.2 Lập hàm tính độ đo tính mờ fm ..........................................................................59 3.3 Lập hàm định lượng ngữ nghĩa QSF ...................................................................61 3.4 Lập hàm ánh xạ giá trị các giá trị biến ngôn ngữ sang miền giá trị thực ............62 3.5 Lập hàm xác định lân cận mức k ........................................................................63 3.6 Sửa đổi các thao tác truyền thống trên cơ sở dữ liệu: insert, update, delete, select ...................................................................................................................................63 3.6.1 Thao tác insert ..................................................................................................64 3.6.2 Thao tác update ................................................................................................64 3.6.3 Thao tác delete .................................................................................................64 3.6.4 Thao tác select ..................................................................................................65 3.7 Viết ứng dụng ......................................................................................................65 3.7.1. Các màn hình nhập số liệu ..............................................................................66 4 3.7.2. Các báo cáo chính ...........................................................................................71 KẾT LUẬN ...............................................................................................................74 TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................75 PHỤ LỤC ..................................................................................................................78 5 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT CSDL: Cơ sở dữ liệu ĐSGT: Đại số gia tử 6 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1: Tập mờ và tập rõ ..........................................................................................10 Hình 2: Mô tả cường độ dòng điện ...........................................................................12 Hình 3: Minh họa độ đo tính mờ ...............................................................................23 Hình 4: Một ví dụ về hệ lân cận ................................................................................35 Hình 5: Ví dụ về hệ lân cận .......................................................................................40 7 MỞ ĐẦU Trong những năm gần đây, CSDL mờ đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu và đã có những kết quả đáng kể [1,6,14,15]. Có nhiều cách tiếp cận khác nhau như cách tiếp cận theo lý thuyết tập mờ [2,14], theo lý thuyết khả năng do Prade và Testemale năm 1983, tương tự [11] ...Tất cả các cách tiếp cận trên nhằm mục đích nắm bắt và xử lý một cách thỏa đáng trên một quan điểm nào đó các thông tin không chính xác (Unexact), không chắc chắn (uncertainty) hay những thông tin không đầy đủ (Incomplete). Do sự đa dạng của những loại thông tin này nên chúng ta gặp rất khó khăn trong biểu thị ngữ nghĩa và thao tác với chúng. Trong những năm gần đây đại số gia tử được nhiều tác giả nghiên cứu trong [3,4,5,12,13] và đã có những ứng dụng đáng chú ý, đặc biệt trong lập luận xấp xỉ và trong một số bài toán điều khiển. Vì vậy, mặc dù đã có nhiều kết quả nghiên cứu về CSDL mờ, theo chiều hướng đó cách tiếp cận nghiên cứu CSDL mờ với ngữ nghĩa dựa trên đại số gia tử vẫn có thể được xem là một vấn đề nghiên cứu mới. Khác với CSDL mờ trong đó giá trị ngôn ngữ được xem như là nhãn của tập mờ, theo cách tiếp cận của ĐSGT, các giá trị như vậy được xem chính là các phần tử của đại số gia tử, vì theo cách biểu thị ngữ nghĩa trong ĐSGT, chúng có thể được xem chính là các giá trị ngôn ngữ. Con người thường phải đối mặt với thông tin không chắc chắn và do đó có một nhu cầu tự nhiên đối với việc xây dựng CSDL mờ. Việc quản lý và thao tác thông tin mờ biểu thị bằng lý thuyết tập mờ trong CSDL đã và đang được quan tâm nghiên cứu mạnh mẽ. Tuy nhiên người ta vẫn gặp một số khó khăn trong biểu diễn và quản lý thông tin mờ. Nhiệm vụ của đề tài là nghiên cứu tiếp mô hình CSDL với thông tin được biểu thị bằng ngôn ngữ tự nhiên với ngữ nghĩa dựa trên cấu trúc thứ tự của đại số gia tử và phân tích những ưu điểm của mô hình mới. Nghiên cứu và cài đặt các thủ tục thao 8 tác dữ liệu để bảo đảm tính trọn vẹn dữ liệu đối với mô hình CSDL mới này và chứng tỏ sự thuận tiện và đơn giản của loại mô hình này. 9 CHƯƠNG 1 – TỔNG QUAN 1.1 Lý thuyết mờ 1.1.1 Tập mờ Các tập mờ hay tập hợp mờ (tiếng Anh: Fuzzy set) là một mở rộng của lý thuyết tập hợp kinh điển và được dùng trong lôgic mờ. Trong lý thuyết tập hợp kinh điển, quan hệ thành viên của các phần tử trong một tập hợp được đánh giá theo một điều kiện rõ ràng — một phần tử hoặc thuộc hoặc không thuộc về tập hợp. Ngược lại, lý thuyết tập mờ cho phép đánh giá quan hệ thành viên giữa một phần tử và một tập hợp; quan hệ này được mô tả bằng một hàm thuộc (membership function) . Các tập mờ được coi là một mở rộng của lý thuyết tập hợp kinh điển là vì, với một miền nhất định, một hàm thuộc có thể giữ vai trò của một hàm đặc trưng ánh xạ mỗi phần tử tới một giá trị 0 hoặc 1 như trong khái niệm kinh điển. Định nghĩa 1.1 Một tập hợp mờ trên một tập hợp kinh điển Χ được định nghĩa như sau: Hàm thuộc μA(x) lượng hóa mức độ mà các phần tử x thuộc về tập cơ sở Χ. Nếu hàm cho kết quả 0 đối với một phần tử thì phần tử đó không có trong tập đã cho, kết quả 1 mô tả một thành viên toàn phần của tập hợp. Các giá trị trong khoảng mở từ 0 đến 1 đặc trưng cho các thành viên mờ. 10 Hình 1: Tập mờ và tập rõ Hàm thuộc μA(x) thỏa mãn các điều kiện sau 1.1.2 Lôgic mờ Lôgic mờ (tiếng Anh: Fuzzy logic) được phát triển từ lý thuyết tập mờ để thực hiện lập luận một cách xấp xỉ thay vì lập luận chính xác theo lôgic vị từ kinh điển. Lôgic mờ có thể được coi là mặt ứng dụng của lý thuyết tập mờ để xử lý các giá trị trong thế giới thực cho các bài toán phức tạp (Klir 1997). Người ta hay nhầm lẫn khả năng đúng với xác suất. Tuy nhiên, hai khái niệm này khác hẳn nhau; độ đúng đắn của lôgic mờ biểu diễn độ thuộc với các tập được định nghĩa không rõ ràng, không phải khả năng xảy ra một biến cố hay điều kiện nào đó. Để minh họa sự khác biệt, xét tình huống sau: Bảo đang đứng trong một ngôi nhà có hai phòng thông nhau: phòng bếp và phòng ăn. Trong nhiều trường hợp, trạng thái của Bảo trong tập hợp gồm những thứ "ở trong bếp" hoàn toàn đơn giản: hoặc là anh ta "trong bếp" hoặc "không ở trong bếp". Nhưng nếu Bảo đứng tại cửa nối giữa hai phòng thì sao? Anh ta có thể được coi là "có phần ở trong bếp". Việc định lượng trạng thái "một phần" này cho ra một quan hệ thuộc đối với một tập mờ. Chẳng hạn, nếu Bảo chỉ thò một ngón chân cái vào phòng ăn, ta có thể nói rằng Bảo ở "trong bếp" đến 99% và ở trong phòng ăn 1%. Một khi anh ta còn đứng ở cửa thì 11 không có một biến cố nào (ví dụ một đồng xu được tung lên) quyết định rằng Bảo hoàn toàn "ở trong bếp" hay hoàn toàn "không ở trong bếp". Các tập mờ được đặt cơ sở trên các định nghĩa mờ về các tập hợp chứ không phải dựa trên sự ngẫu nhiên. Lôgic mờ cho phép độ thuộc có giá trị trong khoảng đóng ([0,1]), và ở hình thức ngôn từ, các khái niệm không chính xác như "hơi hơi", "gần như", "khá là" và "rất". Cụ thể, nó cho phép quan hệ thành viên không đầy đủ giữa thành viên và tập hợp. Tính chất này có liên quan đến tập mờ và lý thuyết xác suất. Lôgic mờ đã được đưa ra lần đầu vào năm 1965 bởi GS. Lotfi Zadeh tại Đại học California, Berkeley. 1.1.3 Hạn chế của việc quản lý và thao tác thông tin mờ biểu thị bằng lý thuyết tập mờ trong CSDL Chúng ta có thể nhận thấy việc sử dụng tập mờ và mô hình quan hệ để xử lý thông tin mờ có một số hạn chế nhất định: (i) Với các thuộc tính mà giá trị là dữ liệu kinh điển và dữ liệu mờ, (gọi là các thuộc tính mờ), kiểu dữ liệu không đồng nhất, do đó, việc xử lý dữ liệu gặp nhiều khó khăn. Chẳng hạn, do dữ liệu ngôn ngữ được biểu diễn dưới dạng các tập mờ, nghĩa là được thể hiện bởi các hàm thuộc của U, miền thuộc tính cơ sở, vào khoảng đơn vị [0,1], định nghĩa các quan hệ đối sánh trên các dữ liệu này không phải là một vấn đề giản đơn và có nhiều cách giải quyết khác nhau. Tất nhiên, sự thỏa mãn các mối quan hệ trong trường hợp này được định nghĩa dựa trên logic đa trị thay vì logic hai giá trị. Chúng ta hãy xem xét một thí dụ, thuộc tính AGE (Tuổi) và giả thiết rằng dữ liệu rather young được thể hiện bằng một tập mờ R.young với hàm thuộc R.young. Với trường hợp dữ liệu 34 và rather young, đẳng thức 34 = Rather young có thể được diễn giải là thỏa mãn mức độ chân lý R.young(34). Song có một câu hỏi khó hơn là làm sao ta có thể diễn giải điều kiện thỏa mãn logic của bất đẳng thức Rather young < 34? . Có một cách là diễn giải bất đẳng thức này bằng cách tính tập mức  R.young, của tập mờ R.young và kiểm tra bất đẳng thức R.young, < 34, trong đó bất đẳng thức có nghĩa rằng (u  R.young,)(u < 34). Nếu bất đẳng thức này được thỏa mãn, 12 chúng ta nói rằng mức độ thỏa mãn của bất đẳng thức này là giá trị chân lý của . Như vậy, tùy theo cách diễn giải của người sử dụng, ta cần thiết kế các thủ tục để quản lý dữ liệu có thuộc tính mờ. Hình 2: Mô tả cường độ dòng điện (ii) Việc diễn giải về ngữ nghĩa của dữ liệu ngôn ngữ là một vấn đề cơ bản, tuy nhiên, nó hoàn toàn phụ thuộc vào cách biểu thị quá chủ quan về ngữ nghĩa của ngôn ngữ biểu diễn bằng tập mờ. Điều này có nghĩa là mọi người thường tự thiết kế các tập mờ cho mỗi ứng dụng, trừ khi chọn lựa các giá trị dựa trên ngữ nghĩa trong thực tế. Không có ràng buộc chính thức nào cho thiết kế kiểu này. Ví dụ như, để diễn giải nghĩa của bảy thuật ngữ terms very very small, very small, small, medium, large, very large, very very large nhằm mô tả các giá trị của cường độ dòng điện trong khoảng [0, 10] am-pe, người ta có thể dựng bảy tam giác cân như hình 2. Đó là các tam giác bằng nhau trừ tam giác đầu và cuối, hai tam giác này bằng một nửa các tam giác hoàn chỉnh. Vấn đề dường như rất kỹ thuật và chủ quan, và một câu hỏi phát sinh là vì sao các tam giác bằng nhau và các cạnh đáy của chúng nằm trùng lên nhau đúng một nửa. Điều này có vẻ không phù hợp khi xem xét ngữ nghĩa tự nhiên của các thuật ngữ này. 1.1.4 Giới thiệu đại số gia tử Trong phần này, chúng ta sẽ tiếp cận đại số gia tử về ngữ nghĩa dựa trên quan hệ thứ tự của dữ liệu ngôn ngữ của biến ngôn ngữ để xây dựng mô hình CSDL quan hệ và nghiên cứu các phép thao tác trên các dữ liệu của CSDL với thông tin ngôn ngữ. Trong cách tiếp cận này, miền giá trị của thuộc tính được phép nhận giá trị ngôn 13 ngữ và giả thiết tập các giá trị ngôn ngữ được nhúng vào một đại số gia tử. Ngữ nghĩa của các quan hệ hai ngôi trên mỗi miền giá trị thuộc tính, bao gồm các giá trị kinh điển và các giá trị ngôn ngữ, sẽ được nghiên cứu và trên cơ sở đó các phép toán đại số quan hệ sẽ được định nghĩa phù hợp với ngữ nghĩa mới. Việc tiếp cận dựa trên đại số gia tử chỉ ra rằng mô hình CSDL với thông tin mờ trở nên rõ ràng, nhất quán trong thao tác và thao tác dữ liệu đơn giản hơn. 14 1. 1.4.1 Đại số gia tử Để xây dựng cách tiếp cận đại số gia tử đối với CSDL mờ, trong phần này xin trình bày tổng quan về một số nét cơ bản của đại số gia tử và khả năng biểu thị ngữ nghĩa dựa vào cấu trúc của đại số gia tử. Chúng ta xét miền ngôn ngữ của biến chân lý TRUTH gồm các từ sau: Dom(TRUTH)={true, false, very true, very false, more-or-less true, more-or-less false, possibly true, possibly false, approximately true, approximately false, little true, little false, very possibly true, very possibly false.....}, trong đó true, false là các từ nguyên thuỷ, các từ nhấn (mordifier hay intensifier) very, more-or-less, possibly, approximately true, little gọi là các gia tử (hedges). Khi đó miền ngôn ngữ T=dom(TRUTH) có thể biểu thị như một đại số AH = ( X, C, H,  ), trong đó C là tập các từ nguyên thuỷ được xem là các phần tử sinh. H là tập các gia tử được xem như là các phép toán một ngôi, quan hệ  trên các từ (các khái niệm mờ) là quan hệ thứ tự được "cảm sinh" từ ngữ nghĩa tự nhiên. Ví dụ dựa trên ngữ nghĩa, các quan hệ thứ tự sau là đúng: falsetrue, more truevery true nhưng very false more false, possibly truetrue nhưng falsepossibly false ... . Tập X được sinh ra từ C bởi các phép tính trong H. Như vậy mỗi phần tử của X sẽ có dạng biểu diễn x=hnhn1.......h1c, cC. Tập tất cả các phần tử được sinh ra từ một phần tử x được ký hiệu là H(x). Nếu C có đúng hai từ nguyên thuỷ mờ, thì một được gọi là phần tử sinh dương ký hiệu là c+, một gọi là phần tử sinh âm ký hiệu là c- và ta có c- < c+. Trong ví dụ trên True là dương còn False là âm. Nếu các tập các phép toán (hay gia tử) H+, H và tập C các phần tử sinh là tuyến tính thì tập nền X = H(G) cũng tuyến tính. Tuy nhiên tập H(G) thiếu các phần tử giới hạn, hay nói khác đi nó không đóng đối với phép “lấy giới hạn”. Chính vì thế, đại số gia tử đầy đủ AX = < X, C, H, , ,  > được xây dựng bằng cách bổ sung vào tập X các phần tử giới hạn nhằm làm đẩy đủ miền giá trị của nó. 15 1. 1.4.1.1 Những phát biểu cơ bản Cho X là một tập sắp thứ tự một phần (partially ordered set) và U, V là hai tập con của X. Ta ký hiệu U  V (phát biểu tương ứng cho U < V), nếu (x U)(y  V){x  y} (tương ứng, {x < y}). Xét đại số gia tử đầy đủ AX = < X, G, LH, , ,  >. Giả sử x  X và nếu nó có biểu diễn dưới dạng x = hn... h1u, với u X, thì ta sẽ quy ước sử dụng ký pháp sau: x(i) = hi-1... h1u, 1 i  n, với quy ước khi i = 1 thì h0 = I, phép toán đồng nhất trên X. Định nghĩa 1.1: ĐSGT AX = < X, G, LH, , ,  > được gọi là tự do (hay sinh tự do) nếu với mọi h  LH mọi x  LH(G) ta đều có hx  x. Về trực quan điều này có nghĩa, mỗi gia tử (phép toán) khi tác động vào một phần tử bất kỳ trong LH(G) đều được sinh (một cách tự do) ra phần tử mới. Những kết quả sau đây sẽ được tham chiếu đến trong các chứng minh sau này. Định lý 1.1: Xét ĐSGT AX = (X, G, LH, , , ) là đại số gia tử mở rộng đầy đủ. Với mọi y  LH(x), x  X ta có: i/ y  x ii/ x  H(x)  x. và y  x  Mệnh đề 1.1: Xét ĐSGT mở rộng đầy đủ AX = (X, G, LH, s, , ). Với mọi h  LHic, mọi k  LHci+1, nếu x, x  lim(x) (hay x, x  LH(G)) thì: hx  kx kéo theo hx = kx, hx  kx kéo theo fhx = kx.  Bổ đề 1.1: Với mọi x  H(G), x = supremum{Vno+x: o+  UOS, o+x  x, n = 1, 2, ...} = Vno+x = o+x và x = infimum{Vnox: o  UOS, ox  x, n = 1, 2, ...} = Vnox = ox, lưu ý rằng V là positive đối với cả hai toán tử đơn vị trong UOS và dãy {Vno+x: o+  UOS, o+x x, n = 1, 2, ...} đơn điệu tăng còn dãy {Vnox: o  UOS, ox x, n = 1, 2, ...} đơn điệu giảm.  1.1.4.1.2 Các khái niệm và tính tuyến tính Định nghĩa 1.2. Đại số gia tử (mở rộng) đầy đủ AX = (X, G, H, , , ) được gọi là tuyến tính nếu tập các phần tử sinh G = {0, c, W, c+, 1} và các dàn các gia tử H- = {h-1, ..., h-q}và H+ = {h1,..., hp} là sắp thứ tự tuyến tính, ở đây H = HH+, và 16 giả sử h-1 < h-2 < ... < h-q; h1 < ...< hp. Ký hiệu h0 = I còn Hc mà được hiểu là c  {, +}.  ĐSGT mở rộng đầy đủ với H+ và H là các tập sắp một phần (poset) đã nghiên cứu. Trong trường hợp chúng là tuyến tính thì LH+ = H+ và LH = H. Với giả thiết này ta có kết quả quan trọng và được phát biểu trong bổ đề sau: Bổ đề 1.2. Cho ĐSGT AX = (H(G), G, H, ). Nếu G và H thỏa mãn các giả thiết như trong Định nghĩa 1.2 thì H(G) là tập sắp thứ tự tuyến tính.  Đối với trường hợp ĐSGT đầy đủ và tuyến tính, ta cũng có định lý sau về tính tuyến tính của X. Định lý 1.2. Nếu đại số gia tử mở rộng đầy đủ AX = (X, G, H, , , ) là tuyến tính thì tập nền X cũng là tuyến tính hay sắp toàn phần. Chứng minh: Ta có X = H(G)  Lim(X). Vì theo Bổ đề 1.2, H(G) là tuyến tính, nên ta chỉ cần chứng tỏ với mọi x và y, với ít nhất một trong hai phần tử này thuộc tập Lim(X), chúng đều sánh được với nhau. Trước hết giả sử chỉ một trong hai phần tử x và y, chẳng hạn là y, thuộc Lim(X) và chúng có biểu diễn sau: x = hn ... h1u , y = oy’ với y’ = km ... k1u’. Vì H(G) sắp toàn phần nên x và y’ phải sánh được với nhau và giả định x < y’ (đối với trường hợp ngược lại sẽ được chứng minh tương tự bằng đối ngẫu). Khi đó, nếu u và u’ được sinh từ hai từ nguyên thủy khác nhau thì ta có x  H(c) và y’ H(c+). Suy ra y = oy’  c+  c  x. Nếu cả hai u, u’  H(c), c  {c, c+} và giả sử u = u’, x = hn ... h1u và y’ = km ... k1u với h1  k1. Cũng như trên ta giả định x < y’ và do đó kéo theo h1u < k1u. Lập luận tương tự như trên, ta thu được y = oy’  k1u  h1u  H(h1u). Vậy y > x. Một trong các khả năng khác có thể xảy ra là x = hn ... h1y’. Giả thiết x < y’ sẽ dẫn đến bất đẳng thức h1y’ < y’. Khi đó, y’  y’  H(h1y’)  y’. Vì x  H(h1y’) và vì o  {, }, từ các bất đẳng thức cuối ta suy ra y = oy’ và x luôn sánh được với nhau. Một khả năng còn lại là y’ = km ... k1x. Cũng như trên, giả thiết x < y’ sẽ dẫn đến bất đẳng thức k1x > x và do đó H(k1x) > x. Do H(k1x)  H(y’), nên ta có H(y’) > x. Suy ra, y = oy’  x. Bây giờ ta giả thiết cả hai x và y cùng thuộc Lim(X) và chúng có dạng biểu diễn x = ox’, y = o’y’ và giả sử x’ = hn ... h1u và y’ = km ... k1u’. Vì H(G) sắp toàn phần nên x’ và y’ phải sánh được với nhau và, chẳng hạn, x’ < y’. Do đó, tương tự như 17 trên, nếu u và u’ được sinh ra từ hai từ nguyên thủy khác nhau thì ta phải có x’  H(c) còn y’ H(c+). Suy ra, y = o’y’  c+ = c  ox’ = x. Trường hợp cả hai u, u’  H(c), c  {c, c+} và giả sử u = u’, x’ = hn ... h1u và y’ = km ... k1u, với h1  k1. Cũng như trên ta giả định x’ < y’ và do đó h1u < k1u. Lập luận tương tự như trên, ta thu được y = o’y’  k1u  h1u > ox’ = x. Trường hợp x’ = hn ... h1y’. Giả thiết x’ < y’ sẽ dẫn đến bất đẳng thức h1y’ < y’. Khi đó, y’  y’  H(h1y’)  y’. Do H(x’)  H(h1y’) và o, o’  {, }, ta có thể nhận thấy y = o’y’ và x = ox’ phải sánh được với nhau. Trường hợp còn lại là y’ = km ... k1x’. Giả thiết x’ < y’ sẽ dẫn đến bất đẳng thức k1x’ > x’ và do đó H(k1x’) > x’. Do H(k1x’)  H(y’) và H(G) sắp toàn phần nên ta kết luận y = o’y’ và x = oy’ là sánh được. Như vậy định lý đã được hoàn toàn chứng minh.  1.1.4.1.3 Tô-p và tính trù mật trong ĐSGT Ta biết rằng X = H(G)  Lim(X), nghĩa là Lim(X) là tập các điểm giới hạn của H(G). Ta có thể có cảm nhận trực quan thấy rằng H(G) là tập trù mật trong X theo nghĩa sau: Định nghĩa 1.3. Cho X là tập sắp thứ tự một phần và U, V là các tập con của X, U  V. Tập con U được gọi là trù mật trong V nếu (x,y  V){ x < y  (z  U)[x < z < y]}. Với x < y, ta ký hiệu = {z  X : x < z < y} và cũng gọi là một khoảng được xác định bởi x và y.  Tuy nhiên như ta sẽ thấy trên cách nhìn topo, họ các tập H(u), u  H(G), có tính chất khá đặc biệt và tính trù mật của H(G) có đặc trưng mạng hơn Định nghĩa 1.3 rất nhiều. Tính chất này là cơ sở để chứng minh một số quả nghiên cứu tiếp theo. Trước hết ta hãy khảo sát tính topo của họ  = {H(u), u  H(G)}. Chúng ta biết rằng một họ  bất kỳ các tập con của X được gọi là một cơ sở topo trên X nếu chúng có các tính chất sau: o1)   ; o2) Ui  , i = 1, ..., k, k  Ui   . i 1 Mỗi cơ sở topo sẽ sinh ra một topo trên X, tức là họ tất cả các tập con mở của X và X trở thành không gian topo. Trong không gian topo ta có khái niệm điểm trong như sau. Xét một tập con V  X. Điểm u  V được gọi là điểm trong của tập V nếu (U  ){u  U  V}, nghĩa là có tồn tại một tập con mở của V chứa u. 18 Ta có khái niệm mới về độ trù mật như sau gọi là độ đậm đặc. Định nghĩa 1.4. Cho một không gian topo X. Tập V  X, được gọi là đậm đặc trong X, nếu với mọi khoảng của X đều chứa ít nhất một điểm trong u, t.l. (U  ){U  V & x < U < y}.  Rõ ràng là nếu V là đậm đặc trong X thì V là trù mật trong X. Ta có bổ đề sau: Bổ đề 1.3. Cho ĐSGT AX = (X, G, H, , , ), họ ’ =   {} là một cơ sở topo trên X. Chứng minh: Xét hai tập H(u) và H(v) bất kỳ. Khi đó chỉ có hai khả năng. Nếu u và v là độc lập, t.l. v H(u) và uH(v), thì H(u)  H(v) = . Nếu ngược lại, chẳng hạn, u  H(v) thì H(u)  H(v). Từ đó dễ dàng suy ra họ ’ thỏa mãn điều kiện o2) trên.  Nhằm thiết lập một tính chất quan trọng dưới đây để sử dụng trong nghiên cứu việc định lượng hóa ĐSGT ta cần bổ đề sau. Bổ đề 1.4. Cho ĐSGT (mở rộng) đầy đủ, tuyến tính và tự do AX = (X, G, H, , , ), xét phần tử x = hn ... h1u  H(G) và phép toán o  {, }. Khi đó: (1) Nếu h1u < ox thì khoảng <h1u,ox> chứa ít nhất một điểm trong. Hơn nữa, tồn tại zi = hi’hi-1 ... h1u = hi’xi-1 sao cho hi’xi-1 < hixi-1 và h1u = zi < H(zi) = H(hi’xi-1) < ox. (2) Còn nếu h1u > ox thì khoảng chứa ít nhất một điểm trong và tồn tại zi = hi’hi-1 ... h1u = hi’xi-1 sao cho hi’xi-1 > hixi-1 và h1u = zi > H(zi) = H(hi’xi-1) > ox. Lưu ý rằng trong cả hai trường hợp trên ta đều có H(zi)  H(x) = . Chứng minh: Trước hết ta luôn nhớ rằng, theo Bổ đề 1.2, tập H(G) là tuyến tính. Đầu tiên ta xét trường hợp h1u < ox, x = hn ... h1u. Theo Bổ đề 1.1, ta có h1u = Vn-2oh1u < ohn ... h1u. Khi đó tồn tại i sao cho z = Vn-2oh1u = kixi-1, x = hixi-1, trong đó ,  là các xâu gia tử tiền tố tương ứng của z và x. Lưu ý rằng, theo Bổ đề 1.1 ta có h1u = kixi-1 = z. Từ bất đẳng thức cuối cùng ta suy ra kixi-1 < hixi-1, vì trong trường hợp ngược lại ta thu được bất đẳng thức ohn... h1u  hixi-1  kixi-1 = h1u mâu thuẫn với giả thiết h1u < ox. Do đó, H(kixi-1) < H(hixi-1) và điều này dẫn đến h1u = kixi-1 < H(kixi-1) < hixi-1  ox, vì x  H(hixi-1), và H(zi)  H(x) =  với zi = kixi-1. 19 Đối với trường hợp h1u > ox, ta chứng minh tương tự bằng đối ngẫu.  Định lý 1.4. Cho AX = (X, G, H, , , ) là đại số gia tử đầy đủ, tuyến tính và (sinh) tự do. Khi đó tập H(G) là đậm đặc trong X và hơn nữa ta có x, y  X , x < y  (u  H(G)){ x < H(u) < y }. Nhớ rằng ta luôn luôn có H(u)  H(G). Chứng minh: Như ta biết X = H(G)  Lim(X) và H(G)  Lim(X) =  và do đó ta sẽ chứng minh định lý theo từng trường hợp. (1) Trường hợp x, y  H(G), x = hn ... h1u và y = km ... k1u’. Đầu tiên ta giả sử x  H(c), y  H(c+) và giả định x = hn ... h1c và y = km ... k1c+. Ta biết rằng, vì AX là ĐSGT tự do, nên luôn luôn tồn tại gia tử h  H sao cho hx > x. Khi đó ta thu được bất đẳng thức mong muốn là y > H(hx) > x và H(hx)  H(x). Bây giờ ta giả sử u = u’ và h1u  k1u’. Vì x < y ta suy ra h1u < k1u’ và do vậy ta có H(h1u) < H(k1u’). Cũng như trên ta chọn h  H sao cho hx > x và khi đó, vì H(hx) > x, hx  H(h1u), y  H(k1u’) và H(hx)  H(h1u), ta có điều mong muốn y > H(hx) > x. Nếu việc sinh của x và y có dạng x = hn ... h1y thì x < y kéo theo h1y < y. Khi đó cũng tồn tại h  H sao cho hx > x và do đó ta cũng có y > H(hx) > x. Một cách hoàn toàn tương tự, nếu y = km ... k1x thì x < y kéo theo k1x > x. Ta chọn h  H sao cho y > hy  H(k1x) > x. Do đó y > H(hy) > x và H(hy)  H(y). (2) Trường hợp x  H(G) và y = oy’  Lim(X), trong đó o  {, }, x = hn ... h1u và y’ = km ... k1u’. Đối với cả hai khả năng u = c và u’ = c+ hoặc u = u’ và h1u  k1u’, điều kiện x < y dẫn đến H(x) < H(y’). Ta cũng chọn h  H sao cho hx > x và do H(hx)  H(x) ta suy ra y = oy’  y’  x > H(hx) > x, nghĩa là ta có bất đẳng thức mong muốn. Nếu x = hn ... h1y’ thì x  H(h1y’) và x x ta cũng có y = y’ > H(hx) > x. Nếu y’ = km ... k1x thì x < y kéo theo k1x > x và y = oy’  k1x  x. Nếu oy’ = k1x thì y = k1x > x và khi đó k1 không phải là atom (gia tử nhỏ nhất trong dàn  I). Vậy có tồn tại k’ sao cho H(k1x) > H(k’x) > x và điều này dẫn đến y = oy’  k1x > H(k’x) > x. Ngoài ra ta cũng có H(u)  H(x), với u = k’x. Nếu oy’ > k1x thì tồn tại u sao cho x  k1x = z < H(z) < oy’ và H(z)  H(y’) = . (3) Trường hợp x = ox’  Lim(X) và y  H(G), trong đó o  {, } và x = hn ... h1u và y’ = km ... k1u’ được chứng minh tương tự như trong (2). 20 (4) Trường hợp x = ox’  Lim(X) và y = o’y’  Lim(X), trong đó x’ = hn ... h1u và y’ = km ... k1u’. Lập luận như trong (2), cả hai khả năng đối với u và u’ đều dẫn đến h1u  k1u’, và từ điều kiện x < y ta suy ra h1u < k1u’. Nếu h1u = k1u, thì có hai khả năng. Thứ nhất là x = ox’ = h1u và khi đó x = k1u < o’y’. Tồn tại u = zi sao cho x = ox’ = k1u = zi  H(zi) = H(ki’xi-1) < o’y’ = y. Trong trường hợp này ta có H(zi)  H(y’) = . Giả sử h1u  k1u. Khi đó điều kiện x < y kéo theo h1u < k1u và do vậy ox’  h1u < k1u  o’y’. Nếu h1, k1 không cùng thuộc tập gia tử Hc thì h1u < u < k1u và nếu các gia tử này đều là nhỏ nhất thì h1u = k1u. Ta gặp mâu thuẫn. Vậy một trong hai gia tử này không là nhỏ nhất, chẳng hạn đó là h1. Khi đó có h’ sao cho h1 < h’ và do đó ta có H(h1u) < H(h’u) < H(k1u). Nếu h1, k1 cùng thuộc tập gia tử Hc thì chúng không thể là hai gia tử kề nhau, do đó cũng tồn tại h’ sao cho h1u < h’u < k1u và điều này cũng dẫn đến H(h1u) < H(h’u) < H(k1u). Từ đây ta suy ra x = ox’  h1u < H(h’u) < k1u  o’y’ = y, nghÜa lµ. ta có các bất đẳng thức mong muốn và cũng có điều kiện H(h’u)  H(y’) = . Bây giờ ta giả định x’ và y’ có dạng liên hệ sau: x’ = hn ... h1y’. Khi đó vì x’  H(h1y’), bất đẳng thức x < y kéo theo h1y’ < y’ và H(h1y’) < y’. Do vậy, vì x’  H(y’), ta suy ra được các bất đẳng thức y’  x = ox’  x’  h1y’  y’ < k1u  y’. Vậy o’ =  . Lấy h’ sao cho y’ < h’y’ ta sẽ có x = ox’ < y’ < H(h’y’)  y’ = y và H(h’y’)  H(y’). Vì đối với trường hợp y’ = hn ... h1x’ sẽ được chứng minh tương tự nên định lý hoàn toàn được chứng minh.  1.1.4.1.4 Độ đo tính mờ Cho đại số gia tử AX = (X, C, H,  ), với X là tập nền, C ={c+, c-}trong đó c+ và c- tương ứng là phần tử sinh dương và âm. H =H+ H- với H = {h1, h2, ..., hp} và H+ = {hp+1, ..., hp+q}, h1>h2> ... >hp và hp+1<... - Xem thêm -