Tài liệu Về một lớp phương trình và hệ phương trình tích phân với nhân toeplitz hankel

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ĐỖ PHI HÙNG VỀ MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VỚI NHÂN TOEPLITZ - HANKEL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC và ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ĐỖ PHI HÙNG VỀ MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VỚI NHÂN TOEPLITZ - HANKEL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. TRỊNH TUÂN HÀ NỘI, 2016 i Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Trịnh Tuân. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn trong cách tiếp cận một vấn đề nghiên cứu khoa học. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng đối với thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường cùng các bạn học viên cao học đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này! Hà Nội, ngày 30 tháng 6 năm 2016 Đỗ Phi Hùng ii Lời cam đoan Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Trịnh Tuân. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những kết quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc từ tài liệu tham khảo. Hà Nội, ngày 30 tháng 6 năm 2016 Đỗ Phi Hùng iii DANH MỤC KÍ HIỆU F Phép biến đổi Fourier. Fs Phép biến đổi Fourier sine. Fs
1 Phép biến đổi Fourier sine ngược. Fc Phép biến đổi Fourier cosine. Fc
1 Phép biến đổi Fourier cosine ngược K Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev. K
1 Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược. L Phép biến đổi Laplace. L
1 Phép biến đổi Laplace ngược. pf  gq γ f g
f g
Tγ f g T
pf, g, hq γ p f, g, hq R Tích chập của hai hàm f và g. Tích chập của hai hàm f và g với hàm trọng γ. Tích chập của hai hàm f và g đối với phép biến đổi T . Tích chập của hai hàm f và g với hàm trọng γ đối với phép biến đổi T . Đa chập của các hàm f, g, h. Đa chập của các hàm f, g, h với hàm trọng γ. Là tập tx P R : x ¡ 0u. iv Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii DANH MỤC KÍ HIỆU iii Lời mở đầu 1 1 Các kiến thức dùng cho luận văn 4 1.1 Các phép biến đổi tích phân và các không gian hàm . . . . . 4 1.1.1 Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Các phép biến đổi tích phân . . . . . . . . . . . . . 5 Tích chập và tích chập suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Tích chập suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Đa chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 1.3 2 3 Phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel 14 2.1 Bài toán 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Bài toán 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Bài toán 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel 27 3.1 27 Bài toán 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 3.2 Bài toán 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Bài toán 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.4 Bài toán 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 45 1 Lời mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel có dạng tổng quát là (X[7]): f pxq »8 rk1 px yq k2 px
y q sf py q dy  ϕ pxq , x ¡ 0 (1) 0 trong đó k1 là nhân Hankel, k2 là nhân Toeplitz, ϕ là hàm cho trước và f là hàm phải tìm. Tuy nhiên cho đến nay để giải nghiệm đúng của phương trình (1) với nhân k1 , k2 tổng quát thì hãy còn là bài toán mở và chỉ mới tìm được nghiệm xấp xỉ của nó. Trong những năm gần đây đã có một số kết quả nghiên cứu giải được một số lớp phương trình và hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel bằng cách chọn các nhân k1 , k2 cụ thể, sau đó dùng công cụ tích chập, tích chập suy rộng và đa chập để giải đóng một số lớp các bài toán dạng này [5,6,7,8,9]. Với mong muốn được tìm hiểu về tích chập, tích chập suy rộng, đa chập và ứng dụng để giải một lớp phương trình và hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz – Hankel. Được sự hướng dẫn của PGS.TS Trịnh Tuân tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ của mình là: “Về một lớp phương trình và hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz – Hankel”. Luận văn được chia thành ba chương: Chương 1: Nêu tóm tắt các kiến thức cơ bản dùng để nghiên cứu cho các chương sau. Chương 2: Dùng công cụ tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine pFc q, Fourier sine pFs q, Laplace 2 pLq để giải đóng một lớp phương trình tích phân với nhân Toeplizt - Hankel. Các kết quả chính của chương này là các Định lý: Định lý 2.1, Định lý 2.2 và Định lý 2.3. Chương 3: Dùng công cụ tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine pFc q, Fourier sine pFs q và Kontorovich - Lebedev pK q để giải đóng một lớp hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel. Các kết quả chính của chương này là các Định lý: Định lý 3.1, Định lý 3.2, Định lý 3.3 và Định lý 3.4. Để tiện cho quá trình theo dõi, chúng tôi còn đưa vào phần đầu các ký hiệu dùng để trình bày cho luận văn. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về tích chập và tích chập suy rộng. Nghiên cứu về đa chập. Dùng công cụ tích chập và đa chập suy rộng nói trên để giải một lớp phương trình và hệ phương trình với nhân Toeplitz – Hankel. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tích chập và đa chập. Nghiên cứu phương trình, hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz – Hankel. Giải một lớp phương trình và hệ phương trình nói trên bằng công cụ tích chập, tích chập suy rộng và đa chập. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng, đa chập. Nghiên cứu giải một lớp phương trình, hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel bằng công cụ tích chập, tích chập suy rộng và đa chập. 5. Phương pháp nghiên cứu Dùng kĩ thuật của giải tích hàm. Dùng kĩ thuật của phương trình tích phân. Dùng kĩ thuật của tích chập suy rộng và đa chập. 3 6. Đóng góp của đề tài Luận văn trình bày một cách có hệ thống về một số tích chập, tích chập suy rộng, đa chập liên quan đến các phép biến đổi tích phân Fourier pF q, Kontorovich-Lebedev pK q, Laplace pLq. Luận văn trình bày một vài lớp phương trình và hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz – Hankel giải được bằng công cụ tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đối với các phép biến đổi tích phân nói trên. 4 Chương 1 Các kiến thức dùng cho luận văn Trong chương này chúng tôi trình bày tóm tắt một số không gian hàm, phép biến đổi tích phân, tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine pFc q, Fourier sine pFs q, Laplace pLq, Kontorovich-Lebedev pK q dùng để nghiên cứu cho các chương sau của luận văn. Nội dung trình bày ở chương này chủ yếu dựa vào các tài liệu [4,5,7,8,9,10]. 1.1 1.1.1 Các phép biến đổi tích phân và các không gian hàm Các không gian hàm • L1 pRq là tập hợp tất cả các hàm f xác định và đo được Lebusgue trên p
8, 8q sao cho » 8
8 |f pxq|dx   8, và L1 pRq là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định } f } L p Rq  1 • L1 pR » 8
8 |f pxq|dx. q là tập hợp tất cả các hàm f xác định và đo được Lebusgue trên 5 p0, 8q sao cho và L1 pR »8 |f pxq|dx   8, 0 q là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định }f }L pR q  »8 1 |f pxq|dx. 0 • L0,β 1 pR q là tập hợp tất cả các hàm f xác định và đo được Lebusgue trên p0; 8q sao cho »8 |f pxq| .e
βxdx   8,β ¥ 0, 0 và L0,β 1 pR q là không gian định chuẩn với chuẩn được xác định }f pxq}L 0,β 1 pR q  »8 |f pxq| e
βxdx. 0 1.1.2 Các phép biến đổi tích phân Phép biến đổi tích phân Fourier (F) pX r10sq: Cho hàm f pxq P L1pRq. Khi đó phép biến đổi tích phân Fourier (F ) đối với hàm f được định nghĩa như sau pF f qpxq  » 8 1 ? e
ixy f py qdy; 2π
8 x P R. (1.1) x P R. (1.2) Phép biến đổi này có phép biến đổi ngược là pF
1f qpyq  » 8 1 ? eixy f pxqdy; 2π
8 6 Phép biến đổi tích phân Fourier sine (Fs) pX r10sq: Cho hàm f pxq P L1 pRq. Khi đó phép biến đổi tích phân Fourier sine pFs q của hàm f là một hàm được xác định như sau pFsf qpxq  c 2 π » 8 0 sin xyf py qdy. (1.3) Phép biến đổi này có phép biến đổi ngược pFs
1 q là pF
1f qpxq  c s 2 π » 8 0 sin xyf py qdy, x ¡ 0. (1.4) Phép biến đổi tích phân Fourier cosine (Fc) pX r10sq: Cho hàm f pxq P L1pRq. Khi đó phép biến đổi tích phân Fourier cosine pFcq của hàm f là một hàm được xác định như sau pFcf qpxq  c 2 π » 8 0 cos xyf py qdy, x ¡ 0. (1.5) Phép biến đổi này có phép biến đổi ngược pFc
1 q là pFc
1f qpxq  c 2 π » 8 0 cos xyf py qdy, x ¡ 0. (1.6) Phép biến đổi Laplace (L) Định nghĩa 1.1. (X[6]) Giả sử với mỗi hàm f ptq là hàm phức của biến số thực t sao cho tích phân ³ 8 0 f ptqe
st dt hội tụ ít nhất với một số phức s  a ib. Khi đó ảnh của hàm f qua phép biến đổi Laplace (L) là hàm F được định nghĩa bởi tích phân sau F ps q  »8 f ptqe
st dt. (1.7) 0 Khi đó F psq được gọi là phép biến đổi Laplace (L) của hàm f ptq. Phép biến đổi này có phép biến đổi ngược L
1 là L
1 tF psqu  f ptq  1 2πi » γ i8 γ
i8 est F psqds 7 Phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev (K) Định nghĩa 1.2. (X[10]) Cho f pxq P L1 pR q. Khi đó phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev pK q của hàm f là một hàm được xác định như sau pKf qpyq  » 8 0 f pxqKix py qdx, tPR (1.8) xPR . (1.9) trong đó Kit là hàm Macdonald được xác định bởi Kit pxq  » 8 0 e
x cosh u cosptuqdu, Định nghĩa 1.3. Cho f pxq P L1 pRq. Khi đó phép biến đổi tích phân Kontorovich- Lebedev (K) có phép biến đổi ngược pK
1 q đối với hàm f là một hàm được xác định như sau » 8 2
1r pK f qpxq  f pxq  π2 x sinhpπxqKit ptqt
1 frptqdt, x ¡ 0 (1.10) 0 trong đó pKit q là hàm Macdonald xác định bởi công thức (1.9). 1.2 Tích chập và tích chập suy rộng Về lịch sử của tích chập, tích chập suy rộng và đa chập có nhiều tài liệu đã trình bày [5,6,7,8], vì vậy chúng tôi không trình bày ở đây. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm cũng như một số tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đã được các tác giả công bố trước đó. Các kết quả này dùng để nghiên cứu cho các chương sau. 1.2.1 Tích chập Định nghĩa 1.4. (X.[6]) Cho U1 pX1 q, U2 pX2 q là các không gian tuyến tính, V pY q là một đại số. Khi đó: pq : U1pX1q  U2pX2q Ñ V pY q pf, gq ÞÑ pf  gqpyq được gọi là phép toán tích chập. Ký hiêu là pq. 8 Giả sử K là một toán tử tuyến tính từ không gian tuyến tính U pX q vào đại số V pY q : K : U pX q Ñ V pY q. Tích chập của hai hàm f P U1pX1q; g P U2 pX2 q đối với phép biến đổi tích phân K là một hàm, ký hiệu pf  g q thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau đây K pf  g qpy q  pKf qpy q.pKg qpy q. (1.11) Khi đó không gian U pX q cùng với phép toán chập p.  .q trên xác định một đạị số. Sau đây chúng tôi xin trình bày các ví dụ về tích chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine pFc q, Fourier sine pFs q, Laplace pLq. Các tích chập này sẽ được sử dụng để giải phương trình và hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel ở chương II và chương III của luận văn. P LpR q. Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine pFc q của hai hàm f và g ký hiệu là pf  g qpxq được xác F Ví dụ 1.1. (X.[9]) Cho f, g c định bởi công thức pf F gqpxq  c ?1 2π » 8 0 f py qrg p|x
y |q Tích chập này thuộc không gian LpR Fc pf g px y qsdy; x ¡ 0. (1.12) q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa  gqpyq  pFcf qpyqpFcgqpyq, @y ¡ 0. Fc (1.13) P L1pR q. Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Laplace (L) của hai hàm f và g ký hiệu là pf  g qpxq được xác định bởi L Ví dụ 1.2. (X.[9]) Cho f, g công thức pf L gqpxq  »x 0 f px
y qg py qdy, Tích chập này thuộc không gian L1 pR Lpf x ¡ 0. q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa  gqpyq  pLf qpyqpLgqpyq. L (1.14) (1.15) 9 Ví dụ 1.3. (X.[4]) Cho f, g P L1pR q. Tích chập của hai hàm f và g với hàm trọng γ py q  sin y đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine được xác định như sau  f  g pxq  γ Fs ?1 2 2π »8  f py q sign px y
1q g p|x y
1|q 0
g px y 1q sign px
y 1q g p|x
y 1|q 
sign px
y
1q g p|x
y
1|q dy, x ¡ 0. Tích chập này thuộc không gian L1 pR  (1.16) q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa  g pyq  sin y pFsf q pyq pFsgq pyq , @y ¡ 0, f, g P L1 pR q γ Fs f Fs Ví dụ 1.4. (X.[9]) Cho f, g (1.17) P LpR q. Tích chập với hàm trọng γ1  cos y của hai hàm số f, g đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine được xác định như sau  f  g pxq  γ1 Fc  Tích chập f g γ1 ?1 2 2π Fc hóa  Fc f 1.2.2 » f py qrg px R g p|x
y 1q y 1|q g px y
1q g p|x
y
1|qsdy, x ¡ 0, (1.18) thuộc không gian LpR q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử  g pyq  cos ypFcf qpyqpFcgqpyq, @y ¡ 0. γ1 Fc (1.19) Tích chập suy rộng Trong phần này chúng tôi trình bày tốm tắt sơ đồ xây dựng tích chập suy rộng và tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân Ki , i  1, 2, 3. Cho các toán tử tuyến tính Kj : Uj pXj q Ñ V pX q, j  1, 3. 10 Trong đó Uj pXj q là các không gian tuyến tính và V pX q là một đại số. Fj  pKj fj qpxq  » Xj kj px, xj qfj pxj qdxj ; fj P Uj pXj q, j  1, 3 (1.20) Định nghĩa 1.5. (X.[5]) Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích
phân K1 , K2 , K3 với hàm trọng γ của hai hàm f và g là một biểu thức f  g γ sao cho thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
K1 f  g γ pyq  γ pyqpK2f qpyqpK3gqpyq, @y P Y. (1.21) Nhận xét 1.1. Sự khác biệt rõ rệt nhất giữa tích chập và tích chập suy rộng là trong đẳng thức nhân tử hóa của tích chập suy rộng (1.21) có các phép biến đổi tích phân khác nhau K1 , K2 , K3 tham gia còn ở tích chập ở đẳng thức nhân tử hóa (1.10) chỉ có duy nhất một phép biến đổi tích phân K tham gia. Khi K1  K2  K3  K, γ  1 thì khi đó tích chập suy rộng với hàm trọng trở thành tích chập trong định nghĩa (1.4). Sau đây chúng tôi xin trình bày các ví dụ về tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine pFc q, Fourier sine pFs q, Laplace pLq. Các tích chập này sẽ được sử dụng để giải phương trình và hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel ở chương II và chương III của luận văn. P L1pR q. Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine pFs q; Fourier cosine pFc q của hai Ví dụ 1.5. (X.[9]) Cho hai hàm số f, g hàm f và g được xác định như sau
f g 1 pxq  ?1 2π » 8 0 f puqrg p|u
x|q
g pu Tích chập này thuộc không gian L1 pR xqsdu; x ¡ 0. (1.22) q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
Fs f  g py q  pFs f qpy qpFc g qpy q; @y ¡ 0. (1.23) 1 Ví dụ 1.6. (X.[9]) Cho hai hàm số f, g P LpR q. Tích chập suy rộng với hàm trọng γ py q  sin y đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine pFc q; Fourier sine pFs q của hai hàm f và g được xác định như sau 11
f g γ 1 pxq  ?1 2 2π » 8 0  f puq g p|x
u
1|q
g p|x
u g p|x u
1|q
g p|x u 1|q  1|q du; x ¡ 0. (1.24) Tích chập này thuộc không gian LpR q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
γ Fc f  g py q  sin y pFs f qpy qpFc g qpy q; @y ¡ 0. (1.25) 1 Ví dụ 1.7. (X.[9]) Cho hai hàm số f, g P LpR q. Tích chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine pFc q; Fourier sine pFs q của hai hàm f và g được xác định như sau
f g 2 pxq  ?1 2π » 8 0 f pxqrsignpu
xqg p|u
x|q g pu xqsdu; x ¡ 0. (1.26) Tích chập này thuộc không gian LpR q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Fc f  g py q  pFs f qpy qpFs g qpy q; y ¡ 0. (1.27) 2 Ví dụ 1.8. (X.[6]) Cho hai hàm số f, g P L1 pR q. Tích chập suy rộng với hàm trọng γ2 py q  e
µy sin y, µ ¡ 0 của hai hàm f, g đối với phép biến đổi
tích phân Fourier sine và Laplace, được xác định bởi công thức
f 3 g pxq  2π1 γ2 »8 »8 " 0 0 pv µ q2 pv v pv µq v 2 µ px
1 uq2 v µ µq2 px 1  Tích chập này thuộc không gian L1 pR µ px
1
uq2 
pv µq2 v pxµ 1
uq2 * f puqg pv qdudv, x ¡ 0. uq2 (1.28) q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
γ Fs f  g py q  e
µy sin y pFc f qpy qpLg qpy q, @y ¡ 0 (1.29) 3 Ví dụ 1.9. (X.[6]) Cho hai hàm số f, g P L1 pR q. Tích chập suy rộng với hàm trọng γ2 py q  e
µy sin y, µ ¡ 0 của hai hàm f, g đối với phép biến đổi 2 tích phân Fourier cosine (F c) và Laplace (L), được xác định bởi công thức 12
f 4 g pxq  γ2 1 2π »8 »8 " 0 0
pv µ q2
pv v pv µq2 µ px
1 uq2 v µ µq2 px 1  Tích chập này thuộc không gian L1 pR
Fc f 4 g γ2 v µ px
1
uq2 
pv µq2 v pxµ 1
uq2 * f puqg pv qdudv, x ¡ 0. uq2 (1.30) q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa pyq 
e
µy sin ypFsf qpyqpLgqpyq, @y ¡ 0. (1.31) Nhận xét 1.2. Trong các đẳng thức nhân tử hóa 1.23 - 1.31 của các tích chập suy rộng đều có từ hai phép biến đổi tích phân khác nhau tham gia. Các tích chập, tích chập suy rộng được trình bày ở các phần ví dụ đều được sử dụng cho các chương sau của luận văn. 1.3 Đa chập Cho các phép biến đổi tích phân Ki : Ui pXi q Ñ V pY q; i  1, n. Ở đây Ui pXi q là không gian tuyến tính, V pY q là một đại số. P U1pX1q; . . . ; fn P UnpXnq thì đa chập với các phép biến đổi tích phân Ki ; i  1, n với hàm trọng γ được xác định Định nghĩa 1.6. (X.[7]) Giả sử f1 bởi đẳng thức nhân tử hóa như sau K
γ n ¹ pf1, f2,    , fnq pyq  γ pyq pKifipyqq i3 (1.32) trong đó K, Ki , i  1, n là các phép biến đổi tích phân khác nhau. Sau đây chúng tôi xin trình bày các ví dụ về đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine pFc q, Fourier sine pFs q, Kontorovich-Lebedev pK q. Các đa chập này sẽ được sử dụng để giải hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel ở chương II, chương III của luận văn. 13 Ví dụ 1.10. (X.[9]) Cho các hàm f, g, h P LpR q thì đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine của các hàm f, g và h được định nghĩa bởi  pf, g, hqpxq  2π1 »8 »8 f puqg pv qrhp|x u
v |q 0 0
hp|x
u
v|q
hpx thì đa chập này thuộc LpR u hp|x
u v qsdudv, x ¡ 0. (1.33) q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Fc ppf, g, hqqpy q  pFs f qpy qpFs g qpy qpFc hqpy q, Ví dụ 1.11. (X.[8]) Cho các hàm f ,g P L1 pR đa chập với hàm trọng γ v |q @y ¡ 0. (1.34) q và h P L0,β 1 pR q, 0   β ¤ 1  sin y đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine (F s) và Kontorovich-Lebedev (K) của các hàm f, g, h được định nghĩa như sau 1 γ p f, g, hq  ? » ¸ 4 4 2π R3 i 1  θi px, u, v, wq f puqg pv qhpwqdudvdw, x ¡ 0. (1.35) Trong đó: θ1 px, u, v, wq  e
w coshpx
e
w coshpx u v
1q θ2 px, u, v, wq  e
w coshpx
u v
1q
e
w coshpx
u v
1q θ3 px, u, v, wq  e
w coshpx u
v
1q
e
w coshpx u
v 1q θ4 px, u, v, wq  e
w coshpx
u
v 1q
e
w coshpx
u
v
1q . u v 1q thì đa chập (1.35) tồn tại trong không gian L1 pR (1.36) q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Fs
γ pf, g, hq pyq  sin ypFsf qpyqpFsgqpyqpKiy hqpyq, @y ¡ 0. (1.37)