Tài liệu vẻ đẹp của những con số

Lê Vũ Minh Huy (Nick trên diễn đàn: Super Fields) 9A-THCS Trần Quốc Toản-Tp.Tuy Hòa-Phú Yên Bài viết tham dự Cuộc thi Viết bài kỉ niệm 10 năm thành lập diễn đàn toán học VFM: Tuy Hòa, ngày 20 tháng 1 năm 2014. VẺ ĐẸP CỦA NHỮNG CON SỐ. ---Lời nói đầu: Rảo một vòng BOM2005 của diễn đàn, Super Fields thấy bài viết “Vẻ đẹp của những con số” của tác giả Trần Vĩnh Phúc (nick: phuc_nkht) rất hay! Nhưng đâu đó vẫn muốn có những “con số” tổng quát hơn. Chính vì thế trong cuộc thi năm nay, Super Fields muốn gửi đến các bạn bài viết này không phải về những con số cụ thể mà là những tập hợp các số, để các bạn có cái nhìn toàn diện. Và thấy những con số không hề khô khan, tìm được niềm vui, nét đẹp trong từng con số. -----------------------------------------------------------Bài viết này có sự trợ giúp từ: 1. Sách “ SỰ KÌ DIỆU CỦA TOÁN HỌC” của NXB Kim Đồng. 2. Hình ảnh, tư liệu từ Wikipedia, Google. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Xin được mượn câu thơ của thầy Văn Như Cương, để bắt đầu bài viết: “Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn Mong rằng Toán học bớt khô khan Em ơi trong Toán nhiều công thức Đã đẹp như hoa lại chẳng tàn.” ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Một số người nghĩ rằng các phép tính trên các con số và kết quả nhận được dường như ẩn chứa một tính chất thần kì trong đó. Có lẽ cảm giác thần kì càng được tăng lên khi có rất nhiều loại số khác nhau, những loại số dường như được các nhà toán học nghĩ ra một cách tình cờ. Ở cấp 1 chúng ta đã được học về các số tự nhiên đầu tiên. Nhiệm vụ của chúng ta là học đếm và sau đó là học làm các phép tính với chúng. Ngay từ khi ta tưởng rằng mình đã thành thạo với các con số từ đâu phân số, số thập phân, số nguyên bỗng dưng … xuất hiện. Ôi! Đôi khi chúng chỉ xuất đầu lộ diện khi có những bài toán tưởng như không giải được. Chúng hiện ra như thể cứu cánh cuối cùng, ví như khi chúng ta không biết 7 chia 2 bằng bao nhiêu, không phải bằng 3 mà cũng chẳng phải bằng 4, thì chúng ta biết đến số 3 1 . 2 Điều lí thú ở đây chính là có bao nhiêu loại số và có tất cả bao nhiêu cách phân loại chúng theo những đặc điểm riêng của mình. Dường như các con số lại tự sinh ra các số khác. Sau đây là danh sách các loại số với một vài mô tả về chúng: 1. Số đếm(còn gọi là số tự nhiên): 0;1;2;3;…  N 2. Số nguyên: -3;-2;-1;0;1;2;3;…  3. Số hữu tỉ (gồm phân số; hợp số; phân số không thực sự; phân số thực sự; số thập phân và số thập phân vô hạn tuần hoàn) 4. Số vô tỉ (gồm số thập phân vô hạn không tuần hoàn, căn số,  ; c ;  ) 5. Số thực; số ảo; số phức; số siêu việt; số siêu hạn; số hoàn hảo. … Super Fields xin đề cập đến vài con số cùng với các tính chất, đặc điểm của chúng mà có thể các bạn còn chưa biết, đồng thời cùng các bạn tìm hiểu tường tận hơn về những số mà các bạn đã biết bấy lâu nay. : Số Quaternion: Trước hết, chúng ta hãy đến với khái niệm số Quaternion để có cách nhìn khái quát hơn về các con số qua câu chuyện sắp được Super Fields trình bày sau đây..: Thật khó để một người bình thường hiểu thấu đáo cách thức mô tả con số khi nó có các chiều khác nhau. Xưa nay số là số, vốn dùng để biểu diễn một lượng cụ thể nào đó. Vậy số có nhiều chiều là như thế nào? Chúng ta hãy dành câu hỏi này cho các nhà toán học, những người dưa ra các đặc điểm mới cho các con số. Họ xem số thực hay số ảo là những số 1 chiều, bởi chỉ có một thành phần nói lên giá trị của chúng. Hơn nữa chúng có thể biểu diễn trên đường thẳngmột đối tượng một chiều. Nhưng số phức lại là số hai chiều bởi chúng được tạo nên từ số thực và số ảo. Khi cần biểu diễn số sẽ nằm trên một mặt phẳng, gọi là mặt phẳng thức- một đối tượng hai chiều..Đến đây có lẽ bạn sẽ thắc mác những số hai chiều dùng để làm gì và tại sao chúng ta cần phải tìm hiểu những thứ trừu tượng như thế này!..Câu trả lời đơn giản là số hai chiều hay nhiều chiều hơn thế chính là cơ sở để thành lập nên số Quaternion mà chúng ta đã đề cập ngay từ đầu. Có nhiều trường hợp các ý tưởng toán học được phát minh hôm nay, nhưng ứng dụng của chúng chỉ được trở nên sáng tỏ sau nhiều năm hay thậm chí là nhiều thế kỉ sau đó. Số phức cũng nằm trong hoàn cảnh tương tự. Ngày nay người ta sử dụng chúng để mô tả dòng hình thủy động trong thủy động học, mô tả dòng điện và hình dạng của cánh máy bay… Số phức hữu ích và hiệu quả trong việc giải quyết nhiều bài toán khác nhau đến nỗi người ta đã nghĩ rằng bước tiếp theo cần phải làm đương nhiên là đi tìm kiếm số ba chiều. Mặc dù việc tìm kiếm này không thành công, song nó lại giúp các nhà khoa học phát hiện ra số bốn chiều – Quaternion. A! Nó đã xuất hiện. Quaternion được William Hamilton tìm ra vào năm 1843. Giống như những số phức, sự tồn tại của chúng gặp phải bàn tán và thái độ hoài nghi của mọi người. Một trong những ứng dụng phổ biến nhất của nó là truyền thông tin đồ họa trên máy vi tính bằng việc đưa ra chỉ dẫn về phép quay các hình trong không gian ba chiều. Câu chuyện sau đây sẽ cho chúng ta thấy rằng các quaternion cũng giống như các số khác, có những đặc điểm riêng của mình. : Đại hội các con số: Vâng! Và câu chuyện bắt đầu: Như thông lệ, tại cuộc họp các con số, các phe phái đã bắt đầu hình thành. Thật đáng xấu hổ cho các con số khi chúng không thể nghĩ về nhau như các thành viên trong một đại gia đình hạnh phúc.! Từ xa xưa, lúc chỉ mới có số đếm thì những số chẵn và số lẻ đã không ngớt lời cãi nhau xem ai hữu ích hơn ai. Ấy thế nhưng chúng đã đồng tâm hiệp lực lại với nhau khi tập hợp các số nguyên đem các số âm tiến vào hội trường.. Bây giờ thì cuộc đã đã bắt đầu để bàn luận về một vấn đề lớn. Đó là ai sẽ chấp nhận số mới đến – Quaternion? Các số đếm phản đối đầu tiên, chúng chỉ công nhận các số nguyên lớn hơn hoặc bằng 1 mà thôi. Tất cả các thành viên của số đếm mặc trang phục riêng và đứng theo thứ tự tăng dần, số sau lớn hơn số trước một đơn vị. Chúng phải nghiên cứu kẻ mới đến này và quyết định xem liệu nó có thuộc gia đình, dòng họ mình hay không. Số nguyên thì vừa đồng ý nhưng lại vừa phản đối, trong khi đó số 0 tỏ thái độ trung lập, không theo phe phái nào, bởi nó không phải số âm mà cũng chẳng phải là số dương. Chắc chắn là số hữu tỉ sẽ phải xem xét quaternion mới đến này một cách cẩn thận hơn. Nhưng các phân số, như thường lệ, quan tâm tới biểu diễn của tử số còn hơn nói chuyện với các số thập phân. Mãi rồi số thập phân cũng quen dần, chúng không còn phiền lòng về thái độ đáng buồn cười này của phân số nữa. Các số thập phân biết rằng con người làm phép tính với chúng thuận tiện hơn nhiều so với các phân số, đặc biệt là trên máy tính. Thậm chí số còn nói các phân số là lỗi thời. Thấy vậy số liền nhảy vào phát biểu: “ Mặc dù mọi người phải tìm mẫu số chung khi muốn cộng hay trừ chúng tôi, phải làm một sô động tác khi nhân chia, hay như chúng tôi thích ở dạng đơn giản hơn, nhưng một vài số thập phân của các bạn có vẻ còn không còn được như chúng tối nữa. Thực tế, một số bộ nhớ máy tính không thể lưu trữ hết biểu diễn thập phân của các bạn”..Cứ như vậy, các số hữu tỉ, bao gồm các số tự nhiên, số nguyên, phân số và số thập phân cứ tiếp tục tranh cãi nhau. Chứng kiến cuộc cãi vã giữa các số hữu tỉ, quaternion dĩ nhiên cũng cảm thấy sợ lây nhóm các số đứng gần quán bar gồm √ √ √ .Quaternion đã nghe nói về việc các số này có thể vô tỉ tới mức nào. Nhưng trái với suy nghĩ của mình, quaternion rấy ngạc nhiên khi nhận ra chúng quả thực lại dễ gần. “Là thế này, tôi nghe nói bạn có một số thành phần và được người ta gọi là số bốn chiều” √ nói. “Nhưng mà đừng buồn vì điều đó, bản thân tôi cũng vô hạn không tuần hoàn, nếu viể ở dạng số thập phân. Thật nặng nề khi phải mang vác ngần ấy chữ số, nên tôi chỉ thích khoác lên mình chiếc áo căn bậc hai thôi. Có lẽ bạn cũng nên tìm lấy một cách viết tắt để biểu diễn bản thân mình đi thôi.” Quaternion hào hứng lên một chút và cảm thấy thư giản hơn. Không muốn làm cho quaternion hi vọng quá nhiều, √ nói thêm: “Bạn cần phải giải thích rõ với tập hợp các số phức đi. Bởi vì tập hợp này đại diện cho tất cả các tập hợp chúng tôi: số đếm, số nguyên, số vô tỉ, số thực và số ảo nữa.” “Nhưng theo như tôi biết thì tập số phức có tính cách chia hai và thay đổi thất thường giữa số thực và số ảo” Quaternion nói. Đúng lúc đó số phức đứng lên và nói: -Bạn đúng đấy, nhưng mặt phẳng phức cho mỗi số chúng tôi một điểm để ở. Khi mọi thứ trở nên tồi tệ nhất, tôi luôn có thể ẩn mình nơi đó. Tôi biết đó là điểm của riêng tôi, không ai có thể ở đó được ngoài tôi, vì thế tôi sẽ được riêng tư một mình để mọi thứ tĩnh lại, để nghỉ ngơi và suy ngẫm. Chúng tôi mỗi một số đều có một nơi để gọi là nhà. -Bạn hình như có một tính chất phức tạp với các vectơ và đại lượng vô hướng của mình. –Số nói với quaternion. – Tôi chắc chắn là mặt phẳng thức không có chỗ nào dành cho bạn đâu. -Tôi hi vọng là tôi có thể tìm thấy điểm và nhà của riêng mình. – Quaternion nói. Và với giọng buồn bã, nó tiếp tục. – Tôi không biết phải đi tiếp con đường nào, hay nói đúng hơn là phải đi tìm tập hợp số nào. -Điều này đương nhiên là khó khăn rồi! – Một giọng nói trầm ấm bỗng từ đâu cất lên. Quaternion quay lại và thấy số . – Tôi đã gặp phải rất nhiều khó khăn mới được số thực chấp nhận đấy. Mặc dù tôi cũng là số vô tỉ như √ và những số khác, họ vẫn không cho tôi vào tập số thực ngay với lí do là không có cách nào để xác định chính xác vị trí của tôi trên đường thẳng thực, không giống như √ √ ;√ ,… có thể sử dụng định lí Pythagoras để tìm ra chính xác vị trí của họ. Vậy, tôi đã giải quyết vấn đề này như thế nào? Tôi đã phải có vài buổi nói chuyện với số thực và cuối cùng thì số thực cũng hiểu ra tôi là một số vô tỉ quan trọng đến thế nào, bởi tất cả các đường tròn đều dựa vào tôi để tính chu vi, diện tích và về bản chất thì tôi là một số siêu việt. - Ồ, số , bạn cứ như thể chỉ cho mình bạn là số siêu việt ấy. – Số , vốn được biết như một kẻ khoe khoang lên tiếng. – Tôi cũng là một số siêu việt , là cơ số của phép lấy lôgarit tự nhiên và ngoài việc được sử dụng trong tính toán, tôi con được tìm thấy rộng khắp trong tự nhiên nữa cơ! Quaternion bắt đầu cảm thấy đau đầu và mệt mỏi vì tất cả những trò trêu chọc, cãi vã đang xảy ra. - Có lẽ tôi không thuộc về nơi đây! - Đúng đấy. Có lẽ là bạn không thuộc nơi này đâu! – Tất cả số phức đồng thanh thốt lên. – Thế thì bạn thuộc về đâu? – Chúng hỏi tiếp Quaternion. - Tôi khác với tất cả các bạn. Tôi có ý nghĩa sâu xa hơn, nhiều chiều hơn các bạn. Có lẽ tôi thuộc về một tập hợp riêng của mình. Phải, chính là như thế! Tôi là một thành viên của tập các Quaternion, tập hợp số bốn chiều , bởi hình dạng của tôi là , trong đó “a” là thành phần vô hướng (một hằng số), còn “ ” là một vectơ, “ ” là các số thực. Vừa nói, quaternion vừa đứng dậy khỏi sảnh đại hội và vụt biến mất, y như thể đã bay vào một chiều không gian khác.. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Sức quyến rũ của số : Nhiều năm về trước, một bữa tiệc được tổ chức dành cho những con số thời bấy giờ. Số 1 có mặt trong suốt bữa tiệc. Số 2 xuất hiện với tất cả số chẵn khác theo sau. Tất cả số nguyên tố được biết đến cũng đều đến dự. Thậm chí có cả một vài phân số như , và . Một số ít căn số đã xuất hiện, còn √ ;√ thì đang cưỡi trên các cạnh của một tam giác vuông đến cùng với số 3. Nhưng khi số lăn vào, tất cả các số đều hỏi: “Ai mời bạn đến đây vậy?”. “Các bạn hỏi vậy là sao?. Ai mời tôi ư?”, Số ngạc nhiên, “ Tôi cũng là một con số mà”. “ Đúng vậy, bạn là một con số. Nhưng vị trí của bạn trên trục số là đâu vậy?”. “ Thế còn √ thì sao?”- hỏi lại. “ Cảm ơn bạn, nhờ định lí Pythagoras và chiếc compa, tối đã biết chính xác mình nằm ở đâu trên trục số.”√ tự tin trả lời. cảm thấy bị tổn thương và bối rối, nhưng nó vẫn nói: “Tôi đứng sau số 3 một chút”. “Nhưng chính xác là ở đâu?”, Tất cả đồng thanh. Là ước số của mọi số khác, số 1 cảm nhận được nỗi đau của , Nó lên tiếng :“Chúng ta hãy cho cơ hội để mô tả chính mình” Mượn được cỗ máy thời gian của Đô-rê-mon, đến năm 2014 và tra Wikipedia về lịch sử của mình và chính cũng bất ngờ về sức quyến rũ của mình. Quay về, tự hào kể về sự hấp dẫn của mình: Thuật toán chặt chẽ đầu tiên được ghi chép để tính giá trị của là một cách tiếp cận hình học sử dụng đa giác, được phát minh vào khoảng năm 250 tr. CN bởi nhà toán học người Hy Lạp Archimedes. Thuật toán đa giác của Archimedes thống trị suốt hơn 1000 năm, khiến cho đôi khi được gọi là "hằng số Archimedes". Archimedes đã tính toán các giới hạn trên và dưới của bằng cách vẽ hai đa giác đều có cùng số cạnh, một nội tiếp và một ngoại tiếp với cùng một hình tròn, sau đó từ từ tăng số cạnh lên gấp đôi cho đến khi đạt đến đa giác đều 96 cạnh. Bằng cách tính chu vi của các đa giác này, ông chứng minh rằng 223/71 < < 22/7 (3,1408 < < 3,1429). Có thể chính cận trên 22/7 của phép tính đã dẫn đến việc nhiều người cho rằng bằng 22/7. Khoảng năm 150 CN, nhà khoa học Hy Lạp-La Mã Ptolemaeus, trong bộ Almagest của mình, đã đưa ra giá trị bằng 3,1416, có lẽ là lấy lại kết quả tính toán của Archimedes hoặc của Apollonius xứ Pergaeus. Các nhà toán học, bằng cách sử dụng thuật toán đa giác, đã tính được tới chữ số thứ 39 của vào năm 1630, một kỉ lục mà đến năm 1699 mới được phá vỡ khi chữ số thứ 71 được tính ra bằng phương pháp chuỗi vô hạn. Archimedes đã phát triển cách tiếp cận đa giác để tính toán số . Ở Trung Hoa cổ đại, các giá trị của bao gồm 3,1547 (khoảng năm thứ nhất sau Công nguyên), √ (100 sau Công nguyên, xấp xỉ 3,1623) và 142/45 (thế kỉ thứ 3, xấp xỉ 3,1556). Vào khoảng năm 265, nhà toán học triều Tào Ngụy tên là Lưu Huy đã phát minh ra thuật toán lặp dựa trên đa giác (thuật toán Lưu Huy) và sử dụng nó với một đa giác 3072 cạnh để thu được giá trị của bằng 3,1416. Cũng chính Lưu Huy sau đó đã phát triển một phương pháp nhanh hơn để tính và thu được giá trị 3,14 với một đa giác 96 cạnh, bằng cách lợi dụng tính chất là hiệu diện tích các đa giác liên tiếp tạo nên một dãy cấp số nhân với hệ số 4 .Vào khoảng năm 480, một nhà toán học Trung Quốc khác là Tổ Xung Chi đã tính toán ra ≈ 355/113, sử dụng thuật toán Lưu Huy cho đa giác 12.288 cạnh. Với giá trị chính xác ở bảy chữ số thập phân đầu tiên, giá trị 3,141592920... là giá trị gần đúng chính xác nhất của mà con người tính được trong suốt hơn 800 năm sau đó Trong khi đó, nhà thiên văn người Ấn Độ Aryabhata sử dụng giá trị 3,1416 trong sách Āryabhaṭīya của ông (499 sau Công nguyên). Fibonacci vào khoảng năm 1220 đã tính ra giá trị 3,1418 bằng một phương pháp đa giác khác với phương pháp của Archimedes. Văn hào người Ý Dante dường như đã sử dụng giá trị của là ≈ 3,14142… √ Nhà thiên văn Ba Tư Jamshīd al-Kāshī đã tìm ra 16 chữ số vào năm 1424 bằng cách sử dụng đa giác có 3×228 cạnh, xác lập một kỉ lục thế giới mới tồn tại được khoảng 180 năm. Nhà toán học Pháp François Viète vào năm 1579 tính được 9 chữ số bằng một đa giác 3×217 cạnh. Nhà toán học xứ Flanders Adriaan van Roomen đạt tới chữ số 15 vào năm 1593. Năm 1596, nhà toán học người Hà Lan Ludolph van Ceulen đạt tới 20 chữ số, một kỉ lục được chính ông về sau nới rộng lên thành 35 chữ số (kết quả số được gọi là "số Ludolph" trong tiếng Đức cho tới tận đầu thế kỉ 20). Khoa học gia người Hà Lan Willebrord Snellius đạt tới 34 chữ số vào năm 1621 và nhà thiên văn học người Áo Christoph Grienberger đạt tới 39 chữ số vào năm 1630, đến nay vẫn là kết quả chính xác nhất được tính thủ công bằng thuật toán sử dụng đa giác. Trong thế kỉ 21, các nhà toán học và các nhà khoa học máy tính đã khám phá ra những cách tiếp cận mới - kết hợp với sức mạnh tính toán ngày càng cao - để mở rộng khả năng biểu diễn thập phân của số tới 10 nghìn tỉ (1013) chữ số. Các ứng dụng khoa học thông thường yêu cầu không quá 40 chữ số của , do đó động lực của những tính toán này chủ yếu là tham vọng của con người muốn đạt tới những kỉ lục mới, nhưng những tính toán đó cũng được sử dụng để kiểm tra các siêu máy tính và các thuật toán tính nhân với độ chính xác cao. Sự có mặt rộng khắp của số khiến nó trở thành một trong những hằng số toán học được biết đến nhiều nhất, cả bên trong lẫn bên ngoài giới khoa học: một số sách viết riêng về số đã được xuất bản; có cả Ngày số pi; và báo chí thường đặt những tin về kỉ lục tính toán chữ số mới của trên trang nhất. Một số người còn cố gắng ghi nhớ giá trị của với độ chính xác ngày càng tăng, đạt tới kỉ lục trên 67.000 chữ số. Ừm!.. “Không cần nói nữa đâu”. Số 1 la lên. Rồi nó nói tiếp: “Tôi tin là tất cả đều đồng ý một con số nỏi tiếng như phải được công nhận là một phần trong số chúng ta. Dù sao thì chúng ta đều hiểu rằng mỗi chúng ta có một điểm của riêng mình trên trục số. Không số nào có thể có điểm của số khác. cũng có điểm của riêng bạn ấy. Chúng ta không nhất thiết phải biết vị trí chính xác của một số trên trục số là ở đâu.” “Đồng ý!”. Số 3 – một trong những con số bí ẩn kêu lên. “ Tôi nghĩ là đã làm bữa tiệc hôm nay thêm phần bí ẩn, phong phú và có ý nghĩa đấy!” √ tiếp lời số 3 : “ Chào mừng bạn!”, các số khác cũng đồng thanh. “Vậy thì hãy cùng khởi động bữa tiệc của chúng ta đi thôi. Chúng ta cùng đếm nào!”, vui vẻ kết lời. Đôi điều về số nguyên tố: Số nguyên tố là số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Ngoài ra nó không chia hết cho bất cứ số nào khác. Số 0 và 1 không được coi là số nguyên tố. Các số nguyên tố từ 2 đến 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.[2] Số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất, và 2 cũng là số nguyên tố chẵn duy nhất.