Tài liệu Về cấu trúc vành goldie nửa nguyên tố

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH -----o0o----- Lê Bình Phương VỀ CẤU TRÚC VÀNH GOLDIE NỬA NGUYÊN TỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH -----o0o----- Lê Bình Phương VỀ CẤU TRÚC VÀNH GOLDIE NỬA NGUYÊN TỐ Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 1 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành chương trình cao học và hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng dẫn, góp ý chân thành và sự giúp đỡ từ quý thầy cô trường Đại học sư phạm TP. Hồ Chí Minh. Trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, khoa Toán và Phòng sau đại học trường Đại học sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện để tôi thực hiện luận văn trong thời gian cho phép. Tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến người hướng dẫn là PGS.TS. Bùi Tường Trí. Thầy đã nhiệt tình hỗ trợ và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Dù đã cố gắng thực hiện và hoàn thành luận văn bằng tất cả tâm huyết và năng lực của mình nhưng luận văn sẽ không tránh khỏi những mặt thiếu sót. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân thành cả quý thầy cô và các bạn. TP. Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng 09 năm 2012 Lê Bình Phương 2 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .................................................................................................. 1 MỤC LỤC ........................................................................................................ 2 BẢNG KÝ HIỆU ............................................................................................. 3 LỜI NÓI ĐẦU ................................................................................................. 4 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ............................................................... 5 CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÝ GOLDIE ............................................................... 13 2.1 Điều kiện Ore phải: ................................................................................ 13 2.2 Số chiều đều: ............................................................................................ 20 2.3 Định lý Goldie phải: ............................................................................... 25 CHƯƠNG 3:VỀ CẤU TRÚC VÀNH GOLDIE NỬA NGUYÊN TỐ ..... 32 3.1 Thứ tự trong vành các thương:............................................................. 33 3.2 Các iđêan nguyên tố tối tiểu:................................................................. 39 KẾT LUẬN .................................................................................................... 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 45 3 BẢNG KÝ HIỆU Kí hiệu Đọc là AR A r R A là iđêan của vành R A là iđêan phải của vành R A e R A là iđêan cốt yếu của vành R MR NM Mn (D ) N là môđun con của M Vành ma trận vuông cấp n trên D M là R-môđun phải End R M Vành tự đồng cấu của R-môđun M CR (0) Tập tất cả các phần tử chính quy trong R rann X lann X ann X Linh hóa tử phải của tập X viết tắt r ( X ) Linh hóa tử trái của tập X viết tắt l( X ) Linh hóa tử của X {q ∈ Q/Iq ⊆ I} Thứ tự bên phải của R-iđêan I Or ( I ) = Ol ( I ) = {q ∈ Q/qI ⊆ I} Thứ tự bên trái của R-iđêan I 4 LỜI NÓI ĐẦU Cho vành R giao hoán có đơn vị 1. Một tập S ⊂ R được gọi là tập (con) nhân (tập đóng nhân) của R nếu 1∈ S và ∀x , y ∈ S ⇒ xy ∈ S . Xác định quan hệ ∼ trên tập R × S như sau: Với a, b ∈ R; s, t ∈ S thì (a, s)  (b, t ) ⇔ ∃u ∈ S,(at − bs)u =0 Dễ kiểm tra ∼ là quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương đương của (a, s) được ký hiệu: a / s và gọi là một thương (phân số). Gọi RS −1 là tập hợp tất cả các lớp tương đương a / s (thương, phân số). Trên RS −1 xác định phép cộng và nhân: a / s + b / t =(at + bs) / st , (a / s)(b / t ) = ab / st Khi đó RS −1 trở thành một vành giao hoán. Vành RS −1 được gọi là vành các thương của vành R theo tập con nhân S . Vậy nếu R không giao hoán thì vành các thưong RS −1 có thực sự tồn tại? Điều này không chắc vì khi R không có tính giao hoán thì kỹ thuật xây dựng trên không dùng được nên sự tồn tại của vành các thương là không bảo đảm. Tuy nhiên với R là vành Noether Goldie đã đưa ra định lý chứng tỏ rằng vành các thương có thể xây dựng được và nó là vành nửa nguyên tố. Hơn nữa khi R là vành nửa nguyên tố có vành các thương thì R được gọi là vành Goldie nửa nguyên tố và vành các thương của nó là vành Artin nửa đơn. Vậy với điều kiện nào để tồn tại vành các thương của vành Noether R ? Vành Goldie nửa nguyên tố có những đặc trưng cơ bản nào? Luận văn sẽ tìm hiểu và làm rõ vấn đề trên. 5 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương này nêu một số định nghĩa và tính chất cơ bản của đại số không giao hoán. Quy ước trong chương: Không nói gì thêm thì môđun M là một R-môđun phải; R là vành không giao hoán. 1.1 Định nghĩa vành: Cho tập hợp R khác rỗng , trên R ta trang bị hai phép toán thường được kí hiệu là “+ ” (đọc là phép cộng) và “.” (đọc là phép nhân). Ta nói R, +,. là một vành nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: i) R, + là một nhóm giao hoán. ii) R,. là một nửa nhóm. iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng: với các phần tử tùy ý x , y, z ∈ R ta có: x ( y + z) = xy + xz và ( y + z) x =yx + zx. Nếu phép nhân là giao hoán thì ta gọi R là vành giao hoán, nếu phép nhân có phần tử đơn vị thì ta gọi R là vành có đơn vị. 1.2 Định nghĩa vành con: Một bộ phận A khác rỗng của vành R cùng với hai phép toán của vành R cảm sinh trên A thành một vành thì ta nói A là vành con của vành R. 1.3 Định nghĩa iđêan của một vành: Cho R là một vành, một vành con A của R được gọi là ideal trái (ideal phải) của vành R nếu thỏa mãn điều kiện: ra ∈ A (ar ∈ A), ∀a ∈ A, . ∀r ∈ R . Vành con A của R được gọi là ideal của vành R nếu A vừa là ideal trái vừa là ideal phải của vành R . 1.4. Định nghĩa thể: Cho R là một vành có đơn vị. Nếu mọi phần tử khác 0 trong R đều khả 6 nghịch thì R được gọi là một thể hay một vành chia. 1.5 Định nghĩa module: Cho R là một vành tùy ý và M là một nhóm cộng aben. M được gọi là một R-môđun phải nếu có một ánh xạ f : MxR → M , (m, r )  f (m, r ) = mr Sao cho ∀m, m1 , m2 ∈ M và ∀a, b ∈ R thì: i) m(a + b) = ma + mb. ii) (m1 + m2 )a =m1a + m2 a. iii) (ma)b = m(ab). Chú ý: M R là R-môđun phải, tương tự ta có R M là R-môđun trái, M vừa là R- môđun phải vừa là R-môđun trái gọi là song môđun ký hiệu: R M R . 1.6 Định nghĩa môđun con: Cho R-môđun M và tập ∅ ≠ N ⊂ M . N được gọi là môđun con của M nếu: i) ∀x , y ∈ N : x − y ∈ N . ii) ∀a ∈ A, ∀x ∈ N : xa ∈ N . Tất nhiên môđun con N là một R-môđun với phép toán cảm sinh và M / N cũng là R-môđun được gọi là môđun thương. 1.7 Định nghĩa: M được gọi là môđun đơn hay bất khả quy nếu MR ≠ 0 và M có đúng hai môđun con là M và 0. Môđun M là tổng trực tiếp của các môđun đơn được gọi là nửa đơn, nếu các môđun đơn từng đôi một đẳng cấu với nhau thì M được gọi là isotypic. 1.8 Định nghĩa: - Môđun M được gọi là thỏa điều kiện dây truyền giảm (d.c.c) nếu mọi 7 dãy giảm các môđun M0 ⊃ M1 ⊃ .... dừng sau hữu hạn bước nghĩa là tồn tại n sao cho: = Mn M = ... . Khi đó M được gọi là môđun Artin. n +1 - M được gọi là thỏa điều kiện dây truyền tăng (a.c.c) nếu mọi dãy tăng các môđun: M1 ⊂ M2 ⊂ .... dừng sau hữu hạn bước nghĩa là tồn tại n sao cho: = Mn M = ... . Khi đó M được gọi là môđun Noether. n +1 Chú ý: Nếu N  M thì M là Noether hay Artin nếu và chỉ nếu cả N và M / N là Noether hay Artin. 1.9 Định lý: (Jordan-Hólder) Môđun M thỏa cả hai điều kiện a.c.c và d.c.c khi và chỉ khi tồn tại một cận trên n được gọi là chiều dài của của dãy dây truyền các môđun con của M. Khi đó mọi dây chuyền các môđun con của M: M0 ⊃ .... ⊃ Mn có thể được làm mịn đến độ dài n. Khi đó Mi / Mi +1 là môđun đơn. 1.10 Mệnh đề: M là môđun nửa đơn thì các điều kiện sau là tương đương: i). M thỏa điều kiện d.c.c. ii). M thỏa điều kiện a.c.c. iii). Dây chuyền các môđun con có độ dài hữu hạn. 1.11 Mệnh đề: Cho môđun M các điều kiện sau là tương đương: i). M là Neother. ii). Mỗi môđun con của M là hữu hạn sinh. iii). Mọi tập khác rỗng của các môđun con của M có phần tử tối đại. 1.12 Định nghĩa: Nếu R là R-môđun Noether thì R là vành Noether phải. Nếu R là R-môđun Artin thì R là vành Artin phải. 8 1.13 Hệ quả: Cho vành R các điều kiện sau là tương đương: i). R là vành Noether. ii). R thỏa điều kiện a.c.c. iii). Mỗi iđêan phải của R là hữu hạn sinh. iv) Mỗi tập khác rỗng của các iđêan phải của R có một phần tử tối đại. 1.14 Bổ đề: (Schur’s) Nếu M là môđun đơn thì End R ( M ) là vành chia. 1.15 Định nghĩa: Vành R là đơn nếu R có đúng hai iđêan là 0 và R. 1.16 Định lý: Cho vành R các điều kiện sau là tương đương: i) R là vành Artin phải đơn. ii) R  Mn ( D ) với mọi n và với mọi vành chia D. iii) R  End MS ở đây M là một S – môđun isotypic nửa đơn và độ dài n trên vành S là bất kì. 1.17 Định nghĩa: Iđêan A của vành R là lũy linh nếu A n = 0 với mọi n. 1.18 Định lý: Cho vành R các điều kiện sau là tương đương: i). R là tích trực tiếp hữu hạn các vành Artin đơn. ii). R là R-môđun nửa đơn. iii). R là Artin phải và có iđêan không lũy linh. iv). R là Artin phải và giao của các iđêan phải tối đại của nó là 0. 1.19 Định nghĩa: R là đơn và là tích trực tiếp hữu hạn các vành (Artin) đơn thì R được 9 gọi là vành (Artin) nửa đơn. 1.20 Định nghĩa: Căn N ( R) của vành Artin phải R là giao của các iđêan tối đại của nó. 1.21 Định lý: Nếu R là Artin phải thì N ( R) là lũy linh và là iđêan lũy linh lớn nhất của R. Và R / N ( R) là vành nửa đơn. 1.22 Hệ quả: Nếu R là Artin phải thì R là Noether phải. 1.23 Định nghĩa: Vành R được gọi là miền nguyên nếu tích của các phần tử khác không luôn khác không. Iđêan A của vành R là nguyên tố đầy đủ nếu R / A là miền nguyên. 1.24 Mệnh đề: Cho R là vành các điều kiện sau là tương đương. i) Nếu 0 ≠ a, b ∈ R thì aRb ≠ 0. ii) Nếu 0 ≠ A, B  RR thì AB ≠ 0. iii) Nếu 0 ≠ A, B  R thì AB ≠ 0. 1.25 Định nghĩa: aRb 0, a, b ∈ R thì a = 0 Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu = hoặc b = 0 . Iđêan A của vành R được gọi là iđêan nguyên tố nếu R / A là vành nguyên tố. Tập của các iđêan nguyên tố của R được ký hiệu Spec R. 1.26 Định nghĩa: Căn nguyên tố của R là giao của tất cả các iđêan nguyên tố của R. Rõ ràng căn nguyên tố của R chứa tất cả các iđêan lũy linh của R. Nếu R là vành Artin phải thì căn nguyên tố của nó trùng với N ( R) . Ta vẫn kí hiệu là N ( R) . 10 1.27 Định nghĩa: Một phần tử a của vành R là lũy linh nếu tồn tại n sao cho a n = 0 . Nếu mỗi phần tử của tập con của R là lũy linh thì R được gọi là nil. Một phần tử a là lũy linh mạnh nếu a = a0 , a1 ,... sao cho an+1 ∈ an Ran và không dừng. Mọi phần tử lũy linh mạnh là lũy linh và mỗi phần tử trong iđêan phải lũy linh là lũy linh mạnh. 1.28 Định lý: Căn nguyên tố N ( R) là nil thì N ( R) là tập hợp các phần tử lũy linh mạnh của R . 1.29 Hệ quả: Cho R là vành các điều kiện sau tương đương: i) R có iđêan phải khác không, không lũy linh. ii) R có iđêan khác không, không lũy linh. iii) N ( R) = 0 . 1.30 Định nghĩa: Vành R là nửa nguyên tố khi và chỉ khi N ( R) = 0 . Iđêan A của vành R là nửa nguyên tố nếu R / A là vành nửa nguyên tố. Căn nguyên tố N ( A) của iđêan A là giao của các iđêan nguyên tố chứa A. Hiển nhiên N ( R / A) = N ( A) / A và N ( A) là nửa nguyên tố. 1.31 Định nghĩa: Môđun M R được gọi là trung thành khi và chỉ khi Mr = 0 nếu r = 0 với mọi r ∈ R . Nếu vành R có một môđun đơn trung thành M R thì R là nguyên thủy phải. 1.32 Bổ đề: i) Vành đơn thì là nguyên thủy. 11 ii) Vành nguyên thủy thì nguyên tố. 1.33 Định nghĩa: Căn Jacobson của vành R là giao của tất cả các iđêan nguyên thủy phải của R. Ký hiệu J ( R) . Khi R là vành Artin phải thì J ( R) = N ( R) . 1.34 Định lý: A là iđêan của vành R thì các điều kiện sau là tương đương: i) A = J ( A) . ii) A là giao của tất cả các iđêan tối đại của R. iii) A là iđêan lớn nhất sao cho 1 − a là khả nghịch với a ∈ A. 1.35 Định nghĩa: Nếu J ( R) = 0 thì R là nửa nguyên thủy. Iđêan A của R là nửa nguyên thủy nếu R / A là nửa nguyên thủy. 1.36 Bổ đề (Nakayama) Nếu môđun M là hữu hạn sinh và khác không thì M ≠ MJ ( R) . 1.37 Định nghĩa: Phần tử e ≠ 0 được gọi là lũy đẳng nếu e2 = e . 1.38 Bổ đề : Cho vành R không có iđêan lũy linh khác (0). Giả sử ρ ≠ 0 là một iđêan phải tối tiểu của R. Khi đó, tồn taị phần tử lũy đẳng e trong R sao cho ρ = eR . 1.39 Bổ đề: Cho R là một vành và a ∈ R sao cho a2 − a lũy linh. Khi đó, hoặc a là lũy linh hoặc tồn tại một đa thức q(x) với hệ số nguyên sao cho e = aq(a) là phần tử lũy đẳng khác không. 1.40 Định lý: Nếu R là vành Artin và ρ ≠ 0 là một iđêan phải không lũy linh của R 12 thì ρ có chứa một phần tử lũy đẳng khác không. 1.41 Định lý: Cho R là một vành bất kỳ và e là phần tử lũy đẳng của R. Khi đó J (eRe) = eJ ( R)e. 1.42 Định lý: Cho R là vành không có iđêan lũy linh khác không và giả sử rằng e ≠ 0 là phần tử lũy đẳng trong R. Khi đó, eR là iđêan phải tối tiểu của R khi và chỉ khi eRe là vành chia. 1.43 Hệ quả: Cho R không có iđêan lũy linh khác không và e ≠ 0 là một phần tử lũy đẳng trong R. Khi đó, eR là iđêan tối tiểu của vành R nếu và chỉ nếu Re là iđêan tối tiểu của vành R. 1.44 Định nghĩa: Phần tử x ∈ R là chính quy phải nếu xr = 0 thì r = 0. Phần tử x ∈ R là chính quy trái nếu rx = 0 thì r = 0. Phần tử x ∈ R là chính quy nếu nó vừa chính quy phải và chính quy trái. Kí hiệu: CR (O ) là tập tất cả các phần tử chính quy của R. 13 CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÝ GOLDIE Như chúng ta đã biết đối với một vành giao hoán thì vành các thương luôn tồn tại, nhưng đối với vành không giao hoán thì điều này không được đảm bảo. Tuy nhiên với các vành Noether nửa nguyên tố thì sự tạo thành vành các thương luôn có thể thực hiện được. Chương này sẽ đưa ra điều kiện về sự tồn tại vành các thương và đưa ra một công cụ để nghiên cứu vành Noether đó là số chiều đều. 2.1 Điều kiện Ore phải: Cho vành R với S là tập các phần tử chính quy trong R, S ≠ ∅ . Vành R được gọi là thỏa điều kiện Ore phải nếu ∀a ∈ R và s ∈ S đều tồn tại một phần tử b ∈ R và một phần tử y ∈ S sao cho: ay = sb . Khi đó R được gọi là vành Ore phải. Vành thỏa mãn điều kiện Ore trái và phải là vành Ore. Miền nguyên R được gọi là miền Ore phải nếu CR (0) là tập Ore phải. 2.1.1 Định nghĩa: Lấy R là vành con của Q. Vành Q được gọi là vành các thương phải của R nếu thỏa các điều kiện sau: i). Mọi phần tử chính quy của Q là phần tử khả nghịch. ii) Mỗi phần tử trong Q đều có dạng ab −1 , trong đó a, b ∈ R và b là phần tử chính quy trong R. 2.1.2 Định lý: Vành R có một vành các thương bên phải khi và chỉ khi vành R thỏa mãn điều kiện Ore phải. Chứng minh: Lấy vành R thỏa mãn điều kiện Ore phải, S là tập các phần tử chính 14 quy của R. Ta xây dựng một quan hệ  trên tập hợp RxS như sau: bx= dy ∈ S (a, b)  (c, d ) ⇔ ∃x , y ∈ R :  ax= cy ∈ R *Ta cần chứng minh  là quan hệ tương đương trên RxS. i) Tính phản xạ. ii) Tính đối xứng. iii) Tính bắc cầu. Giả sử (a, b)  (c, d ) và (c, d )  ( f , g). Theo định nghĩa tồn tại x,y,x 1 ,y1 ,∈ R sao cho: dx = gy1 ∈ S bx = dy ∈ S và  1 .  ∈ fy R ax= ax= cy ∈ R 1 1 Theo điều kiện Ore phải: bxS ∩ dx1R ≠ 0. Do đó tồn tại s ∈ S, a ' ∈ R sao cho: bxS = dx1R ∈ S. Vì bx = dy nên dys = bxs = dx1a ' hay d ( ys − x1a ') = 0. Ta sẽ có : a= ( xs) (ax = )s (cy = )s c= ( ys) c( x= a ') ( fy= )a ' f ( y1a ') ∈ R. 1 1 b= ( xs) (bx = )s (dy = )s d= ( ys) d ( x= a ') ( gy= )a ' g( y1a ') ∈ R. 1 1 Nghĩa là (a, b)  ( f , g). Vậy quan hệ  là quan hệ tương đương. Kí hiệu tập tất cả các lớp tương đương theo quan hệ  là RS−1. Lớp tương đương với phần tử đại diện (a, b) là a / b hoặc ab −1. * Định nghĩa phép cộng trên RS−1 : bx dy ∈ S (rõ ràng Nếu a / b, c / d ∈ RS−1 thì theo điều kiện Ore ∃x , y : m == a / b = ax / m và c / d = cy / m ). Ta định nghĩa phép cộng trên RS−1 như sau: 15 a / b + c / d =(ax + cy ) / m. i) Phép cộng không phụ thuộc cách chọn m: bx ' =∈ dy ' S( x ', y ' ∈ S ) = Thật vậy, nếu m ' = và mu m ' v(u, v ∈ S ). Kéo theo bxu = bx ' v. Vì b ∈ S nên xu = x ' v. Chứng minh tương tự ta có: yu = y ' v. Do đó: (ax+cy)u=(ax'+ cy ')v. (ax'+ cy ') / m. Hay (ax + cy ) / m = ii) Phép cộng không phụ thuộc cách chọn đại diện của lớp a / b. bx ' = dy ' = b ' z. Thật vậy, nếu a / b = a '/ b ' thì ta có x ', y ', z ∈ S : m ' = Do đó: ax' = a ' z. Mặt khác: t =a / b + c / d =(ax + cy ) / m =(ax'+ cy ') / m '. (a ' z + cy ') / m ' = a '/ b '+ c / b. Vì thế t = * Định nghĩa phép nhân trên RS −1 : Nếu a / b, c / d ∈ RS−1. Thì ∃y1 ∈ S, x1 ∈ R : n = bx1 = cy1 ∈ S ( = lưu ý a / b ax = / n, c / d n / dy1 ), ta có 1 định nghĩa: (a / b).(c / d ) = ax1 / dy1. * Phép nhân không phụ thuộc cách chọn x1 , y1 trong đẳng thức bx1 = cy 1 và cách chọn đại diện a / b, c / d . Lấy a / b = a '/ b '. Chọn u, v ∈ S : bu = b ' v ⇒ au = a ' v. Tồn tại x ∈ R, y ∈ S : n ' = bux = cvy = b ' vx. Khi đó 16 (a / b)(c / d = (aux) / (dvy ) = (a ' vx ) / (dvy ) = (a ' b ')(c / d ). ● (RS−1 , +,.) là một vành có phần tử đơn vị là 1 / 1. ● ϕ : R  → RS−1 ,ϕ ( R)= a / 1 là một đồng cấu vành. Hơn nữa, lấy a ∈ S, a / 1 có phần tử nghịch đảo trong RS −1 là (a / 1)−1 = 1 / a Nếu a / b ∈ RS−1 thì a / b = (a / 1)(1 / b). Điều này chỉ ra rằng RS−1 vành các thương bên phải của vành con Im ϕ Vì thế R có vành các thương bên phải. 2.1.3 Định lý: R là miền Ore phải khi và chỉ khi R có vành các thương bên phải là vành chia. Chứng minh: Nếu R là một miền Ore phải thì theo định lý 2.1.2 , R có một vành các thương bên phải RS−1 . Ta sẽ chứng minh rằng RS−1 là vành chia. Thật vậy, lấy a / b ∈ RS−1 và a / b ≠ 0 suy ra a ≠ 0. Vì R là miền nguyên nên a ∈ S. Vì thế b / a ∈ RS−1 và là phần tử nghịch đảo của a / b. Do đó RS−1 là vành chia. Ngược lại, lấy a, b ∈ A và a, b ≠ 0. Vì tất cả các phần tử chính quy là khả nghịch trong RS −1 , a −1b ∈ RS −1. Nên = a −1b xy −1 ( x , y ∈ R) hay ax = by. Suy ra R là vành Ore phải. Mà là vành chia được nên tất cả các phần tử khác 0 của R đều không là ước của 0. Do đó R là miền Ore phải. 17 2.1.4 Định lý : R là vành Ore phải và S là tập không rỗng các phần tử chính quy trong R thì bất kì a1b1−1 , a2 b2−1 ∈ RS −1 đều tồn tại s ∈ S và t1 , t2 ∈ R sao cho: = ai bi−1 (a= t )s−1 , i 1,2. i i Chứng minh: Từ điều kiện Ore phải với b1 , b2 ∈ S đều tồn tại t1 , t2 ∈ R sao cho = s b= t b2t2 ∈ S. 11 b −1 )s.s−1 a= b −1bi ti s−1 (a1t1 )s−1. Khi đó ta= có ai bi−1 (a= i i i i 2.1.5 Định lý: Nếu R là vành Ore phải và S là tập không rỗng các phần tử chính quy trong R thì ta có: −1 i) Nếu I là ideal phải của R thì IS= {xs−1 , s ∈ S, x ∈ I} là ideal phải của RS−1. ii) Nếu I1 ⊕ I 2 ⊕ ... ⊕ I n là tổng trực tiếp các ideal phải của R thì I1S −1 ⊕ I 2 S −1 ⊕ ... ⊕ I n S −1 là tổng trực tiếp các ideal phải của RS−1. Chưng minh: 1,2). i) Lấy ai ∈ I và ai bi−1 ∈ IS −1 (i = = ai bi−1 (a= t )−1 ,(i 1,2). Theo định lý 2.1.4 tồn tại s ∈ S và t1 ∈ R sao cho i i 1 (a1b1 )s−1 + (a2 b2 )s−1 Ta có : a1b1−1 + a2 b2−= = (a1b1 + a2 b2 )s−1 ∈ IS −1. Suy ra IS −1 đóng với phép cộng (1). Vì S −1R ⊆ RS −1 nên IS −1.RS −1 ⊆ IR.S −1 = IS −1 (2). Từ (1), (2) suy ra là ideal phải của RS −1. 18 0. 1, n) và a1b1−1 + a2 b2−1 + ... + an bn−1 = ii) Lấy ai bi−1 ∈ IS −1 (i = = ai bi−1 (a= t )s−1 , i 1, n. Theo định lý 2.1.4 tồn tại s ∈ S và ti ∈ R sao cho i i 0. Khi đó: (a1t1 )s−1 + (a2t2 )s−1 + ... + (an tn )s−1 = Hay a1t1 + a2t2 + ... + antn = 0. Do I1 ⊕ I 2 ⊕ ... ⊕ I n là tổng trực tiếp các ideal phải của R nên ai ti = 0, ∀i = 1, n t )s−1 , i 1, n. Suy = ra ai bi−1 (a= i i Nghĩa là I1S −1 ⊕ I 2 S −1 ⊕ ... ⊕ I n S −1 là tổng trực tiếp các ideal phải của RS−1. 2.1.6 Định lý : Nếu R là vành Ore phải và S là tập không rỗng các phần tử chính quy trong R thì ta có: i) Nếu I là ideal phải của RS−1 thì I  R là ideal phải của R và ( I  R)S −1 = ( I  R) RS−1. ii) Nếu I1 ⊕ I 2 ⊕ ... ⊕ I n là tổng trực tiếp các ideal phải của RS−1 thì ( I1  R) ⊕ ( I 2  R) ⊕ ... ⊕ (I n  R) là tổng trực tiếp các ideal phải của R. Chứng minh: i) Hiển nhiên ( I ∩ R)S −1 ⊆ I . Ngược lại, lấy= x ab −1 ∈ I . Suy ra a = xb ∈ I ∩ R. Hay x ∈ ( I ∩ R)S −1. ii) Hiển nhiên. 2.1.7 Mệnh đề: Cho S là tập không rỗng chứa các phần tử chính quy của vành R và cho Q = RS thì: