Về các vành noether không giao hoán

  • Số trang: 50 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 28 |
  • Lượt tải: 0
minhtuan

Đã đăng 15929 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phạm Thị Hoài Thương VỀ CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phạm Thị Hoài Thương VỀ CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số. Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 LỜI CẢM ƠN ***** Trước tiên qua luận văn này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và lời chúc sức khỏe tốt đẹp nhất đến các thầy: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ, PGS.TS MỴ VINH QUANG, TS TRẦN HUYÊN, PGS.TS BÙI XUÂN HẢI, TS TRẦN TUẤN NAM và các thầy cô đã trực tiếp giảng dạy truyền đạt kiến thức cho tôi cùng các bạn học viên cao học khóa 20. Đặc biệt tôi kính gửi lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ đã tận tình chỉ bảo tôi trong quá trình thực hiện luận văn này. Qua đây tôi cũng xin chân thành cảm ơn đến tất cả các bạn học viên cao học khóa 20 đã gắn bó với tôi trong quá trình học tập tại trường và quý thầy cô khoa Toán và phòng Sau Đại Học đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi học tập, nghiên cứu. Và cuối cùng xin cảm ơn gia đình tôi cùng những người bạn đã hỗ trợ, động viên tôi để hoàn thành luận văn này. TP Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2012 Tác giả luận văn Phạm Thị Hoài Thương MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................................................3 MỤC LỤC.................................................................................................................................................4 LỜI MỞ ĐẦU ..........................................................................................................................................5 Hệ thống các kí hiệu............................................................................................................................6 CHƯƠNG 1: NỘI DUNG CƠ BẢN VỀ VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN ..........................................7 1.1. MÔĐUN .......................................................................................................................7 1.2. VÀNH NGUYÊN TỐ, VÀNH NỬA NGUYÊN TỐ ................................................. 10 1.3.RADICAL NGUYÊN TỐ CỦA MỘT VÀNH ........................................................... 17 1.4. VÀNH ĐƠN, VÀNH NỬA ĐƠN .............................................................................. 18 1.5. VÀNH NGUYÊN THỦY, VÀNH NỬA NGUYÊN THỦY ..................................... 21 1.6. RADICAL JACOBSON CỦA MỘT VÀNH ............................................................. 23 CHƯƠNG 2: LỚP CÁC VÀNH NOETHER VÀ ARTIN ................................................................ 25 2.1. VÀNH NOETHER: .................................................................................................... 25 2.2.VÀNH ARTIN ............................................................................................................ 28 CHƯƠNG 3 : MỘT SỐ TÌM HIỂU SÂU VỀ LỚP CÁC VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN.................................................................................................................................................... 35 3.1. SỬ DỤNG CÁC MA TRẬN NHƯ VẬT LIỆU ĐỂ XÂY DỰNG VÍ DỤ VỀ VÀNH NOETHER KHÔNG GIAO HOÁN. ......................................................................................... 35 3.2.ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA HILBERT: ........................................................................ 45 Kết luận .............................................................................................................................................. 49 Tài liệu tham khảo ......................................................................................................................... 50 LỜI MỞ ĐẦU Các vành Noether không giao hoán đã được nghiên cứu từ rất lâu và là lớp vành quan trọng trong Đại số không giao hoán. Nhưng những ví dụ và những hình ảnh cụ thể về nó đôi khi chưa được miêu tả một cách đầy đủ. Mục đích của luận văn này là nghiên cứu về lớp các vành Noether không giao hoán , đưa ra những ví dụ về những mô hình cụ thể để chứng minh rằng đây là lớp vành rất rộng. Do giới hạn của luận văn, chúng tôi chỉ xây dựng các ví dụ về lớp các vành Noether không giao hoán theo hai hướng: 1/ Sử dụng vật liệu là các ma trận. 2/ Sử dụng vật liệu là vành đa thức một ẩn và vành đa thức nhiều ẩn trên vành R không giao hoán. Nội dung luận văn gồm 3 chương: Chương 1: nội dung cơ bản về vành không giao hoán. Chương 2: Lớp các vành Noether và Artin. Chương 3: Một số tìm hiểu sâu về lớp các vành Noether không giao hoán. Hệ thống các kí hiệu E(M): tập các tự đồng cấu của nhóm cộng M. {r ∈ R : Mr = (0)} AR ( M ) = R R : R là môđun phải trên chính nó. R R: R là môđun trái trên chính nó. M R : M là môđun phải trên R. R M: M là môđun trái trên R. SBT: B là (S,T)- song môđun. K[x]: Vành đa thức một ẩn với hệ số trên vành K. K[x 1 ,...,x n ]: Vành đa thức nhiều ẩn với hệ số trên vành K. I( A ) = {r ∈ R / rA ⊆ A} CHƯƠNG 1: NỘI DUNG CƠ BẢN VỀ VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN 1.1. MÔĐUN Định nghĩa1.1.1 M được gọi là R – môđun trung thành nếu với r ∈ R mà Mr = (0) thì r = 0. Cho M là một R – môđun. Ký hiệu AR ( M ) = {r ∈ R : Mr = (0)} Bổ đề 1.1.2 AR(M) là iđêan hai phía của R. Hơn nữa, M là R A( M ) - môđun trung thành. Cho M là một R – môđun. Với mỗi r ∈ R , ta được một tự đồng cấu nhóm cộng Tr : M → M , Tr (m)= mr , ∀m ∈ M Ký hiệu E(M) là tập tất cả các tự đồng cấu nhóm cộng M. Trên E(M) ta trang bị hai phép toán cộng và nhân như sau: Phép cộng: ∀ϕ, ψ ∈ E ( M ), (ϕ + ψ)(m) = ϕ(m) + ψ(m), ∀m ∈ M Phép nhân: ∀ϕ, ψ ∈ E ( M ), (ϕ.ψ )(m) =ϕ(ψ (m)), ∀m ∈ M Khi đó, (E(M), +, .) là một vành. Xét ánh xạ φ : R → E ( M ), φ(r )= Tr , ∀r ∈ R . Rõ ràng φ là một đồng cấu vành. Kiểm tra trực tiếp ta được được R AR ( M ) Ker φ = AR ( M ) . Do đó, theo định lý Noether ta ≅ Imφ Bổ đề 1.1.3 R A( M ) đẳng cấu với vành con của vành E(M). Định nghĩa 1.1.4 Cho M là một R – môđun. Ta định nghĩa commuting của vành R là C ( M ) = {ϕ∈ E ( M ) : Tr ϕ = ϕTr , ∀r ∈ R} Định nghĩa 1.1.5 M được gọi là R – môđun bất khả quy nếu nó thỏa hai tính chất 1) MR ≠ (0) 2) M chỉ có hai môđun con là (0) và M Định lý 1.1.6. (bổ đề Schur) Nếu M là một R – môđuun bất khả quy thì C(M) là một vành chia Chứng minh. Do C(M) là vành con của vành E(M) nên ta chỉ còn phải chứng minh mọi phần tử khác không trong C(M) đều khả nghịch. Tuy nhiên, nếu 0 ≠ ϕ ∈ C ( M ) mà có ϕ−1 ∈ E ( M ) thì từ ϕTr = Tr ϕ ⇒ ϕTr ϕ−1 = Tr ϕϕ−1 ⇒ Tr ϕ−1 = ϕ−1Tr ⇒ ϕ−1 ∈ C ( M ) . Do đó, ta chỉ cần chứng minh mọi phần tử khác không trong C(M) đều khả nghịch trong E(M). Với mọi 0 ≠ ϕ ∈ C ( M ) , ta có ϕ( M ) ≠ (0) , mà M là môđun trung thành nên ϕ( M ) = M . Tức ϕ toàn cấu. Mặt khác, nếu Kerϕ ≠ (0) thì cũng do M là môđun trung thành nên Ker ϕ = M , suy ra ϕ =0 (MT). Do đó, Kerϕ =(0) hay ϕ là đơn cấu. Vậy ϕ là đẳng cấu. Suy ra ϕ có đồng cấu ngược ϕ−1 ∈ E ( M ) . Đây là điều ta cần chứng minh. Định nghĩa 1.1.7 Một iđêan phải ρ của vành R được gọi là chính quy nếu tồn tại r ∈ R sao cho x − rx ∈ρ, ∀x ∈ R . Bổ đề 1.1.8 Nếu M là một R– môđun bất khả quy thì M đẳng cấu (như một môđun) với R– môđun thương R ρ , trong đó ρ là một iđêan phải tối đại, chính quy nào đó của R. Ngược lại, nếu ρ là một iđêan phải tối đại, chính quy của R thì R ρ là R – môđun bất khả quy. Chứng minh. Vì M là R – môđun bất khả quy nên MR ≠ (0) . Ký hiệu: S = {u ∈ M : uR = (0)} Dễ thấy S là môđun con của M. Do MR ≠ (0) nên S ≠ M , mà M là môđun bất khả quy nên S = (0). Điều này có nghĩa là ∃m ∈ M \{0}: mR ≠ (0) . Nhưng mR cũng là môđun con của môđun trung thành M nên mR = M . Xét R- đồng cấu ϕ : R → M , ϕ(r= ) mr ∀r ∈ R . Ta có ϕ( R) = mR = M nên ϕ laà toàn cấu. Theo định lý Noether, M ≅ R ρ , với = ρ Ker ϕ . Ta còn phải chứng minh = ρ Ker ϕ là iđêan tối đại và chính quy. +) = ρ Ker ϕ là iđêan tối đại của R: giả sử ρ′ là iđêan phải của R thỏa ρ ⊂ ρ′ . Khi ≠ đó, ρ′ ρ ≠ (0) . Mặt khác, M ≅ R ρ nên R ρ là môđun chính quy, do đo, ρ′= R ⇒ = ρ′ R . ρ ρ Tức ρ là iđêan phải tối đại của R. +) = ρ Ker ϕ chính quy: vì mR = M nên ta suy ra ∃r ∈ R : mr = m ⇒ mrx = mx ⇔ m( x − rx) = 0, ∀x ∈ R ⇔ x − rx ∈ Ker ϕ = ρ, ∀x ∈ R . Tức = ρ Ker ϕ là iđêan chính quy. Ngược lại, giả sử ρ là một iđêan phải tối đại, chính quy của R, ta sẽ chứng minh R ρ là R– môđun bất khả quy. +) R ρ= .R R ≠ (0) ρ +) Giả sử ρ′ ρ là một môđun khác không của R ρ . Khi đó, ρ ⊂ ρ′ . Nhưng ρ là iđêan ≠ phải tối đại của R nên ρ′ =R , tức ρ′ ρ = R ρ . Vậy R ρ là R – môđun bất khả quy. 1.2. VÀNH NGUYÊN TỐ, VÀNH NỬA NGUYÊN TỐ Định nghĩa 1.2.1 Một idean nguyên tố trong vành R là một idean thực sự P của R thỏa mãn nếu I, J là các idean của R và IJ ⊆ P thì hoặc I ⊆ P hoặc J ⊆ P . Một vành nguyên tố là vành mà trong đó 0 là idean nguyên tố. Chú ý rằng một vành nguyên tố phải khác 0. Mệnh đề 1.2.2 Với một idean thực sự của vành R, các điều kiện sau là tương đương: a) P là idean nguyên tố. b) Nếu I, J là các idean của R thực sự chứa P thì IJ ⊄ P c) R/P là vành nguyên tố. d) Nếu I, J là các idean phải của R và IJ ⊆ P thì hoặc I ⊆ P hoặc J ⊆ P e) Nếu I, J là các idean trái của R và IJ ⊆ P thì hoặc I ⊆ P hoặc J ⊆ P f) Nếu x, y ∈ R và xRy ⊆ P thì hoặc x ∈ P hoặc y ∈ P Chứng minh: a ) ⇒ b) Hiển nhiên. b) ⇒ c) Lấy I và J là các idean trong R/P, tồn tại các idean I ' ⊇ P và J ' ⊇ P trong R sao cho I’/P=I và J’/P=J. Nếu IJ=0 thì I ' J ' ⊆ P . Do b), hoặc I’=P hoặc J’=P và vì thế hoặc I=0 hoặc J=0. c) ⇒ a ) Nếu I và J là các idean của R thỏa IJ ⊆ P thì (I+P)/P và (J+P)/P là các idean của R/P mà có tích bằng 0. Khi đó (I+P)/P=0 hoặc (J+P)/P=0, từ đó hoặc I ⊆ P hoặc J ⊆ P a ) ⇒ d ) Vì I là idean phải, (RI)(RJ)=RIJ ⊆ P . Do đó hoặc RI ⊆ P hoặc RJ ⊆ P d ) ⇒ f ) Vì ( xR )( yR ) ⊆ P , hoặc xR ⊆ P hoặc yR ⊆ P f ) ⇒ a ) Cho idean I ⊄ P và J ⊄ P , chọn các phần tử x ∈ I \ P và y ∈ I \ P . Khi đó xRy ⊄ P , từ đó IJ ⊄ P a ) ⇔ e) Chứng minh tương tự. Từ mệnh đề 1.2.2 bằng quy nạp kéo theo rằng nếu P là idean nguyên tố trong vành R và J 1 , J 2 , ...,J n là các idean phải của R sao cho J1 J 2 ... ⊆ P thì tồn tại J i ⊆ P . Mệnh đề 1.2.3 Mọi idean tối đại M của vành R đều là idean nguyên tố. Chứng minh: Nếu I, J là các idean của R không chứa trong M, thì I+M=R và J+M=R. Ta có: R = ( I + M )( J + M ) = IJ + IM + JM + M 2 ⊆ IJ + M Và do đó IJ  M ta có điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.2.3 cùng với bổ đề Zorn chỉ ra rằng mọi vành khác 0 đều có ít nhất một idean nguyên tố. Một idean nguyên tố tối tiểu trong vành R là một idean nguyên tố của R không thực sự chứa bất kì các idean nguyên tố khác. Nếu R là vành nguyên tố thì 0 là idean nguyên tố tối tiểu của R, và nó là duy nhất. Mệnh đề 1.2.4 Bất kì idean nguyên tố P trong vành R chứa một idean nguyên tố tối tiểu. Chứng minh: Lấy X là tập các idean nguyên tố của R chứa trong P. chúng ta sử dụng bổ đề Zorn trong X để chỉ ra rằng bất kì dây chuyền khác rỗng Y ⊆ X đều có cận dưới trong X. Đặt Q = ∩Y là một idean của R, và rõ ràng rằng Q ⊆ P . Ta chứng tỏ rằng Q là idean nguyên tố. Với x,y∈ R và xRy ⊆ Q , nhưng x ∉ Q . Ta chứng minh y ∈ Q . Khi đó x ∉ P ' với P’ nào đó ∈ Y . Vì xRy ⊆ Q ⊆ P ' và P’ nguyên tố , từ đó y ∈ P ' Với bất kì P '' ∈ Y mà P '' ⊆ P ' , ta có x ∉ P '' và xRy ⊆ Q ⊆ P '' nên y ∈ P '' Với P '' ∈ Y và P ''  P ' thì P '  P '' và vì thế y ∈ P '' Do đó, y ∈ P '' với mọi P '' ∈ Y , và vì thế y ∈ Q , chứng tỏ Q là idean nguyên tố. Lúc này Q ∈ X và Q là cận dưới của Y. Do đó, theo bổ đề Zorn cho chúng ta một idean nguyên tố P* ∈ X mà tối tiểu trong các idean của X. Vì bất kì idean nguyên tố chứa trong P* đều trong X, chúng ta kết luận rằng P* là một idean nguyên tố tối tiểu của R. Cho một idean I trong vành R và một idean nguyên tố P chứa I, theo mệnh đề I.2.4 thì idean nguyên tố P/I chứa một idean nguyên tố tối tiểu Q/I của R/I. Khi đó Q là idean nguyên tố của R chứa I và là tối tiểu trong số các nguyên tố chứa I. Tóm lại, Q là nguyên tố tối tiểu trên I. Mệnh đề 1.2.5 Trong vành Noether trái hoặc phải, tồn tại hữu hạn các idean nguyên tố tối tiểu mà tích hữu hạn của các idean nguyên tố tối tiểu đó (cho phép lặp lại ) bằng 0. Chứng minh: Chú ý rằng chứng minh sau không đòi hỏi bắt buộc về giả thiết vành Noether trái hoặc phải, chỉ cần điều kiện ACC trên các idean hai phía. Đủ để chứng minh rằng tồn tại các idean nguyên tố P 1 ,…,P n trong R sao cho P 1 P 2 …P n =0. Để thấy điều này, chú ý rằng sau khi thay thế mỗi P i bởi một idean nguyên tố tối tiểu trong nó, chúng ta có thể thừa nhận rằng mỗi P i là tối tiểu. Vì bất kì nguyên tố tối tiểu P chứa P 1 P 2 ...P n , nó phải chứa một P j nào đó, từ đó P=P j , do tính tối tiểu. Do đó idean nguyên tố tối tiểu của R được chứa trong tập hữu hạn {P 1 ,…,P n }. Giả sử không có tích hữu hạn các idean nguyên tố trong R bằng 0. Lấy X là tập các idean K trong R mà không chứa tích hữu hạn các idean nguyên tố. Vì X chứa 0, nên khác rỗng. Do giả thiết vành Noether, tồn tại phần tử tối đại K ∈ X . Do đó chúng ta có thể thừa nhận, không mất tính tổng quát, rằng không có tích hữu hạn của các idean nguyên tố trong R bằng 0, trong khi tất cả các idean khác 0 của R chứa tích hữu hạn các idean nguyên tố. Đặc biệt, 0 không thể là idean nguyên tố. Do đó, tồn tại các idean khác không I, J trong R sao cho IJ=0. Khi đó tồn tại các idean nguyên tố P 1 ,…P m ,Q 1 ,…,Q n trong R với PP 1 2 ...Pm ⊆ I và Q1Q2 ...Qn ⊆ J . Nhưng khi đó PP 1 2 ...Pm Q1Q2 ...Qn = 0 mâu thuẫn với giả thiết. Do đó tồn tại tích hữu hạn các idean nguyên tố trong R bằng 0. Định nghĩa 1.2.6 Một idean nửa nguyên tố trong vành R là một idean của R mà là giao của các idean nguyên tố (quy ước giao của họ rỗng các idean nguyên tố của R là R, vì thế R là idean nửa nguyên tố của chính nó). Một vành nửa nguyên tố là một vành mà trong đó 0 là idean nửa nguyên tố. Chú ý rằng một idean P trong vành R là nửa nguyên tố nếu và chỉ nếu R/P là vành nửa nguyên tố. Bổ đề 1.2.7 Cho R là vành và X là tập con của R sao cho 0 ∉ X và X là đóng với phép nhân. Lấy P là một idean của R được chọn tối đại đối với tính chất mà P và X rời nhau. Khi đó P là idean nguyên tố. Chứng minh: Chúng ta chứng minh theo điều kiện b của mệnh đề 1.2.2: Nếu I và J là các idean của R sao cho I ⊃ P và J ⊃ P , khi đó IJ ⊄ P . Vì I ⊃ P , do tính tối đại của P, có một phần tử x ∈ I \ P mà P ∩ X = ∅ nên x∈ X ∩ I . Tương tự, vì J ⊃ P nên tồn tại y ∈ X ∩ J . Khi đó xy ∈ IJ và xy ∈ X (vì X là đóng với phép nhân). Vì P và X là rời nhau, kéo theo IJ  P , ta có điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.2.8 Nếu R là vành giao hoán, thì: a) Giao của tất cả các idean nguyên tố của R là tập các phần tử lũy linh của R. b) Với mỗi idean I của R, giao của tất cả các idean nguyên tố của R chứa I là tập các phần tử r ∈ R sao cho r n ∈ I với n là số nguyên dương nào đó. c) Vành R là nửa nguyên tố nếu và chỉ nếu nó không chứa các phần tử lũy linh khác 0. Chứng minh: Nếu r là một phần tử lũy linh của R, thì r phải chứa trong mọi idean nguyên tố, vì nếu P là một idean nguyên tố, R/P không có phần tử lũy linh khác 0. Do đó, tất cả các phần tử lũy linh đều nằm trong giao của các idean nguyên tố. Ngược lại, nếu r không lũy linh, thì lấy = X {r n | n ∈ N } , chúng ta có thể áp dụng bổ đề 1.2.7 để có được một idean nguyên tố P của R mà r ∉ P và vì thế r không nằm trong giao của các idean nguyên tố. Rõ ràng, b) kéo theo từ a) bằng cách chuyển sang vành R/I, và c) là trường hợp đặc biệt của a). Định lý 1.2.9: [Levitzki, nagata] Một idean I của vành R là nửa nguyên tố nếu và chỉ nếu (*) bất cứ khi nào x ∈ R với xRx ⊆ I thì x ∈ I . Chứng minh: { } Đầu tiên ta giả sử rằng I bằng giao của họ P | j ∈ J các idean nguyên tố. j Lấy x ∈ R với xRx ⊆ I , chúng ta có xRx ⊆ Pj với mỗi j ∈ J , P j nguyên tố. Khi đó x nằm trong mỗi P j , từ đó x ∈ I . Ngược lại , giả sử (*) đúng. Chúng ta chứng minh rằng I bằng giao của tất cả các idean nguyên tố của R chứa I. Do đó cho bất kì x ∈ R \ I chúng ta cần một idean nguyên tố P ⊇ I sao cho x ∉ P . Đặt x o =x. Do (*), x0 Rx0 ⊄ I và vì thế ta có thể chọn 1 phần tử x1 ∈ x0 Rx0 \ I . Cũng do (*) đối với x 1 ta có thể chọn phần tử x2 ∈ x1 Rx1 \ I . Tiếp tục quá trình này ta có các phần tử x 0 , x 1 ,x 2 ,…trong R\I sao cho xi +1 ∈ xi Rxi ∀i . Chú ý rằng (bằng quy nạp) nếu J là idean bất kì của R và x ∈ J thì j x ∈ J ∀n ≥ j . n Bây giờ xi ∉ I ∀i . Do bổ đề Zorn, có một idean P ⊇ I tối đại với tính chất xi ∉ P ∀i Đặc biệt x= x0 ∉ P và P là idean thực sự của R. Chúng ta cần chỉ ra P là idean nguyên tố. Lập luận bây giờ giống như trong chứng minh mệnh đề 1.2.7. Xét idean J, K của R sao cho J ⊃ P, K ⊃ P . Do tính tối đại của P, tồn tại x j ∈ J , xk ∈ K . Nếu m là lớn nhất trong j và k, thì xm ∈ J ∩ K và vì thế xm +1 ∈ xm Rxm ⊆ JK , chứng tỏ rằng JK ⊄ P nên P là idean nguyên tố. Do đó I là giao của tất cả các idean nguyên tố của R chứa I, từ đó I là nửa nguyên tố. Hệ quả 1.2.10 Đối với idean I của vành R, các điều kiện sau là tương đương: a) I là idean nửa nguyên tố. b) Nếu J là idean của R sao cho J 2 ⊆ I thì J ⊆ I . c) Nếu J là idean của R thực sự chứa I, thì J 2 ⊄ I . d) Nếu J là idean phải của R sao cho J 2 ⊆ I thì J ⊆ I . e) Nếu J là idean trái của R sao cho J 2 ⊆ I thì J ⊆ I . Chứng minh: a ) ⇒ d ) với bất kì x ∈ J , chúng ta có xRx ⊆ J ⊆ I , từ đó x ∈ I do định lý 1.2.9. 2 Do đó J ⊆ I d ) ⇒ c) hiển nhiên. c ) ⇒ b) Nếu J⊄I thì I+J thực sự chứa I. Nhưng vì ( I + J )2 = I 2 + IJ + JI + J 2 ⊆ I , ta có mâu thuẫn với c). Do đó J ⊆ I RxR ) 2 RxRxR ⊆ I và vì thế b) ⇒ a ) lấy bất kì x ∈ R sao cho xRx ⊆ I , ta có ( = RxR ⊆ I , từ đó x ∈ I . Do định lý 1.2.9, I là nửa nguyên tố. a ) ⇔ e) Tương tự. Hệ quả 1.2.11 Cho I là idean nửa nguyên tố của vành R. Nếu J là idean phải hoặc trái của R sao cho J n ⊆ I với n nguyên dương nào đó, thì J ⊆ I . Chứng minh: Trong trường hợp n=1, hiển nhiên. Với n>1, và giả sử hệ quả đúng. n − 1= ) 2 J 2n − 2 ⊆ J n ⊆ I . Vì n ≥ 2 ta có 2n − 2 ≥ n , từ đó ( J n −1 Khi đó J ⊆ I do hệ quả 1.2.10, và vì thế J ⊆ I theo giả thiết quy nạp. ta có điều phải chứng minh. 1.3.RADICAL NGUYÊN TỐ CỦA MỘT VÀNH Định nghĩa 1.3.1 Radical nguyên tố của một vành R là giao của tất cả các idean nguyên tố của R. Nếu R là vành 0, nó không có idean nguyên tố, và radical nguyên tố bằng R. Nếu R khác 0, nó có ít nhất một idean tối đại và là nguyên tố theo mệnh đề 1.2.3. Do đó radical nguyên tố của vành khác 0 là một idean thực sự. Chú ý rằng một vành R là nửa nguyên tố nếu và chỉ nếu radical nguyên tố bằng 0. Trong bất kì trường hợp nào, radical nguyên tố của R là idean nửa nguyên tố nhỏ nhất của R, và vì radical nguyên tố là nửa nguyên tố, nó chứa tất cả các idean lũy linh một phía của R. (hệ quả 1.2.11). Mệnh đề 1.3.2 Trong một vành R, radical nguyên tố bằng giao của tất cả các idean nguyên tố tối tiểu của R. Chứng minh: Điều này ngay lập tức đúng vì mọi idean nguyên tố của R đều chứa một idean nguyên tố tối tiểu (mệnh đề 1.2.4). Định lý 1.3.3 Cho R là vành Noether trái hoặc phải, và cho N là radical nguyên tố của R. Khi đó N là idean lũy linh của R chứa tất cả các idean trái hoặc phải lũy linh của R. Chứng minh: Vì N là idean nửa nguyên tố, nó chứa tất cả các idean một phía lũy linh của R do hệ quả 1.2.11. Theo định lý 1.2.5, tồn tại các idean nguyên tố (tối tiểu) P 1 ,P 2 ,…,P k trong R sao cho P 1 P 2 …P k =0. Vì N được chứa trong mọi P i , nên ta có Nk=0 nên N lũy linh. 1.4. VÀNH ĐƠN, VÀNH NỬA ĐƠN Định nghĩa 1.4.1 Một môdun đơn trên vành R là một môdun (phải hoặc trái) trên R mà không có môdun con thực sự khác 0. Tương đương, môdun M là đơn nếu và chỉ nếu mọi môdun con cyclic sinh bởi một phần tử khác 0 của M chính bằng M. Định nghĩa1.4.2 Socle của một môdun A là tổng của tất cả các môdun con đơn của A, kí hiệu soc(A). Quy ước tổng của họ rỗng các môdun con là môdun 0. Do đó, soc(A)=0 nếu và chỉ nếu A không có môdun con đơn. Một môdun nửa đơn là môdun A thỏa soc(A)=A. Ví dụ, bất kì không gian vecto A trên trường k là k-môdun nửa đơn vì tất cả không gian vecto con một chiều của A là k-môdun nửa đơn. Trong vành R bất kì, rõ ràng rằng soc(R R ) là một idean của R. (Vì với r ∈ R , nếu A là idean phải đơn của R thì hoặc rA=0 hoặc rA là đơn, và vì thế rA ⊆ soc( RR ) ). Tương tự soc( R R) là một idean của R, nhưng hai socle này không nhất thiết trùng nhau. Nhớ lại rằng họ { Ai \ i ∈ I } các môdun con của môdun A là độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu tổng của A i là tổng trực tiếp – chính xác hơn nếu và chỉ nếu ánh xạ tổng ⊕i∈I Ai → ∑ i∈I Ai là đẳng cấu. Trong trường hợp này, ta viết ∑ i∈I Ai = ⊕i∈I Ai , điều đó cho chúng ta xác định tổng trực tiếp trong và tổng trực tiếp ngoài của A i . Mệnh đề 1.4.3 Socle của bất kì môdun A đều là tổng trực tiếp của các môdun con đơn của A. Chứng minh: X Lấy= đặt B = {Bi | i ∈ I } là họ độc lập tuyến tính lớn nhất các môdun con đơn của A, và ∑ i∈I Bi = ⊕i∈I Bi . Khi đó B ⊆ soc( A) và nếu B ≠ soc( A) , có một môdun con S ⊆ A sao cho S  B , ta có S ∩ B ≠ S . Khi S là đơn, S ∩ B = 0 . Nhưng X ∪ {S } là độc lập tuyến tính, mâu thuẫn với cách chọn X. Do đó B=soc(A). Mệnh đề 1.4.4 Một môdun A là nửa đơn nếu và chỉ nếu mọi môdun con của A đều là hạng tử trực tiếp của A. Chứng minh: Đầu tiên giả sử A là nửa đơn, và lấy B là một môdun con của A. Theo bổ đề Zorn, có một môdun con C của A là tối đại thỏa B ∩ C = 0. Nếu B ⊕ C ⊂ A có một môdun con đơn S ⊆ A sao cho S  B ⊕ C . Như chứng 0 , và vì thế {B, C , S } là độc lập tuyến tính. minh trên, S ∩ ( B ⊕ C ) = Nhưng khi đó B ∩ (C ⊕ S ) = A 0 , mâu thuẫn với tính tối đại của C. Do đó B ⊕ C = Ngược lại, giả sử rằng mọi môdun con của A đều là hạng tử trực tiếp. Đặc biệt, = A soc( A) ⊕ B với B là một môdun con nào đó. Nếu B ≠ 0 , lấy C là một môdun con cyclic khác 0 của B. Nếu c là phần tử sinh của C, thì theo bổ đề Zorn, C có một môdun con M mà tối đại thỏa c ∉ M . Khi đó M là môdun con thực sự tối đại của C. Bây giờ = A M ⊕ N với N là môdun con nào đó, và C = M ⊕ (C  N ) . Chú ý rằng C ∩ N ≅ C / M , từ đó C ∩ N là môdun con đơn của A, và vì thế C ∩ N ⊆ soc( A) . Mà C ∩ N ⊆ C ⊆ B , điều này không thể. Do đó B=0, và ta có A=soc(A). Hệ quả 1.4.5 Bất kì môdun con của môdun nửa đơn là nửa đơn. Chứng minh: Nếu C là môdun con của môdun nửa đơn A, và B là môdun con của C, thì B là hạng tử trực tiếp của A, và nó kéo theo rằng B cũng là hạng tử trực tiếp của C. Định lý 1.4.6: [Noether] Với bất kì vành R, các điều kiện sau là tương đương: a) Tất cả các R-môdun phải đều nửa đơn. b) Tất cả các R-môdun trái đều nửa đơn. c) R R là nửa đơn. d) RR là nửa đơn. e) Hoặc R là vành 0 hoặc R ≅ M n 1 ( D ) × ... × M ( D ) với n i là các số nguyên 1 n k k dương và D i là các vành chia. Chứng minh: a ) ⇒ c) Hiển nhiên. c) ⇒ a ) Nếu R R là nửa đơn, thì tất cả các R-môdun phải cyclic đều nửa đơn, từ đó ngay lập tức bất kì R-môdun phải đều nửa đơn (vì môdun bất kì đều là tổng của các môdun con cyclic của nó). b) ⇒ d ) Chứng minh tương tự. e) ⇒ c) Hiển nhiên c) ⇒ e) Nếu R R là nửa đơn, vì tự đồng cấu vành của môdun nửa đơn hữu hạn sinh khác 0 đẳng cấu với tích trực tiếp hữu hạn các ma trận trên các vành chia, và vì R ≅ End R ( RR ) nên ta có c) ⇒ e) d ) ⇔ e) Chứng minh tương tự. Định nghĩa 1.4.7
- Xem thêm -