Tài liệu Về bổ đề van de corput và tích phân dao động

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG THU HẰNG VỀ BỔ ĐỀ CORPUT VÀ TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN MINH TUẤN HÀ NỘI−2016 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp. Hà Nội, tháng 08 năm 2016 Học viên Hoàng Thu Hằng 2 Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Biến đổi Fourier 2 3 Biến đổi Fourier trên không gian L1 (R) . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Định nghĩa và các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Tính chất cơ bản của biến đổi Fourier . . . . . . . . . 9 1.2 Biến đổi Fourier trên không gian L1 (Rn ) . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Biến đổi Fourier trên không gian Schwartz . . . . . . . . . . . 18 1.4 Biến đổi Fourier trong không gian L2 (Rn ) . . . . . . . . . . . 20 1.1 2 Bổ đề Van der Corput 22 2.1 Một số ước lượng thô cho tích phân dao động . . . . . . . . . 22 2.2 Ước lượng tập mức dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Bổ đề Van de Corput . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết dao động tích phân là nguồn gốc quan trọng của hàm điều hòa giải tích. Phần giới thiệu của biến đổi Fourier là nguồn gốc và có lẽ là ví dụ tốt nhất của dao động tích phân, dẫn đến việc xem xét kĩ hơn về các dao động tích phân tổng quát. Công trình này được thực hiện chủ yếu bởi Fourier, Airy, Stokes, Lipschitz và Riemann vào thế kỷ 19 và nó được thực hiện để hiểu được hành vi của Biến đổi Fourier. Các đối tượng này đã được làm rõ vào đầu thế kỉ 20 khi J.G. van der Corput chứng minh bổ đề nổi tiếng của mình. Ông đã quan tâm đến các ứng dụng trong lý thuyết số, đặc biệt là trong những bài toán về ràng buộc hàm số mũ. Gần đây, trọng tâm đã được thay đổi để các toán tử có dạng của tích phân dao động. Việc sử dụng biến đổi Fourier trong tích phân điều hòa là tự nhiên và phổ biến. Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương một là Biến đổi Fourier, đưa ra định nghĩa, các tính chất cơ bản và Biến đổi Fourier trong các không gian L1 , L2 và không gian Schwartz, cùng các ví dụ và hình ảnh minh họa. Chương hai đề cập tới định lý tập mức dưới từ đó đưa đến bổ đề Van de Corput. Nội dung chính của luận văn là chi tiết hóa Chương 1 trong luận án của tác giả K. M. Rogers [3]. Hà Nội, tháng 8 năm 2016 Hoàng Thu Hằng 2 Chương 1 Biến đổi Fourier Trong chương này, luận văn trình bày các khái niệm, ví dụ và các tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier. Tham khảo chính trong các tài liệu [1], [2] và [4]. 1.1 1.1.1 Biến đổi Fourier trên không gian L1 (R) Định nghĩa và các ví dụ Định nghĩa 1.1.1. Biến đổi Fourier của f (x) được ký hiệu bởi F{f (x)} = F (k), k ∈ R, được xác định bởi tích phân Z ∞ 1 F{f (x)} = F (k) = √ e−ikx f (x)dx, 2π −∞ (1.1) trong đó F được gọi là toán tử biến đổi Fourier hay biến đổi Fourier. Nó thường được gọi là biến đổi Fourier phức. Điều kiện đủ cho f (x) có biến đổi Fourier là f (x) khả tích tuyệt đối trên (−∞, ∞). Do f (x) là hội tụ tuyệt đối nên tích phân trong (1.1) là hội tụ. Hơn nữa, nó còn là hội tụ đều theo k. 3 Vì vậy, đối với các hàm khả tích tuyệt đối thì ta mới có định nghĩa về biến đổi Fourier. Hạn chế này là rất mạnh đối với nhiều ứng dụng vật lý. Nhiều hàm đơn giản và phổ biến như là hàm hằng, hàm lượng giác sin ax, cos ax, hàm mũ và xn H(x) không có biến đổi Fourier mặc dù chúng thường xuyên xuất hiện trong các ứng dụng. Tích phân (1.1) không hội tụ khi f (x) là một trong những dạng trên. Đây chính là hạn chế của lý thuyết biến đổi Fourier. Định nghĩa 1.1.2. Biến đổi Fourier ngược ký hiệu bởi F −1 {F (k)} = f (x) được xác định là F −1 1 {F (k)} = f (x) = √ 2π Z ∞ eikx F (k)dk, (1.2) −∞ trong đó F −1 được gọi là toán tử biến đổi Fourier ngược. Ta thấy cả F và F −1 là toán tử tích phân tuyến tính. Trong toán ứng dụng, x thường được biểu diễn là một biến không gian và k = ( 2π λ ) là một biến bước sóng, trong đó λ là bước sóng. Tuy nhiên, trong kỹ thuật điện, x được thay thế bằng biến thời gian t và k được thay thế bởi tần số w = 2πν, trong đó ν là tần số trong chu kỳ mỗi giây. Hàm F (w) = F{f (t)} được gọi là phổ của hàm tín hiệu theo thời gian f (t). Trong lý luận kỹ thuật điện, biến đổi Fourier được định nghĩa theo cách sau Z ∞ F{f (t)} = F (ν) = f (t)e−2πνit dt, (1.3) −∞ và biến đổi ngược của nó F −1 Z ∞ {F (ν)} = f (t) = F (ν)e 2πiνt −∞ 1 dν = 2π Z ∞ F (w)eiwt dw, −∞ trong đó w = 2πν được gọi là tần số góc. Sau đây chúng ta sẽ đi xét một số ví dụ về biến đổi Fourier. Ví dụ 1.1.1. Tìm biến đổi Fourier của exp(−ax2 ). 4 (1.4) Ta chứng minh k2 1 F (k) = F{exp(−ax2 )} = √ exp(− ), 4a 2a a > 0. (1.5) Bằng định nghĩa ta có Z ∞ 2 1 e−ikx−ax dx F (k) = √ 2π −∞   Z ∞ 1 ik 2 k 2 =√ exp −a(x + ) − dx 2a 4a 2π −∞ Z ∞ 2 1 k2 = √ exp(− ) e−ay dy, 4a −∞ 2π Đặt I = R∞ 2 e−ay dy, suy ra −∞ Z 2 I = ∞ Z −∞ ∞ e−a(x 2 +y 2 ) dxdy −∞ Đặt: x = r cos θ, y = r sin θ. Khi đó  Z 2π Z ∞ 2 −a(r 2 cos2 θ+r 2 sin2 θ) I = e rdr dθ 0 Z 0 2π Z ∞ = e 0 Z 0 rdr dθ 2π   1 −r2 ∞ dθ − e  2a 0 2π 1 dθ 2a 0 =  0 = Z −ar 2 1 2π π θ = . = 2a 0 a Suy ra I = pπ a. Khi đó r  2 1 π 1 k 2 F (k) = √ exp(−k /4a) = √ exp − . a 4a 2π 2a Nếu a = 1 2 F{e−x 2 /2 } = e−k 2 /2 . (1.6) Điều này chỉ ra rằng F{f (x)} = f (k). Đồ thị của hàm f (x) = exp(−ax2 ) và biến đổi Fourier của nó ứng với a = 1 được minh họa bằng Hình 2.1. 5 Hình 1.1: Đồ thị hàm f (x) = exp(−ax2 ) và F (k) với a = 1. Ví dụ 1.1.2. Tìm biến đổi Fourier của exp(−a|x|). Ta sẽ đi chứng minh r F{exp(−a|x|)} = 2 a · 2 , π (a + k 2 ) a > 0. (1.7) Theo định nghĩa F{e −a|x| Z ∞ 1 }= √ e−a|x|−ikx dx 2π −∞ Z ∞  Z 0 1 −(a+ik)x (a−ik)x =√ e dx + e dx 2π 0 −∞   1 1 1 + =√ 2π a + ik a − ik r a 2 = . π (a2 + k 2 ) Ta chú ý rằng f (x) = exp(−a|x|) giảm nhanh về 0 và không khả vi tại x = 0. Đồ thị của f (x) = exp(−a|x|) và biểu diễn Fourier của nó ứng với a = 1 được minh họa bằng Hình 2.2. Ví dụ 1.1.3. Tìm biến đổi Fourier của     |x| |x| f (x) = 1 − H 1− , a 6= 0, a a 6 (1.8) Hình 1.2: Đồ thị hàm f (x) = exp(−a|x|) và F (k) với a = 1. trong đó H(x) là hàm Heaviside được định nghĩa bởi H(x) =   1, nếu x > 0,  0, nếu x < 0. (1.9) Hoặc tổng quát hơn H(x − a) =   1, nếu x > a,  0, nếu x < a, (1.10) ở đây a là số thực cố định. Như vậy hàm Heaviside H(x − a) gián đoạn hữu hạn tại x = a. F{f (x)} = = = =   Z a 1 |x| −ikx √ e 1− dx a 2π −a Z a 2 x √ 1− cos(kx)dx a 2π 0 Z 1 2a √ (1 − x) cos(akx)dx 2π 0   Z 1 2a d sin akx √ (1 − x) dx, dx ak 2π 0 7 (k 6= 0, a 6= 0) Z 1 sin(akx) dx ak 0 " # Z 1 ) a d sin2 ( akx 2 =√ dx ak ( 2 )2 2π 0 dx
a sin2 ak 2 =√
2 . ak 2π 2a =√ 2π 2 Ví dụ 1.1.4. Tìm biến đổi Fourier của hàm đặc trưng χ[−a,a] (x), trong đó χ[−a,a] (x) = H(a − |x|) =   1, nếu |x| < a,  0, nếu |x| > a. (1.11) Ta có 1 Fa (k) = F{χ[−a,a] (x)} = √ 2π Z ∞ e−ikx χ[−a,a] (x)dx −∞ r   Z a 1 2 sin(ak) −ikx =√ . e dx = π k 2π −a Đồ thị của hàm f (x) = χ[−a,a] (x) và biến đổi Fourier của nó ứng với a = 1. Hình 1.3: Đồ thị của hàm f (x) = χ[−a,a] (x) và F (k) với a = 1. 8 1.1.2 Tính chất cơ bản của biến đổi Fourier Định lý 1.1.1. Nếu F{f (x)} = F (k) thì F{f (x − a)} = e−ika F{f (x)},   1 k F{f (ax)} = F , a 6= 0 |a| a (a) (Dịch chuyển) (b) (Chia tỷ lệ) (c) (Liên hợp) F{f (−x)} = F{f (x)}, (d) (Tịnh tiến) F{eiax f (x)} = F (k − a), (e) (Đối ngẫu) F{F (x)} = f (−k), Z∞ (f ) (Hợp thành) F (k)g(k)e −∞ ở đây ikx Z∞ f (ξ)G(ξ − x)dξ, dk = −∞ G(k) = F{g(x)}. Chứng minh. (a) Theo định nghĩa ta có 1 F{f (x − a)} = √ 2π 1 =√ 2π Z∞ −∞ Z∞ e−ikx f (x − a)dx e−ik(ξ+a) f (ξ)dξ, (x − a = ξ) −∞ Z ∞ 1 √ =e e−ikξ f (ξ)dξ, 2π 0 Z ∞ −ika 1 √ =e e−ikx f (x)dx, 2π 0 −ika =e−ika F{f (x)}. (b) Z ∞ 1 F{f (ax)} = √ e−ikx f (ax)dx 2π −∞ Z ∞ ikt 1 1 √ = e− a f (t)dt, (ax = t) |a| 2π −∞ Z ∞ ikx 1 1 √ = e− a f (x)dx |a| 2π −∞ 9 1 = F |a|   k . a (c) Ta có Z ∞ 1 e−ikx f (−x)dx F{f (−x)} = √ 2π −∞ Z ∞ 1 =√ eikt f (t)dt, (−x = t) 2π −∞ Z ∞ 1 eikx f (x)dx. =√ 2π −∞ Suy ra 1 F{f (−x)} = √ 2π Z ∞ eikx f (x)dx. −∞ Mặt khác Z ∞ 1 F{f (x)} = √ e−ikx f (x)dx 2π −∞ Z ∞ 1 e−ikx f (x)dx =√ 2π −∞ Z ∞ 1 =√ eikx f (x)dx. 2π −∞ Vậy F{f (−x)} = F{f (x)}. (d) F{e iax Z ∞ 1 f (x)} = √ eiax e−ikx f (x)dx 2π −∞ Z ∞ 1 =√ e−ix(k−a) f (x)dx 2π −∞ = F (k − a). (e) Theo định nghĩa biến đổi ngược Fourier 1 f (x) = √ 2π Z∞ eikx F (k)dk = F −1 {F (k)}. −∞ 10 (1.12) Tài liệu tham khảo [1] Elias M. Stein and Rami Shakarchi (2003), Fourier analysis an introduction, Princeton university Press, Princeton and Oxford. [2] Ioannis Parissis (2013),Oscillatory intergrals, Fall 2013, University of Seville. [3] Keith McKenzie Rogers, Real and p-Adic Oscillatory Integrals, The University of New South Wales. [4] K. Chandrasekharan (1989), Classical Fourier transforms, SpringerVerlag, New York. [5] Lokenath Debnath and Dambaru Bhatta (2007), Integral transforms and their applications, Taylor and Francis group. [6] R. N. Bracewell (1986), The Fourier transform and its applications, McGraw Hill.