Tài liệu Về bài toán cân bằng giả đơn điệu mạnh và áp dụng vào một mô hình kinh tế thị trường điện

ĐINH THẾ THO BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG --------------------------------------- Đinh Thế Tho CHUYÊN NGÀNH TOÁN ỨNG DỤNG VỀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ ÁP DỤNG VÀO MỘT MÔ HÌNH KINH TẾ THN TRƯỜNG ĐIỆN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC KHOÁ 1 Hà Nội – Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG --------------------------------------- Đinh Thế Tho VỀ BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ ÁP DỤNG VÀO MỘT MÔ HÌNH KINH TẾ THN TRƯỜNG ĐIỆN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60. 46. 01. 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : GS.TSKH Lê Dũng Mưu Hà Nội - Năm 2015 Thang Long University Libraty Lời cam đoan Bản luận văn này là của tôi dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH Lê Dũng Mưu. Bản luận văn tổng hợp lại từ các tài liệu trích dẫn dựa trên các mục tiêu của đề tài. Bản luận văn này không phải là một sự sao chép lại hoàn toàn từ các tài liệu đã có. Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới GS. TSKH Lê Dũng Mưu, người thầy đã tận tình hướng dẫn và đóng góp cho tôi nhiều ý kiến về nội dung của luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình tôi học tập tại trường Đại học Thăng Long. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới những người thân yêu trong gia đình, bạn bè, đã luôn cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi để tôi có thể hoàn thành được luận văn này. Bước đầu nghiên cứu khoa học nên bản luận văn thạc sĩ của tôi chắc chắn còn rất nhiều thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để bản luận văn được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Học viên Đinh Thế Tho Thang Long University Libraty Danh mục các kí hiệu viết tắt H : Không gian Hilbert thực; h. | .i : Tích vô hướng; k.k : Chuẩn trên không gian Hilbert; NC : Nón chuẩn tắc của C ; PC : Phép chiếu lên tập C ; dC : Hàm khoảng cách của tập C ; ∇f (x) : Đạo hàm của hàm f tại x; arg min f : Tập các cực tiểu của hàm f . Danh mục hình và bảng Hình 2.1: Lợi nhuận tốt nhất của nhà máy thủy điện đối với nhà máy nhiệt điện ( Trang 25) Hình 2.2: Lợi nhuận tốt nhất của nhà máy nhiệt điện đối với nhà máy thủy điện ( Trang 25) Hình 2.3: Lợi nhuận tốt nhất của hai nhà máy ( Trang 26) Bảng 2.1: Kết quả tính toán Ví dụ 2 theo Thuật toán 2 ( Trang 29) Thang Long University Libraty Mục lục Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1.BÀI TOÁN CÂN BẰNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.Một số khái niệm và các kết quả cơ bản. . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3. Toán tử chiếu lên một tập lồi đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3. Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4. Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác . . . . . . . . 10 1.3.Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng. . . . . . . . . . . . 11 Chương 2.HAI THUẬT TOÁN GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ ÁP DỤNG . . . . . . . . 16 2.1.Thuật toán và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.1. Thuật toán 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2. Thuật toán 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.3. Sự hội tụ của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.Áp dụng vào mô hình cân bằng thị trường điện . . . . . 23 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 i Lời mở đầu Bài toán cân bằng có nhiều ứng dụng trong khoa học, kĩ thuật và đời sống. Có rất nhiều bài toán liên quan đến bài toán cân bằng như: bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng Nash trong các trò chơi không hợp tác,.... Do đó việc trình bày và đưa ra các thuật toán giải bài toán cân bằng là rất cần thiết. Luận văn này nhằm giới thiệu về bài toán cân bằng giả đơn điệu mạnh và hai thuật toán giải bài toán cân bằng giả đơn điệu mạnh qua đó áp dụng vào mô hình kinh tế thị trường điện. Luận văn được chia làm hai chương • Chương 1. của luận văn trình bày tóm tắt một số kết quả đã biết trong giải tích lồi liên quan đến luận văn. Giới thiệu bài toán cân bằng và các trường hợp riêng. • Chương 2. của luận văn trình bày hai thuật toán để giải bài toán cân bằng giả đơn điệu mạnh, xét sự hội tụ của hai thuật toán và cuối chương là áp dụng vào mô hình kinh tế thị trường điện. Cuối cùng trình bày các ví dụ cụ thể để minh họa thuật toán. 1 Thang Long University Libraty Chương 1 BÀI TOÁN CÂN BẰNG Trong chương này ta nhắc lại những khái niệm cơ bản, tính chất đặc trưng của tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert−H thực qua đó giới thiệu về bài toán cân bằng và các trường hợp riêng của nó cùng một số điều kiện về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng. Nội dung của chương này được lấy từ [1], [2], [3], [4] . 1.1. 1.1.1. Một số khái niệm và các kết quả cơ bản Tập lồi Định nghĩa 1.1.1. Một tập C ⊆ H được gọi là lồi nếu ∀x, y ∈ C, 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ C. Định lý 1.1.1. Tập lồi là đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân với một số thực. Tức là nếu C và D là hai tập lồi trong H thì các tập sau cũng là tập lồi. (i) C ∩ D = {x : x ∈ C, x ∈ D}. (ii) αC + βD = {x = α.c + β.d : c ∈ C, d ∈ D} . Định nghĩa 1.1.2. Tập C ⊆ H được gọi là nón nếu. ∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C. Định nghĩa 1.1.3. Tập C ⊆ H được gọi là nón lồi nếu C vừa là nón vừa là tập lồi, tức là. λ1 x + λ2 y ∈ C, ∀x, y ∈ C, ∀λ1 > 0, ∀λ2 > 0. Định nghĩa 1.1.4. Cho C ⊆ H là một tập lồi và x ∈ C , tập NC (x) = {w ∈ H, hw, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C} 2 được gọi là nón pháp tuyến ngoài của C và tập −NC (x) được gọi là nón pháp tuyến trong của C tại x. 1.1.2. Hàm lồi Định nghĩa 1.1.5. Hàm f : C → R ∪ {+∞} được gọi là (i) Lồi trên C nếu f [λx + (1 − λ) y] ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) , ∀x, y ∈ C, 0 < λ < 1; (ii) Lồi chặt trên C nếu f [λx + (1 − λ) y] < λf (x)+(1 − λ) f (y) , ∀x, y ∈ C, x 6= y, 0 < λ < 1; (iii) Lồi mạnh trên C với hệ số γ > 0 nếu 2 f [λx + (1 − λ) y] < λf (x) + (1 − λ) f (y) − γλ (1 − λ) kx − yk , ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) ; (iv) Tựa lồi trên C nếu ∀α ∈ R tập mức dưới Lα (f ) = {x ∈ C, f (x) ≤ α} . Định lý 1.1.2. Cho f là hàm lồi trên tập lồi C và g là hàm lồi trên tập lồi D. Khi đó các hàm số sau là hàm lồi trên tập lồi C ∩ D. (i) αf + βg, ∀α, β ≥ 0; (ii) max {f, g} (x) = max {f (x) , g (x)} . Định lý 1.1.3. Cho f : C → R ∪ {+∞} là một hàm lồi, khả vi trên tập lồi C . Khi đó với mọi x, y thuộc C ta có: f (x) − f (y) ≤ h∇f (x) , y − xi; Nếu f lồi chặt, khả vi trên tập lồi C , thì với mọi x, y thuộc C ta có: f (x) − f (y) < h∇f (x) , y − xi; Nếu f lồi mạnh với hệ số α > 0 , khả vi trên tập lồi C , thì với mọi x, y thuộc C ta có: 2 f (x) − f (y) ≤ h∇f (x) , y − xi − αkx − yk . 3 Thang Long University Libraty Định nghĩa 1.1.6. Một hàm f : H → R được gọi là nửa liên tục dưới đối với C tại một điểm x, nếu như với mọi dãy xk ⊂ C , xk → x ta có
lim inf f xk ≥ f (x). Hàm f được gọi là nửa liên tục trên đối với C tại x nếu −f nửa liên tục dưới đối với C tại x hay với mọi dãy xk ⊂ C ,
xk → x thì lim sup f xk ≤ f (x). Định nghĩa 1.1.7. Cho C là một tập lồi và f : C → R ∪ {+∞} là một hàm lồi, khi đó w ∈ C được gọi là dưới đạo hàm của f tại x nếu: f (y) ≥ f (x) + hw, y − xi, ∀y ∈ C. Tập tất cả các điểm w thỏa mãn bất đẳng thức trên được kí hiệu là ∂f (x) . Nếu ∂f (x) 6= φ thì ta nói f khả dưới vi phân tại x 1.1.3. Toán tử chiếu lên một tập lồi đóng Định nghĩa 1.1.8. Giả sử C 6= ∅ (không nhất thiết lồi) là một tập con của không gian Hilbert −H và y ∈ H là một véc tơ bất kì, gọi dC (y) = inf kx − yk . x∈C Ta nói dC (y) là khoảng cách từ y đến C . Nếu tồn tại PC (y) ∈ C sao cho dC (y) = ky − PC (y)k, thì ta nói PC (y) là hình chiếu của y trên C . Từ định nghĩa này hình chiếu PC (y) của y trên C là nghiệm của bài toán tối ưu   1 2 kx − yk . min x∈C 2 Nói cách khác, việc tìm hình chiếu của y trên C có thể đưa về việc tìm cực tiểu của hàm kx − yk2 trên C . Mệnh đề 1.1.1. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert −H, khi đó: với mọi y ∈ H và w ∈ C thì w = PC (y) khi và chỉ khi y − w ∈ NC (w) Chứng minh: Giả sử w = PC (y), lấy x ∈ C và λ ∈ (0, 1). Đặt xλ = λx + (1 − λ) w. Do x, w ∈ C và C lồi, nên xλ ∈ C . Hơn nữa do w là hình chiếu của y, nên kw − yk ≤ ky − xλk . 4 hay kw − yk2 ≤ kλ (x − w) + (w − y)k2 ; kw − yk2 ≤ λ2 kx − wk2 + 2λhx − w, w − yi + kw − yk2 ; 2 λkx − wk + 2hx − w, w − yi ≥ 0. Điều này đúng với mọi x ∈ C và λ ∈ (0, 1). Do đó khi cho λ tiến đến 0, ta được hw − y, x − wi ≥ 0∀x ∈ C. Vậy y − w ∈ NC (w). Ngược lại: Giả sử y − w ∈ NC (w), với mọi x ∈ C , ta có T T 0 ≥ (y − w) (x − w) = (y − w) (x − y + y − w) = ky − wk2 + (y − w)T (x − y) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: ky − wk2 ≤ (y − w)T (y − x) ≤ ky − wk ky − xk . Suy ra ky − wk ≤ ky − xk ∀x ∈ C , do đó w = PC (y) . Mệnh đề 1.1.2. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert −H, khi đó với mọi x ∈ H, hình chiếu PC (x) của x trên C luôn tồn tại và duy nhất. Chứng minh: Giả sử x ∈ H, y ∈ C , y = PC (x) ta có dC (x) = ky − xk, suy ra tồn tại dãy (xn )n∈N trong C sao cho kxn − xk → dC (x) < +∞. Vậy dãy (xn )n∈N là bị chặn do đó có một dãy con (xnk ) hội tụ yếu đến y . Do C đóng nên y ∈ C vậy ky − xk = lim kxnk − xk = lim kxn − xk = dC (x) . n k Chứng tỏ y là hình chiếu của x trên C . Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của hình chiếu. Thật vậy nếu tồn tại hai điểm y và z đều là hình chiếu của x trên C thì x − y ∈ NC (y) , x − z ∈ NC (z) . Tức là hy − x, z − yi ≤ 0 5 Thang Long University Libraty và hz − x, y − zi ≤ 0. Cộng hai bất đẳng thức này ta suy ra ky − zk ≤ 0, và do đó y = z . Mệnh đề 1.1.3. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert −H, ánh xạ y ֒→ PC (y) khi đó: (i) kPC (x) − PC (y)k ≤ kx − yk ∀x, y ∈ H (tính không giãn); (ii) kPC (x) − PC (y)k2 ≤ hPC (x) − PC (y) , x − yi∀x, y ∈ H (tính đồng bức). Chứng minh: Theo (ii) ánh xạ x ֒→ PC (x) xác định khắp nơi. Do z − p (z) ∈ NC (p (z)) với mọi z . Nên áp dụng với z = x và z = y, ta có: hx − p (x) , p (y) − p (x)i ≤ 0; và hy − p (y) , p (x) − p (y)i ≤ 0. Cộng hai bất đẳng thức lại ta được hp (y) − p (x) , p (y) − p (x) + x − yi ≤ 0. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz suy ra kp (x) − p (y)k ≤ kx − yk . Để chứng minh tính đồng bức áp dụng mệnh đề 1.3.1. lần lượt với p (x) và p (y) ta có: hp (x) − x, p (x) − p (y)i ≤ 0. hy − p (y) , p (x) − p (y)i ≤ 0. Cộng hai bất đẳng thức ta được hp (x)−p (y)+y−x, p (x)−p (y)i = hp (x)−p (y) , y−xi+kp (x) − p (y)k2 ≤ 0. Chuyển vế ta có hp (x) − p (y) , x − yi ≥ kp (x) − p (y)k2 . 6 1.2. Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng Cho f : C × C → R ∪ {+∞} thỏa mãn f (x, x) = 0, với mọi x ∈ C . C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert −H. Khi đó bài toán cân bằng hay bất đẳng thức Ky Fan được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C : f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C. (1.2.1) Bài toán cân bằng có ý nghĩa quan trọng trong kinh tế và nhiều lĩnh vực khác, nó bao hàm được rất nhiều bài toán khác như: bài toán tối ưu,bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán cân bằng Nash . . . Phần trình bày dưới đây là một số ví dụ về những bài toán có thể được mô tả dưới dạng bài toán cân bằng. 1.2.1. Bài toán tối ưu Cho C ⊂ H là tập lồi đóng khác rỗng và ϕ : C → R xác định trên C . Khi đó bài toán tối ưu được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C : ϕ (y) ≥ ϕ (x∗ ) , ∀y ∈ C. (1.2.2) Bằng cách đặt f (x, y) = ϕ (y) − ϕ (x) , ∀x, y ∈ C thì bài toán (1.2.2) tương đương với bài toán (1.2.1). Thật vậy, giả sử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.2). Nên ta có ϕ (y) ≥ ϕ (x∗ ) , ∀y ∈ C mặt khác theo cách đặt f (x, y) = ϕ (y) − ϕ (x) , ∀x, y ∈ C. Do đó f (x∗, y) = ϕ (y) − ϕ (x∗) ≥ 0, ∀x, y ∈ C. Vậy x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.1). Ngược lại, cho x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.1), ta có f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C. Mặt khác theo cách đặt ta có f (x∗ , y) = ϕ (y) − ϕ (x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ C Suy ra ϕ (y) ≥ ϕ (x∗) , ∀y ∈ C. Vậy x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.2). 7 Thang Long University Libraty 1.2.2. Bài toán bất đẳng thức biến phân Cho C ⊂ H là tập lồi đóng khác rỗng và F : C → R là một ánh xạ đa trị. Khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau. Tìm:  ∗ x ∈ C, w∗ ∈ F (x∗ ) sao cho (1.2.3) hw∗ , y − x∗ i ≥ 0, ∀y ∈ C. Bằng cách đặt f (x, y) = max |{z} hw, y − xi, ∀x, y ∈ C. w∈F (x) thì bài toán (1.2.3) tương đương với bài toán (1.2.1). Thật vậy, giả sử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.3). Ta có hw∗ , y − x∗ i ≥ 0, ∀y ∈ C, w ∈ F (x∗ ) . Mặt khác theo cách đặt ta có ∗ ∗ f (x∗ , y) = max |{z} hw , y − x i ≥ 0, y ∈ C. w∗ ∈F (x∗ ) Vậy x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.1). Ngược lại, giả sử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.1) nên ta có f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C. Theo cách đặt ta có ∗ ∗ f (x∗ , y) = max |{z} hw , y − x i ≥ 0, y ∈ C. w∗ ∈F (x∗ ) Vậy x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.3). Nếu F là ánh xạ đơn trị thì bài toán bất đẳng thức biến phân có dạng. Tìm  ∗ x ∈ C sao cho (1.2.4) hf (x∗) , y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ C. Bằng cách đặt f (x, y) = hF (x) , y − xi, ∀x, y ∈ C. Thì bài toán (1.2.4) tương đương với bài toán (1.2.1). 8 1.2.3. Bài toán điểm bất động Cho C ⊂ H là tập lồi đóng khác rỗng và F : C → 2C là ánh xạ đa trị. Khi đó bài toán điểm bất động được phát biểu như sau, tìm x∗ ∈ C, sao cho (1.2.5) x∗ ∈ F (x∗ ) . Bằng cách đặt f (x, y) = max |{z} hx − w, y − xi, ∀x, y ∈ C. w∈F (x) Thì bài toán (1.2.5) tương đương với bài toán (1.2.1). Thật vậy, giả sử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.5) nên ta có F (x∗ ) = x∗ . Mặt khác theo cách đặt ta có f (x∗, y) = hx∗ − F (x∗ ) , y − x∗ i ≥ 0, ∀y ∈ C. Vậy x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.1). Ngược lại, giả sử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.1) nên ta có f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C. Mặt khác theo cách đặt ta được f (x∗, y) = hx∗ − F (x∗ ) , y − x∗ i, ∀y ∈ C. Chọn y = F (x∗) ∈ C ta có f (x∗, y) = hx∗ − F (x∗ ) , F (x∗) − x∗ i ≥ 0, ∀y ∈ C. Suy ra − kx∗ − F (x∗ )k ≥ 0, ∀y ∈ C. Hay kx∗ − F (x∗ )k ≤ 0, ∀y ∈ C. Suy ra x∗ = F (x∗ ) , ∀y ∈ C. Vậy x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.5). Nếu F là ánh xạ đơn trị thì bài toán điểm bất động có dạng. Tìm: x∗ ∈ C, saocho x∗ = F (x∗ ) . (1.2.6) Bằng cách đặt f (x, y) = hx − F (x) , y − xi, ∀x, y ∈ C. Thì bài toán (1.2.6) tương đương với bài toán (1.2.1). 9 Thang Long University Libraty 1.2.4. Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác Xét một trò chơi không hợp tác gồm p đối thủ, C ⊆ H là tập lồi khác rỗng, Ci là tập chiến lược của người chơi thứ i. Hàm chi phí( tổn thất của người chơi thứ i) là fi : C1 × C2 × ... × Cp → R. Với C = C1 × C2 × ... × Cp ; x1 ∈ C1 , x2 ∈ C2 , ..., xp ∈ Cp . Thì chi phí của mỗi đối thủ tương ứng là f1 (x1, x2 , ..., xp) , f2 (x1, x2 , ..., xp) , ..., fp (x1 , x2, ..., xp) ; x = (x1 , x2, ..., xp) . Khi đó bài toán cân bằng Nash được phát biểu như sau. Tìm:  ∗ x ∈ C sao cho    fi (x∗ ) ≤ fi (x∗ [yi ])

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ⇔ f  , ..., x , x , x x , ..., x ≤ f , ..., x , y , x x , ..., x i p i p 1 1 i−1 i−1 i i−1 i i−1   ∀yi ∈ Ci , ∀i = 1, 2, ..., p (1.2.7) ∗ Điểm x ∈ C được gọi là điểm cân bằng Nash nếu bất kì đối thủ nào chọn phương án ra khỏi điểm cân bằng trong khi các đối thủ còn lại vẫn giữ phương án điểm cân bằng thì đối thủ ra khỏi điểm cân bằng sẽ bị thua thiệt. Bằng cách đặt f (x, y) = p X [fi (x1 , ..., yi, ..., xp) − fi (x1 , ..., xi, ..., xp)] , ∀x, y ∈ C. i=1 Thì bài toán (1.2.7) tương đương với bài toán (1.2.1). Thật vậy, giả sử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.7) nên ta có

fi x∗1 , ..., x∗i−1, x∗i , x∗i−1, ..., x∗p ≤ fi x∗1 , ..., x∗i−1, yi , x∗i−1, ..., x∗p , ∀xi, yi ∈ Ci , ∀i = 1, 2, ..., p. Suy ra

fi x∗1 , ..., x∗i−1, yi , x∗i−1 , ..., x∗p − fi x∗1 , ..., x∗i−1, x∗i , x∗i−1 , ..., x∗p ≥ 0, ∀xi, yi ∈ Ci , ∀i = 1, 2, ..., p. 10 Suy ra p X  i=1

fi x∗1 , ..., x∗i−1, yi , x∗i−1, ..., x∗p − fi x∗1, ..., x∗i−1, x∗i , x∗i−1, ..., x∗p ≥ 0. Theo cách đặt ta được f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C. Vậy x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.1). Ngược lại, giả sử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.1) nên ta có f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C. Theo cách đặt ta được  p  P f x∗ , ..., x∗ , y , x∗ , ..., x
− f x∗ , ..., x∗ , x∗, x∗ , ..., x
 ≥ 0, i p i p 1 1 i−1 i i−1 i−1 i i−1 i=1  ∀xi, yi ∈ Ci , ∀i = 1, 2, ..., p. (1.2.8) ∗ Giả sử x ∈ C không là nghiệm của bài toán (1.2.7) nên tồn tại i và một yi ∈ Ci sao cho

fi x∗1 , ..., x∗i−1, x∗i , x∗i−1 , ..., x∗p > fi x∗1 , ..., x∗i−1, yi , x∗i−1, ..., x∗p . Suy ra

fi x∗1 , ..., x∗i−1, yi , x∗i−1 , ..., x∗p − fi x∗1 , ..., x∗i−1, x∗i , x∗i−1 , ..., x∗p < 0. Suy ra p X i=1

fi x∗1 , ..., x∗i−1, yi , x∗i−1, ..., x∗p − fi x∗1, ..., x∗i−1, x∗i , x∗i−1, ..., x∗p < 0. Điều này trái với (1.2.8). Vậy x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.2.7). 1.3. Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng C ⊆ H là một tập lồi đóng, khác rỗng và f : C × C → R ∪ {+∞} là song hàm cân bằng xác định trên C , với các giả thiết sau: (P1 ) f (., y) là hàm số nửa liên tục trên với mọi y thuộc C ; (P2 ) f (x, .) là hàm lồi, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phân trên C với mọi x thuộc C ; 11 Thang Long University Libraty (P3 ) f thỏa mãn điều kiện bức trên C tức là tồn tại tập compact D sao cho C ∩ D 6= ∅, ∀x ∈ C\D, ∃y ∈ C; f (x, y) < 0. Định lý 1.3.1. (Ky Fan) Giả sử C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert −H và f : C × C → R ∪ {+∞} là song hàm cân bằng xác định trên C . Nếu f thỏa mãn (P1 ) và f (x, .) tựa lồi trên C với mọi x thuộc C . Khi đó nếu C là tập compact hoặc điều kiện bức (P3 ) được thỏa mãn thì bài toán (1.2.1) có nghiệm. Từ định lí này ta suy ra hệ quả sau. Hệ quả 1.3.1. Cho f : C × C → R ∪ {+∞} là song hàm cân bằng , f (., y) là nửa liên tục trên với mọi y ∈ C và f (x, .) là lồi, nửa liên tục dưới với mọi x ∈ C . Giả sử điều kiện bức sau đây thỏa mãn. Tồn tại tập compact B sao cho C ∩ B 6= ∅, ∀x ∈ C\B, ∃y ∈ C : f (x, y) < 0. Khi đó bài toán (1.2.1) có nghiệm. Để xét tính duy nhất nghiệm và các phương pháp tìm nghiệm của bài toán (1.2.1) ta cần có các định nghĩa về tính đơn điệu của song hàm cân bằng sau. Định nghĩa 1.3.1. Giả sử f : C × C → R ∪ {+∞} là song hàm cân bằng. Khi đó hàm f được gọi là : (i) đơn điệu mạnh trên C với hệ số λ > 0, nếu: 2 f (x, y) + f (y, x) ≤ −λkx − yk , ∀x, y ∈ C; (ii) đơn điệu chặt trên C , nếu: f (x, y) + f (y, x) < 0, ∀x, y ∈ C; (iii) đơn điệu trên C , nếu: f (x, y) + f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C; (iv) giả đơn điệu trên C , nếu: f (x, y) ≥ 0 ⇒ f (y, x) ≤ 0, 12 ∀x, y ∈ C; (v) giả đơn điệu mạnh trên C với hệ số λ > 0, nếu: 2 f (x, y) ≥ 0 ⇒ f (y, x) ≤ −λkx − yk , ∀x, y ∈ C; (vi) tựa đơn điệu trên C , nếu: f (x, y) > 0 ⇒ f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C. Từ định nghĩa trên ta có đơn điệu mạnh thì đơn điệu và giả đơn điệu, đơn điệu thì giả đơn điệu. Tính chất đơn điệu của song hàm có liên quan chặt chẽ với tính chất đơn điệu của toán tử sau. Định nghĩa 1.3.2. Cho C ∈ H và toán tử A : C → R được gọi là: (i) đơn điệu mạnh trên C với hệ số λ > 0, nếu: 2 hA (x) − A (y) , x − yi ≥ λkx − yk , ∀x, y ∈ C; (ii) đơn điệu chặt trên C , nếu: hA (x) − A (y) , x − yi > 0, ∀x, y ∈ C, x 6= y; (iii) đơn điệu trên C , nếu: hA (x) − A (y) , x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ C; (iv) giả đơn điệu trên C ,nếu: hA (x) , x − yi ≥ 0 ⇒ hA (y) , x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ C; (v) giả đơn điệu mạnh trên C , nếu: 2 hA (x) , x − yi ≥ 0 ⇒ hA (y) , x − yi ≥ λkx − yk , ∀x, y ∈ C; (vi) tựa đơn điệu trên C , nếu: hA (x) , x − yi > 0 ⇒ hA (y) , x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ C. Định lý 1.3.2. Cho C ⊂ H là một tập lồi đóng khác rỗng và f : C ×C → R ∪ {+∞} là song hàm cân bằng giả đơn điệu mạnh thỏa mãn các tính chất (P1 ), (P2 ). Khi đó bài toán (1.2.1) có duy nhất nghiệm. 13 Thang Long University Libraty