Tài liệu Vật lý đại cương a2

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG ===== ===== SÁCH BÀI GIẢNG VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG A2 (Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa) Lưu hành nội bộ HÀ NỘI - 2005 HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG BÀI GIẢNG VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG A2 Biên soạn : TS. VÕ THỊ THANH HÀ ThS. HOÀNG THỊ LAN HƯƠNG Hiệu đính: TS. LÊ THỊ MINH THANH Lời nói đầu LỜI NÓI ĐẦU Tập VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG (A2) này là tập hai của bộ sách hướng dẫn học tập môn Vật lí đại cương cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa của Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, đã được biên soạn theo chương trình cải cách giáo dục do Bộ Giáo dục và Đào tạo thông qua (1990). Bộ sách gồm hai tập: Tập I: VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG (A1) bao gồm các phần CƠ, NHIỆT, ĐIỆN, TỪ do Ts. Vũ Văn Nhơn, Ts. Võ Đinh Châu và Ks. Bùi Xuân Hải biên soạn. Tập II: VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG (A2) bao gồm các phần QUANG HỌC, THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP, CƠ HỌC LƯỢNG TỬ VÀ VẬT LÍ NGUYÊN TỬ do Ts. Võ Thị Thanh Hà và ThS. Hoàng Thị Lan Hương biên soạn. Tập sách Vật lí đại cương A2 gồm 8 chương: - Chương I: Dao động điện từ - Chương II: Giao thoa ánh sáng - Chương III: Nhiễu xạ ánh sáng - Chương IV: Phân cực ánh sáng - Chương V: Thuyết tương đối hẹp - Chương VI: Quang học lượng tử - Chương VII: Cơ học lượng tử - Chương VIII: Vật lí nguyên tử. Trong mỗi chương đều có: 1. Mục đích, yêu cầu giúp sinh viên nắm được trọng tâm của chương. 2. Tóm tắt nội dung giúp sinh viên nắm bắt được vấn đề đặt ra, hướng giải quyết và những kết quả chính cần nắm vững. 3. Câu hỏi lí thuyết giúp sinh viên tự kiểm tra phần đọc và hiểu của mình. 4. Bài tập giúp sinh viên tự kiểm tra khả năng vận dụng kiến thức lí thuyết để giải quyết những bài toán cụ thể. Phân công biên soạn tập VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG (A2) như sau: Võ Thị Thanh Hà biên soạn lí thuyết các chương II, III, IV, V, VI, VII, VIII. Hoàng Thị Lan Hương biên soạn lí thuyết chương I và bài tập của tất cả các chương. 1 3 Lời nói đầu Tập VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG (A2) này mới in lần đầu, nên không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi xin chân thành cám ơn sự đóng góp quí báu của bạn đọc cho quyển sách này. Hà Nội, ngày 1 tháng 11 năm 2005 NHÓM TÁC GIẢ 4 Chương 1: Dao động điện từ CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ Dao động điện từ là sự biến thiên tuần hoàn theo thời gian của các đại lượng điện và từ, cụ thể như điện tích q trên các bản tụ điện, cường độ dòng điện i trong một mạch điện xoay chiều, hiệu điện thế giữa hai đầu một cuộn dây hay sự biến thiên tuần hoàn của điện trường, từ trường trong không gian v.v... Tuỳ theo cấu tạo của mạch điện, dao động điện từ trong mạch chia ra: dao động điện từ điều hoà, dao động điện từ tắt dần và dao động điện từ cưỡng bức. I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU 1. Nắm được dao động điện từ điều hoà, dao dộng điện từ tắt dần, dao động điện từ cưỡng bức, hiện tượng cộng hưởng. 2. Nắm được phương pháp tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương và cùng tần số, hai dao động điều hoà cùng tần số và có phương vuông góc. II. NỘI DUNG: §1. DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ ĐIỀU HOÀ 1. Mạch dao động điện từ LC Xét một mạch điện gồm một tụ điện có điện dung C, một cuộn dây có hệ số tự cảm L. Bỏ qua điện trở trong mạch. Trước hết, tụ điện C được bộ nguồn tích điện đến điện tích Q0, hiệu điện thế U0. Sau đó, ta bỏ bộ nguồn đi và đóng khoá của mạch dao động. Trong mạch có biến thiên tuần hoàn theo thời gian của cường độ dòng điện i, điện tích q trên bản tụ điện, hiệu điện thế giữa hai bản tụ, năng lượng điện trường của tụ điện, năng lượng từ trường của ống dây ... Các dao động điện từ này có dạng hình sin với tần số ω 0 và biên độ dao động không đổi. Do đó, các dao động này được gọi là các dao động điện từ điều hoà. Mặt khác trong mạch chỉ có mặt các yếu tố riêng của mạch như tụ điện C và cuộn cảm L, nên các dao động điện từ này được gọi là các dao động điện từ riêng. 5 Hình 1-1. Mạch dao động điện từ riêng Chương 1: Dao động điện từ Ta xét chi tiết hơn quá trình dao động của mạch trong một chu kỳ T. Tại thời điểm t = 0, điện tích của tụ là Q 0 , hiệu điện thế giữa hai bản là U 0 = Q 0 / C , năng lượng điện trường của tụ điện có giá trị cực đại bằng: E e(max ) = Q 02 2C (1-1) Cho tụ phóng điện qua cuộn cảm L. Dòng điện do tụ phóng ra tăng đột ngột từ không, dòng điện biến đổi này làm cho từ thông gửi qua cuộn cảm L tăng dần. Trong cuộn cảm L có một dòng điện tự cảm ngược chiều với dòng điện do tụ C phóng ra, nên dòng điện tổng hợp trong mạch tăng dần, điện tích trên hai bản tụ giảm dần. Lúc này năng lượng điện trường của tụ điện Ee= q 2 / 2C giảm dần, còn năng lượng từ trường trong lòng ống dây Em = Li 2 / 2 tăng dần. Như vậy, có sự chuyển hoá dần từ năng lượng điện trường sang năng lượng từ trường. Hình 1-2. Quá trình tạo thành dao động điện từ riêng Khi tụ C phóng hết điện tích, năng lượng điện trường Ee = 0, dòng điện trong mạch đạt giá trị cực đại I0, năng lượng từ trường trong ống dây đạt giá trị cực đại E m(max ) = LI 02 / 2 , đó là thời điểm t = T/4. Sau đó dòng điện do tụ phóng ra bắt đầu giảm và trong cuộn dây lại xuất hiện một dòng điện tự cảm cùng chiều với dòng điện do tụ phóng ra . Vì vậy dòng điện trong mạch giảm dần từ giá trị I0 về không, quá trình này xảy ra trong khoảng từ t = T/4 đến t = T/2. Trong quá trình biến đổi này cuộn L đóng vai trò của nguồn nạp điện cho tụ C nhưng theo chiều ngược lại, điện tích của tụ lại tăng dần từ giá trị không đến giá trị cực đại Q0. Về mặt năng lượng thì năng lượng điện trường tăng dần, còn năng lượng từ trường giảm dần. Như vậy có sự chuyển hoá từ năng lượng từ trường thành năng lượng điện trường, giai đoạn này kết thúc tại thời điểm t = T/2, lúc này cuộn cảm đã giải phóng hết năng lượng và điện tích trên hai bản tụ lại đạt giá trị cực đại Q0 nhưng đổi dấu ở hai bản, năng lượng điện trường lại đạt giá trị cực đại E e(max ) = Q 02 / 2C . Tới đây, kết thúc quá trình dao động trong một nửa chu kỳ đầu. Tụ C phóng điện vào cuộn cảm theo chiều ngược với nửa chu kỳ đầu, cuộn cảm lại 6 Chương 1: Dao động điện từ được tích năng lượng rồi lại giải phóng năng lượng, tụ C lại được tích điện và đến cuối chu kỳ (t = T) tụ C được tích điện với dấu điện tích trên các bản như tại thời điểm ban đầu, mạch dao động điện từ trở lại trạng thái dao động ban đầu. Một dao động điện từ toàn phần đã được hoàn thành. Dưới đây ta thiết lập phương trình mô tả dao động điện từ trên. 2. Phương trình dao động điện từ điều hoà Vì không có sự mất mát năng lượng trong mạch, nên năng lượng điện từ của mạch không đổi: E e + E m = E = const Thay E e = (1-2) q2 Li 2 và E m = vào (1-2), ta được: 2C 2 q 2 Li 2 + = const 2C 2 (1-3) Lấy đạo hàm cả hai vế của (1-3) theo thời gian rồi thay dq / dt = i , ta thu được: q Ldi + =0 C dt (1-4) Lấy đạo hàm cả hai vế của (1-4) theo thời gian rồi thay dq/dt =i, ta được: d 2i dt 2 Đặt 1 i=0 LC (1-5) + ω02 i = 0 (1-6) + 1 = ω02 , ta được: LC d 2i dt 2 Đó là phương trình vi phân cấp hai thuần nhất có hệ số không đổi. Nghiệm tổng quát của (1-6) có dạng: i = I 0 cos(ω0 t + ϕ) (1-7) trong đó I0 là biên độ của cường độ dòng điện, ϕ là pha ban đầu của dao động, ω0 là tần số góc riêng của dao động: ω0 = 1 LC (1-8) 7 Chương 1: Dao động điện từ Từ đó tìm được chu kỳ dao động riêng T0 của dao động điện từ điều hoà: T0 = 2π = 2π LC ω0 (1-9) Cuối cùng ta nhận xét rằng điện tích của tụ điện, hiệu điện thế giữa hai bản tụ…. cũng biến thiên với thời gian theo những phương trình có dạng tương tự như (1-7). Hình 1-3. Đường biểu diễn dao động điều hoà §2. DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ TẮT DẦN 1. Mạch dao động điện từ RLC Trong mạch dao động bây giờ có thêm một điện trở R tượng trưng cho điện trở của toàn mạch (hình 1-4). Ta cũng tiến hành nạp điện cho tụ C, sau đó cho tụ điện phóng điện qua điện trở R và ống dây L. Tương tự như đã trình bày ở bài dao động điện từ điều hoà, ở đây cũng xuất hiện các quá trình chuyển hoá giữa năng lượng điện trường của tụ điện và năng lượng từ trường của ống dây. Nhưng do có sự toả nhiệt trên điện trở R, nên các dao động của các đại lượng như i, q, u,... không Hình 1-4. Mạch dao động điện từ tắt dần còn dạng hình sin nữa, các biên độ của chúng không còn là các đại lượng không đổi như trong trường hợp dao động điện từ điều hoà, mà giảm dần theo thời gian. Do đó, loại dao động này được gọi là dao động điện từ tắt dần. Mạch dao động RLC trên được gọi là mạch dao động điện từ tắt dần. 2. Phương trình dao động điện từ tắt dần Do trong mạch có điện trở R, nên trong thời gian dt phần năng lượng toả nhiệt trên điện trở Ri2dt bằng độ giảm năng lượng điện từ -dE của mạch. Theo định luật bảo toàn và chuyển hoá năng lượng, ta có: − dE = Ri 2 dt (1-10) q 2 Li 2 + vào (1-10), ta có: Thay E = 2C 2 8 Chương 1: Dao động điện từ ⎛ q 2 Li 2 ⎞ ⎟ = Ri 2 dt − d⎜ + ⎟ ⎜ 2C 2 ⎠ ⎝ (1-11) Chia cả hai vế của phương trình (1-11) cho dt, sau đó lấy đạo hàm theo thời gian và thay dq/dt = i, ta thu được: q di + L = − Ri C dt (1-12) Lấy đạo hàm cả hai vế của (1-12) theo thời gian và thay dq/dt = i, ta thu được: d 2i dt 2 Đặt + R di 1 + i=0 L dt LC (1-13) R 1 = 2β , = ω02 , ta thu được phương trình: L LC d 2i + 2β di + ω02 i = 0 dt (1-14) dt Đó là phương trình vi phân cấp hai thuần nhất có hệ số không đổi. Với điều kiện hệ số 2 tắt đủ nhỏ sao cho ω0 > β hay 1 ⎛ R ⎞ >⎜ ⎟ LC ⎝ 2L ⎠ 2 thì nghiệm tổng quát của phương trình (1-14) có dạng: i = I 0 e −βt cos(ωt + ϕ) (1-15) trong đó I0, ϕ là hằng số tích phân phụ thuộc vào điều kiện ban đầu, còn ω là tần số góc của dao động điên từ tắt dần và có giá trị: ω= 1 ⎛R ⎞ −⎜ ⎟ LC ⎝ 2L ⎠ 2 < ω0 (1-16) Chu kỳ của dao động điện từ tắt dần: T= 2π = ω 2π 1 ⎛R ⎞ −⎜ ⎟ LC ⎝ 2L ⎠ 2 = 2π ω02 −β 2 (1-17) Như vậy, chu kỳ dao động tắt dần lớn hơn chu kỳ dao động riêng trong mạch. Đại lượng I 0 e −βt là biên độ của dao động tắt dần. Nó giảm dần với thời gian theo qui luật hàm mũ. Tính chất tắt dần của dao động điện từ được đặc trưng bằng một đại lượng gọi là lượng giảm lôga, ký hiệu bằng chữ δ : lượng giảm lôga có giá trị bằng lôga tự nhiên của tỷ số giữa hai trị số liên tiếp của biên độ dao động cách nhau một khoảng thời gian bằng một chu kỳ dao động T. Theo định nghĩa ta có: 9 Chương 1: Dao động điện từ δ = ln I 0 e −βt I 0 e −β(t +T ) = βT (1-18) trong đó β = R / 2L , rõ ràng là nếu R càng lớn thì β càng lớn và dao động tắt càng nhanh. Điều đó phù hợp với thực tế. Chú ý: trong mạch dao động RLC ghép nối tiếp, ta chỉ có hiện tượng dao động điện từ khi: 2 1 L ⎛ R ⎞ >⎜ ⎟ hay R < 2 LC ⎝ 2L ⎠ C Trị số R 0 = 2 L được gọi là điện trở tới C Hình 1-5. Đường biểu diễn dao động điện từ tắt dần hạn của mạch. Nếu R ≥ R0 trong mạch không có dao động. §3. DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ CƯỠNG BỨC 1.Hiện tượng: Để duy trì dao động điện từ trong mạch dao động RLC, người ta phải cung cấp năng lượng cho mạch điện để bù lại phần năng lượng đã bị tổn hao trên điện trở R. Muốn vậy, cần mắc thêm vào mạch một nguồn điện xoay chiều có suất điện động biến thiên tuần hoàn theo thời gian với tần số góc Ω và biên độ E0: E= E0sinΩt Hình 1-6. Mạch dao động điện từ cưỡng bức Lúc đầu dao động trong mạch là chồng chất của hai dao động: dao động tắt dần với tần số góc ω và dao động cưỡng bức với tần số góc Ω. Giai đoạn quá độ này xảy ra rất ngắn, sau đó dao động tắt dần không còn nữa và trong mạch chỉ còn dao động điện từ không tắt có tần số góc bằng tần số góc Ω của nguồn điện. Đó là dao động điện từ cưỡng bức. 2. Phương trình dao động điện từ cưỡng bức Trong thời gian dt, nguồn điện cung cấp cho mạch một năng lượng bằng Eidt. Phần năng lượng này dùng để bù đắp vào phần năng lượng toả nhiệt Joule - Lenx và 10 Chương 1: Dao động điện từ tăng năng lượng điện từ trong mạch. Theo định luật bảo toàn và chuyển hoá năng lượng, ta có : dE + Ri 2dt = Eidt (1-19) ⎛ q 2 Li2 ⎞ ⎟ + Ri 2dt = Eidt d⎜ + ⎜ 2C 2 ⎟ ⎝ ⎠ (1-20) Thực hiện phép lấy vi phân và thay E= E0sinΩt ta được: q di + Ri + = E0 sin Ωt dt C Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian của (1-21), thay dq/dt = i, ta đươc: L L đặt d 2i dt 2 +R di i + = E0 Ω cos Ωt dt C (1-21) (1-22) 1 R = 2β , = ω02 , ta thu được phương trình: L LC d 2i dt 2 + 2β E Ω di + ω02 i = 0 cos Ωt dt L (1-23) Phương trình vi phân (1-23) có nghiệm là tổng của hai nghiệm: - Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất. Đó chính là nghiệm của phương trình dao động điện từ tắt dần. - Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất. Nghiệm này biểu diễn một dao động điện từ không tắt do tác dụng của nguồn điện. Nghiệm này có dạng: i = I 0 cos(Ωt + Φ ) (1-24) trong đó Ω là tần số góc của nguồn điện kích thích, I0 là biên độ, Φ là pha ban đầu của dao động, được xác định bằng: I0 = E0 1 ⎞ ⎛ R 2 + ⎜ ΩL − ⎟ ΩC ⎠ ⎝ 2 , cot gΦ = − 1 ΩC ΩL − R 2 1 ⎞ ⎛ Đặt Z = R 2 + ⎜ ΩL − ⎟ và gọi là tổng trở ΩC ⎠ ⎝ 1 lần ΩC lượt là cảm kháng và dung kháng của mạch dao động. của mạch dao động, Z L = ΩL và Z C = 11 Hình 1-7. Đường biểu diễn dao động điện từ cưỡng bức Chương 1: Dao động điện từ 3. Hiện tượng cộng hưởng Công thức trên chứng tỏ biên độ I0 của dòng điện cưỡng bức phụ thuộc vào giá trị tần số góc của nguồn xoay chiều kích thích. Đặc biệt với một điện trở R nhất định, biên độ I0 đạt giá trị cực đại khi tần số góc Ω có giá trị sao cho tổng trở Z của mạch dao động cực tiểu, giá trị đó của Ω phải thoả mãn điều kiện: ΩL − 1 = 0 hay Ω = ΩC 1 (1-25) LC ta thấy giá trị này của Ω đúng bằng tần số góc của mạch dao động riêng: Ω ch = ω0 (1-26) Hiện tượng biên độ dòng điện của mạch dao động điện từ cưỡng bức đạt giá trị cực đại được gọi là hiện tượng cộng hưởng điện. Vậy hiện tượng cộng hưởng điện xảy ra khi tần số góc của nguồn xoay chiều kích thích có giá trị bằng tần số góc riêng của mạch dao động. Giá trị Ωch của nguồn xoay chiều kích thích được gọi là tần số cộng hưởng. Đường biểu diễn (1-8) cho ta thấy rõ sự biến thiên của biên độ dòng điện I0 của mạch dao động cưỡng Hình1-8. Đường biểu diễn cộng hưởng điện bức theo tần số góc Ω của nguồn xoay chiều kích thích. Trong thực tế, muốn xảy ra cộng hưởng điện, ta dùng hai phương pháp sau: - Hoặc thay đổi tần số góc Ω của nguồn kích thích sao cho nó bằng tần số góc riêng ω0 của mạch dao động. - Hoặc thay đổi hệ số tự cảm L và điện dung C của mạch dao động sao cho tần số góc riêng ω0 đúng bằng tần số góc Ω của nguồn kích thích. Hiện tượng cộng hưởng điện được ứng dụng rất rộng rãi trong kỹ thuật vô tuyến điện, thí dụ trong việc thu sóng điện từ ( mạch chọn sóng). §4. SỰ TỔNG HỢP DAO ĐỘNG 1.Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương và cùng tần số Giả sử có một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương và cùng tần số: x1 = A1 cos(ω0 t + ϕ1 ) (1-27) x 2 = A 2 cos(ω0 t + ϕ 2 ) (1-28) 12 Chương 1: Dao động điện từ Hai dao động này cùng phương Ox và cùng tần số góc ω0, nhưng khác biên độ và pha ban đầu. Dao động tổng hợp của chất điểm bằng tổng của hai dao động thành phần x = x1 + x2 = A cos(ω0t + ϕ ) (1-29) Có thể tìm dạng của x bằng phương pháp cộng lượng giác. Nhưng để thuận tiện, ta dùng phương pháp giản đồ Fresnel. r r Vẽ hai véc tơ OM1, OM 2 cùng đặt tại điểm O, có độ lớn bằng biên độ A1, A2 của hai dao động . Ở thời điểm t = 0, chúng hợp với trục Ox các góc ϕ1 và ϕ2 là pha ban đầu. r r Khi đó tổng hợp của OM1, OM 2 là một véc tơ r r r OM = OM1 + OM 2 (1-30) r véc tơ OM trùng với đường chéo của hình bình hành OM1MM2, có độ lớn bằng A và hợp với trục Ox một góc ϕ và được xác định bởi hệ thức: A = A12 + A 22 + 2A1A 2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) , tgϕ = A1 sin ϕ1 + A 2 sin ϕ 2 A1 cos ϕ1 + A 2 cos ϕ 2 (1.31) Hình 1-9. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số. r r Hai véc tơ OM1 và OM 2 quay xung quanh điểm O theo chiều dương với cùng vận tốc góc không đổi bằng tần số góc ω0 . Ở thời điểm t, hai véc tơ này sẽ hợp với trục Ox các góc (ω0t + ϕ1) và (ω0t + ϕ2) đúng bằng pha dao động x1 và x2. Hình chiếu trên r r phương Ox của hai véc tơ OM1 và OM 2 có giá trị bằng: r hc ox OM1 = A1 cos(ω0 t + ϕ1 ) = x1 (1-32) r hc ox OM 2 = A 2 cos(ω0 t + ϕ 2 ) = x 2 (1-33) 13 Chương 1: Dao động điện từ r r Vì hai véc tơ OM1 và OM 2 quay theo chiều dương với cùng vận tốc góc ω0 , nên hình bình hành OM1MM2 giữ nguyên dạng khi nó quay quanh điểm O. Do đó, ở thời điểm t, r véc tơ tổng hợp OM vẫn có độ lớn bằng A và hợp với trục Ox một góc (ω0t + ϕ). Hình r chiếu trên phương Ox của véc tơ tổng hợp OM có trị số bằng: r hc ox OM = A cos(ω0 t + ϕ) = x (1-34) Mặt khác theo định lý về hình chiếu, ta có: r r r hc ox OM = hc ox OM1 + hc ox OM 2 (1-35) Như vậy, tổng hợp hai dao động điều hoà x1 và x2 cùng phương, cùng tần số góc cũng là một dao động điều hoà x có cùng phương và cùng tần số góc ω0 với các dao động thành phần, còn biên độ A và pha ban đầu ϕ của nó được xác định bởi (1-31) . Hệ thức (1-31) cho thấy biên độ A của dao động tổng hợp x phụ thuộc vào hiệu pha (ϕ1 − ϕ 2 ) của hai dao động thành phần x1 và x2: - Nếu (ϕ2 − ϕ1) = 2kπ , với k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... , thì cos(ϕ2 − ϕ1 ) = 1 và biên độ A đạt cực đại: A = A1 + A 2 = A max (1-36) Trong trường hợp này, hai dao động x1 và x2 cùng phương, cùng chiều và được gọi là hai dao động cùng pha. - Nếu (ϕ2 − ϕ1) = (2k + 1)π , với k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... , thì cos(ϕ2 − ϕ1 ) = −1 và biên độ A đạt cực tiểu: A = A1 − A 2 = A min (1-37) Trong trường hợp này, hai dao động x1và x2 cùng phương ngược chiều và gọi là hai dao động ngược pha. 2. Tổng hợp hai dao động điều hoà có phương vuông góc và cùng tần số góc Giả sử một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hoà x và y có phương vuông góc và cùng tần số góc ω 0 : x = A1 cos(ω0 t + ϕ1 ) → x = cos ω0 t cos ϕ1 − sin ω0 t sin ϕ1 A1 y = A 2 cos(ω0 t + ϕ 2 ) → y = cos ω0 t cos ϕ 2 − sin ω0 t sin ϕ 2 A2 14 (1.38) (1-39) Chương 1: Dao động điện từ Lần lượt nhân (1-38) và (1-39) với cos ϕ 2 và − cos ϕ1 , rồi cộng vế với vế: y x cos ϕ 2 − cos ϕ1 = sin ω0 t sin (ϕ 2 − ϕ1 ) A1 A2 (1-40) Tương tự, lần lượt nhân (1-38) và (1-39) với sin ϕ 2 và − sin ϕ1 , rồi cộng vế với vế: y x sin ϕ 2 − sin ϕ1 = cos ω0 t sin (ϕ 2 − ϕ1 ) A1 A2 (1-41) Hình 1-10. Hai dao động điều hoà vuông góc Bình phương hai vế (1-40) , (1-41) rồi cộng vế với vế: x2 A12 + y2 A 22 − 2 xy cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) A1A 2 (1-42) Phương trình (1-42) chứng tỏ quĩ đạo chuyển động tổng hợp của hai dao động điều hoà có phương vuông góc và có cùng tần số góc là một đường elip. Dạng của elip này phụ thuộc vào giá trị của hiệu pha (ϕ 2 − ϕ1 ) của hai dao động thành phần x và y. - Nếu (ϕ 2 − ϕ1 ) = 2kπ , với k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... , thì (1-42) trở thành: x2 A12 + y2 A 22 − y 2xy x = 0 hay − =0 A1 A 2 A1 A 2 (1-43) Phương trình (1-43) chứng tỏ chất điểm dao động theo đường thẳng nằm trong cung phần tư I và III, đi qua vị trí cân bằng bền của chất điểm tại gốc O và trùng với đường chéo của hình chữ nhật có hai cạnh bằng 2A1 và Hình 1-11. Quĩ đạo của chất điểm khi φ2 – φ1 =2kπ 2A 2 . - Nếu (ϕ 2 − ϕ1 ) = (2k + 1)π , với k = 0, ± 1, ± 2,± 3,... , thì (1-42) trở thành: x2 A12 + y2 A 22 + 2xy y x = 0 hay + =0 A1 A 2 A1 A 2 15 (1-44) Chương 1: Dao động điện từ Phương trình (1-44) chứng tỏ chất điểm dao động theo đường thẳng nằm trong cung phần tư II và IV, đi qua vị trí cân bằng bền của chất điểm tại gốc O và trùng với đường chéo của hình chữ nhật có hai cạnh bằng 2A1 và 2A 2 . Hình 1-12. Quĩ đạo của chất điểm khi φ2 – φ1 =(2k+1)π - Nếu (ϕ 2 − ϕ1 ) = (2k + 1) x2 A12 + y2 A 22 π , với k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... , thì (1-42) trở thành: 2 =1 (1-45) Hình 1-13: Quĩ đạo của chất điểm khi Quĩ đạo của chất điểm khi φ2-φ1=(2k+1)π/2 φ2-φ1=(2k+1)π/2 và A1=A2 Phương trình (1-45) chứng tỏ chất điểm dao động trên một quĩ đạo êlip dạng chính tắc có hai bán trục là A1 và A 2 . Đặc biệt nếu A1 = A 2 = A thì (1-45) trở thành: x 2 + y2 = A2 (1-46) Trong trường hợp này, quĩ đạo của chất điểm là đường tròn có tâm tại gốc toạ O và bán kính bằng A. - Nếu (ϕ 2 − ϕ1 ) có các giá trị khác với các giá trị nêu trên thì chất điểm sẽ chuyển động trên những quĩ đạo êlip xiên. 16 Chương 1: Dao động điện từ φ2– φ1 = 0 π/2 < φ2 – φ1 < π φ2 – φ1 = 3π/2 0 < φ2 - φ1 < π/2 φ2 – φ1 = π 3π/2 < φ2 – φ1 <2π φ2 – φ1=π/2 π < φ2 - φ1 <3π/2 φ2 – φ1 =2π Hình 1.14. Các dạng quĩ đạo của chất điểm khi φ2 – φ1= 0 ÷ 2π và A1 = A2 Như vậy: Tổng hợp hai dao động điều hoà có phương vuông góc với nhau và cùng tần số góc là một dao động có dạng elip (trong những trường hợp riêng là một dao động điều hoà). III. TÓM TẮT NỘI DUNG 1. Dao động điện từ điều hoà: Mạch dao động chỉ có L và C ( R = 0), các đại lượng điện và từ tham gia dao động theo qui luật điều hoà hình sin ( hoặc cosin) của thời gian với tần số riêng ω0, biên độ dao động không đổi. 17 Chương 1: Dao động điện từ 2. Dao động điện từ tắt dần: Trong mạch dao động LC có thêm điện trở R, do đó có sự hao tốn năng lượng do toả nhiệt Joule – Lenx, biên độ dao động trong trường hợp này giảm theo qui luật hàm mũ, chu kỳ dao động T lớn hơn chu kỳ dao động riêng T0. 3. Dao động điện từ cưỡng bức: Trong mạch dao động RLC mắc thêm một nguồn điện kích thích có tần số Ω để cung cấp tuần hoàn phần năng lượng bị mất do toả nhiệt. Dao động điện từ sẽ được duy trì với tần số góc Ω của nguồn kích thích. Một hiện tượng quan trọng trong trường hợp này là khi tần số góc Ω của nguồn kích thích bằng tần số góc riêng ω0 của mạch dao động thì có hiện tượng cộng hưởng xảy ra. Khi đó, biên độ của dòng điện sẽ cực đại. Tần số Ω đó được gọi là tần số cộng hưởng Ωch = ω0. Hiện tượng cộng hưởng có rất nhiều ứng dụng trong khoa học kỹ thuật, nhất là trong ngành vô tuyến điện. 4. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số Giả sử có một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương và cùng tần số: x1 = A1 cos(ω0 t + ϕ1 ) x 2 = A 2 cos(ω0 t + ϕ 2 ) Dao động tổng hợp có dạng: x = x1 + x 2 = A cos(ω0 t + ϕ) Trong đó: A = A12 + A 22 + 2A1A 2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) , tgϕ = A1 sin ϕ1 + A 2 sin ϕ 2 A1 cos ϕ1 + A 2 cos ϕ 2 - Nếu (ϕ 2 − ϕ1 ) = 2kπ , với k = 0, ± 1,± 2,± 3,... , thì A = A1 + A 2 = A max - Nếu (ϕ 2 − ϕ1 ) = (2k + 1)π , với k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... , thì A = A1 − A 2 = A min 5. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng tần số có phương vuông góc: Giả sử một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hoà x và y có phương vuông góc và cùng tần số góc ω 0 : x = A1 cos(ω0 t + ϕ1 ) y = A 2 cos(ω0 t + ϕ 2 ) Phương trình quĩ đạo chuyển động tổng hợp của chất điểm: x2 A12 + y2 A 22 − 2 xy cos(ϕ 2 − ϕ1 ) = sin 2 (ϕ 2 − ϕ1 ) A1A 2 - Nếu (ϕ 2 − ϕ1 ) = 2kπ , với k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... , thì phương trình quĩ đạo chuyển động tổng hợp của chất điểm: 18 Chương 1: Dao động điện từ x2 A12 y2 + A 22 − y 2 xy x = 0 hay − =0 A1 A 2 A1 A 2 - Nếu (ϕ 2 − ϕ1 ) = (2k + 1)π , với k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... , thì phương trình quĩ đạo chuyển động tổng hợp của chất điểm: x2 A12 + y2 A 22 + 2 xy y x = 0 hay + =0 A1 A 2 A1 A 2 π , với k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... , thì phương trình quĩ 2 đạo chuyển động tổng hợp của chất điểm: - Nếu (ϕ 2 − ϕ1 ) = (2k + 1) x2 A12 + y2 A 22 =1 IV. CÂU HỎI LÍ THUYẾT 1.Thiết lập phương trình dao động điện từ điều hoà riêng không tắt cho dòng điện: i = I 0 cos(ω0 t + ϕ) . 2. Viết biểu thức tần số và chu kỳ của dao động riêng không tắt. 3. Mô tả mạch dao động điện từ tắt dần. Thiết lập biểu thức của dòng điện trong mạch dao động điện từ tắt dần. 4. Viết biểu thức tần số và chu kỳ của mạch dao động điện từ tắt dần. So sánh chu kỳ dao động tắt dần với chu kỳ dao động riêng. 5. Mô tả mạch dao động điện từ cưỡng bức. Thiết lập biểu thức của dòng điện trong mạch dao động điện từ cưỡng bức. Nêu ý nghĩa của các đại lượng có trong biểu thức. 6. Hiện tượng cộng hưởng là gì? Khi nào xảy ra hiện tượng cộng hưởng? 7. Viết phương trình dao động tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số. Khi nào thì biên độ dao động tổng hợp đạt giá trị cực đại và cực tiểu? 8. Viết phương trình dao động tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng tần số có phương vuông góc với nhau. Với điều kiện nào thì dao động tổng hợp có dạng đường thẳng, elip vuông, đường tròn? V. BÀI TẬP Thí dụ 1: Một mạch dao động điện từ điều hoà gồm một cuộn dây thuần cảm có hệ số tự cảm L = 5.10-2H và một tụ điện có điện dung C = 2.10-6F, tụ được tích điện tới hiệu điện thế cực đại U0= 120V. Tính: 19 Chương 1: Dao động điện từ 1. Tần số dao động của mạch. 2. Năng lượng điện từ của mạch. 3. Dòng điện cực đại trong mạch. Bài giải 1. Tần số dao động của mạch: f = 1 1 1 = 500 Hz = = T 2π LC 2.3,14. 5.10 − 2.2.10 − 6 2. Năng lượng dao động của mạch: E = 1 1 CU 02 = 2.10 − 6.(120) 2 = 0,014J 2 2 3. Dòng điện cực đại trong mạch: CU 02 2.10 −6.(120) 2 1 2 1 2 = = 0,76A E = CU 0 = LI0 ⇒ I 0 = 2 2 L 5.10 −2 Thí dụ 2: Một mạch dao động điện từ gồm một tụ điện có điện dung C = 7μF, cuộn dây có hệ số tự cảm L = 0,23H và điện trở R = 40Ω. Ban đầu điện tích trên hai bản tụ Q0 = 5,6.10-4C. Tìm: 1. Chu kỳ dao động điện từ trong mạch. 2. Lượng giảm lôga của mạch dao động điện từ tương ứng. 3. Phương trình biến thiên theo thời gian của cường độ dòng điện trong mạch và hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện. Bài giải 1.Vì điện trở R = 40Ω ≠ 0 nên dao động điện từ trong mạch là dao động điện từ tắt dần. Phương trình dao động của điện tích trên hai bản tụ: q = Q 0 e −βt cos(ωt + ϕ) Khi t = 0 thì q = Q 0 cos ϕ , nhưng theo giả thiết q = Q 0 nên φ = 0 → phương trình dao động của điện tích trên hai bản tụ: q = Q 0 e −βt cos ωt Chu kỳ dao động của mạch: T= 2π 1 ⎛ R ⎞ −⎜ ⎟ LC ⎝ 2L ⎠ 2 2.3,14 = ⎛ 40 ⎞ −⎜ ⎟ − 6 ⎝ 2.0,23 ⎠ 0,23.7.10 1 2. Lượng giảm lôga của dao động điện từ trong mạch: δ = βT = RT 40.8.10 −3 = = 0,7 2L 2.0,23 20 2 = 8.10 − 3 s Chương 1: Dao động điện từ 3.Phương trình biến thiên theo thời gian của cường độ dòng điện và hiệu điện thế giữa 2π dq hai bản tụ điện: ω= = 250π (rad / s ) , i = = −0,44e −87 t sin 250πt (A ) T dt u= q = 80e −87 t cos 250πt C (V ) Bài tập tự giải 1. Một mạch dao động điện từ điều hoà gồm một tụ điện có điện dung C = 2μF và một cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L = 0,5H. Tụ được tích đến hiệu điện thế cực đại U0= 100V.Tìm: 1. Năng lượng điện từ của mạch. 2. Dòng điện cực đại trong mạch. Đáp số 1. E = 1 1 CU 02 = .2.10 − 6.(100) 2 = 10 − 2 J 2 2 2. E = 1 1 CU 02 = LI 02 → I 0 = 2 2 CU 02 = L 2.10 − 6.(100) 2 = 0,2A 0,5 2. Một mạch dao động điện từ điều hoà gồm một tụ điện có điện dung C = 0,25μF và một cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L = 1,015H. Điện tích cực đại trên hai bản tụ Q0= 2,5μC. Tìm: 1. Chu kỳ, tần số dao động của mạch. 2. Năng lượng điện từ của mạch. 3. Dòng điện cực đại trong mạch. Đáp số: 1. T = 2π LC = 3,16.10 −3 s , f = 1 Q 02 2. E = = 12,5.10 − 6 J , 2 C 1 = 316 Hz T 3. I 0 = Q 02 LC = 5.10−3 A 3. Một mạch dao động điện từ điều hoà gồm một cuộn dây thuần cảm có hệ số tự cảm L = 1H và một tụ điện có điện tích trên hai bản tụ biến thiên điều hoà theo phương trình q= 5.10 −5 cos 400πt (C) . π 1. Tìm điện dung của tụ. 2. Tìm năng lượng điện từ của mạch. 21 Chương 1: Dao động điện từ 3. Viết phương trình biến thiên theo thời gian của cường độ dòng điện trong mạch. 1 Đáp số: 1. ω0 = 3. i = LC ⇒C= 1 ω02 L = 10 −6 F, 1,6 2. E = 1 Q 02 = 2.10 − 4 J 2 C dq = −2.10 − 2 sin 400πt (A) dt 4. Một mạch dao động điện từ điều hoà gồm tụ điện có điện dung C = 6,3.10-7F và một dây thuần cảm có hệ số tự cảm L. Phương trình biểu diễn sự biến thiên theo thời gian của cường độ dòng điện trong mạch i = −0,02 sin 400πt (A ) . Tìm: 1.Chu kỳ, tần số dao động. 2. Hệ số tự cảm L. 3. Năng lượng điện trường cực đại và năng lượng từ trường cực đại. 4. Hiệu điện thế cực đại trên hai bản tụ. Đáp số 1. T = 2π 1 1 = 5.10 − 3 s , f = = 200Hz ; 2. L = = 1H T ω0 Cω02 CU 02 LI 02 −4 3. E e(max) = = 1,97.10 J , E m (max) = = 1,97.10 − 4 J 2 2 4. U 0 = 25,2 (V ) 5. Một mạch dao động điện từ điều hoà gồm tụ điện có điện dung C = 9.10-7F và cuộn dây thuần cảm có hệ số tự cảm L. Hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện biến thiên điều hoà theo phương trình u = 50 cos 10 4 πt (V ) . 1.Tìm chu kỳ và tần số dao động. 2. Tìm hệ số tự cảm L. 3. Viết phương trình biến thiên của cường độ dòng điện trong mạch theo thời gian. 4. Tìm năng lượng điện từ của mạch. Đáp số 1. T = 2π 1 1 = 2.10 − 4 s , f = = 5.10 3 Hz ; 2. L = = 10 − 3 H 2 T ω0 Cω 0 3. i = C CU 02 du = 0,11.10 − 2 J = −1,4 sin 10 4 πt (A ) ; 4. E = 2 dt 22 Chương 1: Dao động điện từ 6. Một mạch dao động gồm tụ điện có điện dung C = 0,4.10-6F, một cuộn dây có hệ số tự cảm L = 10-2H và điện trở R = 2Ω. 1. Tìm chu kỳ và tần số dao động của mạch. 2. Sau thời gian một chu kỳ hiệu điện thế giữa hai cốt của tụ điện giảm đi bao nhiêu lần. 1.T = 4.10-4s, f = Đáp số: Ut 1 = 1,04 = 2500Hz ; 2. T U t +T 7. Một mạch dao động gồm tụ điện có điện dung C = 1,1.10-9F, cuộn dây có độ tự cảm L = 5.10-5H và lượng giảm lôga δ = 0,005. Tìm thời gian để năng lượng điện từ trong mạch giảm đi 99% .Coi gần đúng chu kỳ dao động của mạch T = 2π LC . Đáp số: Năng lượng dao động tại thời điểm t là Et, năng lượng dao động tại thời điểm t + ∆t là Et + ∆t. Sau thời gian ∆t năng lượng giảm 99%, nghĩa là còn lại 1% Et (Q 0 e − β t ) 2 ( Q 0 e − β ( t + Δt ) ) 2 = 100 , Δt = 6,8.10 −3 s Et = , E t + Δt = , E t + Δt 2C 2C 8. Một mạch dao động điện từ gồm tụ điện có điện dung C = 0,2.10-6F, một cuộn dây có độ tự cảm L = 5,07.10-3H và điện trở R.Tìm: 1. Lượng giảm lôga, biết hiệu điện thế trên hai bản tụ giảm đi 3 lần sau 10-3s. Coi gần đúng chu kỳ dao động của mạch theo công thức T = 2π LC . 2. Điện trở R của mạch. ⎛U ⎞ T ln⎜⎜ 0 ⎟⎟ −4 ⎝ U1 ⎠ = 2.10 ln 3 = 0,22 Đáp số: 1. T = 2π LC = 2.10 − 4 (s) , δ = t 10 − 3 2. R= 2Lδ = 11,1Ω T 9. Một mạch dao động điện từ điều hoà gồm một cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L = 3.10-5H và một tụ điện. Mạch dao động cộng hưởng với bước sóng λ = 750m. Tìm điện dung của tụ điện. Cho c= 3.108m/s. Đáp số: T = λ λ2 = 2π LC ⇒ C = = 0,52.10 − 8 F 2 2 c 4π c L 23 Chương 2: Giao thoa ánh sáng CHƯƠNG II: GIAO THOA ÁNH SÁNG I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU 1. Nắm được một số khái niệm như quang lộ, cường độ sáng, hàm sóng ánh sáng, định lí Malus và nguyên lí Huygens là những cơ sở của quang học sóng. 2. Nắm được định nghĩa và điều kiện để có giao thoa ánh sáng. 3. Khảo sát hiện tượng giao thoa ánh sáng (điều kiện cực đại, cực tiểu giao thoa, vị trí vân sáng, vân tối) trong thí nghiệm Young, giao thoa gây bởi bản mỏng (nêm không khí, hệ vân tròn Newton). 4. Ứng dụng hiện tượng giao thoa trong đo lường, kiểm tra độ phẳng, độ cong của các vật, khử phản xạ... II. NỘI DUNG §1. CƠ SỞ CỦA QUANG HỌC SÓNG Quang học sóng nghiên cứu các hiện tượng giao thoa, nhiễu xạ, phân cực... dựa trên bản chất sóng điện từ của ánh sáng. Người đầu tiên đề ra thuyết sóng ánh sáng là nhà vật lí người Hà Lan Christian Huygens năm 1687. Theo Huygens, ánh sáng là sóng đàn hồi truyền trong một môi trường đặc biệt gọi là “ête vũ trụ” lấp đầy không gian. Thuyết sóng ánh sáng đã giải thích được các hiện tượng của quang hình học như phản xạ, khúc xạ ánh sáng. Vào đầu thế kỉ thứ 19, dựa vào thuyết sóng ánh sáng Fresnel đã giải thích các hiện tượng giao thoa, nhiễu xạ ánh sáng. Nhưng khi hiện tượng phân cực ánh sáng được phát hiện thì quan niệm về sóng đàn hồi trong “ête vũ trụ” đã bộc lộ rõ những thiếu sót. Hiện tượng phân cực ánh sáng chứng tỏ sóng ánh sáng là sóng ngang và như chúng ta đã biết, sóng đàn hồi ngang chỉ có thể truyền trong môi trường chất rắn. Đến năm 1865, dựa vào những nghiên cứu lí thuyết của mình về trường điện từ và sóng điện từ, Maxwell đã nêu lên thuyết điện từ về sóng ánh sáng. Trong tiết này chúng ta sẽ nghiên cứu về một số những khái niệm cơ bản của sóng ánh sáng và các nguyên lí như nguyên lí chồng chất các sóng, nguyên lí Huygens là cơ sở của quang học sóng. 1. Một số khái niệm cơ bản về sóng Sóng là quá trình truyền pha của dao động. Dựa vào cách truyền sóng, người ta chia sóng thành hai loại: sóng ngang và sóng dọc. Sóng ngang là sóng mà phương dao động của các phần tử vuông góc với phương truyền sóng. 24 Chương 2: Giao thoa ánh sáng Sóng dọc là sóng mà phương dao động của các phần tử trùng với phương truyền sóng. Không gian có sóng truyền qua được gọi là trường sóng. Mặt sóng là qũi tích những điểm dao động cùng pha trong trường sóng. Giới hạn giữa phần môi trường mà sóng đã truyền qua và chưa truyền tới gọi là mặt đầu sóng. Nếu sóng có mặt đầu sóng là mặt cầu thì được gọi là sóng cầu và nếu mặt đầu sóng là mặt phẳng thì được gọi là sóng phẳng. Đối với môi trường đồng chất và đẳng hướng, nguồn sóng nằm ở tâm của mặt sóng cầu, tia sóng (phương truyền sóng) vuông góc với mặt đầu sóng (hình 2-1). Nếu nguồn sóng ở rất xa phần môi trường mà ta khảo sát thì mặt sóng là những mặt phẳng song song, các tia sóng là những đường thẳng song song với nhau và vuông góc với các mặt sóng (hình 2-2). Hình 2-1. Sóng cầu Hình 2-2. Sóng phẳng 2. Thuyết điện từ về ánh sáng của Maxwell Ánh sáng là sóng điện từ, nghĩa là trường điện từ biến thiên theo thời gian truyền đi trong không gian. Sóng ánh sáng là sóng ngang, bởi vì trong sóng điện từ vectơ cường độ điện trường E và vectơ cảm ứng từ B luôn dao động vuông góc với phương truyền sóng. Khi ánh sáng truyền đến mắt, vectơ cường độ điện trường tác dụng lên võng mạc gây nên cảm giác sáng. Do đó vectơ cường độ điện trường trong sóng ánh sáng gọi là vectơ sáng. Người ta biểu diễn sóng ánh sáng bằng dao động của vectơ sáng E vuông góc với phương truyền sóng. Mỗi sóng ánh sáng có bước sóng λ 0 xác định gây nên cảm giác sáng về một màu sắc xác định và gọi là ánh sáng đơn sắc. Tập hợp các ánh sáng đơn sắc có bước sóng λ 0 nằm trong khoảng từ 0,4 μm đến 0,76 μm tạo thành ánh sáng trắng. 3. Quang lộ Xét hai điểm A, B trong một môi trường đồng tính chiết suất n, cách nhau một đoạn d bằng d. Thời gian ánh sáng đi từ A đến B là t = , trong đó v là vận tốc ánh sáng trong v môi trường. Định nghĩa: Quang lộ giữa hai điểm A, B là đoạn đường ánh sáng truyền được trong chân không với cùng khoảng thời gian t cần thiết để sóng ánh sáng đi được đoạn đường d trong môi trường chiết suất n. 25 Chương 2: Giao thoa ánh sáng L = ct = c d = nd v (2-1) Chiết suất n = c/ v với c là vận tốc ánh sáng trong chân không. Như vậy khi ánh sáng truyền trong môi trường chất, với việc sử dụng khái niệm quang lộ chúng ta đã chuyển quãng đường ánh sáng đi được trong môi trường chiết suất n sang quãng đường tương ứng trong chân không và do đó ta có thể sử dụng vận tốc truyền của ánh sáng trong chân không là c thay cho vận tốc v truyền trong môi trường. Nếu ánh sáng truyền qua nhiều môi trường chiết suất n1, n2, n3 ... với các quãng đường tương ứng d1, d2, d3 ... thì quang lộ sẽ là L = ∑ n idi (2-2a) i Nếu ánh sáng truyền trong môi trường mà chiết suất thay đổi liên tục thì ta chia đoạn đường AB thành các đoạn nhỏ ds để coi chiết suất không thay đổi trên mỗi đoạn nhỏ đó và quang lộ sẽ là B L = ∫ nds (2-2b) A 4. Định lí Malus về quang lộ a. Mặt trực giao là mặt vuông góc với các tia của một chùm sáng. Hình 2-3. Mặt trực giao Theo định nghĩa nếu chùm sáng là đồng qui thì mặt trực giao là các mặt cầu đồng tâm, còn nếu là chùm sáng song song thì mặt trực giao là các mặt phẳng song song. b. Định lí Malus: Quang lộ của các tia sáng giữa hai mặt trực giao của một chùm sáng thì bằng nhau. 5. Hàm sóng ánh sáng Xét sóng ánh sáng phẳng đơn sắc truyền theo phương y với vận tốc v trong môi trường chiết suất n. Giả sử tại O phương trình của dao động sáng là: x (O) = A cos ωt (2-3) thì tại điểm M cách O một đoạn d, phương trình dao động sáng là: 26 Chương 2: Giao thoa ánh sáng L x ( M ) = A cos ω( t − τ) = A cos ω( t − ) c 2π L 2πL = A cos(ω t − ) = A cos(ω t − ) T c λ (2-4) trong đó τ là thời gian ánh sáng truyền từ O đến M, L là quang lộ trên đoạn đường OM, λ là bước sóng ánh sáng 2πL trong chân không, A là biên độ dao động và ϕ = là λ pha ban đầu. Phương trình (2-4) được gọi là hàm sóng ánh sáng. Hình 2-4 6. Cường độ sáng Cường độ sáng đặc trưng cho độ sáng tại mỗi điểm trong không gian có sóng ánh sáng truyền qua. Định nghĩa: Cường độ sáng tại một điểm là đại lượng có trị số bằng năng lượng trung bình của sóng ánh sáng truyền qua một đơn vị diện tích đặt vuông góc với phương truyền sáng trong một đơn vị thời gian. Vì mật độ năng lượng của sóng điện từ tỉ lệ thuận với bình phương biên độ của véctơ cường độ điện trường nên cường độ sáng tại một điểm tỉ lệ với bình phương biên độ dao động sáng tại điểm đó: I = kA2 k: Hệ số tỉ lệ. Khi nghiên cứu các hiện tượng giao thoa, nhiễu xạ đặc trưng cho tính chất sóng của ánh sáng, người ta chỉ cần so sánh cường độ sáng tại các điểm khác nhau mà không cần tính cụ thể giá trị của cường độ sáng, do đó qui ước lấy k = 1: I = A2 (2-5) 7. Nguyên lí chồng chất các sóng Khi có hai hay nhiều sóng ánh sáng truyền tới giao nhau tại một điểm nào đó trong không gian thì sự tổng hợp của các sóng tuân theo nguyên lí chồng chất các sóng. Nguyên lí này được phát biểu như sau: “Khi hai hay nhiều sóng ánh sáng gặp nhau thì từng sóng riêng biệt không bị các sóng khác làm cho nhiễu loạn. Sau khi gặp nhau, các sóng ánh sáng vẫn truyền đi như cũ, còn tại những điểm gặp nhau dao động sáng bằng tổng các dao động sáng thành phần”. 8. Nguyên lí Huygens Nguyên lí Huygens được phát biểu như sau: " Mỗi điểm trong không gian nhận được sóng sáng từ nguồn sáng thực S truyền đến đều trở thành nguồn sáng thứ cấp phát sóng sáng về phía trước nó". Nguyên lí Huygens được mô tả đơn giản trên hình 2-5 như sau: Sóng phẳng được phát ra từ nguồn sáng ở vô cùng tới mặt AB, tất cả các điểm trên mặt sóng AB đều trở thành 27 Chương 2: Giao thoa ánh sáng nguồn thứ cấp và lại phát sóng cầu về phía trước, bao hình CD của tất cả các sóng cầu này lại trở thành mặt sóng. Hình 2-5 §2. GIAO THOA ÁNH SÁNG 1. Định nghĩa: Hiện tượng giao thoa ánh sáng là hiện tượng gặp nhau của hai hay nhiều sóng ánh sáng kết hợp, kết quả là trong trường giao thoa sẽ xuất hiện những vân sáng và những vân tối xen kẽ nhau. Hình 2-6. Thí nghiệm giao thoa khe Young (Yâng) Điều kiện giao thoa: hiện tượng giao thoa chỉ xảy ra đối với sóng ánh sáng kết hợp. Sóng ánh sáng kết hợp là những sóng có hiệu pha không thay đổi theo thời gian. Nguyên tắc tạo ra hai sóng ánh sáng kết hợp là từ một sóng duy nhất tách ra thành hai sóng riêng biệt. Dụng cụ để tạo ra các sóng ánh sáng kết hợp: ví dụ khe Young (hình 2-6), gương Fresnel. 2. Khảo sát hiện tượng giao thoa a. Điều kiện cực đại, cực tiểu giao thoa Xét hai nguồn sóng ánh sáng đơn sắc kết hợp S1 và S2. Phương trình dao động sáng của chúng tại vị trí của S1 và S2 là: 28 Chương 2: Giao thoa ánh sáng x (S1 ) = A1 cos ω t x (S2 ) = A 2 cos ωt Tại M ta nhận được hai dao động sáng: x1 = A1 cos(ω t − 2πL1 ) λ x 2 = A 2 cos(ω t − 2πL 2 ) λ L1 và L2 là quang lộ trên đoạn đường r1 và r2. Vì khoảng cách S1S2 nhỏ hơn rất nhiều so với khoảng cách từ mặt phẳng của hai khe đến màn quan sát nên ta coi đây là trường hợp tổng hợp của hai dao động cùng phương, cùng tần số. Ta biết rằng biên độ dao động sáng tổng hợp tại M phụ thuộc vào hiệu pha của hai dao động Δϕ = 2π (L1 − L 2 ) λ Nếu hai dao động cùng pha, hiệu pha Δϕ = 2kπ , thì biên độ dao động sáng tổng hợp tại M sẽ có giá trị cực đại và cường độ sáng tại điểm M là cực đại. Như vậy điều kiện cực đại giao thoa là: Δϕ = 2π (L1 − L 2 ) = 2kπ λ ⇒ L1 − L 2 = kλ với (2-6) k = 0,±1,±2... (2-7) Nếu hai dao động ngược pha, hiệu pha Δϕ = (2k + 1)π , thì biên độ dao động sáng tổng hợp tại M sẽ có giá trị cực tiểu và do đó cường độ sáng cực tiểu. Như vậy điều kiện cực tiểu giao thoa là: 2π (L1 − L 2 ) = (2k + 1)π λ λ ⇒ L1 − L 2 = (2k + 1) với k = 0,±1,±2... 2 Δϕ = (2-8) (2-9) b. Vị trí của vân giao thoa Hệ thống khe Young như hình vẽ, được đặt trong không khí. Xét điểm M trên màn E, điểm M cách điểm O một khoảng là y. Từ S2 kẻ S2H ⊥ S1M. Vì S1S2 = l rất nhỏ và khoảng cách D từ khe đến màn E lớn nên S1H ≈ r1-r2 = l sin α ≈ l tg α và r1 − r2 = ly D (2-10) Hình 2-7. Vị trí của vân giao thoa 29 Chương 2: Giao thoa ánh sáng Trong không khí nên L1-L2 = r1-r2. Từ điều kiện cực đại, cực tiểu giao thoa ta dễ dàng tính được vị trí các vân sáng và vân tối. Vị trí các vân sáng (cực đại giao thoa): r1 − r2 = ys = k l.y s = kλ D λD l với k = 0, ± 1, ± 2... (2-11) k = 0, ± 1, ± 2... (2-12) Vị trí các vân tối (cực tiểu giao thoa): r1 − r2 = ly t λ = (2k + 1) D 2 y t = (2k + 1) λD 2l với Từ các công thức (2-11) và (2-12) ta thấy ảnh giao thoa trên màn E có các đặc điểm: - Với k = 0 thì ys = 0, tức là gốc O trùng với vân cực đại giao thoa. Vân này được gọi là vân cực đại giữa. - Các vân cực đại giao thoa ứng với k = ±1, ± 2... và các vân cực tiểu giao thoa nằm xen kẽ cách đều nhau cả hai phía đối với vân cực đại giữa. Đối với vân sáng, bậc giao thoa trùng với k . Đối với vân tối, khi k > 0 bậc giao thoa trùng với k + 1 , khi k < 0 bậc giao thoa trùng với k . - Khoảng cách giữa hai vân sáng kế tiếp: i = y k +1 − y k = ( k + 1) λD λD λD −k = l l l (2-13) Tương tự, khoảng cách giữa hai vân tối kế tiếp cũng là i và i được gọi là khoảng vân. Các vân giao thoa là các đoạn thẳng nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình vẽ, do đó nếu dịch chuyển đồng thời S1 và S2 theo phương vuông góc với mặt phẳng hình vẽ thì hệ thống vân chỉ trượt trên mình nó và không thay đổi gì. Do đó ta có thể thay hai nguồn sáng điểm S1 và S2 bằng hai nguồn sáng khe đặt vuông góc với mặt phẳng hình vẽ để cho hình ảnh giao thoa rõ nét hơn. c. Hệ vân giao thoa khi dùng ánh sáng trắng Nếu nguồn sáng S1 và S2 phát ánh sáng trắng gồm mọi ánh sáng đơn sắc có bước sóng λ = 0,4 ÷ 0,76μm , thì mỗi ánh sáng đơn sắc sẽ cho một hệ vân giao thoa có màu sắc riêng và độ rộng i khác nhau. Tại gốc tọa độ O, mọi ánh sáng đơn sắc đều cho cực đại, nên vân cực đại giữa là một vân sáng trắng, hai mép viền màu (trong tím, ngoài đỏ). Những vân cực đại khác ứng với cùng một giá trị của k là những vân có màu sắc khác nhau nằm chồng lên nhau tạo thành những vân sáng nhiều màu sắc. Các vân này càng bị nhòe dần khi xa vân sáng trắng ở trung tâm. 30 Chương 2: Giao thoa ánh sáng §3. GIAO THOA GÂY BỞI BẢN MỎNG Khi nhìn vào màng xà phòng, váng dầu trên mặt nước, ta thấy màu sắc rất đẹp, màu sắc đó được tạo nên bởi sự giao thoa của các tia phản xạ trên hai mặt của bản mỏng. Trước khi đi vào nghiên cứu về giao thoa gây bởi bản mỏng chúng ta xem xét hiện tượng giao thoa do phản xạ. 1. Giao thoa do phản xạ Để nghiên cứu hiện tượng giao thoa do phản xạ Lloyd đã làm thí nghiệm sau: Gương G được bôi đen đằng sau, chiết suất của thủy tinh lớn hơn chiết suất của không khí ntt > nkk. Nguồn sáng S rộng và cách xa. Màn E được đặt vuông góc với gương. Một điểm M trên màn E sẽ nhận được hai tia sáng từ S gửi đến. Tia truyền trực tiếp SM và tia SIM phản xạ trên gương, sau đó đến M. Hai tia này giao thoa với nhau. Hình 2-8. Thí nghiệm của Lloyd Theo lí thuyết: nếu r1 − r2 = L1 − L 2 = kλ thì điểm M sáng, nếu λ thì điểm M sẽ tối. Tuy nhiên thực nghiệm lại thấy rằng: 2 những điểm lí thuyết dự đoán là sáng thì kết quả lại là tối và ngược lại, những điểm lí thuyết dự đoán là tối thì lại là sáng. Vậy hiệu pha dao động của hai tia sáng trong trường hợp này 2π 2π (L1 − L 2 ) mà phải là Δϕ = (L1 − L 2 ) + π . Để Δϕ thêm một không phải là Δϕ = λ λ lượng π thì pha dao động của một trong hai tia phải thay đổi một lượng π . Vì tia SM truyền trực tiếp từ nguồn đến điểm M, nên chỉ có tia phản xạ trên gương mới thay đổi, cụ thể là pha dao động của nó sau khi phản xạ sẽ thay đổi một lượng π . Tương đương với việc pha thay đổi một lượng là π thì quang lộ của nó sẽ thay đổi một lượng là: r1 − r2 = L1 − L 2 = (2k + 1) ϕ1 = 2π L1 ⇒ λ L1′ = L1 + ϕ'1 = λ 2 2π 2π L1 + π = L1′ λ λ (2-14) Trong đó ϕ1 và L1 là pha và quang lộ khi chưa tính đến sự thay đổi pha do phản xạ, còn ϕ1' và L'1 là pha và quang lộ của tia sáng khi có tính đến sự phản xạ trên thủy tinh là môi 31 Chương 2: Giao thoa ánh sáng trường chiết quang hơn môi trường ánh sáng tới. Trong trường hợp phản xạ trên môi trường có chiết suất nhỏ hơn chiết suất môi trường ánh sáng tới, ví dụ ta cho ánh sáng truyền trong môi trường thủy tinh đến mặt phân cách giữa thủy tinh và không khí rồi phản xạ lại, khi đó pha dao động và quang lộ của tia phản xạ không có gì thay đổi. Kết luận: Khi phản xạ trên môi trường chiết quang hơn môi trường ánh sáng tới, pha dao động của ánh sáng thay đổi một lượng π , điều đó cũng tương đương với việc coi tia phản λ xạ dài thêm một đoạn . 2 2. Giao thoa gây bởi nêm không khí Nêm không khí là một lớp không khí hình nêm giới hạn bởi hai bản thuỷ tinh phẳng G1, G2 có độ dày không đáng kể, đặt nghiêng với nhau một góc nhỏ α . Chiếu chùm tia sáng đơn sắc song song, vuông góc với mặt G2 . Tia sáng từ nguồn S đi vào bản thuỷ tinh G1 tới M chia làm hai: Một tia phản xạ đi ra ngoài (tia R1), một tia đi tiếp vào nêm không khí, đến K trên G2 và phản xạ tại đó rồi đi ra ngoài Hình 2-9. Nêm không khí (tia R2). Tại M có sự gặp nhau của hai tia phản xạ nói trên và chúng giao thoa với nhau. Trên mặt G1 ta nhận được vân giao thoa. Tia R2 (là tia phản xạ trên mặt G2) phải đi thêm một đoạn 2d so với tia R1 (là tia phản xạ trên mặt G1) và vì tia R2 phản xạ trên mặt trên của G2 (thủy tinh) chiết quang hơn môi trường ánh sáng đến (không khí) nên quang lộ của tia này dài thêm một đoạn là λ / 2 . Còn tia R1 phản xạ trên mặt dưới của G1 thì không thay đổi pha vì đây là phản xạ trên môi trường không khí, kém chiết quang hơn môi trường ánh sáng tới (môi trường thủy tinh). Hiệu quang lộ của hai tia là: L 2 − L1 = 2d + λ 2 (2-15) d là bề dày của lớp không khí tại M. Các điểm tối thoả mãn điều kiện: L 2 − L1 = 2d + λ λ = (2k + 1) 2 2 Do đó: dt = k λ 2 với k = 0,1,2... (2-16) Tập hợp các điểm có cùng bề dày d của lớp không khí là một đoạn thẳng song song với cạnh nêm. Tại cạnh nêm d = 0, ta có một vân tối. Các điểm sáng thoả mãn điều kiện: 32 Chương 2: Giao thoa ánh sáng L 2 − L1 = 2d + λ = kλ 2 Do đó: d s = ( 2 k − 1) λ 4 với k =1,2,3... (2-17) Vân sáng cũng là những đoạn thẳng song song với cạnh nêm và nằm xen kẽ với vân tối. 3. Vân tròn Newton Hệ cho vân tròn Newton gồm một thấu kính phẳng - lồi đặt tiếp xúc với một bản thủy tinh phẳng (hình 2-10). Lớp không khí giữa thấu kính và bản thủy tinh là bản mỏng có bề dày thay đổi. Chiếu một chùm tia sáng đơn sắc song song vuông góc với bản thủy tinh. Các tia sáng phản xạ ở mặt trên và mặt dưới của bản mỏng này sẽ giao thoa với nhau, tạo thành các vân giao thoa có cùng độ dày, định xứ ở mặt cong của thấu kính phẳng- lồi. Giống như nêm không khí, cực tiểu vân giao thoa (vân tối) nằm tại vị trí ứng với bề dày của lớp không khí: dt = k λ 2 với k = 0,1,2... (2-18) và cực đại vân giao thoa (vân sáng) nằm tại vị trí ứng với bề dày lớp không khí: d s = ( 2 k − 1) λ 4 với k = 1,2,3... (2-19) Hình 2-10. Vân tròn Newton Do tính chất đối xứng của bản mỏng nên các vân giao thoa là những vòng tròn đồng tâm gọi là vân tròn Newton. Ta tính bán kính của vân thứ k: 33 Chương 2: Giao thoa ánh sáng rk2 = R 2 − (R − d k ) 2 trong đó R là bán kính cong của thấu kính, dk là bề dày của lớp không khí tại vân thứ k. Vì d k << R do đó: rk2 ≈ 2Rd k Nếu vân thứ k đó là vân tối, ta có d t = k λ , do đó: 2 rk = Rλ . k (2-20) Như vậy bán kính của các vân tối tỉ lệ với căn bậc hai của các số nguyên liên tiếp. §4. ỨNG DỤNG HIỆN TƯỢNG GIAO THOA 1. Kiểm tra các mặt kính phẳng và lồi Để kiểm tra độ phẳng của một tấm kính hoặc độ cong của một mặt cầu lồi người ta đặt chúng trên một tấm thủy tinh có độ phẳng chuẩn để tạo ra một bản mỏng hình nêm hoặc một hệ cho vân tròn Newton. Nếu tấm kính không thật phẳng hoặc mặt cầu không cong đều thì các vân giao thoa sẽ không thành những đường song song cách đều hoặc không phải là những vân tròn đồng tâm mà bị méo mó tại những chỗ bị lỗi. 2. Khử phản xạ các mặt kính Khi một chùm sáng rọi vào mặt thấu kính hay lăng kính thì một phần ánh sáng sẽ bị phản xạ trở lại. Ánh sáng phản xạ này sẽ làm ảnh bị mờ. Để khử phản xạ, người ta phủ lên thủy tinh một màng mỏng trong suốt, có chiều dày d và chiết suất n. Khi chiếu chùm tia sáng song song theo phương vuông góc với màng mỏng thì có sự giao thoa của hai tia phản xạ, tia thứ nhất phản xạ trên Hình 2-11. Khử ánh sáng phản xạ mặt giới hạn giữa màng mỏng-thủy tinh và tia thứ hai phản xạ trên mặt phân cách giữa không khí-màng mỏng. Chiết suất n và bề dày d của màng được chọn sao cho hai tia phản xạ ngược pha nhau. Gọi nkk và ntt là chiết suất của không khí và chiết suất của thủy tinh thì n kk < n < n tt . Hiệu quang lộ của hai tia phản xạ thỏa mãn điều kiện cực tiểu giao thoa: suy ra: ΔL = 2nd + λ λ λ − = 2nd = (2k + 1) 2 2 2 d = (2k + 1) λ 4n (2-21) λ là bước sóng ánh sáng trong chân không. Độ dày nhỏ nhất của màng mỏng là: 34 Chương 2: Giao thoa ánh sáng d min = λ 4n (2-22) Ta thấy không thể khử đồng thời mọi ánh sáng phản xạ có bước sóng khác nhau. Trong thực tế thường chọn bề dày d thỏa mãn điều kiện (2-22) ứng với ánh sáng màu xanh lục λ = 0,55μm là ánh sáng nhạy nhất với mắt người. 3. Giao thoa kế Rayleigh (Rêlây) Giao thoa kế Rayleigh là dụng cụ dùng để đo chiết suất (hay nồng độ) của chất lỏng và chất khí với độ chính xác cao. Mô hình của giao thoa kế Rayleigh được trình bày trên hình 2-12. Ánh sáng đơn sắc từ nguồn S sau khi qua thấu kính hội tụ L1 và hai khe S1, S2 bị tách thành hai chùm tia song song. Hai chùm đó sẽ giao thoa với nhau trên mặt phẳng tiêu của thấu kính hội tụ L2. Nhờ thị kính L ta có thể quan sát được hệ thống vân giao thoa đó. Hình 2-12. Giao thoa kế Rayleigh Trên đường đi của hai chùm tia ban đầu ta đặt hai ống chiều dài d đựng cùng một chất lỏng chiết suất no đã biết. Ghi hệ thống vân giao thoa trên màn quan sát. Sau đó thay chất lỏng trong một ống bằng chất lỏng cần nghiên cứu. Vì chiết suất của chất lỏng đựng trong hai ống bây giờ khác nhau nên hiệu quang lộ của hai chùm tia bị thay đổi một lượng ΔL = L1 − L 2 = (n − n o )d (2-23) n là chiết suất của chất lỏng cần đo. Kết quả là hệ thống vân giao thoa bị dịch chuyển. Đếm số vân giao thoa bị dịch chuyển ta có thể tính được chiết suất của chất lỏng. Ta biết rằng khi hiệu quang lộ thay đổi một bước sóng thì hệ thống vân dịch chuyển một khoảng vân. Do đó nếu hệ thống vân giao thoa dịch chuyển m khoảng vân thì hiệu quang lộ sẽ thay đổi một khoảng bằng: ΔL = (n − n o )d = mλ (2-24) Từ đó suy ra chiết suất của chất lỏng cần đo là: n= mλ + no d (2-25) Ta cũng có thể đo chiết suất một chất khí bằng cách sử dụng giao thoa kế Rayleigh, so sánh chất khí đó với một chất khí có chiết suất biết trước. 35 Chương 2: Giao thoa ánh sáng 4. Giao thoa kế Michelson (Maikenxơn) Giao thoa kế Michelson dùng để đo độ dài các vật với độ chính xác cao. Hình 2-13 trình bày mô hình của giao thoa kế Michelson .Ánh sáng từ nguồn S chiếu tới bản bán mạ P (được tráng một lớp bạc rất mỏng) dưới góc 45o. Tại đây ánh sáng bị tách thành hai tia: tia phản xạ truyền đến gương G1 và tia khúc xạ truyền đến gương G2. Sau khi phản xạ trên hai gương G1 và G2 các tia sáng truyền ngược trở lại, đi qua bản P và tới giao thoa với nhau ở kính quan sát. Vì tia thứ nhất chỉ đi qua bản P một lần còn tia thứ hai đi qua P ba lần nên hiệu quang lộ của hai tia Hình 2-13. Giao thoa kế Michelson lớn, vân giao thoa quan sát được là những vân bậc cao, nên nhìn không rõ nét. Để khắc phục điều này người ta đặt bản P’ giống hệt P nhưng không tráng bạc trên đường đi của tia thứ nhất. Nếu ta dịch chuyển gương G2 song song với chính nó dọc theo tia sáng một đoạn bằng nửa bước sóng thì hiệu quang lộ của hai tia sẽ thay đổi một bước sóng, kết quả hệ vân giao thoa sẽ thay đổi một khoảng vân. Vậy muốn đo chiều dài của một vật ta dịch chuyển gương G2 từ đầu này đến đầu kia của vật và đếm số vân dịch chuyển. Nếu hệ thống vân dịch chuyển m khoảng vân thì chiều dài của vật cần đo là: l=m λ 2 (2-26) Giao thoa kế Michelson dùng để đo chiều dài với độ chính xác rất cao, tới phần trăm micrômet (10-8m). III. TÓM TẮT NỘI DUNG 1. Giao thoa ánh sáng của khe Young * Giao thoa ánh sáng là hiện tượng gặp nhau của hai hay nhiều sóng ánh sáng kết hợp. Kết quả là trong trường giao thoa sẽ xuất hiện những vân sáng và những vân tối xen kẽ nhau. * Sóng ánh sáng kết hợp là những sóng có cùng phương dao động và hiệu pha không thay đổi theo thời gian. * Điều kiện cực đại giao thoa là: L1 − L 2 = kλ, k = 0,±1,±2.... Điều kiện cực tiểu giao thoa là: λ L1 − L 2 = (2k + 1) , 2 k = 0,±1,±2.... * Vị trí các vân sáng (cực đại giao thoa): 36 Chương 2: Giao thoa ánh sáng λD , l ys = k k = 0, ± 1, ± 2.... Vị trí các vân tối (cực tiểu giao thoa): y t = (2k + 1) λD , 2l k = 0, ± 1, ± 2.... Khoảng cách giữa hai vân sáng (hoặc vân tối) kế tiếp: i= λD l 2. Giao thoa gây bởi bản mỏng * Giao thoa do phản xạ: Khi phản xạ trên môi trường chiết quang hơn môi trường ánh sáng tới, quang lộ của tia phản xạ dài thêm một đoạn λ/2. * Giao thoa của nêm không khí: Nêm không khí là một lớp không khí hình nêm giới hạn bởi hai bản thuỷ tinh phẳng G1, G2 có độ dày không đáng kể, đặt nghiêng với nhau một góc nhỏ α . Do sự giao thoa của các tia phản xạ ở mặt trên và mặt dưới của nêm, ta thu được các vân thoa ở ngay mặt trên của nêm. Cực tiểu vân giao thoa (vân tối) nằm tại vị trí ứng với bề dày của lớp không khí: dt = k λ , 2 k =0,1,2... Tập hợp các điểm có cùng bề dày d của lớp không khí là một đoạn thẳng song song với cạnh nêm. Tại cạnh nêm d = 0 ta có một vân tối. Cực đại vân giao thoa (vân sáng) nằm tại vị trí ứng với bề dày lớp không khí: d s = ( 2 k − 1) λ 4 k =1,2,3... Vân sáng cũng là những đoạn thẳng song song với cạnh nêm và nằm xen kẽ với vân tối. * Vân tròn Newton: Hệ cho vân tròn Newton gồm một thấu kính phẳng - lồi đặt tiếp xúc với một bản thủy tinh phẳng. Lớp không khí giữa thấu kính và bản thủy tinh là bản mỏng có bề dày thay đổi. Giống như nêm không khí, cực tiểu vân giao thoa (vân tối) nằm tại vị trí ứng với bề dày của lớp không khí: dt = k λ , 2 k = 0,1,2... và cực đại vân giao thoa (vân sáng) nằm tại vị trí ứng với bề dày lớp không khí d s = ( 2 k − 1) λ , 4 k = 1,2,3... Do tính chất đối xứng của bản mỏng nên các vân giao thoa là những vòng tròn đồng tâm gọi là vân tròn Newton. Bán kính của vân tối thứ k: 37 Chương 2: Giao thoa ánh sáng rk = Rλ . k Sự giao thoa cho bởi các bản mỏng có rất nhiều ứng dụng trong việc kiểm tra độ phẳng và độ cong của các thấu kính. Người ta dùng giao thoa kế Milchelson để đo độ dài của một vật, phép đo đạt độ chính xác tới 10-8m. IV. CÂU HỎI LÍ THUYẾT 1. Nêu định nghĩa hiện tượng giao thoa ánh sáng, điều kiện giao thoa ánh sáng. Thế nào là sóng ánh sáng kết hợp ? 2. Tìm điều kiện cực đại, cực tiểu giao thoa. Xác định vị trí các vân giao thoa cực đại và cực tiểu, bề rộng của các vân giao thoa. 3. Mô tả hiện tượng giao thoa khi dùng ánh sáng trắng. 4. Trình bày hiện tượng giao thoa gây bởi nêm không khí và ứng dụng. 5. Trình bày hiện tượng giao thoa cho bởi hệ vân tròn Newton và ứng dụng. 6. Mô tả và nêu ứng dụng của giao thoa kế Rayleigh. 7. Mô tả và nêu ứng dụng của giao thoa kế Milchelson. V. BÀI TẬP Thí dụ 1: Hai khe Young cách nhau một khoảng l = 1mm, được chiếu bằng ánh sáng đơn sắc có bước sóng λ = 0,6μm. Màn quan sát được đặt cách mặt phẳng chứa hai khe một đoạn D=2m. 1.Tìm khoảng vân giao thoa. 2. Xác định vị trí của ba vân sáng đầu tiên ( coi vân sáng trung tâm là vân sáng bậc không). 3. Xác định độ dịch của hệ vân giao thoa trên màn quan sát nếu trước một trong hai khe đặt một bản mỏng song song, trong suốt có bề dày e =2μm, chiết suất n = 1,5. Bài giải 1. Khoảng vân giao thoa: i = λD 0,6.10 −6.2 = = 1,2.10 − 3 m 3 − l 10 2. Vị trí của vân sáng được xác định bởi công thức: ys = kλD , k = 0, ± 1, ± 2 , ± 3... l y s1 = λD 0,6.10 −6.2 2λD = = 1,2.10 − 3 m , y s 2 = = 2,4.10 − 3 m 3 − l l 10 ys 3 = 3λD = 3,6.10 − 3 m l 38 Chương 2: Giao thoa ánh sáng 3. Độ dịch chuyển của hệ vân: Khi đặt bản mỏng trong suốt trước một trong hai khe, hiệu quang lộ giữa các tia sáng từ hai khe đến một điểm trên màn thay đổi. Muốn biết hệ vân dịch chuyển như thế nào, ta phải tính hiệu quang lộ của hai tia sáng tại một điểm trên màn. Từ hình vẽ ta có hiệu quang lộ L1 − L 2 = [(r1 − e ) + ne] − r2 = (r1 − r2 ) + (n − 1)e y′l y ′l Mà r1 − r2 = , do đó L1 − L 2 = + (n − 1)e D D Vị trí vân sáng được xác định bởi điều kiện: y′ l kλD (n − 1)eD − L1 − L 2 = s + (n − 1)e = kλ → y ′s = l l D Vị trí vân tối được xác định bởi điều kiện: y′ l λD λD (n − 1)eD → y ′t = (2k + 1) − L1 − L 2 = t + (n − 1)e = (2k + 1) l D 2l 2l Mặt khác: y s = (2k + 1)λD kλD , yt = l l Hệ vân dịch chuyển một khoảng: Δy = e(n − 1).D 2.10 −6.0,5.2 = = 2.10 − 3 m −3 l 10 Thí dụ 2: Một chùm sáng song song có bước sóng λ = 0,6μm chiếu vuông góc với mặt nêm không khí. Tìm góc nghiêng của nêm. Cho biết độ rộng của 10 khoảng vân kế tiếp ở mặt trên của nêm bằng b = 10mm. Bài giải: Hiệu quang lộ hai tia: ΔL = 2d + λ λ = (2k + 1) 2 2 Độ dày của nêm không khí tại vị trí vân tối thứ k: dk = kλ , k = 0,1, 2, 3... 2 Độ dày của nêm không khí tại vị trí vân tối thứ k+10: 39 Chương 2: Giao thoa ánh sáng d k +10 = (k + 10)λ 2 d − dk α ≈ sin α = k +10 = I1I 2 (k + 10) λ − k λ 2 b 2 = 5λ = 3.10 − 4 rad b Thí dụ 3: Một chùm sáng đơn sắc song song chiếu vuông góc với mặt phẳng của bản mỏng không khí nằm giữa bản thuỷ tinh phẳng đặt tiếp xúc với mặt cong của thấu kính phẳng lồi. Bán kính của mặt lồi thấu kính là R = 6,4m. Quan sát hệ vân tròn Newton trong chùm sáng phản xạ, người ta đo được bán kính của hai vân tối kế tiếp lần lượt là 4,0mm và 4,38mm. Xác định bước sóng của chùm sáng chiếu tới và số thứ tự của các vân nói trên. Bài giải: Bán kính của hai vân tối kế tiếp thứ k và k + 1 trong hệ vân tròn Newton được xác định bởi công thức: rk = kRλ , rk +1 = (k + 1)Rλ Bước sóng chùm ánh sáng chiếu tới: λ= 2 2 ( 4,38.10 −3 ) − (4.10 −3 ) = = 0,497.10 −6 m rk2+1 − rk2 R 6,4 Số thứ tự của vân tối thứ k: k= rk2 Rλ = (4.10 −3 )2 6,4.0,497.10 − 6 =5 Số thứ tự của vân tối kế tiếp là 6. Bài tập tự giải 1. Hai khe Young cách nhau một khoảng l = 1mm, được chiếu bằng ánh sáng đơn sắc, hệ vân giao thoa quan sát được trên màn có khoảng vân i = 1,5mm. Khoảng cách từ màn quan sát đến mặt phẳng chứa hai khe D = 3m. Tìm: 1. Bước sóng của ánh sáng chiếu tới. 2. Vị trí của vân sáng thứ ba và vân tối thứ tư. Đáp số 1. i = λD il ⇒ λ = = 0,5.10 − 6 m l D 2. y s 3 = 3λD = 4,5.10 − 3 m , l yt4 = (2k + 1)λD = 5,25.10 − 3 m 2l 2. Hai khe Young cách nhau một khoảng l = 1mm, được chiếu bằng ánh sáng đơn sắc có bước sóng chưa biết. Màn quan sát được đặt cách mặt phẳng chứa hai khe một đoạn D = 2m. Khoảng cách từ vân sáng thứ nhất đến vân sáng thứ bảy là 7,2mm. Tìm: 1. Bước sóng của ánh sáng chiếu tới. 40 Chương 2: Giao thoa ánh sáng 2. Vị trí của vân tối thứ ba và vân sáng thứ tư. 3. Độ dịch chuyển của hệ vân giao thoa trên màn quan sát, nếu đặt trước một trong hai khe một bản mỏng song song, trong suốt, chiết suất n =1,5, bề dày e = 0,02mm. Đáp số: Khoảng cách từ vân sáng thứ nhất đến vân sáng thứ bảy là 6i → i = 1,2.10 −3 m λD il ⇒ λ = = 0,6.10 − 6 m , l D (2k + 1)λD = 3mm, y s 4 = 4i = 4,8mm 2. y t 3 = 2l 1. i = 3. Δy = e(n − 1).D 0,02.10 −3.0,5.2 = = 0,02m l 10 − 3 3. Hai khe Young cách nhau một khoảng l = 2mm, được chiếu bằng ánh sáng đơn sắc có bước sóng λ = 0,6μm. Màn quan sát được đặt cách mặt phẳng chứa hai khe một đoạn D = 1m. 1. Tìm vị trí vân sáng thứ tư và vân tối thứ năm. 2. Đặt trước một trong hai khe một bản mỏng song song, trong suốt, chiết suất n = 1,5, hệ vân giao thoa trên màn quan sát dịch một khoảng 2mm. Tìm bề dày của bản mỏng. Đáp số 1. y s 4 = 4λ D (2k + 1)λD = 1,2.10 − 3 m , y t 5 = = 1,35.10 − 3 m l 2l 2. Δy = Δy.l e(n − 1).D ⇒e= = 8.10 − 6 m l (n − 1).D 4. Hai khe Young cách nhau một khoảng l = 1mm, được chiếu bằng ánh sáng đơn sắc bước sóng λ = 0,5μm. Màn quan sát được đặt cách mặt phẳng chứa hai khe một đoạn D = 2m. 1. Tìm khoảng vân giao thoa. 2. Đặt trước một trong hai khe một bản mỏng song song, trong suốt, bề dày e = 12μm, hệ vân giao thoa trên màn quan sát dịch một khoảng 6mm. Tìm chiết suất của bản mỏng. Đáp số λD 0,5.10 −6.2 1. i = = = 10 − 3 m , 3 − l 10 2. Δy = Δy.l + eD e(n − 1).D ⇒n= = 1,25 l eD 5. Hai khe Young cách nhau một khoảng l = 1mm, được chiếu bằng ánh sáng đơn sắc có bước sóng chưa biết. Khi hệ thống đặt trong không khí cho khoảng cách giữa hai vân sáng liên tiếp i = 0,6mm. Màn quan sát được đặt cách mặt phẳng chứa hai khe D = 1m. 41 Chương 2: Giao thoa ánh sáng 1. Tìm bước sóng của ánh sáng chiếu tới. 2. Nếu đổ vào khoảng giữa màn quan sát và mặt phẳng chứa hai khe một chất lỏng thì khoảng cách giữa hai vân sáng liên tiếp i/ = 0,45mm. Tìm chiết suất của chất lỏng. Đáp số 1. i = λD il ⇒ λ = = 0,6.10 − 6 m , l D 2. i ′ = i 4 i ⇒n= = i′ 3 n 6. Một chùm ánh sáng đơn sắc song song có bước sóng λ = 0,5μm chiếu vuông góc với một mặt của nêm không khí. Quan sát trong ánh sáng phản xạ, người ta đo được độ rộng của mỗi vân giao thoa bằng i = 0,5mm. 1. Xác định góc nghiêng của nêm. 2. Chiếu đồng thời vào mặt nêm không khí hai chùm tia sáng đơn sắc có bước sóng lần lượt là λ1 = 0,5μm , λ 2 = 0,6μm . Tìm vị trí tại đó các vân tối cho bởi hai chùm sáng nói trên trùng nhau. Coi cạnh của bản mỏng nêm không khí là vân tối bậc không. Đáp số 1. Độ dày của nêm không khí tại vị trí vân tối bậc k là: d k = kλ 2 d − dk λ λ Độ rộng của một vân giao thoa: i = k +1 → α = = 0,5.10 − 3 rad = 2α 2i α 2. Gọi x là khoảng cách từ cạnh nêm đến vân tối thứ k trên mặt nêm. Vì bản nêm có góc d nghiêng rất nhỏ nên: α ≈ sin α = k x Vị trí của vân tối thứ k: x = kλ = ki 2α Vị trí tại đó các vân tối của hai chùm sáng đơn sắc λ1 và λ2 trùng nhau: k 1λ1 k 2 λ 2 5 → k 2 = k1 = 6 2α 2α k1 0 6 12 18… k2 0 5 10 15… 0 3,0 6,0 9,0… x1=x2 (mm) 7. Một bản mỏng nêm thuỷ tinh có góc nghiêng α = 2′ và chiết suất n = 1,52. Chiếu một chùm sáng đơn sắc song song vuông góc với một mặt của bản. Xác định bước sóng của chùm sáng đơn sắc nếu khoảng cách giữa hai vân tối kế tiếp bằng i = 0,3mm. Đáp số: Các vân tối thoả mãn điều kiện cực tiểu giao thoa: 42 Chương 2: Giao thoa ánh sáng ΔL = 2nd − λ λ = (2k + 1) 2 2 λ . Gọi x là khoảng cách từ cạnh 2n nêm đến vị trí vân tối thứ k trên mặt nêm. Vì góc nghiêng của nêm rất nhỏ nên coi gần d đúng: α ≈ sin α = x Độ dày của bản nêm tại vị trí vân tối thứ k: d k = (k + 1) Độ rộng của mỗi vân giao thoa: − dk d λ → λ = 2nαi = 0,529μm = i = x k +1 − x k = k +1 α 2nα 8. Xét một hệ thống cho vân tròn Newton. Xác định bề dày của lớp không khí ở đó ta quan sát thấy vân sáng đầu tiên, biết rằng ánh sáng tới có bước sóng λ = 0,6μm. λ λ Đáp số: d s = (2k − 1) , k = 1, 2, 3.. → d s1 = = 0,15μm 4 4 9. Cho một chùm sáng đơn sắc song song bước sóng λ = 0,6μm, chiếu vuông góc với mặt phẳng của bản mỏng không khí nằm giữa bản thuỷ tinh phẳng đặt tiếp xúc với mặt cong của một thấu kính phẳng - lồi. Tìm bề dày của lớp không khí tại vị trí vân tối thứ tư của chùm tia phản xạ. Coi tâm của hệ vân tròn Newton là vân số 0. Đáp số: d t = 4λ kλ = 1,2μm , k = 0,1, 2, ... → d t 4 = 2 2 10. Cho một chùm sáng đơn sắc song song chiếu vuông góc với mặt phẳng của bản mỏng không khí nằm giữa bản thuỷ tinh phẳng đặt tiếp xúc với mặt cong của một thấu kính phẳng - lồi. Bán kính mặt lồi thấu kính là R = 8,6m. Quan sát hệ vân tròn Newton qua chùm sáng phản xạ và đo được bán kính vân tối thứ tư là r4 = 4,5mm. Xác định bước sóng của chùm sáng đơn sắc. Coi tâm của hệ vân tròn Newton là vân số 0. Đáp số: r2 rk = kRλ , k = 0,1, 2, 3... → r4 = 4Rλ → λ = 4 = 0,589μm 4R 11. Cho một chùm sáng đơn sắc song song chiếu vuông góc với mặt phẳng của bản mỏng không khí nằm giữa bản thuỷ tinh phẳng đặt tiếp xúc với mặt cong của một thấu kính phẳng - lồi. Bán kính mặt lồi thấu kính là R = 15m. Quan sát hệ vân tròn Newton qua chùm sáng phản xạ và đo được khoảng cách giữa vân tối thứ tư và vân tối thứ hai mươi lăm bằng 9mm. Xác định bước sóng của chùm sáng đơn sắc. Coi tâm của hệ vân tròn Newton là vân số 0. Đáp số rk = kRλ → r25 − r4 = ( 25 − 4 ) Rλ → λ = (r25 − r4 )2 R ( 25 − 4 ) 2 = 0,6.10 − 6 m 12. Người ta dùng giao thoa kế Michelson để đo độ dãn nở dài của một vật. Ánh sáng đơn sắc dùng trong thí nghiệm có bước sóng λ = 0,6.10-6m. Khi dịch chuyển gương di động từ vị 43 Chương 2: Giao thoa ánh sáng trí ban đầu (ứng với lúc vật chưa bị nung nóng) đến vị trí cuối (ứng với lúc sau khi vật đã bị nung nóng), người ta quan sát thấy có 5 vạch dịch chuyển trong kính quan sát. Hỏi sau khi dãn nở vật đã dài thêm bao nhiêu? Đáp số: Khi dịch chuyển gương một khoảng λ/2 thì hiệu quang lộ thay đổi λ và có một vân dịch chuyển. Vậy sau khi nung nóng vật dãn nở thêm ∆ l , số vân dịch chuyển là m, nên: m.λ Δl = = 1,5.10 − 5 cm 2 13.Trong thí nghiệm dùng giao thoa kế Michelson, khi dịch chuyển gương di động một khoảng 0,161mm, người ta quan sát thấy hình giao thoa dịch đi 500 vân. Tìm bước sóng của ánh sáng dùng trong thí nghiệm. Đáp số: λ = 2.Δl = 0,644μm m 44 Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng CHƯƠNG III: NHIỄU XẠ ÁNH SÁNG I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU 1. Nắm được nguyên lí Huygens – Fresnel và phương pháp đới cầu Fresnel để tính biên độ dao động sáng tổng hợp tại một điểm nào đó. 2. Vận dụng phương pháp đới cầu Fresnel để xét nhiễu xạ qua một lỗ tròn nhỏ, một đĩa tròn nhỏ và một khe hẹp. 3. Nắm được nhiễu xạ qua cách tử, nhiễu xạ trên tinh thể. II. NỘI DUNG §1. NHIỄU XẠ ÁNH SÁNG CỦA SÓNG CẦU 1. Hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng Ánh sáng từ nguồn S truyền qua một lỗ tròn nhỏ trên màn P. Sau P đặt màn quan sát E, trên màn E ta nhận được hình tròn sáng đường kính B’D’ đồng dạng với lỗ tròn BD. Theo định luật truyền thẳng của ánh sáng, nếu thu nhỏ lỗ tròn P thì hình tròn sáng trên màn E nhỏ lại. Thực nghiệm chứng tỏ rằng khi thu nhỏ lỗ tròn đến một mức nào đó thì trên màn E xuất hiện những vân tròn sáng tối xen kẽ nhau. Trong vùng Hình 3-1: Hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng tối hình học (ngoài B’D’) ta cũng nhận được vân sáng và trong vùng sáng hình học (vùng B’D’) cũng có vân tối. Tại C có thể nhận được điểm tối hay sáng phụ thuộc vào kích thước của lỗ tròn và khoảng cách từ màn E đến màn P. Như vậy ánh sáng khi đi qua lỗ tròn đã bị lệch khỏi phương truyền thẳng. Định nghĩa: Hiện tượng tia sáng bị lệch khỏi phương truyền thẳng khi đi gần các chướng ngại vật có kích thước nhỏ được gọi là hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng. Chướng ngại vật có thể là mép biên hay vật cản hoặc một lỗ tròn có kích thước cùng cỡ bước sóng của ánh sáng chiếu tới. Hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng có thể giải thích dựa vào nguyên lí Huygens-Fresnel. Nguyên lí đó được phát biểu như sau. Nguyên lí Huygens - Fresnel 45 Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng - Mỗi điểm trong không gian được sóng ánh sáng từ nguồn thực gửi đến đều trở thành nguồn sáng thứ cấp phát sóng ánh sáng về phía trước. - Biên độ và pha của nguồn thứ cấp là biên độ và pha do nguồn thực gây ra tại vị trí của nguồn thứ cấp. Theo nguyên lí Huygens–Fresnel, khi ánh sáng chiếu đến lỗ tròn, các điểm trên lỗ tròn đều trở thành nguồn thứ cấp phát sóng cầu thứ cấp. Bao hình của các mặt sóng cầu thứ cấp là mặt sóng. Ở mép của lỗ tròn mặt sóng bị uốn cong và tia sóng luôn vuông góc với mặt sóng, do đó ở mép biên các tia sóng bị đổi phương so với phương của sóng tới (hình 3-2) Hình 3-2. Giải thích định tính hiện tượng nhiễu xạ Mỗi nguồn sáng thứ cấp trên mặt lỗ tròn BD có biên độ và pha dao động đúng bằng biên độ và pha dao động do nguồn sáng S gây ra tại điểm đó. Dao động sáng tại mỗi điểm trên màn ảnh E sẽ bằng tổng các dao động sáng do những nguồn sáng thứ cấp trên lỗ tròn BD gây ra tại điểm đó. Từ biểu thức của hàm sóng, dựa vào nguyên lí Huygens-Fresnel người ta có thể tìm được biểu thức định lượng của dao động sáng tại một điểm M trên màn hình E, nhưng việc tính toán khá phức tạp vì phải tính tích phân. Fresnel đã đưa ra một phương pháp tính đơn giản gọi là phương pháp đới cầu Fresnel. 2. Phương pháp đới cầu Fresnel Hình 3-3 46 Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng Xét nguồn sáng điểm S phát ánh sáng đơn sắc và điểm được chiếu sáng M. Lấy S làm tâm dựng mặt cầu Σ bao quanh S, bán kính R < SM. Đặt MB = b. Lấy M làm tâm vẽ các λ λ mặt cầu Σ 0 , Σ1 , Σ 2 ... có bán kính lần lượt là b, b + , b + 2 ... , trong đó λ là bước sóng 2 2 do nguồn S phát ra. Các mặt cầu Σ 0 , Σ1 , Σ 2 ... chia mặt cầu Σ thành các đới gọi là đới cầu Fresnel. Với cách dựng như vậy, người ta chứng minh được rằng diện tích các đới cầu bằng nhau và bằng: ΔS = π Rb λ R+b ( 3-1) Bán kính rk của đới cầu thứ k bằng: rk = Rbλ k R+b với k = 1, 2, 3... (3-2) Theo nguyên lí Huygens, mỗi đới cầu trở thành nguồn sáng thứ cấp phát ánh sáng tới điểm M. Gọi ak là biên độ dao động sáng do đới cầu thứ k gây ra tại M. Khi k tăng, các đới cầu càng xa điểm M và góc nghiêng θ tăng (hình 3-3), do đó ak giảm: a1 > a2 > a3 ... Khi k khá lớn thì a k ≈ 0 . Vì khoảng cách từ đới cầu đến điểm M và góc nghiêng θ tăng rất chậm nên ak giảm chậm, ta có thể coi ak do đới cầu thứ k gây ra là trung bình cộng của ak-1 và ak+1: 1 a k = (a k −1 + a k +1 ) 2 (3-3) Khoảng cách của hai đới cầu kế tiếp tới điểm M khác nhau λ / 2 . Các đới cầu đều nằm trên mặt sóng Σ, nghĩa là pha dao động của tất cả các điểm trên mọi đới cầu đều như nhau. Kết quả, hiệu pha của hai dao động sáng do hai đới cầu kế tiếp gây ra tại M là: Δϕ = 2π 2π λ (L1 − L 2 ) = . = π λ 2 λ (3-4) Như vậy hai dao động sáng đó ngược pha nhau nên chúng sẽ khử lẫn nhau. Vì M ở khá xa mặt Σ, ta coi các dao động sáng do các đới cầu gây ra tại M cùng phương, do đó dao động sáng tổng hợp do các đới gây ra tại M sẽ là: a = a1 - a2 + a3 - a4+... (3-5) Sau đây chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đới cầu Fresnel để khảo sát hiện tượng nhiễu xạ của ánh sáng qua lỗ tròn, đĩa tròn và qua khe hẹp. 3. Nhiễu xạ qua lỗ tròn Xét nguồn sáng điểm S, phát ánh sáng đơn sắc qua lỗ tròn AB trên màn chắn P đến điểm M, S và M nằm trên trục của lỗ tròn. Lấy S làm tâm dựng mặt cầu Σ tựa vào lỗ tròn AB. Lấy M làm tâm vẽ các đới cầu Fresnel trên mặt Σ. Giả sử lỗ chứa n đới cầu. Biên độ dao động sáng tổng hợp tại M là: 47 Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng a = a1 − a 2 + a 3 − a 4 + ... ± a n Hình 3-4. Nhiễu xạ qua lỗ tròn Ta có thể viết: an ⎧ ⎪ a3 ⎞ ⎛ a3 a5 ⎞ a1 ⎛ a1 2 + ⎜ − a2 + − a4 + a= ⎟+⎜ ⎟ + ... + ⎨ a n −1 a 2 ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎪ − an ≈ − n 2 ⎩ 2 Vì các biểu thức trong dấu ngoặc bằng không, nên: a a a= 1 ± n 2 2 Lấy dấu + nếu đới n là lẻ và dấu - nếu đới n là chẵn. Ta xét các trường hợp sau: (3-6) * Khi không có màn chắn P hoặc kích thước lỗ tròn rất lớn: n → ∞, a n ≈ 0 nên cường độ sáng tại M: a2 I0 = a 2 = 1 4 (3-7) * Nếu lỗ chứa số lẻ đới cầu a a a= 1+ n 2 2 a ⎞ ⎛a I=⎜ 1 + n ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 2 (3-8) I > I0, điểm M sáng hơn khi không có màn P. Đặc biệt nếu lỗ chứa một đới cầu a a a = 1 + 1 = a1 2 2 và I = a12 = 4I 0 (3-9) Cường độ sáng gấp 4 lần so với khi không có lỗ tròn, như vậy điểm M rất sáng. * Nếu lỗ chứa số chẵn đới cầu a a a= 1− n 2 2 (3-10) 48 Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng a ⎞ ⎛a I=⎜ 1 − n ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 2 (3-11) I < I0, điểm M tối hơn khi không có lỗ tròn. Nếu lỗ tròn chứa hai đới cầu thì a a a = 1 − 2 ≈ 0 , do đó I = 0, điểm M tối nhất. 2 2 Tóm lại điểm M có thể sáng hơn hoặc tối hơn so với khi không có lỗ tròn tùy theo kích thước của lỗ và vị trí của màn quan sát. 4. Nhiễu xạ qua một đĩa tròn Giữa nguồn sáng S và điểm M có một đĩa tròn chắn sáng bán kính ro. Giả sử đĩa che khuất m đới cầu Fresnel đầu tiên. Biên độ dao động tại M là: a = a m +1 − a m + 2 + a m + 3 − .... a a ⎞ ⎛a a = m +1 + ⎜ m +1 − a m + 2 + m + 3 ⎟ + ... 2 ⎠ 2 ⎝ 2 Hình 3-5. Nhiễu xạ qua một đĩa tròn Vì các biểu thức ở trong ngoặc có thể coi bằng không, do đó: a a = m+1 2 (3-12) Nếu đĩa chỉ che ít đới cầu thì am+1 không khác a1 là mấy, do đó cường độ sáng tại M cũng giống như trường hợp không có chướng ngại vật giữa S và M. Trong trường hợp đĩa che nhiều đới cầu thì am+1 ≈ 0 do đó cường độ sáng tại M bằng không. §2. NHIỄU XẠ ÁNH SÁNG CỦA SÓNG PHẲNG 1. Nhiễu xạ của sóng phẳng qua một khe hẹp Để tạo ra chùm sáng song song, người ta đặt nguồn sáng S tại tiêu điểm của thấu kính hội tụ Lo. Chiếu chùm sáng đơn sắc song song bước sóng λ vào khe hẹp có bề rộng b (hình 3-6). Sau khi đi qua khe hẹp, tia sáng sẽ bị nhiễu xạ theo nhiều phương. Tách các tia nhiễu xạ theo một phương ϕ nào đó chúng sẽ gặp nhau ở vô cùng. Muốn quan sát ảnh nhiễu xạ chúng ta sử dụng thấu kính hội tụ L, chùm tia nhiễu xạ sẽ hội tụ tại điểm M trên mặt phẳng tiêu của thấu kính hội tụ L. Với các giá trị ϕ khác nhau chùm nhiễu xạ sẽ hội tụ tại các điểm khác nhau. Tùy theo giá trị của ϕ điểm M có thể sáng hoặc tối. Những điểm sáng tối này nằm dọc trên đường thẳng vuông góc với chiều dài khe hẹp và được gọi là các cực đại và cực tiểu nhiễu xạ. 49 Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng Hình 3-6. Nhiễu xạ qua một khe hẹp Vì ánh sáng gửi đến khe là sóng phẳng nên mặt phẳng khe là mặt sóng, các sóng thứ cấp trên mặt phẳng khe dao động cùng pha. Xét các tia nhiễu xạ theo phương ϕ =0, chúng hội tụ tại điểm F. Mặt phẳng khe và mặt quan sát là hai mặt trực giao do đó theo định lí Malus, các tia sáng gửi từ mặt phẳng khe tới điểm F có quang lộ bằng nhau và dao động cùng pha nên chúng tăng cường nhau. Điểm F rất sáng và được gọi là cực đại giữa. Xét trường hợp ϕ ≠ 0 . Áp dụng ý tưởng của phương pháp đới cầu Fresnel ta vẽ các mặt phẳng Σ 0 , Σ1 , Σ 2 ,... vuông góc với chùm tia nhiễu xạ và cách đều nhau một khoảng λ /2, chúng sẽ chia mặt khe thành các dải sáng nằm song song với bề rộng của khe hẹp. Bề λ rộng của mỗi dải là l = và số dải trên khe sẽ là: 2 sin ϕ N= b 2b sin ϕ = l λ (3-13) Theo nguyên lí Huygens, những dải này là nguồn sáng thứ cấp dao động cùng pha (vì nằm trên cùng một mặt sóng) và phát ánh sáng đến điểm M. Vì quang lộ của hai tia sáng từ hai dải kế tiếp đến điểm M khác nhau λ /2 nên dao động sáng do hai dải kế tiếp gửi tới M ngược pha nhau và chúng sẽ khử nhau. Kết quả là nếu khe chứa số chẵn dải (N = 2k) thì dao động sáng do từng cặp dải kế tiếp gây ra tại M sẽ khử lẫn nhau và điểm M sẽ tối và là cực tiểu nhiễu xạ. Điều kiện điểm M tối là: N= 2b sin ϕ = 2k λ hay sin ϕ = k λ b với k = ±1, ± 2, ± 3... (3-14) Nếu khe chứa một số lẻ dải (N = 2k+1) thì dao động sáng do từng cặp dải kế tiếp gửi tới điểm M sẽ khử lẫn nhau, còn dao động sáng do dải cuối cùng gửi tới thì không bị khử. Kết quả điểm M sẽ sáng và được gọi là cực đại nhiễu xạ bậc k. Cường độ sáng của các cực đại này nhỏ hơn rất nhiều so với cực đại giữa. Điều kiện điểm M sáng là: 50 Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng N= 2b sin ϕ = 2k + 1 λ hay sin ϕ = (2k + 1) λ 2b với k = 1, ± 2, ± 3... (3-15) Tóm lại ta có các điều kiện cực đại, cực tiểu nhiễu xạ qua một khe hẹp như sau: - Cực đại giữa (k=0) : sin ϕ = 0 - Cực tiểu nhiễu xạ : λ λ λ sin ϕ = ± , ± 2 , ± 3 ,... b b b - Cực đại nhiễu xạ : sin ϕ = ± 3 λ λ , ± 5 , ... 2b 2b Đồ thị phân bố cường độ sáng trên màn quan sát cho bởi hình 3-7. Hình 3-7. Hình nhiễu xạ của sóng phẳng qua một khe hẹp Nhận xét thấy các cực đại nhiễu xạ bậc k = 1,2,3...nằm xen giữa các cực tiểu nhiễu xạ và phân bố đối xứng ở hai bên cực đại giữa. Cực đại giữa có bề rộng gấp đôi các cực đại khác. Theo tính toán lí thuyết, cường độ sáng của các cực đại nhiễu xạ tuân theo hệ thức sau I0 : I1 : I2 : I3 : ....= 1 : 0,045 : 0,016 : 0,008 : ... 2. Nhiễu xạ của sóng phẳng truyền qua cách tử phẳng Cách tử phẳng là một hệ nhiều khe hẹp giống nhau có độ rộng b, nằm song song cách đều trên cùng một mặt phẳng. Khoảng cách d giữa hai khe kế tiếp được gọi là chu kì của cách tử. Số khe hẹp trên một đơn vị chiều dài: n = 1 d 51 Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng Xét một cách tử phẳng có N khe hẹp. Bề rộng của một khe là b, chu kì của cách tử là d. Chiếu chùm sáng đơn sắc song song bước sóng λ vuông góc với mặt cách tử. Vì các khe có thể coi là nguồn kết hợp, do đó ngoài hiện tượng nhiễu xạ gây bởi một khe còn có hiện tượng giao thoa gây bởi các khe. Do đó ảnh nhiễu xạ qua cách tử sẽ phức tạp hơn nhiều so với ảnh nhiễu xạ qua một khe hẹp. Ta sẽ khảo sát ảnh nhiễu xạ qua cách tử: Hình 3-8. Nhiễu xạ qua cách tử - Tất cả N khe hẹp đều cho cực tiểu nhiễu xạ tại những điểm trên màn ảnh thỏa mãn điều kiện: sin ϕ = k λ b với k = ±1,±2,±3... (3-16) Những cực tiểu này được gọi là cực tiểu chính. - Xét phân bố cường độ sáng giữa hai cực tiểu chính: Hiệu quang lộ của hai tia sáng xuất phát từ hai khe kế tiếp đến điểm M là L1 − L 2 = d sin ϕ . Nếu hiệu quang lộ đó bằng số nguyên lần bước sóng L1 − L 2 = d sin ϕ = mλ thì dao động sáng do hai tia đó gây ra tại M cùng pha và tăng cường lẫn nhau. Kết quả điểm M sáng. Các điểm đó được gọi là cực đại chính. Vị trí các cực đại chính là: sin ϕ = m λ d với m = 0, ±1, ±2, ±3.... (3-17) Số nguyên m là bậc của cực đại chính. Cực đại chính giữa (m = 0) nằm tại tiêu điểm F của thấu kính. Vì d > b nên giữa hai cực tiểu chính có thể có nhiều cực đại chính. Ví dụ: k = 1 λ λ d nên m < k = 3 , nghĩa là m = 0, ±1, ±2. Như vậy giữa hai và d/b = 3 . Do m < k b b d cực tiểu chính có 5 cực đại chính. Hình 3-9 Ảnh nhiễu xạ qua ba khe hẹp 52 Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng - Xét phân bố cường độ sáng giữa hai cực đại chính: Tại điểm chính giữa hai cực đại chính kế tiếp, góc nhiễu xạ thỏa mãn điều kiện: sin ϕ = (2m + 1) λ 2d với m = 0,±1,±2... Tại các điểm này, hiệu quang lộ của hai tia gửi từ hai khe kế tiếp có giá trị là: λ . Đây là điều kiện cực tiểu giao thoa, hai tia đó sẽ khử lẫn nhau. Tuy 2 nhiên điểm chính giữa đó chưa chắc đã tối. Để minh họa cụ thể ta xét hai trường hợp đơn giản sau: d sin ϕ = (2m + 1) + Nếu số khe hẹp N = 2 (số chẵn) thì các dao động sáng do hai khe hẹp gửi tới sẽ khử nhau hoàn toàn và điểm chính giữa đó sẽ tối. Điểm tối đó được gọi là cực tiểu phụ. + Nếu số khe hẹp N = 3 (số lẻ) thì các dao động sáng do hai khe hẹp gửi tới sẽ khử nhau, còn dao động sáng do khe thứ ba gây ra không bị khử. Kết quả là giữa hai cực đại chính là một cực đại. Cực đại này có cường độ khá nhỏ, nên được gọi là cực đại phụ. Rõ ràng giữa cực đại phụ này và hai cực đại chính hai bên phải có hai cực tiểu phụ. Người ta chứng minh được rằng, nếu cách tử có N khe hẹp thì giữa hai cực đại chính sẽ có N-1 cực tiểu phụ và N-2 cực đại phụ. Hình 3-9 biểu diễn ảnh nhiễu xạ qua ba khe hẹp. Cách tử phẳng có thể dùng để đo bước sóng ánh sáng, ứng dụng trong máy đơn sắc... Từ công thức (3-17) nếu ta biết được chu kì của cách tử, bằng cách đo góc ϕ ứng với cực đại chính bậc m ta có thể xác định được bước sóng ánh sáng. 3. Nhiễu xạ trên tinh thể Các nguyên tử (phân tử hay ion) cấu tạo nên vật rắn tinh thể được sắp xếp theo một cấu trúc tuần hoàn gọi là mạng tinh thể, trong đó vị trí của các nguyên tử (phân tử hay ion) gọi là nút mạng. Khoảng cách giữa các nút mạng, đặc trưng cho tính tuần hoàn, được gọi là chu kì của mạng tinh thể. Chiếu lên tinh thể một chùm tia Rơnghen, mỗi nút mạng trở thành tâm nhiễu xạ và mạng tinh thể đóng vai trò như một cách tử với chu kì là chu kì của mạng tinh thể. Chùm tia Hình 3-10. Nhiễu xạ trên tinh thể Rơnghen sẽ nhiễu xạ theo nhiều phương, tuy nhiên chỉ theo phương phản xạ gương (phương mà góc phản xạ bằng góc tới), cường độ của tia nhiễu xạ đủ lớn để ta có thể quan sát được ảnh nhiễu xạ. Những tia nhiễu xạ này sẽ giao thoa với nhau và cho cực đại nhiễu xạ nếu hai tia nhiễu xạ kế tiếp có hiệu quang lộ bằng số nguyên lần bước sóng Δ L = 2d sin ϕ = kλ hay 53 Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng sin ϕ = k λ 2d (3-18) d là khoảng cách giữa hai mặt phẳng nguyên tử của vật rắn tinh thể (chu kì mạng tinh thể). Công thức (3-18) gọi là công thức Vulf-Bragg. Đây là công thức cơ bản để phân tích cấu trúc của vật rắn tinh thể bằng tia Rơnghen. Nếu biết bước sóng của tia Rơnghen và đo góc ϕ ta có thể xác định được chu kì d của mạng tinh thể. III. TÓM TẮT NỘI DUNG 1. Hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng * Định nghĩa: Hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng là hiện tượng tia sáng bị lệch khỏi phương truyền thẳng khi đi qua các chướng ngại vật có kích thước nhỏ như lỗ tròn, khe hẹp, đĩa tròn... * Nguyên lí Huygens - Fresnel: - Mỗi điểm trong không gian được sóng ánh sáng từ nguồn thực gửi đến đều trở thành nguồn sáng thứ cấp phát sóng ánh sáng về phía trước. - Biên độ và pha của nguồn thứ cấp là biên độ và pha do nguồn thực gây ra tại vị trí của nguồn thứ cấp. 2. Phương pháp đới cầu Fresnel Diện tích các đới cầu bằng nhau và bằng: ΔS = π Rb λ R+b Bán kính rk của đới cầu thứ k bằng: rk = Rbλ k R+b k=1,2,3... trong đó R là bán kính của mặt sóng bao quanh nguồn sáng điểm S b là khoảng cách từ điểm được chiếu sáng M tới đới cầu thứ nhất. λ là bước sóng do nguồn S phát ra. 3. Nhiễu xạ sóng cầu qua lỗ tròn Áp dụng phương pháp đới cầu Fresnel, ta tính được biên độ của ánh sáng tổng hợp tại M, cách nguồn S một khoảng R+b: a a a= 1± n 2 2 Lấy dấu + nếu n là lẻ và dấu - nếu n là chẵn. Ta xét các trường hợp sau: * Khi không có màn chắn P hoặc lỗ tròn rất lớn: n → ∞, a n ≈ 0 sáng tại M: 54 nên cường độ Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng a2 I0 = a 2 = 1 4 * Nếu lỗ chứa số lẻ đới cầu: a a a= 1+ n 2 2 a ⎞ ⎛a I=⎜ 1 + n ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 2 I > I0, điểm M sáng hơn khi không có màn P. Đặc biệt nếu lỗ chứa một đới cầu a a a = 1 + 1 = a1 2 2 I = a12 = 4I 0 và Cường độ sáng gấp 4 lần so với khi không có lỗ tròn, như vậy điểm M rất sáng. * Nếu lỗ chứa số chẵn đới cầu a a a= 1− n 2 2 a ⎞ ⎛a I=⎜ 1 − n ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 2 I < I0, điểm M tối hơn khi không có lỗ tròn. Nếu lỗ tròn chứa hai đới cầu thì a a a = 1 − 2 ≈ 0 , do đó I = 0, điểm M tối nhất. 2 2 Tóm lại điểm M có thể sáng hơn hoặc tối hơn so với khi không có lỗ tròn tuỳ theo kích thước của lỗ và vị trí của màn quan sát. 4. Nhiễu xạ của sóng phẳng qua một khe hẹp Áp dụng phương pháp đới cầu Fresnel ta tính toán được biên độ dao động sáng tổng hợp tại một điểm M trên màn quan sát. Kết quả ta có các điều kiện cực đại, cực tiểu nhiễu xạ qua một khe hẹp như sau: - Cực đại giữa (k=0) : sin ϕ = 0 - Cực tiểu nhiễu xạ : λ λ λ sin ϕ = ± , ± 2 , ± 3 ,... b b b - Cực đại nhiễu xạ : sin ϕ = ± 3 λ λ , ± 5 , ... 2b 2b Trên đồ thị phân bố cường độ sáng ta thấy cực đại giữa rất sáng, các cực đại nhiễu xạ bậc k=1,2,3...nằm xen giữa các cực tiểu nhiễu xạ và phân bố đối xứng ở hai bên cực đại giữa. Cực đại giữa có bề rộng gấp đôi các cực đại khác. Theo tính toán lí thuyết, cường độ sáng của các cực đại nhiễu xạ tuân theo hệ thức sau: I0 : I1 : I2 : I3 : ....= 1 : 0,045 : 0,016 : 0,008 : ... 5. Nhiễu xạ qua nhiều khe – Cách tử 55 Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng Cách tử phẳng là một hệ nhiều khe hẹp giống nhau có độ rộng b, nằm song song cách đều trên cùng một mặt phẳng. Khoảng cách d giữa hai khe kế tiếp được gọi là chu kì của cách tử. Người ta có thể chế tạo được các cách tử dài 10cm, trên mỗi mm có từ 500 – 1200 vạch. Các cách tử này có thể sử dụng để xác định bước sóng ánh sáng đơn sắc, xác định thành phần cấu tạo của các chất và dùng trong máy quang phổ... Đối với vật rắn tinh thể, mạng tinh thể đóng vai trò một cách tử không gian ba chiều. Sự nhiễu xạ của các tia X trên các nút mạng cho ta kết quả: 2d sin ϕ = kλ d là khoảng cách giữa hai nút mạng, gọi là hằng số mạng. Đây là công thức Vulf-Bragg, được dùng để xác định cấu trúc của vật rắn tinh thể. IV. CÂU HỎI LÍ THUYẾT 1. Nêu định nghĩa hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng. Dùng nguyên lí Huygens giải thích định tính hiện tượng nhiễu xạ. 2. Phát biểu nguyên lí Huygens-Fresnel. 3. Trình bày phương pháp đới cầu Fresnel. 4. Giải thích hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng qua lỗ tròn nhỏ. Xét các trường hợp lỗ tròn chứa một số lẻ đới cầu, một số chẵn đới cầu, đặc biệt chứa một đới cầu và hai đới cầu. 5. Mô tả hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng qua một khe hẹp. Tìm điều kiện cực đại, cực tiểu nhiễu xạ. Vẽ ảnh nhiễu xạ của sóng phẳng qua một khe hẹp. 6. Định nghĩa cách tử phẳng và nêu ứng dụng của cách tử. 7. Trình bày nhiễu xạ của tia X trên tinh thể. Công thức Vulf- Bragg. Nêu ứng dụng của hiện tượng nhiễu xạ tia X. V. BÀI TẬP Thí dụ 1: Một nguồn sáng điểm chiếu ánh sáng đơn sắc bước sóng λ = 0,5μm vào một lỗ tròn có bán kính r = 0,5mm. Khoảng cách từ nguồn sáng đến lỗ tròn R = 1m.Tìm khoảng cách từ lỗ tròn đến màn quan sát để tâm nhiễu xạ là tối nhất. Đáp số: Để tâm của hình nhiễu xạ là tối nhất thì lỗ tròn chỉ chứa 2 đới cầu Fresnel, bán kính của lỗ tròn bằng bán kính của đới cầu thứ 2 Rr22 2Rbλ 0,25.10−6 1 r2 = =r⇒b= = = m 2 − 6 − 6 R+b 3 2Rλ − r2 2.0,5.10 − 0,25.10 Thí dụ 2: Một chùm tia sáng đơn sắc có bước sóng λ = 0,5μm được chiếu vuông góc với một khe hẹp chữ nhật có bề rộng b = 0,1mm, ngay sau khe hẹp đặt một thấu kính hội tụ. Tìm bề rộng của vân cực đại giữa trên màn quan sát đặt tại mặt phẳng tiêu của thấu kính và cách thấu kính D = 1m. 56 Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng Bài giải: Bề rộng của vân cực đại giữa là khoảng cách giữa hai cực tiểu nhiễu xạ đầu tiên ở hai bên cực đại giữa. Độ lớn của góc nhiễu xạ φ ứng với các cực tiểu nhiễu xạ đó λ là: sin ϕ = . b Từ hình vẽ ta thấy l = 2Dtgϕ ≈ 2D sin ϕ →l= 2Dλ 2.1.0,5.10 − 6 = = 1cm b 0,1.10 − 3 Thí dụ 3: Cho một chùm tia sáng đơn sắc song song có bước sóng λ = 0,5μm, chiếu vông góc với mặt của một cách tử phẳng truyền qua. Ở sát phía sau của cách tử người ta đặt một thấu kính hội tụ có tiêu cự f = 50cm. Khi đó trên màn quan sát đặt tại mặt phẳng tiêu của thấu kính, hai vạch quang phổ bậc nhất cách nhau một khoảng a = 10,1cm. Xác định: 1. Chu kỳ cách tử và số khe trên 1cm chiều dài của cách tử. 2. Số vạch cực đại chính trong quang phổ nhiễu xạ. Bài giải 1.Vị trí các cực đại chính trong quang phổ nhiễu xạ xác định bởi công thức: sin ϕ = mλ , m = 0, ± 1, ± 2, ± 3... d Do vậy vị trí hai vạch cực đại chính của quang phổ bậc nhất ứng với góc lệch φ1 λ bằng: sin ϕ1 = , vì φ1 rất nhỏ nên d tgϕ1 ≈ sin ϕ1 . Từ hình vẽ, ta có tgϕ1 = M1F L = OF 2f So sánh tgϕ 1 với sin ϕ 1 ta có chu kỳ cách tử: d= 2fλ 2.50.10 −2.0,5.10 −6 = = 4,95μm L 10,1.10 − 2 Số khe trên 1cm chiều dài của cách tử: n = 2. Từ công thức: sin ϕ = 1 = 2020 khe / cm d mλ d 4,95.10 −6 , mà sin ϕ 〈 1 → m 〈 = = 9,9 λ 0,5.10− 6 d 57 Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng Vì m nguyên nên có thể lấy các giá trị: 0, 1,2 ,3 ,4, 5, 6, 7, 8, 9. Do đó các vạch cực đại chính tối đa trong quang phổ nhiễu xạ của cách tử bằng: Nmax = 2.9 + 1 = 19 vạch. Bài tập tự giải 1. Chiếu ánh sáng đơn sắc bước sóng λ = 0,5μm vào một lỗ tròn bán kính chưa biết. Nguồn sáng điểm đặt cách lỗ tròn 2m, sau lỗ tròn 2m đặt màn quan sát. Hỏi bán kính của lỗ tròn bằng bao nhiêu để tâm của hình nhiễu xạ là tối nhất. Đáp số: Để tâm của hình nhiễu xạ là tối nhất thì lỗ tròn chỉ chứa 2 đới cầu Fresnel: r= kRbλ = R+b 2.2.2.0,5.10 −6 = 10 −3 m 4 2. Một màn ảnh được đặt cách nguồn sáng điểm đơn sắc bước sóng λ = 0,5μm một khoảng 2m. Chính giữa màn ảnh và nguồn sáng đặt một lỗ tròn đường kính 0,2cm. Tìm số đới cầu Fresnel mà lỗ tròn chứa được. Đáp số: Bán kính của lỗ tròn bằng bán kính của đới cầu thứ k r= r 2 ( R + b) kRbλ =4 ⇒k= Rbλ R+b 3. Một nguồn sáng điểm chiếu ánh sáng đơn sắc bước sóng λ = 0,5μm vào một lỗ tròn có bán kính r = 1mm. Khoảng cách từ nguồn sáng đến lỗ tròn R= 1m. Tìm khoảng cách từ lỗ tròn đến màn quan sát để lỗ tròn chứa ba đới Fresnel. Đáp số: Để lỗ tròn chỉ chứa ba đới cầu Fresnel có nghĩa là bán kính của lỗ tròn bằng bán Rr32 10 −6 3Rbλ kính của đới cầu thứ ba: r3 = ⇒b= = = 2m R+b 3Rλ − r32 3.0,5.10 − 6 − 10 − 6 4. Đặt một màn quan sát cách một nguồn sáng điểm phát ra ánh sáng đơn sắc bước sóng λ = 0,6μm một khoảng x. Chính giữa khoảng x đặt một đĩa tròn nhỏ chắn sáng đường kính 1mm. Hỏi x bằng bao nhiêu để điểm M0 trên màn quan sát có độ sáng gần giống như chưa đặt đĩa tròn, biết điểm M0 và nguồn sáng đều nằm trên trục của đĩa tròn. Đáp số: Muốn cường độ sáng tại M0 gần giống như khi chưa có đĩa tròn thì đĩa tròn chỉ chắn một đới cầu Fresnel: 4.(0,5.10−3 ) 2 2r 2 Rbλ = 1,67m ; R = b ⇒R = ; x = 2R = r1 = λ R+b 0,6.10−6 5. Một chùm tia sáng đơn sắc song song bước sóng λ = 0,589μm chiếu thẳng góc với một khe hẹp có bề rộng b = 2μm. Hỏi những cực tiểu nhiễu xạ được quan sát dưới những góc nhiễu xạ bằng bao nhiêu? (so với phương ban đầu) Đáp số: Áp dụng công thức: 58 Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng sin ϕ = kλ , sin ϕ 〈 1 → ϕ1 = 17 08′, ϕ 2 = 36 0 5′, ϕ 3 = 62 0 b 6. Chiếu một chùm tia sáng đơn sắc song song vuông góc với một khe hẹp. Bước sóng ánh 1 bề rộng của khe hẹp. Hỏi cực tiểu nhiễu xạ thứ ba được quan sát dưới góc sáng bằng 6 lệch bằng bao nhiêu? Đáp số: φ = 300 7. Một chùm tia sáng được rọi vuông góc với một cách tử. Biết rằng góc nhiễu xạ đối với vạch quang phổ λ1 = 0,65μm trong quang phổ bậc hai bằng φ1 = 450. Xác định góc nhiễu xạ ứng với vạch quang phổ λ2 = 0,5μm trong quang phổ bậc ba. Đáp số: 3λ 2 sin ϕ1 → ϕ 2 = 54 0 40′ 2λ 1 8. Cho một chùm tia sáng đơn sắc song song có bước sóng λ = 0,7μm chiếu vuông góc với mặt của một cách tử truyền qua. Trên mặt phẳng tiêu của thấu kính hội tụ đặt ở sát phía sau sin ϕ1 = m1nλ1 = 2nλ1 , sin ϕ 2 = m 2 nλ 2 = 3nλ 2 → sin ϕ 2 = cách tử, người ta quan sát thấy vạch quang phổ bậc ba lệch ϕ = 48 0 36′ . Xác định: 1. Chu kỳ cách tử và số khe trên 1cm chiều dài của cách tử. 2. Số cực đại chính nằm trong khoảng giữa hai cực tiểu chính bậc nhất trong ảnh nhiễu xạ. Cho biết mỗi khe của cách tử có độ rộng b = 0,7μm, sin 48 0 36′ = 0,75 Đáp số: 1.Góc nhiễu xạ ứng với các cực đại chính được xác định bởi công thức: sin ϕ = mλ mλ →d= = 2,8.10 − 4 cm sin ϕ d Số khe trên 1cm chiều dài của cách tử: n = 1 ≈ 3571 khe / cm d 2. Góc nhiễu xạ ứng với cực tiểu chính trong ảnh nhiễu xạ được xác định bởi công thức: kλ , số cực đại chính nằm giữa hai cực tiểu chính bậc nhất phải thoả mãn điều kiện: sin ϕ = b mλ kλ kd 〈 →m 〈 = 4 . Vậy giữa hai cực tiểu chính bậc nhất có 7 cực đại chính. d b b 9. Cho một cách tử phẳng có chu kỳ cách tử d = 2μm. Sau cách tử đặt một thấu kính hội tụ, trên màn quan sát đặt tại mặt phẳng tiêu của thấu kính người ta quan sát thấy khoảng cách giữa hai quang phổ bậc nhất ứng với bước sóng λ1 = 0,4044μm và λ2 = 0,4047μm bằng 0,1mm. Xác định tiêu cự của thấu kính. Đáp số: 59 Chương 3: Nhiễu xạ ánh sáng Góc nhiễu xạ ứng với cực đại: sin ϕ = mλ d Vị trí cực đại ứng với góc nhiễu xạ: y = MF = f .tgϕ y 2 − y1 , y 2 − y1 = 0,1mm, tgϕ 2 − tgϕ1 λ λ sin ϕ 2 = 2 , sin ϕ1 = 1 d d →f = → f = 0,65m 10. Một chùm ánh sáng trắng song song chiếu vuông góc vào mặt một cách tử phẳng. Cho biết trên mỗi milimet chiều dài của cách tử có n = 50 khe. Phía sau cách tử đặt một thấu kính hội tụ. Xác định hiệu số các góc nhiễu xạ ứng với vạch đỏ có bước sóng λ1 = 0,76μm nằm ở cuối quang phổ bậc nhất và vạch tím có bước sóng λ2 = 0,4μm nằm ở đầu quang phổ bậc hai. Đáp số: d = 1 = 0,02mm n Góc nhiễu xạ ở cuối quang phổ bậc nhất ứng với ánh sáng đỏ: λ 0,76.10 −6 sin ϕ1 = 1 = = 0,038 → ϕ1 = 2 011′ − 3 d 0,02.10 Góc nhiễu xạ ở đầu quang phổ bậc hai ứng với ánh sáng tím: sin ϕ 2 = 2λ 2 2.0,4.10 −6 = = 0,04 → ϕ 2 = 2 018′ −3 d 0,02.10 Hiệu số của các góc nhiễu xạ: Δϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 7 ′ 11. Cho một chùm tia sáng đơn sắc song song chiếu vuông góc vào mặt của một cách tử phẳng có chu kỳ d = 2μm. Xác định bậc lớn nhất của các vạch cực đại trong quang phổ nhiễu xạ cho bởi cách tử đối với ánh sáng đỏ có bước sóng λ1 = 0,7μm và đối với ánh sáng tím có bước sóng λ2 = 0,42μm. Đáp số: sin ϕ = m λ d. sin ϕ d , mà sin ϕ 〈 1 , nên m 〈 →m= λ d λ Đối với ánh sáng đỏ: m1 〈 Đối với ánh sáng tím: m 2 〈 d = 2,86 → m1(max ) = 2 λ1 d = 4,76 → m 2(max ) = 4 λ2 60 Chương 4: Phân cực ánh sáng CHƯƠNG IV: PHÂN CỰC ÁNH SÁNG Trong hai chương trước chúng ta đã nghiên cứu hiện tượng giao thoa và hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng chỉ dựa vào bản chất sóng của ánh sáng mà không cần phân biệt sóng ánh sáng là sóng ngang hay sóng dọc. Trong chương này chúng ta sẽ chứng minh ánh sáng là sóng ngang qua hiện tượng phân cực ánh sáng. Ta đã biết sóng điện từ là sóng ngang, là sóng có các vectơ cường độ điện trường và vectơ cường độ từ trường dao động vuông góc với phương truyền sóng. Chỉ có sóng ngang mới có thể thể hiện tính phân cực cho nên nghiên cứu sự phân cực của ánh sáng chúng ta một lần nữa khẳng định bản chất sóng điện từ của ánh sáng. I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU 1. Nắm được sự phân cực ánh sáng thể hiện ánh sáng là sóng ngang. Phân biệt ánh sáng tự nhiên và ánh sáng phân cực (một phần, toàn phần). Thiết lập định luật Malus. 2. Nắm được sự phân cực ánh sáng do phản xạ, khúc xạ, phân cực do lưỡng chiết tự nhiên. 3. Nắm được ứng dụng của hiện tượng quay mặt phẳng phân cực để xác định nồng độ của các chất hoạt quang trong phân cực kế (đường kế). II. NỘI DUNG §1. ÁNH SÁNG PHÂN CỰC 1. Ánh sáng tự nhiên và ánh sáng phân cực Δ1 (a) (b) E E E1 Tia sáng Tia sáng Hình 4-1. Ánh sáng tự nhiên (a) và ánh sáng phân cực thẳng (b) 61 Chương 4: Phân cực ánh sáng Ánh sáng do một nguồn sáng phát ra là tập hợp của vô số các đoàn sóng nối tiếp nhau. Trong mỗi đoàn sóng, vectơ cường độ điện trường E luôn dao động theo một phương xác định vuông góc với tia sáng. Nhưng do tính hỗn loạn của chuyển động bên trong mỗi nguyên tử nên vectơ E trong các đoàn sóng do một nguyên tử phát ra có thể dao động theo các phương khác nhau vuông góc với tia sáng. Mặt khác nguồn sáng bao gồm nhiều nguyên tử, do đó phương dao động của vectơ E trong các đoàn sóng do các nguyên tử phát ra cũng thay đổi hỗn loạn và phân bố đều xung quanh tia sáng. Ánh sáng có vectơ cường độ điện trường dao động đều đặn theo mọi phương vuông góc tia sáng được gọi là ánh sáng tự nhiên. Hình 4-1a biểu diễn ánh sáng tự nhiên, trong mặt phẳng vuông góc với tia sáng các vectơ E có trị số bằng nhau và phân bố đều đặn xung quanh tia sáng. Ánh sáng tự nhiên khi đi qua môi trường bất đẳng hướng về mặt quang học (ví dụ bản tinh thể Tuamalin), trong những điều kiện nhất định nào đó do tác dụng của môi trường nên vectơ E chỉ dao động theo một phương xác định. Ánh sáng có vectơ E chỉ dao động theo một phương xác định được gọi là ánh sáng phân cực thẳng hay ánh sáng phân cực toàn phần. Hình 4-1b biểu diễn ánh sáng phân cực toàn phần E1 . Hiện tượng ánh sáng tự nhiên biến thành ánh sáng phân cực gọi là hiện tượng phân cực ánh sáng. Mặt phẳng chứa tia sáng và phương dao động của E được gọi là mặt phẳng dao động, còn mặt phẳng chứa tia sáng và vuông góc với mặt phẳng dao động gọi là mặt phẳng phân cực. Với định nghĩa ánh sáng phân cực toàn phần thì mỗi đoàn sóng do nguyên tử phát ra là một ánh sáng phân cực toàn phần. Như vậy ánh sáng tự nhiên do các nguyên tử của một nguồn sáng phát ra là tập hợp của vô số ánh sáng phân cực toàn phần, dao động đều đặn theo tất cả mọi phương vuông góc với tia sáng. Trong một số trường hợp do tác dụng của môi trường lên ánh sáng truyền qua nó, vectơ cường độ điện trường vẫn dao động theo tất cả các phương vuông góc với tia sáng nhưng có phương dao động yếu, có phương dao động mạnh. Ánh sáng này được gọi là ánh sáng phân cực một phần. 2. Định luật Malus về phân cực ánh sáng Thực nghiệm chứng tỏ rằng, bản tinh thể Tuamalin (hợp chất silicôbôrat aluminium) với chiều dày 1mm có thể biến ánh sáng tự nhiên thành ánh sáng phân cực thẳng. Nguyên nhân của hiện tượng này là do tính hấp thụ ánh sáng không đều theo các phương khác nhau trong tinh thể (gọi là tính hấp thụ dị hướng). Trong bản Tuamalin có một phương đặc biệt gọi là quang trục của tinh thể (kí hiệu là Δ) . Theo phương quang trục, ánh sáng không bị hấp thụ và truyền tự do qua bản tinh thể, còn theo phương vuông góc với quang trục, ánh sáng bị hấp thụ hoàn toàn. Khi ta chiếu một chùm tia sáng tự nhiên vuông góc với mặt ABCD của bản tinh thể tuamalin có quang trục song song cạnh AB, vì ánh sáng là sóng ngang nên tia sáng sau bản tuamalin có vectơ sáng E song song với quang trục của bản (hình 4-1b). Dưới đây ta sẽ xét kĩ hơn về sự truyền ánh sáng qua bản tuamalin. 62 Chương 4: Phân cực ánh sáng Xét ánh sáng tự nhiên truyền tới bản tuamalin T1, bất kì vectơ sáng E nào của ánh sáng tự nhiên cũng đều có thể phân tích thành hai thành phần: E1x vuông góc với quang trục Δ1 và E1y song song với quang trục Δ1 . Khi đó E 2 = E12x + E12y (4-1) Do ánh sáng tự nhiên có E phân bố đều đặn xung quanh tia sáng nên ta có thể lấy trung bình: E12x = E12y = 1 2 E 2 (4-2) Do tính hấp thụ dị hướng của bản tinh thể tuamalin, thành phần E1x vuông góc với quang trục bị hấp thụ hoàn toàn, còn thành phần E1y song song với quang trục được truyền hoàn toàn qua bản tuamalin T1, ánh sáng tự nhiên đã biến thành ánh sáng phân cực toàn phần có vectơ sáng E1 = E1y song song với quang trục Δ1 (hình 4-2) và cường độ sáng I1 sau bản T1 bằng: I1 = E12 = E12y = 1 2 1 E = I0 2 2 (4-3) trong đó I 0 = E 2 là cường độ của ánh sáng tự nhiên truyền tới bản T1. Lấy một bản tuamalin T2 có quang trục Δ 2 đặt sau T1. Gọi α là góc giữa quang trục Δ1 và Δ 2 . Vectơ sáng E1 sau bản tuamalin T1 sẽ được phân tích thành hai thành phần: , E 2 = E1 cos α song song với quang trục Δ 2 và , ,, E 2 = E1 sin α vuông góc với Δ 2 . Thành phần E 2 sẽ truyền ,, qua bản T2, còn thành phần E 2 sẽ bị hấp thụ hoàn toàn. Như vậy sau bản T2 ta cũng nhận được ánh sáng phân cực toàn , phần có vectơ sáng E 2 = E 2 và cường độ sáng I2 bằng I 2 = E 22 = E12 cos 2 α = I1 cos 2 α (4-4) I1 là cường độ sáng sau bản tuamalin T1. Như vậy nếu giữ cố định bản T1 và quay bản T2 xung quanh tia sáng thì I2 sẽ thay đổi. Khi hai quang trục song song với nhau, α = 0 thì I2 sẽ Hình 4-2 đạt giá trị cực đại và bằng I1. Còn lúc hai quang trục vuông góc với nhau, α = bằng 0. T1 được gọi là kính phân cực, T2 được gọi là kính phân tích (hình 4-3) Công thức (4-4) biểu diễn một định luật gọi là định luật Malus. 63 π thì I2 sẽ 2 Chương 4: Phân cực ánh sáng Định luật Malus: Khi cho một chùm tia sáng tự nhiên truyền qua hai bản tuamalin có quang trục hợp với nhau một góc α thì cường độ sáng nhận được tỉ lệ với cos2α. Do tính đối xứng của ánh sáng tự nhiên xung quanh phương truyền nên nếu ta quay bản tuamalin xung quanh tia sáng thì ở vị trí nào cũng có ánh sáng truyền qua. Còn khi tia sáng chiếu đến bản tuamalin là ánh sáng phân cực thì khi quay bản tuamalin cường độ sáng sau bản sẽ thay đổi. Như vậy bản tuamalin có thể giúp ta phân biệt được chùm sáng tự nhiên và chùm sáng phân cực. Hình 4-3 3. Sự phân cực ánh sáng do phản xạ và khúc xạ Thực nghiệm chứng tỏ rằng khi cho một tia sáng tự nhiên chiếu tới mặt phân cách giữa hai môi trường dưới góc tới i ≠ 0 thì tia phản xạ và tia khúc xạ đều là ánh sáng phân cực một phần. Vectơ cường độ điện trường của tia phản xạ có biên độ dao động lớn nhất theo phương vuông góc với mặt phẳng tới, còn vectơ cường độ điện trường của tia khúc xạ có biên độ dao động lớn nhất theo phương nằm trong mặt phẳng tới (hình 4-4) . Khi thay đổi góc tới i thì mức độ phân cực của tia phản xạ và tia khúc xạ cũng thay đổi. Khi góc tới i thỏa mãn điều kiện: tg iB = n21 (4-5) thì tia phản xạ sẽ phân cực toàn phần, n n 21 = 2 là chiết suất tỉ đối của môi n1 trường hai đối với môi trường một, iB được gọi là góc tới Brewster hay góc phân cực toàn phần. Ví dụ khi phản xạ từ không khí trên thủy tinh thì iB = 57o. Tia khúc xạ không bao giờ là ánh sáng phân cực toàn phần, nhưng khi i = iB thì tia khúc xạ cũng bị phân cực mạnh nhất. B Hình 4-4: Phân cực do phản xạ B và khúc xạ 64 Chương 4: Phân cực ánh sáng §2. PHÂN CỰC DO LƯỠNG CHIẾT Thực nghiệm chứng tỏ rằng một số tinh thể như băng lan, thạch anh... có tính chất đặc biệt là nếu chiếu một tia sáng đến tinh thể thì nói chung ta sẽ được hai tia. Hiện tượng này gọi là hiện tượng lưỡng chiết. Nguyên nhân là do tính bất đẳng hướng của tinh thể về mặt quang học (tức là tính chất quang của tinh thể ở các hướng khác nhau thì sẽ khác nhau). Để nghiên cứu hiện tượng lưỡng chiết chúng ta xét tinh thể băng lan. Tinh thể băng lan là dạng kết tinh của canxi cacbônat (CaCO3). Mỗi hạt tinh thể băng lan có dạng một khối sáu mặt hình thoi (hình 4-5), trong đó đường thẳng nối hai đỉnh A và A1 gọi là quang trục của tinh thể. Một tia sáng truyền vào tinh thể băng lan theo phương song song với quang trục sẽ không bị tách thành hai tia khúc xạ. Chiếu một tia sáng tự nhiên vuông góc với mặt Hình 4-5 Tinh thể băng lan ABCD của tinh thể. Thực nghiệm chứng tỏ rằng tia này sẽ bị tách thành hai tia khúc xạ (hình 4-6): - Tia truyền thẳng không bị lệch khỏi phương truyền gọi là tia thường (kí hiệu là tia o). Tia này tuân theo định luật khúc xạ ánh sáng. Tia thường phân cực toàn phần, có vectơ sáng E vuông góc với một mặt phẳng đặc biệt gọi là mặt phẳng chính của tia đó (mặt phẳng chứa tia thường và quang trục). - Tia lệch khỏi phương truyền gọi là tia bất thường (kí hiệu là tia e). Tia này không tuân theo định luật khúc xạ ánh sáng. Tia bất thường phân cực toàn phần, có vectơ sáng E nằm trong mặt phẳng chính của nó (mặt phẳng chứa quang trục và tia bất thường). Khi ló ra khỏi tinh thể, hai tia thường và tia bất thường chỉ khác nhau về phương phân cực. Chiết suất của tinh thể băng lan đối với tia thường luôn không đổi và bằng no=1,659. Chiết suất ne của tinh thể băng lan đối với tia bất thường phụ thuộc vào phương truyền của nó trong tinh thể và thay đổi từ 1,659 (theo phương quang trục) đến 1,486 (theo phương vuông góc với quang trục). Như vậy đối với tinh thể băng lan ta có: ne ≤ no (4-6) Vì chiết suất n = c/v, với c là vận tốc ánh sáng trong chân không và v là vận tốc ánh sáng trong môi trường, do đó: ve ≥ vo (4-7) nghĩa là trong tinh thể băng lan, vận tốc của tia bất thường nói chung lớn hơn vận tốc của tia thường. Tinh thể băng lan, thạch anh, tuamalin... là những tinh thể đơn trục. Trong tự nhiên còn có tinh thể lưỡng trục, đó là những tinh thể có hai quang trục theo hai hướng khác nhau. Một tia sáng tự nhiên truyền qua tinh thể lưỡng trục cũng bị tách thành hai tia khúc xạ nhưng cả hai tia này đều là những tia bất thường. 65 Chương 4: Phân cực ánh sáng Hình 4-6. Tính lưỡng chiết của tinh thể §3. KÍNH PHÂN CỰC Người ta sử dụng các tinh thể lưỡng chiết để chế tạo kính phân cực. Kính phân cực là những dụng cụ có thể biến ánh sáng tự nhiên thành ánh sáng phân cực, ví dụ như bản tuamalin, bản pôlarôit, lăng kính nicôn... 1. Bản pôlarôit Một số tinh thể lưỡng chiết có tính hấp thụ dị hướng mạnh đối với một trong hai tia thường và bất thường. Ví dụ bản tinh thể tuamalin dày hơn 1mm hầu như hấp thụ hoàn toàn tia thường và chỉ cho tia bất thường truyền qua nó. Vì vậy bản tuamalin có thể dùng làm kính phân cực. Trong những năm gần đây người ta đã chế tạo những kính phân cực làm bằng xenluylôit, trên có phủ một lớp tinh thể định hướng sunfat-iôt-kinin có tính hấp thụ dị hướng mạnh. Những bản này gọi là bản pôlarôit. Bản pôlarôit dày khoảng 0,1 mm có thể hấp thụ hoàn toàn tia thường và tạo ra ánh sáng phân cực toàn phần sau khi đi ra khỏi bản. Bản pôlarôit tương đối rẻ nên được sử dụng nhiều trong ngành vận tải. Để khắc phục hiện tượng người lái xe ôtô bị loá mắt do ánh sáng từ các đèn pha của các ôtô khác chạy ngược chiều gây ra, người ta dán các bản pôlarôit lên mặt kính đèn pha ôtô và kính chắn gió phía trước người lái ôtô sao cho quang trục của các bản song song và cùng nghiêng 45o so với phương ngang. Khi hai ôtô chạy ngược chiều tới gặp nhau thì các bản pôlarôit trên hai ôtô này có quang trục bắt chéo nhau. Như vậy ánh sáng phân cực phát ra từ đèn pha của ôtô thứ nhất chạy tới không thể truyền qua kính chắn gió của ôtô thứ hai chạy ngược chiều để chiếu vào mắt người lái xe. Trong khi đó người lái xe thứ hai vẫn có thể nhìn thấy ánh sáng phân cực phát ra từ đèn pha của xe mình chiếu sang các vật ở phía trước, vì ánh sáng phân cực này sau khi phản xạ trên các vật vẫn giữ nguyên phương dao động song song với quang trục của kính chắn gió trước mặt người lái xe. 2. Lăng kính Nicol (Nicôn) Lăng kính Nicol (gọi tắt là nicôn) là một khối tinh thể băng lan được cắt theo mặt chéo thành hai nửa và dán lại với nhau bằng một lớp nhựa canađa trong suốt có chiết suất n= 1,550. 66 Chương 4: Phân cực ánh sáng Tia sáng tự nhiên SI chiếu vào mặt AC của nicôn theo phương song song với mặt đáy CA' bị tách thành hai: tia thường và tia bất thường. Chiết suất của tinh thể đối với tia thường no=1,659, còn chiết suất của tinh thể đối với tia bất thường ne phụ thuộc vào hướng, nó thay đổi từ 1,486 đến 1,659. Vì no > ne nên tia thường bị khúc xạ mạnh hơn tia bất thường. Chiết suất của tinh thể đối với tia thường lớn hơn chiết suất của lớp nhựa và hình dạng, kích thước của nicôn được chọn sao cho tia thường khi đến lớp nhựa canađa bị phản xạ toàn phần và sau đó bị hấp thụ trên lớp sơn đen của mặt đáy CA'. Còn tia bất thường (ne < n) truyền qua lớp nhựa canađa và ló ra khỏi nicôn theo phương song song với tia tới SI. Hình 4-7. Lăng kính Nicol Như vậy, nicôn đã biến ánh sáng tự nhiên (hoặc phân cực một phần) truyền qua nó thành ánh sáng phân cực toàn phần có mặt phẳng dao động trùng với mặt phẳng chính của nicôn. Nếu cho một chùm sáng tự nhiên qua hệ hai nicôn N1 và N2 thì cường độ sáng I2 ở phía sau bản nicôn N2 cũng được xác định theo định luật Malus (công thức 4-4), với α là góc giữa hai mặt phẳng chính của nicôn N1 và N2. Khi hai nicôn N1 và N2 đặt ở vị trí song song, ứng với α = 0, cường độ sáng sau nicôn N2 đạt cực đại I2 = Imax (sáng nhất). Khi hai nicôn đặt ở vị trí bắt chéo, ứng với α =π/2, cường độ sáng sau nicôn N2 đạt cực tiểu I2 = Imin (tối nhất). Hình 4-8. a) Hai nicôn song song 67 b) Hai nicôn bắt chéo Chương 4: Phân cực ánh sáng §4. ÁNH SÁNG PHÂN CỰC ELIP Trong các tiết trước chúng ta đã nghiên cứu ánh sáng phân cực thẳng, đó là ánh sáng có vectơ sáng E dao động theo một phương xác định, tức là E dao động trên đường thẳng. Thực nghiệm chỉ ra rằng ta có thể tạo ra ánh sáng phân cực trong đó đầu mút vectơ sáng E chuyển động trên một đường elip (hay đường tròn), ánh sáng phân cực này được gọi là ánh sáng phân cực elip hay phân cực tròn. Xét bản tinh thể T có quang trục Δ và độ dày d. Chiếu vuông góc với mặt trước của bản tinh thể một tia sáng phân cực toàn phần có vectơ sáng E hợp với quang trục một góc α. Khi vào bản tinh thể, tia sáng này bị tách thành hai: tia thường và tia bất thường. Tia thường có vectơ sáng E o vuông góc với quang trục, còn tia bất thường có vectơ sáng E e song song với quang trục và cả hai vectơ sáng đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với tia sáng (hình 4-9). Hình 4-9. Ánh sáng phân cực elip Vectơ sáng tổng hợp của tia thường và tia bất thường tại điểm M sau bản tinh thể bằng: E = Eo + Ee (4-8) Ở trong bản tinh thể, hai tia này truyền đi với vận tốc khác nhau (do chiết suất của tinh thể đối với hai tia khác nhau, ne ≠ no ) và khi ló ra khỏi bản chúng lại truyền đi với cùng vận tốc. Do đó, hiệu quang lộ của tia thường và tia bất thường tại một điểm M sau bản bằng: ΔL = L o - L e = (n o - n e )d (4-9) tương ứng với hiệu pha là Δϕ = 2π 2π (L o - L e ) = ( n o - n e )d λ λ trong đó λ là bước sóng ánh sáng trong chân không. 68 (4-10) Chương 4: Phân cực ánh sáng Các vectơ sáng E o và E e dao động theo hai phương vuông góc với nhau, do đó đầu mút vectơ sáng tổng hợp sẽ chuyển động trên một đường elip xác định bởi phương trình: x2 + A12 y2 A 22 - 2 xy cos Δϕ = sin 2 Δϕ A 1A 2 (4-11) với A1 và A2 lần lượt là biên độ và Δϕ = ϕ o - ϕ e là hiệu pha dao động của hai vectơ sáng E o và E e . Nếu trước khi vào bản tinh thể, ánh sáng phân cực toàn phần có biên độ là A thì A1=A.sinα và A2=A.cosα . Như vậy, ánh sáng phân cực thẳng sau khi truyền qua bản tinh thể sẽ biến thành ánh sáng phân cực elip. Chúng ta sẽ xét một vài trường hợp riêng phụ thuộc vào độ dày d của bản tinh thể. 1. Bản phần tư bước sóng Bản phần tư bước sóng là bản tinh thể có độ dày d sao cho hiệu quang lộ của tia thường và tia bất thường truyền qua bản bằng một số lẻ lần của phần tư bước sóng: ΔL = (n o - n e )d = (2k + 1) λ 4 (4-12) Khi đó hiệu pha của hai tia bằng: Δϕ = (2k + 1) π 2 (4-13) và phương trình (4-11) sẽ thành: x2 A12 + y2 A 22 =1 (4-14) Hình 4-10a: Phân cực elip Hình 4-10b: Phân cực tròn dạng chính tắc Trong trường hợp này, đầu mút của vectơ sáng tổng hợp E phía sau bản tinh thể chuyển động trên một elip dạng chính tắc có hai bán trục là A1 và A2 được xác định bởi phương trình (4-14) (hình 4-10a). Đặc biệt, nếu α = 45o thì A1 = A2 = A0 và phương trình (4-14) sẽ thành: x 2 + y 2 = A 02 (4-15) 69 Chương 4: Phân cực ánh sáng Khi đó đầu mút của vectơ sáng tổng hợp E phía sau bản tinh thể chuyển động trên đường tròn tâm O, bán kính A0 được xác định bởi phương trình (4-15) (hình 4-10b). Như vậy, sau khi truyền qua bản phần tư bước sóng, ánh sáng phân cực thẳng đã bị biến đổi thành ánh sáng phân cực elip dạng chính tắc hoặc phân cực tròn. 2. Bản nửa bước sóng Bản nửa bước sóng là bản tinh thể có độ dày d sao cho hiệu quang lộ của tia thường và tia bất thường truyền qua bản bằng một số lẻ lần nửa bước sóng: ΔL = (n o - n e )d = (2k + 1) λ 2 (4-16) Khi đó hiệu pha của hai tia bằng: Δϕ = (2k + 1)π (4-17) và phương trình (4-11) sẽ thành: x y + =0 A1 A 2 (4-18) Đây là phương trình của đường thẳng, mút vectơ sáng tổng Hình 4-11 hợp E phía sau bản sẽ chuyển động trên đường thẳng nằm trong góc phần tư thứ hai và thứ tư của hệ tọa độ Oxy (hình 4-11), đường thẳng đó hợp với quang trục một góc α . Trước khi vào bản tinh thể, mút vectơ sáng của ánh sáng phân cực thẳng dao động trên đường thẳng. Như vậy sau khi truyền qua bản nửa bước sóng ánh sáng phân cực thẳng vẫn là ánh sáng phân cực thẳng, nhưng phương dao động đã quay đi một góc 2α so với trước khi đi vào bản. 3. Bản một bước sóng Bản một bước sóng là bản tinh thể có độ dày d sao cho hiệu quang lộ của tia thường và tia bất thường truyền qua bản bằng một số nguyên lần bước sóng: ΔL = (n o - n e )d = kλ (4-19) khi đó hiệu pha của hai tia bằng: Δϕ = 2kπ (4-20) Hình 4-12 và phương trình (4-11) sẽ thành: x y =0 A1 A 2 (4-21) Đây là phương trình của đường thẳng, nằm trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba của hệ tọa độ Oxy (hình 4-12), đường thẳng đó hợp với quang trục một góc α . Như vậy sau khi truyền qua bản một bước sóng ánh sáng phân cực thẳng giữ nguyên không đổi. 70 Chương 4: Phân cực ánh sáng §5. LƯỠNG CHIẾT DO ĐIỆN TRƯỜNG Một số chất lỏng như sulfua cácbon, benzôn... khi chịu tác dụng của điện trường thì trở nên bất đẳng hướng về mặt quang học. Hiện tượng này được Kerr tìm ra năm 1875 và gọi là hiệu ứng Kerr. Sơ đố thí nghiệm về hiệu ứng Kerr được trình bày trên hình 4-13. Hình 4-13. Thí nghiệm về hiệu ứng Kerr Khi chưa có điện trường, các phân tử chất lỏng chuyển động nhiệt hỗn loạn nên chất lỏng là đẳng hướng và không làm thay đổi phương của ánh sáng phân cực toàn phần sau nicôn N1 truyền tới nó. Do đó ánh sáng phân cực toàn phần này không thể truyền tiếp qua nicôn N2 (bắt chéo với N1) và sau nicôn N2 sẽ hoàn toàn tối. Khi chất lỏng chịu tác dụng của điện trường giữa hai bản cực của tụ điện, các phân tử của nó trở thành các lưỡng cực điện nằm dọc theo phương của điện trường. Chất lỏng trở thành môi trường bất đẳng hướng với quang trục là phương của điện trường. Trong trường hợp này, chùm ánh sáng phân cực toàn phần sau nicôn N1 truyền tới chất lỏng bị tách thành tia thường và tia bất thường. Tổng hợp của hai tia này sẽ là ánh sáng phân cực elip, có thể truyền tiếp qua nicôn N2 (bắt chéo với N1), nên sau nicôn N2 sẽ sáng. Thực nghiệm chứng tỏ với mỗi ánh sáng đơn sắc, hiệu số chiết suất no - ne của chất lỏng (chịu tác dụng của điện trường) đối với tia thường và tia bất thường truyền trong nó có độ lớn tỉ lệ với bình phương cường độ điện trường E tác dụng lên chất lỏng: n o − n e = kE 2 (4-22) với k là hệ số tỉ lệ phụ thuộc vào bản chất của chất lỏng. Hiệu pha giữa hai dao động của tia thường và tia bất thường sau khi đi qua lớp chất lỏng có bề dày d sẽ là: Δϕ = 2π 2π 2 ( n o − n e )d = kE d = 2πBE 2 d λ λ (4-23) trong đó B = k/λ gọi là hằng số Kerr. Giá trị của B phụ thuộc nhiệt độ của chất lỏng và bước sóng ánh sáng. Thời gian để các phân tử định hướng theo phương của điện trường và thời gian để các phân tử trở về trạng thái chuyển động hỗn loạn chỉ vào cỡ 10-10s. Tính chất này của hiệu ứng Kerr đã được ứng dụng để chế tạo van quang học dùng đóng ngắt ánh sáng rất nhanh không có quán tính. 71 Chương 4: Phân cực ánh sáng §6. SỰ QUAY MẶT PHẲNG PHÂN CỰC Một số tinh thể hoặc dung dịch có tác dụng làm quay mặt phẳng phân cực của chùm ánh sáng phân cực toàn phần truyền qua chúng. Hiện tượng này gọi là hiện tượng quay mặt phẳng phân cực. Các chất làm quay mặt phẳng phân cực của ánh sáng phân cực gọi là chất hoạt quang, thí dụ như thạch anh, dung dịch đường... Hiện tượng quay mặt phẳng phân cực được thể hiện như sau: Cho ánh sáng tự nhiên đi qua kính phân cực T1 và kính phân tích T2 đặt vuông góc với nhau. Kết quả là ánh sáng không đi qua được kính phân tích T2, sau bản T2 sẽ tối. Bây giờ nếu đặt giữa kính phân cực T1 và kính phân tích T2 một bản tinh thể thạch anh có quang trục nằm dọc theo phương truyền của tia sáng thì thấy ánh sáng đi qua được kính phân tích T2, sau bản T2 sẽ sáng. Muốn cho ánh sáng không đi qua được ta phải quay kính phân tích một góc ϕ. Điều đó chứng tỏ dưới tác dụng của bản tinh thể ánh sáng phân cực thẳng sau bản T1 đã bị quay đi một góc ϕ (hình 4-14), hay ta nói bản tinh thể đã làm quay mặt phẳng phân cực một góc ϕ. Đó là hiện Hình 4-14. Hiện tượng quay mặt phẳng phân cực tượng quay mặt phẳng phân cực. Thực nghiệm cho thấy góc quay ϕ của mặt phẳng phân cực tỷ lệ thuận với độ dày d của bản tinh thể: ϕ = αd (4-24) α là hệ số quay, nó có giá trị phụ thuộc bản chất, nhiệt độ của chất rắn quang hoạt và bước sóng λ của ánh sáng. Ví dụ đối với bản thạch anh ở 200C: α = 21,7 độ/mm ứng với λ = 0,589 μm; α = 48,9 độ/mm ứng với λ = 0,4047 μm. Đối với các dung dịch, góc quay ϕ của mặt phẳng phân cực tỷ lệ với độ dày d của lớp dung dịch có ánh sáng phân cực truyền qua và tỷ lệ với nồng độ c của dung dịch: ϕ = [α ] cd (4-25) trong đó [α] được gọi là hệ số quay riêng, nó có giá trị phụ thuộc bản chất và nhiệt độ của dung dịch hoạt quang, đồng thời phụ thuộc bước sóng λ của ánh sáng. Ví dụ đối với ánh sáng vàng Na (λ = 0,589μm) ở 200C, [α] của dung dịch đường là 66,50cm2/g. Hiện tượng quay mặt phẳng phân cực được ứng dụng trong một dụng cụ gọi là đường kế để xác định nồng độ đường trong dung dịch. Ánh sáng từ bóng đèn S truyền qua kính lọc sắc F và kính phân cực P biến đổi thành ánh sáng đơn sắc phân cực toàn phần. Quan sát trong ống ngắm O, đồng thời quay kính phân tích A cho tới khi thị trường trong ống ngắm trở nên tối hoàn toàn. Khi đó kính phân tích A nằm ở vị trí bắt chéo với kính phân cực P và mặt phẳng chính của chúng vuông góc với nhau. Góc ϕ1 xác định vị trí của kính phân tích A đọc được trên thước đo góc K. Đặt 72 Chương 4: Phân cực ánh sáng ống thuỷ tinh H chứa đầy dung dịch hoạt quang cần nghiên cứu vào khoảng giữa hai kính A và P, thị trường trong ống ngắm O lại sáng. Nguyên nhân là do dung dịch hoạt quang đã làm mặt phẳng dao động của ánh sáng phân cực toàn phần truyền qua nó quay đi một góc ϕ tới vị trí không vuông góc với mặt phẳng chính của kính phân tích A nữa. Bây giờ ta quay kính phân tích A cho đến khi thị trường trong ống ngắm O tối hoàn toàn. Đọc góc ϕ2, xác định vị trí này của kính phân tích A. Từ đó tìm ra được góc quay ϕ của mặt phẳng phân cực ϕ = ϕ2 - ϕ1. Hình 4-15. Mô hình của đường kế Theo công thức (4-25), nếu biết độ dày d và hằng số quay riêng [α ] của dung dịch hoạt quang, ta dễ dàng xác định được nồng độ c của dung dịch : c= ϕ − ϕ1 ϕ = 2 [α].d [α].d (4-26) III. TÓM TẮT NỘI DUNG 1. Sự phân cực ánh sáng * Ánh sáng có vectơ cường độ điện trường dao động đều đặn theo mọi phương vuông góc tia sáng được gọi là ánh sáng tự nhiên. * Ánh sáng có vectơ cường độ điện trường chỉ dao động theo một phương xác định được gọi là ánh sáng phân cực thẳng hay ánh sáng phân cực toàn phần. * Ánh sáng có vectơ cường độ điện trường dao động theo tất cả các phương vuông góc với tia sáng nhưng có phương dao động yếu, có phương dao động mạnh được gọi là ánh sáng phân cực một phần. * Mặt phẳng chứa tia sáng và phương dao động của E được gọi là mặt phẳng dao động, còn mặt phẳng chứa tia sáng và vuông góc với mặt phẳng dao động gọi là mặt phẳng phân cực. * Trong bản Tuamalin có một phương đặc biệt gọi là quang trục của tinh thể (kí hiệu là Δ) . Theo phương quang trục, ánh sáng không bị hấp thụ, mà truyền qua hoàn toàn còn theo phương vuông góc với quang trục, ánh sáng bị hấp thụ hoàn toàn. * Định luật Malus: Khi cho một chùm tia sáng tự nhiên truyền qua hai bản tuamalin có quang trục hợp với nhau một góc α thì cường độ sáng nhận được tỉ lệ với cos2α. 73 Chương 4: Phân cực ánh sáng I 2 = I1 cos 2 α 2. Sự phân cực do phản xạ, khúc xạ: Thực nghiệm chứng tỏ rằng khi cho một tia sáng tự nhiên chiếu tới mặt phân cách giữa hai môi trường dưới góc tới i ≠ 0 thì tia phản xạ và tia khúc xạ đều là ánh sáng phân cực một phần. Vectơ cường độ điện trường của tia phản xạ có biên độ dao động lớn nhất theo phương vuông góc với mặt phẳng tới, còn vectơ cường độ điện trường của tia khúc xạ có biên độ dao động lớn nhất theo phương nằm trong mặt phẳng tới. Khi thay đổi góc tới i thì mức độ phân cực của tia phản xạ và tia khúc xạ cũng thay đổi. Khi góc tới i thỏa mãn điều kiện: tg iB = n21 thì tia phản xạ sẽ phân cực toàn phần, n21 là chiết suất tỉ đối của môi trường hai đối với môi trường một, iB được gọi là góc tới Brewster. Tia khúc xạ không bao giờ là ánh sáng phân cực toàn phần, nhưng khi i = iB thì tia khúc xạ cũng bị phân cực mạnh nhất. B B 3. Sự phân cực do lưỡng chiết Thực nghiệm chứng tỏ rằng một số tinh thể như băng lan, thạch anh... có tính chất đặc biệt là nếu chiếu một tia sáng đến tinh thể thì nói chung ta sẽ thu được hai tia. Hiện tượng này gọi là hiện tượng lưỡng chiết. Nguyên nhân là do tính bất đẳng hướng của tinh thể về mặt quang học (tức là tính chất quang của tinh thể ở các hướng khác nhau thì sẽ khác nhau). Tia sáng khi chiếu vào tinh thể lưỡng chiết sẽ bị tách thành hai tia khúc xạ: - Tia tuân theo định luật khúc xạ gọi là tia thường. Tia thường phân cực toàn phần, có vectơ sáng E vuông góc với mặt phẳng chính của tia thường. - Tia không theo định luật khúc xạ gọi là tia bất thường. Tia bất thường phân cực toàn phần, có vectơ sáng E nằm trong mặt phẳng chính của nó. Khi ló ra khỏi tinh thể, hai tia thường và tia bất thường chỉ khác nhau về phương phân cực. Chiết suất của tinh thể băng lan đối với tia thường luôn không đổi và bằng no=1,659. Chiết suất ne của tinh thể băng lan đối với tia bất thường phụ thuộc vào phương truyền của nó trong tinh thể và thay đổi từ 1,659 (theo phương quang trục) đến 1,486 (theo phương vuông góc với quang trục). Như vậy đối với tinh thể băng lan ta có: ne ≤ no Vì chiết suất n = c/v, với c là vận tốc ánh sáng trong chân không và v là vận tốc ánh sáng trong môi trường, do đó: ve ≥ vo nghĩa là trong tinh thể băng lan, vận tốc của tia bất thường nói chung lớn hơn vận tốc của tia thường. Tinh thể băng lan, thạch anh, tuamalin... là những tinh thể đơn trục. Trong tự nhiên còn có tinh thể lưỡng trục, đó là những tinh thể có hai quang trục theo hai hướng khác nhau. Một tia sáng tự nhiên truyền qua tinh thể lưỡng trục cũng bị tách thành hai tia khúc xạ nhưng cả hai tia này đều là những tia bất thường. 74 Chương 4: Phân cực ánh sáng Người ta sử dụng các tinh thể lưỡng chiết để chế tạo kính phân cực. Kính phân cực là những dụng cụ có thể biến ánh sáng tự nhiên thành ánh sáng phân cực, ví dụ như bản tuamalin, bản pôlarôit, lăng kính nicol... Một số chất lỏng như sulfua cácbon, benzôn... khi chịu tác dụng của điện trường thì trở nên bất đẳng hướng về mặt quang học (có tính lưỡng chiết). Hiệu ứng này gọi là hiệu ứng Kerr và được ứng dụng để chế tạo van quang học 4. Ánh sáng phân cực elip Ánh sáng phân cực trong đó đầu mút vectơ sáng E chuyển động trên một đường elip (hay đường tròn) được gọi là ánh sáng phân cực elip (hay phân cực tròn) . Chiếu vuông góc với mặt trước của bản tinh thể một tia sáng phân cực toàn phần có vectơ sáng E hợp với quang trục một góc α. Khi vào bản tinh thể, tia sáng này bị tách thành hai: tia thường và tia bất thường. Tia thường và tia bất thường là hai tia sáng kết hợp, chúng giao thoa với nhau. Các vectơ sáng E o của tia thường và E e dao động theo hai phương vuông góc với nhau, do đó đầu mút vectơ sáng tổng hợp sẽ chuyển động trên một đường elip xác định bởi phương trình: x2 A12 + y2 2 xy cos Δϕ = sin 2 Δϕ 2 A A A2 1 2 - (1) x, y là độ dời dao động, A1, A2 là biên độ dao động của E o và E e . Hiệu pha của các tia thường và tia bất thường là Δϕ = 2π 2π (L o - L e ) = ( n o - n e )d λ λ (2) * Bản phần tư bước sóng Bản phần tư bước sóng là bản tinh thể có độ dày d sao cho hiệu quang lộ của tia thường và tia bất thường truyền qua bản bằng một số lẻ lần của phần tư bước sóng: ΔL = (n o - n e )d = (2k + 1) λ 4 (3a) Thay (3a) vào (2), sau đó vào (1) ta thu được phương trình của đường elip dạng chính tắc. Do đó sau khi truyền qua bản phần tư bước sóng, ánh sáng phân cực thẳng đã bị biến đổi thành ánh sáng phân cực elip dạng chính tắc hoặc phân cực tròn. * Bản nửa bước sóng Bản nửa bước sóng là bản tinh thể có độ dày d sao cho hiệu quang lộ của tia thường và tia bất thường truyền qua bản bằng một số lẻ lần nửa bước sóng: ΔL = (n o - n e )d = (2k + 1) λ 2 (3b) Thay (3b) vào (2), sau đó vào (1) ta thu được phương trình của đường thẳng, quay một góc 2α. Do đó khi truyền qua bản nửa bước sóng ánh sáng phân cực thẳng vẫn là ánh sáng phân cực thẳng, nhưng phương dao động đã quay đi một góc 2α so với trước khi đi vào bản. 75 Chương 4: Phân cực ánh sáng * Bản một bước sóng Bản một bước sóng là bản tinh thể có độ dày d sao cho hiệu quang lộ của tia thường và tia bất thường truyền qua bản bằng một số nguyên lần bước sóng: ΔL = (n o - n e )d = kλ (3c) Thay (3c) vào (2), sau đó vào (1) ta thu được phương trình của đường thẳng. Vậy sau khi truyền qua bản một bước sóng ánh sáng phân cực thẳng giữ nguyên không đổi. 5. Sự quay mặt phẳng phân cực Một số tinh thể hoặc dung dịch có tác dụng làm quay mặt phẳng phân cực của chùm ánh sáng phân cực toàn phần truyền qua chúng. Hiện tượng này gọi là sự quay mặt phẳng phân cực. Các chất làm quay mặt phẳng phân cực của ánh sáng phân cực gọi là chất hoạt quang, thí dụ như thạch anh, dung dịch đường... Thực nghiệm cho thấy góc quay ϕ của mặt phẳng phân cực tỷ lệ thuận với độ dày d của bản tinh thể: ϕ = αd α là hệ số quay, nó có giá trị phụ thuộc bản chất và nhiệt độ của chất rắn quang hoạt và bước sóng λ của ánh sáng. Đối với các dung dịch, góc quay ϕ của mặt phẳng phân cực tỷ lệ với độ dày d của lớp dung dịch có ánh sáng phân cực truyền qua và tỷ lệ với nồng độ c của dung dịch: ϕ = [α ] cd trong đó [α] được gọi là hệ số quay riêng, nó có giá trị phụ thuộc bản chất và nhiệt độ của dung dịch hoạt quang, đồng thời phụ thuộc bước sóng λ của ánh sáng. Hiện tượng quay mặt phẳng phân cực được ứng dụng trong một dụng cụ gọi là đường kế để xác định nồng độ đường trong dung dịch. IV. CÂU HỎI LÍ THUYẾT 1. Hiện tượng phân cực chứng tỏ bản chất gì của ánh sáng ? Ánh sáng là sóng ngang hay sóng dọc ? Giải thích tại sao ? 2. Phân biệt ánh sáng tự nhiên và ánh sáng phân cực toàn phần, ánh sáng phân cực một phần. 3. Phát biểu và viết biểu thức của định luật Malus. 4. Trình bày sự phân cực do phản xạ, khúc xạ. 5. Trình bày tính lưỡng chiết của tinh thể. 6. Nêu sự giống nhau và khác nhau của hai tia thường và bất thường khi đi qua tinh thể băng lan. 7. Trình bày hiệu ứng Kerr. 8. Định nghĩa ánh sáng phân cực elip, phân cực tròn. Trình bày cách tạo ra ánh sáng phân cực elip. Xét các trường hợp bề dày bản một phần tư bước sóng, bản nửa bước sóng và bản một bước sóng. 76 Chương 4: Phân cực ánh sáng 8. Nêu ứng dụng của hiện tượng quay mặt phẳng phân cực. V. BÀI TẬP Thí dụ 1: Hỏi góc nghiêng của mặt trời so với chân trời phải bằng bao nhiêu để những tia sáng mặt trời phản chiếu trên mặt hồ bị phân cực toàn phần. Biết rằng chiết suất của nước hồ n = 1,33. Bài giải: Theo định luật Brewster, muốn tia sáng phản chiếu bị phân cực toàn phần thì góc tới của nó phải bằng góc tới Brewster, xác định bởi công thức: tgi B = n = 1,33 → i B = 530 5′ Do đó góc nghiêng của mặt trời so với đường chân trời: α = 900 − i B = 36055′ Thí dụ 2: Cho một chùm tia sáng phân cực thẳng có bước sóng trong chân không là λ0 = 0,589μm chiếu vuông góc với quang trục của một bản tinh thể băng lan. Chiết suất của tinh thể băng lan đối với tia thường và tia bất thường lần lượt bằng n0 = 1,658 và ne = 1,488. Xác định bước sóng của tia thường và tia bất thường. Bài giải: Bước sóng λ của ánh sáng truyền trong môi trường có chiết suất n liên hệ với bước λ sóng λ0 của ánh sáng trong chân không: λ = 0 n Bước sóng của tia thường trong tinh thể băng lan: λ t = λ 0 0,589 = = 0,355μm n 0 1,658 Bước sóng của tia bất thường trong tinh thể băng lan: λ bt = λ0 = 0,396μm ne Bài tập tự giải 1. Cho biết khi ánh sáng truyền từ một chất có chiết suất n ra ngoài không khí thì xảy ra hiện tượng phản xạ toàn phần của ánh sáng ứng với góc giới hạn igh = 450. Xác định góc tới Brewster của chất này, môi trường chứa tia tới là không khí. Đáp số: Góc giới hạn: n 1 → n = 2 = 1,414 sin i gh = kk = n 2 tgi B = n n kk = 1,414 → i B = 54 0 43′ 77 Chương 4: Phân cực ánh sáng 2. Ánh sáng tự nhiên truyền từ không khí tới chiếu vào một bản thuỷ tinh. Cho biết ánh sáng phản xạ bị phân cực toàn phần khi góc khúc xạ r = 330. Xác định chiết suất của bản thuỷ tinh. Đáp số: Khi chùm phản xạ bị phân cực toàn phần thì góc tới i thoả mãn: tgi = tgi B = n → n = Theo định luật khúc xạ ánh sáng: sin i = n , mà sin i B = sin i = n. sin 330 sin r n. sin 330 →n= ( sin i B sin i B = cos i B 1 − sin 2 i B 1 − n. sin 33 ) 0 2 → n ≈ 1,56 3. Xác định góc tới Brewster của một mặt thuỷ tinh có chiết suất n1 = 1,57 khi môi trường ánh sáng tới là: 1. Không khí. 2. Nước có chiết suất n2 = 4/3. Đáp số: i B = 57 0 30′, i B = 49 0 43′ 4. Một chùm tia sáng sau khi truyền qua một chất lỏng đựng trong một bình thuỷ tinh, phản xạ trên đáy bình. Tia phản xạ bị phân cực toàn phần khi góc tới trên đáy bình bằng 42 0 37 ′ , chiết suất của bình thuỷ tinh n = 1,5. Tính: 1. Chiết suất của chất lỏng. 2. Góc tới trên đáy bình để chùm tia phản xạ trên đó phản xạ toàn phần. Đáp số: n/ = 1,63, i = 66056/ 5. Cho một chùm tia sáng tự nhiên chiếu vào mặt của một bản thuỷ tinh nhúng trong chất lỏng. Chiết suất của thuỷ tinh là n1 = 1,5. Cho biết chùm tia phản xạ trên mặt thuỷ tinh bị phân cực toàn phần khi các tia phản xạ hợp với các tia tới một góc ϕ = 97 0 . Xác định chiết suất n2 của chất lỏng. Đáp số: tgi = tgi B = n1 n2 Theo điều kiện đầu bài: i = i B = ϕ ϕ n → tg = 1 → n 2 = 2 2 n2 n1 97 0 tg 2 = 1,33 . 6. Một bản thạch anh được cắt song song với quang trục và có độ dày d = 1mm. Chiếu ánh sáng đơn sắc có bước sóng λ = 0,6μm vuông góc với mặt bản. Tính hiệu quang lộ và hiệu 78 Chương 4: Phân cực ánh sáng pha của tia thường và tia bất thường truyền qua bản thạch anh, biết rằng chiết suất của bản đối với tia thường và tia bất thường lần lượt bằng n0 = 1,544, ne = 1,535. Đáp số: Hiệu quang lộ của tia thường và tia bất thường truyền qua bản thạch anh có giá trị bằng: ΔL = (n 0 − n e ).d = 0,009mm Hiệu pha của tia thường và tia bất thường truyền qua bản thạch anh có giá trị bằng: 2π Δϕ = .ΔL = 30π (rad) λ 7. Cho biết đối với ánh sáng đơn sắc có bước sóng λ = 0,545μm thì chiết suất của bản phần tư bước sóng đối với tia thường và tia bất thường truyền trong bản có giá trị lần lượt bằng n0 = 1,658 và ne = 1,488. Hỏi bản phần tư bước sóng có độ dày nhỏ nhất bằng bao nhiêu? λ Đáp số: ΔL = (n 0 − n e )d = (2k + 1) , k = 0,1, 2, 3,... 4 Bản phần tư bước sóng có độ dày nhỏ nhất khi k = 0. Vậy dmin = 800nm. 8. Một bản nửa bước sóng có độ dày nhỏ nhất bằng dmin = 1,732μm. Cho biết chiết suất của bản đối với tia thường và tia bất thường lần lượt bằng n0 = 1,658 và ne = 1,488. Xác định bước sóng của ánh sáng truyền tới bản này. λ Đáp số: ΔL = (n 0 − n e ).d = (2k + 1) , k = 0,1, 2, 3,... 2 Bản nửa bước sóng có độ dày nhỏ nhất khi k = 0. Vậy d min = λ → λ = 2.d min (n 0 − n e ) = 0,589μm 2(n 0 − n e ) 9. Một bản tinh thể được cắt song song với quang trục và có độ dày d = 0,25mm. Người ta dùng bản tinh thể này làm bản phần tư bước sóng đối với ánh sáng có bước sóng λ = 0,53μm. Xác định đối với những bước sóng nào trong vùng quang phổ thấy được, bản tinh thể này cũng là bản phần tư bước sóng. Coi rằng hiệu số chiết suất của bản đối với tia bất thường và tia thường không đổi và bằng ne – n0 = 0,009 ứng với mọi bước sóng trong vùng quang phổ thấy được có giá trị từ 0,4μm đến 0,76μm. Đáp số: ΔL = (n e − n 0 )d = (2k + 1) λ 4 4d(n e − n o ) 9 , mà 0,4 ≤ λ ≤ 0,76, suy = 2k + 1 2k + 1 ra 5,42 ≤ k ≤ 10,75, mà k nguyên nên k = 6, 7, 8,9, 10. Bước sóng của ánh sáng truyền tới bản: λ = 79 Chương 4: Phân cực ánh sáng 9 9 = 0,69μm, k = 7 → λ = = 0,6μm 2.6 + 1 2.7 + 1 9 9 k =8→λ = = 0,53μm, k = 9 → λ = = 0,47μm 2 .8 + 1 2.9 + 1 9 k = 10 → λ = = 0,43μm 2.10 + 1 k =6→λ= Vậy bản tinh thể còn là bản phần tư bước sóng đối với các ánh sáng có bước sóng trên. 10. Một bản thạch anh được cắt song song với quang trục của nó với độ dày không vượt quá 0,5mm. Xác định độ dày lớn nhất của bản thạch anh này để chùm ánh sáng phân cực phân cực thẳng có bước sóng λ = 0,589μm sau khi truyền qua bản thoả mãn điều kiện sau: 1. Mặt phẳng phân cực bị quay đi một góc nào đó. 2. Trở thành ánh sáng phân cực tròn. Cho biết hiệu số chiết suất của tia thường và tia bất thường đối với bản thạch anh ne – n0 = 0,009. Đáp số: 1. dmax = 0,49mm. 2.dmax = 0,47mm 11. Giữa hai kính nicôn song song người ta đặt một bản thạch anh có các mặt vuông góc với quang trục. Khi bản thạch anh có độ dày d1 = 2mm thì mặt phẳng phân cực của ánh sáng đơn sắc truyền qua nó bị quay đi một góc φ1 = 530. Xác định độ dày d2 của bản thạch anh này để ánh sáng đơn sắc không truyền qua được kính nicôn phân tích. Đáp số: Khi truyền theo quang trục của thạch anh mặt phẳng phân cực của ánh sáng bị quay một góc φ1: φ1 = α.d1 Để ánh sáng đơn sắc không truyền qua được kính phân tích thì bản thạch anh phải có độ dày d2 sao cho mặt phẳng phân cực quay đi một góc φ2 = 900, mà φ2 =α.d2 d ϕ → 2 = 2 → d 2 = 3,4mm d1 ϕ1 80 Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein CHƯƠNG V: THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP EINSTEIN Theo cơ học cổ điển (cơ học Newton) thì không gian, thời gian và vật chất không phụ thuộc vào chuyển động; không gian và thời gian là tuyệt đối, kích thước và khối lượng của vật là bất biến. Nhưng đến cuối thế kỉ 19 và đầu thế kỉ 20, khoa học kĩ thuật phát triển mạnh, người ta gặp những vật chuyển động nhanh với vận tốc cỡ vận tốc ánh sáng trong chân không (3.108 m/s), khi đó xuất hiện sự mâu thuẫn với các quan điểm của cơ học Newton: Không gian, thời gian và khối lượng của vật khi chuyển động với vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng thì phụ thuộc vào chuyển động. Năm 1905, Einstein mới 25 tuổi đã đề xuất lí thuyết tương đối của mình. Lí thuyết tương đối được xem là một lí thuyết tuyệt đẹp về không gian và thời gian. Lí thuyết đó đã đứng vững qua nhiều thử thách thực nghiệm trong suốt 100 năm qua. Lí thuyết tương đối dựa trên hai nguyên lí: nguyên lí tương đối và nguyên lí về sự bất biến của vận tốc ánh sáng. I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU 1. Hiểu được ý nghĩa của nguyên lí tương đối Einstein, nguyên lí về tính bất biến của vận tốc ánh sáng. 2. Hiểu và vận dụng được phép biến đổi Lorentz. Tính tương đối của không gian, thời gian. 3. Nắm được khối lượng, động lượng tương đối tính, hệ thức Einstein và ứng dụng. II. NỘI DUNG §1. CÁC TIÊN ĐỀ EINSTEIN 1. Nguyên lí tương đối: “ Mọi định luật vật lí đều như nhau trong các hệ qui chiếu quán tính”. Galileo đã thừa nhận rằng những định luật của cơ học hoàn toàn giống nhau trong mọi hệ qui chiếu quán tính. Einstein đã mở rộng ý tưởng này cho toàn bộ các định luật vật lí trong các lĩnh vực điện từ, quang học... 2. Nguyên lí về sự bất biến của vận tốc ánh sáng: “Vận tốc ánh sáng trong chân không đều bằng nhau đối với mọi hệ quán tính. Nó có giá trị bằng c = 3.108 m/s và là giá trị vận tốc cực đại trong tự nhiên”. 81 Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein §2. ĐỘNG HỌC TƯƠNG ĐỐI TÍNH – PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ 1. Sự mâu thuẫn của phép biến đổi Galileo với thuyết tương đối Einstein Xét hai hệ qui chiếu quán tính K và K'. Hệ K' chuyển động thẳng đều với vận tốc V so với hệ K, dọc theo phương x. Theo phép biến đổi Galileo, thời gian diễn biến một quá trình vật lí trong các hệ qui chiếu quán tính K và K’ đều như nhau: t = t’. Khoảng cách giữa hai điểm 1 và 2 nào đó đo được trong hai hệ K và K’ đều bằng nhau: Δl = x 2 − x1 = Δl ′ = x ′2 − x1′ trong hệ K/ trong hệ K Vận tốc v của chất điểm chuyển động trong hệ K bằng tổng các vận tốc v' của chất điểm đó trong hệ K’ và vận tốc V của hệ K' đối với hệ K: v = v'+ V Tất cả các kết quả trên đây đều đúng đối với v << c. Nhưng chúng mâu thuẫn với lí thuyết tương đối của Einstein. Theo thuyết tương đối: thời gian không có tính tuyệt đối, khoảng thời gian diễn biến của một quá trình vật lí phụ thuộc vào các hệ qui chiếu. Đặc biệt khái niệm đồng thời phụ thuộc vào hệ qui chiếu, tức là các hiện tượng xảy ra đồng thời ở trong hệ qui chiếu quán tính này sẽ không xảy ra đồng thời ở trong hệ qui chiếu quán tính khác. Để minh họa chúng ta xét ví dụ sau: Hai hệ qui chiếu quán tính K và K’ với các trục tọa độ x, y, z và x’, y’, z’. Hệ K’ chuyển động thẳng đều với vận tốc V so với hệ K theo phương x. Từ một điểm A bất kì, trên trục x’ có đặt một bóng đèn phát tín hiệu sáng theo hai phía ngược nhau của trục x. Đối với hệ K’ bóng đèn là đứng yên vì nó cùng chuyển động với hệ K’. Trong hệ K’ các tín hiệu sáng sẽ tới các điểm B và C ở cách đều A cùng một lúc. Nhưng trong hệ K, điểm B chuyển động đến gặp tín hiệu sáng, còn điểm C chuyển động ra xa khỏi tín hiệu sáng, do đó trong hệ K tín hiệu sáng sẽ đến điểm B sớm hơn đến điểm C. Như vậy trong hệ K, các tín hiệu sáng tới điểm B và điểm C không đồng thời. Hình 5-1. Thí dụ minh họa khái niệm đồng thời có tính tương đối Định luật cộng vận tốc, hệ quả của nguyên lí tương đối Galileo cũng không áp dụng được. Theo định luật này thì ánh sáng truyền đến B với vận tốc c +V > c, còn ánh sáng truyền đến C với vận tốc c -V< c. Điều này mâu thuẫn với nguyên lí thứ 2 trong thuyết tương đối Einstein. 82 Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein 2. Phép biến đổi Lorentz Lorentz tìm ra phép biến đổi các tọa độ không gian và thời gian khi chuyển từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác, thỏa mãn các yêu cầu của thuyết tương đối Einstein. Phép biến đổi này được gọi là phép biến đổi Lorentz. Phép biến đổi Lorentz dựa trên hai tiên đề của Einstein. Xét hai hệ qui chiếu quán tính K và K’. Tại t = 0, hai gốc O, O’ trùng nhau, K’ chuyển động thẳng đều so với K với vận tốc V theo phương x. Theo thuyết tương đối thời gian không có tính chất tuyệt đối mà phụ thuộc vào hệ qui chiếu, nghĩa là t ≠ t’. Giả sử tọa độ x’ là hàm của x và t theo phương trình: x’ = f(x,t) (5-1) Để tìm dạng của phương trình trên ta hãy viết phương trình chuyển động của hai gốc tọa độ O và O’. Đối với hệ K, gốc O’ chuyển động với vận tốc V. Ta có: x = Vt hay x – Vt = 0 (5-2) x là tọa độ của gốc O’ trong hệ K. Đối với hệ K’, gốc O’ đứng yên, do đó tọa độ x’ của nó sẽ là: x’ = 0 (5-3) Phương trình (5-1) cũng phải đúng đối với điểm O’, điều đó có nghĩa là khi ta thay x’ = 0 vào phương trình (5-1) thì phải thu được phương trình (5-2), muốn vậy thì: x ' = α( x − Vt ) (5-4) trong đó α là hằng số. Đối với hệ K’, gốc O chuyển động với vận tốc –V. Nhưng đối với hệ K, gốc O là đứng yên. Lập luận tương tự như trên ta có x = β( x '+ Vt ' ) (5-5) trong đó β là hằng số. Theo tiên đề thứ nhất của Einstein thì mọi hệ qui chiếu quán tính đều tương đương nhau, nghĩa là từ (5-4) có thể suy ra (5-5) và ngược lại bằng cách thay V→-V, x ↔ x’, t ↔ t’. Suy ra: α = β . Theo tiên đề hai: x = ct → t = x/c x’ = ct’ → t’ = x’/c Thay t và t’ vào (5-4) và (5-5) ta có: xV ⎞ ⎛ x' = α ⎜ x − ⎟, c ⎠ ⎝ x' V ⎞ ⎛ x = α ⎜ x '+ ⎟ c ⎠ ⎝ Nhân vế với vế của hai hệ thức trên, sau đó rút gọn ta nhận được: α= 1 1− V2 c2 Thay α vào các công thức trên ta nhận được các công thức của phép biến đổi Lorentz. Phép biến đổi Lorentz: x' = x − Vt 1− V c 2 x= , x '+ Vt ' 1− 2 83 V 2 c2 (5-6) Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein t− và t' = V c2 1− V c t '+ x 2 t= , V c2 1− 2 x' V 2 (5-7) c2 Vì hệ K’ chuyển động dọc theo trục x nên y = y’ và z = z’. Từ kết quả trên ta nhận thấy nếu c → ∞ (tương tác tức thời) hay khi V ⁄c → 0 (sự gần đúng cổ điển khi V << c) thì: x’ = x –Vt, y’ = y, z’ = z, t’ = t x = x’ +Vt, y = y’, z = z’, t = t’ nghĩa là chuyển về phép biến đổi Galileo. Khi V > c, tọa độ x, t trở nên ảo, do đó không thể có các chuyển động với vận tốc lớn hơn vận tốc ánh sáng. §3. CÁC HỆ QUẢ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ 1. Khái niệm về tính đồng thời và quan hệ nhân quả Giả sử trong hệ quán tính K có hai biến cố A1(x1, y1, z1, t1) và biến cố A2(x2, y2, z2, t2) với x1 ≠ x 2 . Chúng ta hãy tìm khoảng thời gian t ′2 − t1′ giữa hai biến cố đó trong hệ K' chuyển động đều đối với hệ K với vận tốc V dọc theo trục x. Từ các công thức biến đổi Lorentz ta có t '2 − t '1 = t 2 − t1 − V c2 1− ( x 2 − x1 ) V (5-8) 2 c2 Từ (5-8) ta suy ra rằng những biến cố xảy ra đồng thời ở trong hệ K (t1 = t2) sẽ không đồng thời trong hệ K’ vì t '2 − t '1 ≠ 0 , chỉ có một trường hợp ngoại lệ là khi hai biến cố xảy ra đồng thời tại những điểm có cùng giá trị của x (y có thể khác nhau). Như vậy khái niệm đồng thời là một khái niệm tương đối, hai biến cố xảy ra đồng thời ở trong một hệ qui chiếu quán tính này nói chung có thể không đồng thời ở trong một hệ qui chiếu quán tính khác. Nhìn vào công thức (5-8) ta thấy giả sử trong hệ K: t2 - t1>0 (tức là biến cố A1 xảy ra trước biến cố A2), nhưng trong hệ K’: t’2 - t’1 chưa chắc đã lớn hơn 0, nó phụ thuộc vào dấu V và độ lớn của ( x 2 − x1 ) . Như vậy trong hệ K’ thứ tự của các biến cố có thể bất kì. c2 Tuy nhiên điều này không được xét cho các biến cố có quan hệ nhân quả với nhau. Mối quan hệ nhân quả là mối quan hệ có nguyên nhân và kết quả. Nguyên nhân bao giờ cũng xảy ra trước, kết quả xảy ra sau. Như vậy: Thứ tự của các biến cố có quan hệ nhân quả bao giờ cũng được đảm bảo trong mọi hệ qui chiếu quán tính. Thí dụ: viên đạn được 84 Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein bắn ra (nguyên nhân), viên đạn trúng đích (kết quả). Gọi A1(x1, t1) là biến cố viên đạn bắn ra và A2(x2, t2) là biến cố viên đạn trúng đích. Trong hệ K: t2 > t1. Gọi u là vận tốc viên đạn và giả sử x2 > x1, ta có x2 - x1 = u(t2-t1). Thay vào (5-8) ta có: t '2 − t '1 = t 2 − t1 − V c 2 1− .u ( t 2 − t1 ) V c 2 ⎡ V.u ⎤ ( t 2 − t1 ) ⎢1 − ⎥ c2 ⎦ ⎣ = 1− 2 V 2 (5-9) c2 Ta luôn có u << c, do đó nếu t2 > t1 thì ta cũng có t '2 > t1' . Trong cả hai hệ K và K’ bao giờ biến cố viên đạn trúng đích cũng xảy ra sau biến cố viên đạn được bắn ra. 2. Sự co của độ dài (sự co ngắn Lorentz) Xét hai hệ qui chiếu quán tính K và K'. Hệ K' chuyển động thẳng đều với vận tốc V so với hệ K dọc theo trục x. Giả sử có một thanh đứng yên trong hệ K’ đặt dọc theo trục x’, độ dài của nó trong hệ K’ bằng: l o = x ' 2 − x '1 . Gọi l là độ dài của thanh trong hệ K. Từ phép biến đổi Lorentz ta có: x − Vt 2 , x '2 = 2 2 V 1− c2 x − Vt1 x '1 = 1 V2 1− c2 Ta phải xác định vị trí các đầu của thanh trong hệ K tại cùng một thời điểm: t2 = t1, do đó: x '2 − x '1 = x 2 − x1 1− V2 → l = lo 1− V2 c2 < lo (5-10) c2 Hệ K' chuyển động so với hệ K, nếu ta đứng ở hệ K quan sát thì thấy thanh chuyển động cùng hệ K'. Chiều dài của thanh ở hệ K nhỏ hơn chiều dài của nó ở trong hệ K'. Vậy: “độ dài (dọc theo phương chuyển động) của thanh trong hệ qui chiếu mà thanh chuyển động ngắn hơn độ dài của thanh ở trong hệ mà thanh đứng yên”. Nói một cách khác khi vật chuyển động, kích thước của nó bị co ngắn theo phương chuyển động. Ví dụ: một vật có vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng V=260000 km/s thì 1− V2 ≈ 0,5 khi đó l = 0,5 l o , kích thước của vật sẽ bị co ngắn đi một nửa. Nếu quan c2 sát một vật hình hộp vuông chuyển động với vận tốc lớn như vậy ta sẽ thấy nó có dạng một hình hộp chữ nhật, còn một khối cầu sẽ có dạng hình elipxoit tròn xoay. Như vậy kích thước của một vật sẽ khác nhau tuỳ thuộc vào chỗ ta quan sát nó ở trong hệ đứng yên hay chuyển động. Điều đó nói lên rằng không gian có tính tương đối, nó 85 Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein phụ thuộc vào chuyển động. Khi vật chuyển động với vận tốc nhỏ (V << c), từ (5-10) ta có l = l o , ta trở lại kết quả của cơ học cổ điển, không gian được coi là tuyệt đối, không phụ thuộc vào chuyển động. 3. Sự giãn của thời gian Xét hai hệ qui chiếu quán tính K, K’. Hệ K’ chuyển động đều với vận tốc V so với hệ K dọc theo trục x. Ta đặt một đồng hồ đứng yên trong hệ K’. Xét hai biến cố xảy ra tại cùng một điểm A trong hệ K’. Khoảng thời gian giữa hai biến cố trong hệ K’ là Δt ' = t '2 − t '1 . Khoảng thời gian giữa hai biến cố trong hệ K là Δt = t 2 − t1 . Từ phép biến đổi Lorentz ta có: t1 = t '1 + V c 1− 2 x '1 t2 = , V2 → Δt = t 2 − t1 = c2 V2 c2 < Δt x '2 V2 c2 t '2 − t '1 1− Δt ' = Δt 1 − V 1− c2 x '1 = x ' 2 hay t '2 + V2 c2 (5-11) Như vậy: “ Khoảng thời gian ∆t’ của một quá trình trong hệ K’ chuyển động bao giờ cũng nhỏ hơn khoảng thời gian ∆t của quá trình đó xảy ra trong hệ K đứng yên.” Ví dụ: nếu con tàu vũ trụ chuyển động với vận tốc V=260000 km/s thì ∆t’=0,5.∆t, tức là nếu khoảng thời gian diễn ra một quá trình trên con tàu vũ trụ là 5 năm thì ở mặt đất lúc đó thời gian đã trôi qua là 10 năm. Đặc biệt nếu nhà du hành vũ trụ ngồi trên con tàu chuyển động với vận tốc rất gần với vận tốc ánh sáng V=299960 km/s trong 10 năm để đến một hành tinh rất xa thì trên trái đất đã 1000 năm trôi qua và khi nhà du hành quay trở về trái đất, người đó mới già thêm 20 tuổi, nhưng trên trái đất đã 2000 năm trôi qua. Có một điều cần chú ý là để đạt được vận tốc lớn như vậy thì cần tốn rất nhiều năng lượng, mà hiện nay con người chưa thể đạt được. Nhưng sự trôi chậm của thời gian do hiệu ứng của thuyết tương đối thì đã được thực nghiệm xác nhận. Như vậy khoảng thời gian có tính tương đối, nó phụ thuộc vào chuyển động. Trường hợp vận tốc chuyển động rất nhỏ V << c, từ công thức (5-11) ta có Δt ' ≈ Δt , ta trở lại kết quả của cơ học cổ điển, ở đây khoảng thời gian được coi là tuyệt đối, không phụ thuộc vào chuyển động. 4. Phép biến đổi vận tốc Giả sử v là vận tốc của chất điểm đối với hệ quán tính K, v' là vận tốc của cũng chất điểm đó đối với hệ quán tính K'. Hệ K' chuyển động thẳng đều với vận tốc V đối với hệ K 86 Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein dọc theo phương x. Ta hãy tìm định luật tổng hợp vận tốc liên hệ giữa v và v'. Theo phép biến đổi Lorentz: dx ' = dx − Vdt 1− → v' x V 2 dt − c2 v −V dx ' dx − Vdt = = x V Vv x dt ' dt − dx 1 − c2 c2 V2 vy 1− V2 dx V2 c2 (5-12) V2 c2 = c2 V Vv x dt − dx 1− c2 c2 v' y = c2 1− dy 1 − dy’ = dy → dt ' = , V (5-13) V2 vz 1− 2 c c2 v' z = = (5-14) dz’ = dz → V Vv x dt − dx 1− c2 c2 Các công thức trên biểu diễn định lí tổng hợp vận tốc trong thuyết tương đối. Nếu V/c << 1 thì v' x = v x − V , v' y = v y , v' z = v z như cơ học cổ điển. dz 1 − Nếu v x = c → v' x = c−V =c Vc 1− c2 điều đó chứng minh tính bất biến của vận tốc ánh sáng trong chân không đối với các hệ qui chiếu quán tính. § 4. ĐỘNG LỰC HỌC TƯƠNG ĐỐI 1. Phương trình cơ bản của chuyển động chất điểm Theo thuyết tương đối, khi một vật chuyển động với vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng thì khối lượng của vật không phải là một hằng số, mà phụ thuộc vào vận tốc theo biểu thức: m= mo 1− v (5-15) 2 c2 87 Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein trong đó mo là khối lượng của chất điểm đó trong hệ mà nó đứng yên, được gọi là khối lượng nghỉ. Khối lượng có tính tương đối, nó phụ thuộc hệ qui chiếu. dv không thể mô tả dt chuyển động của chất điểm với vận tốc lớn được. Để mô tả chuyển động cần có phương trình khác tổng quát hơn. Theo thuyết tương đối phương trình đó có dạng: Như vậy, phương trình biểu diễn định luật II Newton F = m F= d ( m v) dt (5-16) Khi v << c , m = mo= const, phương trình (5-16) sẽ trở thành phương trình của định luật II Newton. 2. Động lượng và năng lượng Động lượng của một vật bằng: p = mv = mo 1− v 2 v (5-17) c2 Khi v << c ta thu được biểu thức cổ điển: p = m o v . Ta hãy tính năng lượng của vật. Theo định luật bảo toàn năng lượng, độ tăng năng lượng của vật bằng công của ngoại lực tác dụng lên vật: dE = dA = Fds Để đơn giản ta giả sử ngoại lực F cùng phương với chuyển dời ds , khi đó: ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ m v d o ⎟ds dE = Fds = ⎜ 2 ⎟ dt ⎜ v ⎟⎟ ⎜⎜ 1 − c2 ⎠ ⎝ Sau khi biến đổi ta được: dE = m o v dv 2 ⎞3 / 2 ⎛ v ⎜1 − ⎟ ⎜ c2 ⎟ ⎝ ⎠ Mặt khác từ (5-15) ta có: 88 (5-18) Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein dm = m o v dv (5-19) 2 ⎞3 / 2 ⎛ v ⎟ c 2 ⎜1 − ⎜ c2 ⎟ ⎝ ⎠ So sánh (5-18) và (5-19) ta rút ra: dE = c 2 dm E = mc 2 + C hay trong đó C là một hằng số tích phân. Do m = 0 thì E = 0, ta rút ra C = 0. Vậy: E = mc 2 (5-20) Hệ thức (5-20) được gọi là hệ thức Einstein. Ý nghĩa của hệ thức Einstein: Khối lượng là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính của vật, năng lượng đặc trưng cho mức độ vận động của vật. Như vậy, hệ thức Einstein nối liền hai tính chất của vật chất: quán tính và mức độ vận động. Hệ thức đó cho ta thấy rõ, trong điều kiện nhất định, một vật có khối lượng nhất định thì cũng có năng lượng nhất định tương ứng với khối lượng đó. 3. Các hệ quả a. Năng lượng nghỉ của vật: đó là năng lượng lúc vật đứng yên. E = moc2 Lúc chuyển động vật có thêm động năng Eđ: mc 2 = m o c 2 + Eđ ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 → Eđ = mc 2 − m o c 2 = m o c 2 ⎜ − 1⎟ ⎟ ⎜ v2 1 − ⎟⎟ ⎜⎜ c2 ⎠ ⎝ Khi v << c thì: 1 1− ⎛ v2 ⎞ ⎟ = ⎜1 − ⎜ c2 ⎟ 2 v ⎝ ⎠ −1 / 2 ≈ 1+ 1 v2 + .... 2 c2 c2 ⎛ 1 →Eđ ≈ m o c 1 + ⎜ 2 ⎝ 2⎜ ⎞ mo v2 − 1⎟ = 2 ⎟ 2 c ⎠ v2 Đây là biểu thức động năng trong cơ học cổ điển. b. Năng lượng và động lượng của vật 89 (5-21) Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein E = mc 2 = mo 1− v 2 c2 c2 ⎛ Bình phương hai vế ta có: m o2 c 4 = E 2 ⎜1 − ⎜ ⎝ v 2 ⎞⎟ c 2 ⎟⎠ Thay E = mc 2 và p = mv , ta có: E 2 = m o2 c 4 + p 2 c 2 (5-22) Đây là biểu thức liên hệ giữa năng lượng và động lượng. III. TÓM TẮT NỘI DUNG Cơ học Newton chỉ ứng dụng cho các vật thể vĩ mô chuyển động với vận tốc rất nhỏ so với vận tốc ánh sáng trong chân không. Các vật thể chuyển động với vận tốc lớn vào cỡ vận tốc ánh sáng thì phải tuân theo thuyết tương đối hẹp Einstein. 1. Các tiên đề của Einstein * Nguyên lí tương đối: “ Mọi định luật vật lí đều như nhau trong các hệ qui chiếu quán tính”. * Nguyên lí về sự bất biến của vận tốc ánh sáng: “Vận tốc ánh sáng trong chân không đều bằng nhau đối với mọi hệ quán tính. Nó có giá trị bằng c = 3.108 m/s và là giá trị vận tốc cực đại trong tự nhiên”. 2. Phép biến đổi Lorentz Đó là phép biến đổi giữa các tọa độ không gian và thời gian trong hai hệ qui chiếu quán tính K và K’ chuyển động thẳng đều với nhau với vận tốc V (dọc theo trục x): ⎛ V x ' = α( x − Vt ); y' = y; z' = z; t ' = α⎜⎜ t − ⎝ c2 ⎞ x ⎟⎟ ⎠ ⎛ V ⎞ x = α( x '+ Vt ′); y = y' ; z = z' ; t = α⎜⎜ t '+ x′⎟ 2 ⎟ ⎝ c ⎠ trong đó: α = 1 1− V2 c2 Từ phép biến đổi Lorentz ta rút ra các hệ quả: * Khi vật chuyển động, kích thước của nó co ngắn theo phương chuyển động: l = lo 1− V2 c2 < lo 90 Chương 5: Thuyết tương đối hẹp Einstein * Đồng hồ chuyển động chạy chậm hơn đồng hồ đứng yên: Δt ' = Δt 1 − V2 < Δt c2 * Đối với các biến cố không có quan hệ nhân quả với nhau, khái niệm đồng thời chỉ có tính tương đối. Còn đối với các biến cố có quan hệ nhân quả, thứ tự xảy các biến cố được đảm bảo: nguyên nhân bao giờ cũng xảy ra trước kết quả xảy ra sau, điều này không phụ thuộc hệ qui chiếu. 3. Động lực học tương đối tính Hệ thức Einstein: E = mc2 trong đó: m= mo 1− v2 c2 mo là khối lượng nghỉ của vật (khi vật đứng yên) Năng lượng nghỉ của vật: Eo = moc2 Động năng của vật: ⎛ ⎞ 1 Eđ = E − E o = m o c 2 ⎜ − 1⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ 1− v / c ⎠ Nếu v< 0 Khi D bên trái C: A- , K+, UAK < 0 Khi rọi chùm bức xạ điện từ đơn sắc bước sóng λ thích hợp vào catốt K, chùm ánh sáng này Hình 6-4. Thí nghiệm quang điện sẽ giải phóng các electrôn khỏi mặt bản cực âm K. Dưới tác dụng của điện trường giữa A và K, các quang electrôn sẽ chuyển động về cực dương anốt, tạo ra trong mạch dòng quang điện. Điện thế G đo cường độ dòng quang điện còn vôn kế V sẽ đo hiệu điện thế UAK giữa A và K. Thay đổi UAK ta được đồ thị dòng quang điện như hình 6-5. * UAK > 0: Khi UAK tăng thì I tăng theo, khi UAK đạt đến một giá trị nào đó cường độ dòng quang điện sẽ không tăng nữa và đạt giá trị Ibh, được gọi là cường độ dòng quang điện bão hòa. * Khi UAK= 0 cường độ dòng quang điện vẫn có giá trị I ≠ 0 . Điều đó chứng tỏ quang electrôn bắn ra đã có sẵn một động năng ban đầu. * Để triệt tiêu dòng quang điện ta phải đặt lên A-K một hiệu điện thế ngược Uc sao cho công cản của điện trường ít nhất phải bằng động năng ban đầu cực đại của các electrôn bị bứt khỏi bản K, nghĩa là: eU c = 1 mv o2 max 2 Hình 6-5. Đồ thị I-V (6-17) Uc được gọi là hiệu điện thế cản. 2. Các định luật quang điện và giải thích Từ các kết quả thí nghiệm người ta đã tìm ra ba định luật sau đây gọi là ba định luật quang điện. Các định luật này chỉ có thể giải thích được dựa vào thuyết phôtôn của Einstein. a. Phương trình Einstein Khi có một chùm ánh sáng thích hợp rọi đến catốt, các electrôn tự do trong kim loại hấp thụ phôtôn. Mỗi electrôn hấp thụ một phôtôn và sẽ nhận được một năng lượng bằng h ν . Năng lượng này một phần chuyển thành công thoát Ath electrôn ra khỏi kim loại, phần 102 Chương 6: Quang học lượng tử còn lại chuyển thành động năng ban đầu của quang electrôn. Động năng ban đầu càng lớn khi electrôn càng ở gần mặt ngoài kim loại, vì đối với các electrôn ở sâu trong kim loại, một phần năng lượng mà nó hấp thụ được của phôtôn sẽ bị tiêu hao trong quá trình chuyển động từ trong ra mặt ngoài kim loại. Như vậy động năng ban đầu sẽ cực đại đối với các electrôn ở sát mặt ngoài kim loại. Theo định luật bảo toàn năng lượng, Einstein đã đưa ra phương trình cho hiệu ứng quang điện hν = A th + mv o2 max 2 (6-18) Phương trình này được gọi là phương trình Einstein. b. Định luật về giới hạn quang điện Phát biểu: Đối với mỗi kim loại xác định, hiện tượng quang điện chỉ xảy ra khi bước sóng λ (hay tần số ν ) của chùm bức xạ điện từ rọi tới nhỏ hơn (lớn hơn) một giá trị xác định λ o (ν o ), λo gọi là giới hạn quang điện của kim loại đó. Giới hạn quang điện λ o phụ thuộc vào bản chất của kim loại làm catốt. Định luật này nói lên điều kiện cần để có thể xảy ra hiện tượng quang điện. Ở đây cần nhấn mạnh rằng, nếu chùm sáng tới có bước sóng λ > λ o thì dù cường độ sáng rất mạnh, nó cũng không thể gây ra hiện tượng quang điện. Giải thích: Trong phương trình Einstein (6-15), vì mv o2 max > 0 và đặt A th = hν o nên 2 hν > hν o ⇒ ν > νo hc hc > λ λo ⇒ λ < λo Nghĩa là chùm ánh sáng gây ra hiệu ứng quang điện phải có bước sóng λ nhỏ hơn một giá trị xác định λo = hc/Ath ( λ < λ o ). λo chính là giới hạn quang điện và rõ ràng nó chỉ phụ thuộc vào công thoát Ath, tức là phụ thuộc vào bản chất kim loại làm catốt. c. Định luật về dòng quang điện bão hoà Phát biểu: Cường độ dòng quang điện bão hoà tỉ lệ với cường độ của chùm bức xạ rọi tới. Giải thích: Cường độ dòng quang điện tỉ lệ với số quang electrôn thoát ra khỏi catốt đến anốt trong một đơn vị thời gian. Dòng quang điện trở nên bão hoà khi số quang electrôn thoát khỏi catốt đến anốt trong đơn vị thời gian là không đổi. Số quang electrôn thoát ra khỏi catốt tỉ lệ với số phôtôn bị hấp thụ. Số phôtôn bị hấp thụ lại tỉ lệ với cường độ của chùm bức xạ. Do đó cường độ dòng quang điện bão hoà tỉ lệ thuận với cường độ chùm bức xạ rọi tới. Ne ~ Nph , Nph ~ Iph ⇒ Ne ~ Iph Ibh ~ Ne ⇒ Ibh ~ Iph 103 Chương 6: Quang học lượng tử d. Định luật về động năng ban đầu cực đại của quang electrôn Phát biểu: Động năng ban đầu cực đại của quang electrôn không phụ thuộc vào cường độ chùm bức xạ rọi tới mà chỉ phụ thuộc vào tần số của chùm bức xạ đó. Giải thích: 1 1 hν = A th + mv o2 max = hν o + mv o2 max 2 2 1 mv o2 max = h (ν - ν o ) 2 eU c = h (ν - ν o ) Ta thấy rõ động năng ban đầu cực đại của quang electrôn chỉ phụ thuộc vào tần số của chùm bức xạ điện từ, mà không phụ thuộc vào cường độ của bức xạ đó. Thuyết phôtôn đã giải thích được tất cả các định luật quang điện, nó đã đưa ra một quan niệm mới về bản chất ánh sáng. Theo Einstein, mỗi phôtôn có một năng lượng ε = hν. Tính chất hạt thể hiện ở năng lượng ε gián đoạn. Tính chất sóng thể hiện ở tần số ν (và bước sóng λ) của ánh sáng. Như vậy ánh sáng vừa có tính sóng, vừa có tính hạt. Ta nói rằng ánh sáng có lưỡng tính sóng-hạt. §5. HIỆU ỨNG COMPTON Hiệu ứng Compton là một trong những hiệu ứng thể hiện bản chất hạt của các bức xạ điện từ, đồng thời nó chứng minh sự tồn tại động lượng của các hạt phôtôn. 1. Hiệu ứng Compton Thí nghiệm Compton: Cho một chùm tia X bước sóng λ chiếu vào graphit hay paraphin...Khi đi qua các chất này tia X bị tán xạ theo nhiều phương. Trong phổ tán xạ, ngoài vạch có bước sóng bằng bước sóng λ của chùm tia X chiếu tới còn có những vạch ứng với bước sóng λ ′ > λ (Hình 6-6). Thực nghiệm chứng tỏ rằng bước sóng λ ′ không phụ thuộc cấu tạo của các chất được tia X rọi đến mà chỉ phụ thuộc vào góc tán xạ θ . Độ tăng của bước sóng Δλ = λ '-λ được xác định bởi biểu thức: Δλ = 2λ c sin 2 θ 2 (6-19) trong đó λ c =2,426.10-12 m là một hằng số chung cho mọi chất, được gọi là bước sóng Compton. Theo lí thuyết sóng thì khi tia X truyền đến thanh graphít nó làm cho các hạt mang điện trong thanh (ở đây là electrôn) dao động cưỡng bức với cùng tần số của tia X, do đó các bức xạ tán xạ về mọi phương phải có cùng tần số với bức xạ tới. Như vậy lí thuyết sóng điện từ cổ điển không giải thích được hiện tượng Compton. 104 Chương 6: Quang học lượng tử Hình 6-6. Thí nghiệm Compton Hình 6-7. Va chạm đàn hồi giữa phôtôn và electrôn 2. Giải thích bằng thuyết lượng tử ánh sáng Chúng ta có thể coi hiện tượng tán xạ tia X như một va chạm hoàn toàn đàn hồi giữa một phôtôn và một electrôn trong chất mà tia X chiếu tới (Hình 6-7). Trong phổ tán xạ, những vạch có bước sóng bằng bước sóng của tia X chiếu tới tương ứng với sự tán xạ của tia X lên các electrôn ở sâu trong nguyên tử, các electrôn này liên kết mạnh với hạt nhân, còn vạch có bước sóng Hình 6-8 λ ′ > λ tương ứng với sự tán xạ tia X lên các electrôn liên kết yếu với hạt nhân. Năng lượng liên kết của các electrôn này rất nhỏ so với năng lượng của chùm tia X chiếu tới, do đó các electrôn đó có thể coi như tự do. Vì đây là va chạm đàn hồi giữa phôtôn và electrôn tự do nên ta sẽ áp dụng hai định luật bảo toàn năng lượng và bảo toàn động lượng cho hệ kín “tia X - e-". Giả thiết trước va chạm electrôn (e-) đứng yên. Tia X có năng lượng lớn, khi tán xạ trên electrôn tự do tia X sẽ truyền năng lượng cho electrôn nên sau va chạm vận tốc của electrôn rất lớn, do đó ta phải áp dụng hiệu ứng tương đối tính trong trường hợp này. Chúng ta xét động lượng, năng lượng của hạt phôtôn và electrôn trước và sau va chạm: Trước va chạm: e- đứng yên : Năng lượng : m o c 2 Động lượng : 0 Phôtôn : Năng lượng : E = hν Động lượng : p = mc = Sau va chạm: hν h = c λ Phôtôn tán xạ: Năng lượng : E ' = hν′ Động lượng : p′ = 105 hν ′ h = c λ′ Chương 6: Quang học lượng tử e- : Năng lượng : mo 1- v2 c 2 = mc 2 c2 mo Động lượng : p e = 1- v2 v = mv c2 (mo là khối lượng nghỉ của e- ) Theo định luật bảo toàn năng lượng và động lượng: hν + m o c 2 = hν ′ + mc 2 (6-20) p = p′ + p e (6-21) Gọi θ là góc giữa p và p' (hình 6-8). Sau khi biến đổi các biểu thức (6-20) và (6-21) và sử dụng công thức liên hệ giữa năng lượng và động lượng trong cơ học tương đối tính (5-22), cuối cùng ta được: m o c 2 (ν - ν ' ) = hνν ' (1 - cos θ) = 2hνν ' sin 2 Thay ν = θ 2 (6-22) c vào biểu thức trên ta được: λ λ '-λ = 2 trong đó λ c = θ θ h sin 2 = 2λ c sin 2 moc 2 2 (6-23) h = 2,426.10 12 m là hằng số chung cho mọi chất, gọi là bước sóng moc Compton. Đại lượng Δλ = λ '-λ là độ biến thiên của bước sóng trong tán xạ, nó chỉ phụ thuộc vào góc tán xạ mà không phụ thuộc vào vật liệu làm bia. Khi phôtôn vào sâu trong nguyên tử và va chạm với các electrôn liên kết mạnh với hạt nhân, ta phải coi va chạm này là va chạm của phôtôn với nguyên tử (chứ không phải với electrôn), công thức (6-23) vẫn đúng nhưng phải thay khối lượng của electrôn bằng khối lượng của nguyên tử, nó lớn hơn nhiều lần so với khối lượng của electrôn. Do đó hầu như không có sự thay đổi bước sóng. Như vậy trong bức xạ tán xạ có mặt những phôtôn với bước sóng không đổi. Qua hiệu ứng Compton người ta chứng minh được hạt phôtôn có động lượng p= h / λ. Động lượng là một đặc trưng của hạt. Như vậy tính chất hạt của ánh sáng đã được xác nhận trọn vẹn khi dựa vào thuyết phôtôn giải thích thành công hiệu ứng Compton. III. TÓM TẮT NỘI DUNG 1. Hiện tượng bức xạ nhiệt 106 Chương 6: Quang học lượng tử * Sóng điện từ do các vật phát ra gọi chung là bức xạ. Dạng bức xạ do các nguyên tử và phân tử bị kích thích bởi tác dụng nhiệt được gọi là bức xạ nhiệt. Nếu phần năng lượng của vật bị mất đi do phát xạ bằng phần năng lượng vật thu được do hấp thụ thì bức xạ nhiệt không đổi và được gọi là bức xạ nhiệt cân bằng. * Các đại lượng đặc trưng cho bức xạ nhiệt : - Năng suất phát xạ toàn phần của vật ở nhiệt độ T: RT = dφT dS dφT là năng lượng do diện tích dS của vật phát xạ trong một đơn vị thời gian. - Hệ số phát xạ đơn sắc ở nhiệt độ T, ứng với bước sóng λ: rλ, T = - Hệ số hấp thụ đơn sắc ở nhiệt độ T, ứng với bước sóng λ: a λ, T = dR T dλ dφ 'λ, T dφ λ, T dφ λ, T là năng lượng của bức xạ tới, dφ'λ, T là năng lượng vật hấp thụ. Thực tế vật không hấp thụ hoàn toàn bức xạ tới nên aλ,T < 1. Vật có aλ,T =1 với mọi nhiệt độ T và mọi bước sóng λ gọi là vật đen tuyệt đối. * Định luật Kirchhoff: Tỉ số của hệ số phát xạ đơn sắc và hệ số hấp thụ đơn sắc của một vật ở trạng thái cân bằng nhiệt không phụ thuộc vào bản chất của vật mà chỉ phụ thuộc vào rλ, T = f λ, T , trong đó fλ,T là hàm số nhiệt độ và bước sóng của chùm bức xạ, nghĩa là a λ, T chung cho mọi vật, nên được gọi là hàm phổ biến. Đối với vật đen tuyệt đối: rλ,T = fλ,T ∞ Năng suất phát xạ toàn phần của vật đen tuyệt đối bằng R T = ∫ dR T = ∫ f λ, T dλ 0 * Các định luật phát xạ của vật đen tuyệt đối - Stephan-Boltzmann đã thiết lập được định luật liên hệ giữa RT và nhiệt độ T của vật: R T = σT 4 . Hằng số σ được gọi là hằng số Stephan-Boltzmann. - Wien tìm được định luật liên hệ giữa bước sóng λm của chùm bức xạ mang nhiều b năng lượng nhất (fλ,T lớn nhất) với nhiệt độ tuyệt đối T của vật đó: λ m = , trong T đó b được gọi là hằng số Wien. * Dựa vào quan niệm cổ điển coi các nguyên tử và phân tử phát xạ và hấp thụ năng lượng một cách liên tục, Rayleigh-Jeans đã tìm được một công thức xác định hệ số phát xạ đơn sắc của vật đen tuyệt đối: f ν, T = 2πν 2 c2 kT Nhưng công thức này gặp hai khó khăn chủ yếu: 107 Chương 6: Quang học lượng tử - Công thức này chỉ phù hợp với thực nghiệm ở vùng tần số nhỏ (bước sóng dài), còn ở vùng tần số lớn (bước sóng ngắn), tức là vùng sóng tử ngoại, nó sai lệch rất nhiều. Bế tắc này được gọi là sự khủng hoảng ở vùng tử ngoại. - Từ công thức này ta có thể tính được năng suất phát xạ toàn phần của một vật đen ∞ R T = ∫ f ν, T dν = tuyệt đối ở nhiệt độ T: 0 2πkT ∞ 2 ∫ ν dν = ∞ c2 0 Năng lượng phát xạ toàn phần của vật ở một nhiệt độ T nhất định lại bằng vô cùng. Sở dĩ có kết quả vô lí đó là do quan niệm vật lí cổ điển về sự phát xạ và hấp thụ năng lượng bức xạ một cách liên tục. Để giải quyết những bế tắc trên Planck đã phủ định lí thuyết cổ điển về bức xạ và đề ra một lí thuyết mới gọi là thuyết lượng tử năng lượng. * Thuyết lượng tử của Planck: các nguyên tử và phân tử phát xạ hay hấp thụ năng ε = hν = hc / λ lượng một cách gián đoạn . Xuất phát từ thuyết lượng tử, Planck đã tìm ra công thức của hàm phổ biến, tức là hệ số phát xạ đơn sắc của vật đen tuyệt đối: f ν, T = 2πν 2 2 hν hν / kT c e −1 Công thức của Planck đã khắc phục được khó khăn ở vùng tử ngoại, đường đặc trưng phổ phát xạ của vật đen tuyệt đối tính từ công thức này phù hợp với kết quả thực nghiệm ở mọi vùng nhiệt độ, mọi vùng tần số khác nhau. Từ công thức Planck ta có thể tìm lại được các công thức Stephan-Boltzmann và công thức Wien. 2. Hiệu ứng quang điện Đó là hiệu ứng bắn ra các electrôn từ một tấm kim loại khi rọi vào tấm kim loại đó một bức xạ điện từ thích hợp. Người ta tìm được ba định luật quang điện: * Định luật về giới hạn quang điện: Hiện tượng quang điện chỉ xảy ra khi bước sóng λ của ánh sáng tới phải thỏa mãn: λ < λo hoặc ν > νo λo, νo tùy thuộc vào từng kim loại và được gọi là giới hạn quang điện của kim loại đó. * Định luật về dòng quang điện bão hòa: Cường độ dòng quang điện bão hòa tỷ lệ với cường độ ánh sáng chiếu tới kim loại. * Định luật về động năng ban đầu cực đại: Động năng ban đầu cực đại của các quang electron không phụ thuộc vào cường độ ánh sáng chiếu tới mà chỉ phụ thuộc bước sóng của ánh sáng chiếu tới và bản chất kim loại. Để giải thích ba định luật trên, Einstein đã đưa ra thuyết phôtôn. Thuyết này cho rằng ánh sáng bao gồm những hạt phôtôn. Mỗi phôtôn mang năng lượng ε = hν = hc / λ , chuyển động với vận tốc c=3.108 m/s. Cường độ của chùm sáng tỉ lệ với số phôtôn do nguồn sáng phát ra trong một đơn vị thời gian. 108 Chương 6: Quang học lượng tử Như vậy ánh sáng vừa có tính chất sóng vừa có tính chất hạt. 3. Hiệu ứng Compton Chùm ánh sáng (chùm hạt phôtôn) sau khi tán xạ lên các hạt electrôn tự do thì bước sóng λ của nó tăng lên Δλ = 2λ c sin 2 θ 2 Thực nghiệm đã xác định được độ tăng bước sóng Δλ này. Độ tăng bước sóng không phụ thuộc vật liệu làm bia mà chỉ phụ thuộc vào góc tán xạ. Để giải thích hiệu ứng Compton, người ta đã dựa trên hai định luật bảo toàn: bảo toàn năng lượng (vì va chạm đàn hồi) và bảo toàn động lượng (vì là hệ kín gồm hạt phôtôn và hạt electrôn). Qua hiệu ứng này người ta chứng minh được hạt phôtôn có động lượng p = mc = hν / c = h / λ. Động lượng là một đặc trưng của hạt. Như vậy tính chất hạt của ánh sáng đã được xác nhận trọn vẹn khi dựa vào thuyết phôtôn giải thích thành công hiệu ứng Compton. IV. CÂU HỎI LÍ THUYẾT 1. Định nghĩa bức xạ nhiệt cân bằng. 2. Viết biểu thức và nêu ý nghĩa của các đại lượng: năng suất phát xạ toàn phần, hệ số phát xạ đơn sắc, hệ số hấp thụ đơn sắc của bức xạ nhiệt cân bằng ở nhiệt độ T. 3. Định nghĩa vật đen tuyệt đối. 4. Phát biểu định luật Kirchhoff. Nêu ý nghĩa của hàm phổ biến. Vẽ đồ thị đường đặc trưng phổ phát xạ của vật đen tuyệt đối. 5. Phát biểu các định luật phát xạ của vật đen tuyệt đối . 6. Nêu quan niệm cổ điển về bản chất của bức xạ. Viết công thức của Rayleigh-Jeans. Nêu những khó khăn mà công thức đó gặp phải đối với hiện tượng bức xạ nhiệt. 7. Phát biểu thuyết lượng tử của Planck. Viết công thức Planck. Nêu những thành công của thuyết lượng tử. 8. Định nghĩa hiện tượng quang điện. Phát biểu ba định luật quang điện. 9. Phát biểu thuyết phôtôn của Einstein. Vận dụng thuyết phôtôn để giải thích ba định luật quang điện. 10. Trình bày nội dung hiệu ứng Compton. Trong hiệu ứng này, chùm tia X tán xạ lên electrôn tự do hay liên kết ? 11. Giải thích hiệu ứng Compton. 12. Tại sao coi hiệu ứng Compton là một bằng chứng thực nghiệm xác nhận trọn vẹn tính hạt của ánh sáng. 109 Chương 6: Quang học lượng tử IV. BÀI TẬP Thí dụ 1: Hỏi nhiệt độ của lò nung bằng bao nhiêu cho biết mỗi giây lò phát ra một năng lượng bằng 8,28 calo qua một lỗ nhỏ có kích thước bằng 6,1cm2. Coi bức xạ được phát ra từ một vật đen tuyệt đối. Bài giải: Năng suất phát xạ toàn phần của vật đen tuyệt đối: R = σT 4 , R là năng suất do một đơn vị diện tích phát ra trong một đơn vị thời gian, nên R liên hệ với công suất phát xạ là: P = R.S →T=4 P 8,28.4,18 =4 = 1004 (K ) σ.S 5,67.10 − 8.6,1.10 − 4 Thí dụ 2: Công thoát của kim loại dùng làm catốt của tế bào quang điện A = 5eV. Tìm: 1. Giới hạn quang điện của tấm kim loại đó. 2. Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electrôn khi catôt được chiếu bằng ánh sáng đơn sắc bước sóng λ = 0,2μm. 3. Hiệu điện thế hãm để không có một electrôn nào đến được anôt. Bài giải 1. Giới hạn quang điện của catốt: λ 0 = hc 6,625.10 −34.3.108 = = 2,48.10 −7 m − 19 A 5.1,6.10 2. Vận tốc ban đầu cực đại của các electrôn: hc 1 2 ⎛ hc ⎞ = A + m e v 02 max → v 0 max = ⎜ − A⎟ λ 2 me ⎝ λ ⎠ v 0 max = ⎛ 6,625.10−34.3.108 ⎞ ⎜ − 5.1,6.10−19 ⎟ = 0,65.106 m / s ⎟ 9,1.10−31 ⎜⎝ 0,2.10−6 ⎠ 2 3. Hiệu điện thế hãm: ⎞ 1 hc hc 1 ⎛ 6,625.10−34.3.108 = A + eUh → U h = ( − A) = ⎜ − 5.1,6.10−19 ⎟ = 1,2 V ⎟ 1,6.10−19 λ λ e ⎜⎝ 0,2.10−6 ⎠ Thí dụ 3: Phôtôn mang năng lượng 0,15MeV đến tán xạ trên electrôn tự do. Sau khi tán xạ bước sóng của chùm phôtôn tán xạ tăng thêm ∆λ = 0,015A0. Xác định bước sóng của phôtôn và góc tán xạ của phôtôn. Bài giải: ε = hc hc 6,625.10 −34.3.108 →λ= = = 8,28.10 −12 m −13 λ ε 0,15.1,6.10 Δλ = 2λ c sin 2 θ θ Δλ θ → sin 2 = = 0,31 → sin = 0,556 → θ = 67 0 33′ 2 2 2λ c 2 110 Chương 6: Quang học lượng tử Bài tập tự giải 1. Tìm công suất bức xạ của một lò nung, cho biết nhiệt độ của lò bằng t = 7270C, diện tích của cửa lò bằng 250cm2. Coi lò là vật đen tuyệt đối. Đáp số: P = σT 4S = 1417,5 ( W ) 2.Vật đen tuyệt đối có dạng một quả cầu đường kính d = 10cm ở nhiệt độ T không đổi. Tìm nhiệt độ T, cho biết công suất bức xạ ở nhiệt độ đã cho bằng 12kcalo/phút. Đáp số: P = 12.10 3.4,18 = 836 ( W ) , T = 60 4 P ⎛d⎞ σ.4π⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2 = 828 (K ) 3. Nhiệt độ của sợi dây tóc vonfram của bóng đèn điện luôn biến đổi vì được đốt nóng bằng dòng điện xoay chiều. Hiệu số giữa nhiệt độ cao nhất và thấp nhất bằng 800, nhiệt độ trung bình bằng 2300K. Hỏi công suất bức xạ biến đổi bao nhiêu lần, coi dây tóc bóng đèn là vật đen tuyệt đối. Đáp số: Tmax − Tmin = 80 K, Tmax + Tmin = 2300 K → Tmax = 2340 K, Tmin = 2260 K 2 Pmax ⎛ Tmax =⎜ Pmin ⎜⎝ Tmin 4 ⎞ ⎟⎟ = 1,15 ⎠ 4. Nhiệt độ của vật đen tuyệt đối tăng từ 1000 K đến 3000 K. Hỏi: 1. Năng suất phát xạ toàn phần của nó tăng bao nhiêu lần? 2. Bước sóng ứng với năng suất phát xạ cực đại thay đổi bao nhiêu lần? 4 ⎛T ⎞ R Đáp số: 1. 2 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = 81 lần , R 1 ⎝ T1 ⎠ λ T 2. m1 = 2 = 3 lần λ m 2 T1 5. Một vật đen tuyệt đối ở nhiệt độ T1 = 2900 K. Do vật bị nguội đi nên bước sóng ứng với năng suất phát xạ cực đại thay đổi ∆λ = 9μm. Hỏi vật lạnh đến nhiệt độ bằng bao nhiêu? Đáp số: λ m1 = ⎛ 1 bT1 1 ⎞ b b , λ m2 = → Δλ = b⎜⎜ − ⎟⎟ → T2 = = 290 (K ) T1 T2 T1Δλ + b ⎝ T2 T1 ⎠ 6. Tìm giới hạn quang điện đối với các kim loại có công thoát 2,4eV, 2,3eV, 2eV. Đáp số: λ 01 = λ 03 = hc hc = 5,18.10 − 7 m , λ 02 = = 5,4.10 − 7 m , A1 A2 hc = 6,21.10 − 7 m A3 111 Chương 6: Quang học lượng tử 7. Giới hạn quang điện của kim loại dùng làm catốt của tế bào quang điện λ0 = 0,5μm. Tìm: 1. Công thoát của electrôn khỏi tấm kim loại đó. 2. Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electrôn khi catôt được chiếu bằng ánh sáng đơn sắc bước sóng λ = 0,25μm. Đáp số: 1. λ 0 = 2. hc hc 6,625.10 −34.3.108 →A= = = 39,75.10 − 20 J 6 − A λ0 0,5.10 hc 1 2 ⎛ hc ⎞ 6 = A + me v02max → v0 max = ⎜ − A⎟ = 0,93.10 m / s λ 2 me ⎝ λ ⎠ 8. Chiếu một bức xạ điện từ đơn sắc bước sóng λ = 0,41μm lên một kim loại dùng làm catôt của tế bào quang điện thì có hiện tượng quang điện xảy ra. Nếu dùng một hiệu điện thế hãm 0,76V thì các quang electrôn bắn ra đều bị giữ lại.Tìm: 1. Công thoát của electrôn đối với kim loại đó. 2. Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electrôn khi bắn ra khỏi catôt. Đáp số: 1. hc hc = A + eU h → A = − eU h = 36,32.10 − 20 J λ λ 2. m e v 02 max = eU h → v 0 max = 2 2eU h = me 2.1,6.10 −19.0,76 9,1.10 − 31 = 0,52.10 6 m / s 9. Công thoát của kim loại dùng làm catốt của tế bào quang điện A= 2,48eV. Tìm: 1. Giới hạn quan điện của tấm kim loại đó. 2.Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electrôn khi catôt được chiếu bằng ánh sáng đơn sắc bước sóng λ = 0,36μm. 3. Hiệu điện thế hãm để không có một electrôn nào đến được anôt. Đáp số: 1. λ 0 = hc 6,625.10 −34.3.108 = = 0,5.10 −6 m −19 A 2,48.1,6.10 2. hc 1 = A + m e v 02 max → v 0 max = 2 λ 3. hc = A + eU h → U h == 0,97 V λ 2 me ⎛ hc ⎞ 6 ⎜ − A ⎟ = 0,584.10 m / s ⎝λ ⎠ 10. Khi chiếu một chùm ánh sáng có bước sóng λ = 0,234μm vào một kim loại dùng làm catốt của tế bào quang điện thì có hiện tượng quang điện xảy ra. Biết tần số giới hạn của catôt ν0= 6.1014Hz. Tìm: 1. Công thoát của electrôn đối với kim loại đó. 2. Hiệu điện thế hãm để không có một electrôn nào đến được anôt. 112 Chương 6: Quang học lượng tử 3. Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electrôn. Đáp số: 1. A = hν 0 = 39,75.10 −20 J , 2. hc hc 1 = A + eU h ⇒ U h = ( − A) = 2,83V λ λ e 3. 1 m e v 02 max = eU h → v 0 max = 2 2eU h = 10 6 m / s me 11. Khi chiếu một chùm ánh sáng vào một kim loại dùng làm catốt của tế bào quang điện thì có hiện tượng quang điện xảy ra. Nếu dùng một hiệu điện thế hãm 3V thì các quang electrôn bắn ra đều bị giữ lại. Biết tần số giới hạn của catôt ν0= 6.1014Hz. Tìm: 1. Công thoát của electrôn đối với tấm kim loại đó. 2. Tần số của ánh sáng chiếu tới. 3. Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electrôn khi bắn ra từ catôt. Đáp số: 1. A = hν0 = 39,75.10-20J, 2. hν = A + eU h → ν = 3. v0max = A + eU h = 13,25.1014 Ηz , h 2 (hν - A) =106 m / s me 12. Công thoát của kim loại dùng làm catốt của tế bào quang điện A = 2,15eV. Tìm: 1. Giới hạn quang điện của tấm kim loại đó. 2. Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electrôn khi catôt được chiếu bằng ánh sáng đơn sắc bước sóng λ = 0,489μm. 3. Hiệu điện thế hãm để không có một electrôn nào đến được anôt. Đáp số: 1. λ 0 = 2. 3. hc 6,625.10 −34.3.108 = = 0,578.10 −6 m 19 − A 2,15.1,6.10 hc 1 = A + m e v 02 max → v 0 max = λ 2 2 ⎛ hc ⎞ 6 ⎜ − A ⎟ = 0,37.10 m / s me ⎝ λ ⎠ hc hc 1 = A + eU h → U h = ( − A) = 0,39 V λ λ e 13. Tìm động lượng, khối lượng của phôtôn có tần số ν = 5.1014Hz. Đáp số: p = m= h hν 6,625.10 −34.5.1014 = = = 1,1.10 − 27 kg.m/s 8 λ c 3.10 hν c 2 = 6,625.10 34.5.1014 16 9.10 = 3,7.10 − 36 kg 113 Chương 6: Quang học lượng tử 14. Tìm năng lượng và động lượng của phôtôn ứng với bước sóng λ = 0,6μm. hc 6,625.10 −34.3.108 ε= = = 3,3.10 −19 J 6 − λ 0,6.10 Đáp số: p= h 6,625.10 −34 = = 1,1.10 −27 kg.m/s −6 λ 0,6.10 15. Tìm năng lượng và động lượng của phôtôn ứng với bước sóng λ = 10-12m. hc 6,625.10 −34.3.10 8 = = 19,88.10 −14 J Đáp số: ε = 12 − λ 10 p= h 6,625.10 −34 = = 6,62.10 −22 kg.m/s 12 − λ 10 16. Phôtôn có năng lượng 250keV bay đến va chạm với một electrôn đứng yên và tán xạ Compton theo góc 1200. Xác định năng lượng của phôtôn tán xạ. Đáp số: λ = θ hc = 5.10 −12 m , λ′ − λ = 2λc sin2 → λ′ = 8,64.10−12 m ε 2 Năng lượng của phôtôn tán xạ: ε ′ = hc 6,625.10 −34.3.108 = = 2,3.10 −14 J 12 − ′ λ 8,64.10 17. Phôtôn ban đầu có năng lượng 0,8MeV tán xạ trên một electrôn tự do và thành phôtôn ứng với bức xạ có bước sóng bằng bước sóng Compton. Tính: 1. Góc tán xạ. 2. Năng lượng của phôtôn tán xạ. hc = 0,8.1,6.10 −13 → λ = 1,553.10 −12 m , λ θ λ ′ − λ = 2λ c sin 2 → θ = 50 011′ 2 Đáp số: 1. 2. ε′ = hc = 8,19.10 −14 J = 0,2MeV λ′ 18. Tính năng lượng và động lượng của phôtôn tán xạ khi phôtôn có bước sóng ban đầu λ = 0,05.10-10m đến va chạm vào electrôn tự do và tán xạ theo góc 600, 900. Đáp số: 1.Bước sóng của phôtôn tán xạ: θ λ′ − λ = 2λc sin2 → λ′ = 5.10−12 + 2.2,426.10−12.0,25 = 6,213.10−12 m 2 Năng lượng của phôtôn tán xạ: ε ′ = hc 6,625.10 −34.3.108 = = 3,2.10 −14 J −12 λ′ 6,213.10 114 Chương 6: Quang học lượng tử Động lượng của phôtôn tán xạ: p ′ = h 6,625.10 −34 = = 10 −22 kgm / s 12 − λ ′ 6,213.10 2. Bước sóng của phôtôn tán xạ: 2θ λ′ − λ = 2λc sin 2 −12 → λ′ = 5.10 −12 ⎛⎜ 2 2⎞ + 2.2,426.10 .⎜ ⎟⎟ = 7,426.10−12m ⎝ 2⎠ Năng lượng của phôtôn tán xạ: ε ′ = hc 6,625.10 −34.3.108 = = 2,68.10 −14 J −12 λ′ 7,426.10 Động lượng của phôtôn tán xạ: p ′ = h 6,625.10 −34 = = 0,89.10 −22 kgm / s λ ′ 7,426.10 −12 19. Trong hiện tượng tán xạ Compton, bức xạ Rơngen có bước sóng λ đến tán xạ trên electrôn tự do. Tìm bước sóng đó, cho biết động năng cực đại của electron bắn ra bằng 0,19MeV. ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 − 1⎟ Đáp số: Động năng của electrôn: Eđ = m e c 2 − m 0e c 2 = m 0e c 2 ⎜ ⎜ ⎟ v2 ⎜⎜ 1 − 2 ⎟⎟ c ⎝ ⎠ Theo định Δλ = 2λ c sin 2 θ , 2 luật bảo động toàn năng lượng: cực đại năng hc hc 1 ⎞ ⎛1 − = hc⎜ − ⎟, λ λ′ ⎝ λ λ + Δλ ⎠ θ khi sin 2 = 1 . Do đó 2 Eđ = ⎛ ⎞ 2m 0 c 2 ⎜ λ= 1+ − 1⎟⎟ = 0,037 A 0 ⎜ m 0e c ⎜ Eđ ⎟ ⎝ ⎠ h 20. Tìm động lượng của electrôn khi có phôtôn bước sóng λ = 0,05A0 đến va chạm và tán xạ theo góc θ = 900. Lúc đầu electrôn đứng yên. r r r r r r Đáp số: Theo định luật bảo toàn động lượng: p = p′ + p′e → p′e = p − p′ → p′e2 = p 2 + p′ 2 → p e = h2 2 λ + h2 λ ′2 ≈ 1,6.10 − 22 kg.m / s 115 Chương 7: Cơ học lượng tử CHƯƠNG VII: CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Cơ học lượng tử là môn cơ học nghiên cứu sự vận động của vật chất trong thế giới của các phân tử, nguyên tử (kích thước 10-9 - 10-10 m, gọi là thế giới vi mô, các hạt trong đó gọi là vi hạt). Cơ học lượng tử cung cấp cho ta kiến thức để hiểu các hiện tượng xảy ra trong nguyên tử, hạt nhân, vật rắn... I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU 1. Nắm được giả thuyết de Broglie về lưỡng tính sóng - hạt của vi hạt. Từ đó đi đến biểu thức của hàm sóng ψ và phương trình Schrodinger. 2. Hiểu và vận dụng được hệ thức bất định Heisenberg. 3. Hiểu và vận dụng phương trình Schrodinger để giải một số bài toán cơ học lượng tử đơn giản như hạt trong giếng thế, hiệu ứng đường ngầm, dao động tử điều hòa lượng tử. II. NỘI DUNG §1. LƯỠNG TÍNH SÓNG HẠT CỦA VI HẠT 1. Lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng Như chương trước chúng ta thấy ánh sáng vừa có tính sóng vừa có tính hạt: hiện tượng giao thoa, nhiễu xạ thể hiện tính chất sóng, còn hiệu ứng quang điện, hiệu ứng Compton thể hiện tính chất hạt của ánh sáng. Lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng được Einstein nêu trong thuyết phôtôn: ánh sáng được cấu tạo bởi các hạt phôtôn, mỗi hạt mang năng lượng h E = hν và động lượng p = . Ta thấy λ các đại lượng đặc trưng cho tính chất hạt (E,p) và các đại lượng đặc trưng cho tính chất sóng ( ν, λ ) liên hệ trực tiếp với nhau. Chúng ta sẽ thiết Hình 7-1. Sự truyền sóng phẳng ánh sáng lập hàm sóng cho hạt phôtôn. Xét chùm ánh sáng đơn sắc, song song. Mặt sóng là các mặt phẳng vuông góc với phương truyền sóng. Nếu dao động sáng tại O là 116 Chương 7: Cơ học lượng tử x ( t ) = A cos 2 πν t (7-1) thì biểu thức dao động sáng tại mọi điểm trên mặt sóng đi qua điểm M cách mặt sóng đi qua O một đoạn d là: d d d x ( t - ) = A cos 2πν ( t - ) = A cos 2π(ν t - ) c c λ 2π d = A cos(ω t ) λ (7-2) trong đó c là vận tốc ánh sáng trong chân không, λ là bước sóng ánh sáng trong chân c không: λ = cT = , với T là chu kì , ν là tần số của sóng ánh sáng. Từ hình 7-1 ta có: ν d = r cos α = r.n (7-3) n : vectơ pháp tuyến đơn vị. Thay (7-3) vào (7-2) ta nhận được: d r.n x ( t − ) = A cos 2π (ν t − ) c λ (7-4) Đó là hàm sóng phẳng đơn sắc. Sử dụng kí hiệu ψ cho hàm sóng và biểu diễn nó dưới dạng hàm phức ta có ⎡ ⎛ r.n ⎞⎤ ψ = ψ o exp ⎢− 2π i⎜ ν t − ⎟⎥ ⎜ λ ⎟⎠⎥ ⎢⎣ ⎝ ⎦ Nếu thay ν = (7-5) E h h , p = và h = vào (7-5) ta được: h λ 2π ( ) ⎡ i ⎤ ψ = ψ o exp ⎢ − Et − p r ⎥ ⎣ h ⎦ (7-6) 2. Giả thuyết de Broglie (Đơbrơi) Trên cơ sở lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng, de Broglie đã suy ra lưỡng tính sóng hạt cho electrôn và các vi hạt khác. Giả thuyết de Broglie: Một vi hạt tự do có năng lượng, động lượng xác định tương ứng với một sóng phẳng đơn sắc. Năng lượng của vi hạt liên hệ với tần số dao động của sóng tương ứng thông qua hệ thức: E = hν hay E = hω . Động lượng của vi hạt liên hệ với bước sóng của sóng tương h ứng theo hệ thức: p = hay p = h k . λ k là vectơ sóng, có phương, chiều là phương, chiều truyền sóng, có độ lớn k = de Broglie là sóng vật chất, sóng của các vi hạt. 117 2π . Sóng λ Chương 7: Cơ học lượng tử 3. Thực nghiệm xác nhận tính chất sóng của các hạt vi mô a. Nhiễu xạ của electrôn qua khe hẹp: Cho chùm electrôn đi qua một khe hẹp. Trên màn huỳnh quang ta thu được hình ảnh nhiễu xạ giống như hiện tượng nhiễu xạ của ánh sáng qua một khe hẹp. Nếu ta cho từng electrôn riêng biệt đi qua khe trong một thời gian dài để số electrôn đi qua khe đủ lớn, ta vẫn thu được hình ảnh nhiễu xạ trên màn huỳnh quang. Điều này chứng tỏ mỗi hạt electrôn riêng lẻ đều có tính chất sóng. Hình 7-2. Nhiễu xạ của electrôn qua một khe hẹp b. Nhiễu xạ của electrôn trên tinh thể Thí nghiệm của Davisson và Germer quan sát được hiện tượng nhiễu xạ của electrôn trên mặt tinh thể Ni (hình 7-3). Khi cho một chùm electrôn bắn vào mặt tinh thể Ni, chùm esẽ tán xạ trên mặt tinh thể Ni dưới các góc khác nhau. Trên màn hình ta thu được các vân nhiễu xạ. Hiện tượng xảy ra giống hệt hiện tượng nhiễu xạ của tia X trên mặt tinh thể Ni. Tinh thể Ni như một cách tử nhiễu xạ. Hiện tượng electrôn nhiễu xạ trên cách tử chứng tỏ bản chất sóng của chúng. Thay Ni bằng các tinh thể khác, tất cả các thí nghiệm đều xác nhận chùm electrôn gây hiện tượng nhiễu xạ trên tinh thể. Các vi hạt khác như nơtrôn, prôtôn cũng gây hiện tượng nhiễu xạ trên tinh thể. Các kết quả thí nghiệm trên đều xác nhận tính chất sóng của vi hạt và do đó chứng minh sự đúng đắn của giả thuyết de Broglie. Cuối cùng, ta phải nhấn mạnh về nội dung giới hạn của giả thiết de Broglie. Bước sóng de Broglie tỉ lệ nghịch với khối lượng của hạt: Hinh 7-3. Nhiễu xạ của electrôn trên tinh thể λ= h h = p mv 118 Chương 7: Cơ học lượng tử do đó đối với những hạt thông thường mà khối lượng rất lớn, thậm chí là vô cùng lớn so với khối lượng của electrôn chẳng hạn thì bước sóng de Broglie tương ứng có giá trị vô cùng bé và không còn ý nghĩa để mô tả tính chất sóng nữa. Như vậy, khái niệm lưỡng tính sóng hạt thực sự chỉ thể hiện ở các hạt vi mô mà thôi và sóng de Broglie có bản chất đặc thù lượng tử, nó không tương tự với sóng thực trong vật lí cổ điển như sóng nước hay sóng điện từ... §2. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG Do có lưỡng tính sóng hạt nên qui luật vận động của vi hạt trong thế giới vi mô khác với qui luật vận động của hạt trong thế giới vĩ mô. Một trong những điểm khác biệt đó là hệ thức bất định Heisenberg. Để tìm hệ thức đó chúng ta xét hiện tượng nhiễu xạ của chùm vi hạt qua một khe hẹp có bề rộng b. Sau khi qua khe hạt sẽ bị nhiễu xạ theo nhiều phương khác nhau, tuỳ theo góc nhiễu xạ ϕ , mật độ hạt nhiễu xạ trên màn sẽ cực đại hoặc cực tiểu. Xét tọa độ của hạt theo phương x, nằm trong mặt phẳng khe và song song với bề rộng khe. Tọa độ x của hạt trong khe sẽ có giá trị trong khoảng từ 0 đến b ( 0 ≤ x ≤ b ). Nói cách khác, vị trí của hạt trong khe được xác định với độ bất định Δx ≈ b . Hình 7-4 Sau khi hạt qua khe, hạt bị nhiễu xạ, phương động lượng p thay đổi. Hình chiếu của p theo phương x sẽ có giá trị thay đổi trong khoảng 0 ≤ p x ≤ p sin ϕ , nghĩa là sau khi đi qua khe, hạt có thể rơi vào cực đại giữa hoặc cực đại phụ và p x được xác định với một độ bất định nào đó. Xét trường hợp hạt rơi vào cực đại giữa Δp x ≈ p sin ϕ1 , ϕ1 là góc ứng với cực tiểu thứ nhất: sin ϕ1 = λ . Do đó ta có: b Δx.Δp x ≈ b.p sin ϕ1 = p.λ Theo giả thuyết de Broglie p = h . Thay vào biểu thức trên ta nhận được hệ thức bất λ định Heisenberg: Δx.Δp x ≈ h Lý luận tương tự: Δy.Δp y ≈ h (7-7) Δz.Δp z ≈ h 119 Chương 7: Cơ học lượng tử Hệ thức bất định Heisenberg là một trong những định luật cơ bản của cơ học lượng tử. Hệ thức này chứng tỏ vị trí và động lượng của hạt không được xác định chính xác một cách đồng thời. Vị trí của hạt càng xác định thì động lượng của hạt càng bất định và ngược lại. Ví dụ: Trong nguyên tử e- chuyển động trong phạm vi 10-10 m. Do đó độ bất định về vận tốc là: Δv x = Ta thấy Δp x h 6,625.10 −34 ≈ = = 7.10 6 m / s me m e Δx 9.10 − 31.10 −10 Δv x khá lớn cho nên e- không có vận tốc xác định, nghĩa là e- không chuyển động theo một quĩ đạo xác định trong nguyên tử. Điều này chứng tỏ rằng trong thế giới vi mô khái niệm quĩ đạo không có ý nghĩa. Ta xét hạt trong thế giới vĩ mô khối lượng của hạt m = 10-15 kg, độ bất định về vị trí Δx = 10 −8 m . Do đó độ bất định về vận tốc là Δv x ≈ h 6,625.10 −34 = = 6,6.10 −11 m / s 15 8 − − m.Δx 10 .10 Như vậy đối với hạt vĩ mô Δx và Δv x đều nhỏ, nghĩa là vị trí và vận tốc có thể được xác định chính xác đồng thời. Theo cơ học cổ điển, nếu biết được toạ độ và động lượng của hạt ở thời điểm ban đầu thì ta có thể xác định được trạng thái của hạt ở các thời điểm sau. Nhưng theo cơ học lượng tử thì toạ độ và động lượng của vi hạt không thể xác định được đồng thời, do đó ta chỉ có thể đoán nhận khả năng vi hạt ở một trạng thái nhất định. Nói cách khác vi hạt chỉ có thể ở một trạng thái với một xác suất nào đó. Do đó qui luật vận động của vi hạt tuân theo qui luật thống kê. Ngoài hệ thức bất định về vị trí và động lượng, trong cơ học lượng tử người ta còn tìm được hệ thức bất định giữa năng lượng và thời gian: ΔE.Δt ≈ h (7-8) Ý nghĩa của hệ thức bất định giữa năng lượng và thời gian: nếu năng lượng của hệ ở một trạng thái nào đó càng bất định thì thời gian để hệ tồn tại ở trạng thái đó càng ngắn và ngược lại, nếu năng lượng của hệ ở một trạng thái nào đó càng xác định thì thời gian tồn tại của hệ ở trạng thái đó càng dài. Như vậy trạng thái có năng lượng bất định là trạng thái không bền, còn trạng thái có năng lượng xác định là trạng thái bền. §3. HÀM SÓNG 1. Hàm sóng: Do lưỡng tính sóng hạt của vi hạt ta không thể xác định đồng thời được tọa độ và động lượng của vi hạt. Để xác định trạng thái của vi hạt, ta phải dùng một khái niệm mới đó là hàm sóng. 120 Chương 7: Cơ học lượng tử Theo giả thuyết de Broglie chuyển động của hạt tự do (tức là hạt không chịu một tác dụng nào của ngoại lực) được mô tả bởi hàm sóng tương tự như sóng ánh sáng phẳng đơn sắc ( [ ( ) ⎡ i ⎤ ψ = ψ o exp ⎢− Et − pr ⎥ = ψ o exp − i ω t − k r ⎣ h ⎦ Trong đó E = hω; p = h k và )] (7-9) ψ o là biên độ được xác định bởi: 2 ψ o2 = ψ = ψψ * (7-10) ψ* là liên hợp phức của ψ . Nếu hạt vi mô chuyển động trong trường thế, thì hàm sóng của nó là một hàm phức tạp của toạ độ r và thời gian t ψ(r, t ) = ψ(x, y, z, t ) 2. Ý nghĩa thống kê của hàm sóng Xét chùm hạt phôtôn truyền trong không gian. Xung quanh điểm M lấy thể tích ΔV bất kì (hình 7-5) *Theo quan điểm sóng: Cường độ sáng tại M tỉ lệ với bình phương biên độ dao động sáng tại M: I ~ ψ o2 Hình 7-5. Chùm hạt phôtôn truyền qua thể tích ΔV *Theo quan điểm hạt: Cường độ sáng tại M tỉ lệ với năng lượng các hạt trong đơn vị thể tích bao quanh M, nghĩa là tỉ lệ với số hạt trong đơn vị thể tích đó.Từ đây ta thấy rằng số hạt trong đơn vị thể tích tỉ lệ với ψ o2 . Số hạt trong đơn vị thể tích càng nhiều thì khả 2 năng tìm thấy hạt trong đó càng lớn. Vì vậy có thể nói bình phương biên độ sóng ψ tại M đặc trưng cho khả năng tìm thấy hạt trong đơn vị thể tích bao quanh M . Do đó ψ là 2 2 mật độ xác suất tìm hạt và xác suất tìm thấy hạt trong toàn không gian là ∫ ψ dV . Khi tìm V hạt trong toàn không gian, chúng ta chắc chắn tìm thấy hạt. Do đó xác suất tìm hạt trong toàn không gian là 1: 2 (7-11) ∫ ψ dV = 1 V Đây chính là điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng. Tóm lại: 121 Chương 7: Cơ học lượng tử - Để mô tả trạng thái của vi hạt người ta dùng hàm sóng ψ . - ψ - ψ không mô tả một sóng thực trong không gian. Hàm sóng mang tính chất thống 2 biểu diễn mật độ xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái đó. kê, nó liên quan đến xác suất tìm hạt. 3. Điều kiện của hàm sóng - Hàm sóng phải hữu hạn. Điều này được suy ra từ điều kiện chuẩn hoá, hàm sóng phải hữu hạn thì tích phân mới hữu hạn. Hàm sóng phải đơn trị, vì theo lí thuyết xác suất: mỗi trạng thái chỉ có một giá trị xác suất tìm hạt. 2 - Hàm sóng phải liên tục, vì xác suất ψ - Đạo hàm bậc nhất của hàm sóng phải liên tục. không thể thay đổi nhảy vọt. §4. PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER Hàm sóng de Broglie mô tả chuyển động của vi hạt tự do có năng lượng và động lượng xác định: ( trong đó ) ⎡ i ⎤ ⎡ i ⎤ ψ (r, t ) = ψ o exp ⎢− Et − pr ⎥ = ψ(r ) exp ⎢− Et ⎥ ⎣ h ⎦ ⎣ h ⎦ (7-12) ⎡i ⎤ ψ (r ) = ψ o exp ⎢ p r ⎥ ⎣h ⎦ (7-13) là phần phụ thuộc vào tọa độ của hàm sóng. Ta có thể biểu diễn ψ ( r ) trong hệ tọa độ Đề các như sau: ⎡i ⎤ ψ (r ) = ψ o exp ⎢ (p x x + p y y + p z z)⎥ ⎣h ⎦ (7-14) Lấy đạo hàm ∂ψ / ∂x , ta được: ∂ψ ⎛ i ⎞ = ⎜ p x ⎟ψ ( r ) ∂x ⎝ h ⎠ Lấy đạo hàm bậc hai của ψ theo x: ∂ 2ψ ∂x 2 = p2 p 2x ψ(r ) = − x ψ(r ) h2 h2 i2 Ta cũng thu được kết quả tương tự cho các biến y và z. Theo định nghĩa của toán tử Laplace Δ trong hệ toạ độ Đề các : 122 (7-15) Chương 7: Cơ học lượng tử ⎛ ∂2 ∂2 ∂ 2 ⎞⎟ Δψ (r ) = ⎜ + + ψ (r ) ⎜ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎟ ⎝ ⎠ (7-16) ta được: Δψ(r ) = − p 2x + p 2y + p 2z h2 Gọi Eđ là động năng của hạt, ta viết được: mv 2 p 2 Eđ = = 2 2m ψ(r ) = − hay p2 h2 ψ(r ) (7-17) p2 =2mEđ Thay p2 vào (7-17) và chuyển sang vế trái ta thu được: Δψ (r ) + 2m E d ψ(r ) = 0 (7-18) h2 Phương trình (7-18) được gọi là phương trình Schrodinger cho vi hạt chuyển động tự do. Mở rộng phương trình cho vi hạt không tự do, nghĩa là vi hạt chuyển động trong một trường lực có thế năng U không phụ thuộc thời gian. Năng lượng của vi hạt E = Eđ + U. Thay Eđ = E - U vào (7-18) ta được: Δψ(r ) + 2m h2 [E − U(r)] ψ(r) = 0 (7-19) Biết dạng cụ thể của U( r ), giải phương trình Schrodinger ta tìm được ψ (r ) và E, nghĩa là xác định được trạng thái và năng lượng của vi hạt. Ta giới hạn chỉ xét hệ là kín hay đặt trong trường ngoài không biến thiên theo thời gian. Năng lượng của hệ khi đó không đổi và trạng thái của hệ được gọi là trạng thái dừng. Phương trình (7-19) được gọi là phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng. Cho đến nay ta vẫn xét hạt chuyển động với vận tốc v << c, do đó phương trình (7-9) mô tả chuyển động của vi hạt phi tương đối tính, có khối lượng nghỉ khác không. Phương trình Schrodinger mô tả sự vận động của vi hạt, nó có vai trò tương tự như phương trình của các định luật Newton trong cơ học cổ điển. Một điểm cần chú ý là, phương trình Schrodinger không được chứng minh hay rút ra từ đâu. Nó được xây dựng trên cơ sở hàm sóng phẳng đơn sắc của ánh sáng và giả thuyết sóng-hạt de Broglie, do đó được coi như một tiên đề. Việc mở rộng phương trình Schrodiger cho hạt tự do sang trường hợp hạt chuyển động trong trường thế cũng được coi là một sự tiên đề hóa. Dưới đây là những ứng dụng phương trình Schrodinger trong những bài toán cụ thể như hạt trong giếng thế, hiệu ứng đường ngầm... 123 Chương 7: Cơ học lượng tử §5. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER 1. Hạt trong giếng thế năng Trong những bài toán thực tế, ta thường gặp những trường hợp hạt chỉ chuyển động trong một phạm vi giới hạn bởi một hàng rào thế năng có chiều cao khá lớn, ví dụ như electrôn trong mạng tinh thể hay nuclôn trong hạt nhân bền, khi đó ta nói rằng hạt ở trong giếng thế năng. Hình 7-6. Giếng thế năng Ta hãy xét trường hợp hạt nằm trong giếng thế năng có thành cao vô hạn và chuyển động theo một phương x bên trong giếng thế (hình 7-6). Thế năng U được xác định theo điều kiện: ⎧0 khi 0 < x < a U= ⎨ ⎩∞ khi x ≤ 0 , x ≥ a Như vậy bên trong giếng thế hạt chuyển động tự do và không thể vượt ra ngoài giếng. Phương trình Schrodinger của hạt trong giếng thế (U = 0) một chiều (chiều x) có dạng: d 2ψ dx Đặt k 2 = 2mE h2 2 + 2mE h2 ψ=0 (7-20) , ta có: d 2ψ 2 + k 2ψ = 0 (7-21) dx Nghiệm của phương trình (7-21) có dạng ψ( x ) = A sin kx + B cos kx (7-22) A, B là những hằng số được xác định từ điều kiện của hàm sóng. Theo đầu bài thì hạt chỉ ở trong giếng thế, do đó xác suất tìm hạt tại vùng ngoài giếng thế bằng không và hàm sóng trong các vùng đó cũng bằng 0. Từ điều kiện liên tục của hàm sóng ta suy ra: ψ(0) = 0, ψ(a ) = 0 Thay điều kiện này vào (7-22) ta có ψ(0) = A sin(0) + B = 0 → B = 0 và ψ(a ) = A sin(ka ) = 0 B = 0 nên A phải khác 0 (vì nếu A = 0 thì ψ luôn bằng 0 là một nghiệm tầm thường). Do đó ta có: sin ka = 0 = sin nπ với n = 1,2,... Từ đó rút ra: 124 Chương 7: Cơ học lượng tử k= nπ a (7-23) Như vậy ta có một dãy nghiệm hàm sóng có dạng: ψ n ( x ) = A sin nπ x a (7-24) thỏa mãn điều kiện biên của miền. Hằng số A được xác định từ điều kiện chuẩn hóa (7-11) của hàm sóng. Vì hạt không thể ra khỏi giếng nên xác suất tìm thấy hạt trong giếng là chắc chắn: a 2 ∫ ψ ( x ) dx = 1 0 Tính giá trị tích phân: a 2 2 ∫ A sin 0 nπ A2 a 2nπ A 2a xdx = ( 1 − cos x ) dx = =1 ∫ a 2 0 a 2 Ta tìm được: A= 2 a Như vậy hàm sóng được xác định hoàn toàn: ψ n (x) = 2 nπ sin x a a (7-25) Năng lượng của hạt trong giếng thế cũng được tìm thấy khi ta thay biểu thức (7-23) vào 2mE k2 = : h2 En = π2h 2 2ma 2 n2 (7-26) Từ các kết quả trên ta rút ra một số kết luận sau: a. Mỗi trạng thái của hạt ứng với một hàm sóng ψ n ( x ) b. Năng lượng của hạt trong giếng phụ thuộc vào số nguyên n, nghĩa là biến thiên gián đoạn. Ta nói rằng năng lượng đã bị lượng tử hóa. Với n = 1 ta có mức năng lượng cực tiểu E1 = π2h 2 2ma 2 ≠ 0 ứng với hàm sóng π 2 sin x , mô tả trạng thái chuyển động cơ bản của hạt. Hàm sóng ψ1 ( x ) khác a a không tại mọi điểm trong giếng, chỉ có thể bằng 0 tại các vị trí biên (Hình 7-7). ψ1 = 125 Chương 7: Cơ học lượng tử Khoảng cách giữa hai mức năng lượng kế tiếp nhau ứng với các số nguyên n và n+1 bằng: ΔE n = E n +1 − E n = π2h 2 2ma 2 (2n + 1) (7-27) ΔE n càng lớn khi a và m càng nhỏ. Điều đó có nghĩa là trong phạm vi thế giới vi mô, sự lượng tử hóa càng thể hiện rõ rệt. Cụ thể, nếu xét hạt electrôn m = 9,1.10-31kg, a ~ 5.10-10m thì ∆E ~ 1eV, khoảng cách giữa En+1 và En tương đối lớn, năng lượng bị lượng tử hóa. Nhưng nếu xét một phân tử có m ~10-26kg chuyển động trong miền a ~ 10cm thì khoảng cách giữa các mức năng lượng ΔE~ 10-20eV khá nhỏ. Trong trường hợp này có thể coi năng lượng của phân tử biến thiên liên tục. c. Mật độ xác suất tìm hạt trong giếng: nπ 2 2 ψ n ( x ) = sin 2 x a a tại: (7-28) ⎛ nπ ⎞ Mật độ xác suất cực đại khi: sin ⎜ x ⎟ = ±1 . Do đó xác suất tìm thấy hạt lớn nhất ⎝ a ⎠ a x = (2m + 1) > B 2 . Do đó, có thể đặt B2=0. Từ (7-38) và (7-39) ta rút ra được A1 theo A2, sau đó sử dụng (7-42) ta tính được: ⎛ 1 − in ⎞⎛ i + n ⎞ k a A1 = ⎜ ⎟A 3 e 2 ⎟⎜ 2 2 n ⎠ ⎠⎝ ⎝ (7-44) Từ đây ta thu được hệ số truyền qua: D= Nếu 16n 2 (1 + n ) 2 2 A3 2 A1 2 = 16n 2 2 2 (1 + n ) e − 2k 2 a (7-45) vào cỡ 1 (U0 vào cỡ 10E) thì có thể viết: D ≈ e −2k 2 a ⎧ 2a ⎫ D ≈ exp⎨− 2m(U 0 − E ) ⎬ ⎩ h ⎭ hay (7-46) Từ (7-46) ta nhận thấy rằng, ngay khi năng lượng E của hạt nhỏ hơn thế năng của rào (E - Xem thêm -