Tài liệu Vành phân thức hữu tỷ và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ HẢI HÀ VÀNH PHÂN THỨC HỮU TỶ VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP THÁI NGUYÊN – NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ HẢI HÀ VÀNH PHÂN THỨC HỮU TỶ VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn: T.S TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN – NĂM 2014 Mục lục   Mở đầu........................................................................................................1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị...................................................................2 1.1. Xây dựng vành K[X]...........................................................................2  1.2. Hàm đa thức........................................................................................6  1.3. Số học trong K[X]...............................................................................7  1.4. Không điểm của đa thức......................................................................10  1.5. Đa thức với hệ số phức và thực. ..........................................................12  Chương 2. Phân thức hữu tỷ......................................................................16 2.1. Xây dựng trường các phân thức hữu tỷ ...............................................16  2.2. Phân tích thành phân thức đơn giản.....................................................22  2.3. Thực hành phép phân tích thành phân thức đơn giản (PTĐG).............28  2.4. Công thức nội suy Lagrange ...............................................................38  Chương 3. Một số bài toán liên quan ........................................................42 3.1. Chứng minh đẳng thức với vành phân thức hữu tỷ..............................42  3.2. Một số lớp phương trình, hệ phương trình với hàm phân thức hữu tỷ..45  3.3. Phương trình hàm trong lớp hàm phân thức hữu tỷ .............................53  Kết luận.......................................................................................................58 Tài liệu tham khảo......................................................................................59 Mở đầu Phân thức hữu tỷ  là một  trong những khái niệm  cơ  bản  của chương  trình  Toán ở bậc học phổ thông. Đặc biệt, ở các trường THPT chuyên và các lớp chuyên  toán có rất nhiều dạng toán liên quan đến hàm phân thức. Hơn nữa phân thức hữu tỷ  còn xuất hiện ở cả bậc Đại học trong Đại Số, Giải Tích, Hình Học, Tổ Hợp. Để  phục vụ cho việc dạy học sau này cũng như làm tiền đề để nghiên cứu sâu về phân  thức hữu tỷ. Tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “ Vành phân thức hữu tỷ và ứng dụng”. Luận văn được chia ra làm ba chương.  Chương 1:  Là  kiến  thức  chuẩn  bị  về  vành  đa  thức  bao gồm  cách  xây  dựng vành đa thức K[X],  hàm đa thức, số học trong vành K[X], không điểm  của đa thức và đa thức với hệ số phức và thực, đặc biệt chương này giới thiệu  một cách chứng minh của Định lý cơ bản Đại số (Định lý d’Alambert); giới  thiệu thuật toán chia theo lũy thừa tăng.  Chương 2: Trình bày về phân thức hữu tỷ. Cách xây dựng trường các  phân thức hữu tỷ, cách phân tích thành các phân thức đơn giản cũng như cách  thực hành phép phân tích đơn giản, Định lý Lagrange và ứng dụng trong phân  tích phân thức hữu tỷ  Chương 3: Chương này bao gồm các bài toán trên phân thức hữu tỷ và  một số phương trinh và phương trình hàm trên hàm phân thức hữu tỷ.  Để hoàn thành luân văn này, trước nhất em xin chân thành cảm ơn tới  T.S Trần Nguyên  An  đã dành  thời gian hướng dẫn  chỉ  bảo tận tình giúp đỡ  trong suốt quá trình làm luận văn này.  Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô đã đọc, kiểm  tra, đánh giá và cho những ý kiến quý báu để luận văn được đầy đủ và phong  phú hơn.                                     Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014                                                                            Lê Hải Hà    1        Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong toàn bộ luận văn ta giả sử   K  là một trường.  1.1. Xây dựng vành đa thức K [ X ] 1.1.1. Định nghĩa. (i). Với mọi dãy   an n  thuộc  K n , ta gọi tập hợp các n thuộc   sao cho  an  0  là giá của   an n .  (ii). Đa thức (một ẩn và lấy hệ tử trong  K ) là dãy   an n  bất kỳ thuộc  K n   có giá hữu hạn.  (iii). Tập hợp các đa thức một ẩn và lấy hệ tử trong  K  kí hiệu là  K [ X ] .  Như thế,  K [ X ]    K  và với mọi dãy   an n  thuộc  K :   an n  K [ X ]   N  , n  ,  n  N  an  0   .   Các phần tử của  K [ X ]  cũng được gọi là đa thức hình thức. Ta kí hiệu 0 là dãy  hằng  không  thuộc  K   (xác  định  bởi:  n  , an  0 ),  được  gọi  là  đa  thức  không. Đa thức hằng là các đa thức   an n  thuộc  K [ X ]  sao cho:  n  1, an  0.   Đơn thức là đa thức   an n  thuộc  K [ X ]  bất kỳ sao cho tồn tại  n0   thỏa  mãn:  n  ,(n  n0  an  0).   Nhận xét: (i). Theo 1.1.1, hai đa thức   an n ,  (bn ) n  bằng nhau khi và chỉ khi:  n  , an  bn .     2  (ii).  K [ X ]  K  vì dãy hằng (1) (xác định bởi:  n  , an  1 ) thuộc  K ,  không thuộc  K [ X ] .  Định nghĩa. Cho P  (an ) n  K [ X ]. (i). Nếu  P  0 , số tự nhiên n lớn nhất sao cho  an  0  gọi là bậc của P, và  kí hiệu là  deg( P) .  Phần tử  adeg( P )   được gọi là hệ tử của  hạng tử  có  bậc cao  nhất  (hoặc  hệ  tử  cao  nhất)  của  P.  Ta  nói  rằng  P  là  chuẩn  tắc  khi  và  chỉ  khi P  0  và  adeg( P ) =1. Ta kí hiệu  deg(0)  .   (ii). Nếu  P  0 , định giá của P, kí hiệu là  val ( P) , là số tự nhiên n bé nhất  sao cho  an  0 . Ta quy ước  val (0)  .   Nhận xét:   P  K [ X ]\{0}, val ( P)  deg( P ).   Định nghĩa. Cho  P  (an ) n  K [ X ].   (i). Ta nói rằng  P  là chẵn khi và chỉ khi:  p  , a2 p 1  0.   (ii). Ta nói rằng  P  là lẻ khi và chỉ khi:   p  , a2 p  0.   1.1.2. Mệnh đề (Phép cộng). (i). Cho  P  (an ) n ,  Q   bn n  K [ X ].    Khi đó  P  Q   an  bn n  K [ X ],  xác định phép cộng trên K[X].  (ii). Ta có, với P, Q bất kì thuộc  K [ X ] :   deg( P  Q )  Max(deg( P),deg(Q)).    deg( P)  deg(Q)  deg( P  Q)  Max(deg( P),deg(Q)).    val ( P  Q)  Min(val ( P), val (Q)).    val ( P)  val (Q)  val ( P  Q)  Min(val ( P), val (Q)).   (iii). ( K [ X ] ,+) là một nhóm Abel.  1.1.3. Mệnh đề (Phép nhân).   3  (i).  Cho  P  (an ) n ,  Q   bn n  K [ X ].   Kí hiệu  PQ  là dãy   cn n  K n  xác định bởi:  n n  , cn   ak bnk  k 0  a b .  i j i  j n Khi đó  PQ  K [ X ] , xác định phép nhân trên K[X].  (ii). Ta có:   deg( PQ)  deg( P)  deg(Q) ( P, Q)  ( K [ X ]) 2 ,  val ( PQ)  val ( P )  val (Q). Ta quy ước ở đây rằng:     N  ,     N  ,      N   .            ,         .   (iii). ( K [ X ] ,+, ) là một miền nguyên.  (iv). Các phần tử nghịch đảo của vành  K [ X ]  là các dãy  ( ,0,...,0,...) với    K \ 0.   1.1.4. Mệnh đề (Luật ngoài). (i). Cho    K , P   an n  K [ X ].  Ta kí hiệu   P  ( an ) n , và ta có:     P  K [ X ].   (ii). Ta có:  deg( P)  deg( P)   K \ 0 , P  K [ X ],  .  val (  P )  val ( P )  (iii).  K [ X ] , được trang bị các luật +,   (ngoài),   (trong) là một  K - đại số  kết hợp, giao hoán, có đơn vị.  (iv). Ánh xạ   : K  K [ X ]  là đơn cấu các  K  - đại số.                               1   Mệnh đề trên cho phép “đồng nhất” một phần tử    thuộc K với một đa thức  1  thuộc  K [ X ] , tức là “nhúng”  K  vào  K [ X ] . Ta kí hiệu  X  (0,1,0,...,0,...)     4  là ẩn. Ta sẽ kí hiệu  X 0  1 , và với  n  ,  X n 1  X n X . Đặc biệt:  X 1  X .  Một phép quy nạp đơn giản chứng tỏ răng:   n  * , X n  (0,,0,1,0,,0,),   trong đó 1 ở vị trí thứ n (số 0 đầu tiên ở vị trí thứ 0).  Cho  P   an n  K [ X ], N   sao cho  N  deg  P  , ta có:  P   a0 , a1 ,, aN ,0,,0,  a0 1,0,,0,  a1  0,1,0,,0,    aN  0,,0,1,0,,0,   N  a0  a1 X    aN X N   an X n . n 0 Bây giờ ta bỏ kí hiệu  ( an ) n  đối với một đa thức, và thay vào đó là kí hiệu  N   an X n  (trong đó  N  deg  P  ), hoặc   an X n , hoặc   an X n  (để tránh chỉ rõ  n0 n n0 N bậc  của  đa  thức).  Đối  với  P   an X n  K [ X ]   và  n  ,  phần  tử  an   của  K n 0 được gọi là hệ tử của  X n  trong P, và đơn thức  an X n  là hạng tử bậc n của P.   (v). Họ  vô hạn  ( X n ) n , tức là  1, X , X 2 ,, X n ,  là  một cơ  sở  K   - kgv  K [ X ] ,  gọi  là  cơ  sở  chính  tắc  của  K [ X ] .  Với  n    cố  định,  tập  hợp  P  K [ X ];deg( P)  n  rõ ràng là một  K  - không gian vector con của  K [ X ] ,  thường được kí hiệu  K n [X ] . Họ hữu hạn  1, X , X 2 ,, X n ,  là một cơ sở của  K n [X ] , gọi cơ sở chính tắc của  K n [X ] . Vậy ta có:  dim( K n [X ])  n  1 .  (vi).  Cho  I   là  một  bộ  phận  của  ,  ( Pi )iI   là  một  học  những  đa  thức  thuộc  K [ X ] \{0} sao cho:    i, j   I 2 ,   i  j  deg( Pi   deg( Pj )  .   Thế thì  ( Pi )iI  độc lập trong  K  - kgv  K [ X ] .  1.1.5. Định nghĩa (Phép hợp đa thức).   5  N Cho  P   an X n  K [ X ]  và  Q  K [ X ] . Ta định nghĩa đa thức hợp  P  Q   n 0 N (hoặc  P(Q) ) là:  P  Q = P(Q) =  anQ n . n0 Như vậy, ta được P (Q)  bằng cách thế  Q vào chỗ  X  trong  P .  N 1.1.6. Định nghĩa (Phép đạo hàm). Với  mọi  P   an X n  K [ X ] ,  đa  thức  n 0 đạo hàm của  P , và kí hiệu là  P ' , là đa thức được định nghĩa bởi: N N 1 P '   nan X n1    n  1 an1 X n .   n 1 n0 ' Ta kí hiệu  P    P, P   P ''   P ' , và với  k  bất kỳ thuộc  0 1  ,  P  k   ( P k 1 )' .  Với những kí hiệu trên, nếu  N  0  thì  P  0 .  1.2. Hàm đa thức N 1.2.1. Định nghĩa. Với mọi  P   an X n  K [ X ] . n 0 Ta kí hiệu   P : K  K N              x   an x n   n0 hàm này gọi là hàm đa thức liên kết với  P .  1.2.2. Mệnh đề. Với mọi    K  và  P, Q  K [ X ] :   P   Q  P   Q .   PQ  PQ .   P Q  PQ  1.2.3. Mệnh đề. Ánh xạ  K [ X ]  K K là đơn ánh khi và chỉ khi  K  vô hạn.                                                 P  P     6  Nhận xét: Vậy khi  K  là vô hạn, ta có thể đồng nhất  P  với  P , tức là kí hiệu  P  thay  P .  1.2.4. Định lí (Định lí Taylor đối với đa thức). Cho  P  [X ], N  thỏa  mãn  deg( P)  N , a  . Ta có:  N Pa  X    n0 P n a X n.  n! 1.3. Số học trong K [ X ]   1.3.1. Định nghĩa (Tính chia hết). Cho  ( A, P )  ( K [ X ]) 2 . Ta nói rằng  A  chia  hết  P  (trong  K [ X ] ) và kí hiệu  A | P , nếu tồn tại  Q  K [ X ]  sao cho  P  AQ .  Thay cho  A  chia hết  P , ta cũng nói:  A  là một ước của  P , hoặc  P  là một bội  của  A .  Nhận xét:  A  K [ X ], A|0.    P  K [ X ], (0|P  P  0).    Nếu  kí  hiệu  AK [ X ]   P  K [ X ]; Q  K [ X ],P=AQ ,  với  mọi  A  K [ X ]   thì ta có với mọi  ( A, P )  ( K [ X ])2 , A | P  AK [ X ]  PK [ X ].   1.3.2. Mệnh đề.  A  K [ X ], A | A. A| P   (  K  0 , P   A)  .  ( A, P)  ( K [ X ]) 2 ,    P | A   A| B   A | C .  ( A, B, C )  ( K [ X ])3 ,    B | C   ( A, B, C )  ( K [ X ])3 ,  A | B  A | BC  .  A| B   A | B  C ) .  ( A, B, C )  ( K [ X ])3 ,    A| C    7   A| B   AP | BQ  .  ( A, B, C , Q )  ( K [ X ]) 4 ,    P | Q     A, B, n   ( K [ X ])2   ,  A | B  An | B n  . 1.3.3. Định lý - Định nghĩa (Phép chia Euclide). 2 Cho  ( A, B )  K [ X ]   K [ X ]\ 0  . Tồn tại một cặp duy nhất  (Q, R )   K [ X ]   sao cho:   A  BQ  R    deg( R )  deg( B ).  Đa  thức  Q   (tương  ứng:  R )  gọi  là  thương  (tương  ứng:  dư)  của  phép  chia  Euclide  A  cho  B . 1.3.4. Mệnh đề.     P  K [ X ], a  K , X  a | P  P  a   0 .   1.3.5. Mệnh đề - Định nghĩa (Phép chia theo lũy thừa tăng). Cho  n  , A  K [ X ], B  K [ X ]   sao  cho  val  B   0   (tức  là  B  0   0 ).  Tồn  2 tại một cặp duy nhất (Q, R) thuộc   K  X   sao cho  A  BQ  X n 1 R  và  deg  Q   n .  Đa thức Q (tương ứng R) gọi là thương (tương ứng dư) của phép chia A cho B  tho lũy thừa tăng đến cấp n Chứng minh (i). Sự tồn tại. Quy nạp theo n Trường hợp n = 0  Ta  kí  hiệu  a0 , b0   là  các  hạng  tử  hằng  tương  ứng  của  A, B  (tức  là  a0  A  0  , b0  B  0   0 ),  Q  a0b0 1 . Hạng tử hằng của A – BQ là không, vậy  tồn tại  R  K [ X ]  sao cho A – BQ = XR.Vậy  A  BQ  XR  và  deg  Q   0 .    8  2 Giả sử  n   và giả sử tồn tại   Q, R    K  X   sao cho   A  BQ  X n 1 R   và  deg  Q   n . Theo sự khảo sát trường hợp n = 0, áp dụng cho R thay vì A,  tồn  tại   q, R    K  X   2 1   sao  cho  R  Bq  XR1   và  deg  q   0 .  Đặt  Q1  Q  X n 1q  ta suy ra   A  BQ  X n1  Bq  XR1   BQ1  X n 2 R1.    deg  Q1   n  1. (ii). Tính duy nhất Giả sử   Q1 , R1  ,  Q2 , R2   thích hợp. Suy ra  B  Q1  Q2   X n 1  R2  R1  , do đó  bằng cách chuyển sang các định giá  val  Q1  Q2   n  1  val  R2  R1   n  1 .  Nếu  Q1  Q2  0 , thì  n  deg  Q1  Q2   val  Q1  Q2   n  1 , mâu thuẫn.  Vậy  Q1  Q2 ,  nên  R1  R2 .  Ví dụ Thực hiện  phép  chia  A  2  X  3 X 2  X 3   cho  B  1  4 X  X 2  X 3   (trong   X  ) theo lũy thừa tăng đến cấp 2.  2  X  3X 2  X 3 1 4X  X 2  X 3  7X  X 2  X 3 2  7 X  27 X 2   27 X 2  8 X 3  116 X 3  34 X 4  27 X 5 Suy ra thương  Q  2  7 X  27 X 2  và dư  R  116  34 X  27 X 2   1.3.5. Định nghĩa (UCLN, BCNN). Cho  n  * Tập hợp tất cả các bậc của đa thức  P  thuộc  K [ X ]\ 0 sao cho:    i 1,..., n , P | P     i   9  n ,  P1 ,..., Pn    K [ X ]\ 0  .   là  một  bộ phận  khác  rỗng  của    (vì:   i  1,..., n ,1| Pi  ),  bị  chặn trên  bởi  deg( Pi ) .  Vậy tồn  tại duy  nhất  một  đa thức chuẩn tắc   , khác không, là  ước  chung  của  P1 ,..., Pn , và có bậc cao nhất trong các ước chung của  P1 ,..., Pn . Tương tự  tồn tại duy nhất   một đa thức chuẩn tắc  M , khác không, là bội chung của  P1 ,..., Pn  và có bậc thấp nhất trong các bội chung của  P1 ,..., Pn .  1.3.6. Định lý (UCLN, BCNN). n n i 1 i 1  PK i [ X ]  K [ X ],  PK i [ X ]  MK [ X ].   2  P  Q  UCLN ( P, Q) Ký hiệu: Với  ( P, Q )   K [ X ]\ 0  , ta kí hiệu:     P  Q  BCNN ( P , Q ).  1.3.7. Định lý Bezout.   Cho  n  * n ,   P1 , , Pn    K  X  \ 0  . Để   P1 , , Pn   nguyên tố cùng nhau  n trong toàn thể, điều kiện cần và đủ là tồn tại  U1 , , U n    K  X   sao cho  n  PU i i  1.   i 1 1.3.8. Định lý Gauss. 3  A | BC   A, B, C    K  X  \ 0  ,   A | C.   A  B 1 1.4. Không điểm của đa thức 1.4.1. Định nghĩa. Cho  P  K [ X ], a  K .  Ta nói  rằng  a  là một  không  điểm  (hoặc một nghiệm ) của  P  khi và chỉ khi  P  a   0 .  1.4.2. Mệnh đề. Cho  P  K [ X ], n   , x1 ,..., xn  K  từng đôi khác nhau. Nếu  n x1 ,..., xn  là các không điểm của  P  thì    X  xi  | P .  i 0 1.4.3. Hệ quả.     10   (i). Cho  P  K [ X ], n  . Nếu  deg( P)  n  và nếu  P  có ít nhất  n  không  điểm từng đôi khác nhau, thì  P  0 .  (ii). Nếu một đa thức  P  thuộc  K [ X ] triệt tiêu tại một số vô hạn các phần  tử thuộc  K , thì  P  0 .  1.4.4. Định nghĩa.  Cho  P  K [ X ], a  K ,    .Ta nói rằng  a  là một không điểm cấp bội không thấp hơn   của  P  khi và chỉ khi:     X  a | P .  Ta nói rằng  a  là một không điểm cấp bội đúng bằng   của  P  khi và chỉ  khi:    1  X  a | P  và   X  a  | P .  Nếu    1  (tương ứng: 2, tương ứng: 3), ta nói    là không điểm đơn (tương  ứng: kép, tương ứng: bội ba).  1.4.5. Mệnh đề - Định nghĩa.  Cho  P  K [ X ]\ 0 ,  a  K .  Nếu     là không   điểm  của  P ,  thì  tồn  tại      duy  nhất  sao  cho  a   là  không  điểm  cấp  bội  đúng  bằng     của  P ,  và  ta  nói  rằng     là  cấp  bội  của không điểm  a   trong  (hoặc của)  P .  1.4.6. Mệnh đề. Cho  n   , x1 ,..., xn  K  từng đôi khác nhau.   n A    X  xk  , B  K [ X ].   k 1 Thế thì ta có:    A | B  k  1,..., n , B  xk   0 .   1.4.7. Định nghĩa (Đa thức tách). Một đa thức  P  của  K [ X ] được gọi là đa  thức  tách  (hay:  tách  được)  trên  K   khi  và  chỉ  khi  tồn  tại    K \ 0 , n   , x1 ,..., xn  K sao cho:  n P     X  xi  .  i 1 Ở đây  x1 ,..., xn  không nhất thiết khác nhau từng đôi.     11   1.4.8. Định nghĩa (Hàm đối xứng cơ bản).  Cho  n  , x1 ,..., xn  K .  Các  biểu thức sau:  n  1   xi  x1  x2  ...  xn. i 1  2  xi1 xi2   x1 x2  x1 x3  ...  x1 xn    x2 x3  ...  x2 xn  1i1 i2  n  ...   xn 2 xn1  xn2 xn   xn 1 xn .     k  xi1 xi2 ...xik (1  k  n). 1i1 i2 ...ik  n   n  x1 x2 ...xn . gọi là các hàm cơ bản của  x1 ,..., xn .  1.4.9. Mệnh đề (Hệ thức giữa hệ tử và không điểm).   n Cho  n  * ,  a0 ,..., an   K n 1  sao cho  an  0  và  P   ai X i . Giả thiết  P   i 0 tách được trên  K  và ký hiệu  x1 ,..., xn  là các không điểm của  P  (không nhất  thiết từng đôi khác nhau), sao cho:  n P  an   X  xi  .  i 1 Thế thì ta có:  1   an 1 k a n a ,..., k   1 nk ,..., n   1 0 .  an an an trong đó   1 ,..., n  chỉ các hàm đối xứng cơ bản của  x1 ,..., xn .  1.5. Đa thức với hệ số phức và thực Do trường   là vô hạn, nên ta đồng nhất đa thức  P  thuộc  [X ]  và hàm  đa thức  P . Tương tự do trường   vô hạn nên ta cũng đồng nhất  P  [X ]  và  hàm đa thức  P .  1.5.1. Định lí (Định lí d’Alembert). Mọi đa thức khác hằng thuộc  [X ]  có ít  nhất một không điểm trong  . Ta nói rằng trường   là đóng đại số.    12  Chứng minh:  Ta  chứng  minh  bằng  phản  chứng:  Giả  sử  tồn  tại  P  [X ] ,  khác  hằng  và  không  có  một  không  điểm  nào  trong  .  Ta  ký  hiệu  n n  deg( P)  1,  P   ai X i , và   :    i 0                                                           z  P  z    (i). Vì    z    , ta có:                  z     A  0, B  0, z  ,  z  B    z   A  .  Đặc biệt tồn tại  B  *  , sao cho:  z  ,  z  B    z     0   .  Mặt khác,    liên tục trên tập compact   z  ; z  B , nên    bị chặn và đạt  các biên trên tập compact này, vậy tồn tại  z0   sao cho:   ( z0 )=  Inf   (z) .  z B Vì hơn nữa:  z  ,  z  B    z     0     z0   .  nên ta kết luận:     z0   Inf   z  .  z (ii). Theo công thức Taylor đối với đa thức ta có:  h  , P  z0  h   P ( z0 )  hP ' ( z0 )  ...  hn  n P  z0  .  n! Ta sẽ chứng minh rằng có thể chọn  h  sao cho  P( z0  h)  P  z0  .  Tức là    z0  h    ( z0 ) , điều này sẽ cho ta một mâu thuẫn.  Vì  P    n  z0   n!, an  0 , nên tồn tại  k  13  *  sao cho:   P  k   z0   0  .   l  l  1,, k  , l  k  P  z0   0   Nói khác đi,  k  là số nguyên bé nhất    1 sao cho  P  k  z0   0 .  Vậy ta có:      z0    z0  .  P ( z0  h ) k P n P h  , 1 h  ...  h P ( z0 ) k ! P ( z0 ) n ! P ( z0 ) k n Theo sự khảo sát của các căn bậc  k  trong  , tồn tại  w *  sao cho:  P   ( z0 ) .  k ! P ( zo ) k wk   Vậy ta có (với  t  ):   t   P  z0   w   1  t k   (r k ) .  t 0 P ( z0 ) Vậy tồn tại  >0 sao cho:   t   P  z0   w t   0,  ,   1 .  P ( z0 ) điều này mâu thuẫn với định nghĩa  z0 .  1.5.2. Hệ quả.   (i). Mọi đa thức khác hằng trong  [X ]  đều tách được trên  .  (ii). Các đa thức bất khả quy thuộc  [X ]  là các đa thức bậc 1.  1.5.3. Mệnh đề (Đa thức với hệ số thực). (i). Cho  P   X  . Ta có:  P    X    z  14    , P ( z )  P z .  (ii). Cho  P   X , a  ,   . Để cho  a  là không điểm cấp bội không  thấp hơn    (tương ứng: đúng bằng   ) của   P , cần và đủ là  a  là không điểm  cấp bội không thấp hơn    (tướng ứng: đúng bằng   ) của  P .  (iii). Các đa thức bất khả quy của   X   là:   Các đa thức bậc nhất hoặc các đa thức bội hai biệt thức <0.                                                          15  Chương 2 Phân thức hữu tỷ 2.1. Xây dựng trường các phân thức hữu tỷ Ta ký hiệu  E  =  K [ X ]  x ( K [ X ] \{0}) và xét quan hệ    xác định trong  E  bởi   A, S      B,T     AT   BS .  Quan hệ    là một quan hệ tượng đương trong  E .  Thật vậy , tính phản xạ và tương đối xứng là hiển nhiên , còn về tính bắc cầu  thì với mọi   A, S   ,  B, T  ,  C ,U   thuộc  E    ( A, S )( B, T )  AT  BS     ( B , T )  ( C , U ) BU  CT .    ( AU )T  ( AT )U  ( BS )U  ( BU ) S  (CT ) S  (CS )T  AU  CS ,vì  T   0  và  K  X   là vành nguyên.  Tập thương  E /   được ký hiệu là  K [ X ]  và các phần tử của nó được gọi là    E , ta ký  các phân thức hữu tỷ một ẩn và lấy hệ tử trong  K . Với   A, S  hiệu  A  là lớp modun    của   A, S  . Như thế với mọi   A, S  ,  B, T   thuộc  E   S ta có  A B   AT  BS .   S T 2.1.1. Phép cộng trọng K(X). Ta định nghĩa một luật trong , ký hiệu + , trong  E  bởi   A, S    B,T        AT    BS ,  ST .   (ta có  ST   0 , vì  S   0  và  T  0 ).  Luật + này tương thích với   (C.1.1) tức là:  ( A, S ),( B, T ),(C ,U )  E ,( A, S )( B, T )  (( A, S )  (C ,U ))(( B, T )  (C ,U )).   Thật vậy nếu   A, S    B, T  , thì  AT     BS  từ đây    16  ( AU  CS )TU  ATU 2  CSTU  BSU 2  CSTU  ( BU  CT ) SU .  Vậy  ( AU  CS , SU )( BU  CT , TU ).   Tức là   (( A, S )  (C ,U ))(( B, T )  (C ,U )).1   Vậy ta có thể định nghĩa một luật cộng , vẫn ký hiệu là + , trong  K  X   bởi   ( A, S ),( B, T )  E , A B AT  BS .    S T ST 2.1.2. Phép nhân trong K(X). Tương tự như ở 2.1.1 ta chứng minh rằng ta có thể định nghĩa một luật nhân   trong K(X) , ký hiệu   (hoặc bằng cách không viết dấu nào cả ) như sau  ( A, S ),( B, T )  E , A B AB .    S T ST 2.1.2.1. Định lý – Định nghĩa.  K  X  ,  ,  là một, gọi là trường các phân thức hữu tỷ một ẩn và lấy hệ tử trong  K . Chứng minh: Ta có thể chứng minh dễ dàng các tính chất sau :  0 (i). Kết hợp , giao hoán có   (ký hiệu 0) là phẩn tử trung hòa , và mọi phẩn tử  1 A A A  thuộc   K  X   đều có một phần tử đối là  , ký hiệu là -  .  S S S 1 (ii).  Kết hơp, giao hoán ,  phân phối đối với  +, có    (ký hiệu 1  )  là phần tử  1 trung hòa , và với mọi phần tử  một phần tử nghịch đảo , đó là  A A  thuộc   K  X  –{0} , ta có A    0 và   có  S S S .  A 2.1.3. Luật ngoài trong K(X).   17