Tài liệu Vận dụng mối liên hệ giữa vòng tròn lượng giác và dao động điều hòa để giải nhanh và giải các bài toán khó liên quan đến dao động điều hòa”

MỤC LỤC Trang PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ………………………………………………………. 2 PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ……………………………………………. 3 I. Cơ sở lí thuyết……………………………...................................................... 3 II. Vận dụng…………………………………………………………………… 3 1. Vận dụng giải nhanh các bài tập……………………………………………. 3 1.1. Cơ sở lý thuyết……………………………………………………………. 3 1.2. Áp dụng phương pháp vào giải một số bài bài tập dao động cơ………….. 4 1.3. Mở rộng…………………………………………………………………… 7 2. Giải các bài toán khó liên quan đến dao động điều hòa…………………….. 7 PHẦN III: KẾT LUẬN………………………………………………………... 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………….. 1 17 PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lí do chọn đề tài Ngày nay thay vì việc dùng phương pháp đại số giải các bài toán về dao động điều hòa còn phương pháp “Vận dụng vòng tròn lượng giác” để giải nhanh và giải các bài toán khó về dao động điều hòa. Trong thực tế có nhiều bài toán nếu không vận dụng phương pháp vòng tròn lượng giác thì thậm chí còn không giải được bài toán. XuÊt ph¸t tõ thùc tÕ ®ã t«i m¹nh d¹n nghiªn cøu ®Ò tµi: “Vận dụng mối liên hệ giữa vòng tròn lượng giác và dao động điều hòa để giải nhanh và giải các bài toán khó liên quan đến dao động điều hòa” 2. Môc ®Ých nghiªn cøu + Tìm ra phương pháp giúp học sinh giải nhanh nhất các bài toán liên quan đến mối quan hệ giữa li độ, vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa. + Tìm ra phương pháp giải các bài toán khó liên quan đến dao động điều hòa bằng phương pháp ứng dụng vòng tròn lượng giác. 3. §èi tîng nghiªn cøu + Kiến thức liên quan đến dao động điều hòa. + Các kiến thức của phần lượng giác trong toán học. 4. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu Để hoàn thành đề tài này tôi chọn phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: + Đọc các sách giáo khoa phổ thông sách tham khảo phần Dao động điều hòa, phần sóng cơ học, sóng điện từ, dòng điện xoay chiều… - Phương pháp thống kê: + Chọn các baøi coù trong chương trình phổ thông, caùc baøi thöôøng gaëp trong caùc kyø thi. - Phương pháp phân tích và tổng hợp kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và thực tế đời sống. 5. Phạm vi nghiên cứu Các bài tập có liên quan đến dao động điều hòa, sóng cơ học, dao động điện từ, dòng điện xoay chiều. PHẦN II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2 I. Cơ sở lí thuyết Cơ sở lí thuyết của ®Ò tµi: “Vận dụng mối liên hệ giữa vòng tròn lượng giác và dao động điều hòa để giải nhanh và giải các bài toán khó liên quan đến dao động điều hòa” là mối quan hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều. - Giả sử một điểm M chuyển động tròn đều trên đường tròn theo chiều dương với tốc độ góc . - P là hình chiếu của M lên Ox. �   (rad) - Giả sử lúc t = 0, M ở vị trí M0 với POM 1 0 �  ( t   ) rad - Sau t giây, vật chuyển động đến vị trí M, với POM 1 - Toạ độ x = OP của điểm P có phương trình: M x = OMcos(t + ) Đặt OM = A + t M0 x P P1  x = Acos(t + ) O Vậy: Dao động của điểm P là dao động điều hoà. II. Vận dụng. 1. Vận dụng giải nhanh các bài tập. 1.1. Cơ sở lý thuyết + x = Acos(t+) + v = x’ = -Asin(t + ), + a = v’ = -A2cos(t + ) * Cách biểu diễn: + Li độ là hàm cosin nên được biểu diễn bằng - A trục cosin có chiều dương hướng từ trái sang phải với biên độ là A + Vận tốc là hàm trừ sin nên được biểu diễn a bằng trục ngược với trục sin có chiều dương hướng từ trên xướng dưới với biên độ là A -A 2A A x - 2A O A v + Gia tốc là hàm trừ cosin nên được biểu diễn bằng trục ngược với trục cosin có chiều dương hướng từ phải sang trái với biên độ là 2A 3 * Ý nghĩa: + Khi ta biễu diễn một trong 3 đại lượng x, v, a ta có thể xác định được ngay hai đại lượng còn lại một cách nhanh chóng. + Từ hình vẽ có thể nhận biết được nhiều thông tin bổ ích về tích chất của một vật dao động điều hòa. 1.2. Áp dụng phương pháp vào giải một số bài bài tập dao động cơ * Ưu điểm: Cho kết quả nhanh hơn bất kỳ phương pháp nào khác, ngay cả với phương pháp dùng vòng lượng giác nhưng chỉ biểu diễn cho một đại lượng. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Phương trình vận tốc của vật dao động điều hoà là v = 16 cos(2t + /6) cm/s. Li độ của vật tại thời điểm t = 22,25s là: A. x = 4 3 cm. B. x = 4cm. C. x = 8 3 cm. 3 D. x = 4 2 cm. Lời giải Cách 1: Dùng phương pháp đại số. Ta có v = 16 cos(2t + /6) = -16 sin(2t - /3) Suy ra A = 4 cm,  = 2 rad/s. Vậy x = 4cos(2t - /3) cm Li độ của vật tại thời điểm t = 22,25s là: x = 4cos(2.22,5 - /3) = 4 3 cm. Cách 2. Dùng vòng tròn lượng giác cos = -sin( - /2) Ta có v = 16 cos(2t + /6) = -16 sin(2t - /3) Ngoài ra ta có: lẻ = = /2 Từ hình vẽ ta suy ra: x = 4 3 cm. Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa theo phương trình: x = 4cos(2t - /3) cm. Tìm vận tốc của vật tại thời điểm t = 2,5 s kể từ thời điểm ban đầu? Lời giải: 4 Cách 1: Dùng phương pháp đại số. Từ phương trình x = 4cos(2t - /3) cm. Suy ra A = 4 cm,  = 2 rad/s. Vậy phương trình vận tốc của vật là: v = - 8 cos(2t - /3) cm/s. Vận tốc của vật tại thời điểm t = 4,25 s kể từ thời điểm ban đầu là: v = - 8 cos(2. 4,25 - /3) = - 4 cm/s. Cách 2. Dùng vòng tròn lượng giác Ta có lẻ = = Từ hình vẽ suy ra: v = - 4 cm/s Ví dụ 3: Gia tốc của một vật dao động điều hòa có phương trình a = -162cos(2t - /6) cm. Tìm vận tốc của vật tại thời điểm t = 4,25 s kể từ thời điểm ban đầu? Lời giải Cách 1: Dùng phương pháp đại số. Từ phương trình a = -162cos(2t - /6) cm. Suy ra: A = 4 cm,  = 2 rad/s. Vậy phương trình vận tốc của vật là: v = - 8 sin(2. 4,25 - /6) Vận tốc của vật tại thời điểm t = 4,25 s kể từ thời điểm ban đầu là: v = - 4 cm/s. Cách 2. Dùng vòng tròn lượng giác Ta có  = = /2 Từ hình vẽ ta có: v = - 4 cm/s 5 Ví dụ 4: Vận tốc của một vật dao động điều hòa có phương trình v = -10sin(2t + /3) cm/s. Tìm gia tốc của vật tại thời điểm t = 5,25 s kể từ thời điểm ban đầu? Lời giải Cách 1: Dùng phương pháp đại số. Từ phương trình v = -10sin(2t + /3) cm/s. Suy ra: A = 4 cm,  = 2 rad/s. Vậy phương trình gia tốc của vật là: a = -162cos(2t + /3) cm/s2. Gia tốc của vật tại thời điểm t = 5,25 s kể từ thời điểm ban đầu là: a = -162cos(2.5,25 + /3) = 102 (cm/s2) Cách 2. Dùng vòng tròn lượng giác Ta có: lẻ = = /2 Từ hình vẽ ta có: a = 102 (cm/s2) CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG VD 1: x = 6cos(2t)cm. Tính a khi v = - 6 lần thứ 2 ?Lấy 2 = 10 A. 120 3 cm/s2 B. 120 cm/s2 C. - 120 cm/s2 D. - 120 3 cm/s2 VD 2: x = 6cos(2t)cm. Tính v tại t = 11,5s ? A. – 85,6cm/s B. 6cm/s C. 0cm/s D. 85,6cm/s VD 3: v = 8cos(2t + /2)cm/s. Tính x tại t = 1,5s ? A. 1,5cm B. -4cm C. 4cm D. 0cm VD 4: v = 4cos(0,5t - /6)cm/s. Tính thời điểm đầu tiên vật qua x = 4 cm theo chiều dương ? A. 2/3s B. 8/3s C. 2s D. 4/3s VD 5: v = 4cos(0,5t - /6)cm/s. Thời điểm nào sau đây vật qua x = 4cm theo chiều dương? 6 A. 11/3s B. 7/3s C. 6s D. 5/3s VD 6: v = 24cos(4t + /6)cm/s. Tính quãng đường vật đi được từ t1 = 2/3s đến t2 = 37/12s A. 96cm B. 141cm C. 234cm D. 117cm 1.3. Mở rộng Phương pháp này còn có thể áp dụng trong các bài toán về dao động điện từ, dòng điện xoay chiều I0 - I0 uL - Q0 U0L Q0 q - U0L O I0 U0C -U0C U0L O uL I0 i u - U0L C i 2. Giải các bài toán khó liên quan đến dao động điều hòa. Ví dụ 1 Cho hai mạch dao động lí tưởng L1C1 và L2C2 với C1 = C2 = 0,1μF, L1 = L2 = 1 μH. Ban đầu tích điện cho tụ C1 đến điện áp 6 V và tụ C2 đến điện áp 12 V rồi cho mạch dao động. Thời gian ngắn nhất kể từ khi mạch dao động bắt đầu dao động thì điện áp trên 2 tụ C1 và C2 chênh lệch nhau 3V? 106 A. s 6 106 B. s 3 106 C. s 2 106 D. s 12 Lời giải Hai mạch dao động có C1 = C2 ; L1 = L2 nên ω1 = ω2 = ω = 1 L1C1 Khi cho hai mạch bắt đầu dao động cùng một lúc thì điện áp giữa hai bản tụ của mỗi mạch dao động biến thiên cùng tần số góc. Ta biểu diễn bằng hai đường tròn như hình vẽ Tại thời điểm t kể từ lúc bắt đầu dao động, điện áp trên mỗi tụ là u1, u2 Theo bài toán: u2 – u1 = 3V (1) 7 U u 02 Từ hình vẽ, ta có: U = u2 = 2 (2) 01 1 π Δα π 106 Δt = � = = (s) 3ω 3ω 3 U Từ (1) và (2), ta được: u1 = 3V =Δα01= � 2 . Ví dụ 2 Một sóng cơ học lan truyền trên mặt thoáng chất lỏng nằm ngang với tần số 10 Hz, tốc độ truyền sóng 1,2 m/s. Hai điểm M và N thuộc mặt thoáng, trên cùng một phương truyền sóng, cách nhau 26 cm (M nằm gần nguồn sóng hơn). Tại thời điểm t, điểm N hạ xuống thấp nhất. Khoảng thời gian ngắn nhất sau đó điểm M hạ xuống thấp nhất A. 11/120 (s) B. 1/60 (s) là C. 1/120 (s) D. 1/12 (s) Lời giải Bước sóng  = v/f = 0,12m = 12cm MN = 26 cm = (2 + 1/6) . Điểm M dao động sớm pha hơn điểm về thời gian là 1/6T. Tại thời điểm t N hạ N  xuống thấp nhất, M đang đi lên sau đó t = 11T/12 M sẽ hạ xuống thấp M  nhất: t = 11T/12 = 11/120 (s). Chọn đáp án A Ví dụ 3 : Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng ổn định. Trên dây A là một điểm nút, B là điểm bụng gần A nhất với AB = 18 cm, M là một điểm trên dây cách B một khoảng 12 cm. Biết rằng trong một chu kỳ sóng, khoảng thời gian mà độ lớn vận tốc dao động của phần tử B nhỏ hơn vận tốc dao động cực đại của phần tử M là 0,1 s. Tốc độ truyền sóng trên dây là? Lời giải AB   �   4 AB  72 cm . M cách A: d = 6cm hoặc 30 cm 4 Phương trình sóng ở M: uM  2a.sin Do đó vM max  2a.sin 2 d 2 d .sin t � vM  2a.sin .cost .   2 d  a.   8 Phương trình sóng ở B: uB  2a.sin t � vB  2a.cost Vẽ đường tròn suy ra thời gian vB < vMmax là T/3. Do đó T = 0,3 s.  72 Từ đó tính được tốc độ truyền sóng: v  T  0,3  240 cm / s. Ví dụ 4. Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng ổn định. Trên dây A là một nút, B là điểm bụng gần A nhất, AB = 14 cm. C là một điểm trên dây trong khoảng AB có biên độ bằng một nửa biên độ của B. Khoảng cách AC là: A. 14/3 cm B. 7 cm C. 3,5 cm D. 1,75 cm Lời giải  = 4.AB = 56 cm Dùng liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều a a/2 B AC = 30 0 C A 30 � = 14/3 cm 360 Ví dụ 5. Đặt điện áp xoay chiều: u = 220 2 cos100t (V) ( t tính bằng giây) vào hai đầu mạch gồm điện trở R=100Ω, cuộn thuần cảm L = 318,3 mH và tụ điện C = 15,92μF mắc nối tiếp. Trong một chu kì, khoảng thời gian điện áp hai đầu đoạn mạch sinh công A. 20ms dương cung cấp điện B. 17,5ms năng cho C. 12,5ms mạch D. 15ms Lời giải Chu kì của dòng điện T = 0,02 (s) = 20 (ms) ZL = 314. 318,3. 10-3 = 100; ZC = Góc lệch pha giữa u và i: tan = 1 314.15,92.10  6 Z L  ZC R = 200; Z = 100 = - 1 ------>  = -  Biểu thức cường độ dòng điện qua mạch i = 2,2cos(100t + 9 4  4 ) (A) 2  bằng: Biểu thức tính công suất tức thời: p = ui = 484 2 cos100t cos(100t +  4 ) Điện áp sinh công dương cung cấp điện năng cho mạch khi p > 0  hay biểu thức Y = cos100t cos(100t +  Xét dấu của biểu thức Y = cos.cos( + cos > 0 khi -  2  << 2 )>0 4 4 ) trong một chu kì 2 M : + N Vùng phía phải đường thẳng MM’ cos( +  4 hay khi - ) > 0 khi 3 4 <<  2  4 <+  4  < + + 2 : ++ Vùng phía dưới đường thẳng NN’ N’ + Theo hình vẽ dấu màu đỏ ứng với dấu của cos dấu màu đen ứng với dấu của cos(+ khi cos và cos( +  4  4 M’ ) ta thấy vùng Y < 0 ) trái dấu từ N đến M và từ N’ đến M’ phần còn lại Y > 0 do cos và cos( +  4 ) cùng dấu . Như vậy trong một chu kì Y < 0 trong t = 2 Suy ra Y > 0 trong khoảng thời gian 3 T 8 = T 4 T 4 Do đó Trong một chu kì, khoảng thời gian điện áp hai đầu đoạn mạch sinh công dương cung cấp điện năng cho mạch bằng: 3. 20 4 = 15 ms. Chọn đáp án D Ví dụ 6. Một mạch dao động LC lí tưởng. Ban đầu nối hai đầu cuộn cảm thuần với nguồn điện có r = 2, suất điện động E. Sau khi dòng điện qua mạch ổn định, người ta ngắt cuộn dây với nguồn và nối nó với tụ điện thành mạch kín thì điện tích cực đại của tụ là 4.10-6C. Biết khoảng thời gian ngắn nhất kể từ khi năng lượng từ trường đạt giá trị cực đại đến khi năng lượng trên tụ bằng 3 lần năng lượng trên cuộn cảm là  6 .10  6 (s). Giá trị của suất điện động E là: 10 A. 2V. B. 16V. C. 8V. D. 4V Lời giải W = Wt + Wđ từ đây suy ra i  = 4Wt   0 I 2  1 2 1 LI o 4. Li 2 2 2 và dùng giản đồ ta thấy Wđ = 3Wt 60 Io Io/2 Từ đường tròn LG ta tính được T = .10-6 (s. Như vậy ta sẽ tính được: I0 = Q0 LC = 8.10  6 10  6 = 8 (A) E = I0 r = 16 (V) Ví dụ 7. Hai con lắc lò xo giống nhau có khối lượng vật nặng 10 (g) và độ cứng lò xo là 1000 N/m. Dao động điều hòa dọc theo 2 đường thẳng song song liền kề nhau (vị trí cân bằng của hai vật đều ở gốc tọa độ). Biên độ của con lắc thứ nhất gấp đôi biên độ của con lắc thứ hai. Biết rằng hai vật gặp nhau khi chúng chuyển động ngược chiều. Khoảng thời gian giữa 3 lần hai vật nặng gặp nhau liên tiếp là: A. 0,02 s. B. 0,03 s. C. 0,01 s. Lời giải Khoảng thời gian giữa 3 lần liên tiếp hai vật nặng gặp nhau là T Với T = 0,02s 11 C. 0, 04 s Ví dụ 8. Hai chất điểm dao động điều hoà trên trục Ox với các phương trình lần lượt là x1  2 Acos( 2 2  T 3 t )cm , x2  Acos( t  )cm . Biết 1  . Vị trí mà hai chất điểm gặp T1 T2 2 T2 4 nhau lần đầu tiên là: A. x = 1,5A. B. x =  A . 2 C. x =  2A . 3 D. x = A. Lời giải Ta có: T1 3  suy ra T2 4 2 /1 = 3/4 Bằng phương pháp thử ngược đáp án, ta thấy đáp án -A thỏa mãn điều kiện 2 /1 = 3/4 Ví dụ 9. Hai vật dao động trên phương trục 0x có phương trình x 1 = A1cos(2,5t /3) cm, x2 = A2cos(2,5t - /6) cm. Sau 0,1 s kể từ thời điểm t = 0 thì hai vật ngang qua nhau lần thứ nhất. Tỉ số A1/A2? Lời giải Ta có:  = = /4. Từ hình vẽ ta có: x1 = A1cos150 x2 = A2cos150 Vì hai vật gặp nhau nên x1 = x2. Suy ra A1 = A2 Ví dụ 10. Hai vật dao động điều hòa theo hai trục tọa độ song song cùng chiều. Phương trình dao động của hai vật tương ứng là x 1 = Acos(3πt + φ1) và x2 = Acos(4πt + φ2). Tại thời điểm ban đầu, hai vật đều có li độ bằng A/2 nhưng vật thứ nhất đi theo chiều dương trục tọa độ, vật thứ hai đi theo chiều âm trục tọa độ. Khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái của hai vật lặp lại như ban đầu là: 12 A. 3s. B. 2s. C. 4s. D. 1 s. Lời giải Ta có: N1 = t/T1 N2 = t/T2 Suy ra: n1/n2 = T2/T1 = 3/4 Vậy khi vật 1 thực hiện 3 dao động thì vật 2 thực hiện 4 dao động, khi đó hai vật cùng trở về trạng thái như ban đầu. Suy ra t = 3.2/3 = 2s Ví dụ 11. Hai chất điểm M1, M 2 cùng dao động điều hoà trên trục Ox xung quang gốc O với cùng tần số f, biên độ dao động của M 1 , M 2 tương ứng là 3cm, 4cm và dao động của M 2 sớm pha hơn dao động của M1 một góc  / 2 . Khi khoảng cách giữa hai vật là 5cm thì M 1 và M 2 cách gốc toạ độ lần lượt bằng : A. 3,2cm và 1,8cm B. 2,86cm và 2,14cm C. 2,14cm và 2,86cm D. 1,8cm và 3,2cm Lời giải Hai dao động thành phần  xM 3.costcm         x xM  xN 3.cost  4.cost    2  xN 4.cost  2 cm    x x1 Biểu diễn dao động khoảng cách giữa hai điểm M và N ta có tại thời điểm khoảng cách hai vật bằng 5 nghĩa là đường x(t) nằm ngang. Khoảng cách từ M và N đến O bằng : 13 x2 9  x  3 . cos   cm 1,8cm M  5   x 4.sin  16 cm 3,2cm  N 5 Ví dụ 12. Con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang với biên độ A. Đúng lúc lò xo giãn nhiều nhất thì người ta giữ cố định điểm chính giữa của lò xo khi đó con lắc dao động với biên độ A’. Tỉ số A’/A bằng: A. B. ½ 2/2 C. D. 1 3/2 Lời giải Tại biên dương A vận tốc vận bằng 0. Khi đó giữ cố định điểm chính giữa thì k’=2k. Vật dao động xung quang vị trí cân bằng mới O’ cách biên dương A một đoạn x.  1 1 A x= 2 (l 0  A)  2 l0  2 Ta có: Khi đó 2 A  v  A'  x     x  . 2  '  2 O   O’ M Phương án B. Ví dụ 13. Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ A. Đúng lúc con lắc qua vị trí có động năng bằng thế năng và đang giãn thì người ta cố định một điểm chính giữa của lò xo, kết quả làm con lắc dao động điều hòa với biên độ A’. Hãy lập tỉ lệ giữa biên độ A và biên độ A’. A. A 3 2 B. A 6 4 C. 1 2 D. 3 4 Lời giải Khi Wđ = Wt ----> Wt = W/2 kx 2 1 kA 2  2 2 2 -----> x =  A 2 2 O 14   O’ M vật ở M, cách VTCB OM = A 2 2 mv02 1 kA 2 kA 2 Wđ   v02  Khi đó vật có vận tốc v0: 2 2 2 2m Sau khi bị giữ độ cứng của lò xo k’ = 2k. Vật dao động quanh VTCB mới O’ 1 A 2 1 A 2 (l 0  )  l0  2 2 2 4 MO’ = x0 = Tần số góc của dao động mới ’ = A’2 = x02  2 0 2 v ' với l0 là chiều dài tự nhiên của lò xo k' 2k  m m kA 2 A A2 A2 3A2  2m    2k 8 8 4 8 m . Biên độ dao động mới A’ 2 = -------> A’ = 15 A 6 4 PHẦN 3. KẾT LUẬN Trong quá trình áp dụng dạy cho học sinh, tôi thấy việc hướng dẫn cho học sinh sử dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa để giải nhanh và giải một số bài toán khó đã giúp cho kiến thức của các em thêm phong phú và tự tin hơn trên hành trang thi đại học, cao đẳng. Qua đề tài này, tôi mới đề xuất được một số rất ít dạng bài tập, còn khá nhiều bài toán tương tự về con lắc lò xo, con lắc đơn, dao động điện, dòng điện xoay chiều khi áp dụng phương pháp này sẽ cho kết quả nhanh hơn phương pháp đại số thông thường và vẫn đảm bảo chính xác, khoa học. Bài viết không tránh khỏi những khiếm khuyết rất mong được sự góp của các đồng chí đồng nghiệp. Tôi xin trân thành cảm ơn! 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Lương Duyên Bình, Vũ Quang, Nguyễn Thượng Chung, Tô Giang, Trần Chí Minh, Ngô Quốc Quynh, vật lí 12 - cơ bản, NXB Giáo dục. [2]. Nguyễn Thế Khôi, Vũ Thanh Khiết, Nguyễn Đúc Hiệp, Nguyễn Ngọc Hưng, Nguyễn Đức Thâm, Phạm Đình Thiết, Vũ Đình Túy, Phạm Quí Tư, vật lí 12 - nâng cao, NXB Giáo dục. [3]. Bùi Quang Hân, Giải toán vật lí 12 - NXB Giáo dục, 2004 [4]. Vũ Thanh Khiết, Nguyễn Thế Khôi, Bài tập vật lí 12 Nâng cao - NXB Giáo dục, 2008 [5]. Tuyển tập đề thi đại học môn Vật lí các năm 2007 đến 2013. [6]. Các tài liệu tham khảo trên trang web Thuvienvatly.com.vn 17