Tài liệu Vai trò của phân tích khoa học luận lịch sử toán học trong nghiên cứu và thực hành dạy - học môn toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM KHOA TOÁN - TIN BÁO CÁO TÓM TẮT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ Mã số: B2001 - 23 - 02 Tên đề tài VAI TRÒ CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU VÀ THỰC HÀNHDẠY - HỌC MÔN TOÁN Chủ nhiệm đề tài : TS. Lê Thị Hoài Châu Thời gian thực hiện : Từ tháng 5 - 2001 đến tháng 3 - 2003 Ngày viết báo cáo : 10 - 3 - 2003 TP.Hồ Chí Minh 2003 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM KHOA TOÁN – TIN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ Mã số: B2001 -23 -02 VAI TRÒ CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU VÀ THỰC HÀNH DẠY – HỌC MÔN TOÁN Cơ quan chủ trì: Chủ nhiệm đề tài: Cùng tham gia nghiên cứu: TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH 280 An Dƣơng Vƣơng, Quận 5, TPHCM TS.LÊ THỊ HOẠI CHÂU Cán bộ giảng dạy khoa Toán-Tin, ĐHSP TP. HCM TS. LÊ VĂN TIẾN Cán bộ giảng dạy khoa Toán – Tin, ĐHSP TP.HCM TP. Hồ Chí Minh 2003 MỤC LỤC PHẦN I: ................................................................................................................................. 1 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ..................................................................................... 1 CHƢƠNG 1: ................................................................................................................... 1 KHOA HỌC LUẬN VÀ PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ ................................... 1 I. Về thuật ngữ Khoa học luận ......................................................................................... 1 II. Khoa học luận, lịch sử và phân tích khoa học luận lịch sử của một khoa học.............. 3 CHƢƠNG 2: LỢI ÍCH SƢ PHẠM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN ........................ 5 A. Những giả thuyết về học tập ....................................................................................... 5 B. Lợi ích sƣ phạm của Phân tích khoa học luận ............................................................ 6 I. Khoa học luận – đối tƣợng tri thức – đối tƣợng dạy học............................................... 6 II. Khoa học luận và lý thuyết tình huống ......................................................................... 8 III. Khoa học luận và chƣớng ngại................................................................................. 10 IV. Khoa học luận và quan niệm .................................................................................... 13 V. Kết luận .................................................................................................................... 19 CHƢƠNG 3: VÍ DỤ VỀ LỢI ÍCH SƢ PHẠM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN ...... 20 A. Trƣờng hợp khái niệm vectơ hình học ...................................................................... 20 I. Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành lý thuyết vectơ ........................................ 20 II. Những trở ngại cho sự xuất hiện khái niệm vectơ và sự phát triển của tính toán vectơ ...................................................................................................................................... 31 III. Lợi ích sƣ phạm của phân tích khoa học luận .......................................................... 33 B. TRƢỜNG HỢP PHÉP BIẾN HÌNH ........................................................................... 38 I. Những điểm chủ yếu rút ra từ phân tích khoa học luận lịch sử hình thành và phát triển lý thuyết các phép biến hình............................................................................................. 38 II. Lợi ích sƣ phạm ........................................................................................................ 42 II.2. Điểm hóa các hình hình học - một chƣớng ngại khoa học luận. Vai trò của hình học giải tích ............................................................................................................................ 43 C. Trƣờng hợp số phức .............................................................................................. 48 I. Giai đoạn 1: Cách viết trung gian – mầm mống đầu tiên của số phức ........................ 48 II. Giai đoạn 2: ký hiệu hình thức các đại lƣợng ảo ....................................................... 53 III. Giai đoạn 3: Biểu diễn hình học các đại lƣợng ......................................................... 56 IV. Giai đoạn 4: Đại số các số phức .............................................................................. 61 KẾT LUẬN .......................................................................................................................... 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................................... 66 PHẦN PHỤ LỤC ................................................................................................................... 2 4. Kinh phí đã chi ............................................................................................................ 2 1 PHẦN I: BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CHƢƠNG 1: KHOA HỌC LUẬN VÀ PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ I. Về thuật ngữ Khoa học luận I.1. Nguồn gốc Thuật ngữ Khoa học luận chỉ mới xuất hiện ở thế kỷ 19, đƣợc cấu tạo từ hai gốc Hy lạp épistèmè (khoa học) và logo (nghiên cứu về). Trong Vocabulaire technique et critique de la Phylosophie của Lalande (đầu thế kỷ 20), ta tìm thấy định nghĩa sau đây: "Từ này chỉ triết học của các khoa học nhƣng với nghĩa rõ hơn một chút. Nó không phải là một nghiên cứu về các phƣơng pháp khoa học - đó là đối tƣợng của Phƣơng pháp luận và là một phần của Logic học. Nó cũng không phải là một sự tổng hợp hay tiên đoán các luật khoa học. ... Về cơ bản, khoa học luận là một nghiên cứu mang tính phê phán những nguyên lý, những giả thuyết và những kết quả của các khoa học khác nhau, nhằm xác định nguồn gốc logic (chứ không phải là nguồn gốc tâm lý), giá trị và ảnh hƣởng khách quan của chúng." Nhƣ thế, Khoa học luận xuất hiện nhƣ là một bộ phận của Triết học các khoa học. Vậy thì Khoa học luận và Triết học các khoa học đƣợc phân biệt với nhau ở chỗ nào? Nhƣ J L. Dorrier (1996) đã chỉ ra, Triết học của các khoa học hƣớng đến việc vạch rõ đặc trƣng của những đối tƣợng gắn liền với tri thức khoa học và xác định tính hợp thức của tri thức. Nói cách khác, hai mục đích dƣờng nhƣ không thể tách biệt của Triết học các khoa học là: - nghiên cứu những đặc trƣng của tri thức (nhà bác học nói về cái gì, và nói nhƣ thế nào về cái đó?) - nghiên cứu tính thực tiễn khoa học của một đối tƣợng tri thức (chân lý khoa học là gì? có chân lý khoa học với điều kiện nào có thể nói về chân lý khoa học trong những giới hạn nào?) Theo nghĩa hẹp thì Khoa học luận đƣợc giới hạn ở mục đích đầu tiên, nghĩa là nó nghiên cứu những điều kiện cho phép sản sinh ra các kiến thức khoa học, quá trình hình thành và phát triển của các kiến thức đó. I.2. Các trào lưu khác nhau 2 Cùng với thời gian, nghĩa của thuật ngữ Khoa học luận đã tiến triển, đƣợc mở rộng và trở nên đa dạng hơn nhiều. Drouin (1991) đã phân biệt bốn trào lƣu khoa học luận khác nhau, trong đó, do mục đích nghiên cứu của đề tài này, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến hai trào lƣu: • Khoa học luận lịch sử: nghiên cứu quá khứ để khám phá ra quá trình hình thành nên một tri thức (những vấn đề gắn liền với nó, những trở ngại, những bƣớc nhảy quan niệm cho phép tri thức nảy sinh, v.v....) • Khoa học luận phát sinh: nghiên cứu các đặc trƣng của tri thức khoa học và thử tìm lại những đặc trƣng đó trong sự phát sinh tri thức ở trẻ em thông qua quan sát. Nhƣ thế, khoa học luận phát sinh quan tâm đến sự phát triển kiến thức ở cá thể, nghiên cứu quá trình xây dựng những kiến thức "chấp nhận đƣợc" và bƣớc chuyển từ tình trạng tháp đến tình trạng kiến thức tăng vọt. Cách tiếp cận này (của Piaget) đã tách khoa học luận ra khỏi triết học, tạo nên một khoa học nhân văn và thực nghiệm Giữa khoa học luận lịch sử và khoa học luận phát sinh có một quan điểm chung: sự phát sinh tri thức là một quá trình gồm nhiều giai đoạn. I.3. Khoa học luận trong didactic toán Những gì đã trình bày ở trên cho ta thấy thuật ngữ khoa học luận đã đƣợc sử dụng với nhiều nghĩa khác nhau. Vậy thuật ngữ này đƣợc hiểu nhƣ thế nào trong các nghiên cứu về hoạt động dạy và học toán? Trả lời cho câu hỏi này, J-L. Dorrier nói: trong didactic1 ta quan tâm đến Khoa học luận theo nghĩa nó nghiên cứu những điều kiện sản sinh ra các tri thức khoa học, giúp ta hiểu rõ hơn mối liên hệ giữa việc xây dựng tri thức trong cộng đồng các nhà bác học với việc dạy và học tri thức này (J-L. Doƣier, 1996, tr 21). Nhƣ vậy, khoa học luận nghiên cứu những điều kiện cho phép nảy sinh tri thức khoa học, quan tâm đến sự tiến triển của các tri thức hay kiến thức. Ở đây thuật ngữ tiến triển đƣợc hiểu theo nghĩa rộng: nó có thể liên quan đến sự biến đổi tình trạng kiến thức của một hệ thống, một thể chế hay một cá thể. Hơn thế, nó chú ý không chỉ đến những tƣ tƣởng tiến bộ mà còn đến cả những trì trệ, những bƣớc lùi. Các thuật ngữ tri thức và kiến thức thì đƣợc hiểu theo nghĩa chủng loại: một kiến thức gắn liền với một cá thể, thể hiện qua những hoạt động trong một lớp tình huống xác định, và chỉ có thể trở thành tri thức sau khi đã đƣợc phi cá nhân hóa, phi ngữ cảnh hóa. Cách hiểu này nhấn mạnh tính chất động cũng nhƣ chế độ nhiều thể chế của kiến thức và tri thức, hơn thế nữa, nó có thể thích hợp ở tất cả những nơi mà kiến thức hay tri thức đang trên đƣờng xây dựng, tiến triển hoặc biến đổi. Thừa nhận quan điểmcủa Dorrier J-L., chúng tôi định nghĩa: Phân tích khoa học luận một tri thức là nghiên cứu lịch sử hình thành tri đó nhằm vạch rõ: - nghĩa của tri thức, những bài toán, những vấn đề mà tri thức đó cho phép giải quyết; - những trở ngại cho sự hình thành tri thức ; 1 "Didactic" là cách viết phiên âm của didactícs trong tiếng anh và didactique trong tiếng pháp. Tùy theo ngữ cảnh, thuật ngữ này có thể đƣợc hiểu theo những nghĩa khác nhau. Trong câu trên, nó có thể đƣợc dịch sang tiếng Việt là lý luận dạy-học. Didactic toán có nghĩa là lý luận dạy-học môn toán. 3 - những bƣớc nhảy trong quan niệm, những điều kiện sản sinh ra tri thức; - những quan niệm cóthể gắn liền với tri thức. - Phân tích khoa học luận sẽ giúp ta hiểu rõ mối liên hệ giữa quá trình xây dựng tri thức trong cộng đồng khoa học với việc dạy và học tri thức này. II. Khoa học luận, lịch sử và phân tích khoa học luận lịch sử của một khoa học. Cách hiểu trên về thuật ngữ khoa học luận khá gần gũi với trào lƣu khoa học luận lịch sử. Nó dẫn đến chỗ thừa nhận mối liên hệ khăng khít giữa khoa học luận với lịch sử các khoa học. Thoạt nhìn, có thể cho rằng Lịch sử các khoa học chỉ giới hạn ở việc liệt kê các sự kiện khoa học, cùng lắm là vạch ra những triển vọng thông qua tƣ tƣởng tổng quát ở từng thời đại. Nhƣng cách nhìn này quá hạn hẹp, nhƣ G. Canghuilhem đã nhấn mạnh: "Lịch sử của một khoa học không phải là bộ sƣu tập đơn giản các tiểu sử, lại càng không phải là bảng niên đại đƣợc tô điểm bởi những giai thoại. Nó phải là lịch sử của sự hình thành, sự biến dạng, sự chỉnh lý các khái niệm khoa học". Nghiên cứu lịch sử một khoa học không đơn giản chỉ là mô tả các sự kiện, mà còn phải xem xét tính gắn bó nội tại chặt chẽ thể hiện qua những khái niệm, những vấn đề đƣa lại nghĩa cho khoa học đó. Theo quan niệm này thì Lịch sử một khoa học không thể tách rời khỏi những câu hỏi có tính khoa học luận. Nhƣ thế, nghiên cứu lịch sử của một khoa học có mối liên hệ chặt chẽ với phân tích khoa học luận về khoa học đó. Thậm chí, theo J-L. Dorier (1997), nghiên cứu lịch sử và nghiên cứu khoa học luận không thể tách rời nhau, chúng chỉ có thể thiên về phía lịch sử hay về phía khoa học luận nhiều hơn mà thôi. Tuy nhiên, Khoa học luận và Lịch sử các khoa học không đồng nhất với nhau. Bachelard phân biệt hai đối tƣợng này qua những ý kiến sau: • "Nhà lịch sử xem các tƣ tƣởng nhƣ là những sự kiện. Nhà khoa học luận thì lại nắm lấy các sự kiện nhƣ là những tƣ tƣởng bằng cách lồng chúng vào trong một hệ thống tƣ duy." • "Lo lắng về tính khách quan, nhà lịch sử ghi vào danh mục mọi tƣ liệu, không đi đến chỗ đo đƣợc những biến đổi nhận thức trong sự giải thích cho cùng một bản văn. Thực ra thì ở cùng một thời đại, dƣới cùng một từ, có thể có những khái niệm khác nhau biết bao nhiêu. Cái làm cho ta có thể nhầm lẫn chính là ở chỗ một từ đƣợc dùng đồng thời vừa để chỉ định vừa để giải thích. Tên gọi là một, nhƣng cách giải thích thì lại khác nhau. [...] Nhà khoa học luận phải cố gắng nắm bắt khái niệm khoa học trong quá trình tiến triển, bằng cách thiết lập các bậc thang quan niệm về mỗi khái niệm, chỉ rõ nó đƣợc hình thành nhƣ thế nào và có liên hệ ra sao với những khái niệm khác." Để minh họa ý kiến này, chúng tôi lấy thuật ngữ "phép biến hình" làm ví dụ. Nhƣ sẽ phân tích rõ ở chƣơng 3, trong một nghiên cứu khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm "phép biến hình", thuật ngữ này đƣợc lấy những nghĩa khác nhau ở những giai đoạn khác nhau. Chẳng hạn, vào cuối thế kỷ 16, phép biến hình chƣa đƣợc định nghĩa, chỉ đƣợc mô tả 4 qua kết quả tác động của nó lên một đối tƣợng hình học. Ở giai đoạn này ngƣời ta xem xét các hình hình học trong tổng thể về hình dạng, kích thƣớc, không nhìn nó nhƣ một tập hợp điểm, và phép biến hình đƣợc hiểu là một phép là biến đổi hình -, đƣợc sử dụng nhƣ một công cụ ngầm ẩn để chuyển các tính chất hình học từ hình này sang hình kia, mà ngƣời ta cũng chỉ dùng nó trong nghiên cứu về các đƣờng conic. Cách hiểu này cho phép chuyển một số tính chất hình học của đƣờng tròn vào các đƣờng cônic ảnh, có nghĩa là từ tính chất của đƣờng tròn mà suy ra tính chất của đƣờng cônic, không cần một phép chứng minh mới. Đến thế kỷ 18, mặc dầu đƣợc sử dụng ở một góc độ khác, khái niệm phép biến hình vẫn chƣa đƣợc định nghĩa. Ngƣời ta đƣa vào từ “phép biến đổi hình” như một thuật ngữ được mô tả chứ không phải nhƣ một đối tƣợng của toán học. Sang thế kỷ 19, phép biến hình mới đƣợc hiểu theo nghĩa ánh xạ trong không gian vào chính nó, và ở đây không gian được xem xét với tư cách là một tập hợp điểm. • Để phân biệt phân tích khoa học luận với nghiên cứu lịch sử một khoa học, Bachelard còn nói đến những chƣớng ngại: "Một sự kiện đƣợc hiểu không đúng ở một thời đại chỉ là một sự kiện đối với nhà lịch sử, nhƣng lại có thể là một chƣớng ngại hay một ý tƣởng đối lập theo cách nhìn của nhà khoa học luận. Khi một tƣ tƣởng khoa học xuất hiện nhƣ là khó khăn đã đƣợc khắc phục thì cũng có nghĩa là một chƣớng ngại đã đƣợc vƣợt qua". (Bachelard, 1938, tr. 17-18). Phân tích khoa học luận lịch sử là một phân tích quá khứ để khám phá những mò mẫm, những lệch lạc, những hƣớng đi sai lầm, những chƣớng ngại khác nhau, những điều kiện có thể làm xuất hiện các khái niệm khoa học mới. Trong phân tích khoa học luận lịch sử, điều kiện cho sự nảy sinh một phát minh cũng quan trọng không kém bản thân phát minh đó. Theo nghĩa này thì cần phải đặt nghiên cứu của nhà toán học vào bối cảnh thời đại ông ta sống (bối cảnh khoa học là hiển nhiên, có khi còn phải tính đến bối cảnh kinh tế, xã hội, chính trị, hay văn hóa, thậm chí hoàn cảnh cá nhân của tác giả). Phân tích khoa học luận lịch sử sẽ tạo ra một cơ sở dữ liệu cho phép ta hiểu đầy đủ hơn sự tiến triển của khái niệm, những điều kiện để khái niệm này hình thành, phát triển, và cũng cả những điều kiện đem đến khả năng hay, ngƣợc lại, cản trở sự tiến lên. 5 CHƢƠNG 2: LỢI ÍCH SƢ PHẠM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN Sự cần thiết hay không của phân tích khoa học luận một tri thức đối với việc dạy - học tri thức đó là do quan niệm về hoạt động học quy định. Vì thế, trƣớc khi bàn về lợi ích sƣ phạm của phân tích khoa học luận, chúng tôi cần nói rõ quan niệm đƣợc thừa nhận ở đây về hoạt động này. A. Những giả thuyết về học tập Ngành tâm lý học dựa trên năng lực nhận thức thừa nhận quan điểm cho rằng học là làm thay đổi kiến thức. Quan điểm này hƣớng đến việc nghiên cứu bản chất những kiến thức đƣợc thay đổi ở con ngƣời. Bộ não con ngƣời, giống nhƣ một hệ thống xứ lí thông tin, có khả năng thực hiện một số thao tác nào đó: khả năng phân biệt, nhận dạng, tích lũy thông tin, có khả năng thu hồi thông tin, đặt chúng trong mối liên hệ với nhau, thực hiện những thao tác trí tuệ, ... Việc vận dụng các thao tác này sẽ khác nhau tùy theo nhiệm vụ cần thực hiện: học, lí giải, đánh giá, giải quyết một vấn đề, ... Mục tiêu của việc học càng đa dạng bao nhiêu thì hình thức học tập càng phong phú bấy nhiêu. Theo trƣờng phái Piaget, chủ thể học qua hành động: sự tiếp thu kiến thức có đƣợc do chủ thể hành động và hành động đó là nguồn thông tin mới. Sự kiến tạo tri thức qua hoạt động xảy ra theo kiểu thích nghi với tình huống. Nếu vốn kiến thức của chủ thể đủ cho chủ thể giải quyết nhiệm vụ đặt ra trong tình huống, ta nói có một sự cân bằng giữa kiến thức của chủ thể và tình huống. Trong trƣờng hợp vốn kiến thức không cho phép chủ thể giải quyết nhiệm vụ, ta nói giữa chủ thể và tình huống có một sự mất cân bằng. Để giải quyết nhiệm vụ đƣợc đặt ra, chủ thể phải xây dựng những công cụ mới. Khi vấn đề đƣợc giải quyết, ta nói chủ thể đã lập lại đƣợc sự cân bằng mới. Học tập là một quá trình thiết lập những sự cân bằng mới nhƣ vậy. Kế thừa quan điểm của trƣờng phái Piaget, ngƣời ta thừa nhận những giả thuyết sau về học tập: • Giả thuyết tâm lí: Chủ thể học bằng cách tự thích nghi với một môi trường - môi trường này gây ra những mâu thuẫn, khó khăn và sự mất cân bằng giữa vốn kiến thức của chủ thể với nhiệm vụ phải giả quyết. Theo giả thuyết này: - học là một quá trình năng động trong đó ngƣời học đóng vai trò chủ động. - kiến thức đƣợc xây dựng do tƣơng tác giữa chủ thể ngƣời học với môi trƣờng vật lý và xã hội của chủ thể đó. 6 Giả thiết nhận thức: Một môi trường không có chủ ý sư phạm (tức là không được cố ý tổ chức để dạy một tri thức) không đủ để tạo ra cho chủ thể mọi kiến thức mà xã hội muốn chủ thể đó lĩnh hội được. Thầy giáo phải làm phát sinh ở học sinh những sự thích nghi mong muốn bằng cách tổ chức xác đáng cái mà ta gọi là "môi trường". "Môi trƣờng" có một vai trò trung tâm trong việc học, nó là nguyên nhân của những sự thích nghi. Một tình trạng kiến thức sẽ đƣợc đặc trƣng bởi một trạng thái cân bằng của hệ thống học sinh - môi trƣờng. Học tập là sự xây dựng những tình trạng cân bằng mới. B. Lợi ích sư phạm của Phân tích khoa học luận Chúng ta sẽ chỉ ra vai trò của nghiên cứu khoa học luận lịch sử đối với hoạt động dạyhọc toán thông qua việc phân tích những lợi ích mà nó mang lại. I. Khoa học luận – đối tượng tri thức – đối tượng dạy học I.1. Đối tượng tri thức Sự ra đời của một "tri thức bác học" là kết quả của một hoạt động khoa học. Hoạt động này gắn liền với lịch sử cá nhân nhà nghiên cứu. Nhà nghiên cứu đặt ra một vấn đề. Để giải quyết nó, ông ta phải khám phá ra những phƣơng pháp, những kiến thức. Một số trong những kiến thức này đƣợc nhà nghiên cứu nhận thấy là đủ mới, đủ hay, có thể thông báo cho cộng đồng khoa học. Để thông báo, nhà nghiên cứu tạo cho những kiến thức này một dạng khái quát nhất có thể đƣợc, theo quy tắc suy lý logic đang lƣu hành trong cộng đồng khoa học. Trong quá trình soạn thảo tri thức: «- ... nhà nghiên cứu xóa đi thời kỳ khai thủy của nghiên cứu: những suy nghĩ vô ích, những sai lầm, những đƣờng vòng lắt léo, rất dài, thậm chí dẫn đến ngõ cụt. Nhà nghiên cứu cũng bỏ đi tất cả những gì liên quan đến động cơ cá nhân hay nền tảng hệ tƣ tƣởng của khoa học theo nhận thức của mình. Chúng tôi dùng từ phi cá nhân hóa để chỉ tập hợp những sự gạt bỏ này. - nhà nghiên cứu cũng xóa đi lịch sử trƣớc đó đã dẫn mình đến nghiên cứu này (những mò mẫm, những con đƣờng sai lầm), có khi còn tách nó ra khỏi bài toán đặc biệt mà lúc đầu mình muốn nghiên cứu và tìm một bối cảnh tổng quát nhất sao cho trong đó kết quả vẫn đúng. Chúng tôi gọi việc làm này là phi ngữ cảnh hóa. - Nhà nghiên cứu cấu trúc và sắp xếp lại những kiến thức mình tìm thấy, lồng nó vào trong một hệ thống kiến thức gần gũi, đặt lại nó vào một cách tiếp cận mới. Chúng tôi dùng từ phi thời gian hóa để chỉ hoạt động này." (Arsac, 1989) Hoạt động phi cá nhân hóa, phi ngữ cảnh hóa và phi thời gian hóa có hệ quả tích cực ở chỗ nó làm cho tri thức trở thành tri thức chung, có thể sử dụng và kiểm tra bởi bất cứ ai, ít nhất là cũng bởi các thành viên của cộng đồng khoa học. Nhƣng nó cũng có hệ quả tiêu cực là làm biến mất đi một phần hay toàn bộ bối cảnh của phát mình, che dấu đi những câu hỏi 7 ban đầu mà tri thức này là một câu trả lời, làm cho phát minh trở thành bí ẩn và bị tước mất nghĩa. I.2. Đối tượng dạy học Trong những tri thức toán học đƣợc tích lũy qua lịch sử, các nhà lập chƣơng trình chọn ra một số vấn đề làm đối tƣợng dạy học. Nhiều yếu tố ảnh hƣởng đến sự lựa chọn này (kiểu xã hội, kiểu tổ chức hành chính, tình trạng của hệ thống giáo dục, trình độ phát triển công nghệ, việc đào tạo giáo viên, v.v. ...).. Để trở thành có thể dạy đƣợc cho một bộ phận công chúng nào đó, tri thức lại tiếp tục bị biến đổi. Cụ thể là sau khi đối tƣợng dạy học đã đƣợc chỉ ra, các nhà lập chƣơng trình phải quay trở về với hệ thống giáo dục, tổ chức chúng lại theo một trình tự nối khớp hợp logic, đảm bảo tính gắn kết giữa các thành phần. Theo chƣơng trình quy định, các nhà viết sách giáo khoa tìm cách trình bày lại những tri thức đƣợc chọn. Việc phải chia cắt tri thức thành từng « lát» để có thể tuần tự dạy đƣợc cho một bộ phận công chúng xác định, và việc chiếm lĩnh tri thức này phải đƣợc đánh giá qua một số khả năng nào đó - đã đƣợc thu hẹp cho phù hợp với đối tƣợng dạy-học, là những ràng buộc đè nặng lên hoạt động soạn thảo sách giáo khoa. Để cho các tri thức lập thành một tập hợp gắn kết và ngƣời học có thể lĩnh hội đƣợc, nhiều khi tác giả phải viết lại các định nghĩa, các tính chất, biến đổi các phép chứng minh, tạo ra một sự nối khớp khác. Tác giả cũng có thể bị dẫn đến chỗ sáng tạo ra một số đối tƣợng mới. Hệ quả kéo theo là nhiều khi có một sự chênh lệch khá lớn giữa tri thức bác học với tri thức xuất hiện trong chƣơng trình và sách giáo khoa. I.3.Hạn chế của một nghiên cứu chỉ đóng khung trong nội tại hệ thống dạy học Phần lớn những tri thức toán học giảng dạy trong nhà trƣờng đều ra đời muộn nhất là đầu thế kỷ 20. Ngoài hệ thống dạy học, những tri thức này tồn tại nhƣ là công cụ cơ sở đối với ngƣời làm toán chuyên nghiệp, hay nhƣ là kỹ năng trong các thể chế sử dụng toán học, không còn đƣợc quan tâm với tƣ cách một đối tƣợng nữa. Trong bối cảnh này, tri thức tồn tại ở những dạng khác nhau và đã bị thuần hóa, bị biến đổi so với nguồn gốc ban đầu của nó. Những vấn đề mà nó cho phép giải quyết đã bị lãng quên. Nó có thể đƣợc trao một chức năng hoàn toàn mới, là cơ sở cho sự hình thành những tri thức khác phức tạp hơn sinh ra từ thể chế sử dụng nó. Hơn thế, những biến đổi mà tri thức phải chịu để trở thành đối tƣợng giảng dạy "thƣờng rất ít khi xuất phát từ một lý do có bản chất khoa học luận gắn liền với sự sản sinh ra tri thức này. Những biến đổi đó thƣờng mang tính chất giải pháp tình huống, chủ yếu là tuân theo các ràng buộc nội tại của thể chế dạy học" (J-L. Dorrier, 1996, tr.21). Tất nhiên, tri thức chƣơng trình và sách giáo khoa đã đƣợc hình thành trên cơ sở lấy tri thức bác học làm tham chiếu. Nhƣng vẫn còn một số điểm tối trong mối liên hệ giữa tri thức với tri thức đƣợc dạy. Vì thiếu những hiểu biết về lịch sử của tri thức, nhà nghiên cứu hay giáo viên không đƣợc tiếp xúc tận gốc quá trình biến đổi một tri thức thành đối tƣợng dạy học 8 (quá trình mà Chevallard gọi là chuyển đổi didactic), chỉ hình dung đƣợc những giai đoạn gần gũi nhất. I.4. Vai trò của khoa học luận Nếu muốn phân tích độ chênh lệch giữa một tri thức bác học và tri thức đƣợc dạy, ngƣời ta phải căn cứ vào nội dung tri thức bác học trên quan điểm khoa học luận, nghĩa là trên những yếu tố do phân tích khoa học luận mang lại: nghĩa của tri thức, những vấn đề mà tri thức đó cho phép giải quyết, những trở ngại cho sự hình thành tri thức, những bƣớc nhảy trong quan niệm, những điều kiện cho phép tri thức nảy sinh,... Đây là những hiểu biết cần thiết cho việc thiết kế một môi trƣờng để trong đó hoạt động học xảy ra. Nghiên cứu khoa học luận giúp ta "trả lại tính lịch sử cho khái niệm toán học mà việc dạy học thƣờng có khuynh hƣớng trình bày nó nhƣ những đối tƣợng phổ biến đồng thời trong thời gian và trong không gian". (M. Artigue, 1990, tr. 243). Nghiên cứu này cũng giúp ta thoát khỏi ảo tƣởng mà việc dạy học thƣờng vun trồng về một sự chính xác vĩnh cửu và hoàn hảo của toán học. Trong khi trƣờng học sống trong ảo tƣởng rằng đối tƣợng dạy học là một bản copy, tuy đã đƣợc đơn giản hóa nhƣng vẫn trung thành, của đối tƣợng khoa học, thì phân tích khoa học luận sẽ giúp nhà nghiên cứu hiểu rõ cái gì chi phối sự tiến triển của kiến thức khoa học, đâu là sự chênh lệch giữa tri thức bác học với tri thức được dạy, đâu là khoảng cách giữa hai hệ thống - toán học và dạy học. Phân tích trên giải thích sự cần thiết của một nghiên cứu khoa học luận. Nghiên cứu này giúp ta vạch rõ các tham chiếu hợp thức của tri thức cần dạy, trả lại cho tri thức những nghĩa rộng hơn, phong phú hơn, điều mà việc nghiên cứu đơn thuần chƣơng trình và sách giáo khoa không thể mang lại. Những hiểu biết khoa học luận về tri thức cần dạy giúp nhà nghiên cứu và giáo viên nhìn nó ở một khoảng cách cần thiết, không hoàn toàn bị bó hẹp trong nội tại hệ thống dạy học, không chỉ xem xét nó dƣới lăng kính của chƣơng trình và sách giáo khoa. Nói cách khác, phân tích khoa học luận giúp cho nhà nghiên cứu thoát ra khỏi ảo tƣởng về sự « trong trẻo » của đối tƣợng tri thức và gạt bỏ những biểu tƣợng sai lầm về mặt khoa học luận mà hoạt động dạy học có thể gây nên. Điều này là cần thiết nếu ta muốn tìm những tình huống cho phép học sinh nắm đƣợc nghĩa của tri thức. II. Khoa học luận và lý thuyết tình huống II.1. Nghĩa của tri thức, tình huống mang lại nghĩa cho tri thức Các nghiên cứu hoạt động dạy-học toán nói chung đều liên quan đến sự xây dựng kiến thức ở chủ thể (học sinh). Nhà nghiên cứu phải đƣơng đầu với vấn đề thiết kế hay phân tích sự hình thành kiến thức khoa học trong một tình huống dạy-học - đƣợc gọi là sự hình thành giả tạo để phân biệt với sự hình thành lịch sử (sự hình thành đã xảy ra trong thực tế lịch sử). 9 Khi thiết kế hoặc phân tích một tình huống dạy-học, trƣớc hết nhà nghiên cứu phải trả tìm cách lời những câu hỏi sau: - Liệu có đảm bảo rằng vấn đề đƣợc đặt ra trong tình huống là đích thực đối với tri thức hay không? Từ đích thực ở đây đƣợc hiểu theo nghĩa tri thức cần dạy là tri thức hoặc không thể thiếu, hoặc đem lại một chiến lƣợc tối ƣu cho việc giải quyết vấn đề đƣợc đặt ra. - Vấn đề đó có mối liên hệ nhƣ thế nào với lý do tồn tại của đối tƣợng tri thức đƣợc xem là mục đích của hoạt động dạy-học. - Vấn đề ấy đƣa lại cho tri thức cái nghĩa nào? Đó là những câu hỏi mang tính chất khoa học luận. Nhằm mục đích mô hình hóa để nghiên cứu các tình huống dạy học, G. Brousseau đã xây dựng nên Lý thuyết tình huống (tham khảo G. Brousseau, 1999). Lý thuyết này thừa nhận giả thuyết khoa học luận sau: "Với mỗi kiến thức đều tồn tại một họ tình huống có khả năng đem lại cho nó một nghĩa đúng" (Brousseau, 1988b). Đúng ở đây là đúng so với lịch sử của khái niệm, so với bối cảnh xã hội và so với cộng đồng khoa học. Vấn đề là phải "tái tạo" lại trong lớp một sự hình thành nên những khái niệm toán học với cái nghĩa mà ta muốn học sinh chiếm lĩnh. Nói cách khác, xây dựng một tình huống cho phép xẩy ra sự "hình thành giả tạo" trong đó tri thức cần dạy phải xuất hiện nhƣ một giải pháp tối ƣu đƣợc xem là mục đích của việc dạy-học. II.2. Vai trò của khoa học luận Dựa vào đâu để kiến tạo những tình huống nhƣ vậy, khi mà nghĩa của tri thức và tình huống mang lại nghĩa đó đã bị che giấu qua những biến đổi mà tri thức phải chịu? Việc sử dụng từ "hình thành" có thể làm cho ta lầm tƣởng rằng tri thức đƣợc phát sinh theo kiểu đƣờng thẳng và đồng đều. Điều này không bao giờ xẩy ra trong toán học. Thực tế thì có cả một mạng các vấn đề thuộc nhiều nguồn gốc giữ những vai trò khác nhau trong qua trình hình thành tri thức. Thậm chí, trong một số trƣờng hợp, sự tiến triển lịch sử đã vô ích đi theo một đƣờng vòng quanh co, rồi sau đó mới xuất hiện những con đƣờng ngắn hơn làm cho tri thức dễ dàng xuất hiện. Nhƣ vậy, thực tế lịch sử không phải luôn luôn là một mô hình hoàn hảo để cho hoạt động dạy-học rập khuôn theo. Hơn thế, việc dạy-học lại phải tuân thủ những ràng buộc không thể tránh khỏi. vấn đề thời gian chẳng hạn: làm thế nào để đi theo một qua trình hình thành đã trải qua nhiều thập kỷ (thậm chí hàng thế kỉ) trong vài giờ? Rồi vấn đề nhận thức: tri thức cần dạy đã đƣợc tổ chức lại theo một hệ thống không trùng với trình tự phát triển trong lịch sử, làm thế nào để lồng qua khứ học toán của học sinh vào tiến trình diễn ra trong lịch sử? Rồi thì sự khác nhau về tâm lý, về hoàn cảnh xã hội, về thể chế (thể chế tạo ra tri thức và thể chế dạy-học), v.v. ... Biết bao nhiêu yếu tố làm cho sự hình thành giả tạo trong lớp học không thể đồng nhất với sự hình thành trong lịch sử. 10 "Tuy nhiên, đối với nhà nghiên cứu, sự hình thành trong lịch sử là điểm tựa để phân tích một quá trình dạy học cụ thể, là cơ sở cho việc thiết kế một sự hình thành giả tạo" (M. Artigue, 1991, tr. 246). Sở dĩ nói nhƣ vậy là vì trong phân tích hay thiết kế các tình huống dạy-học, nhà nghiên cứu nhất thiết phải đối chiếu với vấn đề nghĩa của khái niệm, mà chính những vấn đề đã từng là lí do của việc đƣa vào khái niệm này hay khái niệm kia, cũng nhƣ những vấn đề chi phối sự tiến triển của khái niệm, là cái cấu thành nên nghĩa của khái niệm này. Chính vì thế mà trong nghiên cứu vấn đề dạy-học khái niệm số thập phân G. Brousseau đã nói: "Để tổ chức một sự hình thành giả tạo đem lại một nghĩa phù hợp cho khái niệm số thập phân, cần phải tiến hành nghiên cứu khoa học luận để vạch rõ các dạng thức biểu thị số thập phân và cơ chế nhận thức chúng" (G. Brousseau 1981, tr. 48). Hơn thế, thừa nhận những giả thuyết về học tập đã nêu ở phần đầu của chƣơng này dẫn ta đến chỗ thừa nhận rằng vấn đề là phải làm cho học sinh đi vào hoạt động toán học. Thế nhƣng những quá trình tƣ duy nào chi phối hoạt động đó? "Chính phân tích khoa học luận (...) là nghiên cứu trƣớc tiên liên quan đến những câu hỏi này" (M. Artigue, 1991, tr.246). Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành tri thức cho phép vạch rõ quá trình xây dựng tri thức trong cộng đồng các nhà khoa học, sự phụ thuộc của nó vào các lĩnh vực toán học có liên quan, từ đó xác định đƣợc nghĩa của tri thức, tình huống mang lại nghĩa đó, điều kiện cho phép tri thức nảy sinh, hay ngƣợc lại, cản trở sự tiến triển của nó, những vấn đề gắn liền với tri thức, vị trí tƣơng đối của nó trong một tri thức tổng quát hơn, ... Nó sẽ dẫn nhà nghiên cứu đến với câu trả lời cho một số câu hỏi tổng thể và cơ bản sau, là cơ sở cho việc phân tích hay thiết kế các tình huống dạy-học: - Tri thức đƣợc sinh ra nhằm giải quyết vấn đề gì? - Tri thức có thể tồn tại dƣới những dạng thức nào? Chuyển từ dạng thức này sang dạng thức kia tƣơng ứng với sự thay đổi nào trong quan niệm? - Phải chuyển đổi cái gì trong việc dạy-học các thành phần của tri thức này và sự tác động qua lại giữa chúng? - Có hay không một sự chuyển đổi tối tiểu hoặc một tổ hợp chuyển đổi tối tiểu cần phải tôn trọng để không làm biến dạng cái nghĩa của tri thức này? - Những chuyển đổi nào có thể hay cần phải phụ thuộc vào lớp công chúng đƣợc xem là chủ thể của hoạt động học? III. Khoa học luận và chướng ngại Vấn đề không phải là phân tích khoa học luận để rồi bằng mọi giá rút ngắn khoảng cách giữa sự hình thành tri thức trong lịch sử và sự hình thành giả tạo (tƣơng hợp với những lựa chọn của hệ thống dạy-học), mà là để xác định những khó khăn học sinh gặp phải trong học tập một tri thức và hiểu đƣợc nguồn gốc sinh ra chúng. Đó là những khó khăn, những chƣớng ngại gắn liền với đặc trƣng của tri thức mà học sinh buộc phải vƣợt qua để nắm vững tri thức. 11 III.1. Chướng ngại Sai lầm và chướng ngại: Trong logic tiếp cận quá trình học tập đƣợc phát triển bởi Piaget, Bachellard và Brousseau, kiến thức thu đƣợc là kết quả của một sự thích nghi của học sinh với tình huống tình huống này biện minh cho sự cần thiết của kiến thức đƣợc nói đến bằng cách chứng tỏ hiệu quả của nó. Trong một quá trình học tập bằng thích nghi với tình huống, kiến thức đƣợc xây dựng ở học sinh thƣờng mang tính chất địa phƣơng, gắn liền một cách tùy tiện với những kiến thức khác. Nó cũng thƣờng mang tính chất tạm thời và có thể là không hoàn toàn chính xác. Quan điểm này dẫn đến một cách nhìn mới trên những sai lầm của học sinh: "Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không biết, không chắc chắn, ngẫu nhiên, nhƣ cách nghĩ của những ngƣời theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ trƣớc, những kiến thức đã từng có ích đối vớiviệc học trƣớc kia, nhƣng lại là sai, hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội tri thức mới. Những sai lầm thuộc loại này không phải thất thƣờng hay không dự đoán đƣợc. Chúng tạo thành chƣớng ngại. Trong hoạt động của giáo viên cũng nhƣ trong hoạt động của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần xây dựng nên nghĩa của kiến thức đƣợc thu nhận bởi những chủ thể này" (Brousseau, 1983, tr. 171). Nhƣ vậy, theo G. Brousseau, nếu ở học sinh có những sai lầm nào đó mang tính hời hợt, hết sức riêng biệt, thì cũng còn có những sai lầm khác không phải ngẫu nhiên đƣợc sinh ra. Những sai lầm đó không nằm ngoài kiến thức, chúng chính là biểu hiện của kiến thức. Ở cùng một chủ thể, những sai lầm khác nhau có thể có chung một nguồn gốc. Theo cách nhìn nhận này thì một số kiến thức sai là cần thiết cho học tập: con đƣờng đi của học sinh phải trải qua việc xây dựng (tạm thời) từ một số kiến thức sai, và việc ý thức đƣợc đặc trƣng sai lầm này sẽ là yếu tố cấu thành nên nghĩa của tri thức mà việc dạy-học nhắm đến. Brousseau gọi những điểm buộc phải trải qua này là chƣớng ngại 2 khoa học luận và nhấn mạnh vai trò của chúng trong lịch sử phát triển các kiến thức. Đặc trưng của chướng ngại: Cần phải nói rõ rằng không phải mọi khó khăn đều đƣợc xem là chƣớng ngại. Duroux đã nêu lên những đặc trƣng sau của chƣớng ngại: • Một chƣớng ngại là một kiến thức, một quan niệm chứ không phải là một khó khăn hay một sự thiếu kiến thức. 2 Thuật ngữ này đƣợc G. Brouseau sử dụng từ sự kế thừa tƣ tƣởng của Bachelard: "Chính trong hành động nhận biết mà sự chậm chạp và rối loạn xuất hiện dưới một dạng tất yếu của chức năng. Chính ở đó mà ta sẽ chỉ ra nguyên nhân của sự trì trệ. Củng chính ở đó ta sẽ chỉ ra nguyên nhân của tính trơ ỳ mà ta gọi là chướng ngại khoa học luận". Tuy nhiên, cần nhấn mạnh rằng Bachelard đã loại toán học ra khỏi sự quan tâm của ông khi bàn về chƣớng ngại: "lịch sử toán học hoàn toàn cân đối. Nó có những giai đoạn tạm dừng. Nó không có những giai đoạn sai lầm. Không có chủ đề nào được xem xét trong cuốn sách này nhằm vào toán học" (Bachelard, 1938, Sự hình thành óc khoa học, tr. 13 -22). 12 • Kiến thức này tạo ra những câu trả lời phù hợp trong một bối cảnh nào đó mà ta thƣờng hay gặp. • Nhƣng khi vƣợt khỏi bối cảnh này thì nó sản sinh ra những câu trả lời sai. Để có câu trả lời đúng cho mọi bối cảnh cần phải có một thay đổi đáng kể trong quan điểm. • Hơn nữa, kiến thức này chống lại những mâu thuẫn với nó và chống lại sự thiết lập một kiến thức hoàn thiện hơn. Việc có một kiến thức khác hoàn thiện hơn chƣa đủ để kiến thức sai này biến mất, mà nhất thiết phải xác định đƣợc nó và đƣa việc loại bỏ nó vào tri thức mới. • Ngay cả khi chủ thể đã ý thức đƣợc sự không chính xác của kiến thức chƣớng ngại này, nó vẫn tiếp tục xuất hiện dai dẳng và không đúng lúc. G. Brousseau phân biệt các chƣớng ngại tùy theo nguồn gốc của chúng: • Chƣớng ngại thuộc về sự phát triển cá thể: là chƣớng ngại gắn liền với những hạn chế về nhận thức của cá nhân học sinh ở một thời điểm nào đó trong quá trình phát triển của nó. • Chƣớng ngại didactic: là chƣớng ngại sinh ra từ sự lựa chọn của hệ thống dạy-học. • Chƣớng ngại khoa học luận: là chƣớng ngại gắn liền với lịch sử phát triển của tri thức mà việc vƣợt qua nó đóng vai trò quyết định đối với quá trình xây dựng kiến thức của chủ thể. Trong học tập, việc vƣợt qua những chƣớng ngại khoa học luận là điều không thể tránh khỏi, bởi đó là yếu tố cấu thành nên kiến thức. Vấn đề là trƣớc hết phải xác định đƣợc những chƣớng ngại khoa học luận gắn liền với một tri thức, để rồi sau đó tạo ra những tình huống cho phép vƣợt qua chúng, tức là loại bỏ những kiến thức sai tạo nên chƣớng ngại. III.2. Vai trò của khoa học luận Quan niệm trên về chƣớng ngại khoa học luận dẫn đến chỗ thừa nhận là có thể tìm thấy dấu vết của chúng trong lịch sử hình thành tri thức. Để nghiên cứu các chƣớng ngại khoa học luận, Brousseau đã đề nghị tiến trình sau: - Xác định những sai lầm thƣờng xuyên tái diễn, chứng tỏ rằng chúng có thể nhóm lại quanh một quan niệm. - Nghiên cứu xem có tồn tại hay không những chƣớng ngại trong lịch sử xây dựng khái niệm toán học. - Đối chiếu các chƣớng ngại lịch sử với chƣớng ngại học tập để nếu có thể thì thiết lập đặc trƣng khoa học luận của chƣớng ngại. Hiển nhiên, không phải mọi chƣớng ngại mà các nhà toán học gặp trƣớc đây đều là những khó khăn mà học sinh ngày nay phải đƣơng đầu, vì, nhƣ đã phân tích ở trên, sự hình thành giả tạo không thể giống với sự hình thành lịch sử. Tuy thế, ta thƣờng có thể tìm thấy trong lịch sử dấu vết của những khó khăn này. Qua phân tích khoa học luận lịch sử, nhà nghiên cứu có thể khơi thông một logic tổng thể, những giai đoạn chủ yếu, vai trò và sự tác động qua lại lẫn nhau của chúng. Hơn thế, còn có thể xác định những điều kiện nội tại cho sự phát triển, những vấn đề đã từng là lý do cho sự ổn định hay sự bế tắc của một giai đoạn lịch sử, những ràng buộc chi phối các nhà khoa 13 học đƣơng thời. Lịch sử cung cấp những ví dụ về quá trình tiến triển của kiến thức mà phân tích khoa học luận sẽ giúp ta vạch rõ những khó khăn, những quan niệm đã từng là trở ngại cho sự hình thành và phát triển của kiến thức, những động lực, những bƣớc nhảy trong quan niệm, những điều kiện làm nảy sinh tri thức. Nhƣ thế, vấn đề đầu tiên là chẩn đoán khó khăn, xác định những sai lầm tồn tại dai dẳng sinh ra từ cùng một quan niệm. Sau đó là nghiên cứu bản chất và nguồn gốc của khó khăn dƣới ánh sáng của phân tích khoa học luận. Việc đối chiếu sai lầm của học sinh với những trở ngại đã từng tồn tại trong lịch sử hình thành, phát triển tri thức cho phép giải thích sai lầm một cách thỏa đáng hơn. Đặc biệt, phân tích khoa học luận có thể giúp ta phân biệt những sai lầm có bản chất khoa học luận với những sai lầm ngẫu nhiên có nguồn gốc từ nhận thức hay từ sự lựa chọn của hệ thông dạy-học. Từ đó, nó cung cấp phƣơng tiện để triển khai một dự án dạy-học thích hợp. IV. Khoa học luận và quan niệm IV.1. Quan niệm Khái niệm « quan niệm » đƣợc đƣa ra nhằm đáp ứng hai nhu cầu: - Vạch rõ một thực tế là có thể có nhiều cách nhìn nhận khác nhau về cùng một đối tƣợng toán học, phân biệt những thể hiện và cách thức sử dụng đƣợc kết hợp với nó, chỉ rõ sự thích ứng ít hay nhiều của những cách nhìn nhận đó đối với việc giải lớp bài toán này hay lớp bài toán kia. - Giúp nhà nghiên cứu chống lại ảo tƣởng về sự đồng nhất giữa tri thức mà việc dạyhọc muốn truyền thụ với những kiến thức đƣợc học sinh xây dựng trong thực tế. Thuật ngữ « quan niệm » đƣợc dùng để chỉ một tri thức địa phƣơng, giữ vai trò nào đó trong tiến trình chiếm lĩnh một khái niệm. Cụ thể hơn, G. Bousseau định nghĩa quan niệm là « một tập hợp các quy tắc, các cách thực hành động, các tri thức cho phép giải quyết tƣơng đối tốt một lớp tình huống và vấn đề, trong khi đó lại tồn tại một lớp tình huống khác mà đối với chúng thì quan niệm này dẫn đến thất bại, hoặc gợi lên những câu trả lời sai, hoặc có thể đem lại kết quả nhƣng rất khó khăn và trong điều kiện bất lợi ». Chẳng hạn, M. Artigue và J. Robinet (1982) đã tự đặt ra cho mình câu hỏi về nghĩa cần đạt đƣợc qua việc dạy «những kiến thức liên quan đến các hình đơn giản trong mặt phẳng và trong không gian» có trong chƣơng trình tiểu học. Trong số những hình « đơn giản » này các nhà nghiên cứu chọn đƣờng tròn. Một phân tích trên hai phƣơng diện - khoa học luận và hoạt động của lớp học - đã cho thấy quan niệm chủ đạo của học sinh là xem đƣờng tròn nhƣ « một đƣờng cong phẳng, đóng, có độ cong không đổi, mà những dây cung lớn nhất lấy theo mọi hƣớng đều có độ dài bằng nhau ». Trái lại, những yếu tố đặc trƣng cho hình tròn, nhƣ tâm và bán kính, thì lại vắng mặt với tƣ cách là những yếu tố bất biến. Quan niệm này của học sinh rất có hiệu lực đối với tình huống nhận biết hình tròn trong số những hình đã cho. Thế nhƣng nó lại không cho phép giải bài toán dựng hình tròn. Trong một đối tƣợng toán học ta phân biệt: 14 - Khái niệm toán học nhƣ nó đƣợc định nghĩa trong bối cảnh của một thời kỳ cụ thể. - Tập hợp những cái dùng để biểu đạt đƣợc kết hợp với đối tƣợng. - Lớp các bài toán mà qua việc giải quyết chúng thì nghĩa của khái niệm đƣợc hình thành. - Các công cụ, định lý, kỹ thuật, thuật toán đặc trƣng cho phƣơng thức khai thác đối tƣợng đó. Sự phân biệt này dẫn M. Artigue đến chỗ tách ra trong quan niệm của học sinh - về một đối tƣợng toán học - những thành phần khác nhau, đặc biệt là: - Lớp tình huống - vấn đề đem lại nghĩa cho khái niệm đối với học sinh. - Tập hợp những cái dùng để biểu đạt mà học sinh có thể gắn vào đối tƣợng, đặc biệt là các hình ảnh trí tuệ, các biểu thức ký hiệu. - Các công cụ, định lý, kỹ thuật, thuật toán mà học sinh có để thao tác trên đối tƣợng. Bộ ba thành phần này đƣợc xem nhƣ những yếu tố đặc trƣng cho quan niệm về một đối tƣợng toán học. Cách hiểu này về quan niệm dẫn ta đến chỗ thừa nhận rằng ngay từ khi chƣa học tri thức, học sinh đã có một số quan niệm về tri thức đó. Các quan niệm này có thể đƣợc đƣa vào qua dạy học, nhƣng cũng có thể có nguồn gốc văn hóa hay xã hội, tức là đƣợc xây dựng ở ngoài hệ thống học đƣờng. IV.2. Quy tắc hành động. Định lý hành động. Quy tắc hành động là một mô hình đƣợc G. Vergnaud xây dựng nhằm giải thích và chỉ rõ những kiến thức mà học sinh đã sử dụng để đƣa ra câu trả lời khi thực hiện một nhiệm vụ xác định. Quy tắc hành động này liên quan đến một hay nhiều tính chất toán học gắn bó rất chặt chẽ với các quy trình hay câu trả lời của học sinh. Hiển nhiên, quy tắc hành động đƣợc sử dụng thể hiển quan niệm mà học sinh có về một đối tƣợng toán học. Chẳng hạn, đối với nhiệm vụ sắp thứ tự các số thập phân, một số nghiên cứu ở Pháp đã chỉ ra sự gắn kết giữa những câu trả lời sai của học sinh trung học cơ sở với quy tắc hành động đƣợc phát biểu nhƣ sau: trong hai số thập phân có phần nguyên bằng nhau, số lớn hơn là số có «số nguyên ở phần thập phân» lớn hơn. Quy tắc này sinh ra từ quan niệm xem số thập phân nhƣ là một cặp số nguyên đƣợc ngăn cách bởi dấu phẩy. Trong trƣờng hợp hai số đã cho có số chữ số ở phần thập phân nhƣ nhau thì việc áp dụng quy tắc sẽ đem lại một câu trả lời đúng, nhƣng trong những trƣờng hợp khác thì nó dẫn đến câu trả lời sai. (Ví dụ: 12, 51 > 12,43 (vì 51 > 43) là câu trả lời đúng ; 7, 3 < 7, 11 (vì 3 < 11) là câu trả lời sai). Nhƣ vậy, các quy tắc hành động - đƣợc chỉ rõ ra qua việc nghiên cứu những câu trả lời sai của học sinh, vẫn có thể mang lại câu trả lời đúng trong một số tình huống. Những tình huống đó xác định phạm vi hợp thức của quy tắc hành động. Thông thƣờng thì phạm vi hợp thức này không rỗng, thậm chí nó có thể dƣờng nhƣ rất rộng đối với học sinh, bởi vì những tình huống mà học sinh gặp lại gia cố thêm cho quy tắc. Những câu trả lời sai thƣờng đến từ việc áp dụng một quy tắc hành động ở ngoài lĩnh vực hợp thức của nó. Các quy tắc hành động là thể hiện của những bất biến trong việc thao tác trên các đối tƣợng. G. Vergnaud gọi các bất biến ấy là định lý hành động. "Khái niệm định lý hành động 15 chỉ các tính chất của những mối quan hệ mà học sinh nắm hoặc sử dụng trong tình huống giải quyết vấn đề. Mặc dù vậy, điều đó không có nghĩa là học sinh có khả năng nói rõ hay giải thích rõ những tính chất ấy" (G. Vergnaud, 1981). Nhiều quy tắc hành động đƣợc sử dụng trong những tình huống khác nhau nhƣng lại có thể cùng thuộc phạm vi một định lý hành động. Chẳng hạn, một số nghiên cứu ở Pháp đã vạch rõ những quy tắc hành động sau đây đƣợc sử dụng rất phổ biến ở học sinh các lớp trên cấp cơ sở: Có thể cho rằng những quy tắc hành động trên đều xuất phát từ định lý hành động: f(ax + by) = a f(x) + b f(y). Nói cách khác, học sinh đã gán tính chất tuyến tính cho một lớp rất rộng các hàm số, nhƣ hàm «giá trị tuyệt đối của một số thực», «bình phƣơng của một số thực», cũng nhƣ là các hàm lƣợng giác, trong khi phạm vi hợp thức của tính chất chỉ là tập hợp những hàm tuyến tính. Định lý hành động này đƣợc xem nhƣ là hệ quả của việc học tập cơ bản trƣớc đó về toán học. Trong thực tế, những phép toán trên các số nguyên (bảng cộng và nhân) học ở trƣờng tiểu học, phép tỷ lệ học trong 4 năm ở trƣờng trung học cơ sở để rồi từ đó nghiên cứu việc biểu diễn bằng đồ thị các hàm số f(x) = ax, f(x) = ax + b ở lớp 9, tất cả đều có tính chất tuyến tính. Việc học sinh thƣờng xuyên sử dụng tính tuyến tính ở ngoài phạm vi hợp thức của nó có thể sinh ra từ đó. Giống nhƣ các quy tắc hành động, định lý hành động có phạm vi áp dụng và phạm vi hợp thức của nó. Phạm vi áp dụng của định lý hành động là tập hợp những tình huống mà định lý có thể mang lại một câu trả lời, còn phạm vi hợp thức là tập hợp những tình huống mà nó đƣa ra một câu trả lời chính xác. IV.3. Sự cần thiết của nghiên cứu quan niệm. Vai trò của khoa học luận Tính đa nghĩa của tri thức. Ta hãy trở lại với công trình của M. Artigue và J. Robinet (1982) về những quan niệm có thể gán cho khái niệm đƣờng tròn. Để xác định tập hợp những quan niệm khác nhau có thể có về đối tƣợng toán học này, các tác giả đã xuất phát từ 11 định nghĩa có thể nêu ra cho khái niệm mà dƣới đây đƣợc trích một số làm ví dụ: • D1: Trong mặt phẳng, đƣờng tròn tâm O, bán kính R là tập hợp những điểm cách O một khoảng R. Hầu nhƣ các cuốn sách giáo khoa ngày nay đều đƣa ra định nghĩa này. Nhƣng khái niệm đƣờng tròn còn có thể đƣợc định nghĩa theo những cách khác. Chẳng hạn: • D2: Đƣờng tròn là một đƣờng cong phẳng, đóng, có độ cong đại số không đổi. • D3 : Đƣờng tròn là một đƣờng cong phẳng "thuần nhất" đối với phép đẳng cự. 16 • D4: Đƣờng tròn là một đƣờng cong phẳng có vô số trục đối xứng. • D5: r là một đƣờng cong phẳng, đóng, lồi (nghĩa là nó là bờ của một miền lồi G của mặt phẳng) và tại mỗi điểm đều có một tiếp tuyến. Với mỗi phƣơng d, ký hiệu ad là cận trên của độ dài các đoạn thẳng có phƣơng d và đƣợc chứa trong G. r là một đƣờng tròn nếu và chỉ nếu: - với mỗi phƣơng d, ad là độ dài của một đoạn thẳng duy nhất Dd có phƣơng d và đƣợc chứa trong G. - mọi đoạn thẳng Dd đều có cùng độ dài. - mọi đoạn thẳng Dd đều đồng quy. •D6: Đƣờng cong phẳng r là đƣờng tròn nếu và chỉ nếu tồn tại một điểm O của mặt phẳng và một số thực dƣơng d sao cho: - r xác định trên mỗi đƣờng thẳng đi qua O một đoạn thẳng có độ dài d. - O là trung điểm của đoạn thẳng này. •D7: Đƣờng tròn là tập hợp những điểm M sao cho tỷ số AM/BM các khoảng cách từ M đến hai điểm cố định A, B là không đổi • D8: Đƣờng tròn là một đƣờng cong đóng mà với mỗi độ dài xác định thì phần mặt phẳng mà nó bao quanh có diện tích lớn nhất. Về mặt logic thì các định nghĩa trên tƣơng đƣơng với nhau và xác định cùng một đối tƣợng toán học. Nhƣng chúng tƣơng ứng với những quan niệm khác nhau, những kiểu tri giác khác nhau về đối tƣợng, những cách sử dụng khác nhau các tính chất của nó, và chúng chú ý đến những yếu tố hình học khác nhau, những mối liên hệ khác nhau giữa các yếu tố. Nhƣ vậy, mỗi đối tƣợng toán học có thể đƣợc kết hợp với nhiều nghĩa, nhiều quan niệm khác nhau. Sự tương hợp giữa quan niệm và tình huống. Thế nhƣng, cái chúng ta quan tâm không phải là lập ra một danh mục thật tinh tế những quan niệm có thể có về một đối tƣợng toán học, mà là nghiên cứu sự nối khớp giữa các quan niệm ấy với tình huống trong một sự học tập xác định. Thừa nhận tính tƣơng hợp giữa quan niệm và tình huống làm xuất hiện tri thức là hiển nhiên, nếu ta hiểu khái niệm "quan niệm" nhƣ đã nêu trên, cho rằng ba thành phần cơ bản của quan niệm là lớp các tình huống vấn đề đem lại nghĩa cho tri thức đối với học sinh ; tập hợp những cái biểu đạt mà học sinh có khả năng kết hợp với tri thức ; những công cụ mà học sinh có để thao tác trên tri thức. Để minh họa, chúng ta có thể lấy nghiên cứu của PhạmNgọc Bảo (2002) về khái niệm phân số đƣợc trình bày trong các sách giáo khoa toán bậc tiểu học ở Việt nam. Tác giả đã chỉ ra rằng khái niệm phân số đƣợc hình thành qua ba thời điểm khác nhau, với ba tình huống khác nhau.  Ở lớp 3, đó là tình huống chia một hình vuông, một hình tròn, ... thành n (2 n 12) phần bằng nhau, nhằm đƣa vào phân số . Trong tình huống này, phân số lấy nghĩa nhƣ "một phần của đơn vị đã đƣợc chia thành n phần bằng nhau". 17  Ở lớp 4 có tình huống chia đơn vị (một cái bánh, một hình vuông, một hình tròn,...) thành n phần bằng nhau và lấy ra p (1< p < n) phần, nhằm đƣa vào phân số . Với tình huống này, phân số lấy nghĩa "số phần bằng nhau rút ra từ đơn vị".  Tình huống sau đó (cũng ở lớp 4) là "chia đều 3 quả cam cho 4 em". Trong tình huống này phân số đƣợc hiểu theo nghĩa "thƣơng của phép chia p cho n" và "là kết quả của phép chia đều mà thƣơng không nguyên". Ta thấy rất rõ là nghĩa của phân số phụ thuộc nhƣ thế nào vào tình huống trong đó khái niệm đƣợc đƣa vào. Vai trò của nghiên cứu về những quan niệm có thể kết hợp với một tri thức Sự phân biệt giữa một đối tƣợng toán học duy nhất với những quan niệm biến thiên có thể đƣợc kết hợp với nó rất quan trọng. Trƣớc hết, nó có thể giúp thầy giáo thoát ra khỏi tính đơn giản bề ngoài của đối tƣợng. Chẳng hạn, đối với khái niệm đƣờng tròn, "sự giống nhau của các định nghĩa và bài tập đƣợc đƣa vào các sách giáo khoa trong thực tế đã che giấu đi tính phong phú và phức tạp của những quan niệm có thể đƣợc kết hợp với đối tƣợng toán học này. Hơn thế, trên phƣơng diện dạy học thì nó lại áp đặt một quan điểm duy nhất - liên quan đến trạng thái tĩnh của tập hợp điểm, ƣu tiên chú ý đến tâm và bán kính (nhƣ là độ đo), mà không tính đến những kiến thức trẻ em đã có trƣớc khi phải học định nghĩa này" (M. Artigue và J. Robinet, 1982, tr. 269). Ở một góc độ khác, việc nghiên cứu các quan niệm khác nhau về một đối tƣợng tri thức sẽ mang lại cho ta một công cụ để phân tích, thiết kế các tình huống vấn đề đƣa ra cho học sinh. Tùy theo tình huống mà mỗi hoạt động sẽ ƣu tiên ở những cấp độ khác nhau cho quan điểm này hay quan điểm kia về tri thức. Chẳng hạn, nhƣ M. Artigue và J. Robinet (1982) đã chỉ ra, đối với hoạt động chọn trong các đối tƣợng đã cho những hình có hình dạng của cái đĩa thì trẻ em có thể tiến hành từ rất sớm, ngay cả khi nó chƣa nắm đƣợc khái niệm khoảng cách. Thế nhƣng quan niệm cho phép thực hiện hoạt động đó lại không gắn liền với định nghĩa đƣờng tròn mà ta muốn dạy cho học sinh. Để làm điều đó cần phải xây dựng những kiểu hoạt động khác, bởi vì mỗi quan niệm có một mối liên hệ rất chặt chẽ với tình huống trong đó kiến thức về hình tròn can thiệp. Vả lại, trong thực tế, quá trình chiếm lĩnh một đối tƣợng toán học thƣờng đƣợc chia thành nhiều giai đoạn. Trong một sự học tập bằng thích nghi với tình huống, kiến thức thƣờng mang tính chất địa phƣơng. Hơn thế nữa, trong thực hành, chính kiến thức ở các cấp độ địa phƣơng gắn liền với những quan điểm khác nhau về tri thức là cái đƣợc sử dụng. vấn đề là phải biết chống lại những quan niệm sai và những quan niệm cũ đã lỗi thời.Việc nghiên cứu các quan niệm mang tính địa phƣơng đƣợc biểu hiện trong tình huống và phân tích những điều kiện cho phép chuyển từ quan niệm địa phƣơng này vào quan niệm địa phƣơng kia là cơ sở để triển khai các tình huống nhằm xây dựng một quan niệm tổng thể về đối tƣợng tri thức. Trong những tình huống này quan niệm mới phải xuất hiện nhƣ là một giải pháp tối ƣu.