Tài liệu Vai trò công cụ của khái niệm hàm số trong chương trình toán phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH NGUYỄN XUÂN HOÀNG VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH NGUYỄN XUÂN HOÀNG VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: DIDACTIC TOÁN Mã số: 60.14.10 Người hướng dẫn: PGS.TS LÊ VĂN TIẾN Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu trong luận văn là hoàn toàn độc lập. Những trích dẫn trong luận văn là hoàn toàn chính xác. MỤC LỤC Lời cam đoan .............................................................................................................. 1 MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 6 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ................................................. 6 2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................ 7 3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu ............................. 7 4. Tổ chức của luận văn ....................................................................................... 9 Chương 1: PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM HÀM SỐ ....................................................................................................... 11 1.1. Cơ chế hoạt động và hình thức thể hiện của khái niệm ............................. 11 1.1.1. Cơ chế công cụ ........................................................................................ 11 1.1.2. Cơ chế đối tượng ..................................................................................... 11 1.1.3. Các hình thức thể hiện khác nhau của khái niệm .................................... 12 1.2. Phân tích khoa học luận khái niệm hàm số nhìn từ góc độ công cụ ........... 12 1.2.1. Thời cổ đại ........................................................................................... 12 1.2.2. Thời trung đại ....................................................................................... 13 1.2.3. Thế kỷ 16 - 17 ...................................................................................... 14 1.2.4 Thế kỷ 18 .................................................................................................. 17 1.2.5 Nửa đầu thế kỷ 19 ............................................................................... 21 1.2.6 Nửa cuối thế kỷ 19 đến nay ................................................................. 23 1.3. Kết luận chương 1 ....................................................................................... 25 Chương 2: PHÂN TÍCH QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM HÀM SỐ NHÌN TỪ GÓC ĐỘ VAI TRÒ CÔNG CỤ ........................................................................ 28 2.1. Hàm số và vai trò công cụ của nó trong giai đoạn từ lớp 1 đến lớp 6 ........ 28 2.2. Hàm số và vai trò công cụ của nó trong giai đoạn lớp 7 đến lớp 9 ............ 32 2.3. Hàm số và vai trò công cụ của nó trong giai đoạn lớp 10 đến lớp 12 ........ 39 2.4. Tóm tắt tiến trình giảng dạy hàm số và vai trò công cụ của nó trong chương trình Toán phổ thông ............................................................................................. 46 2.5. Kết luận chương 1-2 và giả thuyết nghiên cứu .......................................... 48 Chương 3 THỰC NGHIỆM ..................................................................................... 49 3.1. Mục đích thực nghiệm .................................................................................. 49 3.2. Đối tượng thực nghiệm .................................................................................. 49 3.3. Xây dựng đồ án thực nghiệm ........................................................................ 49 3.4. Biến tình huống, biến didactic của các bài toán thực nghiệm ....................... 50 3.5. Phân tích tiên nghiệm và ảnh hưởng của biến đến các chiến lược ............. 51 3.6. Dự tính tiến trình dạy học ........................................................................... 53 3.7 Phân tích hậu nghiệm.................................................................................. 54 3.7.1 Ghi nhận tổng quát ................................................................................... 55 3.7.2 Phân tích chi tiết kết quả thực nghiệm ..................................................... 55 3.8. Kết luận chương 3 .......................................................................................... 56 KẾT LUẬN .............................................................................................................. 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 59 PHỤ LỤC ................................................................................................................. 62 MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Nhiều công trình nghiên cứu khoa học luận lịch sử toán học cho thấy “ trong quá trình nảy sinh và tiến triển của mình, hầu hết các khái niệm của toán học đều xuất hiện (trong lịch sử) trước hết như một công cụ ngầm ẩn để giải quyết các vấn đề nào đó, sau đó chúng mới là đối tượng nghiên cứu của toán học. Khi đã có vị trí chính thức của một khái niệm toán học nó lại được sử dụng như một công cụ tường minh để giải quyết các vấn đề khác” 1. Nói cách khác, chúng thường nảy sinh và tiến triển theo tiến trình : Công cụ → Đối tượng → Công cụ. Rõ ràng rằng sự xuất hiện theo tiến trình này của một khái niệm toán học cho phép giải thích rõ “nghĩa” của khái niệm (lí do nảy sinh khái niệm, đặc trưng của các tình huống gắn liền với sự nảy sinh đó,…). Điều này có còn đúng với các khái niệm toán học được giảng dạy trong chương trình toán phổ thông ? Có sự tương đồng và khác biệt nào của tiến trình tiếp cận một khái niệm trong chương trình toán phổ thông so với tiến trình tương ứng của nó trong lịch sử? Làm thế nào xây dựng các tình huống giảng dạy cho phép một khái niệm toán học xuất hiện trước hết với vai trò công cụ, trước khi định nghĩa và nghiên cứu về nó? Trên đây là một số câu hỏi lôi cuốn sự quan tâm đặc biệt của chúng tôi. Tuy nhiên, trong phạm vi của một luận văn thạc sĩ, việc tìm câu trả lời đòi hỏi chúng tôi phải hạn chế nghiên cứu của mình vào một khái niệm ở một cấp độ chương trình cụ thể và một số mặt nghiên cứu xác định. Với định hướng đó, chúng tôi chọn nghiên cứu khái niệm hàm số trong chương trình toán ở trường phổ thông (từ lớp 1 đến 6 và từ lớp 7 đến lớp 12 phần đại số), từ góc độ vai trò công cụ của nó với các lí do sau đây : - Đó là một trong các khái niệm chiếm vị trí quan trọng nhất của chương trình. 1 Nguồn: Lê Văn Tiến - Phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông - NXB ĐHSP 2003 Đặc biệt, nó xuất hiện ngay từ bậc tiểu học (chẳng hạn, ngầm ẩn qua các bảng tương ứng). - Nó thường được sử dụng như công cụ để nghiên cứu nhiều khái niệm toán học khác trong chương trình. - Ở Việt Nam, quán triệt “Quan điểm hàm” hay “Tư duy hàm” thường được khuyết khích nhấn mạnh trong dạy học toán ở trường phổ thông. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của chúng tôi là đi tìm câu trả lời cho những câu hỏi nêu trên đối với trường hợp khái niệm hàm số, mà chúng tôi cụ thể hóa như sau : - Trong lịch sử nảy sinh và phát triển của mình, khái niệm hàm số đã xuất hiện theo tiến trình nào ? Trong tiến trình đó, vai trò công cụ của khái niệm hàm số thể hiện ra sao ? Những tình huống nào cho phép khái niệm hàm số xuất hiện với vai trò công cụ ? Đặc trưng của những tình huống này ? - Trong thể chế dạy học toán ở trường phổ thông Việt Nam, khái niệm hàm số xuất hiện theo tiến trình nào? Trước và sau khi khái niệm hàm số xuất hiện, vai trò công cụ của khái niệm này thể hiện ra sao? Có sự tương đồng và khác biệt nào của tiến trình tiếp cận khái niệm hàm số trong chương trình toán phổ thông so với tiến trình tương ứng của nó trong lịch sử ? - Làm thế nào xây dựng tình huống giảng dạy để khái niệm hàm số xuất hiện trước hết với vai trò công cụ, trước khi hàm số được định nghĩa và nghiên cứu ? 3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu Để đạt được mục đích nghiên cứu nêu trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic toán. Cụ thể, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm của Lý thuyết tình huống như: khái niệm tình huống dạy học, biến didactic, đồ án didactic để thiết kế tình huống dạy học, phân tích a priori và a posteriori tình huống. Sử dụng các khái niệm của Lý thuyết nhân chủng học như: tổ chức toán học, quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức để phân tích mối quan hệ thể chế với khái niệm hàm số nhìn từ góc độ vai trò công cụ. Ngoài ra, khái niệm Hợp đồng didactic được sử dụng để giải thích các ứng xử của học sinh trong tình huống thực nghiệm. Chúng tôi xem khái niệm hàm số trong một số giáo trình đại học hiện nay như một “xấp xỉ” của tri thức khoa học để tham chiếu. Trong phạm vi lí thuyết nêu trên, chúng tôi trình bày lại câu hỏi nghiên cứu của mình như sau: Q 1 : Từ những công trình nghiên cứu về lịch sử hình thành khái niệm hàm số đã có, khái niệm hàm số đã xuất hiện theo tiến trình nào ? Trong tiến trình đó, vai trò công cụ của khái niệm hàm số thể hiện ra sao ? Những tình huống nào cho phép khái niệm hàm số xuất hiện với vai trò công cụ ? Đặc trưng của những tình huống này ? Q 2 : Trong thể chế dạy học toán ở trường phổ thông Việt Nam, khái niệm hàm số được đưa vào giảng dạy có theo tiến trình nào? Trước và sau khi khái niệm hàm số được giảng dạy, vai trò công cụ của khái niệm này thể hiện ra sao? Có sự tương đồng và khác biệt nào của tiến trình tiếp cận khái niệm hàm số trong chương trình toán phổ thông so với tiến trình tương ứng của nó trong lịch sử ? Q 3 : Làm thế nào xây dựng một đồ án didactic để giảng dạy khái niệm tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch bằng cách vận dụng vai trò công cụ (ngầm ẩn) của khái niệm hàm số trước khi hàm số được định nghĩa và nghiên cứu trong chương trình toán phổ thông? Để đạt được mục đích nghiên cứu nêu trên, chúng tôi xác định phương pháp nghiên cứu được sơ đồ hóa như sau: PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN KHÁI NIỆM HÀM SỐ TỪ GÓC ĐỘ VAI TRÒ CÔNG CỤ NGHIÊN CỨU QUAN HỆ THỂ CHẾ KHÁI NIỆM HÀM SỐ NHÌN TỪ GÓC ĐỘ VAI TRÒ CÔNG CỤ XÂY DỰNG ĐỒ ÁN DẠY HỌC ĐỂ KHÁI NIỆM TỈ LỆ THUẬN BẰNH CÁCH VẬN DỤNG CÔNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM HÀM SỐ Có thể diễn giải sơ đồ phương pháp luận nghiên cứu như sau: + Trước hết chúng tôi nghiên cứu khoa học luận lịch sử hình khái niệm hàm số nhìn từ góc độ vai trò công cụ trên cơ sở phân tích, tổng hợp một số công trình đã có về nghiên cứu lịch sử khái niệm hàm số để trả lời câu hỏi Q 1 chúng tôi nêu ở trên. + Tiếp theo chúng tôi thực hiện một phân tích thứ hai là phân tích mối quan hệ thể chế với khái niệm hàm số (nhìn từ góc độ vai trò công cụ). Chúng tôi sẽ tiến thành phân tích sách giáo khoa toán hiện hành để trả lời câu hỏi Q 2 . + Trên cơ sở các phân tích trên chúng tôi nghiên cứu xây dựng các công đoạn dạy học khái niệm tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch bằng việc vận dụng công cụ của khái niệm hàm số. Chúng tôi xây dựng đồ án - Phân tích apriori tình huống - Thực nghiệm đồ án và phân tích a posteriori các dữ kiện thu thập được, đối chiếu với phân tích a priori. 4. Tổ chức của luận văn Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương: + Phần mở đầu trình bày một số ghi nhận và câu hỏi ban đầu dẫn đến việc chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn. + Trong chương 1, chúng tôi trình bày việc phân tích khoa học luận khái niệm hàm số từ góc độ vai trò công cụ. Cụ thể là phân tích tiến trình xuất hiện của các khái niệm hàm số qua các thời kì, tương ứng với các khái niệm đó chúng tôi xem xét vai trò công cụ của nó, và các tình huống dẫn đến khái niệm này. + Chương 2 là sự phân tích bộ SGK Toán của Việt Nam (từ lớp 1 đến lớp 12) nhìn từ góc độ vai trò công cụ. Với mục đích phân tích: phân tích tiến trình tiếp cận khái niệm hàm số trong sách giáo khoa ; xem xét vai trò công cụ (ngầm ẩn – tường minh) của khái niệm này trước và sau khi sách giáo khoa đưa ra định nghĩa. Từ đó, chúng tôi đối chiếu tiến trình tiếp cận khái niệm hàm số trong chương trình toán phổ thông so với tiến trình tương ứng của nó trong lịch sử. + Chương 3 xây dựng đồ án, phân tích apriori tình huống, thực nghiệm đồ án và phân tích a posteriori các dữ kiện thu thập được, đối chiếu với phân tích a priori. + Phần kết luận trình bày tóm lược các kết quả đã đạt được qua các chương 1, 2, 3 của luận văn và đề cập đến những hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận văn. Chương 1: PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM HÀM SỐ Mục tiêu của chương Phần đầu của chương này chúng tôi trình bày cơ chế hoạt động của khái niệm: cơ chế đối tượng, cơ chế công cụ 2. Từ đó, dựa trên một số tài liệu về lịch sử toán học đã có chúng tôi tiến hành phân tích khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm hàm số nhìn từ góc độ vai trò công cụ của nó. Chúng tôi phân tích, xem xét các tình huống, các bài toán dẫn đến khái niệm hàm số mà khái niệm hàm số được vận dụng như một công cụ để giải quyết tình huống, bài toán. 1.1. Cơ chế hoạt động và hình thức thể hiện của khái niệm R.Douady phân biệt ba cơ chế hoạt động khác nhau của khái niệm toán học: cơ chế “Đối tượng”, cơ chế “Công cụ ngầm ẩn” và cơ chế “Công cụ tường minh”. 1.1.1. Cơ chế công cụ Ta nói, một khái niệm hoạt động dưới dạng Công cụ khi nó được sử dụng một cách ngầm ẩn hay rõ ràng như một phương tiện để giải quyết một bài toán, một vấn đề. Ta nói đến Công cụ rõ ràng đối với các khái niệm được vận dụng bởi chủ thể và chủ thể có thể trình bày, giải thích việc dùng chúng. Ta nói đến Công cụ ngầm ẩn đối với các khái niệm được vận dụng ngầm ẩn bởi chủ thể và chủ thể không thể trình bày hay giải thích việc dùng này. 1.1.2. Cơ chế đối tượng Ở cấp độ tri thức khoa học, một khái niệm hoạt động dưới dạng Đối tượng, theo nghĩa một đối tượng văn hóa có vị trí trong cơ cấu tổ chức rộng hơn, đó là tri thức khoa học ở một thời điểm đã cho, được thừa nhận bởi xã hội, chúng là đối tượng nghiên cứu của các nhà toán học. 2 Nguồn: Lê Văn Tiến - Phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông - NXB ĐHSP 2003 Trong phạm vi toán học ở trường phổ thông, ta hiểu một khái niệm hoạt động dưới dạng Đối tượng khi nó là đối tượng được nghiên cứu (được định nghĩa, được khai thác các tính chất,…) 1.1.3. Các hình thức thể hiện khác nhau của khái niệm Theo Yves Chevallar (1991), một khái niệm toán học có thể thể hiện dưới ba hình thức sau đây: Khái niệm tiền toán học (protomathématique) : không tên, không định nghĩa, hoạt động như một công cụ ngầm ẩn. Khái niệm gần toán (paramethématique) : có tên, không có định nghĩa. Chúng là những khái niệm công cụ của hoạt động toán học. Nói chung, chúng không phải là đối tượng nghiên cứu của các nhà toán học. Khái niệm toán học: chúng vừa là đối tượng nghiên cứu vừa là công cụ được vận dụng để giải quyết các vấn đề. Chúng có tên và được định nghĩa ( theo nghĩa chặt chẽ, hay theo kiểu quy ước, mô tả, kiến thiết,…) Chú ý: Các cơ chế hoạt động và các hình thức thể hiện của một khái niệm chỉ có tính chất tương đối. Việc phân biệt phải căn cứ vào cấp độ, nơi, thời gian, phạm vi toán học,…. 1.2. Phân tích khoa học luận khái niệm hàm số nhìn từ góc độ công cụ 1.2.1. Thời cổ đại Trong thời cổ đại người Babylon đã lập và sử dụng bảng bình phương, bảng căn bậc hai, bảng lập phương, bảng căn bậc ba, bảng bộ ba số Pythagore. Người Hy Lạp thì có bảng Sin …. Bảng bình phương của người Babylon Rõ ràng trong các bảng này xác định sự tương ứng một - một: ứng với một số tự nhiên có bình phương tương ứng của nó, theo chiều ngược lại ứng với một số, có căn bậc hai (dương) của nó tương ứng. Theo toán học hiện đại những bảng này xác định một hàm số từ  đến  . ET Bell đã viết năm 1945: “Sẽ không nói quá khi cho rằng, người Babylon cổ đại, với thiên hướng về hàm số; một hàm số được định nghĩa là một bảng hay một sự tương ứng”. Tại hội thảo R.E.M 1995, Annie Bessot viết: “các khái niệm về hàm số không có chỗ trong toán học Hy Lạp.” Còn J J O'Connor và E F Robertson khẳng định “Chúng tôi phải từ chối các đề nghị cho rằng khái niệm hàm số có mặt trong toán học Babylon ngay cả khi chúng ta thấy rằng họ đã nghiên cứu các hàm số cụ thể.” Công cụ ngầm ẩn của khái niệm hàm số trong thời kì này thể hiện trong việc sử dụng các bảng này. Ứng với một số tự nhiên có căn bậc hai, căn bậc ba tương ứng của nó. Theo chiều ngược lại, ứng với một số tự nhiên có bình phương, lập phương tương ứng của số đó. 1.2.2. Thời trung đại Theo PGS. TS Lê Thị Hoài Châu:“Đây là thời kỳ mà người ta tìm cách định lượng một số hiện tượng hay một số đại lượng như vận tốc, nhiệt độ, mật độ…Các quy luật của hiện tượng tự nhiên bắt đầu được nghiên cứu như những luật kiểu hàm số” 3. Youschkevitch đã viết , “ Năm 1350 Oresme đã mô tả các quy luật tự nhiên như sự phụ thuộc của một đại lượng vào một đại lượng khác” 4. Chẳng hạn, N.Oresme (1323 -1382) đã biểu diễn cường độ của chất điểm chuyển động theo thời gian bằng hình học như sau: Vận tốc … Thời gian 3 4 Tạp chí toán tin - 2002 Nguồn: J J O'Connor and E F Robertson - The function concept- P 1 Và liên quan đến vận tốc Oresme đã đưa ra một phép chứng minh bằng hình học cho kết quả sau: trong một khoảng thời gian xác định, một vật chuyển động nhanh dần đều sẽ đi được một quãng đường bằng với quãng đường vật thứ hai chuyển động đều với vận tốc bằng trung bình cộng các vận tốc ở hai đầu mút của vật thứ nhất. Oresme đã chứng minh như sau: C G B F A Đường nằm ngang AB biểu diễn cho thời gian, đường thẳng đứng AC biểu diễn cho vận tốc tức thời, F là trung điểm AC biểu diễn cho vận tốc chuyển động đều thì diện tích tam giác ABC là quãng đường vật chuyển động nhanh dần đều đi được, diện tích hình chữ nhật AFGH là quãng đường vật chuyển động đều đi được, và diện tích hai hình này bằng nhau. Nếu gọi a là gia tốc của vật thứ nhất, gốc thời gian tại A thì trục AC biểu diễn vận tốc tức thời v = at . Hay trục AC là biểu diễn hình học của hàm vận tốc theo thời gian t , tương ứng với thời gian t B ta có vận tốc v C tương ứng. Trong chứng minh trên còn thể hiện ngầm ẩn công thức tính quãng đường vật chuyển động nhanh dần đều đi được S (t ) = 1 1 1 AB. AC = AB × AF = t × at = at 2 , và hàm S(t) được 2 2 2 biểu diễm ngầm ẩn bằng diện tích tam giác ABC hay diện tích hình chữ nhật ABGF. Trong thời kỳ này hàm số vẫn chưa xuất hiện, chưa được định nghĩa, hàm số xuất hiện ngầm ẩn, sự phụ thuộc giữa hai đại lượng chỉ được mô tả bằng lời, bằng hình học. Và hàm số được sử dụng như một công cụ ngầm ẩn để giải thích hay chứng minh một hiện tượng Vật lý và quy luật của các hiện tượng tự nhiên. 1.2.3. Thế kỷ 16 - 17 “Với sự ra đời của ngành Đại số Viète (Viète 1540-1603) đã cho phép ghi một biểu thức bao gồm cả các đại lượng đã biết và chưa biết. Chính sự ra đời của ngành đại số hiện đại này đã ảnh hưởng rất lớn đến quá trình hình thành khái niệm hàm số trong toán học” 5. Trong thời điểm này, những nghiên cứu về chuyển động của Galileo cho thấy Ông đã hiểu rất rõ về mối quan hệ giữa các biến. Galileo nhấn mạnh rằng “toán học là công cụ thích hợp nhất để nghiên cứu các hiện tượng tự nhiên”. Theo Ông, để nghiên cứu một hiện tượng, nhất định cần phải đo lường số lượng, xác định quy luật, và phải được mô tả một cách đơn giản nhất có thể bằng toán học. Năm 1638 Galileo nghiên cứu hai đường tròn đồng tâm O, đường tròn lớn hơn (C’) có bán kính gấp 2 lần bán kính đường tròn nhỏ (C). Các công thức quen thuộc cho chu vi của (C’) gấp hai chu vi của (C). Tuy nhiên với điểm P bất kỳ trên (C) nối OP cắt (C’) tại duy nhất một điểm P’. Cho thấy Galileo đã xây dựng một “hàm số” : một điểm trên (C ) tương ứng với duy nhất một điểm trên (C’). Tương tự, nếu lấy điểm Q bất kỳ trên (C’), nối QO cũng cắt (C ) tại duy nhất một điểm Q’. Một lần nữa Galileo lại có một “hàm số”: một điểm trên (C’) ứng với một điểm trên (C ). O P P’ Q’ Q Qua đó cho thấy Galileo đã chứng minh hai đường tròn trên có cùng số điểm, mặc dù chu vi của (C’) gấp hai chu vi của (C). Hay hàm số được vận dụng như một công cụ ngầm ẩn để chứng minh hai đường trong trên có cùng “lực lượng” điểm. Cùng thời với Galileo, Descartes đã giới thiệu đại số trong hình học trong cuốn La Géométrie. Ông nói “ Bằng cách lấy lần lượt và vô hạn các đại lượng đối với 5 Nguồn : Lê Thị Hoài Châu – Tạp chí Toán Tin 2002 ĐHSP TP.HCM đường y ta cũng có vô hạn các đại lượng khác nhau đối với đường x, và như vậy ta có vô hạn các điểm khác nhau, như là điểm được đánh dấu C, nhờ đó ta mô tả được đường cong mong muốn”. Trong mô tả trên tương ứng mỗi giá trị của “đường y” ta có tương ứng giá trị của “đường x”, chính sự tương ứng đó mô tả một đường cong. Vì vậy, có thể nói khái niệm hàm số đã xuất hiện ngầm ẩn bằng đường cong hình học. Newton (1642-1727) đã sử dụng khái niệm hàm số dưới dạng cơ học và hình học. Trong tác phẩm “phép tính vi phân và các chuỗi vô hạn” Ông đã chọn thời gian là một khái niệm phổ biến và giải thích những biến phụ thuộc như là những đại lượng sinh ra từ đó theo một cách thức liên tục. Và cũng trong tác phẩm này Newton đã cho thấy làm thế nào “hàm số” có thể được khai triển thành chuỗi vô hạn, do đó cho phép sự can thiệp của các quá trình vô hạn trong tính toán. Ông đã sử dụng thuật ngữ "fluent" để chỉ các biến độc lập, "relata quantitas" để chỉ ra các biến phụ thuộc và "genita" để chỉ kết quả thu được từ bốn phép tính cơ bản của số học. Leibniz (1646-1716), là người đầu tiên đã sử dụng từ hàm số để mô tả những vấn đề rất chung về sự phụ thuộc của các đại lượng hình học như tiếp tuyến và pháp tuyến vào hình dạng của đường cong. , Leibniz viết vào tháng 8 năm 1673: “… dạng khác của đường, mà theo hình đã cho biểu diễn một hàm số nào đó” . Ông cũng đưa vào các thuật ngữ “ biến số”, “hằng số” , “tham số”, “tọa độ”. Trong một bức thư của Johann Bernoulli (1667- 1727) gửi cho Leibniz ngày 02 tháng 9 năm 1694 Bernoulli đã diễn tả một hàm số như là “… một đại lượng được hình thành từ biến số và hằng số theo một cách nào đó”. PGS.TS Lê Thị Hoài Châu đã nhận xét về định nghĩa hàm số của Bernoulli như sau: “ Trong chiều sâu của định nghĩa chưa thật hoàn chỉnh ấy là ý tưởng biểu diễn hàm số bằng một công thức giải tích. Nhưng dường như không phải Bernoulli đã hiểu rằng hàm số còn là một cái gì đấy khác với những biểu thức giải tích được biết đến ở thời điểm đó.” Một trong những phát minh gây chấn động trong giới khoa học Anh trong thế kỷ này là phát minh của Jonh Napier (1550 – 1617) về logairt. Bảng logarit các số từ 1 đến 1000 chính xác đến 14 chữ số sau dấu phẩy 6 . Chính bảng logarit này đã giúp các nhà “khoa học” lúc bấy giờ tiết kiệm rất nhiều thời gian trong tính toán và nghiên cứu thiên văn. Tóm lại trong thế kỷ 16 – 17 khái niệm hàm số đã được mô tả ngầm ẩn bằng hình học, bằng đường cong hình học. Đến cuối thế kỉ 17 Johann Bernoulli đã định nghĩa hàm số, nhưng định nghĩa này thiếu chính xác, “ý tưởng của định nghĩa là hàm số được cho bằng biểu thức giải tích” 7. Hàm số được sử dụng như một công cụ ngầm ẩn để chứng minh toán học (chứng minh hai đường tròn có bán kính khác nhau nhưng có cùng “lực lượng điểm”), mô tả đường cong hình học, xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong tại một điểm, tìm logarit qua bảng tính của Nepier,… 1.2.4 Thế kỷ 18 Trong tác phẩm Introductio in analysin infinitorum xuất bản năm 1748, trong lời giới thiệu Euler nhấn mạnh “toán học giải tích là một ngành khoa học tổng quát về biến số và các hàm số của nó”. Và Ông đã đưa ra định nghĩa hàm số: “ Hàm số của một đại lượng biến thiên là một biểu thức giải tích được hình thành theo một cách nào đó từ biến số và hằng số” 8. Euler không định nghĩa “biểu thức giải tích” nhưng có thể hiểu “biểu thức giải tích” bao gồm các phép toán đại số, phép lấy căn, chuỗi số, hàm số mũ, logarit, lượng giác, đạo hàm, tích phân. Euler cũng phân chia hàm số thành các loại khác nhau như hàm số đại số, hàm số siêu việt. Ví dụ các hàm siêu việt: hàm số mũ, hàm số logarit…Và Ông cho rằng tất cả các hàm siêu việt cần được nghiên cứu bằng cách khai triển nó thành chuỗi (nhưng phải chứng minh trong 6 Nguồn : Nguyễn Cang – Lịch sử Toán học Nguồn : Lê Thị Hoài Châu – Tạp chí Toán Tin 2002 ĐHSP TP.HCM 8 Nguồn: J J O'Connor and E F Robertson - The function concept 7 từng trường hợp cụ thể). Euler còn đưa ra định nghĩa hàm số liên tục là hàm “chỉ bểu diễn bằng duy nhất một biểu thức giải tích” 9. Một trong trong những bài toán nổi tiếng ở thế kỷ 17- 18 là bài toán Basel: ∞ 1 1 1 1 Tính tổng của chuỗi 1 + 2 + 3 + ... + 2 + ... = được Jakob Bernoulli giới ∑ 2 2 3 n n =1 n thiệu từ năm 1689. Bài toán trên đã thu hút và đã làm tốn rất nhiều công sức của các nhà Toán học đương đại. Euler đã vận dụng hàm số để giải bài toán Besel như sau: sin x sin x x2 x4 x6 =− 1 + − + .... Euler dùng khai triển hàm tại x = 0 : x x 3! 5! 7! Ông lưu ý rằng (1) sin x = 0 khi x = ±π ; ±2π ; ±3π ; ±4π .... , do đó x sin x  x  x  x  x  x  x  x  x  = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 +  ... x  π  π  2π  2π  3π  3π  4π  4π   x 2  x 2  x 2  x2  = 1 − 2 1 − 2 1 − 2 1 − ... (2) 2  4 9 16 π π π π      Hệ số chứa x2 của đẳng thức trên là (−1 − 1 1 1 1 − − ...) 2 4 9 16 π (3) Ông lập luận rằng hệ số chứa x2 ở (1) và (2) phải bằng nhau, do đó ta được: 1 1 1 1 −1 1 1 1 π2 (−1 − − − − ...) 2= ⇒ 1 + + + + ...= 4 9 16 π 3! 4 9 16 6 Nhận xét: Euler đã vận dụng công thức khai triển hàm sinx tại x= 0 của Newton , và tính toán hình thức trên biểu thức vô hạn. Sử dụng phương pháp đồng nhất thức của hai đẳng thức bằng nhau (1) và (2) được kết quả (−1 − 9 Nguồn: J J O'Connor and E F Robertson - The function concept 1 1 1 1 −1 − − − ...) 2 = . 4 9 16 3! π Một trong các vấn đề gây tranh cãi nhiều trong thời gian này đó là bài toán Vibrating-String: Một dây đàn hồi có hai đầu cố định là 0 và l , nó được làm biến dạng thành một số hình dạng ban đầu, sau đó nó được thả ra cho dao động. Vấn đề đặt ra là xác định một hàm số mô tả hình dạng của chuỗi tại thời gian t. l 0 Để hiểu được các cuộc tranh luận xung quanh vấn đề chuỗi dao động, đầu tiên chúng ta phải đề cập đến “tín điều” (article of faith) của toán học ở thế kỷ 18: “Nếu hai biểu thức giải tích đồng nhất trên một khoảng thì chúng đồng nhất trên mọi khoảng” 10. Năm 1747, d'Alembert đưa ra lời giải như sau: Ông cho rằng giao động của 2 d2y 2 d y (*)( a là dây rung được biểu diễn các phương trình vi phân từng phần 2 = a ∂t ∂x 2 hằng số). Phương trình (*) được gọi là wave equation, với các điều kiện biên = y (0, t ) 0;= y (l , t ) 0 dy ( x) và 0 và điều kiện ban = đầu: y ( x,0) f= t =0 ∂t Ông đã giải phương trình vi phân từng phần và tìm được: y ( x, t ) = ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) , với ϕ là hàm tùy ý . 2 ,0) f= ( x) ϕ ( x) trên (0; l ) Từ đó y ( x= ϕ ( x + 2l ) = ϕ ( x) và ϕ (− x) = ϕ ( x) 10 Nguồn: Evolution of the Function Concept: A Brief Survey Do vậy ϕ xác định trên (0; l ) và biểu diễn hình dạng ban đầu của dây rung, ϕ là hàm liên tục và là hàm tuần hoàn lẻ với chu kì 2l . D'Alembert cho rằng hàm ϕ ( x) (cũng như f(x)) phải là một biểu thức giải tích, do đó nó phải cho bằng công thức . Hơn nữa biểu thức giải tích thỏa phương trình wave equation và phải khả vi cấp hai. Năm 1748, Euler đã viết một bài báo về bài toán này, trong đó ông hoàn toàn đồng ý với d'Alembert giải pháp mà d'Alembert đưa ra, nhưng khác với d'Alembert về giải thích của mình. Euler lập luận rằng giải pháp d'Alembert's không “tổng quát”, Ông khẳng định rằng với thực nghiệm cho thấy khi cho các giá trị t khác nhau vào phương trình y ( x, t ) = ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) ta được hình dạng của dây 2 rung, ngay cả khi hình dạng ban đầu của dây rung không được biểu diễn bằng một đơn công thức giải tích (biểu thức đơn). Nhìn nhận theo quan điểm vật lý, Euler lập luận rằng hình dạng ban đầu của chuỗi có thể được cho:(a) hoặc bởi nhiều công thức khác nhau trên khoảng con của khoảng (0; l ) ; (b)hoặc bằng cung tùy ý được vẽ (bằng tay). Nhưng cả hai loại hàm số (a) và (b) là không liên tục (theo quan điểm toán học lúc đó), vì vậy giải pháp của d'Alembert's không tổng quát. Năm 1753, Daniel Bernoulli đưa ra lời giải: Phương trình của chuỗi rung: nπ x nπ at y ( x, t ) = ∑ bn sin .cos ,0) f= ( x) ,vì vậy y ( x= l l n =1 ∞ ∞ ∑ b sin n =1 n nπ x , với f ( x) là l hàm bất kì biểu diễn hình dạng ban đầu của dây rung. Cả Euler và d'Alembert đều không chấp nhận giải pháp của Bernoulli, họ cho rằng giải pháp của Bernoulli là “ấu trĩ” vì theo “ tín điều” toán học lúc bấy giờ thì ∞ f ( x) và ∑ b sin n =1 n ∞ khoảng. Mà ∑ b sin n =1 “ấu trĩ”. nπ x l n đồng nhất trên (0; l ) nên nó phải đồng nhất trên mọi nπ x là hàm tuần hoàn lẻ, do đó kết luận f ( x) là hàm tùy ý là l