Tài liệu ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quốc Khánh ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Quốc Khánh ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN CHÍ LONG Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CÁM ƠN Tôi xin dành những dòng đầu tiên của luận văn để bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến TS. Nguyễn Chí Long vì quãng thời gian được Thầy tận tâm chỉ dạy về mặt nghiên cứu khoa học cũng như đã động viên, giúp tôi có đủ niềm tin và nghị lực để hoàn thành luận văn này. Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất cả các thầy, cô bộ môn Giải Tích, Khoa Toán Tin, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ, truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt khóa học. Xin chân thành cảm ơn: - Ban giám hiệu và các thầy cô trong tổ Toán của Trường THPT Trung Phú, Huyện Củ Chi, TP.HCM nơi tôi công tác, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình. - Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học, ban chủ nhiệm và giảng viên khoa Toán - Tin của trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong cả khóa học. Tôi cũng rất cảm ơn các bạn, các anh chị học cùng Khóa 20 đã cùng tôi chia sẻ những buồn vui, những khó khăn trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng tôi xin dành trọn tấm lòng biết ơn của mình đối với những người thương yêu trong gia đình, bố mẹ, các em. Những người đã luôn động viên tinh thần và là chỗ dựa cho tôi về mọi mặt. TP. Hồ Chí Minh, Tháng 3 năm 2012 Nguyễn Quốc Khánh MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN ...........................................................................................................................................1 MỞ ĐẦU...................................................................................................................................................4 CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...................................................................................................5 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT. ....................................................................................5 I. Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối: ......................................................................................5 II. Vectơ ngẫu nhiên: .............................................................................................................11 III. Định nghĩa tổng quát kỳ vọng có điều kiện: ...................................................................12 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ .....................................................................................................15 I. Quá trình ngẫu nhiên là gì ?.................................................................................................15 II. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc: ...........................................................16 III. Phân phối Poisson: ............................................................................................................16 IV. Quá trình Poisson:.............................................................................................................18 V. Quá trình có số gia độc lập: ..................................................................................................19 MARTINGALE ..................................................................................................................................20 I. Khái niệm tương thích và dự báo được: .............................................................................22 II. Martingale: ........................................................................................................................23 III. Thời điểm dừng: ................................................................................................................25 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ...........................................................................................................28 I. II. Phép biến đổi Laplace:..........................................................................................................28 Phép biến đổi Laplace ngược: ..........................................................................................29 CHƯƠNG II: MÔ HÌNH CRAMER LUNDBERG ...............................................................................30 I. Bài toán “Thiệt hại” đối với một công ty bảo hiểm và Mô hình Cramer – Lundberg (Cramer – Lundberg Model): ..........................................................................................................30 1) Thuật ngữ: .............................................................................................................................30 2) Định nghĩa bài toán “Thiệt hại” đối với một công ty bảo hiểm: .......................................31 3) Mô hình Camer – Lundber: .................................................................................................31 4) Chú ý: .....................................................................................................................................32 II. Xác suất “Thiệt hại” (Ruin Probability): ............................................................................34 1) Định nghĩa: ............................................................................................................................34 2) Bổ đề:......................................................................................................................................35 3) Chú ý: .....................................................................................................................................36 4) Tính xác suất thiệt hại: .........................................................................................................37 III. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP MARTINGALE ĐỂ XÁC ĐỊNH XÁC SUẤT THIỆT HẠI . PHÁT BIỂU VÀ CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ CRAMER – LUNDBERG: ........................38 1) Đặt lại bài toán: .....................................................................................................................39 2) Các giả thiết của định lý Cramer – Lundberg: ..................................................................40 3) Phát biểu định lý Cramer – Lundberg:...............................................................................41 4) Chứng minh định lý Cramer – Lundberg: .........................................................................41 IV. CÁC CHÚ Ý QUAN TRỌNG:.............................................................................................46 Chương III: MỞ RỘNG CỦA MÔ HÌNH ..............................................................................................50 I. Giới thiệu các mô hình:.............................................................................................................50 II. Các chú ý sơ bộ: ....................................................................................................................52 III. Một số kết quả quan trọng: ..................................................................................................53 IV. Các định lý: ............................................................................................................................56 KẾT LUẬN .............................................................................................................................................65 TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................................................................66 MỞ ĐẦU Trong cuộc sống hàng ngày, lúc này hay lúc khác, dù không hề mong muốn và dù khoa học kỹ thuật có tiến bộ đến đâu, người ta vẫn có thể phải gánh chịu những rủi ro tổn thất bất ngờ. Tác động của rủi ro làm cho con người không thu hái được kết quả như đã dự định trước và tạo ra sự ngưng trệ sản xuất, sinh hoạt xã hội. Đó chính là tiền đề khách quan cho sự ra đời của bảo hiểm nói riêng và các loại quỹ dự trữ nói chung. Tồn tại song song với các loại quỹ dự trữ khác. Bảo hiểm có vai trò như một công cụ an toàn thực hiện chức năng bảo vệ con người, bảo vệ tài sản cho xã hội. Lý thuyết rủi ro là một trong những lý thuyết quan trọng của khoa học Thống Kê. Một công trình rất sớm của Filip Lundberg trong một luận án tiến sĩ nổi tiếng ở đại học Uppsala (Thụy Điển) năm 1903 đã đưa đến việc sáng lập ra lý thuyết rủi ro tài chính. Lundberg đã nhận ra rằng các quá trình Poisson phải là các công cụ trung tâm trong các mô hình về bảo hiểm tài chính. Sự phát hiện của ông cũng giống như việc Bachelier tìm ra chuyển động Brown vào năm 1900, là nền tảng then chốt cho việc xây dựng các mô hình toán học về tài chính. Sau đó, Harald Cramer và trường phái Stockholm đã phát triển các ý tưởng của Lundberg và đóng góp vào việc hình thành nên lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên trong toán học. Với các kết quả đó, Cramer đã đóng góp một cách đáng kể vào lý thuyết bảo hiểm lẫn lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Nội dung luận văn bao gồm 03 chương: Chương 1:Trình bày các kiến thức cơ bản về xác suất và thống kê, các kiến thức cơ bản về giải tích ngẫu nhiên. Để hiểu rõ các khái niệm, tính chất này, đòi hỏi chúng ta phải hiểu rõ định nghĩa, tính chất, và các định lý có liên quan đến tích phân Lesbegue. Chương 2: Chúng ta sẽ tìm hiểu các giả thiết của mô hình Cramer – Lundberg , phát biểu và chứng minh định lý nổi tiếng, định lý Cramer – Lundberg trong việc ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình. Chương 3:Ước lượng xác suất thiệt hại do yêu cầu bồi thường lớn trong mô hình rủi ro đổi mới trì hoãn. Tuy nhiên, do thời gian và điều kiện nghiên cứu có hạn dù đã hết sức cẩn thận, tỷ mỉ trong soạn thảo và in ấn, luận văn cũng không tránh khỏi những sai sót ngoài ý muốn. Do đó, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp, phê bình, xây dựng của các thầy cô và các bạn tham khảo đề tài này. CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này trình bày các khái niệm mở đầu về xác suất, giải tích ngẫu nhiên. Các tính chất, và các định lý trong chương không nêu lại chứng minh cụ thể, mà chỉ dừng lại ở việc giới thiệu và nêu lên ý nghĩa để chuẩn bị cho chương II, III và cũng là phần chính của Luận văn. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT. I. Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối: 1) Không gian xác suất: • Thí nghiệm hay phép thử ngẫu nhiên là thí nghiệm có nhiều kết quả mà ta không biết kết quả nào sẽ xảy ra. • Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của thí nghiệm ta gọi là không gian mẫu hay không gian các biến cố sơ cấp. Ký hiệu:  . • Mỗi tập hợp A   được gọi là một biến cố. Dưới đây ta giả sử  là một tập khác rỗng nào đó. • Một họ các biến cố  được gọi là trường hay đại số nếu: a.  chứa không gian mẫu, tức là    . b.  kín đối với phép lấy phần bù, tức là, A   thì Ac   , trong đó Ac   \ A . c.  kín đối với phép lấy hợp hữu hạn, tức là, nếu: Ak  , k  1,2,..., n thì n A k 1 k . • Một họ các biến cố  được gọi là s  trường hay s  đại số nếu: a.  chứa không gian mẫu, tức là,    . b.  kín đối với phép lấy phần bù, tức là, A   thì Ac   , trong đó Ac   \ A . c.  kín đối với phép lấy hợp đếm được, tức là nếu: An  , n  1,2,... thì  A n 1 n  . • Định nghĩa xác suất theo tiên đề của Kolmogorov: Cho  là không gian các biến cố sơ cấp trong phép thử ngẫu nhiên.  là s  đại số trên  và p là ánh xạ từ   [0,1] có tính chất:  p()  1 .       p   An    p(An ) , với An   , đo được, đôi một rời nhau. n 1  n 1 Thì p được gọi là độ đo xác suất và lúc đó bộ ba , , p  được gọi là không gian xác suất. • Không gian đo là cặp ,   , trong đó  là không gian mẫu nào đó,  là s  trường. • Giả sử  là một tập hợp mà mỗi phần tử của nó là một tập con của  . Khi đó ta nói  là một lớp. Ta ký hiệu 2 là lớp gồm tất cả các tập con của  . Đó là s  trường lớn nhất. Trong khi đó lớp gồm 2 tập ,  là s  trường bé nhất. Giao của các s  trường chứa  cũng là s  trường chứa  . Vì thế, tồn tại s  trường bé nhất chứa  . Ta ký hiệu s  trường này là s( ) , và gọi đó là s  trường sinh ra từ  . • Về thực chất s  trường là khái niệm tổng quát hóa khái niệm phân hoạch. Nói rằng dãy hữu hạn hay vô hạn các tập (An ) là phân hoạch của  , nếu hợp của chúng bằng  và chúng rời nhau từng cặp, tức là: Ai  Aj  , i  j . Trong trường hợp như thế ta có thể viết:    An . n Dể dàng thấy, s  trường sinh ra từ phân hoạch này là lớp tất cả các tập có dạng: A . n I n Trong đó I là tập con của 1,2,..... . • Cho hai không gian đo (1, 1 ),(2, 2 ) . Tập chữ nhật là tập có dạng: A1  A2, Ai  i , i  1,2 . Ký hiệu: 1  2 là s  trường chứa các tập chữ nhật, và gọi đó là s  trường tích . Khi đó, (1 2, 1  2 ) được gọi là không gian đo tích. • Khi  là không gian metrtic E , thì ta ký hiệu (E ) là s  trường sinh ra từ các tập mở, và gọi (E ) là s  trường Borel của E . Trong trường hợp E là đường thẳng thực  , thì () trùng với s  trường sinh ra từ các khoảng. Khi E   n thì ta viết  n thay cho ( n ) • Ta hiểu độ đo trên s  trường  là ánh xạ m :   [0, ] sao cho tồn tại A   với m (A)   và nếu An  , n  1,2,... là dãy các tập rời nhau từng cặp thì:      m   An    m (An ) . n 1  n 1 Độ đo m là hữu hạn nếu m ()   ; độ đo m là s  hữu hạn hay hữu hạn đếm được nếu:   A , A n 1 n n  , m (An )  , n  1,2,... Tập B   được gọi là tập có m  độ đo không nếu tồn tại A   sao cho : B  A, m (A)  0 . Độ đo m được gọi là đủ hay chính xác hơn là  đủ đối với m nếu  chứa tất cả các tập có m  độ đo không. • Xác suất P là độ đo chuẩn hóa, tức là P ()  1 . Trong trường hợp đó, bộ ba (, , P ) được gọi là không gian xác suất cơ sở. Nếu  đủ đối với P thì ta nói (, , P ) là không gian xác suất đủ. Ta thường sử dụng các ký hiệu sau: P (A), P A , P A để chỉ xác suất của biến cố A .   P (A B ), P A B  , P A B để chỉ xác suất có điều kiện của biến cố A   khi B đã xảy ra hay B đã cho. Xác suất có điều kiện được định nghĩa theo công thức: P (A B )  P (A  B ) , P (B )  0. P (B ) 2) Biến ngẫu nhiên: • Một đại lượng hay một biến nhận giá trị thực với một xác suất tương ứng nào đấy được gọi là một đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên. Định nghĩa theo xác suất của nó là : Biến ngẫu nhiên là ánh xạ: X :    sao cho: (X  x )  w   | X (w)  x   , x   . Hoặc tương đương X 1(B )  w   | X (w )  B   , B   .  : Là s  trường các tập con của  .  : Là s  trường các tập con của  . • Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X được xác định theo công thức: F (x )  P X  x , x   . Hàm số này có các tính chất cần và đủ sau:  Không giảm.  Liên tục bên phải.  lim F (x )  0 , x  lim F (x )  1 . x  Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu tập hợp các giá trị của nó là hữu hạn hay đếm được. Ký hiệu: (x 1, x 2,...x n ) là các giá trị của X . Ta đặt: pn  P (X  x n ), (n  1,2,....) và gọi (pn ) là dãy phân phối xác suất của X . Dãy số này có các tính chất cần và đủ sau:  pn  0, n   .  p n n  1. Biến ngẫu nhiên X được gọi là liên tục nếu hàm phân phối xác suất của nó có đạo hàm. Trong trường hợp này ta gọi: f (x )  F (x ), x   là hàm mật độ. Hàm số này có các tính chất cần và đủ sau:  f (x )  0, x  .    f (x )dx  1 .  3) Kỳ vọng và phương sai: Giả sử (, , P ) là một không gian xác suất, X là biến ngẫu nhiên. • Trường hợp rời rạc: Kỳ vọng của X là số thực xác định theo công thức: EX   x n pn   x n P (X  x n ) n n nếu chuỗi hội tụ tuyệt đối. Kỳ vọng có điều kiện của X khi biến cố B đã cho là số thực xác định theo công thức: E (X | B )   x n P (X  x n | B ) n Phương sai của X là số thực không âm xác định theo công thức: 2   VarX  E [X  EX ]  EX  (EX )   p x   pn x n   n  n 2 2 2 2 n n Phương sai có điều kiện của X khi biến cố B đã cho là số thực xác định theo công thức: Var (X | B )  E [X  E (X | B )]2  E (X 2 | B )  E (X | B ) . 2 • Trường hợp liên tục: Kỳ vọng của X là số thực xác định theo công thức:  EX   xf (x )dx .  Phương sai của X là số thực không âm xác định theo công thức: 2    2 2 2 VarX  E [X  EX ]  EX  (EX )   x f (x )dx    xf (x )dx  .      • Định nghĩa tổng quát của kỳ vọng: Trước hết ta trình bày vắn tắt cách xây dựng tích phân Lebesgue. Giả sử (, , m ) là một không gian độ đo, f :    là một hàm đo được. f  Nếu là hàm đơn giản: n f   ak A , ak  , Ak  , k  1,2,..., n. k k 1 thì ta đặt n  f (w)d m(w)  a m(A ) k 1  k k    Nếu f là hàm đo được không âm: thì tồn tại dãy hàm đơn giản fn sao cho fn  fn 1 và f (w )  lim fn (w ), w   n Khi đó ta đặt  f (w)d m(w)  lim  f (w)d m(w) n  n   Nếu f  f   f  ( f , f  là các phần dương, phần âm của f ) là hàm đo được bất kỳ sao cho một trong hai số: f   (w)d m (w ),  f (w )d m (w ) hữu hạn thì ta nói f có tích phân  Lebesgue (đối với độ đo m ) và đặt:  fd m  f (w)d m(w)  f     (w )d m (w )   f (w )d m (w ) .  Nếu cả hai tích phân vế phải hữu hạn thì ta nói f khả tích Lebesgue (đối với độ đo m ).  Bằng cách tương tự ta định nghĩa hàm đo được f :    , trong đó   [, ] , và định nghĩa tích phân Lebesgue cho những hàm số như thế.  Trong lý thuyết xác suất, X :    , được gọi là biến ngẫu nhiên suy rộng nếu: w   |   X (w)  x   , x   . Khi m  P là độ đo xác suất và X là biến ngẫu nhiên thì ta viết : EX   XdP  Và gọi đó là kỳ vọng của X . Ta nói X có kỳ vọng hữu hạn nếu E X   và nói X có kỳ vọng nếu một trong hai số EX , EX  hữu hạn. • Khái niệm hầu khắp nơi – hầu chắc chắn: Cho một không gian độ đo (X , , m ), A   . Ta nói một tính chất (T ) nào đó xảy ra hầu khắp nơi trên A viết tắt là: h.k.n nếu tồn tại một tập hợp B   sao cho : B  A, m (B )  0 , và tại mỗi điểm x  A \ B đều có tính chất (T ) . Trong trường hợp m  P là độ đo xác suất thì ta nói tính chất (T ) xảy ra hầu chắc chắn thay cho hầu khắp nơi. • Moment: Cho X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất (, , p) , ta gọi:  Moment gốc cấp K của X là kỳ vọng của X K : aK  E (X K ) .  Moment trung tâm cấp K : m K  E (X  EX )K . II. Vectơ ngẫu nhiên: Ta nói rằng X  (X1, X 2,..., X n ) là véctơ ngẫu nhiên n chiều , nếu mỗi thành phần X k , k  1,2,.., n của X là biến ngẫu nhiên. Nói cách khác, X :    n là véc tơ ngẫu nhiên nếu: w   | X 1  x 1, X 2  x 2,..., X n  x n    Với mọi x  (x 1, x 2,..., x n )   n . Hàm phân phối của X được xác định theo công thức sau: FX (x )  P X1  x 1,..., X n  x n  Hàm này được gọi là hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên X1, X 2,..., X n . Giả sử hàm phân phối của FX (x ) biến ngẫu nhiên n chiều X  (X1, X 2,..., X n ) có dạng: FX (x 1, x 2,..., x n )  x1 x2 xn   .....     f (t1, t2,..., tn )dt1dt2 ...dtn . Trong đó f (t1, t2,..., tn )  0 , (t1, t2,..., tn )   n . Thì hàm f (t1, t2,..., tn ) III. được gọi là hàm mật độ đồng thời của véctơ ngẫu nhiên X và lúc đó véctơ ngẫu nhiên X được gọi là liên tục. Định nghĩa tổng quát kỳ vọng có điều kiện: 1) Đối với phân hoạch: Giả sử (Bn ) là phân hoạch của  , tức là : Bi  B j  , i  j ,    Bn . Ký hiệu  là s  trường sinh ra từ phân hoạch này. Giả sử n P (Bn )  0 với mọi n . Với A   ta đặt : 1 khi w  B n P (A |  )   P (A | Bn )B trong đó B (w)   . n n  0 khi w B  n n    Với X là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng, tức là: min(EX , EX )   . Đặt : E (X |  )   E (X | Bn )B . n n Nhớ rằng theo định nghĩa ta có: P (A | B )  P (A  B ) 1 XdP . , E (X | B )  P (B ) P (B ) B Như vậy: E (X |  )  E (X | Bn ) trên Bn . Từ đó suy ra, E (X |  ) là biến ngẫu nhiên   đo được và  E (X |  )dP   XdP , B   . B B 2) Đối với 𝝈 −trường: Giả sử  là s  trường con của  . • Kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên X  0 đối với  là biến ngẫu nhiên suy rộng không âm: E (X |  ) :   [0, ] Sao cho: a. E (X |  ) là   đo được. b. Với mọi A   ta có:  XdP   E (X |  )dP . A A (III.2.1) • Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ sao cho:   min E (X  |  ), E (X  |  )   Khi đó ta nói: X có kỳ vọng có điều kiện đối với s  trường  , và gọi E (X |  )  E (X  |  )  E (X  |  ) là kỳ vọng có điều kiện của X đối với  .  • Đặc biệt, nếu E X   PX   x dx   thì kỳ vọng có điều kiện 0 của X đối với  là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng hữu hạn E (X |  ) :   (, ) Được xác định bởi hai điều kiện a, b ở trên. • Với A   , ta đặt: P (A |  )  E (A |  ) . Và gọi đó là xác suất có điều kiện của A đối với  . Từ công thức (III.2.1) ta có: P (A |  ) là biến ngẫu nhiên   đo được và, P (A  B )   P(A |  )dP, B   . B • Phương sai có điều kiện được xác định theo công thức : 2   Var (X |  )  E X  E (X |  ) |   .   • Nếu Y là biến ngẫu nhiên s(Y ) là s  trường Y 1 () thì ta viết E (X | Y ) : E (X | s(Y ))   • Nếu Y  Y1,Y2,...,Yn là vectơ ngẫu nhiên và s(Y ) là s  trường   Y 1 ( n ) thì ta viết: E X | Y1,...,Yn  : E X | s(Y ) .   Đó chính là kỳ vọng có điều kiện của X đối với Y  Y1,...,Yn . 3) Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện: Dưới đây ta quy ước như sau: - Khi viết kỳ vọng có điều kiện thì ta ngầm giả sử kỳ vọng có điều kiện tồn tại. - Đồng nhất các biến ngẫu nhiên bằng nhau hầu chắc chắn, và các đẳng thức, bất đẳng thức, hiểu theo nghĩa: được thực hiện hầu chắc chắn. a) Nếu X là   đo được thì E (X |  )  X . Đặc biệt nếu C là hằng số thì E (C |  )  C . b) Nếu X  Y thì E (X |  )  E (Y |  ) . Đặc biệt, ta có bất đẳng thức:  E (X |  )  E x   c) Nếu a, b   thì E (aX  bY ) |    aE (X |  )  bE (Y |  ) d) E E (X |  )  EX .   e) Nếu s(X ) và  độc lập thì E (X |  )  EX . Đặc biệt, nếu X ,Y độc lập thì E (X | Y )  EX . f) Nếu 1  2 thì E E (X | 2 ) | 1   E E (X | 1 ) | 2   E (X | 1 ) . g) Nếu Y là   đo được thì E (XY |  )  YE (X |  ) . h) Nếu 0  ,  (s  trường tầm thường) thì: E (X | 0 )  EX . 4) Các định lý về chuyển giới hạn dưới dấu kỳ vọng có điều kiện: Giả sử (X n ) là dãy các biến ngẫu nhiên suy rộng. a) Nếu X n  Y , EY   và X n  X hầu chắc chắn thì: lim E (X n |  )  E (X |  ) hầu chắc chắn n  Và   lim E  X n  X |    0 hầu chắc chắn.   b) Nếu X n  Y , EY   và X n  X hầu chắc chắn, thì n  E (X n |  )  EX hầu chắc chắn. c) Nếu X n  Y , EX   và X n  X hầu chắc chắn, thì: E (X n |  )  E (X |  ) hầu chắc chắn. d) Nếu X n  Y , EY   , thì: E (lim inf X n |  )  lim inf E (X n |  ) hầu chắc chắn. n  n  e) Nếu X n  Y , EY   , thì E (lim sup X n |  )  lim sup E (X n |  ) hầu chắc chắn. n  n  f) Nếu X n  0 , với mọi n , thì E  X n |     E (X n |  ) hầu chắc chắn. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN I. Quá trình ngẫu nhiên là gì ? Cho (, , P ) là một không gian xác suất. 1) Quá trình ngẫu nhiên: Một quá trình ngẫu nhiên (Xt , t  0) là một hàm hai biến X (t, w ) xác định trên tích    lấy giá trị trong  , và là một hàm đo được đối với s  trường tích (  )   , trong đó (  ) là s  trường các tập Borel trên    [0, ) . Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel  trên  thì tập hợp: (t, w)     : X (t, w)    Là một phần tử của s  trường tích (  )   . s  trường này là s  trường nhỏ nhất chứa các tập có dạng: [0, t ] A với t    và A   2) Khi cố định một w   , thì ánh xạ riêng phần t  X (t, w ) từ   vào  được gọi là một quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên X  (Xt , t  0) , ứng với yếu tố ngẫu nhiên w ấy. 3) Nếu X lấy giá trị trong không gian  n (n  1) thì ta có một quá trình ngẫu nhiên n  chiều. 4) Trong tài chính, các quá trình giá chứng khoán St , giá trái khoán Pt , giá sản phẩm phái sinh C t …đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên. II. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc: 1) Một họ các s  trường con (t , t  0) của  , t   , được gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu: • Đó là một họ tăng theo t , tức là s  t nếu s  t . • Họ đó là liên tục phải, tức là t   e 0 t e . • Nếu A   và P (A)  0 thì A  0 (và do đó A nằm trong mọi t ). 2) Cho một quá trình ngẫu nhiên X  (Xt , t  0) . Ta xét s  trường t X sinh bởi tất cả các biến ngẫu nhiên Xs với s  t : tX  s(Xs , s  t ) . s  trường này chứa đựng mọi thông tin về diển biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm t . Người ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình X , hay là lịch sử của X , hay cũng còn gọi là trường thông tin về X. 3) Một không gian xác suất (, , P ) trên đó ta gắn thêm vào một bộ lọc (t ) , được gọi là một không gian xác suất được lọc và ký hiệu là , ,  , P  . t III. Phân phối Poisson: 1) Định nghĩa: Trong lý thuyết xác suất và thống kê, Phân phối Poisson (phân phối Poa-xông) là một phân bố xác suất rời rạc. Nó khác với các phân bố xác suất rời rạc khác ở chỗ thông tin cho biết không phải là xác suất để một sự kiện (event) xảy ra (thành công) trong một lần thử như trong phân bố Bernoulli, hay là số lần mà sự kiện đó xảy ra trong n lần thử như trong phân bố nhị thức, mà chính là trung bình số lần xảy ra thành công của một sự kiện trong môt khoảng thời gian nhất định. Giá trị trung bình này được gọi là lamda, kí hiệu là l . Phân phối Poisson còn được dùng cho khoảng mà đơn vị khác thời gian như: khoảng cách, diện tích hay thể tích. Một ví dụ cổ điển là sự phân ra hạt nhân của các nguyên tử. Phân phối này được tìm ra bởi nhà toán học Siméon-Denis Poisson (1781–1840) và đã được xuất bản cùng với lý thuyết xác suất của ông, vào năm 1838 với tựa đề Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile ("Research on the Probability of Judgments in Criminal and Civil Matters"). Theo đó, nếu xem xét một biến ngẫu nhiên N nào đó, và đếm số lần xuất hiện (rời rạc) của nó trong một khoảng thời gian cho trước. Nếu giá trị kì vọng (hay số lần trung bình mà biến ngẫu nhiên đó xảy ra trong khoảng thời gian đó là l , thì xác suất để cũng chính sự kiện đó xảy ra k lần (k là số nguyên không âm, k = 0, 1, 2, ...) sẽ được tính theo công thức: lke l f (l; k )  k! Vì đây là biến ngẫu nhiên rời rạc, công thức trên cho ta công thức của hàm phân phối xác suất: pX (X  k )  lke l , k  1,2,... k! 2) Sự ra đời: Phân phối Poisson ra đời gắn liền với quá trình Poisson. Nó được áp dụng cho nhiều hiện tượng (có tính rời rạc) (nghĩa là số lần xuất hiện trong một khoảng (thời gian, không gian) cho trước phải là số nguyên 0, 1, 2, 3, ... ) với xác suất để sự kiện (hiện tượng) đó xảy ra là không đổi trong suốt khoảng (thời gian, không gian) đó. Các ví dụ sau được mô hình theo phân phối Poisson: • • • • • • • • • • • • • Số lượng xe hơi đi ngang qua 1 điểm trên con đường trong một khoảng thời gian cho trước. Số lần gõ bị sai của khi đánh máy một trang giấy. Số cuộc điện thoại tại một trạm điện thoại trong mỗi phút. Số lần truy cập vào một máy chủ web trong mỗi phút. Số lần động vật bị chết do xe cộ cán phải trên mỗi đơn vị độ dài của một con đường. Số lần đột biến xảy ra trên một đoạn DNA sau khi chịu một lượng bức xạ.. Số lượng cây thông trên mõi đơn vị diện tích rừng hỗn hợp. Số lượng ngôi sao trong một thể tích không gian vũ trụ. Số lượng người lính bị chết do ngựa đá mỗi năm trông mỗi đội của kị binh Phổ. Ví dụ này rất nổi tiếng trong cuốn sách của Ladislaus Josephovich Bortkiewicz (1868–1931). Phân phối của các tế bào cảm quang trong võng mạc của mắt. Số lượng bóng đèn bị cháy trong một khoảng thời gian xác định. Số lượng virut có thể lây nhiễm lên một tế bào trong cấu trúc tế bào. Số lượng phát minh của một nhà sáng chế trong suốt cuộc đời của họ. IV. Quá trình Poisson: 1) Quá trình đếm: Một quá trình ngẫu nhiên N t , t  0 được gọi là quá trình đếm hay quá trình điểm nếu N t biểu thị tổng số lần biến cố nào đó xảy ra cho đến thời điểm t . Vậy một quá trình đếm là một quá trình với thời gian liên tục, lấy giá trị nguyên dương và có bước nhảy tại các thời điểm ngẫu nhiên T0,T1,... sao cho: T0  0 0  T1  T2  ... và lim Tn   . n   n Khi đó ta có thể viết: N t       Hoặc N t  khi t  [Tn ,Tn 1 ], n  0 . khi t     n n 0 [Tn ,Tn 1 ] .