MỞ ĐẦU
Trong những năm gần ñây các công ty bảo hiểm ñược mở ra nhiều nơi nhằm mục ñích chịu
trách nhiệm và chia sẻ một phần trách nhiệm cho các chủ thể rủi ro, nhưng ngay chính hoạt ñộng
bảo hiểm cũng là một hoạt ñộng ñầu tư tài chính nên bản thân nó cũng chứa ñựng sự rủi ro. Việc
ñánh giá mức ñộ rủi ro và thời ñiểm rủi ro là nhu cầu cấp thiết ñòi hỏi cần ñược nghiên cứu và giải
quyết ñể hạn chế tối thiểu thiệt hại có thể xảy ra. Lý thuyết rủi ro (Risk Theory) ñã ñược nghiên cứu
rộng rãi trong thời gian gần ñây, ñặc biệt là những nghiên cứu về rủi ro trong bảo hiểm, tài chính.
Một trong những vấn ñề trọng tâm ñược nhiều nhà nghiên cứu quan tâm về lý thuyết này, là bài
toán ước lượng xác suất thiệt hại trong các mô hình bảo hiểm với thời gian liên tục và rời rạc.
Trong công trình của Lundberg (1903), với luận án tiến sỹ nổi tiếng của ông ở Đại học Uppsala
(Thủy ñiển),công trình này ñã ñưa ñến việc sáng lập ra lý thuyết rủi ro trong bảo hiểm. Sau ñó,
Carmer, H. và trường phái Stockholm ñã phát triển các ý tưởng của Lundberg và ñóng góp vào việc
hình thành và phát triển lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên trong toán học. Với các kết quả ñó
Cramer ñã ñóng góp một cách ñáng kể vào cả lý thuyết bảo hiểm, tài chính lẫn cả lý thuyết xác suất
và thống kê toán học. Mô hình cơ bản ñầu tiên trong số những ñóng góp ñó là mô hình Cramer –
Lunberg.
Trong mô hình rủi ro cổ ñiển, bài toán thường ñược nghiên cứu với các giả thiết liên quan tới
dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập. Chẳng hạn, như trong kết quả Cramer – Lundberg về ước lượng xác
suất thiệt hại với thời gian liên tục, dãy số tiền chi trả bảo hiểm, cũng như dãy thời gian giữa hai lần
ñòi trả liên tiếp, ñều giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, ñộc lập, cùng phân phối. Có nhiều
công trình nghiên cứu của các nhà toán học có tên tuổi về vấn ñề này như: Asmussen (2000),
Buhlma, H. (1970), Embrechts, P. (1997), Kluppelberg, C. (1998), Grandell, J. (1992), Hipp, C.
(2004), Schmidli, H. (2004), Musiela, M. (1997), Nyrhinen, H. (2001), Paulsel, J. (2002), Schmidt,
K. D. (1995), … Các công trình trên ñều cho ước lượng cận trên cho xác suất thiệt hại có dạng hàm
mũ.
Bên cạnh ñó một loạt công trình sử dụng phương pháp Martingale ñể chứng minh các công thức
ước lượng xác suất thiệt hại cho mô hình rủi ro mở rộng có tác ñộng của yếu tố lãi suất như: Cai, J
(2002), Cai and Dickson, D. C. M. (2003), Gaier, J. (2004), Kluppelberg, C. and Stadtmuller
(1998), Konstantinide, D.G. and Tang, Q. H. and Tsitsiashvili, G. S. (2002), Sundt, B. and Teugels,
J. L. (1995, 1997), Tang, Q. (2004, 2005), Yang, H. (1999), Yang, H. and Zhang, L. H. (2003,
2006), …
Tuy nhiên, thực tế các sản phẩm bảo hiểm và tái bảo hiểm cũng như ñối tượng tham gia bảo
hiểm ngày càng lớn và càng phức tạp nên ñòi hỏi các mô hình có cấu trúc phụ thuộc. Do ñó, ñể phù
hợp với thực tế hơn, một hướng nghiên cứu ñã và ñang ñược nhiều nhà toán học quan tâm, ñó là các
mô hình với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc. Một loạt các công trình có giá trị của các nhà toán học,
xét mô hình bảo hiểm với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu
nhiên ñộc lập, còn dãy lãi suất phụ thuộc theo nghĩa hồi quy hoặc xích Markov như Arbrecher, H.
1
(1998), Cai, J. (2002), Cai, J. and Dickson, D. C M. (2003, 2004), Gerber, H. U. (1979), Muller, A.
and Pfug, G. (2001), Promisslow, S.D. (1991), Valdez, E. A. (2002), Xu, L. and Wang. R. (2006),
Yang, H. (1999), Yang, H. and Zhang, L. H. (2003), …
Các công trình của Bùi Khởi Đàm và Nguyễn Huy Hoàng (2008), Nguyễn Huy Hoàng (2009)
ñã xây dựng ñược các ước lượng cho xác suất thiệt hại của các mô hình rủi ro với giả thiết dãy tiền
thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên m - phụ thuộc.
Bên cạnh các bài toán ước lượng xác suất thiệt hại thì bài toán tính chính xác xác suất thiệt hại
ñối với các mô hình bảo hiểm gắn liền với các tình huống thực tế hơn. Một số công trình ñã tiếp cận
theo hướng này với giả thiết dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị nguyên dương như Caude
Lefèvre (2008), Rullière, D. and Loisel, St. (2004), De Vylder, F. E (1997, 1999), De Vylder and
Goovaerts, M. J. (1998, 1999), Ignatov, Z. G. and Kaishev, V. K. (2001, 2004), Pircard, Ph. and
Lefèvre,Cl. (1997).
Công trình của Hong, N.T.T. (2013) ñã xây dựng ñược công thức tính chính xác xác suất thiệt
hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm: U t = u +
t
t
i =1
i =1
∑ X i − ∑ Yi , với dãy tiền thu bảo hiểm
{ X i }i≥1 , dãy tiền chi trả bảo hiểm {Yi }i≥1 , thời gian t nhận giá trị nguyên dương. Công trình của tác
giả Hong, N.T.T. (2013) ñã mở ra hướng mới có ý nghĩa quan trọng cả về lý thuyết lẫn thực hành
ñể tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) của các mô hình bảo hiểm.
Với những lý do trên, chúng tôi xác ñịnh ñối tượng nghiên cứu là của luận án là các mô hình
toán học ứng dụng trong tài chính và bảo hiểm, cụ thể là các mô hình bảo hiểm rời rạc có tác ñộng
của lãi suất. Luận án tập trung vào các bài toán: ước lượng xác suất thiệt hại trong một số mô hình
bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov, tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình
bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất. Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược công bố trong
các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] (xem danh mục các công trình của tác giả).
Luận án ñã thu ñược các kết quả mới sau ñây:
a. Trong mô hình tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov thuần nhất.
Sử dụng phương pháp ñệ quy, phương pháp Martingale luận án ñã thiết lập ñược các bất
ñẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại ñối với mô hình bảo hiểm tổng
quát có tác ñộng của lãi suất trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo
hiểm là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng
phân phối.
b. Đối với mô hình tổng quát có tác ñộng của lãi suất, luận án mở rộng kết quả của Hong,
N.T.T. (2013), luận án ñã mở rộng công thức tính chính xác xác suất thiệt hại cho mô hình
bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo
hiểm nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, còn dãy lãi suất nhận giá trị không âm trong tập
2
hữu hạn. Các công thức ñược xây dựng cho dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối, ñộc
lập không cùng phân phối, phụ thuộc Markov.
Qua việc hoàn thành luận án, chúng tôi cũng hy vọng ñược góp phần khiêm tốn vào việc nghiên
cứu và phát triển lý thuyết các mô hình toán học ứng dụng trong tài chính và bảo hiểm.
Nội dung của luận án gồm 3 chương.
Chương 1. Một số khái niệm và kết quả cơ bản
Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số nội dung cơ bản và các kết quả về bài toán
thiệt hại trong bảo hiểm, tổng quan về xích Markov thuần nhất, quá trình Martingale.
Chương 2. Ước lượng xác suất thiệt hại trong bài toán bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên
phụ thuộc Markov
Trong chương này, chúng tôi ñã sử dụng phương pháp ñệ quy, phương pháp Martingale ñể xây
dựng ñược các bất ñẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại ñối với mô hình
bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi
trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập.
Chương 3. Tính chính xác xác suất thiệt hại trong bài toán bảo hiểm
Trong chương này, chúng tôi mở rộng kết quả của Hong, N.T.T. (2013) cho mô hình bảo hiểm
có tác ñộng của lãi suất hằng, luận án ñã xây dựng ñược công thức tính chính xác xác suất thiệt hại
(không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu
và dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, còn dãy lãi suất nhận giá trị
không âm trong tập hữu hạn.
Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược báo cáo tại
-
Semina “Ứng dụng toán học”, Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách khoa Hà nội.
-
Hội thảo khoa học Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại thương (2010-2014).
-
Semina của Phòng xác suất và thống kê toán, Viện Toán học- Viện KH & CN Việt Nam
Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược ñăng trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6],
[7](xem danh mục các công trình của tác giả luận án).
3
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN
Trong chương 1, chúng tôi ñã giới thiệu một số khái niệm và kết quả ñã có liên quan trực tiếp ñến
nội dung, phương pháp chứng minh của luận án như : bài toán thiệt hại của công ty bảo hiểm, một
số mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập, bất ñẳng thức ước lượng cận trên cho xác
suất thiệt hại trong các mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập và mô hình bảo hiểm có
tác ñộng của lãi suất với dãy lãi suất là xích Markov rời rạc và thuần nhất. Đồng thời, chương 1 của
luận án cũng giới thiệu các khái niệm và kết quả cơ bản của quá trình Markov, quá trình Martingale.
CHƯƠNG 2. ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM VỚI
DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC MARKOV
Trong chương này, chúng tôi xây dựng bất ñẳng thức ñể ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình
bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov. Cụ
thể, chúng ta xét các mô hình sau ñây:
- Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với vốn của kỳ trước ñược ñem ñầu tư với lãi
suất là dãy biến ngẫu nhiên I = { I i }i ≥0 . Khi ñó, vốn ở thời kỳ t ñược xác ñịnh như sau:
U t = U t −1 (1 + I t ) + X t − Yt , t = 1, 2,...,
(2.1)
U o = u.
- Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất không những vốn của kỳ trước mà cả tiền thu
bảo hiểm ở kỳ hiện tại cũng ñược tính lãi suất là dãy I = { I i }i ≥0 . Khi ñó, vốn ở thời kỳ t ñược xác
ñịnh như sau
U t = (U t −1 + X t )(1 + I t ) − Yt , t = 1, 2,...,
(2.2)
U o = u.
trong ñó u là vốn ban ñầu của công ty bảo hiểm, dãy tiền thu bảo hiểm X = { X i }i ≥0 , dãy tiền chi trả
bảo hiểm Y = {Y j }
j ≥0
, dãy lãi suất I = {I k }k ≥0 và các dãy biến ngẫu nhiên X , Y , I là ñộc lập với
nhau.
Trước hết, ta có mô hình (2.1) và (2.2) lần lượt ñược viết dưới dạng sau
t
t
t
k =1
k =1
j = k +1
U t = u.∏ ( 1 + I k ) + ∑ ( X k − Yk ) ∏ ( 1 + I j ),
t
t
t
k =1
k =1
j =k +1
Ut = u.∏( 1 + I k ) + ∑[ X k ( 1 + Ik ) − Yk ] ∏ ( 1 + I j ) .
b
Ở ñây, ta quy ước
∏ zt = 1 và
t =a
b
∑z
t
= 0 nếu a > b .
t =a
Trong chương này chúng ta xét các giả thiết sau:
4
(2.3)
(2.4)
Giả thiết 2.1. vốn ban ñầu U o = u > 0 .
Giả thiết 2.2. Dãy tiền thu bảo hiểm X = { X n }n ≥ 0 là xích Markov thuần nhất nhận giá trị không âm
trong E X = { x1 , x2 ,..., xM } với X o = xi ∈ E X ,
M
pij = P X m +1 = x j X m = xi , ( m ∈ N ); xi , x j ∈ E X thỏa mãn 0 ≤ pij ≤ 1; ∑ pij = 1.
j =1
Giả thiết 2.3. Dãy tiền chi trả bảo hiểm Y = {Yn }n≥ 0 là xích Markov thuần nhất nhận giá trị không
âm trong EY = { y1 , y2 ,..., yK } với Yo = yr ∈ EY ,
K
qrs = P Ym+1 = ys Ym = yr , (m ∈ N ); yr , ys ∈ EY thỏa mãn 0 ≤ qrs ≤ 1, ∑ qrs = 1 .
s =1
Giả thiết 2.4. Dãy lãi suất I = {I n }n≥ 0 là dãy biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị không âm, ñộc
lập, cùng phân phối với hàm phân phối F (t ) = P ( I o ≤ t ) .
Giả thiết 2.5. X , Y , I là ñộc lập với nhau.
Khi ñó, xác suất thiệt hại của mô hình (2.1) ñến thời kỳ t và thời ñiểm vô hạn với các giả thiết 2.12.5 ñược xác ñịnh tương ứng như sau
t
ψ t(1) (u , xi , yr ) = P(Tu ≤ t ) = P ∪ (U k < 0) U o = u , X o = xi , Yo = yr ,
k =1
+∞
k =1
ψ (1) (u , xi , yr ) = P(Tu < +∞) = limψ t(1) (u , xi , yr ) = P ∪ (U k < 0) U o = u , X o = xi , Yo = yr .
t →∞
Xác suất thiệt hại của mô hình (2.2) ñến thời kỳ t và thời ñiểm vô hạn với các giả thiết 2.1-2.5 ñược
xác ñịnh tương ứng như sau
t
ψ t(2) (u , xi , yr ) = P(Tu ≤ t ) = P ∪ (U k < 0) U o = u , X o = xi , Yo = yr ,
k =1
+∞
k =1
ψ (2) (u , xi , yr ) = P(Tu < +∞) = limψ t(2) (u, xi , yr ) = P ∪ (U k < 0) U o = u , X o = xi , Yo = yr .
t →∞
Các kết quả chính của chương 2 gồm.
2.1. Ước lượng xác suất thiệt hại bằng phương pháp ñệ quy
Định lý 2.1. Nếu mô hình (2.1) thỏa mãn các giả thiết 2.1- 2.5 thì
với mỗi t = 1, 2, …
ψ t(1)+1 (u , xi , yr ) =
5
+∞
ys − x j − u
(1)
pij qrs F
∑∑
+ ∫ ψ t ( u (1 + x) + x j − ys , x j , ys ) dF ( x) .
u
j =1 s =1
ys − x j − u
u
M
K
(2.5)
Đặc biệt
M
ys − x j − u
.
u
K
ψ (1) (u , xi , yr ) = ∑∑ pij qrs F
j =1 s =1
(2.6)
Đồng thời
ψ (1) (u , xi , yr ) =
+∞
ys − x j − u
(1)
pij qrs F
∑∑
+ ∫ ψ ( u (1 + x) + x j − ys , x j , ys ) dF ( x) .
u
j =1 s =1
ys − x j − u
u
M
K
z
+∞
+∞
0
z
0
Với quy ước F ( z ) = 0, ∫ dF ( x) = 0 và
∫ g ( x)dF ( x) = ∫ g ( x)dF ( x) nếu
(2.7)
z < 0.
Để xây dựng ñược bất ñẳng thức ước lượng xác suất thiệt hại, cần sử dụng bổ ñề sau
Bổ ñề 2.1. Cho mô hình (2.1) với các giả thiết 2.1- 2.5. Nếu với mỗi xi ∈ GX , yr ∈ GY , thì
E (Y1 Yo = yr ) < E ( X1 X o = xi )
,
P ( (Y1 − X 1 ) > 0 X o = xi , Yo = yr ) > 0
(2.8)
thì tồn tại duy nhất hằng số Rir > 0 thỏa mãn phương trình
(
)
E e Rir (Y1 − X1 ) X o = xi , Yo = yr = 1.
{
(2.9)
(
)
}
Ký hiệu: Ro = min Rir > 0 : E e Rir (Y1 − X1 ) X o = xi , Yo = yr = 1;( xi ∈ G X , yr ∈ GY ) .
(2.10)
Sử dụng kết quả của bổ ñề 2.1 và ñịnh lý 2.1, ta thu ñược bất ñẳng thức ước lượng cho xác suất thiệt
hại ψ (1) (u , xi , yr ) của mô hình (2.1) với các giả thiết 2.1 – 2.5 như sau
Định lý 2.2. Cho mô hình (2.1) thỏa mãn các giả thiết 2.1-2.5 và các giả thiết của bổ ñề 2.1. Với
u > 0 , xi ∈ E X và yr ∈ EY ta có
ψ (1) (u , xi , yr ) ≤ β1.E e − R u (1+ I ) ,
o
(2.11)
1
trong ñó
z
e
−1
1
β = inf
z >0
u ≥0
Rouz
∫e
− Ro ut
0
F ( z)
dF (t )
, 0 ≤ β1 ≤ 1.
(2.12)
6
Định lý 2.3. Nếu mô hình (2.2) thỏa mãn các giả thiết 2.1- 2.5 thì
với mỗi t = 1, 2, … ,ta có
ψ t(2)
+1 (u , xi , yr ) =
+∞
ys − (u + x j )
pij qrs F
+ ∫ ψ t(2) ( (u + x j )(1 + x) − ys , x j , ys ) dF ( x) .
∑∑
j =1 s =1
u + xj
ys − ( u + x j )
u+xj
M
K
(2.13)
Đặc biệt
ys − (u + x j )
.
u+x
j
(2.14)
+∞
ys − (u + x j )
pij qrs F
+ ∫ ψ (2) ( (u + x j )(1 + x) − ys , x j , ys ) dF ( x) .
∑∑
j =1 s =1
u + xj
ys − ( u + x j )
u+xj
(2.15)
M
K
ψ 1(2) (u , xi , yr ) = ∑∑ pij qrs F
j =1 s =1
Đồng thời
ψ (2) (u, xi , yr ) =
M
K
Để thu ñược bất ñẳng thức ñánh giá ước lượng cho xác suất thiệt hại ψ (2) (u , xi , yr ) của mô hình
(2.2), ta xây dựng bổ ñề sau
Bổ ñề 2.2. Cho mô hình (2.2) thỏa mãn các giả thiết 2.1- 2.5 và E ( I1k ) < +∞(k = 1, 2). Nếu với mỗi
xi ∈ GX , yr ∈ GY thì
E (Y1 − X1 (1 + I1 ) X o = xi , Yo = yr ) < 0
,
P
Y
−
X
(1
+
I
)
>
0
X
=
x
,
Y
=
y
>
0
(
)
1
1
1
o
i
o
r
(2.16)
thì tồn tại duy nhất hằng số Rir > 0 thỏa mãn phương trình
(
E e
Rir [Y1 − X 1 (1+ I1 )]
{
)
X o = xi , Yo = yr = 1.
(2.17)
(
)
}
Ký hiệu: R o = min Rir > 0 : E e Rir [Y1 − X1 (1+ I1 )] X o = xi , Yo = yr = 1( xi ∈ G X , yr ∈ GY ) .
(2.18)
Sử dụng kết quả của bổ ñề 2.2 và ñịnh lý 2.3, ta thu ñược bất ñẳng thức ước lượng xác suất thiệt hại
ψ (2) (u , xi , yr ) của mô hình (2.2) với các giả thiết 2.1 – 2.5
Định lý 2.4. Cho mô hình (2.2) thỏa mãn các giả thiết 2.1-2.5 và các giả thiết của bổ ñề 2.2. Với
u > 0 , xi ∈ E X và yr ∈ EY ta có
7
ψ (2) (u , xi , yr ) ≤ β 2 E e R Y Yo = yr E e− R
o 1
X o = xi ,
o ( u + X 1 )(1+ I1 )
(2.19)
trong ñó
z
e Rouz ∫ e − Rout dF (t )
β 2−1 = inf
, 0 ≤ β 2 ≤ 1.
0
F ( z)
z >0
u≥0
(2.20)
Nhận xét 2.1. Xét mô hình (2.1) và (2.2) khi thay miền giá trị GX , GY là tập hữu hạn bởi tập vô hạn
ñếm ñược: GX = { x1 , x2 ,..., xm ,...} , GY = { y1 , y2 ,..., yn ,...}. Khi ñó các ñịnh lý 2.1 ñến ñịnh lý 2.4
ñược tổng quát trong kết quả [6] (xem danh mục các công trình của tác giả luận án).
Nhận xét 2.2. Xét mô hình (2.1) và (2.2) với giả thiết dãy chi trả bảo hiểm và dãy lãi suất phụ thuộc
Markov còn dãy tiền thu bảo hiểm là ñộc lập cùng phân phối, sử dụng phương pháp Martingale
chúng ta cũng xây dựng ñược bất ñẳng thức ước lượng xác suất thiệt hại cho các mô hình ñó. Kết
quả ñó ñăng tải ở công trình [2] (xem danh mục công trình của tác giả luận án).
Nhận xét 2.3. Xét mô hình (2.1) và (2.2) với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm và dãy lãi suất phụ
thuộc Markov còn dãy tiền chi trả bảo hiểm là ñộc lập cùng phân phối, sử dụng phương pháp ñệ
quy chúng ta cũng xây dựng ñược bất ñẳng thức ước lượng xác suất thiệt hại cho các mô hình ñó.
Kết quả ñó ñăng tải ở công trình [7] (xem danh mục công trình của tác giả luận án).
2.2. Ước lượng xác suất thiệt hại bằng phương pháp Martingale
Để thiết lập bất ñẳng thức ước lượng cho các xác suất ψ n(1) (u , xi , yr ) và ψ (1) (u , xi , yr ) bằng phương
pháp Martingale, trước hết ta có bổ ñề sau
Bổ ñề 2.3. Giả sử mô hình (2.1) thỏa mãn các giả thiết 2.1 – 2.5. Nếu với mỗi xi ∈ GX , yr ∈ GY ,
E (Y1 Yo = yr ) < E ( X 1 X o = xi )
(
)
và P (Y1 − X1 )(1 + I1 )−1 > 0 X o = xi , Yo = yr > 0 ,
(2.21)
thì tồn tại duy nhất hằng số dương Rir thỏa mãn
(
)
−1
E e Rir (Y1 − X1 )(1+ I1 ) X o = xi , Yo = yr = 1.
{
(
(2.22)
)
−1
}
Đặt: Ro = min Rir > 0 : E e Rir (Y1 − X1 )(1+ I1 ) X o = xi , Yo = yr = 1, xi ∈ GX , yr ∈ GY .
Dùng bổ ñề 2.3 ta thu ñược các bất ñẳng thức ước lượng cho xác suất ψ (1) (u , xi , yr ) bằng phương
pháp Martingale.
8
Định lý 2.5. Cho mô hình (2.1) thỏa mãn các giả thiết 2.1 – 2.5 và các giả thiết của bổ ñề 2.5. Nếu
với mỗi u > 0 , xi ∈ E X , yr ∈ EY , ta có
ψ (1) (u , xi , ir ) ≤ e− R u .
(2.23)
o
Để thiết lập bất ñẳng thức ước lượng cho các xác suất ψ t(2) (u , xi , yr ) và ψ (2) (u , xi , yr ) bằng
phương pháp Martingale, trước hết ta có bổ ñề sau
Bổ ñề 2.4. Giả sử mô hình (2.2) thỏa mãn các giả thiết 2.1 - 2.5. Nếu với mỗi xi ∈ GX , yr ∈ GY , nếu
E Y1 Yo = yr < E ( X 1 X o = xi ) và
(
)
P Y1 (1 + I1 ) −1 − X 1 > 0 X o = xi , Yo = yr > 0,
(2.24)
thì tồn tại hằng số dương Rir duy nhất thỏa mãn
Rir Y1 (1+ I1 )−1 − X1
Ee
X o = xi , Yo = yr = 1.
{
(
Đặt: R o = min Rir > 0 : E e Rir (Y1 (1+ I1 )
−1
− X1 )
(2.25)
)
}
X o = xi , Yo = yr = 1, xi ∈ GX , yr ∈ GY .
Dùng kết quả của bổ ñề 2.4 và phương pháp chứng minh tương tự ñịnh lý 2.5 ta thu ñược bất ñẳng
thức ước lượng cho xác suất ψ (2) (u , xi , yr ) bằng phương pháp Martingale.
Định lý 2.6. Cho mô hình (2.2) thỏa mãn các giả thiết 2.1- 2.5 và các giả thiết của bổ ñề 2.5. Với
mọi u > 0 , xi ∈ E X , yr ∈ EY , ta có
ψ (2) (u , xi , yr ) ≤ e− R u .
`
o
(2.26)
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
Chương 2 của luận án, xét mô hình tổng quát có tác ñộng của lãi suất với dãy biến ngẫu nhiên là
xích Markov thuần nhất. Luận án sử dụng phương pháp ñệ quy và phương pháp Martingale ñã xây
dựng ñược các bất ñẳng thức ước lượng xác suất thiệt hại dưới dạng hàm mũ cho mô hình bảo hiểm
tổng quát có tác ñộng của lãi suất trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm X = { X i }i ≥0 và dãy tiền
chi trả bảo hiểm Y = {Y j }
j ≥0
là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất I = { I k }k ≥0 là dãy biến
ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối.
Các công trình ñã công bố trước ñây chỉ dừng lại xét các dãy X = { X i }i ≥0 và Y = {Yi }i ≥0 là dãy
biến ngẫu nhiên ñộc lập hoặc phụ thuộc hồi quy. Đây là lần ñầu tiên xây dựng ñược các bất ñẳng
thức ước lượng Lundberg tổng quát cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả
9
thiết dãy tiền thu bảo hiểm X = { X i }i ≥0 và dãy tiền chi trả bảo hiểm Y = {Yi }i ≥0 là các xích Markov
thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối.
Các kết quả chính của chương 2 là các ñịnh lý 2.1 ñến ñịnh lý 2.6. Kết quả số minh họa cho ước
lượng chặn trên của xác suất thiệt hại cho mô hình tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên là xích
Markov thuần nhất cũng ñược ñưa ra trong chương 2.
CHƯƠNG 3. TÍNH CHÍNH XÁC XÁC SUẤT THIỆT HẠI
TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM
Trong công trình của Hong, N.T.T. (2013), tác giả ñã xây dựng ñược công thức tính chính xác xác
suất thiệt hại (không thiệt hại) của mô hình
t
t
i =1
i =1
U t = u + ∑ X i − ∑ Yi
Với giả thiết: u,t, X i ,Yi nhận giá trị nguyên dương (dãy tiền thu bảo hiểm X = { X i }i ≥1 , dãy tiền chi
trả bảo hiểm Y = {Y j }
j ≥1
).
Trong chương này, chúng tôi mở rộng kết quả của Hong, N.T.T. (2013), luận án xây dựng công
thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) trong mô hình tổng quát có tác ñộng của lãi
suất với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm và dãy lãi suất ñộc lập cùng phân
phối hoặc không cùng phân phối hoặc phụ thuộc Markov. Cụ thể, chúng ta xét các mô hình sau ñây
-Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất (với lãi suất là hằng số) với vốn của công ty
bảo hiểm ở thời kỳ t là:
t
t
i =1
i =1
U t = u (1 + r )t + ∑ X i (1 + r )t −i +1 − ∑ Yi (1 + r )t −i ,
(3.1)
trong ñó U o = u > 0 , u là vốn ban ñầu của hãng bảo hiểm, r > 0 là lãi gộp và là hằng số, dãy tiền
thu bảo hiểm X = { X i }i ≥1 , dãy tiền chi trả bảo hiểm Y = {Y j }
j ≥1
và các dãy biến ngẫu nhiên X , Y là
ñộc lập với nhau.
-Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất, vốn của kỳ trước ñược ñem ñầu tư với lãi
suất là dãy biến ngẫu nhiên I = { I i }i ≥1 . Khi ñó, vốn ở thời kỳ t ñược xác ñịnh như sau
U t = U t −1 (1 + I t ) + X t − Yt ; t = 1, 2,...
10
(3.2)
trong ñó U o = u > 0 , u là vốn ban ñầu của hãng bảo hiểm, dãy tiền thu bảo hiểm X = { X i }i ≥1 , dãy
tiền ñòi trả bảo hiểm Y = {Y j }
, dãy lãi suất I = { I k }k ≥1 và các dãy biến ngẫu nhiên X , Y , I là ñộc
j ≥1
lập với nhau.
-Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất, không những vốn của kỳ trước mà cả tiền thu
bảo hiểm ở kỳ hiện tại cũng ñược tính lãi suất là dãy I = { I i }i ≥1 . Khi ñó, vốn ở thời kỳ t ñược xác
ñịnh như sau
U t = (U t −1 + X t )(1 + I t ) − Yt ; t = 1, 2,...
(3.3)
trong ñó U o = u > 0 , u là vốn ban ñầu của hãng bảo hiểm, dãy tiền thu bảo hiểm X = { X i }i ≥1 , dãy
tiền ñòi trả bảo hiểm Y = {Y j }
j ≥1
, dãy lãi suất I = { I k }k ≥1 và các dãy biến ngẫu nhiên X , Y , I là ñộc
lập với nhau.
Kết quả mở rộng cho mô hình (3.1) ñược công bố trong công trình [4] (xem danh mục các công
trình của tác giả luận án). Trong chương này, luận án chỉ trình bày các kết quả mở rộng cho mô
hình (3.2) và (3.3).
Để xây dựng công thức, chúng ta xét các giả thiết sau
Giả thiết 3.1. vốn ban ñầu U o = u , thời gian t nhận giá trị nguyên dương.
Giả thiết 3.2. Dãy tiền thu bảo hiểm X = { X i }i ≥1 nhận giá trị dương trong
GX = { x1 , x2 , ...., xM } , (0 < x1 < x2 < .... < xM ), X là xích Markov thuần nhất với ma trận xác suất
chuyển sau 1 bước: P = pij
MxM
M
pij = P X n +1 = x j X n = xi (∀n = 1, 2,...) ; 0 ≤ pij ≤ 1; ∀xi , x j ∈ GX : ∑ pij = 1 .
(
)
j =1
M
Phân phối ban ñầu: P( X 1 = xi ) = pi ( xi ∈ GX ), 0 ≤ pi ≤ 1, ∑ pi = 1 .
i =1
Giả thiết 3.3. Dãy tiền chi trả bảo hiểm Y = {Yi }i ≥1 nhận giá trị dương trong
GY = { y1 , y2 ,...., yN } , (0 < y1 < y2 < .... < y N ), Y là xích Markov thuần nhất với ma trận xác suất
chuyển sau 1 bước: Q = qij
NxN
N
qij = P Yn+1 = y j Yn = yi (∀n = 1, 2,...) ; 0 ≤ qij ≤ 1; ∀yi , y j ∈ GY : ∑ qij = 1 .
(
)
j =1
N
Phân phối ban ñầu: P(Y1 = yi ) = qi ( yi ∈ GY ), 0 ≤ qi ≤ 1, ∑ qi = 1 .
i =1
11
Giả thiết 3.4. Dãy lãi suất I = { I n }n ≥1 là nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn
GI = {i1 , i2 ,..., iR } (0 ≤ i1 < i2 < ... < iR ), I là xích Markov thuần nhất với ma trận xác suất chuyển sau 1
bước: H = rkj
RxR
R
rkj = P I n +1 = i j I n = ik (∀n = 1, 2,...) ; 0 ≤ rkj ≤ 1; ∀i j , ik ∈ GI : ∑ rkj = 1 .
(
)
j =1
R
Phân phối ban ñầu: P(Y1 = ik ) = rk (ik ∈ GI ), 0 ≤ rk ≤ 1, ∑ rk = 1 .
k =1
Giả thiết 3.5. X , Y , I là ñộc lập với nhau.
Các giả thiết 3.6-3.10 chính là xét các giả thiết 3.1-3.5 trong trường hợp thay dãy biến ngẫu nhiên
phụ thuộc Markov bởi dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập không cùng phân phối. Còn các giả thiết 3.113.15 chính là xét các giả thiết 3.1-3.5 trong trường hợp thay dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov
bởi dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập.
Khi ñó, xác suất thiệt hại, không thiệt hại của mô hình (3.2) ñến thời ñiểm t lần lượt ñược xác ñịnh
như sau
t
ψ t(1) (u ) = P (Tu ≤ t ) = P ∪ (U j < 0) ,
j =1
t
ϕt(1) (u ) = 1 −ψ t(1) (u ) = P (Tu ≥ t + 1) = P ∩ (U j ≥ 0) .
j =1
Xác suất thiệt hại của mô hình (3.3) ñến thời ñiểm t lần lượt xác ñịnh như sau
t
ψ t(2) (u ) = P (Tu ≤ t ) = P ∪ (U j < 0) ,
j =1
t
ϕt(2) (u ) = 1 −ψ t(2) (u ) = P (Tu ≥ t + 1) = P ∩ (U j ≥ 0) .
j =1
Các kết quả của chương 3 là các Bổ ñề, ñịnh lý và hệ quả sau.
t
Bổ ñề 3.1. Cho số dương u , các dãy số dương { xi }i =1 , { yi }i =1 và dãy số không âm {i j }
t
t
j =1
.
Nếu với mỗi p nguyên dương mà (1 ≤ p ≤ t − 1) thỏa mãn
p
p −1
p
k =1
k =1
j = k +1
y p ≤ u ∏ (1 + ik ) + ∑ ( xk − yk ) ∏ (1 + i j ) + x p ,
(3.4)
thì
p +1
p
p +1
k =1
k =1
j = k +1
u ∏ (1 + ik ) + ∑ ( xk − yk ) ∏ (1 + i j ) + x p +1 > 0.
12
(3.5)
Định lý 3.1. Nếu mô hình (3.2) thỏa mãn các giả thiết 3.1 – 3.5 thì xác suất không thiệt hại ñến thời
ñiểm t ñược tính theo công thức
rc1 rc1c2 ...rct−1ct pm1 pm1m2 ... pmt−1mt ∑ ∑ ... ∑ qn1 qn1n2 ...qnt−1nt ,
c1 ,c2 ,..,ct =1 x1 , x2 ,..., xt =1
1≤n1≤g1 1≤n2 ≤g2 1≤nt ≤gt
R
ϕt(1) (u) =
M
∑
∑
(3.6)
trong ñó
1
g1 = max n1 : yn1 ≤ min u ∏ (1 + ick ) + xm1 , yN ,
k =1
2
1
2
g 2 = max n2 : yn2 ≤ min u ∏ (1 + ick ) + ∑ ( xmk − ynk ) ∏ (1 + ic j ) +xm2 , y N ,
k =1
j = k +1
k =1
...
t
t −1
t
gt = max nt : ynt ≤ min u ∏ (1 + ick ) + ∑ ( xmk − ymk ) ∏ (1 + ic j ) +xmt , yN .
k =1
j = k +1
k =1
Hệ quả 3.1. Xác suất thiệt hại ñến thời ñiểm t của mô hình (3.2) với các giả thiết 3.1-3.5 là:
ψt(1) (u) = 1−ϕt(1) (u) =
rc1 rc1c2 ...rct−1ct pm1 pm1m2 ... pmt−1mt ∑ ∑ ... ∑ qn1 qn1n2 ...qnt−1nt .
c1 ,c2 ,..,ct =1 m1 ,m2 ,..., mt =1
1≤n1 ≤g1 1≤n2 ≤g2 1≤nt ≤gt
R
1−
M
∑
∑
(3.7)
t
Bồ ñề 3.2. Cho số dương u , các dãy số dương { xi }i =1 , { yi }i =1 và dãy số không âm {i j } j =1 .
t
t
Nếu với mỗi p nguyên dương mà (1 ≤ p ≤ t − 1) thỏa mãn
p
p −1
p
k =1
k =1
j = k +1
y p ≤ u ∏ (1 + ik ) + ∑ ( xk (1 + ik ) − yk ) ∏ (1 + i j ) + x p (1 + i p ),
(3.8)
thì
p +1
p
p
k =1
k =1
j = k +1
u ∏ (1 + ik ) + ∑ ( xk (1 + ik ) − yk ) ∏ (1 + i j ) + x p +1 (1 + i p +1 ) > 0.
(3.9)
Định lý 3.2. Nếu mô hình (3.3) thỏa mãn các giả thiết 3.1- 3.5 thì xác suất không thiệt hại ñến thời
ñiểm t ñược tính theo công thức
(rc1rc1c2 ...rct−1ct ).( pm1 pmm
...
p
)
...
q
q
...
q
∑
∑
∑
mt−1mt
n1 n1n2
nt−1nt ,
1 2
c1,c2 ,..,ct =1 m1,m2 ,...,mt =1
1≤n1≤g1 1≤n2≤g2 1≤nt ≤gt
R
ϕt(2) (u) =
∑
M
∑
trong ñó,
13
(3.10)
1
g1 = max n1 : yn1 ≤ min u ∏ (1 + ick ) + xm1 (1 + ic1 ), y N ,
k =1
2
1
2
g 2 = max n2 : yn2 ≤ min u ∏ (1 + ick ) + ∑ ( xmk (1 + ick ) − ynk ) ∏ (1 + ic j ) +xm2 (1 + ic2 ), yN ,
k =1
j = k +1
k =1
...
t
t −1
t
gt = max nt : ynt ≤ min u ∏ (1 + ick ) + ∑ ( xmk (1 + ick ) − ynk ) ∏ (1 + ic j ) +xmt (1 + ict ), yN .
k =1
j = k +1
k =1
Hệ quả 3.2. Xác suất thiệt hại ñến thời ñiểm t của mô hình (3.3) với các giả thiết 3.1-3.5 là:
ψt(2) (u) = 1−ϕt(2) (u) =
(rc1rc1c2 ...rct−1ct ).( pm1 pmm
...pmt−1mt ) ∑ ∑ ... ∑ qn1qn1n2 ...qnt−1nt .
1 2
c1,c2 ,..,ct =1 m1,m2 ,...,mt =1
1≤n1≤g1 1≤n2≤g2 1≤nt ≤gt
R
=1−
∑
M
∑
(3.11)
Từ các ñịnh lý 3.1 và ñịnh lý 3.2 suy ra các công thức tính chính xác xác suất không thiệt hại (thiệt
hại) của mô hình (3.2) và (3.3) với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối và ñộc lập không
cùng phân phối.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3
Trong chương 3 của luận án, chúng tôi ñã xây dựng ñược công thức tính chính xác xác suất thiệt hại
(không thiệt hại) cho mô hình tổng quát có tác ñộng của lãi suấtvới dãy tiền thu bảo hiểm
X = { X n } , dãy tiền chi trả bảo hiểm Y = {Yn } nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, dãy lãi suất
I = { I n } nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn, các dãy X ,Y ,I là ñộc lập. Các công thức này
cũng ñược mở rộng ñối với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối hoặc ñộc lập không cùng
phân phối, hoặc phụ thuộc Markov. Các kết quả số cũng ñược ñưa ra ñể minh họa cho công thức lý
thuyết. Kết quả của chương 3 của luận án có những ñiểm mới so với các công trình ñã công bố về
tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại), thể hiện ở những ñiểm sau ñây:
1) Các mô hình luận án xét gồm mô hình (3.1), (3.2), (3.3) ñều là các mô hình bảo hiểm có tác ñộng
của lãi suất tái ñầu tư tín dụng. Đây là tình huống thường gặp trong thực tế. Các công trình trước
ñây ñã công bố chưa xét tới các mô hình bảo hiểm có tác ñộng của lãi suất như mô hình (3.1), (3.2)
và (3.3). Đây cũng là lần ñầu tiên xây dựng công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (xác suất
không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm tổng quát (3.1), (3.2), (3.3).
2) Để thiết lập ñược công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho các mô hình
(3.2) và (3.3) cần phải sử dụng kết quả của Bổ ñề 3.1 và Bổ ñề 3.2.
14
3) Các công trình ñã công bố chỉ dừng lại ở việc xét mô hình không có tác ñộng của lãi suất tái ñầu
tư tín dụng với dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên không âm. Luận án ñã xây dựng ñược các
công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) của mô hình (3.2), (3.3) có tác ñộng của
lãi suất mở rộng cho dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương tùy ý trong tập hữu hạn. Kết quả này
tạo cơ sở lý thuyết ñể mở rộng công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) của các
mô hình (3.2) và (3.3) cho dãy biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị dương trong tập hữu hạn.
4) Về chứng minh kết quả chính của chương 3 của luận án.
a) Xét mô hình tổng quát không có tác ñộng của lãi suất (xem [33])
t
t
i =1
i =1
U t = u + ∑ X i − ∑ Yi
(3.12)
Với { X i } là dãy tiền thu bảo hiểm, {Yi } là dãy tiền chi trả bảo hiểm lần lượt là các dãy ñộc lập
cùng phân phối. Đồng thời, các dãy { X i } , {Yi } nhận giá trị nguyên từ 0 ñến M ; u , t nhận giá trị
nguyên dương và P( X 1 = k ) = pk ; P(Y1 = k ) = qk (i = 0, M ).
Khi ñó, xác suất không thiệt hại ñến thời kỳ t của mô hình (3.12) ñược tính theo công thức
∑
ψ tH (u ) =
∑
qk1 qk2 − k1 ...qkt − kt −1
0 ≤ ki − ki −1 ≤ M
1≤i ≤t
ko = 0
pi1 pi2 .. pit .
(3.14)
0 ≤i1 < k1 + u
0 ≤i1 + i2 < k2 + u
......
0 ≤i1 +...+ it < kt + u
Cách chứng minh công thức (3. 47) (theo Hong, N.T.T. [33])
Trước hết, xác suất không thiệt hại ñến thời kỳ t của mô hình (3.12)
t
ψ tH (u ) = P( A) = P ∩ (U i ≥ 0) .
i =1
t
t
i =1
i =1
Đặt các tổng Vt = ∑ X i ; St = ∑ Yi ⇒ U t = u + Vt − St . Khi ñó
A = (U1 ≥ 0) ∩ (U 2 ≥ 0) ∩ .... ∩ (U t ≥ 0) = (u + V1 > S1 ) ∩ (u + V2 > S 2 ) ∩ ... ∩ (u + Vt ≥ St )
Mấu chốt chứng minh ở ñây là do dãy X i nhận giá trị nguyên từ 0 ñến M nên Vi nhận giá trị
nguyên dương từ 0 ñến iM. Do vậy Vi gán nhận giá trị bằng ki ( ki ñi từ 0 ñến iM). Khi ñó
2M
M
A=
tM
∪ (u + k1 > S1 ) ∩ ∪ (u + k2 > S2 ) ∩ ... ∩ ∪ (u + k2 > St ).
k1 = 0
k2 = 0
(3.15)
k2 = 0
Sau ñó cũng do giả thiết Yi nhận giá trị nguyên từ 0 ñến M nên Si ñược gán nhận giá trị bằng hi
( hi ñi từ 0 ñến iM ). Cuối cùng, sẽ xây dựng ñược công thức (3.14).
b) Xét mô hình tổng quát có tác ñộng của lãi suất hằng số (xem [4])
t
t
i =1
i =1
U t = u (1 + r )t + ∑ X i (1 + r )t −i +1 − ∑ Yi (1 + r )t −i
15
(3.16)
Với giả thiết u , t , X i , Yi nhận giá trị nguyên dương, r lãi suất nhận giá trị dương và
P( X 1 = k ) = pk (k = 1, M ); P(Y1 = k ) = qk (k = 1, N ).
Khi ñó, xác suất không thiệt hại ñến thời kỳ t ñược tính theo công thức
M
∑
ψ tQ (u ) =
px1 px2 ... pxt
x1 , x2 ,... xt =1
∑
p y1 p y2 .. p yt ,
(3.17)
1≤ yi ≤ gi ( i =1,t )
Trong ñó, g1 = min {[u (1 + r ) + x1 (1 + r )] , N } ,
2
1
g 2 = min u (1 + r ) 2 + ∑ xk (1 + r )3− k −∑ yk (1 + r ) 2− k , N ,
k =1
k =1
(3.18)
…
t
t −1
gt = min u (1 + r )t + ∑ xk (1 + r )t +1− k −∑ yk (1 + r )t − k , N ,
k =1
k =1
[u (1 + r ) + x1 (1 + r )] là phần nguyên của u (1 + r ) + x1 (1 + r ) .
Bây giờ dùng cách ñặt tổng như chứng minh của Hong, N.T.T. [33] ñể chứng minh hoặc xây dựng
công thức tính xác suất không thiệt hại cho mô hình (2.49).
t
t
i =1
i =1
Nếu với cách ñặt Vt = ∑ X i (1 + r )t −i +1 ; St = ∑ Yi (1 + r )t −i ⇒ U t = u (1 + r )t + Vt − St .
Khi ñó
A = (U1 ≥ 0) ∩ (U 2 ≥ 0) ∩ .... ∩ (U t ≥ 0)
= [u (1 + r ) + V1 ≥ S1 ] ∩ u (1 + r )2 + V2 ≥ S 2 ∩ ... ∩ u (1 + r )t + Vt ≥ St .
Ký hiệu: K1 = max {Vi : i = 1, 2,...t} , K 2 = max {Si : i = 1, 2,...t} .
Tuy nhiên do trong biểu thức của V j ( j = 1, 2,...t ) mỗi số hạng có nhân tử (1 + r ) j −i +1 nhân với X i
nên V j nhận giá trị dương tùy ý trong khoảng (0, K1 ] nên không thể gán ñược như cách làm ở mô
hình (3.12), trong biểu thức của S j ( j = 1, 2,..., t ) mỗi số hạng có nhân tử (1 + r ) j −i nhân với Yi nên
S j nhận giá trị dương tùy ý trong khoảng (0, K 2 ] nên không thể gán ñược như cách làm ở mô hình
(3.12). Như vậy cách ñặt tổng như chứng minh của Hong, N.T.T. [33] không sử dụng ñược cho mô
hình (3.16).
Chính vì vậy ñể khắc phục ñiều này nhằm chứng minh và xây dựng công thức (3.17), tác giả luận
án (xem [4] (danh mục các công trình của tác giả luận án) bắt buộc phải tách mô hình (3.16) dưới
dạng
t
t −1
i =1
i =1
U t = u (1 + r )t + ∑ X i (1 + r )t −i +1 − ∑ Yi (1 + r )t −i − Yt
Khi ñó
16
t
A := ∩ (U j ≥ 0) = (U1 ≥ 0 ) ∩ (U 2 ≥ 0 ) ∩ ... ∩ (U t ≥ 0 )
j =1
2
1
= (Y1 ≤ u (1 + r ) + X1 (1 + r ) ) ∩ Y2 ≤ u (1 + r )2 + ∑ X k (1 + r )3− k − ∑ Yk (1 + r )2− k ∩
k =1
k =1
3
2
3
4−k
Y
≤
u
(1
+
r
)
+
X
(1
+
r
)
−
Yk (1 + r )3− k ∩
∑
∑
k
3
k =1
k =1
t
t −1
... ∩Yt ≤ u(1+ r)t + ∑ Xk (1+ r)t +1−k − ∑Yk (1+ r)t −k .
k =1
k =1
(3.19)
Sau ñó mới sử dụng giả thiết X i nguyên dương nhận giá trị từ 1 ñến M .Từ (3.19) ta suy ra ñiều
kiện của Yi và ñồng thời Yi nguyên dương nhận giá trị từ 1 ñến N . Do vậy, Y1 gán nhận giá trị
nguyên dương từ 1 ñến g1 , Y2 gán nhận giá trị nguyên dương từ 1 ñến g 2 , …., Yt gán nhận giá trị
từ 1 ñến g t (với g i xác ñịnh ở công thức (3.18)).Từ ñó, xây dựng ñược công thức (3.17). Chi tiết
chứng minh ñược trình bày trong công trình [4] (xem danh mục các công trình của tác giả luận án).
Kết quả của công trình [4] (xem danh mục các công trình của tác giả luận án) có thể mở rộng cho
trường hợp X i , Yi nhận giá trị dương tùy ý trong tập hữu hạn.
c) Xét mô hình tổng quát có tác ñộng của lãi suất (xem [1])
Chẳng hạn, xét mô hình
U t = U t −1 (1 + I t ) + X t − Yt ; t = 1, 2,...
(3.20)
Khi ñó, (3.20) ñược viết dưới dạng
t
t
t
U t = u.∏ (1 + I k ) + ∑ ( X k − Yk ) ∏ (1 + I j )
k =1
k =1
j = k +1
Khi ñó, xác suất không thiệt hại của mô hình (3.20) với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov thuần
nhất ñược cho ở công thức (3.9) của ñịnh lý 3.1 ở chương 3 của luận án.
Bây giờ dùng cách ñặt tổng như chứng minh của Hong, N.T.T [33] ñể chứng minh hoặc xây dựng
công thức tính xác suất không thiệt hại cho mô hình (3.20). Để sử dụng ñược tổng, chẳng hạn ta viết
t
t
t
k =1
k =1
j = k +1
U t = u.∏ (1 + I k ) + ∑ X k
∏
t
t
k =1
j = k +1
(1 + I j ) − ∑ Yk
∏ (1 + I
j
) = Vt + St − Pt ,
(3.21)
hoặc
t
t
U t = u ∏ (1 + I k ) + ∑ X k
k =1
k =1
t
(1
+
I
)
∏
j − ∑ Yk
j = k +1
k =1
t
t
∏ (1 + I
j = k +1
Với cách ñặt (3.21), ta có
t
A := ∩ (U j ≥ 0) = (U1 ≥ 0 ) ∩ (U 2 ≥ 0 ) ∩ ... ∩ (U t ≥ 0 )
j =1
17
j
) = Vt − Pt .
(3.22)
= (V1 + S1 ≤ P1 ) ∩ (V2 + S 2 ≤ P2 ) ∩ ... (Vt + St ≤ Pt ) .
Với cách ñặt (3.22), ta có
t
A := ∩ (U j ≥ 0) = (U1 ≥ 0 ) ∩ (U 2 ≥ 0 ) ∩ ... ∩ (U t ≥ 0 )
j =1
= (V1 ≤ P1 ) ∩ (V2 ≤ P2 ) ∩ ... (Vt ≤ Pt ) .
Xét cách ñặt (3.21), ký hiệu
K1 = max {Vi i = 1, 2,...t} , K 2 = max {Si : i = 1, 2,...t} , K 3 = max { Pi : i = 1, 2,...t} .
Vì X i , Yi nhận giá trị dương và I i nhận giá trị không âm nên Vi nhận giá trị dương tùy ý trong
khoảng (0, K1 ] , Si nhận giá trị dương tùy ý trong khoảng (0, K 2 ] , Pi nhận giá trị dương tùy ý trong
khoảng (0, K 3 ] nên không thể sử dụng cách ñặt tổng như chứng minh của Hong, N.T.T [33] ñược .
Tương tự với cách ñặt (3.55) hoặc các cách ñặt tổng khác ñều không sử dụng ñược như chứng minh
của Hong, N.T.T [33].
Chính vì vậy, luận án khắc phục bằng cách tách mô hình (3.20) dưới dạng sau
t
t
t −1
U t = u.∏ (1 + I k ) + ∑ ( X k − Yk ) ∏ (1 + I j ) + X t − Yt
k =1
k =1
j = k +1
(3.23)
Khi ñó:
t
1
A := ∩ (U j ≥ 0) = Y1 ≤ u ∏ (1 + I k ) + X 1 ∩
k =1
j =1
2
2
1
Y
≤
u
(1
+
I
)
+
(
X
−
Y
)
2
∑
∏
k
k
k ∏ (1 + I j ) + X 2 ∩
k =1
k =1
j = k +1
3
3
2
Y3 ≤ u ∏ (1 + I k ) + ∑ ( X k − Yk ) ∏ (1 + I j ) + X 3 ∩ ...
k =1
k =1
j = k +1
t
t
−
1
t
... ∩ Yt ≤ u ∏ (1 + I k ) + ∑ ( X k − Yk ) ∏ (1 + I j ) + X t .
k =1
k =1
j = k +1
(3.24)
Sau ñó mới sử dụng giả thiết I i nhận giá trị không âm trong tập GI = {i1 , i2 ,..., iR } , mới gán I i nhận
giá trị từ i1 , i2 ,..., iR . Rồi do giả thiết X i nhận giá trị dương trong tập GX = { x1 , x2 ,..., xM } mới gán
X i nhận giá trị từ x1 , x2 ,..., xM . Cuối cùng từ công thức (3.24) thu ñược các ñiều kiện của Yi và sử
dụng Yi nhận giá trị dương trong tập GY = { y1 , y2 ,..., y N } ñể cho Y1 nhận giá trị dương từ 1 ñến g1 ,
Y2 nhận giá trị dương từ 1 ñến g 2 , …., Yt nhận giá trị dương từ 1 ñến gt (với g i xác ñịnh trong
ñịnh lý 3.1). Từ ñó, xây dựng ñược công thức (3.9) của ñịnh lý 3.1. Chi tiết chứng minh ñược trình
bày trong ñịnh lý 3.1 ở mục 3.1 chương 3 của luận án.
18
Vậy dùng phương pháp chứng minh của luận án có thể xây dựng và chứng minh ñược công thức
tính xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình tổng quát (3.1), (3.2), (3.3). Đồng thời cũng suy
ra ñược công thức tính xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình (3.46). Cụ thể cho r = 0
(trong [4]) hoặc In = 0 (trong [1]) thì có ngay công thức tính xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho
mô hình (3.46). Tuy nhiên dùng cách ñặt tổng như chứng minh của Hong, N.T.T [33] chỉ xây dựng
ñược công thức tính xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình (3.46) mà không thể xây dựng
ñược công thức tính xác suất thiệt hại (ko thiệt hại) cho mô hình (3.1), (3.2) và (3.3).
19
KẾT LUẬN CHUNG
Trong luận án, chúng tôi ñã thu ñược các kết quả mới chủ yếu sau ñây:
1.Trong chương 2 của luận án, chúng tôi nghiên cứu mô hình bảo hiểm tổng quát với dãy biến ngẫu
nhiên là xích Markov thuần nhất. Các công trình trước ñây chỉ dừng lại xây dựng bất ñẳng thức
Lundberg tổng quát cho mô hình này với dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các
dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối hoặc dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc hồi quy. Sử dụng
phương pháp ñệ quy và phương pháp Martingale, luận án lần ñầu tiên xây dựng ñược các bất ñẳng
thức ước lượng xác suất thiệt hại dưới dạng hàm mũ cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng
của lãi suất trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm X = { X n } , dãy tiền chi trả bảo hiểm Y = {Yn }
là các xích Markov thuần nhất không âm, còn dãy lãi suất I = {I n } là dãy biến ngẫu nhiên liên tục
nhận giá trị không âm, ñộc lập, cùng phân phối, các dãy X ,Y ,I ñều ñộc lập với nhau. Kết quả số
minh họa cho các ước lượng chặn trên cho các xác suất thiệt hại của các mô hình ñó cũng ñược giới
thiệu trong chương này.
Kết quả chính của chương này là các ñịnh lý 2.1 ñến ñịnh lý 2.6.
2.Trong chương 3 của luận án, chúng tôi ñã mở rộng ñược các kết quả của Hong, N.T.T. [33], luận
án lần ñầu tiên xây dựng ñược công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô
hình tổng quát có tác ñộng của lãi suất bất kỳ với dãy tiền thu bảo hiểm X = { X n } , dãy tiền chi trả
bảo hiểm Y = {Yn } nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, dãy lãi suất I = {I n } nhận giá trị không
âm trong tập hữu hạn, các dãy X ,Y ,I là ñộc lập. Các công thức tính chính xác xác suất thiệt hại
(không thiệt hại) ñược ñưa ra trong luận án ñều xem xét ñối với các trường hợp: dãy biến ngẫu
nhiên ñộc lập cùng phân phối hoặc ñộc lập không cùng phân phối, hoặc phụ thuộc Markov. Các mô
hình luận án xét gồm mô hình (3.1), (3.2), (3.3) ñều là các mô hình bảo hiểm có tác ñộng của lãi
suất tái ñầu tư tín dụng. Đây là tình huống thường gặp trong thực tế. Bên cạnh ñó, các công thức
tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) của mô hình (3.2), (3.3) ñược mở rộng cho dãy
biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương tùy ý trong tập hữu hạn. Kết quả này tạo cơ sở lý thuyết ñể mở
rộng công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) của các mô hình ñó cho dãy biến
ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị dương trong tập hữu hạn.
Các kết quả số minh họa cho công thức tính chính xác xác suất thiệt hại cho các mô hình ñó cũng
ñược giới thiệu trong chương này.
20
- Xem thêm -
.PDF 
21 
249 
73 
