Tài liệu ước lượng gradient cho phương trình truyền nhiệt trên đa tập riemann

BË GI•O DÖC V€ TR×ÍNG €O T„O „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2 KHOA TO•N H Tu§n Dông ×ÎC L×ÑNG GRADIENT CHO PH×ÌNG TRœNH TRUY—N NHI›T TR–N A T„P RIEMANN KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P „I HÅC H Nëi N«m 2016 BË GI•O DÖC V€ TR×ÍNG €O T„O „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2 KHOA TO•N H Tu§n Dông ×ÎC L×ÑNG GRADIENT CHO PH×ÌNG TRœNH TRUY—N NHI›T TR–N A T„P RIEMANN Chuy¶n ng nh: H¼nh håc KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P „I HÅC NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC: TS. NGUY™N TH„C DÔNG H Nëi N«m 2016 LÍI CƒM ÌN Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa b£n b¡o c¡o thüc tªp chuy¶n ng nh, em xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s-c tîi Ti¸n s¾ NGUY™N TH„C DÔNG ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n º em câ thº ho n th nh · t i n y. Em công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi to n thº c¡c th¦y cæ gi¡o trong khoa To¡n, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H Nëi 2 ¢ d¤y b£o em tªn t¼nh trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp t¤i khoa. Nh¥n dàp n y em công xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi gia ¼nh, b¤n b± ¢ luæn b¶n em, ëng vi¶n, gióp ï em trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n · t i thüc tªp n y. H Nëi, ng y 04 th¡ng 05 n«m 2016 Sinh vi¶n H Tu§n Dông LÍI CAM OAN Tæi xin cam oan r¬ng sè li»u v k¸t qu£ nghi¶n cùu trong khâa luªn n y l trung thüc v khæng tròng l°p vîi c¡c · t i kh¡c. Tæi công xin cam oan r¬ng måi sü gióp ï cho vi»c thüc hi»n khâa luªn n y ¢ ÷ñc c£m ìn v c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong khâa luªn ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc. H Nëi, ng y 04 th¡ng 05 n«m 2015 Sinh vi¶n H Tu§n Dông Möc löc Líi mð ¦u 1 TO•N TÛ LAPLACE TR–N A T„P RIEMANN 1.1 To¡n tû Laplace tr¶n a t¤p Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 4 1.2 Li¶n thæng Levi - Civita tr¶n a t¤p Riemann . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Tensì ë cong, ë cong Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 ×ÎC L×ÑNG GRADIENT CHO PH×ÌNG TRœNH TRUY—N NHI›T 16 TR–N A T„P RIEMANN 21 2.1 ×îc l÷ñng gradient cho ph÷ìng tr¼nh truy·n nhi»t tr¶n a t¤p Riemann 22 2.2 Mët sè h» qu£ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 i Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc H Tu§n Dông Líi mð ¦u N«m 1986, trong b i b¡o [5] «ng tr¶n Acta Mathematica, Li-Yau ¢ nghi¶n cùu c¡c ÷îc l÷ñng gradient v ch¿ ra b§t ¯ng thùc Harnak cho nghi»m d÷ìng cõa ph÷ìng tr¼nh nhi»t ut = u (ð ¥y ch¿ sè t b¶n d÷îi kþ hi»u ph²p l§y vi ph¥n theo bi¸n t, u l to¡n tû Laplace cõa u) tr¶n mët a t¤p Riemann ¦y. ×îc l÷ñng Li-Yau sau n y ÷ñc c£i ti¸n v têng qu¡t hâa cho c¡c ph÷ìng tr¼nh phi tuy¸n kh¡c tr¶n a t¤p Riemann. B¶n c¤nh â n«m 1993, Hamilton ¢ ÷a ra mët ÷îc l÷ñng gradient kh¡c, sau n y ÷ñc gåi l ÷îc l÷ñng gradient kiºu Hamilton cho ph÷ìng tr¼nh nhi»t tr¶n c¡c a t¤p Riiemann compact trong b i b¡o [3]. Tø c¡c ÷îc l÷ñng gradient n y, ng÷íi ta câ th¸ so s¡nh nghi»m t¤i c¡c iºm kh¡c nhau tr¶n còng mët thíi gian. Sau n y, ÷îc l÷ñng gradient kiºu Hamilton ÷ñc têng qu¡t hâa l¶n tr¶n c¡c a t¤p Riemann ¦y, khæng compact trong c¡c cæng tr¼nh cõa Souplet v Zang ( xem trong [7]). M°t kh¡c, kº tø sau c¡c nghi¶n cùu cõa Perelman v· c¡c gradient Ricci soliton º chùng minh gi£i thi¸t Poincare - mët trong b£y b i to¡n thi¶n ni¶n k , c¡c nh To¡n håc °c bi»t quan t¥m ¸n c¡c khæng gian o metric trìn. Nh-c l¤i r¬ng , mët khæng gian o f metric trìn l bë ba (M; g; e dv) trong â M l mët a t¤p Riemann vîi metric g, f l h m trìn tr¶n M , cán dv l d¤ng thº t½ch ùng vîi metric Riemann g.To¡n tû Laplace câ trång tr¶n M ÷ñc x¡c ành bði f = hrf; r i : f ð ¥y l to¡n tû Laplace tr¶n M. Tr¶n (M; g; e dv), c¡c ë cong Bakry-’mery Ricf v ë cong N-Bakry-’mery Ric N f l¦n l÷ñt ÷ñc ành ngh¾a bði Ricf = Ric + Hessf; Ric N f = Ricf 1 N rf rf trong â Ric, Hessf l¦n l÷ñt l ë cong Ricci v Hessian cõa f tr¶n M. C¡c gradient Ricci soliton ch½nh l c¡c tr÷íng hñp °c bi»t cõa c¡c khæng gian o metric trìn .Mët sü têng qu¡t quan trång cõa to¡n tû Laplace câ trång l to¡n tû V = + hV; r i 1 H Tu§n Dông Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc tr¶n mët a t¤p Riemann (M,g). Ð ¥y, r vl¦n l÷ñt l li¶n thæng Levi-Civita v to¡n tû Laplace- Beltramil t÷ìng ùng vîi g v V l mët tr÷íng vector trìn tr¶n M.Trong t i li»u [2] cõa Jost v t i li»u [4] cõa Yi Li RicV = Ric 1 ¢ giîi thi»u N 2LV g; Ric V = RicV ë cong 1 N V V vîi sè nguy¶n d÷ìng N > 0 b§t ký v LV l k½ hi»u ¤o h m Lie dåc theo h÷îng V. Khi V = rf v f l mët h m trìn tr¶n M th¼ c¡c ë cong Ric V ; Ric Bakry-’mery Ricf v ë cong N-Bakry-’mery Ric N f N V l¦n l÷ñt trð th nh ë cong .Trong b i b¡o [9], Nguyen Thac Dung v Nguyen Ngoc Khanh ¢ nghi¶n cùu ÷îc l÷ñng gradient kiºu Hamilton-Souplet-Zhang cho ph÷ìng tr¼nh nhi»t d÷îi ¥y ut = Vu + au log u + bu tr¶n a t¤p Riemann khæng compact, trong â a; b l c¡c h m khæng êi d§u x¡c ành 1 tr¶n M [0; +1), l h m thuëc C (M) vîi bi¸n x. B¶n c¤nh â, mët trong nhúng v§n · công thu hót sü quan t¥m cõa nhi·u nh To¡n håc â l b i to¡n Yamabe ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: "Cho (M; g) l mët a t¤p Riemann compact câ sè chi·u n 3 v R l mët ë cong væ h÷îng t÷ìng ùng vîi g. Li»u câ tçn t¤i hay khæng mët metric ge b£o gi¡c vîi g sao cho ë cong væ h÷îng R e t÷ìng ùng vîi ge l h¬ng?". N«m 1984, Richard Schoen ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng b§t k¼ mët metric tr¶n a t¤p Riemann compct ·u câ thº hi»u ch¿nh b£o gi¡c (tùc l nh¥n nâ vîi mët h m h÷ìng phò hñp) º trð th nh mët metric mîi vîi ë cong væ h÷îng 2 mët h m d÷ìng) th¼ R v R li¶n h» vîi h¬ng. Chó þ r¬ng n¸u g = g:' (ð ¥y ' l e e nhau bði ph÷ìng tr¼nh (xem trong [8]) 2 ' :R = R 2e vîi n 3, °t ' = u n 1 2(n ' 1) (n 1)(n ' th¼ ph÷ìng tr¼nh tr¶n trð th nh: u + bu + cu = 0 4) jr'j2 ' 2 (1) 2 H Tu§n Dông Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc trong â b= n 2 R; c = 4(n 1) n 2 R;= e n+2 n 2 > 1: 4(n 1) Rã r ng th¼ B i to¡n Yamabe t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n t¼m nghi»m d÷ìng cõa ph÷ìng tr¼nh (1) (ph÷ìng tr¼nh (1) ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh Yamabe). Trong khâa luªn n y chóng tæi nghi¶n cùu ÷îc l÷ñng gradient cho ph÷ìng tr¼nh nhi»t têng qu¡t: ut = u + hV; rui + au lnu + bu + cu Trong â a; b; c l c¡c h m khæng êi d§u x¡c ành tr¶n M [0; +1), l h m thuëc 1 C (M) vîi bi¸n x; l mët h¬ng sè d÷ìng. Düa tr¶n c¡c ph÷ìng ph¡p cì b£n cõa b i b¡o [6] v c¡c k¸t qu£ g¦n ¥y v· ành lþ so s¡nh Laplace trong [2] v [4], chóng tæi ¢ têng qu¡t hâa th nh cæng k¸t qu£ cõa Ruan v thu ÷ñc ÷îc l÷ñng gradient cho ph÷ìng tr¼nh nhi»t têng qu¡t nâi tr¶n. Khâa luªn gçm hai ch÷ìng: Ch÷ìng 1 "To¡n tû Laplace tr¶n a t¤p Riemann" chóng tæi nh-c l¤i c¡c kh¡i ni»m cì b£n trong h¼nh håc vi ph¥n, ành ngh¾a cõa to¡n tû Laplace tr¶n a t¤p Riemann còng c¡c kh¡i ni»m v· li¶n thæng, ë cong Ricci, ë cong Bakry - ’mery m chi·u. Ch÷ìng 2 "×îc l÷ñng gradient cho ph÷ìng tr¼nh truy·n nhi»t tr¶n a t¤p Riemann"chóng tæi chùng minh ÷îc l÷ñng gradient kiºu Hamilton - Souplet - Zang cho ph÷ìng tr¼nh nhi»t têng qu¡t ÷ñc · cªp ð tr¶n v ÷a ra c¡c h» qu£ thu ÷ñc tø ÷îc l÷ñng n y. 3 Ch÷ìng 1 TO•N TÛ LAPLACE TR–N A T„P RIEMANN 1.1 A. To¡n tû Laplace tr¶n a t¤p Riemann A T„P TRÌN ành ngh¾a 1.1. Gi£ sû M l mët khæng gian tæpæ Hausdorff câ cì sð ¸m ÷ñc. M ÷ñc gåi l mët a t¤p tæpæ n - chi·u n¸u vîi méi p 2 M, tçn t¤i mët bë ba f'; U; V g, n trong â U l mët l¥n cªn mð cõa p trong M; V l mët tªp con mð cõa R , v ' : U ! V l mët çng phæi. Méi bë ba nh÷ vªy ÷ñc gåi l mët b£n ç t¤i p. Hai b£n ç f'1; U1; V1g v f'2; U2; V2g '12 = '2 l mët ÷ñc gåi l t÷ìng th½ch n¸u ph²p chuyºn 1 '1 : '1(U1 \ U2) ! '2(U1 \ U2); n çng phæi. L÷u þ: '1(U1 \ U2) v '2(U1 \ U2) l mð trong R . ành ngh¾a 1.2. Mët atlas A tr¶n a t¤p M l mët tªp c¡c b£n ç f' ; U ; V g t÷ìng S th½ch vîi nhau, thäa m¢n U = M. Hai atlas tr¶n M ÷ñc gåi l t÷ìng ÷ìng nhau n¸u hñp cõa chóng công l mët atlas tr¶n M. ành ngh¾a 1.3. Mët a t¤p trìn n - chi·u l mët a t¤p tæpæ M n - chi·u ÷ñc trang bà bði mët lîp t÷ìng ÷ìng cõa atlas sao cho c¡c h m chuyºn l c¡c h m trìn. Lîp t÷ìng ÷ìng n y ÷ñc gåi l c§u tróc trìn cõa atlas. 4 Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc H Tu§n Dông n V½ dö 1.1.1. R l mët a t¤p trìn. V½ dö 1.1.2. X²t si¶u c¦u n chi·u trong R n+1 n S = (x1; : : : ; xn+1) 2 Rn+1jx21 + : : : + xnn+1 = 1 : Gåi N = (0; 0; : : : ; 0; 1) 2 R n+1 v S = (0; 0; : : : ; 0; 1) 2 R n+1 l¦n l÷ñt l iºm cüc b-c v iºm cüc nam cõa Sn, °t U1 = Sn n fNg v U2 = Sn n fSg : X²t ph²p chi¸u nêi ' i : Ui ! Rn ành ngh¾a bði 1 '1(x) = 1 xn+1 (x1; : : : ; xn) ; 1 '2(x) = n 1 + xn+1 n (x1; : : : ; xn) : n Khi â f'i; Ui; R g t¤o th nh mët atlas tr¶n S . Si¶u c¦u S l mët a t¤p trìn. B. •NH X„ TRÌN ành ngh¾a 1.4. Gi£ sû ta câ mët ¡nh x¤ f : M ! N giúa hai a t¤p trìn. Ta nâi g ¡nh x¤ trìn n¸u vîi b§t ký b£n ç f ' cõa M v ;U;V ;U;V r¬ng ¡nh x¤ l cõa N, 1 1 f ' : ' U \ f (X ) !f(U ) \ X ; l trìn. •nh x¤ f : M f; f ! N ÷ñc gåi l vi phæi n¸u nâ l mët song ¡nh v l c¡c ¡nh x¤ trìn. Chó þ: (1.) Khi N = R, ta gåi f l mët h m trìn câ gi¡ trà thüc. Tªp c¡c h m trìn câ gi¡ 1 trà thüc tr¶n M ÷ñc k½ hi»u bði C (M): (2.) Méi ¡nh x¤ trìn f : M ! N ·u t¤o ra mët ¡nh x¤ "k²o - lòi" 1 f : C (N) ! 1 C (M) g 7 !g f: C. VECTÌ TI˜P XÓC Cho M l mët 1 a t¤p trìn n chi·u; C (M) l tªp c¡c h m kh£ vi væ h¤n tr¶n M. ành ngh¾a 1.5. Mët vectì ti¸p xóc t¤i iºm p 2 M l mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nh X p : 1 ·u 5 Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc H Tu§n Dông 1 C (U) ! R thäa m¢n quy t-c Leibnitz Xp(f g) = f(p)Xp(g) + Xp(f)g(p): Ð ¥y U l mët l¥n cªn cõa p nh÷ ¢ nâi trong ành ngh¾a 1.1. Tªp hñp t§t c£ c¡c vectì ti¸p xóc cõa M t¤i p lªp th nh mët khæng gian vectì v ÷ñc gåi l khæng gian ti¸p xóc cõa M t¤i p, kþ hi»u l ÷ñc gåi l khæng gian èi ti¸p xóc cõa M t¤i p v ÷ñc kþ hi»u l Tp M. C£ TpM v Tp M ·u l TpM: Khæng gian èi ng¨u nhúng khæng gian vectì n- chi·u. mët b£n ç cõa p vîi '(p) = 0. Khi â, c¡c ¡nh x¤ Gi£ sû f'; U; V g l 1 @i : C (U) ! R f 7! ; 1 @f ' i = 1, 2, . . . , n (0) i @x l c¡c vectì ti¸p xóc t¤i p. C¡c vectì n y l cõa Tp(M): ành ngh¾a 1.6. Cho ¡nh x¤ trìn f ëc lªp tuy¸n t½nh v t¤o th nh mët cì sð : x¤ tuy¸n t½nh dfp : TpM ! Tf(p)N M ! N , vîi méi p 2 M, vi ph¥n cõa f l ¡nh ÷ñc ành ngh¾a bði dfp(Xp)(g) = Xp(g Vîi måi Xp 2 TpM v f): 1 måi g 2 C (N): Trong tr÷íng hñp °c bi»t f : M ! R l mët h m trìn, ta câ thº çng nh§t T f(p)R vîi R. Ta ÷ñc: Ð ¥y dfp 2 Tp M cán ÷ñc gåi l Xp(f) = dfp(Xp) vectì èi ti¸p xóc t¤i p. Cho f'; U; V g l mët b£n ç àa ph÷ìng quanh p. Ta s³ k½ hi»u ' = x1; : : : ; xn k 1 n x ;:::;x vîi x l h m tåa ë thù k tr¶n U , v kþ hi»u b£n ç bði Vªy cì sð ; U èi ng¨u cõa f @ 1 ; : : : ; @ng trong T M l p dfp = (@1f) dx D. PH…N THÎ TI˜P XÓC n dx1 ; : : : ; dxn p 1 p o p ,v n + : : : + (@nf) dx p: : 6