Tài liệu ước lượng gradient cho phương trình truyền nhiệt trên đa tập riemann

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Hà Tuấn Dũng ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRÊN ĐA TẠP RIEMANN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Hà Tuấn Dũng ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Chuyên ngành: Hình học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THẠC DŨNG Hà Nội – Năm 2016 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của bản báo cáo thực tập chuyên ngành, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ NGUYỄN THẠC DŨNG đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành đề tài này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài thực tập này. Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Hà Tuấn Dũng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Hà Tuấn Dũng Mục lục Lời mở đầu 1 1 TOÁN TỬ LAPLACE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 4 1.1 Toán tử Laplace trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Liên thông Levi - Civita trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Tensơ độ cong, độ cong Ricci 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 21 2.1 Ước lượng gradient cho phương trình truyền nhiệt trên đa tạp Riemann 22 2.2 Một số hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng Lời mở đầu Năm 1986, trong bài báo [5] đăng trên Acta Mathematica, Li-Yau đã nghiên cứu các ước lượng gradient và chỉ ra bất đẳng thức Harnak cho nghiệm dương của phương trình nhiệt ut = ∆u (ở đây chỉ số t bên dưới ký hiệu phép lấy vi phân theo biến t, ∆u là toán tử Laplace của u) trên một đa tạp Riemann đầy. Ước lượng Li-Yau sau này được cải tiến và tổng quát hóa cho các phương trình phi tuyến khác trên đa tạp Riemann. Bên cạnh đó năm 1993, Hamilton đã đưa ra một ước lượng gradient khác, sau này được gọi là ước lượng gradient kiểu Hamilton cho phương trình nhiệt trên các đa tạp Riiemann compact trong bài báo [3]. Từ các ước lượng gradient này, người ta có thế so sánh nghiệm tại các điểm khác nhau trên cùng một thời gian. Sau này, ước lượng gradient kiểu Hamilton được tổng quát hóa lên trên các đa tạp Riemann đầy, không compact trong các công trình của Souplet và Zang ( xem trong [7]). Mặt khác, kể từ sau các nghiên cứu của Perelman về các gradient Ricci soliton để chứng minh giải thiết Poincare - một trong bảy bài toán thiên niên kỷ, các nhà Toán học đặc biệt quan tâm đến các không gian đo metric trơn. Nhắc lại rằng , một không gian đo metric trơn là bộ ba (M, g, e−f dv) trong đó M là một đa tạp Riemann với metric g, f là hàm trơn trên M , còn dv là dạng thể tích ứng với metric Riemann g.Toán tử Laplace có trọng trên M được xác định bởi ∆f · = ∆ · − h∇f, ∇·i . ở đây ∆ là toán tử Laplace trên M . Trên (M, g, e−f dv), các độ cong Bakry-Émery Ricf và độ cong N -Bakry-Émery RicN f lần lượt được định nghĩa bởi Ricf = Ric + Hessf, RicN f = Ricf − 1 ∇f ⊗ ∇f N trong đó Ric, Hessf lần lượt là độ cong Ricci và Hessian của f trên M. Các gradient Ricci soliton chính là các trường hợp đặc biệt của các không gian đo metric trơn .Một sự tổng quát quan trọng của toán tử Laplace có trọng là toán tử ∆V · = ∆ · + hV, ∇·i 1 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng trên một đa tạp Riemann (M ,g). Ở đây, ∇ và ∆ lần lượt là liên thông Levi-Civita và toán tử Laplace- Beltramil tương ứng với g và V là một trường vector trơn trên M.Trong tài liệu [2] của Jost và tài liệu [4] của Yi Li đã giới thiệu độ cong 1 1 V ⊗V RicV = Ric − LV g, RicN V = RicV − 2 N với số nguyên dương N > 0 bất kỳ và LV là kí hiệu đạo hàm Lie dọc theo hướng V. Khi V = ∇f và f là một hàm trơn trên M thì các độ cong RicV , RicN V lần lượt trở thành độ cong Bakry-Émery Ricf và độ cong N -Bakry-Émery RicN f .Trong bài báo [9], Nguyen Thac Dung và Nguyen Ngoc Khanh đã nghiên cứu ước lượng gradient kiểu Hamilton-Souplet-Zhang cho phương trình nhiệt dưới đây ut = ∆V u + au log u + bu trên đa tạp Riemann không compact, trong đó a, b là các hàm không đổi dấu xác định trên M × [0, +∞), là hàm thuộc C 1 (M ) với biến x. Bên cạnh đó, một trong những vấn đề cũng thu hút sự quan tâm của nhiều nhà Toán học đó là bài toán Yamabe được phát biểu như sau: "Cho (M, g) là một đa tạp Riemann compact có số chiều n ≥ 3 và R là một độ cong vô hướng tương ứng với g. e Liệu có tồn tại hay không một metric ge bảo giác với g sao cho độ cong vô hướng R tương ứng với ge là hằng?". Năm 1984, Richard Schoen đã chứng minh được rằng bất kì một metric trên đa tạp Riemann compct đều có thể hiệu chỉnh bảo giác (tức là nhân nó với một hàm hương phù hợp) để trở thành một metric mới với độ cong vô hướng e liên hệ với hằng. Chú ý rằng nếu ge = g.ϕ2 (ở đây ϕ là một hàm dương) thì R và R nhau bởi phương trình (xem trong [8]) 2 e = R − 2(n − 1) ∆ϕ − (n − 1)(n − 4) |∇ϕ| ϕ2 .R ϕ ϕ2 2 với n ≥ 3, đặt ϕ = u n−1 thì phương trình trên trở thành: ∆u + buα + cu = 0 2 (1) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng trong đó b= n−2 R, 4(n − 1) c=− n−2 e R, 4(n − 1) α= n+2 > 1. n−2 Rõ ràng thì Bài toán Yamabe tương đương với bài toán tìm nghiệm dương của phương trình (1) (phương trình (1) được gọi là phương trình Yamabe). Trong khóa luận này chúng tôi nghiên cứu ước lượng gradient cho phương trình nhiệt tổng quát: ut = ∆u + hV, ∇ui + auα lnu + buα + cu Trong đó a, b, c là các hàm không đổi dấu xác định trên M × [0, +∞), là hàm thuộc C 1 (M ) với biến x, α là một hằng số dương. Dựa trên các phương pháp cơ bản của bài báo [6] và các kết quả gần đây về định lý so sánh Laplace trong [2] và [4], chúng tôi đã tổng quát hóa thành công kết quả của Ruan và thu được ước lượng gradient cho phương trình nhiệt tổng quát nói trên. Khóa luận gồm hai chương: Chương 1 "Toán tử Laplace trên đa tạp Riemann" chúng tôi nhắc lại các khái niệm cơ bản trong hình học vi phân, định nghĩa của toán tử Laplace trên đa tạp Riemann cùng các khái niệm về liên thông, độ cong Ricci, độ cong Bakry - Émery m chiều. Chương 2 "Ước lượng gradient cho phương trình truyền nhiệt trên đa tạp Riemann"chúng tôi chứng minh ước lượng gradient kiểu Hamilton - Souplet - Zang cho phương trình nhiệt tổng quát được đề cập ở trên và đưa ra các hệ quả thu được từ ước lượng này. 3 Chương 1 TOÁN TỬ LAPLACE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 1.1 Toán tử Laplace trên đa tạp Riemann A. ĐA TẠP TRƠN Định nghĩa 1.1. Giả sử M là một không gian tôpô Hausdorff có cơ sở đếm được. M được gọi là một đa tạp tôpô n - chiều nếu với mỗi p ∈ M , tồn tại một bộ ba {ϕ, U, V }, trong đó U là một lân cận mở của p trong M, V là một tập con mở của Rn , và ϕ : U → V là một đồng phôi. Mỗi bộ ba như vậy được gọi là một bản đồ tại p. Hai bản đồ {ϕ1 , U1 , V1 } và {ϕ2 , U2 , V2 } được gọi là tương thích nếu phép chuyển ϕ12 = ϕ2 ◦ ϕ−1 1 : ϕ1 (U1 ∩ U2 ) → ϕ2 (U1 ∩ U2 ), là một đồng phôi. Lưu ý: ϕ1 (U1 ∩ U2 ) và ϕ2 (U1 ∩ U2 ) là mở trong Rn . Định nghĩa 1.2. Một atlas A trên đa tạp M là một tập các bản đồ {ϕα , Uα , Vα } tương S thích với nhau, thỏa mãn α Uα = M . Hai atlas trên M được gọi là tương đương nhau nếu hợp của chúng cũng là một atlas trên M . Định nghĩa 1.3. Một đa tạp trơn n - chiều là một đa tạp tôpô M n - chiều được trang bị bởi một lớp tương đương của atlas sao cho các hàm chuyển là các hàm trơn. Lớp tương đương này được gọi là cấu trúc trơn của atlas. 4 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng Ví dụ 1.1.1. Rn là một đa tạp trơn. Ví dụ 1.1.2. Xét siêu cầu n chiều trong Rn+1  S n = (x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 |x21 + . . . + xnn+1 = 1 . Gọi N = (0, 0, . . . , 0, 1) ∈ Rn+1 và S = (0, 0, . . . , 0, −1) ∈ Rn+1 lần lượt là điểm cực bắc và điểm cực nam của S n , đặt U1 = S n \ {N } và U2 = S n \ {S} . Xét phép chiếu nổi ϕi : Ui → Rn định nghĩa bởi ϕ1 (x) = 1 (x1 , . . . , xn ) , 1 − xn+1 ϕ2 (x) = 1 (x1 , . . . , xn ) . 1 + xn+1 Khi đó {ϕi , Ui , Rn } tạo thành một atlas trên S n . Siêu cầu S n là một đa tạp trơn. B. ÁNH XẠ TRƠN Định nghĩa 1.4. Giả sử ta có một ánh xạ f : M → N giữa hai đa tạp trơn. Ta nói  rằng ánh xạ là trơn nếu với bất kỳ bản đồ {ϕα , Uα , Vα } của M và ψβ , Uβ , Vβ của N , ánh xạ

−1 : ψβ ◦ f ◦ ϕ−1 ϕ U ∩ f (X ) → ψ f (U ) ∩ X , α α β β α β α là trơn. Ánh xạ f : M → N được gọi là vi phôi nếu nó là một song ánh và f, f −1 đều là các ánh xạ trơn. Chú ý: (1.) Khi N = R, ta gọi f là một hàm trơn có giá trị thực. Tập các hàm trơn có giá trị thực trên M được kí hiệu bởi C ∞ (M ). (2.) Mỗi ánh xạ trơn f : M → N đều tạo ra một ánh xạ "kéo - lùi" f∗ : C ∞ (N ) −→ C ∞ (M ) g 7−→ g ◦ f. C. VECTƠ TIẾP XÚC Cho M là một đa tạp trơn n chiều; C ∞ (M ) là tập các hàm khả vi vô hạn trên M . Định nghĩa 1.5. Một vectơ tiếp xúc tại điểm p ∈ M là một ánh xạ tuyến tính Xp : 5 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng C ∞ (U ) → R thỏa mãn quy tắc Leibnitz Xp (f g) = f (p)Xp (g) + Xp (f )g(p). Ở đây U là một lân cận của p như đã nói trong định nghĩa 1.1. Tập hợp tất cả các vectơ tiếp xúc của M tại p lập thành một không gian vectơ và được gọi là không gian tiếp xúc của M tại p, ký hiệu là Tp M. Không gian đối ngẫu được gọi là không gian đối tiếp xúc của M tại p và được ký hiệu là Tp∗ M . Cả Tp M và Tp∗ M đều là những không gian vectơ n- chiều. Giả sử {ϕ, U, V } là một bản đồ của p với ϕ(p) = 0. Khi đó, các ánh xạ C ∞ (U ) −→ R , i = 1, 2, . . . , n ∂f ◦ ϕ−1 (0) f 7−→ ∂xi là các vectơ tiếp xúc tại p. Các vectơ này là độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở ∂i : của Tp (M ). Định nghĩa 1.6. Cho ánh xạ trơn f : M → N , với mỗi p ∈ M , vi phân của f là ánh xạ tuyến tính dfp : Tp M → Tf (p) N được định nghĩa bởi dfp (Xp )(g) = Xp (g ◦ f ). Với mọi Xp ∈ Tp M và mọi g ∈ C ∞ (N ). Trong trường hợp đặc biệt f : M → R là một hàm trơn, ta có thể đồng nhất Tf (p) R với R. Ta được: Xp (f ) = dfp (Xp ) Ở đây dfp ∈ Tp∗ M còn được gọi là vectơ đối tiếp xúc tại p.
Cho {ϕ, U, V } là một bản đồ địa phương quanh p. Ta sẽ kí hiệu ϕ = x1 , . . . , xn  với xk là hàm tọa độ thứ k trên U , và ký hiệu bản đồ bởi U ; x1 , . . . , xn . Vậy cơ sở n o đối ngẫu của {∂1 , . . . , ∂n } trong Tp∗ M là dx1p , . . . , dxnp , và dfp = (∂1 f ) dx1p + . . . + (∂n f ) dxnp . D. PHÂN THỚ TIẾP XÚC 6 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng Định nghĩa 1.7. Cho E và M là hai đa tạp trơn, π : E → M là toàn ánh trơn. Ta nói (π, E, M ) là một phân thớ vectơ hạng k nếu với mỗi p ∈ M, 1. Ep = π −1 (p) là một không gian vectơ k chiều. 2. Tồn tại lân cận mở U của p và một vi phôi ΦU : π −1 (U ) → U × Rk sao cho
ΦU π −1 (p) = {p} × Rk . 3. Nếu U, V là hai tập mở với p ∈ U ∩ V, ΦU , ΦV là các vi phôi trên thì ánh xạ k k gU V (p) = ΦU ◦ Φ−1 V : {p} × R → {p} × R là tuyến tính, phụ thuộc trơn vào p ∈ U ∩ V. Ta gọi E là không gian tổng, M là cơ sở và ΦU là ánh xạ tầm thường địa phương. Một phân thớ vectơ hạng 1 thường được gọi là đường thẳng phân thớ. Ví dụ 1.1.3. Đặt T M = S o Tp M là hợp rời của các không gian tiếp xúc tại M . Khi đó, với ánh xạ chiếu π : T M −→ M . (p, Xp ) 7−→ p T M là một phân thớ vectơ hạng n trên M . Ta gọi T M là phân thớ tiếp xúc trên M . Một ánh xạ tầm thường địa phương của T M được cho bởi T ϕ = (π, dϕ) : π −1 (U ) → U × Rn , với {ϕ, U, V } là một bản đồ địa phương của M . E. CẤU TRÚC RIEMANN Cho M là một đa tạp m chiều khi đó ta có định nghĩa cấu trúc metric Riemann và định nghĩa đa tạp Riemann như sau: Định nghĩa 1.8. Một cấu trúc metric Riemann trên M là việc đặt tương ứng với mỗi p ∈ M một tích vô hướng gp (·, ·) = h·, ·ip trên Tp M sao cho với hai trường vectơ X, Y 7 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng  trên tập con mở U ∈ M , hàm số p → Xp , Yp là hàm khả vi. Đa tạp M cùng với cấu trúc Riemann g xác định trên M được gọi là một đa tạp Riemann và ký hiệu là (M, g). Ta chú ý rằng bản thân g không phải là một metric trên M . Tuy nhiên. g sẽ cảm sinh một cấu trúc metric tự nhiên trên M . Ta có thể mô tả một cấu trúc metric g sử dụng tọa độ địa phương như sau: Cho  U, x1 , . . . , xn là một hệ tọa độ địa phương và {∂1 , . . . , ∂m } là trường vectơ tọa độ tương ứng. Ta ký hiệu  gij (p) = ∂i , ∂j p . Với bất kì vectơ trơn X = X i ∂i và Y = Y i ∂j trên U ta có Xp , Yp  p  = X i (p)Y j (p) ∂i , ∂j p = gij (p)X i (p)Y j (p). Ta có thể viết g = gij dxi ⊗ dxj , hoặc gọn hơn là g = gij dxi dxj . Dễ thấy gij có các tính chất sau • gij (p) là trơn với mọi p ∈ M , với mọi i, j. • gij = gji , ma trận (gij (p)) là đối xứng với mọi p. • Ma trận (gij (p)) xác định dương với mọi p. Định nghĩa 1.9. Cho (M, gM ) và (N, gN ) là hai đa tạp Riemann. Vi phôi f : M → N được gọi là một vi phôi đẳng cự nếu gM = f ∗ gN . Sau đây ta sẽ trình bày một số cách để xây dựng đa tạp Riemann. Có nhiều cách để xây dựng một đa tạp Riemann mới từ đa tạp cũ, như một số ví dụ sau 1. Cho (N, gN ) là một đa tạp Riemann, và f : M → N là một phép dìm trơn, ví dụ: dfp : Tp M → Tf (p) N là toàn ánh với mọi p ∈ M , ánh xạ "kéo - lùi" f ∗ gN định nghĩa bởi (f ∗ gN )p (Xp , Yp ) = (gN )f (p) (dfp (Xp ), dfp (Yp )), là một metric Riemann trên M . Ta gọi f ∗ gN là metric cảm sinh và f là một phép dìm đẳng cự. 8 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng 2. Cho (M, g) là một đa tạp Riemann bất kỳ, và ϕ : M → R là một hàm dương, trơn, tùy ý trên M . Khi đó, ϕg định nghĩa bởi: (ϕg)p (Xp , Yp ) = ϕ(p)gp (Xp , Yp ), là một metric Riemann trên M , nó còn được gọi là metric bảo giác với g. Dưới đây là một số ví dụ về đa tạp Riemann. Ví dụ 1.1.4. Một tích vô hướng chuẩn trong Rm xác định một metric Riemann chính tắc g0 trên Rm với (g0 )ij = δw . Tổng quát hơn, với bất kỳ ma trận A dương cấp m × n, gp (Xp , Yp ) := XpT AYp xxác định một metric Riemann trên Rm với gij = Aij . Ví dụ 1.1.5. Cho M = S 2 là mặt bậc hai R3 . Để tính toán metric cảm sinh Riemann từ metric chuẩn tắc trong R3 , ta cần chọn một hệ tọa độ địa phương. Ta sử dụng tọa độ trụ θ và z để tham số hóa S 2 x= với 0 ≤ θ ≤ 2π, dx = √ √ 1 − z 2 cosθ, y= √ 1 − z 2 sinθ, z = z, −1 < z < 1. Ta có: √ −z cosθdz − 1 − z 2 sinθdθ, 1 − z2 dy = √ √ −z sinθdz + 1 − z 2 cosθdθ. 1 − z2 Vậy, gS 2 = [dx ⊗ dx + dy ⊗ dy + dz ⊗ dz] |S 2 z2 dz ⊗ dz + (1 − z 2 )dθ ⊗ dθ + dz ⊗ dz 1 − z2 1 = dz ⊗ dz + (1 − z 2 )dθ ⊗ dθ 2 1−z = F. TOÁN TỬ LAPLACIAN Các chỉ số thăng và giáng 9 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng Định nghĩa 1.10. Cho M là đa tạp trơn. Một metric Riemann trên M là một trường 2 -tensơ hiệp biến, g ∈ T ( M ) sao cho: 1. g là đối xứng g(X, Y ) = g(Y, X) với mọi trường vectơ trơn X, Y ∈ Tp M, với mọi p ∈ M. 2. g xác định dương g(X, X) > 0, với mọi X 6= 0 Đa tạp Riemann M cùng với một metric Riemann g được gọi là đa tạp Riemann. Cho g là metric Riemann trên M . Khi đó ta có thể xác định một tích vô hướng h, i trên Tp M xác định bởi 
Xp , Yp = g Xp , Yp với mọi X, Y ∈ Tp (M ). Giả sử (M, g) là một đa tạp Riemann, xét ánh xạ giáng [ : T M −→ T ∗ M X 7−→ X [ trong đó ta định nghĩa X [ (Y ) := g hX, Y i. Khi đó biểu diễn của toán tử giáng trong các hệ tọa địa phương có dạng   X [ = g X i ∂i , · = gij X i dxi . Lưu ý rằng trong công thức trên nếu X [ có dạng: X [ = Xj dxj thì Xj := gij X i . Như vậy, X [ nhận từ X bằng cách hạ chỉ số xuống. Trong âm nhạc, việc hạ một nốt nhạc xuống một cung thì nốt nhạc đó gọi là một nốt giáng, đây cũng là lý do mà ta gọi X [ là ánh xạ giáng. Trong hệ tọa độ địa phương, ánh xạ [ có biểu diễn dạng ma trận là (gij ). Do g là metric Riemann nên ma trận (g) là ma trận khả nghịch. Ma trânh ngược của nó được
kí hiệu là g ij . Do vậy, ánh xạ [ có ánh xạ ngược 10 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng ] : T ∗ M −→ T M ω 7−→ ω ] Giả sử ω = ωj dxj và ω i ∂xi . Khi đó, ω ]
θ = ω. Theo công thức (1.1), ta có ωj = gij ω i . Tức là, ω i = g ij ωj Như vậy, ω ] nhận được từ ω bằng cách nâng chỉ số lên. Trong âm nhạc, khi một nốt nhạc được nâng lên một cung thì nốt nhạc đó được gọi là nốt thăng. Do đó, toán tử ] được gọi là toán tử thăng. Định nghĩa 1.11. Vectơ gradient của f là ∇f = ](df ). Định nghĩa trên là tương đương với ∀X ∈ Γ(T M ) thì g(∇f, X) = Xf. Trong tọa độ địa phương ta có   ∇f = g ij ∂i f ∂j . Trong trường hợp đặc biệt, với g = g0 trong Rm , ta có gradient thông thường của f . Toán tử divergence Giả sử X là một trường vectơ trơn trên M. Xét hệ tọa độ địa phương (U, x1 , . . . , xm ) trên M , phần tử √ dV ol = Gdx1 ∧ . . . ∧ dxm , là một dạng vi phân dương trên U. Trong đó G = det(gij ), gij = g(∂i , ∂j ) và dx1 ∧ . . . ∧ dxn là độ đo Lebesgue trên Rn . Ta định nghĩa toán tử divergence như sau: Định nghĩa 1.12. Toán tử divergence của X là hàm div(X) trên M định nghĩa bởi  (divX)dV ol = d ı(X)dV ol . 11 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng Ở đây ı(X) là ánh xạ tích trong của một trường vectơ xác định bởi ıX ω(Y1 , . . . , Yn−1 ) = ω(X, Y1 , . . . , Yn−1 )p với Y1 , . . . , Yn−1 ∈ Tp M với mọi p ∈ M. P Giả sử X = ni=1 X i ∂i dễ dàng tính toán được,   1  X dx1 (Y1 )   √  X 2 dx2 (Y1 ) ıX dV ol(Y1 , . . . , Yn−1 ) = G  . ..  .. .   n X dxn (Y1 ) ... ... .. . ...   d (Yn−1 )   dx2 (Yn−1 )   ..   .   n dx (Yn−1 ) 1        1    2  dx1 (Y1 ) . . . d1 (Yn−1 )    dx (Y1 ) . . . d (Yn−1 )     √  1  .    .. .. .. . . 2  . . . = G X  . . . −X  .  + . . . . .          n  n n n dx (Y1 ) . . . dx (Yn−1 ) dx (Y1 ) . . . dx (Yn−1 ) √ ci . . . ∧ dxn (Y1 , . . . , Yn−1 ) = X i G(−1)i−1 dx1 ∧ . . . dx Do đó, n √ o √ ci . . . ∧ dxn = ∂i (X i G)dx1 ∧ . . . ∧ dxn . (divX)dV ol = d X i G(−1)i−1 dx1 ∧ . . . dx Vậy  √  1 √ divX = ∂i X i G . G Ở đây ta đã sử dụng Quy ước tổng Einstein. Nếu trong một biểu thức xuất hiện chỉ số trên và chỉ số dưới tương tự nhau. Khi đó, biểu thức sẽ được hiểu là tổng của tất cả các giá trị có thể có của chỉ số đó (thương là từ 1 đến số chiều). Toán tử Laplace Định nghĩa 1.13. Cho hàm trơn f trên (M, g), ta định nghĩa toán tử Laplace ∆ tác động lên f như sau ∆f := div(∇f ). 12 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nghĩa là Hà Tuấn Dũng √  1 ij ∆f = div(g ∂i f ∂j ) = √ ∂i Gg ∂j f . G ij Người ta chứng minh được toán tử Laplace là một toán tử elliptic và là toán tử tự liên hợp nếu đa tạp M là compact. 1.2 Liên thông Levi - Civita trên đa tạp Riemann 1. Liên thông tuyến tính Cho M là một đa tạp trơn. Định nghĩa 1.14. Một liên thông tuyến tính ∇ trên M là một ánh xạ tuyến tính ∇ : Γ∞ (T M ) × Γ∞ (T M ) −→ Γ∞ (T M ) (X, Y ) 7−→ ∇X Y sao cho với mọi X, Y ∈ Γ∞ (T M ) và f ∈ C ∞ (M ) thì • ∇f X Y = f ∇X Y, • ∇X (f Y ) = f ∇X Y + (Xf )Y Vectơ ∇X Y được gọi là đạo hàm hiệp biến của trường vectơ Y dọc theo trường vectơ X. Ví dụ 1.2.1. Cho M = Rm . Khi đó, đạo hàm theo hướng cho ta một liên thông tuyến tính. Thật vậy, nếu X = X i ∂i và Y = Y j ∂, thì ∆X Y = ∆X i ∂i (Y j ∂j ) = X i ∂i (Y j )∂j . 2. Liên thông Levi - Civita a. Liên thông tương thích với metric Cho (M, g) là một đa tạp Riemann. Ta nhắc lại rằng liên thông tuyến tính ∇ là tương thích với metric g nếu ∇g = 0, tức là với mọi X, Y, Z ∈ Γ(T M ), ∇X hY, Zi = h∇X Y, Zi + hY, ∇X Zi . b. Liên thông không xoắn 13 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng Cho ∇ là một liên thông tuyến tính trên M . Ta định nghĩa toán tử T (X, Y ) := ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ]. Dễ dàng kiểm tra được T có tính chất tensơ, tức là T (f X, Y ) = f T (X, Y ) T (X, f Y ) = f T (X, Y ). Định nghĩa 1.15. Ta gọi T là tensơ xoắn của ∇. Nếu T = 0, ta gọi ∇ là liên thông không xoắn, hoặc là liên thông đối xứng. Cho (U, x1 , . . . , xn ) là một bản đồ tọa độ, khi đó tồn tại các hàm Γkij trên U sao cho ∇∂i ∂j = Γkij ∂k . Các hàm Γkij ∂k được gọi là các ký hiệu Christoffel của ∇ đối với bản đồ đã cho. Mệnh đề 1.1. ∇ là một liên thông không xoắn nếu và chỉ nếu Γkij = Γkji với mọi i, j. Chứng minh. Nếu ∇ là một liên thông không xoắn, khi đó với i, j bất kỳ T (∂i , ∂j ) = ∇∂i ∂j − ∇∂j ∂i − [∂i , ∂j ] = Γkij ∂k − Γkji ∂k =0 Điều này kéo theo Γkij = Γkji . Ngược lại, nếu Γkij = Γkji , khi đó bằng tính toán như trên, T (∂i , ∂j ) = 0. Từ T là một tensơ, ta có T (X, Y ) = 0 với mọi X, Y . Vậy ∇ là một liên thông không xoắn. Ta  có điều phải chứng minh. Chú ý: Trong trường hợp đặc biệt, ta thấy rằng điều kiện đối xứng 00 Γkij = Γkji với mọi i, j 00 là độc lập với việc chọn tọa độ địa phương. Liên thông Levi - Civita 14 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Tuấn Dũng Định nghĩa 1.16. Một liên thông ∇ trên đa tạp Riemann (M, g) được gọi là liên thông Levi - Civita (Liên thông Riemann) nếu có tensơ xoắn T = 0 và lien thông là tương thích với metric g. Định lý 1.1. (Định lý cơ bản của hình học Riemann) Giả sử (M, g) là đa tạp Riemann, khi đó tồn tại duy nhất một liên thông tuyến tính Levi - Civita trên M . Chứng minh. Trước hết, ta giả sử rằng tồn tại liên thông Levi - Civita trên M . Ta sẽ chứng minh liên thông này là duy nhất. Thật vậy, ta có:
h∇X Y, Zi = X hY, Zi − hY, ∇X Zi
 = X hY, Zi − hY, ∇Z Xi − Y, [X, Z]

 = X hY, Zi − Z hY, Xi + h∇Z Y, Xi − Y, [X, Z]

  = X hY, Zi − Z hY, Xi + h∇Y Z, Xi + [Z, Y ], X − Y, [X, Z]


  = X hY, Zi − Z hY, Xi + Y hZ, Xi − hZ, ∇Y Xi + [Z, Y ], X − Y, [X, Z]


  = X hY, Zi − Z hY, Xi + Y hZ, Xi − hZ, ∇Y Xi − Z, [Y, X] + [Z, Y ], X  − Y, [X, Z] Từ đó sẽ dẫn tới ∇X Y phải là các vectơ thỏa mãn


   2 h∇X Y, Zi = X hY, Zi −Z hY, Xi +Y hZ, Xi − Z, [Y, X] + [Z, Y ], X − Y, [X, Z] . Vế phải của công thức trên được xác định bởi metric. Vậy tính duy nhất được chứng minh. Tiếp theo, để chứng minh sự tồn tại ta chỉ cần kiểm tra rằng ∇X Y được xác định bởi công thức trên thỏa mãn các điều kiện của liên thông Levi - Civita. Thật vậy, dễ thấy ∇X Y xác định một liên thông tuyến tính trên M . Tính chất tương thích với metric là kết quả trực tiếp của công thức trên, để chứng minh ∇X Y là một liên thông tự do xoắn, ta đặt X = ∂i , Y = ∂j và Z = ∂k , khi đó đồng nhất thức bên trên trở thành 2Γkij glk = ∂i gjk − ∂k gij + ∂j gki . Nói cách khác,
2Γlij = g lk ∂j gki + ∂i gjk − ∂k gij . 15