Tài liệu Ứng dụng vi phân

Nội dung -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 – Đạo hàm 2 – Vi phân. 3 – Định lý giá trị trung bình 4 – Công thức Taylor, Maclaurint I. Đạo hàm Định nghĩa (đạo hàm) Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểmx0 . f ( x0  x)  f ( x0 ) f ( x0 )  lim x 0 x ' f ' ( x0 ) được gọi là đạo hàm của f tại điểm x0 . Ví dụ Tìm đạo hàm của hàm f ( x)  cos x tại điểm x0 f ( x0  x)  f ( x0 ) f ( x0 )  lim x 0 x cos( x0  x)  cos x0  lim x 0 x x  x  sin  x0    sin 2  2    lim x 0 x 2   sin( x0 ) ' Ví dụ  2 1  x sin   , x  0 ' Tìm f (0) , biết f ( x)   x  0, x0  f (0  x)  f (0) f (0)  lim x 0 x '  lim x 0  x  2 sin 1/ x   0 x   1    0 (bị chặn x vô cùng bé)  lim  x  sin    x 0  x    Định nghĩa (đạo hàm phải) Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểmx0 . f ( x0  x)  f ( x0 ) f '( x )  lim x 0 x  0 f ' ( x0 ) được gọi là đạo hàm phải của f tại điểm x0 . Định nghĩa (đạo hàm trái) Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểmx0 . f ( x0  x)  f ( x0 ) f '( x )  lim x 0 x  0 f ' ( x0 ) được gọi là đạo hàm trái của f tại điểm x0 . Định lý Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 , khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm x0 và hai đạo hàm này bằng nhau. Định nghĩa (đạo hàm vô cùng) Nếu f ( x0  x)  f ( x0 ) lim   , thì ta nói hàm x 0 x có đạo hàm vô cùng tại điểm x0 . Ví dụ 1/ x  e , x0 '  '  Tìm f (0 ); f (0 ), biết f ( x)    0, x  0 1/ x f (0   x )  f (0) e 0 '    f (0 )  lim  lim x 0 x 0 x x 1/ x f (0   x )  f (0) e  0 '  f (0 )  lim  lim 0 x 0 x x 0 x Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, nên đạo hàm tại x = 0 không tồn tại. Ví dụ Tìm f ' ( x) , biết f ( x)  x 2  3 | x | 2  x 2  3x  2, x  0  2 x  3, x  0 ' f ( x)   2  f ( x)   2 x  3, x  0  x  3x  2, x  0 Tại điểm x = 0: f ' (0 )  3; f ' (0 )  3 Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, suy ra không tồn tại đạo hàm tại x = 0. Ví dụ Tìm f ' (0); f ' (0) , biết f ( x)  sin 2 x f (0  x)  f (0) sin 2x f (0 )  lim 2  lim x 0 x x 0 x '  f (0  x)  f (0) sin 2x f (0 )  lim  lim  2 x 0 x x 0 x '  Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, nên đạo hàm tại x = 0 không tồn tại. Ví dụ  sin x , x0  ' Tìm f ( x) , biết f ( x)   x  1, x0  x cos x  sin x , x0  ' 2 f ( x)   x  0, x0 sin x 1 f (0  x)  f (0) ' x f (0)  lim  lim x 0 x x 0 x  lim x 0 sin x  x  x  2 0 Ví dụ 1  arctan , x  0   x '  '  Tìm f (0 ), f (0 ), biết f ( x)     , x0  2 1  arctan  x 2   f ' (0 )  lim x 0 x 1  arctan  x 2  1 f ' (0 )  lim x 0 x Đạo hàm 1. a ' 0   3.  e   e 2. hàm hợp  ' x  1 x x ' x 4.  sin x   cos x ' 5.  cos x    sin x ' 1 6.  ln x   x 1 ' 7.  tan x   cos 2 x 1 ' 8.  cot x   sin 2 x '   e   e 2. u 3.  '   u 1  u ' u ' u  u' 4.  sin u   cos  u   u ' ' 5.  cos u     sin u   u ' ' u' 6.  ln u   u ' u' 7.  tan u   cos 2 u ' u ' 8.  cot u   2 sin u ' Đạo hàm các hàm lượng giác ngược và hyperbolic 1.  arcsin x   ' 2.  arccos x   ' 1 1 x 1  x2 1 3.  arctan x   1  x2 1 4.  arccot x   2 1 x ' 2 1 ' 5.  sinh x   cosh x ' 6.  cosh x   sinh x ' 1 7.  tanh x   cosh 2 x ' 1 8.  coth x    sinh 2 x ' Công thức tính đạo hàm Qui tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp. 1.  u    u ' ' 3.  u  v   u '  v  u  v ' ' 2.  u  v   u '  v ' ' ' ' ' u u  v  u  v   5.    2 v v   4.  u  v  w   u '  v  w  u  v '  w  u  v  w' ' Đạo hàm của hàm hợp f  f (u ), u  u ( x)  f ' ( x)  f ' (u )  u ' ( x) Đạo hàm của hàm ngược. Hàm y = f(x) là hàm 1-1 có hàm ngược x = g(y). Nếu f(x) có đạo hàm hữu hạn khác không tại x0, thì hàm g(y) sẽ có đạo hàm tại y0 = f(x0) và 1 g ( y0 )  ' f ( x0 ) ' 1 x ( y)  ' y ( x) ' Ví dụ Tìm đạo hàm hàm ngược của hàm f ( x)  x  x3 f(x) là hàm 1-1 trên R, đạo hàm f ' ( x)  1  3x 2  0, x dx 1 1  '  dy y ( x) 1  3x 2 Ví dụ y y e  e ' Tìm y ( x) , biết x  sinh y  2 x = sinh(y) là hàm 1-1, đạo hàm x' ( y )  1/ cosh y  0, y dy 1 1 1 y ( x)   '   dx x ( y ) 1  sinh 2 y 1  x2 ' Đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số.  x  x(t ) Hàm y = y(x) cho bởi pt tham số:   y  y (t ) Giả sử hàm x  x(t ) có hàm ngượct  t ( x) Khi đó y  y (t )  y(t ( x)) là hàm y theo biến x. ' ' dy y ( t ) dt y (t ) ' y ( x)   '  ' dx x (t )dt x (t ) ' y (t ) '  y ( x)  ' x (t ) Ví dụ Tìm đạo hàm của hàm y = y(x) cho bởi pt tham số x  a  cos t , y  b  sin t , t  (0,  / 2). 3 3 x' (t )  3a cos 2 t sin t  0, t  (0,  / 2) y ' (t )  3b sin 2 t cos t 2 ' 3 b sin t cos t b y ( t ) '   tan t y ( x)  '  2 a x (t ) 3a cos t sin t Đạo hàm của hàm ẩn. Hàm y = y(x) với x  (a, b) cho ẩn bởi phương trình F ( x, y)  0 nếu F ( x, y( x))  0 với x  (a, b) . Để tìm đạo hàm của hàm ẩn, ta đạo hàm hai vế: coi x là biến, y là hàm theo x. Ví dụ Tìm y ' ( x), biết y = y(x) là hàm ẩn xác định từ phương trình e2 x  y  x3  cos y e2 x  y  2 2 x y 3 x  2 e 2  y ' ( x)  3x 2  y ' ( x)  sin y y ' ( x)  2 x  y e  sin y  Ví dụ x e ; x   (2n  1), n  Z Tìm f ' ( x) , biết f ( x)  ln 3 1  cos x 1 1 x 1 x y  ln e  ln(1  cos x)   ln(1  cos x) 3 3 3 3 1 1  sin x y    3 3 1  cos x ' 1 1 sin x y    3 3 1  cos x '