Tài liệu Ứng dụng tích phân mờ trong xử lý thông tin

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ …………… NGUYỄN TIẾN ĐỨC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN MỜ TRONG XỬ LÝ THÔNG TIN Ngành: Công nghệ thông tin Mã số: 1.01.10 LUẬN VĂN THẠC SỸ Người hướng dẫn khoa học: PGS. TSKH. Bùi Công Cường Hà Nội, 2007 MỤC LỤC CHƢƠNG I: TỔNG QUAN .......................................................................................1 1.MỤC TIÊU, NỘI DUNG VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ..................1 2.TÓM TẮT NỘI DUNG CÁC CHƢƠNG ......................................................2 CHƢƠNG II: ĐỘ ĐO LEBESGUE VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE ...........................3 1. ĐỘ ĐO LEBESGUE. ......................................................................................3 1.1. NHẬN XÉT……. … ....................................................................................3 1.2. ĐỘ ĐO TRÊN MỘT ĐẠI SỐ TẬP HỢP .....................................................5 1.2.1. Đại số tập hợp. ....................................................................................5 1.2.2. Hàm tập hợp….. ..................................................................................6 1.2.3. Các tính chất. ......................................................................................7 1.3. KHUẾCH ĐỘ ĐO……...............................................................................10 1.3.1. Độ đo ngoài… ....................................................................................10 1.3.2. Định lý khuếch: ..................................................................................10 1.4. ĐỘ ĐO TRONG Rk ...................................................................................12 1.4.1. Độ đo trên đƣờng thẳng: ....................................................................12 1.4.2. Độ đo trong không gian Euclide k chiều .............................................13 1.5. HÀM SỐ ĐO ĐƢỢC..................................................................................14 1.5.1. Định nghĩa: .........................................................................................15 1.5.2. Các phép toán về hàm số đo đƣợc. ......................................................16 1.5.3. Cấu trúc các hàm số đo đƣợc: .............................................................16 1.5.4. Hàm số tƣơng đƣơng ...........................................................................17 1.5.5. Sự hội tụ theo độ đo. ...........................................................................17 1.5.6. Hai định lý về cấu trúc hàm đo đƣợc. ..................................................18 1.6*. ĐỘ ĐO VÀ THỨ NGUYÊN HAUSDORFF ............................................19 1.6.1. Độ đo Hausdorff. ................................................................................19 1.6.2. Thứ nguyên Hausdorff: .....................................................................20 1.6.3. Thứ nguyên Kolmogorov: ..................................................................21 2. TÍCH PHÂN LEBESGUE. ....................................................................................23 2.1. SỰ HẠN CHẾ CỦA TÍCH PHÂN RIEMANN ................................................23 2.1.1. Tích phân Riemann trong Rk .................................................................23 2.1.2. Dao động của một hàm số: ....................................................................24 2.1.3. Tiêu chuẩn khả tích (R). ........................................................................24 2.1.4. Tích phân Riemann trên một tâp hợp: ...................................................26 2.2. TÍCH PHÂN LEBESGUE. .................................................................................28 2.2.1. Tích phân các hàm đơn giản. ................................................................28 2.2.2. Tích phân các hàm đo đƣợc bất kỳ. .....................................................30 2.2.3. Các tính chất sơ cấp: .............................................................................31 2.3. QUA GIỚI HẠN DƢỚI DẤU TÍCH PHÂN .......................................................36 2.3.1. Hội tụ đơn điệu. ....................................................................................36 2.3.2. Hội tụ chặn............................................................................................36 2.3.3. Tích phân coi nhƣ một hàm tập. ............................................................37 2.4. TÍCH ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN LẶP. ................................................................38 2.4.1. Độ đo trong không gian tích. ................................................................38 2.4.2. Tích phân lặp. ........................................................................................39 2.5. TÍCH PHÂN VÀ ĐẠO HÀM TRONG R. ..........................................................39 2.5.1. Đạo hàm của một hàm số đơn điệu. ......................................................40 2.5.2. Đạo hàm của tích phân bất định. ..........................................................41 5.3. Hàm số có biến phân bị chặn và hàm số tuyệt đối liên tục. .......................41 2.5.4. Vấn đề tìm lại nguyên hàm. ...................................................................43 2.6. TÍCH PHÂN STIELJÈS .....................................................................................43 2.6.1. Độ đo L.S. ...........................................................................................43 2.6.2. Tích phân R.S. ......................................................................................46 CHƢƠNG III: ĐỘ ĐO MỜ VÀ TÍCH PHÂN MỜ 1. ĐỘ ĐO MỜ (fuzzy measures). ..............................................................................48 1.1. ĐỊNH NGHĨA ĐỘ ĐO MỜ. ....................................................................48 1.2. MỘT VÀI VÍ DỤ QUAN TRỌNG VỀ ĐỘ ĐO MỜ .............................49 1.2.1. Hàm lòng tin (belief function) và hàm hợp lẽ (plausibility function) ................................................................................................49 1.2.2. Độ đo khả năng (Possibility theory) ..............................................50 1.2.3. Độ đo cực đại (maxitive measures, Shilkret 1971) [13] .................51 2. TÍCH PHÂN MỜ (Fuzzy Intergrals) ......................................................................52 2.1. TÍCH PHÂN CHOQUET. .......................................................................52 2.1.1. Định nghĩa tích phân Choquet ......................................................52 2.1.2. Các tính chất ................................................................................54 CHƢƠNG IV: ỨNG DỤNG ....................................................................................57 Bài toán 1 ..........................................................................................................57 Bài toán 2 ..........................................................................................................60 KẾT LUẬN ...............................................................................................................61 TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................62 PHỤ LỤC 1: MÃ NGUỒN CHƢƠNG TRÌNH .........................................................63 PHỤ LỤC 2: MÔ TẢ DỮ LIỆU ................................................................................78 CHƢƠNG I: TỔNG QUAN MỤC TIÊU, NỘI DUNG VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU  Mục tiêu của luận văn Nắm được cơ sở lý thuyết của độ đo mờ và tích phân mờ, đưa ra phương hướng giải quyết cho các bài toán áp dụng vào thực tế.  Nội dung chính của luận văn Luận văn có các nội dung chính như sau: - Tìm hiểu cơ sở lý thuyết của độ đo mờ và tích phân mờ. - Trình bày độ đo mờ, tích phân mờ và các ví dụ. - Xây dựng chương chình cho một số bài toán.  Phƣơng pháp nghiên cứu - Kết hợp lý thuyết, thực nghiệm và thực tế đưa ra các đánh giá, kết luận. - Học hỏi, nghiên cứu, phân tích các lý thuyết về lĩnh vực có liên quan trong luận văn, từ các nguồn: các thầy giáo, cô giáo, các nhà khao học, các chuyên gia, các đồng nghiệp, sách báo, tài liệu, internet,… - Tìm hiểu trên thực tế các yêu cầu, các tiêu chuẩn và các đánh giá về các hệ thống. - Đưa ra kết luận từ kết quả nghiên cứu. 2. TÓM TẮT NỘI DUNG CÁC CHƢƠNG Luận văn có 4 chương và phần mở đầu, kết luận  Phần mở đầu Phần này nêu lên sự cần thiết của tích phân mờ và độ đo mờ và áp dụng vào các bài toán thực tế.  Chƣơng I: Tổng quan Chương này nêu lên mục tiêu, nội dung và phương pháp nghiên cứu để hoan thành luận văn.  Chƣơng II: Độ đo Lebesgue và tích phân Lebesgue Chương này nêu lên các định nghĩa, định lý, tính chất và chứng minh một số định lý quan trọng về độ đo Lebesgue và tích phân Lebesgue.  Chƣơng III: Độ đo mờ và tích phân mờ Chương này nêu lên các định nghĩa, định lý, các tính chất và chứng minh, các ví dụ về độ đo mờ và tích phân mờ.  Chƣơng IV: Ứng dụng tích phân mờ Chương này giới thiệu ứng dụng tích phân mờ thông qua hai bài toán cụ thể Bài toán 1: Giá điện Bài toán 2: Giá đất  Phần kết luận Phần này nêu kết quả của luận văn và định hướng phát triển trong tương lai.  Phụ lục mã nguồn chƣơng trình CHƢƠNG II: ĐỘ ĐO LEBESGUE VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE 1. ĐỘ ĐO LEBESGUE (Hoàng Tụy 2006, [3]) 1.1. NHẬN XÉT Trên đường thẳng R có những tập điểm được gán một số không đổi mà ta gọi là “độ dài”, ví dụ độ dài của một đoạn ∆ = [a;b] là ‫ = ׀∆׀‬b-a; nếu một tập có thể phân tách thành một số hữu hạn đoạn rời nhau ∆1, ∆2,…, ∆n thì độ dài của nó dĩ nhiên là ‫∆׀‬1‫ ׀‬+‫∆ ׀‬2‫ ׀‬+ …+ ‫∆׀‬n ‫׀‬. Nhưng có những tập mà trực quan không cho ta thấy rõ nên xác định độ dài của nó như thế nào, hẳng hạn như tập các điểm hữu tỉ trong đoạn [0;1]. Do đó nảy ra vấn đề: làm thế nào mở rộng khái niệm độ dài cho những tập phức tạp hơn là đoạn thẳng hoặc hợp một số hữu hạn đoạn thẳng. Trong mặt phẳng R2 và trong không gian R3 cũng có những vấn đề tương tự. Trong mặt phẳng, ta biết đo diện tích của những hình chữ nhật, nhưng làm thế nào để đo diện tích của những tập phức tạp hơn? Trong không gian R3, ta biết đo thể tích của những hình hộp hoặc những tập có thể phân tích được thành một số hữu hạn hình hộp, nhưng làm thế nào để đo thể tích của những tập phức tạp hơn? Để thống nhất phát biểu vấn đề, ta qui ước gọi chung bằng danh từ “đoạn trong Rk” một đoạn thẳng nếu k = 1, một hình chữ nhật nếu k = 2, một hình hộp nếu k = 3. Hình chữ nhật ở đây có thể hiểu theo nghĩa là tập các điểm x = ( ξ 1, ξ2 ) sao cho α1 ≤ ξi ≤ βi (i=1,2); hình hộp là tập các điểm x = (ξ1, ξ2, ξ3) sao cho αi ≤ ξi ≤ βi (i=1,2,3). Ta cũng gọi chung là “độ đo” của đoạn ∆ và dùng ký hiệu ‫ ׀∆׀‬để biểu thị độ dài của ∆ nếu ∆ là một đoạn thông thường, diện tích của ∆ là một hình chữ nhật, thể tích của nếu ∆ là một hình hộp. Vấn đề đặt ra là: hãy tìm một lớp tập Mk trong Rk để có thể gán cho mỗi tập AMk một số m(A), gọi là độ đo của nó, sao cho: a, 0≤ m(A) ≤+ ∞ b, mỗi đoạn ∆ đều thuộc lớp Mk và m(∆) = ‫׀∆׀‬ c, nếu A,B Mk và rời nhau thì m(A B) = m(A) + m(B) Peano và Jordan đã giải quyết vấn đề này như sau: Cho trước một tập bị chặn A trong Rk, ta gọi “độ đo ngoài” của nó là số n n  m   inf   i :   i   , i 1  i 1  Trong đó ∆i là những đoạn. Nếu A nằm trong đoạn ∆0 thì ta gọi “độ đo trong” của nó là số * m  = ‫ – ׀∆׀‬m* (∆0\A). Tập hợp A sẽ được gọi là đo được nếu m*(A) = m  . Lúc đó, giá trị chung của m*(A) và m  gọi là độ đo của A và được ký hiệu là m(A). Cho Mk là lớp các tập đo được theo nghĩa Peano-Jordan. Có thể chứng minh rằng lớp Mk thoả mãn các điều kiện a), b), ) đã nêu ở trên, đồng thời các lớp Mk kín đối với các phép toán: hợp, giao, trừ, tức là A, B  Mk  A  B  Mk , A  B  Mk, A\B  Mk Lớp Mk (gồm các tập đo được theo nghĩa Peano-Jordan) đã khá rộng: có thể chứng minh rằng nó bao gồm phần lớn các tập trong hình học sơ cấp và trong giải tích cổ điển. Cụ thể, nếu một hàm số ƒ không âm, giới nội trên một đoạn ∆  Rk là khả tích Riemann thì tập:   1 ,  2 ,...,  k ,  k 1  : 0   k 1  f 1 , ...,  k   R k 1 bao giờ cũng đo được theo nghĩa Peano-Jordan (và ngược lại cũng đúng). Tuy nhiên lớp Mk vẫn chưa bao gồm được nhiều tập tương đối đơn giản: nó không chứa hết mọi tập mở và đóng, và trong trường hợp k = 1 tập các điểm hữu tỉ trên đoạn [0;1] cũng không đo được theo nghĩa Peano-Jordan, vì có thể thấy dễ dàng độ đo ngoài của nó là 1, trong khi độ đo trong chỉ bằng 0. Vì vậy vấn đề đặt ra là tiếp tục mở rộng hơn nữa khái niệm độ đo để các tập thường gặp trên đây cũng đo được. Để giải quyết vấn đề này, Lebesgue đã có sáng kiến thay định nghĩa (1) của độ đo ngoài bởi    m   inf   i :   i   i 1  i 1  nghĩa là cho phép dãy đoạn ∆i phủ lên A có thể vô hạn. Độ đo trong và tính đo được cũng được định nghĩa như trước đối với các tập bị chặn, sau đó mở rộng cho cả những tập không bị chặn. Bằng cách đó có thể xây dựng được một lớp tập Lk trong Rk và một độ đo μk trên Lk thoả mãn các điều kiện a), b) (trong đó Mk, m thay bằng Lk, μk ) và điều kiện c‟) dưới đây, tổng quá hoá điều kiện ): * c‟) Nếu Ai (i=1,2,3,… )  Lk và đôi một rời nhau thì    k     i      i .  i 1  i 1 k vả lại có thể chứng minh rằng: d) Lớp Lk là một  -đại số Các tập thuộc Lk gọi là đo được theo nghĩa Lebesgue trong Rk và μk gọi là độ đo Lebesgue k thứ nguyên. Dễ thấy rằng Lk  Mk và do b), d) nên Lk bao hàm cả σ-đại số Borel trong Rk; nói riêng tập các điểm hữu tỉ trong đoạn [0;1] thuộc Lk; độ đo của nó bằng 0, vì cả độ đo trong và đọ đo ngoài của nó bằng 0. Nói chung, lớp Lk đã bao gồm được tất cả các tập trong R k cần thiết cho toán học hiện đại và người ta phải dựa vào “tiên đề chọn” mới xây dựng được những tập không thuộc lớp đó. Độ đo Lebesgue là cơ sở của một khái niệm tích phân tổng quát và có hiệu lực hơn tích tích phân Riemann trong giải tích cổ điển: đó là tích phân Lebesgue, một công cụ chủ yếu của nhiều nghành toán học hiện đại (chẳng hạn như xác suất). Vì vậy trong giải tích hiện đại nó đã thay thế toàn bộ độ đo Peano-Jordan (cơ sở của tích phân Riemann). 1.2. ĐỘ ĐO TRÊN MỘT ĐẠI SỐ TẬP HỢP 1.2.1. Đại số tập hợp. a) Một lớp tập gọi là kín đối với một phép toán nếu kết quả thực hiện phép toán ấy trên những tập của lớp bao giờ cũng cho một tập của lớp. Một đại số (hay trường) là một lớp chứa X,  và kín đối với mọi phép toán hữu hạn về tập (phép hợp và phép giao một số hữu hạn tập, phép trừ và phép trừ đối xứng hai tập). b) Một  -đại số (hay  -trường) là một lớp tập chứa X,  và kín đối với mọi phép toán hữu hạn hay đếm được về tập. Dĩ nhiên một  -đại số cũng là một đại số. 1.2.2 Hàm tập hợp. Cho X là một tập tuỳ ý, mà sau đây sẽ gọi là không gian, M là một lớp tập con của X. Một hàm số μ xác định trên lớp M gọi là hàm tập hợp, hay gọn hơn là một hàm tập. Hàm tập đó là cộng tính nếu: A, B  M, A  B = Ø, A  B  M  μ(A  B) = μ(A) + μ(B) Bằng qui lạp ta thấy rằng nếu μ là cộng tính thì nó cũng “hữu hạn cộng tính”, nghĩa là Ai  M (i=1,2,…,n) n n  Ai  Aj =Ø(i  j)     i   i    i 1 n  i  M  i 1  i 1 Hàm tập μ là  -cộng tính nếu Ai  M (i=1,2,…) Ai  Aj =Ø(i  j)    M         i    i  i 1  i 1  i i 1 Dĩ nhiên một hàm  -cộng tính thì là cộng tính nhưng ngược lại thì không nhất thiết. Một hàm tập μ gọi là độ đo nếu nó được xác định trên một đại số C; và nếu a) μ(A) ≥0 với mọi A  C; b) μ(Ø) =0 c) μ là  -cộng tính. Điều kiện b) có thể được thay thế bằng: b‟) μ ≠ + ∞ trên C, nghĩa là μ(A) < + ∞ với ít nhất một A  C Thật vậy đương nhiên b) → b‟). Ngược lại nếu có b‟ thì μ(AØ ) = μ(A) + μ(Ø) từ đó, vì μ(A) < +∞ ta suy ra (tức là μ(A) hữu hạn) μ(Ø) = μ(A) - μ(A) = 0 (do μ(A) xác định) vậy b‟)→b), nghĩa là b) và b‟) tương đương. Ví dụ: 1) C là một đại số và μ(A) bằng số phần tử của A. (dễ dàng kiểm tra các điều kiện trên đều thoả mãn). 2) C là một đại số, x0 là một điểm bất kỳ cho trước của X, và với mọi AC: 1       0  nếu x0   nếu x 0   Một độ đo μ gọi là hữu hạn nếu μ(X) < +∞;  -hữu hạn nếu      i , Xi  C,   i   . i 1 1.2.3. Các tính chất. Định lý 1. Nếu μ là độ đo trên đại số C thì i) A, B  C , B  A, μ(B) ≤ μ(A) ii) A, B  C , B  A, μ(B) < + ∞ μ(A\B) = μ(A) - μ(B) Ai  C , (i=1,2,…)  iii)  A  C , A   Ai         i  i 1 i 1 Ai  C (i=1,2,…) Ai  Aj =  IV)  A C , A  A         i  i 1 i i 1 Chứng minh. i) Vì B  A nên A = (A\B)  B do đó μ(A) = μ(A\B) + μ(B) ≥ μ(B); ii) Nếu μ(B) < ∞ thì từ μ(A) = μ(A\B) + μ(B) có thể suy ra       μ(A\B) Trước hết để ý rằng bất cứ các tập Bi như thế nào cũng có thể iii) chọn các  i/ để có   i 1 i 1   i    i/ , đồng thời các  i/ rời nhau (tường đôi một),  i/   i , và nếu  i  C . thì  i/  C. Thật vậy, chỉ cần đặt n 1   1 ,    2 \ 1 ,    3 \  2  1 , …    n \   i , … / i / 2 / 3 / n i 1 ta thấy ngay các  có những tính chất đã nêu. / i Bây giờ ta chứng minh điểm iii).     Vì     i nên      i       i      i , với i  i   C (do i 1 i 1 i 1  i 1    i ,   C) theo nhận xét trên   i 1 i 1     i    i/ , Trong đó   C,   i   i nên theo (i)   /     và các  i/ rời nhau / i / i nên theo tính chất  -cộng tính            i .   / i i 1 iv) i 1   i 1 i 1 Từ   i   ta suy ra với mọi n :   i  , do đó theo (i), vì    i  C (doC là đại số),     i    . Mặt khác theo giả thiết các Ai rời   i 1  i 1     nhau nên     i      i . Vậy  i 1  i 1 n        (điều i i 1 phải chứng minh). Hệ quả. Nếu độ đo  là  -hữu hạn thì mọi tập   C đều có thể phân tích thành một số đếm được tập có độ đo hữu hạn. Định lý 2. Nếu  là độ đo trên đại số C thì   (i)   i   0, (i  1,2,...),   i  C      i   0; i 1  i 1  (ii)   C,    0         \    . Định lý 3. Nếu  là độ đo trên đại số C thì    (i) Ai  C (i  1,2,...), 1   2  ...,   i  C      i   lim   i ;  i 1  i  i 1       i   lim   i    (ii) Ai  C , 1   2  ....  i    i 1  i  i 1 Chứng minh. (i) Như đã thấy trong chứng minh phần (i) của định lý 1, nếu ta đặt  n 1 1  1 ,  2   2 \ 1 ,...,  n   n \   i thì các Bi rời nhau, thuộc C i 1 và       . i i 1 i i 1 Do đó n          i       i      i   lim    i  n  i 1  i 1   i 1  i 1 n   lim     i   lim   n .  i 1  (ii)   i 1 i 1 Theo công thức De Morgan 1 \   i   1 \  i  trong đó các tập   1 \  i và dĩ nhiên     ... vậy theo phần trên / i / 1   / 2      i/   lim   i/  .  i 1  i    Nhưng vì  1    mà  i  1 , nên   i    và     i    ta có theo  i 1  (ii) của Định lý 1:          i 1   i 1       i/     1 \   i    1       i ,  i 1   i/    1     i ,  Do đó suy ra       i   lim   i .  i 1  i  Định lý 4. (đảo của định lý 3) Cho  là một hàm tập không âm, cộng  tính trên đại số C và sao cho     i , nó sẽ là một đại số nếu có một trong i 1 hai điều kiện sau: (i) Ai  C (i  1,2,...),  1    2  ...,   i  C i 1        i   lim   i ;  i 1  i  (ii) Ai  C ,  1   2  ....  i   i 1  lim   i   0. i  n  i 1 i 1    lim    i      i  . n  1.3. KHUẾCH ĐỘ ĐO Cho C là một đại số tập trong một không gian X, m là một độ đo trên C. Ta hãy tìm cách khuếch m thành một độ đo trên một  -đại số bao hàm C. 1.3.1. Độ đo ngoài. Một hàm tập  * xác định trên lớp tất cả các tập con của một không gian X. được gọi là một đo đo ngoài nếu. a)  * ( A)  0 với mọi x  X , b)  * ( )  0 ,  * c) A  U A   ( A)    ( Ai ) .  i 1 * i 1 Như vậy khác với độ đo, ở đây không đòi hỏi  -cộng tính mà chỉ đòi hỏi “  -dưới cộng tính” (điều kiện c) nhưng  * được xác định trên tất cả các tập con của X. Chú ý rằng từ c) ta suy ra. c1) A  B   * ( A)   * ( B) . Định lý 5. (Caratheodory) Cho  * là một độ đo ngoài trên X và L là lớp tất cả các tập con A của X sao cho.  * ( E)   * ( E  A)   * ( E \ A) với mọi E  X (1) L là một  - đại số và hàm    * / L (thu hẹp của  * trên L) là một độ đo trên L. Độ đo  gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài  * Các tập A ( thoả mãn điều kiện (1) gọi là  * -đo được. Chú ý rằng điều kiện (1) tương đương với.  * ( E)   * ( E  A)   * ( E \ A) với mọi E  X (1*) vì bất đẳng thức ngược lại luôn luôn đúng do c) 1.3.2. Định lý khuếch: Kết quả trên cho thấy rằng mỗi độ đo ngoài  * trên X cảm sinh một độ đo trên  -đại số làm thành bởi tất cả các tập A thoả mãn điều kiện (1). Để áp dụng được kết quả đó vào việc khuếch một độ đo m cho trước từ một đại số lên một  -đại số, ta dựa vào mệnh đề sau: Định lý 6: Cho m là một độ đo trên một đại số C những tập con của X. Nếu ta đặt với mỗi A  X .     * ( A)  inf  mPi  : i 1 Pi   ; Pi C   (2)  i 1  thì  * là một độ đo ngoài và  * ( A)  m( A) với mọi A  C, đồng thời mọi tập thuộc  -đại số F (C ) đều là  * đo được. Định lý 7. Độ đo  cảm sinh bởi một độ đo ngoài  * bao giờ cũng là độ đo đủ ( trên  -đại số L các tập  * -đo được) và họ các tập có độ đo  bằng 0 trùng với họ các tập có độ đo ngoài  * bằng 0. Định lý 8. Cho một độ đo m trên một đại số C. Bao giờ cũng có một độ đo  trên  -đại số L  F (C )  C sao cho. (i)  ( A)  m( A) với mọi A C ( nghĩa là  khuếch m) (ii)  là hữu hạn (  -hữu hạn) nếu m là hữu hạn (  -hữu hạn). (iii)  là độ đo đủ (iv) Một tập A thuộc họ L khi và chỉ khi nó có thể biểu diễn dưới dạng A = B \ N hoặc A = B  N (3) * * trong đó trong đó B  F (C), N  E  F * (C),  ( E)   ( E)  0, và  là độ đo ngoài xác định từ m theo công thức (3). Chứng minh Ta lấy  là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài  * xác định từ m theo công thức (2) và L là  -đại số các tập  * -đo được, Theo định lý 6, độ đo  sẽ có tính chất (i) nêu trên (  khuếch m); và vì X  C nên tính chất (ii) cũng sẽ đúng. Theo định lý 7,  cũng là độ đo đủ, Vậy chỉ còn phải chứng minh (iv) Nếu A có dạng (3) thì dĩ nhiên A L (vì L là  -đại số và  là độ đo đủ). Ngược lại, giả sử A L . Theo cách xây dựng  * (công thức (2)), có thể tìm được cho mỗi k =1,2..., những tập Pi  C sao cho k U i1 Pik  A, i 1 m( Pik )   * ( A)  1 / k   ( A)  1 / k  Đặt B    k 1 U i1 Pik ta thấy rằng B  A và B  F (C ) . Đồng thời, với  mọi k , B  U i 1 Pik , cho nên   ( B)   m( Pik )   ( A)  1 / k i 1 do đó  ( B)   ( A) . Nhưng vì B  A nên chỉ có thể  ( B)   ( A). và đặt N=B\A ta sẽ có  ( N )   ( B \ A)  0 Như vậy ta đã chứng minh rằng, cho trước một tập A L , bao giờ cũng tồn tại một tập B  F (C ) sao cho B  A và  ( B)   ( A). Áp dụng kết quả này cho tập N ta lại tìm được một tập E  F (C ) sao cho E  N ,  ( E)  0 , (tức là  * (E)  0 theo định lý 7). Tóm lại ta sẽ có A= B \N B  F (C ), N  E  F (C ),  * ( E )   ( E )  0 . với Mặt khác vì A L nên X \ A  N va theo trên X \ A  B' \ N ' với B '  F (C ), N '  E '  F (C ),  ( E ' )  0. Vậy A  ( X \ B ' )  N ' , hay A  B ''  N ' , với B ''  X \ B '  F (C ) . Tính chất (iv) và do đó toàn bộ định lý đã được chứng minh Như vậy  -đại số L các tập đo được không khác  -đại số F (C ) nhiều lần và có thể thu được từ F (C ) bằng cách sửa đổi chút ít các tập thuộc lớp này (thêm hay bớt một bộ phận của một tập có độ đo không). 1.4. ĐỘ ĐO TRONG Rk Dựa vào lý thuyết tổng quát trên có thể xây dựng độ đo Lebesgue trong không gian Rk một cách dễ dàng. 1.4.1. Độ đo trên đƣờng thẳng: Ta gọi gian trên đường thẳng R là một tập điểm có một trong các dạng sau. (a, b), a, b, a, b, a, b , (,), (, a),  , a, (a,), a, Cho C là lớp tất cả các tập con của R có thể biểu diễn thành hợp của một số hữu hạn gian rời nhau. C   P : P  U in1 i ,  i   j   (i  j )  trong đó  i là những gian, n là một số tự nhiên tuỳ ý. Ta sẽ chứng minh rằng C là một đại số, trên đó hàm tập m( P)  i 1  i là một độ đo. Khi ấy chỉ cần khuếch độ đo này theo thương n pháp tổng quát đã trình bày thì sẽ thu được độ đo Lebesgue trên đường thẳng. Bổ đề 1. C là một đại số. Định lý 9. Một tập N có độ đo 0 khi và chỉ khi với mỗi   0 có thể tìm được một hệ ( hữu hạn hay đếm được) khoảng  k phủ N và có độ dài tổng cộng nhỏ hơn  . U k  k  N ,   k  Hệ quả. Mọi tập hữu hạn hay đếm được trên đường thẳng đều có độ đo 0. Sau đây là các đặc trưng của tập đo được (L) Định lý 10. Đối với một tập A trên đường thẳng ba điều kiện dưới đây là tương đương. (i) A đo được ( L) (ii) Với mỗi   0 có thể tìm được một tập mở G  A sao cho  * (G \ A) Với mỗi   0 có thể tìm được một tập đóng G  A sao cho (iii)  * ( A \ F ) 1.4.2. Độ đo trong không gian Euclide k chiều Những kết quả trên có thể suy rộng cho không gian Rk ( k 1 ). Trong không gian này ta gọi gian là một tập gồm những điểm x  1 ,  2 ... k  mà mỗi toạ độ  i chạy trên một gian nào đó của R. Nếu  i chạy trên một gian của R có hai đầu mút là  i ,  i (i  1,2...k ) thì có thể tích  là số. k    ( i   i ) i 1 k Gọi C là lớp các tập trong Rk có thể biểu diễn thành hợp của một số hữu hạn gian rời nhau. Bằng phương pháp tương tự như trước, có thể chứng minh rằng. 1. Ck là một đại số. 2. Nếu với mỗi tập P  C k có dạng P  U in1 i , trong đó  i là những gian rời nhau, ta đặt. n m( P )    i i 1 thì hàm m là độ đo trên đại số Ck 3. Độ đo m có thể khuếch thành một độ đo  k trên một  -đại số Lk  F (C k )  C k độ đo  k này gọi là độ đo Lebesgue trong R . và các tập k thuộc lớp Lk gọi là tập đo được (L) trong Rk. Ta cũng có thể chứng minh rằng F (C k ) chính là  đại số Borel trong Rk (do đó các tập Borel trong Rk đều đo được (L) Điều này dựa trên tính chất sau của các tập mở trong Rk ( k 1 ): Mỗi tập mở G trong Rk ( k 1 ) đều là hợp của một số đếm được gian rời nhau. Thật vậy, toàn thể Rk có thể chia thành một số đếm được gian “lập phương” rời nhau  n1 ,n2 ,...nk có cạnh bằng 1.  n1 ,n2 ,...nk  x  1 ,...,  k  : n1   i  ni  1, i  1, 2, ..., k Trong đó các ni lấy tất cả những giá trị nguyên 0, 1, -2, 2, -2... Ta chọn trong số các gian lập phương đó những gian nào chứa trọn trong G(Tập các gian này có thể rỗng, hữu hạn hay đếm được). Ta chia mỗi gian còn lại thành 2k gian lập phương có cạnh bằng 1/4 v.v.. Dễ thấy rằng G bằng hợp các gian đã chọn trong quá trình đó. vì nếu x  G thì, do G là tập mở, x là tập của một hình cầu nào đó chứa trọn trong G, và đến một bước q nào đó, x phải lọt vào một gian lập phương có cạnh 1/2k nằm trọn trong hình cầu ấy. Sự kiện trên chứng tỏ rằng mọi tập mở đều thuộc F (C k ) tức là ơ-đại số Borel B k  F (C k ) . Ngược lại, dĩ nhiên Ck  B k cho nên F (C k )  B k Do đó F (C k )  B k như đã khẳng định. Các định lý 9 và 10 cũng đúng trong không gian Rk ( k 1 ) và cũng chứng minh tương tự như trước. 1.5. HÀM SỐ ĐO ĐƢỢC Trong giải tích, khi làm toán với các hàm số liên tục, người ta thường bị một sự hạn chế lớn: Giới hạn của một dãy hàm số liên tục không nhất thiết là liên tục, nói khác đi, lớp các hàm số liên tục không kín đối với phép qua giới hạn. Để tránh sự hạn chế đó, người ta xây dựng một lớp hàm số, rộng hơn lớp hàm số liên tục, và kín đối với các phép toán giải tích, gọi là lớp “hàm số đo được”. Việc xây dựng này xuất phát từ nhận xét sau: Một hàm số f (x) xác định trên một không gian Mêtric X là liên tục khi và chỉ khi với mọi số thực a, các tập  x : f ( x)a và  x : f ( x) a - tức là nghịch ảnh của các khoảng (, a) và (a,) - là mở. Thật vậy nếu f (x) liên tục thì nghịch ảnh của mọi tập mở, nói riêng nghịch ảnh của một khoảng, phải là mở. Ngược lại nếu f (x) có tính chất này thì nghịch ảnh của mọi tập mở G  R phải mở (tức là f (x) liên tục) bở lẽ G bao giờ cũng có dạng U n1 (an bn ) cho nên nghịch ảnh của G là hợp của các nghịch ảnh của các khoảng (an, bn), mà mỗi nghịch ảnh này mở thì hợp của chúng cũng mở. Nhược điểm của lớp các tập mở (trong vấn đề nêu ra) là nó không kín đối với phép trừ và các phép toán đếm được về tập hợp. Vì vậy người ta thay nó bằng một  -đại số, kín đối với mọi phép toán hữu hạn hay đếm được về tập hợp. Từ đó có định nghĩa dưới đây. 1.5.1. Định nghĩa: Cho một không gian Metric X, một  -đại số F những tập con của X, và một tập A F . Một hàm số f ( x) : X  R gọi là đo được trên tập A đối với  đại số F nếu. x  A : f ( x)a  F Thường trên  -đại số F có một độ đo  : khi đó (a)  R) (4) f (x) cũng gọi là đo được đối với độ đo  hay  đo được. Trong trường hợp X  R k , F  Lk thì ta nói f (x) là đo được theo nghĩa Lebesgue, hay ngắn hơn: đo được (L). Nếu k X  R k , F  B k (  -đại số Borel trong R ) thì ta nói f (x) là một hàm số Borel. Điều kiện (10) trong định nghĩa trên có thể thay bằng một trong các điều kiện sau: ( a  R) x  A : f(x) a  F (5) ( a  R) x  A : f(x)  a  F (6) (7) ( a  R) x  A : f(x)  a  F Thật vậy: (4)  (7) vì các tập x  A : f(x) a  và x  A : f(x)  a  bù nhau, mà F là một  -đại số thì phải kín đối với phép lấy phần bù, vì lý do tương tự (5)  (6) và ta chỉ còn phải chứng minh rằng (4)  (6) . (4)  (6) rõ ràng f ( x)  a khi và chỉ khi (n) f ( x)a  1 / n. cho nên x  A : f(x)  a   n1 x  A : f ( x)a  1 / n  F , vì x  A : f ( x)a  1 / n  F với mọi n, Ngược lại. (6)  (4) Rõ ràng f ( x) a khi và chỉ khi (n) f ( x)  a  1 / n, cho nên x  A : f ( x)  a   n1 x  A : f ( x)a  1 / n F , vì  x  A : f ( x)a 1 / n F với mọi n. Từ định nghĩa có thể suy ra các hệ quả: I. Nếu f (x) đo được trên tập A thì nó cũng đo được trên mọi tập con của A thuộc F. f (x) đo II. Nếu được trên tập A với mọi aR: x  A : f ( x)  a  F III. Hàm số f ( x)  c(x  A) là đo được. IV. Nếu f (x) đo được trên tập A và k  R là một hằng số thì k. f ( x) cũng đo được. 1.5.2. Các phép toán về hàm số đo đƣợc. Định lý 11. (i) Nếu f (x) đo được thì với mọi   0 hàm số f (x)  cũng đo được. (ii) Nếu f (x) và g (x) đo được và hữu hạn thì các hàm số: f  g , fg , max f , g , min f , g cũng đo được, và nếu g(x) không triệt tiêu thì hàm số 1/g cũng đo được. Ở đây cũng như về sau, khi nói “đo được” ta hiểu ngầm “đo được trên tập A” và để cho gọn, tập x  A : f ( x)a  chẳng hạn sẽ được ký hiệu vắn tắt  f ( x)a  . Định lý 12. Nếu f n ( x), n  1,2...., là những hàm số đo được và hữu hạn thì các hàm số sup f n ( x); inf f n ( x); lim n f n ( x); lim n f n ( x) n n cũng đo được, và nếu hàm số lim n f n ( x) tồn tại thì nó cũng đo được. 1.5.3. Cấu trúc các hàm số đo đƣợc: Cho một tập bất kỳ A trong không gian X, ta gọi hàm đặc trưng của A là hàm số X A (x) xác định như sau: nếu x   0 X A (x)   nếu x   1 Giả sử rằng trên X có cho trước một  -đại số F. Dễ thấy rằng hàm đặc trưng của A là đo được đối với một  -đại số và chỉ khi tập A đo được ( A F ) . Thật vậy với mọi a  R  X A ( x) a     nếu a  1, nếu a  0 nếu 0  a  1. cho nên nếu A đo được thì X A (x) đo được; ngược lại nếu X A (x) đo được thì A  x :X A ( x)  1 đo được ( hệ quả II của định nghĩa). Một hàm số f (x) được gọi là đơn giản nếu nó hữu hạn, đo được, vì chỉ lấy một số hữu hạn giá trị. Gọi  i (i  1,2...n) là các giá trị khác nhau của nó, và Ai  x : f ( x)   i  thì các tập Ai đo được, rời nhau, và ta có. n f ( x )    i X i ( x ) i 1 Ngược lại nếu f (x) có dạng ấy, và các tập Ai đo được, rời nhau thì f (x) là một hàm đơn giản. Thật vậy f (x) chỉ lấy một số hữu hạn giá trị, vì: nếu x  Ai thì X  ( x)  1, X  ( x)  0 với j  i( Ai không có điểm chung với A j ) i j nên f ( x)   i , còn nếu x  U in1 Ai thì X  ( x)  0 với mọi i, nên f ( x)  0 . Mặt i khác, f (x) đo được vì mỗi hàm số X  (x) đều đo được. i Định lý sau đây nêu rõ cấu trúc các hàm số đo được. Định lý 13. Mỗi hàm số f (x) đo được trên một tập A là giới hạn của một dãy hàm đơn giản f n (x) : f ( x)  lim f n ( x) n nếu f ( x)  0 với mọi x  A thì có thể chọn các f n để cho. f n ( x)  0 ; f n1 ( x)  f n ( x) với mọi n và với mọi x  A 1.5.4. Hàm số tƣơng đƣơng Trong một không gian X bất kỳ cho một  -đại số với F và một độ đo  trên F. Ta nói một điều kiện  (x) được thoả mãn với hầu hết mọi x  A , hay thoả mãn hầu khắp nơi (h.k.n) trên A, nếu có một tập B  A sao cho  ( B)  0 và  (x) được thoả mãn với mọi x  A \ B . Ví dụ f ( x)  g ( x) h.k.n trên A có nghĩa là (B  A) ( B)  0 và (x  A \ B) f ( x)  g ( x) Hai hàm số f ( x), g ( x) bằng nhau h.k.n thì gọi là tương đương nhau. Ta viết f ( x)  g ( x) . Dĩ nhiên hai hàm số cùng tương đương với một hàm số thứ ba thì tương đương nhau. Định lý 14. Nếu  là một độ đo đủ thì mọi hàm số g (x) tương đương với một hàm số đo được f (x) cũng đều đo được. 1.5.5. Sự hội tụ theo độ đo. Cho những hàm số f n ( x)(n  1,2...) và f (x) đo được trên tập A. Ta nói  f ( x) nếu. dãy f n (x) hội tụ theo độ đo  tới f (x) và viết f n ( x)  (  0) lim x  A : f n ( x)  f ( x)   n với giả thiết  là độ đo đủ có thể nhận xét ngay rằng:  0 (8)