Tài liệu ứng dụng tích phân để giải bài tập tĩnh điện

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI BÀI TẬP TĨNH ĐIỆN Thầy giáo: Phạm Hồng Quang – GV trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ tỉnh Hoà Bình LỜI NÓI ĐẦU Bài tập về tĩnh điện rất đa dạng và phong phú, có nhiều phương pháp để giải, trong đó có nhiều bài tập cần đến tích phân để làm. Dạng toán tích phân là dạng bài tập tương đối khó đối với học sinh cấp ba, và việc ứng dụng nó vào để giải các bài tập vật lí cũng không phải là dễ. Chính vì lí do đó tôi viết chuyên đề “Ứng dụng tích phân để giải bài tập tĩnh điện” giúp các học sinh làm quen với những dạng bài tập tĩnh điện có sử dụng đến tích phân, cũng như ứng dụng rộng rãi của tích phân trong vật lí, từ cơ sở đó các em học sinh có thể làm quen với các dạng bài tập vật lí khác có sử dụng đến tích phân. Trong chuyên đề này, tôi chỉ đưa ra ứng dụng của tích phân để tính cường độ điện trường và điện thế do một vật tích điện gây ra tại một điểm. Trong quá trình biên soạn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự góp ý của các thầy cô giáo và các em học sinh. PHƯƠNG PHÁP CHUNG - Chia vật tích điện thành những phần tử nhỏ mang điện tích dq (cách chia này còn tuỳ thuộc vào hình dạng của vật tích điện). - Xét phần tử nhỏ mang điện tích dq bất kì, tìm cường độ điện trường d E ; điện thế dV do phần tử dq đó gây ra tại điểm đang cần tính điện trường hoặc điện thế. - Lấy tích phân toàn bộ vật ta sẽ tìm được cường độ điện trường hoặc điện thế do toàn bộ vật tích điện gây ra tại điểm đang xét. 1. Công thức xác định cường độ điện trường do điện tích dq gây ra tại điểm M cách nó một đoạn r: dE  kdq .r0 r2 (1) với r0 là véc tơ đơn vị trên phương của r ; r có gốc tại dq , ngọn tại M. 2. Công thức xác định điện thế do điện tích dq gây ra tại điểm M cách nó một đoạn r: dV  kdq r (2) dV dr (3) 3. Mối liên hệ giữa cường độ điện trường và điện thế: E  Chú ý: k  1 9.10 9 Nm 2 / C 2 4 0 4. Mật độ điện tích: Mật độ điện tích dài   dq d . Mật độ điện tích mặt dq d là điện tích chứa trong yếu tố   dq  dq dS là điện tích chứa trong yếu tố dS . Mật độ điện tích khối   dq là điện tích chứa trong yếu tố dV . 1 dq dV A – BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TÍCH ĐIỆN Z DẠNG I: CUNG TRÒN TÍCH ĐIỆN ĐỀU M Bài 1: Một vòng tròn mảnh bán kính R, tích điện đều là q  0 đặt nằm ngang trong không khí như hình vẽ bên. Lấy trục OZ thẳng đứng trùng với trục của vòng dây. Gốc O tại tâm vòng. Tính cường độ điện trường E và điện thế V tại R q O điểm M nằm trên trục Oz với OM  z . Bài giải: - Mật độ điện tích dài trên vòng tròn mảnh là:   q 2 .R R d - Chia vòng thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài d , với d  Rd . - Điện tích trên mỗi phần tử nhỏ có chiều dài d là dq .d  Cách 1: dE dV  dE 1 2 V  dV  0 O dq dq R E  kdq kqd  2 r 2 .( R 2  z 2 ) - Do ta luôn tìm được hai phần tử dq đối xứng nhau qua O, mỗi phần tử dq này gây ra tại M một điện trường có thành phần điện trường vuông góc với trục OZ triệt tiêu lẫn nhau từng đôi một do đó điện trường tại M có phương trùng với trục OZ, độ lớn: 2 2 kq cos  .d kq cos  E  dE1 cos     2 2 2 (R  z 2 ) 0 0 2 .( R  z ) z Với cos   R2  z2  E kqz (R  z 2 )3 / 2 2 * Tính điện thế tại M. 2 2 kdq kq V  dV    r 2 R 2  z 2 0 0 2 d  0 kq 2 R 2  z 2 2 d  0 kq R2  z2 * Tính cường độ điện trường tại M. - Do tính chất đối xứng trục, cường độ điện trường do vòng gây ra tại điểm M có phương trùng với trục OZ, độ lớn: * Tính cường độ điện trường tại M. - Xét cường độ điện trường do phần tử dq gây ra tại M là d E1 có phương chiều như hình vẽ, độ lớn dE1  kdq kqd  r 2 R 2  z 2 - Điện thế V do cả vòng tròn tích điện gây ra tại M là: M  r O qd 2 Cách 2: * Tính điện thế tại M. - Điện thế do mỗi phần tử dq gây ra tại điểm M là: z dE 2 d kq R2  z2 Cũng có thể tính V như sau: 2 dV kqz  2 dz ( R  z 2 ) 3 / 2 kqz dV  2 3/ 2 dz (R  z ) kqz  dV  dz 2 (R  z 2 )3 / 2 kqz kq  V  dV   dz  C 2 2 3/ 2 2 (R  z ) R  z2 Khi z  thì V 0  C 0 kq V 2 R  z2 E 2 Nhận xét:  E 0 + Khi z  R   chính là cường độ điện trường và điện thế do điện tích điểm gây ra tại M.  V 0  E 0  + Khi z 0   kq V  R như vậy cường độ điện trường tại tâm vòng tròn tích điện đều bằng không. + Nếu q  0 , ta cũng thu được các kết quả tương tự nhưng chiều của E ngược lại. Bài 2: Một sợi dây có dạng một cung tròn mảnh, bán kính R, góc ở tâm 2α, sợi dây tích điện đều là q  0 đặt trong không khí. Xác định cường độ điện trường và điện thế tại tâm của cung tròn. Bài giải: q 2 .R - Chia cung tròn thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài d , với - Mật độ điện tích dài trên cung tròn mảnh là:   d R . dE 2 dφ - Điện tích trên mỗi phần tử nhỏ d là dq d Rd * Tính cường độ điện trường tại O. q - Xét cường độ điện trường do phần tử dq gây ra tại M là φ -α X d E1 có phương chiều như hình vẽ, độ lớn φ O kdq k .d α dE1  2  R R - Chọn hệ trục toạ độ như HV. dE1 d - Do ta luôn tìm được hai phần tử dq trên cung tròn đối xứng nhau qua trục OX, mỗi phần tử này gây ra tại O một cường độ điện trường có thành phần điện trường vuông góc với trục OX triệt tiêu lẫn nhau từng đôi một do đó cường độ điện trường tại O có phương trùng với trục OX, độ lớn:  k kq sin  E dE1 . cos   . cos  .d  R   .R 2 * Tính điện thế tại O. d  Rd kdq k .d R   kq  cả cung tròn gây ra tại O một điện thế là V  dV  kd 2 .k .  R   - Xét phần tử nhỏ dq bất kì. Phần tử này gây ra tại O một điện thế: dV  Nhận xét: + Véc tơ E do cung tròn tích điện đều gây ra tại tâm của nó có phương nằm trên trục đối xứng của cung tròn (trục đối xứng này nằm trong mặt phẳng chứa cung tròn). 3 + Nếu 2 2 ứng với cả vòng tròn  E 0 phù hợp với kết quả ở bài 1 phần cung tròn tích điện đều ứng với z 0 . 3 3 2 2kq + Nếu 2  ứng với vòng tròn  E  2 4 3 .R 2 2kq + Nếu 2  ứng với nửa vòng tròn  E   .R 2  1 2 2kq + Nếu 2  ứng với vòng tròn  E  2 4  .R 2 +V kq  điện thế do cung tròn tích điện đều gây ra tại tâm của nó không phụ thuộc vào R  + Nếu q  0 ta cũng thu được các kết quả tương tự nhưng chiều của E ngược lại. Bài 3: Có hai cung tròn mảnh có cùng bán kính, góc ở tâm lần lượt là 2 1 và ( 2  2 1 ) . Hai cung tròn tích điện đều với mật độ điện tích dài lần lượt là 1  0;  2  0 .Ghép hai cung tròn nói trên lại với nhau thành vòng tròn kín rồi đặt trong không khí, giả sử không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép chúng lại với nhau. Tính cường độ điện trường và điện thế do vòng tròn nói trên gây ra tại tâm O của nó. Bài giải: Đặt (2  2 1 ) 2 2 Chọn hệ trục toạ độ OX như HV R * Tính cường độ điện trường tại O. 2  Áp dụng kết quả bài 2 (phần cung tròn tích điện đều). 1 E2 E1 - Cung tròn mảnh bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích X dài 1  0 gây ra tại O một cường độ điện trường E1 có 2 1 kq1 sin  1 2k1 sin  1  phương chiều như HV, độ lớn E1  (1) R  1 .R 2 - Cung tròn mảnh bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích dài  2  0 gây ra tại O một cường độ điện trường E 2 có phương chiều như HV, độ lớn kq sin  2k2 sin  2 2k2 sin  1 E2  2 2 2   (2) R R  2 .R q1 q2 (Với 1  ; 2  ; (2  2 1 ) 2 2 ) 2 1 .R 2 2 .R Theo nguyên lí chồng chất điện trường tại O ta có: E E1  E2 2k sin  1 1   2 E có phương trùng với trục OX có độ lớn E  E1  E 2  R * Tính điện thế tại O. Dựa vào kết quả và nhận xét của bài 2: “điện thế do cung tròn tích điện đều gây ra tại tâm O của cung không phụ thuộc vào  ” ; mặt khác điện thế có tính cộng được nên điện thế do cả vòng tròn nói trên gây ra tại O cho bởi công thức: kq kq V V1  V2  1  2 2k ( 1  1  2  2 ) 2k[ 1  1  2 (   1 )] R R Nhận xét: + Nếu 1 2  E 0    V 2.k.. phù hợp với kết quả bài 1 phần cung tròn tích điện đều ứng với z 0 . 4 Z Bài 4: Có hai cung tròn mảnh giống nhau bán kính R có dạng nửa vòng tròn, một cung tròn tích điện đều với mật độ điện tích dài là   0 , cung tròn còn lại tích điện đều với mật độ điện tích dài là   . Ghép hai cung tròn nói trên lại với nhau thành một vòng tròn kín rồi đặt trong không khí. Lấy trục OZ đi qua tâm của vòng dây và vuông góc với mặt phẳng chứa vòng dây.Xác định cường độ điện trường và điện thế tại điểm M nằm trên trục OZ, giả sử không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép hai cung tròn lại với nhau. Bài giải: - Chia vòng dây thành nhiều phần tử nhỏ mang điện tích dq d Rd . Chọn hệ trục toạ độ OXYZ như HV1. * Tính cường độ điện trường tại M. - Xét cường độ điện trường do phần tử dq gây ra tại M là d E1 có phương chiều như hình vẽ, độ lớn M   R  Z   0   R   4k .R 2 4kqR  2 2 3/ 2 2 (R  z )  (R  z 2 )3/ 2 với sin   R 2 R z 2 y O HV1 x y dE  0 2kR sin  4kR sin  sin  .d  2 2  R z R2  z2 0  E d E2 z   E dE  - Nói khác đi E  EY  dEY dE sin   2dE1 sin  sin  0 d E1 M kdq kRd dE1  2  2 r (R  z 2 ) - Do ta luôn tìm được hai phần tử dq đối xứng nhau qua O, mỗi phần tử dq này gây ra tại M một điện trường có thành phần điện trường theo phương của trục OZ triệt tiêu lẫn nhau từng đôi một do đó điện trường tại M có phương vuông góc dq với trục OZ tức nằm trong mặt phẳng XOY. - Nhận thấy khi dq di chuyển trên nửa đường tròn tâm O thì véc tơ d E cũng quay trong mặt phẳng XOY, tâm M , độ lớn dE 2dE1 sin  không đổi, được vẽ biểu diễn như HV2. - Trong quá trình véc tơ d E quay trong mặt phẳng XOY, dễ thấy thành phần theo phương của trục OX bị triệt tiêu, chỉ còn thành phần theo phương OY. O HV2 M x (q là điện tích của nửa vòng tròn q  0 ).  .R * Tính điện thế tại M. Do tính đối xứng nên V 0 (V  kq 2 R Z 2  kq 2 R Z2 0 ) Nhận xét: - Véc tơ cường độ điện trường cùng chiều dương với trục OY (tức là hướng về phía nửa âm của vòng tròn). - Khi z 0  E  4k phù hợp với kết quả bài 2 phần cung tròn tích điện đều (khi sử dụng kết quả bài 2 R với 2  và nguyên lí chồng chất điện trường). 5 Bài tập tự luyện B1: Có hai cung tròn mảnh giống nhau bán kính R có dạng nửa vòng tròn, một cung tròn tích điện đều với mật độ điện tích dài là   0 , cung tròn còn lại tích điện đều với mật độ điện tích dài là   . Ghép hai cung tròn nói trên lại với nhau thành một vòng tròn kín rồi đặt trong không khí. Xác định cường độ điện trường và điện thế do vòng tròn nói trên gây ra tại tâm của nó, giả sử không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép hai cung tròn lại với nhau. HD: Sử dụng kết quả bài 2 phần cung tròn tích điện đều và áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường 4k  E R ;V 0 B2: Một cung tròn mảnh bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích dài 1  0 , góc ở tâm là 2 1 . Cung tròn mảnh thứ hai cũng có bán kính R, góc ở tâm là (2  2 1 ) tích điện đều với mật độ điện tích dài   2  0 . Ghép hai cung tròn nói trên lại với nhau thành vòng tròn kín rồi đặt trong không khí, giả sử không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép chúng lại với nhau, tính cường độ điện trường và điện thế do vòng tròn nói trên gây ra tại tâm của nó. HD: Sử dụng kết quả bài 2 phần cung tròn tích điện đều và áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường 2k sin  1 E  E1  E 2  (1   2 ) R kq kq V  1  2 2k[ 1 1   2 (   1 )] R R Bài 3: Một sợi dây có dạng một cung tròn mảnh, bán kính R, góc ở tâm 3α, đặt trong không khí. Gọi A,B,C,D lần lượt là bốn điểm trên cung tròn tuân theo thứ tự trên. A,B,C,D thoả mãn sao cho độ dài cung AB bằng độ dài cung BC bằng độ dài cung CD. Xác định cường độ điện trường và điện thế gây ra tại tâm của cung tròn trên nếu: Cung BC nhiễm điện đều với mật độ điện tích dài là   0 , cung AB và CD nhiễm điện đều với mật độ điện tích dài là   . HD: Sử dụng kết quả bài 2 phần cung tròn tích điện đều và áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường. 2k  E . sin . 2 cos   1 R V 2 kq1 kq 2 kq3   k[      ]  k R R R DẠNG II: CUNG TRÒN TÍCH ĐIỆN KHÔNG ĐỀU, Phạm vi nghiên cứu Chỉ xét đường tích điện có mật độ điện tích tỉ lệ với chiều dài theo quy luật hàm bậc nhất hoặc bậc hai, các trường hợp bậc cao hơn hoặc mật độ điện tích bất thường thì việc tính toán sẽ rất phức tạp. Bài 1: A Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm 2 đặt trong không khí, G là điểm chính giữa trên cung tròn như hình vẽ bên. Xác định R cường độ điện trường và điện thế do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu mật độ điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía G về hai đầu A và B của cung theo quy luật  a.  0 với a const ;  là biến số G 2 O theo chiều dài. B 6 Bài giải: - Chia cung tròn thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài d , với d  Rd    R. - Điện tích trên mỗi phần tử nhỏ d là A dq d a.Rd aR 2 .d * Tính cường độ điện trường tại O. d R - Xét cường độ điện trường do phần tử dq gây ra tại M là d E1 có phương chiều như hình vẽ, độ lớn dφ kdq q dE1  2 k .a. .d R φ α - Chọn hệ trục toạ độ như HV. G - Do ta luôn tìm được hai phần tử dq trên cung tròn đối -α xứng nhau qua trục OX, mỗi phần tử này gây ra một cường độ điện trường có thành phần điện trường vuông góc với trục OX triệt tiêu lẫn nhau từng đôi một, do đó cường độ điện d trường tại O có phương trùng với trục OX, độ lớn: B dE 2 X φ O dE1 - Do tính đối xứng, mà điện thế có tính cộng được nên ta chỉ cần tính điện thế do cung GA gây ra tại O rồi nhân đôi ta sẽ được điện thế do cả cung AGB gây ra tại O. - Xét một phần tử nhỏ dq bất kì thuộc cung GA. Phần tử này gây ra tại O một điện thế:  kaR 2 kdq dV  k .a.R .d  V  dV k .a.R  .d   VO 2V kaR 2 R GA 2 0 Bài 2: Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm 2 đặt trong không A khí, G là điểm chính giữa trên cung tròn như hình vẽ bên. Xác định R cường độ điện trường và điện thế do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu mật độ điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía G về hai đầu A và B theo quy luật: từ G đên A là  a.  0 ; từ G đến B là G   với a const ;  là biến số theo chiều dài. 2 O Bài giải: * Tính cường độ điện trường tại O. - Làm tương tự như bài 1 phần cung tròn tích điện không đều. BA - Chọn hệ trục toạ độ như HV. - Do tính đối xứng nên ta luôn tìm được hai phần tử dq trên d R cung tròn đối xứng nhau qua trục OX, mỗi phần tử này gây ra dφ một cường độ điện trường có thành phần điện trường theo phương OX triệt tiêu lẫn nhau từng đôi một) do đó điện trường q tại O chỉ theo phương OY có độ lớn: φ α O  G E  2dE1 . sin  2ka  sin  .d 2k .a.(sin    cos  ) -αdE 2 GA 0 * Tính điện thế tại O. 2  kaR V   AG 2 Làm tương tự   2 V  kaR  BG 2 dE d B  V V AG  V BG 0 7 Y X dE1 A Bài 3: Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm  đặt trong không khí. Xác định cường độ điện trường và điện thế do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu mật độ điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía A về phía B của cung theo quy luật  a.  0 với a const ;  là biến số theo chiều dài. Bài giải: - Chọn hệ trục toạ độ như HV, có OX trùng với OA. - Chia cung tròn ra thành nhiều phần tử nhỏ mang điện tích R  dq d a.Rd aR 2 .d O B * Tính cường độ điện trường tại O. - Xét cường độ điện trường do phần tử dq gây ra tại O là kdq phương chiều như hình vẽ, độ lớn dE  2 k .a. .d R - Phân tích dE dE X .i  dEY . j  E  dE  dE X .i  dEY . j  E X .i  EY . j với dE Y có A dq R  d EY dE  O d EX B * Tính điện thế tại O. - Xét một phần tử nhỏ dq bất kì. Phần tử này gây ra tại O một điện thế:  kaR 2 kdq  V  dV  k . a . R  . d   dV  k .a.R .d   R AB 2 0 Bài tập tự luyện B1: Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm 2 đặt trong không khí, G là điểm chính giữa trên cung tròn như hình vẽ bên. Xác định cường độ điện trường do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu mật độ điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía G về hai đầu A và B của cung theo quy luật  a.2  0 với a const ;  là biến số theo chiều dài. HD: Làm tương tự như bài 1 phần cung tròn tích điện không đều, ta tìm được điện trường tại O có phương nằm trên đường GO, điểm đặt tại O, chiều từ G  O độ lớn E 2k .a.R( 2 sin   2 cos   2 sin  ) . B2: Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm 2 đặt trong không khí, G là điểm chính giữa trên cung tròn như hình vẽ bên. Xác định cường độ điện trường do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu mật độ điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía G về hai đầu A và B theo quy luật: từ G đên A là  a.2  0 ; từ G đến B là   với a const ;  là biến số theo chiều dài. 8 A R G 2 O B A R G 2 B O X HD: Làm tương tự như bài 2 phần cung tròn tích điện không đều, ta tìm được điện trường tại O có phương vuông góc với đường GO, điểm đặt tại O, chiều từ phía bản dương về phía bản A âm, độ lớn E 2k .a.R (  2 cos   2 sin   2 cos   2) . B3: R Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm  đặt trong không khí. Xác định cường độ điện trường do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu mật độ điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía A về phía B của cung theo quy luật O  a.2  0 với a const ;  là biến số theo chiều dài. HD: Làm tương tự như bài 3 phần cung tròn tích điện không đều. B Chọn trục OX trùng với OA ta có 2 X   E k.a.R( sin   2 cos  2 sin  )   EY k.a.R(  2 cos  2 sin   2 cos  2) DẠNG III: ĐƯỜNG THẲNG TÍCH ĐIỆN ĐỀU Bài 1: Một thanh mảnh thẳng AB, chiều dài L tích điện đều với mật độ điện tích dài   0 , đặt trong không khí. A Xác định cường độ điện trường và điện thế do thanh gây ra tại điểm M nằm trên trục của thanh cách đầu A của M thanh đoạn AM a như HV. B  Bài giải: dE A  B d M - Chia thanh AB ra thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài d , mỗi phần tử mang điện tích dq .d * Tính cường độ điện trường tại M. - Xét phần tử mang điện tích dq có chiều dài d ở vị trí cách A đoạn là  bất kì như hình vẽ, phần tử  này gây ra tại M một cường độ điện trường dE có phương chiều như HV, độ lớn dE  L kdq kd  2 r ( a  ) 2 kd k.L  2 a ( a  L) (a  )  điện trường tổng hợp do cả thanh gây ra tại M là E  dE  AB 0 * Tính điện thế tại M. - Xét một phần tử nhỏ dq bất kì ở vị trí cách A đoạn là  bất kì như hình vẽ. Phần tử này gây ra tại M kdq k . .d  một điện thế: dV  r a  L d L  k . ln1   a  a   điện thế do cả thanh gây ra tại M là V  dV k .  AB 0 Bài 2: Một thanh mảnh thẳng AB, chiều dài L tích điện đều với mật độ điện tích dài   0 , đặt trong không khí. Xác định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M cách đầu A của thanh đoạn a như HV. M a A 9  B Bài giải: - Chia thanh AB ra thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài dX , mỗi phần tử mang điện tích dq  .dX . * Tính cường độ điện trường tại M. Chọn hệ toạ độ OXY như hình vẽ: + Xét một phần tử nhỏ có chiều dài dX , mang điện dq có toạ độ X bất kì, xác định bởi góc  như HV. + Phần tử này gây ra tại M một cường độ điện trường dE có phương chiều như hình vẽ, độ lớn: kdq kdX dE  2  2 (1) r r  a  r  cos  + HV    X a.tg  dX  a d  cos 2  Từ (1)(2)  dE  + Phân tích dE kd a Y dE dEY M dE X θ a (2) r  B X A O L dX X (3) thành hai thành phần dE dE X .i  dEY . j  E  dE  dE X .i  dEY . j  E X .i  EY . j    k k k  a   EX  dEX   dE. sin   .sin  .d  (cos   1)   2 2  1  0 a 0 a a  a L   AB AB - Với   k k k L  E  dE  dE . cos   . cos  . d   sin   . 0   Y  Y  2 2 a 0 a a a L AB AB   E  E X2  EY2 ; E hợp với OX góc  thoả mãn: tg  EY EX Nhận xét: Nếu   / 2 ứng với thanh bán vô hạn hay L  thì k k 2k  E X   ; EY  �E  a a a Bài 3: Một thanh mảnh thẳng AB, chiều dài L tích điện đều với mật độ điện tích dài   0 , đặt trong không khí. Xác định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M cách trục của thanh đoạn a như HV. M a B A O Bài giải: - Coi thanh được cấu tạo từ hai phần AO và BO, chiều dài mỗi phần tương ứng là X 1 ; X 2 - Chọn hệ trục toạ độ OXY như HV - Áp dụng kết quả bài 2 phần đường thẳng tích điện đều  riêng thanh AO gây ra tại M một cường độ điện trường có các thành phần theo phương OX và OY là:  Y M a B A 10  X1 O  X     EAMX  k (1  cos1 )  k 1  a   0 a a  a 2  X 12      k k X 1  E  sin    AMY a 1 a . 2 2  0 a  X1  - Một cách tương tự  thanh BO gây ra tại M một cường độ điện trường có các thành phần theo phương OX và OY là:     EBMX  k (cos  2  1)  k  a  1  0 a a  a 2  X 22      k k X 2  E  sin   . 0 2  BMY a 2 2 a a  X2  - Áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường có E  E AM  E BM Với E AM ; E BM lần lượt là các véc tơ cường độ điện trường do thanh AO và BO gây ra tại M.   1 1   E X E AMX  E BMX k    0  a2  X 2 a2  X 2   1 2      X 2  k  X 1  EY E AMY  E BMY   2 2  2 2   0 a a  X1 a  X 2     E  E X2  EY2 ; E hợp với OX góc  thoả mãn: tg  EY EX Nhận xét: - Nếu X 1  X 2  ứng với thanh AB dài vô hạn thì E X 0  E  EY  - Nếu a  X 1 ; a  X 2 2k phù hợp với thực tế. a  E X 0 tức a  L    E 0 , lúc này điểm M ở rất xa thanh AB, thanh được coi như  EY 0 điện tích điểm, phù hợp với thực tế. - Nếu X 1  X 2  L 2  E X 0  tức M nằm trên đường trung trực của thanh AB khi đó  2k.L E  E   Y a 4a 2  L2  phù hợp với thực tế (do tính đối xứng nên E X 0 ). Bài 4: Có hai thanh mảnh thẳng OA; OB chiều dài lần lượt là OA  X 1 ; OB  X 2 đặt trong không khí. Hai thanh tích điện đều với mật độ điện tích trên mỗi thanh là 1  0; 2  0 . Ghép hai đầu O của mỗi thanh lại với nhau thành một thanh thẳng AOB. Giả sử không có sự phân bố lại điện tích trên các thanh sau khi ghép. Xác định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M nằm trên đường thẳng đi qua O vuông góc với thanh AB và cách thanh một đoạn bằng a. 11 Bài giải: - Chọn hệ trục toạ độ như HV. - Áp dụng kết quả bài 2 phần đường thẳng tích điện đều  riêng thanh AO gây ra tại M một cường độ điện trường có các thành phần theo phương OX và OY là:   k1 k1  a 0  EAMX  (1  cos 1 )  1  a a  a 2  X 12      k1 k1 X 1  E  sin   . 0 1  AMY a 2 2 a a  X1  Y M a A - Một cách tương tự  thanh BO gây ra tại M một cường độ điện trường có các thành phần theo phương OX và OY là:  k2 k2  a  EBMX  (cos 2  1)  a a  a 2  X 22    k2 k2 X 2  E  sin   . 0 2  BMY a 2 2 a a  X2  1  X1 2 B O X X2   1  0   - Áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường có E  E AM  E BM Với E AM ; E BM lần lượt là các véc tơ cường độ điện trường do thanh AO và BO gây ra tại M.   a1 a2   E X  E AMX  E BMX  k  1  2   a  a 2  X 12 a 2  X 22      2 X 2  k  1 X 1 E  E  E   0  Y AMY BMY  2 2 2 2  a   a  X1 a  X 2   E  E X2  EY2 ; E hợp với OX góc  thoả mãn: tg  EY EX Nhận xét:   1 1   E X k    0  a2  X 2 a2  X 2   1 2    + Nếu 1  2    phù hợp với kết quả bài 3 phần đường tích điện    X2  k  X 1  EY   2 2  2 2   0 a a  X1 a  X 2    đều. + Nếu 1  2  và các thanh dài bán vô hạn tức X 1 ; X 2   E X 0  E  EY  thực tế. 12 2k phù hợp với a + Nếu các thanh dài bán vô hạn tức k  E  (1  2 ) X  a X 1 ; X 2     E  k (   )  Y a 1 2 Bài tập tự luyện B1: Hai thanh OA; OB mảnh thẳng OA OB  L , các thanh tích điện đều với mật độ điện tích dài lần lượt là  và   . Ghép hai đầu O của mỗi thanh lại với nhau thành một thanh thẳng AOB. Giả sử không có sự phân bố lại điện tích trên các thanh sau khi ghép. Xác định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M nằm trên đường thẳng đi qua O vuông góc với thanh AB và cách thanh một đoạn bằng a. HD: - Áp dụng kết quả bài 2 phần đường thẳng tích điện đều và nguyên lí chồng chất điện trường và tính đối xứng  E // AB , hướng từ A  B (hướng về phía nhiễm điện tích âm), độ lớn E  - Nếu L  tức hai thanh OA;OB dài bán vô hạn thì E  2k  1 a     a L  a 2 2 2k . a B2: Hai thanh mảnh OA và OB dài bán vô hạn tích điện đều với mật độ điện tích dài lần lượt là 1  0 và   2  0 . Ghép hai đầu O của mỗi thanh lại với nhau thành một thanh thẳng AOB dài vô hạn. Giả sử không có sự phân bố lại điện tích trên các thanh sau khi ghép. Xác định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M nằm trên đường thẳng đi qua O vuông góc với thanh AB và cách thanh một đoạn bằng a. HD: Chọn trục OX trùng với trục của thanh AOB k  E  (1  2 ) X  a Áp dụng kết quả bài 2 phần đường tích điện đều và nguyên lí chồng chất điện trường    E  k (   )  Y a 1 2 (kết quả này tương tự như kết quả ở phần nhận xét của bài 4 phần đường thẳng tích điện đều). DẠNG IV: ĐƯỜNG THẲNG TÍCH ĐIỆN KHÔNG ĐỀU Phạm vi nghiên cứu Chỉ xét đường tích điện có mật độ điện tích tỉ lệ với chiều dài theo quy luật hàm bậc nhất hoặc bậc hai, các trường hợp bậc cao hơn hoặc mật độ điện tích bất thường thì việc tính toán sẽ rất phức tạp. Bài 1: Một thanh mảnh thẳng AB đặt trong không khí, chiều dài L tích điện với mật độ điện tích dài tăng từ A đến B theo A quy luật  b.  0 , với b const ;  là biến số theo chiều dài. Xác định cường độ điện trường và điện thế do M thanh gây ra tại điểm M nằm trên trục của thanh cách đầu A của thanh đoạn AM a như HV. Bài giải: B  A  dE d M - Chia thanh AB ra thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài d , mỗi phần tử mang điện tích  dq  .d b..d 13 B * Tính cường độ điện trường tại M. - Xét phần tử mang điện tích dq có chiều dài d ở vị trí cách A đoạn là  bất kì như hình vẽ, phần tử này gây ra tại M một cường độ điện trường dE có phương chiều như HV, độ lớn dE  kdq k .b..d  2 r ( a  ) 2 L k .b..d  điện trường tổng hợp do cả thanh gây ra tại M là: E  dE   2 AB 0 ( a  ) Chú ý: L L d d T1     2 a 0 ( a  ) 0 L a.d (a  ) 0 2   L L  L L  ln 1     E k .b ln1    a aL a  a  L     * Tính điện thế tại M. - Xét một phần tử nhỏ dq bất kì ở vị trí cách A đoạn là  bất kì như hình vẽ. Phần tử này gây ra tại M một điện thế: dV  kdq k .b..d  r (a  ) L d  điện thế do cả thanh gây ra tại M là V  dV k .b  a  AB 0 Chú ý: L L d T2    d  a   0 0 L ad a    L  0  L  L   a ln  1    V k .b  L  a ln1    a a     14 Bài 2: Một thanh mảnh thẳng AB đặt trong không khí, chiều dài L tích điện với mật độ điện tích dài tăng từ A đến B theo quy luật  b.2  0 , với b const ;  là biến số theo chiều dài. Xác định cường độ điện trường và điện thế do thanh gây ra tại điểm M nằm trên trục của thanh cách đầu A của thanh đoạn AM a như HV. Bài giải: dE A M  A  B d M - Chia thanh AB ra thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài d , mỗi phần tử mang điện tích dq  .d b.2 .d * Tính cường độ điện trường tại M. - Xét phần tử mang điện tích dq có chiều dài d ở vị trí cách A đoạn là  bất kì như hình vẽ, phần tử này gây ra tại M một cường độ điện trường d E có phương chiều như HV, độ lớn dE  kdq k .b.2 .d  r2 ( a  ) 2 L k .b.2 .d ( a  ) 2  điện trường tổng hợp do cả thanh gây ra tại M là: E  dE   AB 0 Chú ý: J 2 a 2  2a a2 2a  1   1   (a  ) 2 (a  ) 2 ( a  ) 2 (a  ) 2 L L L L 2 d d d a2 2 J 1   d   a  2 a  L   a  2a.T1 2 2 2    aL 0 ( a  ) 0 0 ( a  ) 0 ( a  ) L L   đã tính ở bài 1 phần đường thẳng tích điện không đều a aL  L( L  2a ) L   J1   2a ln1   aL a  Với T1 ln1   L ( L  2a ) L    E k .b   2a ln 1    a    aL * Tính điện thế tại M. - Xét một phần tử nhỏ dq bất kì ở vị trí cách A đoạn là  bất kì như hình vẽ. Phần tử này gây ra tại M một điện thế: dV  kdq k .b.2 .d  . r ( a  ) L 2 d a   điện thế do cả thanh gây ra tại M là V  dV k .b  AB 0 Chú ý: L L L 2 d d L2 L  J 2   (  a )d  a 2    a.L  a 2 ln 1   a 0 a 2 a  0 0  L2 L    V kb   a.L  a 2 ln1    a   2 15 B Bài tập tự luyện B1: Một thanh mảnh thẳng AB đặt trong không khí, chiều dài L tích điện với mật độ điện tích dài tăng dần từ đầu A đến đầu B theo quy luật  b. X  0 , với b const ; X là biến số theo chiều dài. Xác định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M cách đầu của thanh đoạn a như HV. HD: Làm tương tự như bài 2 dạng III và bài 1 dạng IV ta được kết quả sau:   1  sin   E  k . b ln  sin   X   1  sin       EY k.b(1  cos  ) Y M a A  O L  sin    a 2  L2  với   cos   a  a 2  L2 B2: Một thanh mảnh thẳng AB đặt trong không khí, chiều dài L tích điện với mật độ điện tích dài tăng dần từ đầu A đến đầu B theo quy luật  b. X 2  0 , với b const ; X là biến số theo chiều dài. Xác định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M cách đầu A của thanh đoạn a như HV. HD: Làm tương tự như bài 2 dạng III và bài 1 dạng IV ta được kết quả sau:  E X k.b.a(tg . sin 3   cos 3   3 cos   2)   1  sin    E  k . b . a ln  sin     Y 1  sin     A B X Y M a A  B X O L  sin    a 2  L2  với   cos   a  a 2  L2 Z M B – BÀI TẬP VỀ MẶT TÍCH ĐIỆN Bài 1: Xác định cường độ điện trường và điện thế tại một điểm M nằm trên trục của một đĩa tròn bán kính R, tích điện đều với mật độ điện tích mặt là   0 . Bài giải: - Chia đĩa thành nhiều phần tử nhỏ diện tích ds có dạng vòng tròn như hình vẽ. - Xét một phần tử diện tích ds bất kì, trong đó ds d ( .r 2 ) 2 .r.dr , phần tử này tích điện là dq  .ds  .2 .r.dr (*) Nhận xét: Do ta chia đĩa thành các phần tử có diện tích rất nhỏ, nhỏ tới mức có thể coi như một vòng dây mảnh, vì vậy áp dụng kết quả dE bài 1 phần cung tròn tích điện đều. * Tính cường độ điện trường tại M. - Phần tử điện tích dq xét trên gây ra tại M một cường độ điện ds trường dE cùng chiều với chiều dương của trục OZ (theo bài 1 dạng I (phần cung tròn tích điện đều) đã nói trên), độ lớn: dE dE Z  k .Z .dq 2kZ  2 .r.dr 2 3/ 2 (r  Z ) (r  Z 2 ) 3 / 2 r 2 16 q R O z M Z O R  Cường độ điện trường do cả đĩa trên gây ra cũng sẽ có chiều cùng với chiều dương của trục OZ, độ lớn:    dr 2k  1     R r E  dE 2kZ  2 ( r  Z 2 )3/ 2 S 0 1 R 1   Z  2        * Tính điện thế tại M. - Phần tử điện tích dq xét trên gây ra tại M một điện thế dV  R 2 r z k .2 .r.dr  Điện thế do cả đĩa trên gây ra tại M là V  dV   S kdq 0 2 r z 2 2  k .2 .r.dr r2  z2 2k . [ R 2  Z 2  Z ] Nhận xét: 1 - Nếu Z  R   R 1   Z 2   R 2   1      Z   1/ 2 2 1  1 R   k ( .R 2 ) kq 2Z   E   2 2 Z Z  đĩa có vai trò như một điện tích điểm so với điểm M (với q là điện tích của cả đĩa tròn). 1 - Nếu R  Z ta có:  R 1   Z 2  0  E 2k    đĩa trong trường hợp này có thể coi như mặt 2 0 phẳng rộng vô hạn, tích điện đều. - Nếu Z  R  R 2  Z 2 Z  V 0 (điểm đang xét ở rất xa đĩa nên điện thế do đĩa gây ra tại đó bằng 0). - Nếu R  Z  R 2  Z 2  Z  R  V 2k .R M Bài 2: Một đĩa mỏng hình tròn bán kính R đặt ngoài không khí, tích điện đều với mật độ điện tích mặt là   0 . Đĩa bị Z khoét đi một phần bên trong, phần bị khoét đi là một hình tròn bán kính R / đồng tâm với đĩa tròn ban đầu. Xác định O R/ cường độ điện trường và điện thế tại M cách tâm O của đĩa R tròn đoạn Z. Bài giải: * Tính cường độ điện trường tại M. Sử dụng kết quả bài 1 phần mặt tích điện và áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường. Coi vật bị khoét trên như một hệ gồm một đĩa tròn bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích mặt   0 ghép sát đồng trục với một đĩa tròn bán kính R / tích điện đều với mật độ điện tích mặt là   . Gọi E  ; E  lần lượt là độ lớn cường độ điện trường do từng đĩa gây ra tại M.        E  2k 1        Áp dụng kết quả bài 1 phần mặt tích điện ta có:        E 2k 1           Áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường ta có: E  E   E  Do hai véc tơ E E  E E ; E     2k .        1  2  R  1    Z  1  R/ 1    Z    2         cùng phương ngược chiều nên độ lớn cường độ điện trường tại M là: 1  R/  1  Z     2  1 R 1   Z  2         17 * Tính điện thế tại M. - Chia đĩa thành nhiều phần tử nhỏ diện tích ds có dạng hình tròn như bài 1 phần mặt tích điện. kdq - Phần tử điện tích dq xét trên gây ra tại M một điện thế dV   2 r z 2  k .2 .r.dr r2  z2 Điện thế do cả đĩa trên gây ra tại M là Z R k .2 .r.dr V  dV   2k . .[ R 2  Z 2  2 2 r z S R/ R/2  Z 2 ] M Bài 3: Có hai mặt phẳng có dạng bán nguyệt giống hệt nhau bán kính R đặt trong không khí. Hai mặt tích điện đều với mật độ điện tích mặt lần lượt là   0 và   . Ghép hai mặt bán nguyệt lại với nhau thành một mặt tròn tâm O bán kính R. Lấy trục OZ đi qua tâm mặt tròn và vuông góc với mặt tròn. Xác định cường độ điện trường và điện thế tại điểm M nằm trên trục OZ, giả sử O R không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép hai mặt bán nguyệt lại với nhau. Bài giải: - Chia đĩa thành nhiều phần tử nhỏ diện tích ds có dạng hình tròn như hình vẽ. (*) Nhận xét: Do ta chia đĩa thành các phần tử có diện tích rất nhỏ, nhỏ tới z mức có thể coi như một vòng dây mảnh, vì vậy áp dụng kết quả bài 4 dạng I (phần cung tròn tích điện đều). * Tính cường độ điện trường tại M. M - Xét phần tử mang điện có diện tích ds bất kì gây ra tại M một cường độ điện trường dE có chiều vuông góc với trục dq OZ, chiều hướng về phía mặt nhiễm điện tích âm (theo bài 4 dạng I (phần cung tròn tích điện đều) đã nói trên), độ lớn: ds   dE  4kr.dq (1)  (r 2  z 2 ) 3 / 2  q  .r 2    q   .  dq  . .r.dr - Với (2) 2  .r 2 2 4k . .r 2 .dr  dE  - Từ (1)(2) (r 2  z 2 ) 3 / 2  dE  O  Cường độ điện trường do cả đĩa trên gây ra tại M cũng sẽ vuông góc với trục OZ, chiều hướng về phía R r2 E  dE  4 k  dr mặt nhiễm điện tích âm, độ lớn: 2 2 3/ 2   S 0 (r  Z ) I r2 r2  Z 2 Z2   (r 2  Z 2 ) 3 / 2 (r 2  Z 2 ) 3 / 2 (r 2  Z 2 ) 3 / 2 R R r2  Z 2 dr I1  2 dr  ln( 2 3/ 2 r2  Z 2 0 (r  Z ) 0 R Z2 I 2  2 dr 2 3/ 2 0 (r  Z )   E 4k  ln   2 2 R r  Z r ) ln 0 Z .dt Đặt r Z .tgt  dr  2  I 2  cos t arctg R Z R2  Z 2  R Z R cos t.dt sin( arctg Z ) 0 R Z R R   sin( arctg )  Z Z  2 2 O * Tính điện thế tại M. Do tính đối xứng nên V 0 . Bài 4: 2 18  R Một chỏm cầu rỗng bằng kim loại bán kính R, góc ở đỉnh chỏm cầu là 2 như HV. Chỏm cầu tích điện đều với mật độ điện tích mặt là   0 và đặt ngoài không khí. Xác định cường độ điện trường tại tâm O của chỏm cầu. Bài giải: + Chia chỏm cầu thành nhiều phần tử nhỏ có chiều dài dL như HV. + Xét một phần tử nhỏ có diện tích dS bất kì, phần tử này cách O đoạn là z, vị trí của phần tử này được xác dịnh bởi góc φ như hình vẽ. z R dφ z φ N dS r R φ r dL  r  R sin   Theo hình vẽ có:  dL  R.d  z R cos   dE O O N (2) Từ (1)(2)  dS 2 .R 2 . sin  .d (3)  đện tích của phần tử trên là: dq  .dS 2 . .R 2 . sin  .d (4) + Theo bài 1 phần cung tròn tích điện đều  cường độ điện trường do phần tử điện tích trên gây ra tại O là: dE dE Z  k .dq.z k . . sin 2 .d (r  z 2 ) 3 / 2 2 (5)  Cường độ điện trường do cả chỏm cầu gây ra tại O là:  E  dE k sin 2 .d  S 0 k . cos 2 2  0  19 k (1  cos 2 ) 2 z Nhận xét: + E nằm trên trục đối xứng của chỏm cầu, điểm đặt tại O, chiều hướng từ O ra xa. Nếu   0 ta cũng thu được kết quả tương tự nhưng chiều của E ngược lại. + Nếu 2 2 ứng với cả quả cầu rỗng tích điện  E 0 phù hợp với thực tế (cường độ điện trường bên trong vật dẫn bằng 0). + Nếu 2  ứng với bán cầu rỗng  E k . Bài tập tự luyện Bài 1: Mặt phẳng rộng vô hạn tích điện đều với mật độ điện tích mặt  đặt ngoài không khí. Mặt phẳng trên bị khoét đi một phần, phần bị khoét có dạng một hình tròn bán kính R. Gọi OZ là trục đi qua tâm hình tròn bị khoét, OZ vuông với mặt phẳng tích điện rộng vô hạn. Xác định cường độ điện trường tại M nằm trên trục OZ cách O đoạn là Z. HD: Sử dụng kết quả bài 1 và phần nhận xét của bài 1 phần mặt tích điện và nguyên lí chồng chất điện trường cách làm giống như bài 2 phần mặt tích điện.    E 2k  2k 1     1 1 R2 Z2   2k   R2  1 2  Z  Bài 2: Có hai chỏm cầu rỗng có cùng bán kính R đặt ngoài không khí, góc ở đỉnh các chỏm cầu lần lượt là 2 1 và 2  2 1 . Các chỏm cầu được tích điện với mật độ điện tích mặt lần lượt là  1  0;  2  0 . Ghép hai chỏm cầu lại với nhau thành một quả cầu, giả sử không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép. Xác định cường độ điện trường tại tâm O của quả cầu nói trên. HD: Sử dụng kết quả bài 4 phần mặt tích điện và nguyên lí chồng chất điện trường. k E  E1  E 2   1 (1  cos 2 1 )   2 (1  cos 2 2 ) ; với 2 2 2  2 1 . 2 Nếu  1  2   E 0 phù hợp với thực tế. 20