Tài liệu ứng dụng phương pháp proper generalized decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán lưu chất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ NGUYỄN THỊ QUỲNH TRÂM ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION VÀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO BÀI TOÁN LƯU CHẤT NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY - 605204 S KC 0 0 4 0 4 2 Tp. Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ NGUYỄN THỊ QUỲNH TRÂM ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION VÀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO BÀI TOÁN LƯU CHẤT NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY – 605204 Hướng dẫn khoa học: TS. PHAN ĐỨC HUYNH Tp. Hồ Chí Minh, tháng 09 / 2013 LÝ LỊCH KHOA HỌC I. LÝ LỊCH SƠ LƢỢC Họ & tên: NGUYỄN THỊ QUỲNH TRÂM Giới tính: Nữ Ngày, tháng, năm sinh: 08/10/1984 Nơi sinh: T-T-Huế Quê quán: Xuân Thủy, Lệ Thủy, Quảng Bình Dân tộc: Kinh Chỗ ở riêng hoặc địa chỉ liên lạc: 41A Chu Văn An, Hiệp Phú, Q.9, tp.HCM Điện thoại: 016 587 787 08 Email: [email protected] II.QUÁ TRÌNH ĐẠO TẠO 1.Đại học: Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian đào tạo: từ 09/2003 đến 02/2008 Nơi học ( trường, thành phố): trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật tp.HCM Ngành học: Kỹ thuật công nghiệp Tên đồ án, luận án hoặc môn thi tốt nghiệp:Công nghệ gia công gỗ trên máy cưa Ngày & nơi bảo vệ đồ án, luận án hay thi tốt nghiệp: ĐH Sư phạm Kỹ thuật tp.HCM Người hướng dẫn: Th.S Thái Th 2.Thạc sĩ: Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian đạo tạo: từ 02/2011 đến 02/2013 Nơi học ( trường, thành phố): trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật tp.HCM Ngành học: Công nghệ chế tạo máy i Tên đồ án, luận án hoặc môn thi tốt nghiệp:Ứng dụng phương pháp Proper Generalized Decomposition và phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán lưu chất. Ngày & nơi bảo vệ đồ án, luận án hay thi tốt nghiệp: trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật tp.HCM Người hướng dẫn: TS. Phan Đức Huynh Ngày 18 tháng 09 năm 2013 Người khai ký tên ii LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 18 tháng 09 năm 2013 NGUYỄN THỊ QUỲNH TRÂM iii CẢM TẠ Trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài dưới sự hướng dẫn cua thấy Phan Đức Huynh, tôi đã nhận được sự hướng dẫn chu đáo từ phía thầy và đặc biệt nhất là sự quan tâm tận tình vô cùng chân quý từ phía anh Lê Quốc Cường thông qua sự giới thiệu của thầy Phan Đức Huynh, hiện đang theo nghiên cứu bậc Tiến sĩ tại trường Đai học Sư phạm Kỹ thuật. Tôi xin được chuyển đến những dòng biết ơn chân thành và lòng kính trọng sâu sắc đến thầy Phan Đức Huynh và anh Lê Quốc Cường. Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến ngôi trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật mà tôi đã gắn bó trong suốt quãng đời sinh viên và học viên, cùng với đội ngũ các giảng viên-giáo viên-nhân viên của Trường mà tôi đã được theo học và hỗ trợ nhiệt tình,cuối cùng gửi lời thân thương đến những người anh chị,người bạn mà tôi đã được quen biết, trao đổi và giúp đỡ. iv ABSTRACT Nowadays, numerical techniques become the effective tools to solve the problems in science and engineering. Eventhough the impressive recent progresses attained in computer technologies and computational simulation techniques, numerous models intractable when the usual and well-experienced discretization techniques are applied for their numerical simulation due to their high complexity and requirements. One of the typical difficulties is highly multi-dimensional models arising from quantum mechanics or kinetic theory descriptions of solids and complex fluids,… When one applies standard mesh based discretization techniques the number of degrees of freedom involved scales exponentially with the dimension of the space concerned. In order to overcome the drawbacks above, one lastest technique in recent years proposed to support, activate in using the mesh-based discretization techniques -FEM -is called Proper Generalized Decomposition (PGD). This is a powerful model reduction technique by means of successive enrichment a separated representation of the unknown field, so the computational complexity of the PGD scales linearly with the dimension of the space. And a coupling Proper Generalized Decomposition and Finite Element Method – PGD-FEM briefly – will open a new approach in searching a powerful kind of simulation techinique in both terms of computing time and accuracy. Therefore, the topic “ Coupling Proper Generalized Decomposition and Finite Element Method for fluid problem” was born here. Eventhough the topic just started to invest PGD-FEM for fluid problem in a small term of the pressure Poisson equation from 2D unsteady imcompressive Navier-Stokes flow, the comparative results speaked out the outstanding innovative property of PGD-FEM in both computing time and accuracy from the traditional v discretization technique (FEM). Moreover, in order to overcome its remaining drawbacks and enlarge, develop further research trends, I also provided to solve unsteady imcompressive Navier-Stokes equations by FEM based on the ChorinTemam projection method. vi TÓM TẮT Ngày nay phương pháp số là một công cụ đắc lực giúp giải quyết hầu hết các bài toán trong khoa học và kỹ thuật. Mặc dù với những tiến bộ, phát triển vượt bậc đạt được trong công nghệ máy tính, kỹ thuật t nh toán nhưng những khó khăn để giải quyết nhiều bài toán vẫn còn bị thách thức khi mà phương pháp rời rạc truyền thống đang bị hạn chế do tính phức tạp và mức độ yêu cầu đòi hỏi ngày càng cao của bài toán. Có thể nêu một trong những khó khăn điển hình, nổi cộm là bài toán có số chiều không gian lớn thường gặp trong cơ lượng tử, thuyết động học của cơ lưu chất phức tạp,…Khi sử dụng phương pháp rời rạc thông thường thì độ phức tạp của bài toán tăng theo tỉ lệ hàm mũ với số chiều không gian của bài toán. Để nhằm khắc phục tính hạn chế trên, một phương pháp rất mới đã ra đời trong vài năm gần đây đã góp phần bổ trợ, thúc đẩy trong quá trình phối hợp với phương pháp rời rạc, cụ thể là phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) mà được nghiên cứu ở đây, với tên gọi là phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD). Đây là một công cụ giảm bậc mô hình bài toán dựa trên cơ sở tách biến giúp độ phức tạp của bài toán giảm xuống với tỉ lệ tuyến tính theo số chiều của bài toán. Vì thế sự kết hợp giữa phương pháp PGD và FEM (gọi tắt PGD-FEM) sẽ bước đầu mở ra một hướng tiếp cận mới trong việc tìm kiếm một loại hình phương pháp số mới với tính năng ưu việt hơn về mặt thời gian xử lí mà vẫn đảm bảo độ chính xác so với phương pháp rời rạc truyền thống đã có. Và “ứng dụng phương pháp PGD-FEM cho bài toán lưu chất” đã ra đời trong đề tài nghiên cứu ở đây. Mặc dù đề tài chỉ mới bước đầu khái thác phương pháp PGD-FEM cho lĩnh vực bài toán lưu chất ở một khía cạnh hẹp là giải quyết phương trình Poisson áp suất 2D cho bài toán Navier-Stokes của dòng chảy nhớt không nén phụ thuộc vào thời gian trong hai trường hợp điều kiên biên Dirichlet đồng nhất và điều kiện biên vii hỗn hợp ( Dirchlet-Neumann) nhưng những kết quả đạt được đã cho thấy sự ưu việt khi giải quyết bằng phương pháp PGD-FEM về mặt thời gian t nh toán và độ chính xác so với phương pháp rời rạc truyền thống (FEM). Đồng thời với mong muốn tạo một sự thuận lợi trong việc hoàn thiện cũng như mở rộng, phát triển hơn cho đề tài trong tương lại, tác giả cũng đã đề cập đến việc giải phương trình Navier-Stokes cho dòng chảy nhớt không nén phụ thuộc thời gian với điều kiện biên lid-driven cavity bằng phương pháp FEM dựa trên kỹ thuật tham chiếu Chorin-Temam. viii MỤC LỤC TRANG Trang tựa Quyết định giao đề tài Lý lịch cá nhân ........................................................................................................ i Lời cam đoan ......................................................................................................... iii Cảm tạ ................................................................................................................... iv Tóm tắt ................................................................................................................... v Mục lục .................................................................................................................. ix Danh mục kí hiệu-từ viết tắt.................................................................................. xi Danh mục hình vẽ ................................................................................................ xii Chƣơng 1. TỔNG QUAN .................................................................................... 1 1.1 Tổng quan về hướng nghiên cứu...................................................................... 1 1.2 Mục đ ch nghiên cứu, khách thể và đối tượng nghiên cứu .............................. 2 1.3 Xác định nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu của đề tài ..................................... 3 1.4 Phương pháp nghiên cứu.................................................................................. 3 Chƣơng 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ..................................................................... 4 2.1 Phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD) ............................... 4 2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM)............................................................ 11 ix Chƣơng 3. ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP PGD và FEM CHO BÀI TOÁN LƢU CHẤT......................................................................................................... 16 3.1 Giới thiệu phương trình Navier-Stokes .......................................................... 16 3.2 Giải phương trình Poisson bằng phương pháp PGD-FEM. ........................... 18 3.2.1 Trường hợp điều kiên biên Dirichlet đồng nhất. .................................... 18 3.2.1.1 Tiến trình giải bài toán bằng phương pháp PGD-FEM ................... 19 3.2.1.2 Sơ đồ giải thuật tổng quát ............................................................... 22 3.2.1.3 Kết quả - nhận xét ........................................................................... 23 3.2.2 Trường hợp điều kiên biên hỗn hợp. ........................................................ 26 3.2.2.1 Tiến trình giải bài toán bằng phương pháp PGD-FEM ................... 26 3.2.2.2 Kết quả - nhận xét ........................................................................... 30 3.3 Phƣơng trình Navier-Stokes không nén phụ thuộc vào thời gian ........... 32 3.3.1 Mô hình bài toán ..................................................................................... 32 3.3.2 Điều kiên biên của bài toán .................................................................... 33 3.3.3 Tiến trình các bước giải bằng phương pháp FEM. ................................. 33 3.3.4 Sơ đồ giải thuật tổng quát ....................................................................... 42 3.3.5 Kết quả - nhận xét ................................................................................... 44 Chƣơng 4. KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN ..................................... 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 49 PHỤ LỤC ............................................................................................................ 51 x DANH MỤC KÍ HIỆU, TỪ VIẾT TẮT <.,.> L2(Ω) Tích trong của hai hàm trên L2 trong miền Ω || . ||2 Chuẩn vec-tơ trong L2 hay chuẩn Euclide Resn Phần sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ Ω Miền khảo sát của bài toán Ωx Miền khảo sát theo phương x Ωy Miền khảo sát theo phương y ∂Ω Biên của miền Ω ∂Ω D Biên Dirichlet của ∂Ω ∂Ω N Biên Neumann của ∂Ω H1 Không gian hàm Sobolev mà có giá trị triệt tiêu trên ∂Ω D n Vec-tơ pháp tuyến (hướng ra ngoài) trên biên ∂Ω N V Vec-tơ hàm dạng tại các nút trên miền Ω M Vec-tơ hàm dạng tại các nút trên miền Ωx N Vec-tơ hàm dạng tại các nút trên miền Ωy Nnod Tổng số nút trên miền Ω Nnod_x Tổng số nút trên miền Ωx Nnod_y_ Tổng số nút trên miền Ωy X,R,F Hàm phụ thuộc trên miền Ωx Y,S,G Hàm phụ thuộc trên miền Ωy X,R,F Vec-tơ giá trị hàm X,R,F tại các nút trên miền Ωx xi Y,S,G Vec-tơ giá trị hàm Y,S,G tại các nút trên miền Ωy p Toán tử gradient  ,   x y  .u Toán tử divergence  2 u  p p   u u    y   x   2u  2u  Toán tử Laplace  2  2  y   x FEM Finite Element Method PGD Proper Generalized Decoposition PGD-FEM coupling Proper Generalized Decomposition and Finite Element Method MBS Multi-Bead Spring ROM Reduced-Order Model LATIN LArger Time INcremential POD Proper Orthogonal Decomposition SVD Singular Value Decomposition PDE Partial Differential Equations xii DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 2.1 Miền khảo sát và điều kiện biên của phương trình Poisson Hình 3.1 Miền khảo sát và điều kiên biên Dirichlet đồng nhất của phương trình Poisson Hình 3.2 Đồ thị của phương trình Poisson với f(x,y)=1000 cho ba phương pháp: giải tích, FEM, PGD-FEM tương ứng kiểu lưới 30 x 30 và 80 x 80. Hình 3.3 Đồ thị của phương trình Poisson với f(x,y)=x2-y2 cho hai phương pháp: FEM, PGD-FEM tương ứng kiểu lưới 30 x 30 và 80 x 80. Hình 3.4 Đồ thị lưới của phương trình Poisson cho điều kiên biên Dirichlet đồng nhất với hai trường hợp: f(x,y)=1000 và f(x,y)=x2-y2. Hình 3.5 Miền khảo sát và điều kiện biên hỗn hợp Dirichlet và Neumann của phương trình Poisson. Hình 3.6 Đồ thị của phương trình Poisson với f(x,y)=1000 cho hai phương pháp: FEM, PGD-FEM tương ứng kiểu lưới 30 x 30 và 80 x 80. Hình 3.7 Miền khảo sát và điều kiện biên của dòng chảy lid-driven cavity Hình 3.8 Đồ thị đường dòng (bên trái) và trường áp suất (bên phải) tại Re=400 với thời gian khác nhau (1.5s, 3s , 4.5s). Hình 3.9 Đồ thị đường dòng (bên trái) và trường áp suất(bên phải) tại Re=1500 với thời gian khác nhau ( 1.5s, 3s, 4.5s). Hình 3.10 Đồ thị đường dòng(bên trái) và trường áp suất(bên phải) tại Re=3000 với thời gian khác nhau ( 1.5s, 3s, 4.5s) xiii CHƢƠNG 1 Chƣơng 1 NG Q N 1.1 Tổng quan về hƣớng nghiên cứu Ngày này phương pháp số là một tên gọi đã trở nên quen thuộc và trở thành công cụ đắc lực cho các bài toán trong khoa học và kỹ thuật. Mặc dù đã có những tiến bộ, phát triển vượt bậc trong công nghệ máy tính và những kỹ thuật tính toán số nhưng nhiều bài toán vẫn còn bị hạn chế đặc biệt về mặt thời gian tính toán khi mà các phương pháp số rời rạc khó có thể giải quyết bởi tính phức tạp và mức độ yêu cầu ngày càng cao của bài toán. Có thể nêu ra một số vấn đề khó khăn đang gặp phải là: (i)bài toán có số chiều không gian khảo sát lớn mà thường gặp ở lĩnh vực cơ lượng tử, thuyết động học của lưu chất phức tạp [8], hay sinh học, hóa học [16]. Với khó khăn này, khi áp dụng phương pháp rời rạc thì độ phức tạp của bài toán tăng theo tỉ lệ hàm mũ với số chiều không gian của bài toán.(ii)bài toán liên quan đến khảo sát miền thời gian thực như khảo sát giàn khoan phụ thuộc vào thời gian thực [13].(iii) bài toán có miền khảo sát suy biến xuất hiện trong thanh, tấm, vỏ.(iv) bài toán liên quan đến những thông số, tham số khác (ngoài yếu tố không gian-thời gian vật lý thông thường) ví dụ khảo sát hệ số truyền nhiệt của vật liệu trong bài toán truyền nhiệt. Để khắc phục những vấn đề trên, một phương pháp mới đã ra đời trong vài năm gần đây góp phần bổ trợ, thúc đẩy trong việc phối hợp với phương pháp rời rạc truyền thống. Đó là phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD), một mô hình giảm bậc bài toán dựa trên cở sở tách biến giúp giảm một cách hiệu quả độ phức tạp của bài toán với tỉ lệ tuyến tính theo số chiều không gian so với tỉ lệ hàm mũ của phương pháp rời rạc truyền thống nên nó mang lại tính năng vượt trội trong thời gian xử lý cũng như đảm bảo độ chính xác so với phương pháp rời rạc truyền thống. Một số công trình nghiên cứu quốc tế nổi bật quan trọng liên quan trực tiếp đến quá trình nghiên cứu đề tài là: 1 CHƢƠNG 1 [4]: sử dụng phương pháp PGD để giải quyết vấn đề nhiều chiều cho bài toán Poisson với điều kiện đồng nhất mà thường gặp trong thuyết động học của lưu chất phức tạp và cũng mở rộng cho bài toán MBS (multi-bead-spring) của không gian hai, ba chiều. [13]: ứng dụng phương pháp PGD để giải quyết bài toán Navier-Stokes cho trường hợp lid-driven cavity với các hệ số Reynolds khác nhau và so sánh kết quả với phương pháp giải tích dựa trên hai tiêu chí: thời gian tính toán và độ chính xác. Vì thế sự kết hợp giữa phương pháp PGD và FEM (gọi tắt PGD-FEM) đã được bước đầu tiếp cận cho bài toán lưu chất để tìm qui luật ứng xử của dòng chảy lưu chất thông qua trường vận tốc, áp suất,… 1.2 Mục đích nghiên cứu, khách thể và đối tƣợng nghiên cứu. Mục đích nghiên cứu: Việc nghiên cứu phương pháp PGD-FEM sẽ bước đầu mở ra một hướng tiếp cận mới trong kỹ thuật tính toán số giúp giải quyết bài toán một cách hiệu quả, ưu việt hơn về mặt thời gian xử lý mà vẫn đảm bảo độ chính xác so với các phương pháp rời rạc truyền thống (FEM). Khách thể nghiên cứu: Với bài toán lưu chất của phương trình Navier-Stokes cho dòng chảy nhớt không nén, phụ thuộc thời gian trong trường hợp lid-driven cavity, ở đây tác giả chỉ khảo sát một khía cạnh của phương trình Navier-Stokes trong việc giải quyết phương trình Poisson áp suất 2D với những điều kiện biên khác nhau bằng phương pháp PGD-FEM. Đồng thời, tác giả cũng sẽ trình bày lại phương pháp FEM dựa trên kỹ thuật tham chiếu Chorin-Temam cho phương trình Navier-Stokes của dòng chảy nhớt không nén phụ thuộc thời gian trong trường hợp lid-driven cavity tạo cơ sở thuận lợi để hoàn thiện và mở rộng, phát triển những hướng nghiên cứu liên quan đến đề tài sau này. Đối tượng nghiên cứu: Tìm qui luật ứng xử, phân bố của dòng chảy lưu chất thông qua trường vận tốc, áp suất,…trong miền khảo sát của bài toán. 2 CHƢƠNG 1 1.3 Xác định nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu của đề tài. Nhiệm vụ nghiên cứu:  Tìm kiếm, thu thập và nghiên cứu các tài liệu trong ngoài nước liên quan đến đề tài.  Tiến hành xây dựng cơ sở lý thuyết cần thiết cho phương pháp PGD-FEM.  Xây dựng tiến trình giải và sơ đồ giải thuật của phương pháp PGD-FEM để giải bài toán lưu chất.  Lập trình tính toán và mô phỏng kết quả bằng ngôn ngữ lâp trình kỹ thuật Matlab trên máy tính.  So sánh kết quả giữa phương pháp PGD-FEM với phương pháp tham chiếu khác. Phạm vi nghiên cứu: Do còn những hạn chế nhất định trong qúa trình nghiên cứu từ phía tác giả, cũng như sự xuất hiện rất mới của phương pháp PGD trong vài năm trở lại đây nên tác giả sẽ giới hạn nghiên cứu một phần nhỏ của phương trình Navier-Stokes áp dụng cho dòng chảy nhớt không nén phụ thuộc thời gian trong không gian 2D bằng việc giải quyết phương trình Poisson áp suất với các trường hợp khác nhau của điều kiện biên bằng phương pháp PGDFEM. Đồng thời với phương trình Navier-Stokes cho dòng chảy nhớt không nén phụ thuộc thời gian trong không gian 2D, tác giả cũng sẽ tiếp cận đến mô hình giải bằng phương pháp FEM dựa trên phương pháp tham chiếu Chorin-Temam, tạo điều kiện để hoàn thiện, phát triển cho đề tài đang nghiên cứu trong tương lai. 1.4 Phƣơng pháp nghiên cứu. Sử dụng phần mềm Matlab hỗ trợ việc lập trình tính toán và mô phỏng trên máy tính laptop có cấu hình trung bình. Thực hiện phép so sánh kết quả giữa phương pháp PGD-FEM với phương pháp tham chiếu khác theo tiêu chí thời gian tính toán và độ chính xác. 3 CHƢƠNG 2 Chƣơng 2 CƠ SƠ LÝ H YẾT 2.1 Phƣơng pháp P ope Gene a i ed Decomposition (PGD)[5,6,7,9] 2.1.1 Định nghĩa Ngày nay việc mô phỏng số hóa cho những hệ thống lưu chất phức tạp đang đòi hỏi ngày càng cao trong khi khó có thể giải quyết một cách dễ dàng bởi các phương pháp số rời rạc thông thường. Với đề tài đang nghiên cứu ở đây, một trong những loại hình phương pháp số đã được quan tâm, chú ý và được đề xuất để khắc phục những khó khăn còn tồn tại của phương pháp số rời rạc là phương pháp số dựa trên mô hình giảm bậc của bài toán (ROM-reduced-order model) mà giúp hạn chế thời gian tính toán một cách hiệu quả. Mô hình giảm bậc nguyên thủy đã ra đời bởi tác giả Pierre Ladaveza cách đây nhiều năm trong hóa lượng tử với tên gọi phương pháp LATIN (LArger Time INcremential). Giả sử gọi u là đại lượng cần tìm của bài toán vật lý và được xấp xỉ như sau: n u(x, t )  a (t ). (x) i 1 i i (2.1) Trong đó, x là vec-tơ tọa độ trong không gian 2D,3D ; i(x) là hàm giảm bậc thứ i; n là kích thước của i(x), thông thường nhỏ hơn nhiều so với kích thước lưới chia của phương pháp rời rạc. Cùng với sự phát triển của phương pháp dựa trên ROM, ta có thể nhắc đến một trong những phương pháp phổ biến nhất dựa trên mô hình giảm bậc này trước đó là POD (Proper Orthogonal Decomposition)- mô hình tách biến dựa trên cơ sở trực giao- được hình thành dựa trên việc thiết lập một ma trận tương ứng với mỗi điểm thời gian rồi tiến hành tìm trị riêng và các vec-tơ riêng (λ ,Φi), i=1,…,Nn cho bài toán (Q QT)Φ =λΦ . Có thể hình dung phương pháp POD như sau: 4 CHƢƠNG 2 Giả sử u(x,t) là hàm thỏa mãn yêu cầu bài toán với x  IR D (D=1,2,3) và t  IR+ tại một nút lưới xi , ta có biến thời gian tương ứng t p=p x Δt với i=1: Nn và p =1:P. Gọi uPI ≡ u(xi , tp ) và lập một ma trận tương ứng Q dưới đây: u11 u 21 ... u P1    2 P u1 2 u 2 ... u 2  Q    u1Nn u 2 Nn ... u P Nn  Tuy nhiên,hạn chế của kỹ thuật này là đòi hỏi bước đầu phải xác định được ma trận Q nên thời gian tính toán dài. Đây là lí do tại sao mà cần phải không ngừng tiếp tục cải tiến, phát triển để tìm ra một phương pháp mới ưu việt hơn. Vì thế một mô hình giảm bậc tổng quát hơn đã ra đời trong vài năm trở lại đây, được phát triển đầu tiên bởi tác giả A.Ammar và F.Chinesta nhằm giải quyết phương trình Fokker-Plank cho bài toán MBS (multi-bead-spring) để tìm hàm phân bố xác suất ở không gian nhiều chiều, đó chính là phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD). Phương pháp này giúp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán PDE (Partial Differential Equations) được biểu diễn dưới dạng tổng của tích các hàm phụ thuộc mỗi biến số ở (2.2), ví dụ giả sử u là trường biến cần tìm phụ thuộc N biến số như sau: Q u( x1 ,x2 ,...,x N )   Fi ( x1 ). Fi ( x2 ) ... Fi ( xN ) (2.2) i 1 Trong đó, xi là biến không gian, thời gian hoặc tham số bất kỳ của bài toán thuộc miền khảo sát Ω  IRd, thông thường với d ≤ 3. Công thức (2.2) đã minh chứng cho tính năng vượt trội trong thời gian xử lý, cụ thể nếu mỗi biến xi rời rạc thành M bậc tự do thì tổng số biến cần tìm là Q x N x 5