Tài liệu ứng dụng phép biến đổi fourier cho phép biến đổi laplace ngược

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN VĂN ĐIỆP ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER CHO PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƢỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN VĂN ĐIỆP ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER CHO PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƢỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. NGUYỄN HUY LỢI HÀ NỘI, 2016 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tác giả chân thành cảm ơn PGS. TS. Nguyễn Huy Lợi đã tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Thạc sĩ. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô giáo và cán bộ công nhân viên của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm giúp đỡ. Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp ở Trung tâm GDTX và DN Yên Lạc đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả. Hà Nội, tháng 07 năm 2016 Tác giả Nguyễn Văn Điệp LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Huy Lợi. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Các kết quả trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 07 năm 2016 Tác giả Nguyễn Văn Điệp Mục lục MỞ ĐẦU 5 1 Phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Laplace 7 1.1. Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Phép biến đổi Laplace ngược . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1. Tìm hàm gốc qua công thức nghịch đảo . . . . . 14 1.3.2. Khai triển hàm gốc thành chuỗi lũy thừa . . . . . 16 1.3.3. Khai triển hàm gốc thành chuỗi lũy thừa suy rộng 18 2 Ứng dụng 20 2.1. Phép biến đổi Laplace ngược theo nghĩa phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.1. Trường hợp gốc f (x) giảm nhanh . . . . . . . . . 20 2.1.2. Trường hợp giá trị tuyệt đối của hàm ảnh F (p) giảm nhanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Công thức nội suy để tính tích phân Fourier . . . . . . . 24 2.2.1. Một vài chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 2.2.2. Phép nội suy đại số của hàm f (x) . . . . . . . . . 24 2.2.3. Phép nội suy bằng hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . 51 2.3. Công thức chính xác bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . 63 KẾT LUẬN 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 4 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Laplace là hai trong số các phép biến đổi tích phân có vai trò quan trọng trong toán học nói chung và trong giải tích phức nói riêng. Hai phép biến đổi này là hai phép biến đổi quan trọng thường được sử dụng trong việc giải các bài toán phức tạp như giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân, . . . Ngoài ra, hai phép biến đổi này còn có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực số học, hình học, vật lý, quang học và nhiều lĩnh vực khác. Hơn nữa, hai phép biến đổi này còn có mối quan hệ bổ trợ lẫn nhau trong việc giải các bài toán, là công cụ tính toán hữu ích cho việc giải các bài toán thực tiễn cụ thể. Với mong muốn nghiên cứu và tìm hiểu sâu về mối quan hệ của hai phép biến đổi này và ứng dụng của nó trong lý thuyết và thực tiễn, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Huy Lợi tôi đã chọn đề tài "Ứng dụng phép biến đổi Fourier cho phép biến đổi Laplace ngược" để nghiên cứu dựa trên tài liệu tham khảo chính [3]. 2. Mục đích nghiên cứu. Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản của phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Laplace và phép biến đổi Laplace ngược sau đó nêu ra ứng dụng của phép biến đổi Fourier cho phép biến đổi Laplace ngược. 5 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. Nghiên cứu về ứng dụng của phép biến đổi Fourier cho phép biến đổi Laplace ngược. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu ứng dụng phép biến đổi Fourier cho phép biến đổi Laplace để đưa các bài toán phức tạp trở nên đơn giản hơn. 5. Phương pháp nghiên cứu − Đọc sách, nghiên cứu tài liệu. − Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 6. Giả thuyết khoa học. Hiểu rõ bản chất của phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Laplace ngược và tìm được mối quan hệ bổ trợ giữa chúng để giải các bài toán. 6 Chương 1 Phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Laplace 1.1. Phép biến đổi Fourier. Xét tích phân kép 1 π Z∞ Z∞ f (t) cos u (x − t) dt du 0 (1.1) −∞ và giả sử hàm f là khả tích tuyệt đối trên trục số thực −∞ < t < ∞. Trong tích phân t sẽ hội tụ tuyệt đối với mọi giá trị của x và u, và sự hội tụ là đều. Giống như sự hội tụ của tích phân kép (1.1) và trị số của nó. Định lý 1.1 dưới đây là điều kiện đủ. Chú ý sau đây sẽ cho chúng ta hiểu rõ hơn về vấn đề này. Chú ý. Giả sử một hàm f (x) với giá trị hữu hạn trên đoạn [a, b]. Chia đoạn [a, b] bởi hữu hạn các điểm x0 = a < x1 < ... < xn = b. n−1 P Lập tổng V (x0 , x1 , ..., xn ) = |f (xk+1 ) − f (xk )|. k=0 Cận trên của tổng V (x1 , x2 , ..., xn ), V ar (f ) = sup V (x0 , x1 , ..., xn ) a≤x≤b x1 ,...,xn được gọi là tổng biến phân toàn phần của f trên đoạn [a, b]. Nếu V ar (f ) a≤x≤b là giá trị hữu hạn thì ta nói f là hàm biến phân bị chặn trên [a, b]. 7 Định lý 1.1. Cho hàm f (t) khả tích tuyệt đối trên trục số thực −∞ < t < ∞. Nếu trên đoạn [a, b] đã cho chứa một điểm x hàm f có biến phân bị chặn, khi đó phương trình sau là đúng: Z∞ Z∞ 1 1 [f (x + 0) + f (x − 0)] = du f (t) cos u (x − t) dt. 2 π (1.2) −∞ 0 Nhưng nếu f là hàm biến phân bị chặn trên [a, b] và liên tục trên đoạn [a, b] thì 1 f (x) = π Z∞ Z∞ f (t) cos u (x − t) dt. du 0 (1.3) −∞ Ở đây, tích phân kép hội tụ tới f (x) đều theo x ở trong đoạn con đóng bất kỳ của đoạn [a, b]. Các phương trình (1.2) và (1.3) được gọi là công thức Fourier. Từ giờ chúng ta sẽ giả sử rằng f (t) có biến phân bị chặn trên mọi đoạn hữu hạn của trục t. Khi đó (1.2) là đúng đối với tất cả giá trị hữu hạn của x. Bên cạnh đó, để đơn giản chúng ta sẽ thừa nhận tất cả gián đoạn của f 1 là “đều” và hệ thức f (x) = [f (x + 0) + f (x − 0)] đúng tại mọi điểm 2 x. Khi đó dưới điều kiện này thì phương trình (1.2) và (1.3) sẽ có cùng một dạng và từ bây giờ chúng ta sẽ sử dụng (1.3). Chúng ta có thể làm cho tích phân Fourier đối xứng hơn nếu chúng ta phức hóa và thay thế hàm lượng giác bởi biểu diễn nó dưới dạng hàm số mũ 1 π Z∞ Z∞ f (t) cos u (x − t) dt du 0 −∞ 1 = 2π Z∞ Z∞ du 0 h f (t) e −∞ 8 iu(x−t) −iu(x−t) +e i dt. Nếu thực hiện lấy tích phân và nếu trong phần đầu của tích phân chúng ta thay thế biến u bởi biến −u, nó có thể quy công thức Fourier (1.3) thành dạng: 1 f (x) = 2π Z∞ e−ixu du −∞ Z∞ f (t)eiut dt. (1.4) −∞ Phương trình này được gọi là công thức Fourier phức, nó là liên thông quan hệ nghịch đảo của cặp hàm: Z∞ ϕ (u) = f (t) eiut dt. (1.5) ϕ (u) e−ixu du. (1.6) −∞ 1 f (x) = 2π Z∞ −∞ Định nghĩa 1.1. Cặp hàm (1.5) và (1.6) được gọi là phép biến đổi Fourier phức và mang hàm gốc f vào trong ảnh của hàm ϕ. Phương trình (1.6) cho ta một quy tắc chuyển tiếp từ ảnh ϕ vào gốc f . Bây giờ chúng ta cho hai công thức đặc biệt của công thức Fourier mà tương đương với công thức (1.3). Nếu chúng ta quy về biểu thức cho cosin của hai đối số khác nhau, thì (1.3) tương đương với khai triển chuỗi Fourier của hàm Z∞ f (x) = [a (u) cos ux + b (u) sin ux] du. 0 Trong đó a (u) = b (u) = 1 π 1 π Z∞ f (t) cos utdt, −∞ Z∞ f (t) sin utdt. −∞ 9 (1.7) 2 Khi f là hàm chẵn thì a (u) = π Z∞ f (t) cos utdt, và (1.7) là công thức −∞ Fourier cosine: 2 f (x) = π Z∞ Z∞ f (t) cosutdt, (0 ≤ x ≤ ∞) . cos xudu 0 (1.8) 0 Tương tự, nếu f là hàm lẻ thì (1.7) là công thức Fourier sine: Z∞ Z∞ 2 f (x) = sin uxdu f (t) sin utdt, (0 ≤ x ≤ ∞) . π 0 (1.9) 0 Công thức (1.3) là tổng hợp của hai công thức (1.8) và (1.9). Thật vậy, mọi hàm f có thể biểu diễn bằng tổng của các hàm chẵn và lẻ: f (x) = g (x) + h (x) . Trong đó 1 [f (x) + f (−x)] , 2 1 h (x) = [f (x) − f (−x)] . 2 Tích phân trong công thức (1.3) sẽ được biểu diễn qua biểu thức của g g (x) = và h: Z∞ Z∞ f (t) cos u (x − t) dt = 2 cos xu −∞ g (t) cos utdt 0 Z∞ + 2 sin xu h (t) sin utdt. 0 Từ công thức (1.3) ta có: 2 f (x) = g (x) + h (x) = π + 2 π Z∞ Z∞ cos xudu 0 Z∞ g (t) cos utdt 0 Z∞ sin xudu 0 10 h (t) sin utdt. 0 Công thức Fourier cosine (1.8) là mối liên hệ giữa hai hàm f và ϕc : Z∞ f (t) cos utdt, (0 ≤ x ≤ ∞) , ϕc (u) = (1.10) 0 2 f (x) = π Z∞ ϕc (u) cos xudu. (1.11) 0 Đầu tiên là phép biến đổi Fourier cosine của hàm gốc f vào hàm ảnh ϕc , sau đó là phép biến đổi ngược lại. Công thức Fourier sine (1.9) là công thức ngược giữa hàm f và hàm ϕc : Z∞ f (t) sin utdt, (0 ≤ x ≤ ∞) , ϕc (u) = (1.12) 0 2 f (x) = π Z∞ ϕc (u) sin xudu. (1.13) 0 Phương trình (1.12) gọi là biến đổi Fourier sine và phương trình (1.13) gọi là phép biến đổi ngược của nó. Ta thấy rằng biến đổi Fourier phức (1.5) dễ dàng rút gọn được các phép biến đổi (1.10) và (1.12). Trong biến đổi (1.5), thế f (x) bởi các khai triển chẵn và lẻ của nó: f (x) = g(x) + h(x) ở đây g(x) và h(x) đã được chỉ ra ở trên: Z∞ ϕ (u) = −∞ f (t) eiut dt = Z∞ [g (t) + h (t)] [cos ut + i sin ut] dt −∞ Z∞ =2 Z∞ g (t) cos utdt + 2i 0 h (t) sin utdt 0 = 2gc (u) + 2ihs (u) . 11 Vì vậy biến đổi phức (1.5) là một tổ hợp tuyến tính của biến đổi Fourier cosine và biến đổi Fourier sine. 1.2. Phép biến đổi Laplace Định nghĩa 1.2. Hàm gốc là tập hợp các hàm f của biến số thực t sao cho tích phân Z∞ F (s) = f (t) e−st dt (1.14) 0 hội tụ đối với một số phức s thỏa mãn các điều kiện sau: (1) f (t) = 0 khi t < 0; (2) Hàm f (t) và các đạo hàm cấp cao của nó liên tục từng khúc (nghĩa là hàm liên tục trừ một số điểm gián đoạn hữu hạn mà tại đó hàm có giới hạn trái và giới hạn phải hữu hạn); (3) Khi t → ∞, hàm f (t) có cấp tăng bị chặn, tức là tồn tại hằng số α0 và số M > 0 với mọi t > 0 sao cho: ∀t ≥ 0 : |f (t)| ≤ M eα0 t . (1.15) Ký hiệu p = inf {α0 } với α0 thỏa mãn (1.15) thì số p được gọi là chỉ số tăng của f (t). Ví dụ 1.1. Chứng minh rằng hàm đơn vị sau đây là hàm gốc   1, t ≥ 0 η (t) =  0, t < 0 Rõ ràng điều kiện (1) và (2) được thỏa mãn. Đối với điều kiện (3) ta có thể lấy M = 2; α0 = 0 sẽ có ngay |η (t)| ≤ 2e0t = 2. 12 Vậy η (t) là hàm gốc. Ví dụ 1.2. Chứng minh rằng hàm số sau đây là hàm gốc   t2 , t ≥ 0 2 f (t) = t η (t) =  0, t < 0 Điều kiện (1) và (2) rõ ràng được thỏa mãn. Đối với điều kiện (3) ta thấy rằng: t2 t3 e = 1 + t + + + ... 2! 3! 2 t nên khi t ≥ 0, rõ ràng et > hay t2 < 2et . 2! Từ đó suy ra với mọi t ta đều có:   |f (t)| = t2 η (t) < 2et t có nghĩa là điều kiện (3) được thỏa mãn, ở đây coi M = 2; α0 = 0. Định nghĩa 1.3. Hàm ảnh của hàm gốc f (t) là hàm phức F (s) biến số phức s = α + iβ xác định bởi tích phân Laplace (1.14). Phép biến đổi từ hàm gốc f (t) sang hàm ảnh xác định bởi công thức (1.14) được gọi là phép biến đổi Laplace. Ký hiệu là: F (s) = L {f (t)} .   1, t ≥ 0 Ví dụ 1.3. Xét hàm số đơn vị: η (t) =  0, t < 0 Biến đổi Laplace của η là: ∞ Z∞  1 1 F (p) = e−pt dt = − e−pt  = với Rep > 0. p p 0 0 Ví dụ 1.4. Xét hàm mũ f (t) = eαt . Biến đổi Laplace của f là: Z∞ Z∞ F (p) = eαt e−pt dt = e(α−p)t dt = 0 0 13 ∞ 1 (α−p)t  1 −1 e = . =  α−p α−p p−α 0 1.3. Phép biến đổi Laplace ngược Định nghĩa 1.4. Phép biến đổi Laplace ngược của hàm F (s) là hàm f (t) liên tục trên [0; +∞) và thỏa mãn L {f (t)} = F (s) . Ký hiệu: f (t) = L−1 {F (s)} . Ví dụ 1.5. Ta có: L t
3 3! = 4 ⇒ L−1 s  6 s4  = t3 . 1.3.1. Tìm hàm gốc qua công thức nghịch đảo a. Khai triển hàm gốc trong chuỗi số hạng của hàm mũ Cho một lớp quan trọng của hàm ảnh F (p), chúng ta có thể thu được một chuỗi khai triển của hàm gốc có các số hạng tương ứng với các điểm kì dị của hàm ảnh. Như vậy, định lí dưới đây luôn đúng: Định lý 1.2. Giả sử (1) Hàm F(p) là một hàm chỉnh hình; (2) Hàm F(p) là hàm giải tích trong nửa mặt phẳng Rep > α; (3) Tồn tại hệ đường tròn: Cn : |p| = Rn , R1 < R2 < ... (Rn → ∞) trong đó F(p) tiến đến 0 với đối số p; c+i∞ Z (4) Với mọi c > α thì tích phân F (p) dp hội tụ tuyệt đối. c−i∞ Khi đó, với hàm gốc F(p) ta có: f (t) = X pk res F (p) ept . pk (1.16) Trong đó phần dư được tính bằng tất cả các cực của hàm số F(p) và tổng này là nhóm các cực nằm trên phạm vi hình tròn Cn kế bên. 14 Như đã biết, F (p) là hàm ảnh của: 1 f (t) = 2πi c+i∞ Z ept F (p) dp. (1.17) c−i∞ Kí hiệu C 0n là một phần của đường tròn C n nằm bên trái đường thẳng Re p = c, với c ± ibn , giao điểm của đường thẳng này với đường tròn C n và Γn , chu tuyến đóng được tạo ra bởi phần và cung C 0n theo ngược chiều kim đồng hồ. Từ bồ để Lemma, với t > 0 ta có: Z ept F (p)dp = 0. lim n→∞ C 0n Tích phân trong (1.17) có thể được thay bằng tích phân sau đây: Z 1 f (t) = lim ept F (p)dp = 0 (1.18) n→∞ 2πi Γn sử dụng định lí phần dư Cauchy, ta có X f (t) = lim res F (p)ept n→∞ Γn pk ở đây phần dư được tính ở tất cả các điểm kì dị của F (p) nằm trong I 0n . Phương trình mà ta thu được chứng minh cho định lí. b. Những trường hợp đặc biệt trong khai triển hàm gốc trong chuỗi số hạng của các hàm mũ Xét trường hợp F (p) là một hàm phân thức hữu tỉ, chúng ta có: A (p) làm một hàm phân thức hữu tỉ và Định lý 1.3. Nếu hàm F (p) = B (p) bậc của đa thức A nhỏ hơn bậc của đa thức B thì hàm gốc của nó là: f (t) = n X k=1 1 dnk −1  lim nk −1 F (p)(p − pk )nk ept (nk − 1)! p→pk dp (1.19) tại đó, pk là các cực của F (p), và nk là bội số, tổng sẽ được tính bằng tất cả các cực. 15 Chứng minh. Trước tiên cần lưu ý rằng F (p) là một hàm ảnh. Điều này suy ra từ định lí về khai triển phân thức đơn giản của một hàm phân thức hữu tỉ, từ sự tuyến tính của phép biến đổi Laplace và từ tính khả dụng của công thức: tn ep0 t = n! (p − p0 )n+1 tại đó hàm ảnh nằm ở phía bên phải, hàm gốc nằm ở phía bên trái. Do đó: 1 f (t) = 2πi c+i∞ Z ept F (p) dp (1.20) c−i∞ tại đó, c > max Re pk là các cực của F (p). Từ định lí trên suy ra, tích phân (1.20) có thể được thay bằng tích phân (1.18) vì bổ đề Jordan có thể áp dụng dựa trên cơ sở là F (p) → 0 khi p → ∞. Áp dụng định lí phần dư đối với tích phân (1.18) và công thức 1 dn−1 resf (a) = lim n−1 [(z − a)n f (z)] (n − 1)! z→a dz để tính phần dư tại các cực, ta suy ra công thức (1.19). Đặc biệt, nếu tất cả đều là các cực điểm đơn thì (1.19) có thể được rút gọn thành: n X A (pk ) pk t e . f (t) = B 0 (pk ) (1.21) k=1 1.3.2. Khai triển hàm gốc thành chuỗi lũy thừa Giả sử hàm ảnh F (p) là một hàm giải tích tại một điểm ở vô cực. Như ta đã biết, từ phép tính toán tử F (∞) = 0. Khai triển hàm F (p) trong chuỗi Laurent về điểm tại vô cực và chỉ ra rằng có thể tìm ra hàm gốc bằng cách tính tổng các phần tử gốc của các số hạng trong phép khai tn−1 1 triển này. Cho biết hàm là hàm gốc của n , ta có định lí sau: (n − 1)! p 16 Định lý 1.4. Nếu F (p) là giải tích tại điểm vô cực và trên miền lân cận có một phép khai triển Laurent: F (p) = ∞ X ck k=1 pk (1.22) thì hàm gốc của F (p) là: f (p) = ∞ X k=1 ck tk−1 (k − 1)! (1.23) đây là một hàm nguyên. Chứng minh. Theo giả thiết của định lí, hàm F (p) làmột  hàm giải tích 1 1 trên đường tròn |p| ≥ R. Cho p = và F (p) = F = Φ (q). Hàm q q ∞ X 1 Φ (q) = ck q k sẽ là hàm giải tích trên đường tròn |q| ≤ và dựa trên R k=1 cơ sở của bất đẳng thức Cauchy thì bất đẳng thức dưới đây sẽ đúng với các hệ số của nó: |ck | ≤ M Rk , (k = 1, 2, ...) . Từ bất đẳng thức vừa thu được, với mọi t ta có: f (t) ≤ ∞ X k=1 ∞ X (R |t|)k |t|k−1 |ck | ≤ MR = M ReR|t| . (k − 1)! k! (1.24) k=0 Từ đó ta thấy rõ, chuỗi (1.23) hội tụ trên toàn mặt phẳng t, có nghĩa là f (t) là một hàm nguyên của biến t. Từ bất đẳng thức (1.24), ta có thể suy ra trực tiếp rằng với t > 0 thì: |f (t)| ≤ CeRt . Mở rộng chuỗi (1.23) với e−pt , ta có chuỗi cùng hội tụ với mọi giá trị t, nghĩa là nó có thể thu được tích phân theo t chạy từ 0 đến vô cùng. Khi đó 17 Z∞ e−pt f (t)dt = 0 = Ta có: F (p) = ∞ X ck k=1 pk Z∞ X ∞ ∞ X tk−1 −pt ck e dt = ck (k − 1)! k=1 0 k=1 ∞ X ck . pk k=1 Z∞ tk−1 −pt e dt (k − 1)! 0 đã được chứng minh. 1.3.3. Khai triển hàm gốc thành chuỗi lũy thừa suy rộng Định lý 1.5. Cho F (p) → 0 khi p → ∞, Rep < c (c là một số dương), và trên mặt phẳng p hữu hạn không có điểm kì dị nào trừ gốc tọa độ p = 0, hay chính là điểm nhánh của kiểu lũy thừa. Khi đó, từ việc khai triển F (p) thành một chuỗi lũy thừa suy rộng có dạng: F (p) = p α ∞ X ck pkβ (1.25) k=0 mà tại đó β là một số dương, ta suy ra hàm gốc của F (p) là chuỗi: f (t) = ∞ 1 X tα+1 k=0 ck 1 kβ Γ (−α − kβ) t (1.26) ngoại trừ tất cả các số hạng của tích phân là những số không âm α + kβ. ∗ Chứng minh. Xét chu tuyến kín CR,r được tạo ra từ đoạn [c − ib, c + ib] và cung C 0R của đường tròn |p| = R, Rep < c, Imp < c, cung C 00R của cùng đường tròn đã xác định bởi bất đẳng thức Rep < c và Imp < c, mặt cắt hai phần dọc theo trục thực −R < Rep < −r và đường tròn Cr : |p| = r. Khi đó hàm ept F (p) là một hàm giải tích trong chu tuyến ∗ ∗ CR,r , thì tích phân của hàm này theo chu tuyến CR,r bằng 0, do đó, tích phân trên đoạn [c − ib, c + ib] có thể được thay thế bằng một tích phân trên đoạn cũ của chu tuyến. Đồng thời, dựa vào bổ đề Jordan, với t > 0 18