ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CMBĐT-TÌM GTLN, GTNN
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Tác giả: Tô Ngọc Dũng
Tổ: Toán – Tin
Giáo viên trường THPT Nguyễn Viết Xuân
Đối tượng học sinh: Lớp 12, Ôn thi ĐH – CĐ
Số tiết dự kiến: 7T trên lớp- 14T ở nhà
A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Các bài toán về bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất luôn gây khó
khăn cho không ít học sinh trong quá trình học tập. Các bài toán dạng này cũng thường
xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi và thi đại học, cao đẳng. Nó thường là các bài toán
hay và khó nhất trong đề thi. Phần lớn là các em học sinh nếu gặp bài toán loại này thì
thường bỏ qua và chỉ có một số ít học sinh làm được trọn vẹn nó.
Trong các kì thi học sinh giỏi và thi đại học cao đẳng mấy năm gần đây có rất
nhiều bài toán về bất đẳng thức và về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Trong số các bài toán đó
thì có một số bài toán ta chỉ cần sử dụng đạo hàm một cách khéo léo là ta có thể giải
quyết được trọn vẹn bài toán. Tuy nhiên để nhìn nhận ra các bài toán về bất đẳng thức,
hay tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà sử dụng được đạo hàm để giải là một điều
không hề đơn giản chút nào. Vậy có cách nào để nhìn ra được một bài toán về bất đẳng
thức, hay về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà sử dụng đạo hàm để giải hay không? Và
nếu có thì phải giải bài toán đó như thế nào?
Chuyên đề “ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CMBĐT-TÌM GTLN, GTNN”
được viết nhằm giúp các em học sinh có thêm kĩ năng biến đổi, giải các bài toán bất đẳng
thức để bước vào các kì thi đạt được kết quả tốt hơn.
B: NỘI DUNG
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I1. Đạo hàm
1. Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a; b và điểm x0 thuộc khoảng đó. Giới
f x f x0
khi x dần đến x0 được gọi là đạo hàm của
x x0
x0 hoặc y�
x0 .
hàm số đã cho tại điểm x0 , kí hiệu là: f �
hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số:
TÔ NGỌC DŨNG-THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN
[email protected]
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CMBĐT-TÌM GTLN, GTNN
f�
x0 lim
x � x0
f x f x0
x x0
y
x0 lim
Hay: f �
trong đó: x x x0 và y f x0 x f x0 .
x �0
x
2. Khái niệm đạo hàm của hàm số trên một khoảng
Hàm số y f x được gọi là có đạo hàm trên khoảng a; b nếu nó có đạo hàm tại
mọi điểm trên khoảng đó.
3. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số
Hàm số y f x đồng biến trên khoảng a; b � x1 , x2 � a; b mà x1 x2 thì
f x1 f x2 .
Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng a; b � x1 , x2 � a; b mà x1 x2 thì
f x1 f x2 .
x 0 với x � a; b thì hàm số y f x đồng biến trên a; b
Nếu f �
x 0 với x � a; b thì hàm số y f x nghịch biến trên a; b
Nếu f �
x �0 (hoặc f �
x �0 ) và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên
Nếu f �
khoảng a; b thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đó.
4. Cực trị của hàm số
x đổi dấu khi x qua điểm x0
Hàm số đạt cực trị tại điểm x x0 � f �
Cụ thể:
x đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm
Nếu f �
số đạt cực tiểu tại điểm x0 .
x đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm
Nếu f �
số đạt cực đại tại điểm x0 .
5. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Giả sử hàm số y f x liên tục trên đoạn a; b . Khi đó:
Nếu hàm số y f x có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm tại một số hữu
hạn điểm x1 , x2 ,..., xn thuộc a; b thì:
Max f x Max f x1 , f x2 ,..., f xn , f a , f b
x� a ;b
Min f x Min f x1 , f x2 ,..., f xn , f a , f b
x� a ;b
Nếu hàm số y f x đồng biến trên đoạn a; b thì:
Min f x f a và Max f x f b
x� a ;b
x� a ;b
Nếu hàm số y f x nghịch biến trên đoạn a; b thì:
TÔ NGỌC DŨNG-THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN
[email protected]
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CMBĐT-TÌM GTLN, GTNN
Min f x f b và Max f x f a .
x� a ;b
x� a ;b
I2. Một số bất đẳng thức cơ bản hay áp dụng
2
Cho hai số thực x, y ta có: x y �4 xy. Dấu đẳng thức xảy ra khi x y .
1 1
4
Cho hai số thực dương x, y ta có: x y �x y . Dấu đẳng thức xảy ra khi x y .
1 1 1
9
Cho ba số thực dương x, y, z ta có: x y z �x y z . Dấu đẳng thức xảy ra khi
x yz.
Cho ba số thực x, y, z ta có: x 2 y 2 z 2 �xy yz zx . Dấu đẳng thức xảy ra khi
x yz.
Cho n số thực không âm a1 , a2 ,..., an ta có: a1 a2 ... an �n. n a1.a2 ...an (bất đẳng thức
Cauchy). Dấu đẳng thức xảy ra khi a1 a2 ... an .
Cho hai bộ n số: a1 , a2 ,..., an và b1 , b2 ,..., bn ta có:
2
a1b1 a2b2 ... anbn � a12 a22 ... an2 b12 b22 ... bn2 (bất đẳng thức Bunhiacôpxki).
Dấu đẳng thức xảy ra khi hai bộ số tỷ lệ.
II.
PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
Ý tưởng của phương pháp này là:
Nếu trong bài toán có chứa một biến thì ta chỉ việc dùng đạo hàm khảo sát hàm
số đó.
Nếu trong bài toán có chứa nhiều biến thì ta cố gắng đưa bài toán đó về bài toán
có chứa một biến. Cách làm thông thường là từ điều kiện của bài toán ta có thể
đặt ẩn phụ để đưa bài toán về một biến mới (cách đặt này là cực kì quan trọng),
sau đó dùng đạo hàm khảo sát hàm số một biến đó.
III. CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA
Dạng 1: Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và
chứng minh bất đẳng thức có chứa một biến
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định được miền giá trị của ẩn
Bước 2: Lựa chọn hàm số cho phù hợp
Bước 3: Tính đạo hàm và khảo sát hàm số trên miền giá trị của ẩn
Bước 4: Suy ra kết quả bài toán
TÔ NGỌC DŨNG-THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN
[email protected]
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CMBĐT-TÌM GTLN, GTNN
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y x 2 x 1 x 2 x 1 trên �.
Giải:
Xét hàm số f ( x) x 2 x 1 x 2 x 1 trên �.
x
Ta có: f �
2x 1
2 x x 1
2
2x 1
2 x2 x 1
f�
x 0 � 2 x 1 x 2 x 1 1 2 x x 2 x 1 � 2 x 1
x 0 .
Thử lại x 0 thỏa mãn f �
Bảng biến thiên:
2
x
2
x 1 1 2 x
2
x
2
x 1 � x 0
x
�
0
�
f�
x
-
0
+
�
�
f x
2
f x 2 � x 0
Từ bảng biến thiên suy ra min y min
x��
Nhận xét: Sử dụng đạo hàm đối với bài này là không khó. Tuy nhiên học sinh lại khá
x 0
lung túng trong việc giải phương trình f �
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y
3. x 3 4. 1 x 1
.
4. x 3 3. 1 x 1
Giải:
Hàm số xác định với x � 3;1
Xét hàm số f x
3. x 3 4. 1 x 1
trên đoạn 3;1
4. x 3 3. 1 x 1
Ta có:
7 1 x
1
7 x3
1
.
.
f�
x 2 x 3 2. x 3 2 1 x 2 2. 1 x 0, x � 3;1
4. x 3 3. 1 x 1
� f x nghịch biến trên đoạn 3;1
7
9
Do đó: f 1 �f x �f 3 , x � 3;1
9
7
Vậy:
9
7
Max y � x 3
TÔ NGỌC DŨNG-THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN
[email protected]
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CMBĐT-TÌM GTLN, GTNN
7
9
Min y � x 1 .
Nhận xét: Đây là bài toán không phải là khó. Tuy nhiên bài toán này thường gây khó
khăn cho một số lượng lớn học sinh vì tính đạo hàm hơi phức tạp. Chỉ cần đạo hàm tốt là
làm được bài toán này.
Bài 3: (HSG-VP-2010)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P
5 4a 1 a
5 4a 2. 1 a 6
5
trong đó a là tham số thực và 1 �a � .
4
Giải:
5 4a 1 a
� 5�
1;
trên đoạn �
� 4�
�
5 4a 2. 1 a 6
3 5 4a
1 a
12
3
.
6.
5�
5 4a
5 4a
1 a 0, a ��
Ta có: f �
1; �
a 2 1 a
�
2
� 4�
5 4a 2. 1 a 6
Xét hàm số: f a
� 5�
� f a nghịch biến trên đoạn �
1;
� 4�
�
1
1
�5 �
� 5�
1; �
Do đó ta có: f � ��f a �f 1 , a ��
6
3
�4 �
� 4�
Vậy:
1
3
Max P � a 1
1
6
5
4
Min P � x .
Nhận xét: Bài toán này về hình thức và cách giải tương tự với bài toán trên, thậm chí còn
dễ hơn bài toán trên một chút.
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y 3 x 4 2 x 2 1 3 3 x 2 1 3.
Giải:
Đặt t 3 x 2 1, t �1 � t 2 3 x 4 2 x 2 1
2
Khi đó hàm số đã cho trở thành y f t t 3t 3 với t �1
t 2t 3, f �
t 0 � t
Ta có: f �
3
2
Bảng biến thiên:
t
1
3
2
�
TÔ NGỌC DŨNG-THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN
[email protected]
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CMBĐT-TÌM GTLN, GTNN
f�
t
-
+
0
�
1
f t
3
4
3
3
3
19
Từ bảng biến thiên suy ra min y min f t 4 � t 2 hay 3 x 2 1 � x � .
t� 1; �
2
8
Nhận xét: Đây là một bài toán khá là đơn giản, tuy nhiên nếu học sinh đạo hàm ngay
hàm số ban đầu như các bài trước mà không biết đặt ẩn phụ thì vô tình bài toán lại trở lên
khó khăn. Do đó học sinh cần phải linh hoạt hơn trong việc giải toán.
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P
x x x 12
.
5 x 4 x
Giải:
Biểu thức P xác định khi 0 �x �4
Cách 1: Đạo hàm trực tiếp rồi suy ra kết luận của bài toán.
Cách 2: Vẫn dùng đạo hàm, nhưng ta nhân lượng liên hợp sau đó mới đạo hàm. Cách 2
dễ làm hơn cách 1.
Cả hai cách làm trên khi đạo hàm cần phải tỉ mỉ chính xác, đôi khi không cẩn thận thì sẽ
rất dễ bị nhầm lẫn, nói chung là tương đối phức tạp. Vậy có cách nào đơn giản hơn mà
tránh được sự nhầm lẫn không? Chúng ta xem xét cách làm sau đây:
Cách 3:
x x x 12
trên đoạn 0; 4
5 x 4 x
Đặt g x x x x 12 0, x � 0; 4 và h x 5 x 4 x 0, x � 0; 4
Xét hàm số: f x
Ta có:
3
1
0, x � 0; 4
x . x
g�
2
2. x 12
x
h�
1
1
0, x � 0; 4
2. 5 x 2. 4 x
1
Do đó ta thấy g x 0 và tăng trên đoạn 0; 4 ; h x 0 và giảm trên đoạn 0; 4 nên h x
tăng
�
trên
đoạn
0; 4 . Từ đó suy ra
f x
g x
h x
tăng
trên
đoạn
0; 4
12
f 0 �f x �f 4 12, x � 0; 4
52
Vậy:
12
� x0
52
Max P 12 � x 4 .
Min P
TÔ NGỌC DŨNG-THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN
[email protected]
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CMBĐT-TÌM GTLN, GTNN
Nhận xét: Đây là cách giải khá độc đáo nhưng không phải học sinh nào cũng nhìn ra
được. Cách giải này chưa được đề cập nhiều nên học sinh sẽ thấy rất lạ và khó có thể làm
theo cách này.
2
x
Bài 6: Cho số thực dương x . Chứng minh rằng: e x 1 x .
2
Giải:
x2
x2
x
Ta có: e 1 x � e x 1 0
2
2
2
x
Xét hàm số: f x e x x 1 trên khoảng 0; �
2
x
Ta có:
�
f�
x e x x 1, f �
x e x 1 0, x � 0; �
x đồng biến trên khoảng 0; � � f �
x f �
0 0, x � 0; � � f x đồng
Suy ra f �
biến trên khoảng 0; � , do đó f x f 0 0, x � 0; �
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Nhận xét: Thông thường học sinh chỉ đạo hàm đến cấp 1 do đó khi giải bài toán này sẽ
rất lúng túng. Và vì thế mà học sinh lầm tưởng rằng bài toán trên là rất khó. Tuy nhiên
nếu học sinh mà tinh ý, biết đạo hàm tiếp đến cấp 2 thì bài toán trên lại được giải một
cách rất nhẹ nhàng mà không cần phải đao to, búa lớn gì cả.
Dạng 2: Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và
chứng minh bất đẳng thức có chứa nhiều biến
Phương pháp giải:
Bước 1: Biến đổi bài toán để tìm ra cách đặt ẩn phụ
Bước 2: Từ điều kiện của bài toán tìm miền giá trị của ẩn phụ
Bước 3: Lựa chọn hàm số cho phù hợp
Bước 4: Khảo sát hàm số theo biến mới, sau đó suy ra kết quả bài toán
Bài 1 (HSG tỉnh Vĩnh Phúc)
1
a
1
b
Cho a, b 0 và a b �1 . Chứng minh rằng: a b �5 .
Giải:
1
a
1
b
1
a
1
b
4
a b
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a b ( ) �4 � �
1 1
a b
Đặt t a b, t � 0;1
Khi đó: a b �a b
4
a b
(1)
4
t
Xét hàm số f t t , t � 0;1 .
TÔ NGỌC DŨNG-THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN
[email protected]
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CMBĐT-TÌM GTLN, GTNN
t2 4
0, t � 0;1 suy ra hàm số f t nghịch biến trên
t2
4
f t �f 1 5, t � 0;1 hay a b
�5 (2)
ab
1 1
1
Từ (1) và (2) suy ra a b �5 (đpcm). Dấu “=” xảy ra khi a b .
a b
2
Ta có: f �
t
0;1 . Do đó
Nhận xét: Để làm được bài tập này học sinh cần nắm chắc một số bất đẳng thức, rồi vận
chúng vào tìm điều kiện của ẩn. Thường là những học sinh khá giỏi mới làm được. Bài
này cũng có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy để giải.
Bài 2: Cho a, b 0 và a b �1 . Chứng minh rằng: a b
1 1
�9 .
a 2 b2
Giải:
2
1 1 1 �1 1 �
8
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có: a 2 b2 �2 �a b ��
2
�
� a b
1
1
8
Khi đó: a b a 2 b2 �a b a b 2
(1)
Đặt t a b, t � 0;1
Xét hàm số: f t t
8
, t � 0;1 .
t2
t 3 16
0, t � 0;1 suy ra hàm số f t nghịch biến trên
t3
8
�9 (2)
f t �f 1 9, t � 0;1 hay a b
2
a b
Ta có: f �
t
Từ (1) và (2) suy ra a b
0;1 . Do đó
1 1
1
2 �9 (đpcm). Dấu “=” xảy ra khi a b .
2
a b
2
Nhận xét: Hình thức bài này giống với bài toán trên nhưng mức tư duy thì cao hơn.
4
5
1
Bài 3: Cho x, y 0 và x y . Chứng minh rằng: x 4 y �5 .
4
Giải:
Từ giả thiết suy ra 4 y 5 4 x và 0 x, y
5
4
4
1
5
�5 với 0 x
x 5 4x
4
4
1
5
� �
, x ��
0; �
Xét hàm số: f x
x 5 4x
� 4�
4
4
, f�
x 2
x 0 � x 1
Ta có: f �
x 5 4x 2
Do đó bất đẳng thức đã cho trở thành:
Bảng biến thiên
TÔ NGỌC DŨNG-THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN
[email protected]
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CMBĐT-TÌM GTLN, GTNN
x
0
f�
x
5/ 4
1
0
-
+
�
�
f x
5
4 1
� 5�
Từ bảng biến thiên suy ra f x �5, x ��0; �hay x 4 y �5 (đpcm)
� 4�
1
4
Dấu “=” xảy ra khi x 1 và y .
Nhận xét: So với hai bài toán trên thì bài toán này học sinh dễ nhìn ra cách giải hơn, và
đa số học sinh đều làm được.
Bài 4 (ĐH-CĐ, KD-2007)
b
a
1 � �
1�
�
Cho a �b 0. Chứng minh rằng: �2a a ���2b b �.
� 2 � � 2 �
Giải:
a
b
�4a 1 � �4b 1 � ln 4 1 ln 4 1
� a � � b �
a
b
�2 � �2 �
4t ln 4t 1 4t ln 1 4t
4t 1
0
t
Xét hàm số: f t
với t 0 . Ta có: f �
t 2 1 4t
t
b
1 �
�
�+
Ta có: �2a +
a �
� 2 �
�b
2
�
�
a
1�
�
2b �
b
a
� f t nghịch biến trên khoảng 0; � , mà a �b 0
Do đó f b �f a . Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Dấu “=” xảy ra khi a b .
Nhận xét: Bài toán này sẽ gây lúng túng cho học sinh nhất là đối với các em học sinh
khối D. Vì thông thường trong bất đẳng thức học sinh ít nhìn ra cách logarit hai vế.
y
Bài 5: Cho x, y là các số thực dương. Chứng minh rằng: e 2 x y
x y
.
x
Giải:
Ta có: e
y
2 x y
x y
x y
2y
� ln
x
x
2x y
(1)
x y
2 t 1
2 t 1
, t 1 . Khi đó (1) trở thành: ln t
� ln t
0
x
t 1
t 1
2 t 1
, t � 1; �
Xét hàm số: f t ln t
t 1
2
t 1
0, t � 1; � � f t đồng biến trên khoảng 1; �
t
Ta có: f �
2
t t 1
Đặt t
TÔ NGỌC DŨNG-THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN
[email protected]
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CMBĐT-TÌM GTLN, GTNN
Do đó f t f 1 0, t � 1; � . Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Nhận xét: Vẫn là cách logarit hai vế như bài toán trên, nhưng khi đặt ẩn phụ của bài toán
này thì việc nhìn ra ẩn phụ thuộc khoảng nào sẽ gây ra không ít khó khăn cho một số
lượng lớn các em học sinh.
Bài 6: Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện A �B �C
2 cos 3C 4 cos 2C 1
�2
cos C
Giải:
Vì A �B �C
. Chứng minh rằng:
2
1
nên �C do đó 0 cos C �
2
3
2
2
Khi đó:
2 cos 3C 4 cos 2C 1
�2 � 2 4 cos3 C 3cos C 4 2 cos 2 C 1 1 �2 cos C
cos C
� 8cos3 C 8cos 2 C 8cos C 5 �0
� 1�
Đặt t cos C , t ��0; �
� 2�
� 1�
3
2
Xét hàm số; f t 8t 8t 8t 5, t ��0; �.
� 2�
1�
� 1�
0; �� f t nghịch biến trên �
0; �
t 8 t 1 3t 1 0, t ��
Ta có: f �
�
� 2�
� 2�
�1 �
� 1�
Do đó ta có: f t �f � � 0, t ��0; �hay 8cos3 C 8cos 2 C 8cos C 5 �0
�2 �
� 2�
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC đều.
Nhận xét: Bài này về thực chất thì dễ nhưng học sinh lại thường không tự tin với phần
liên quan tới lượng giác, nhất là trong bất đẳng thức.
Bài 7: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn x 2 y 2 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
� 1�
1
� �
1 � 1 y �
1 �.
biểu thức: A 1 x �
y
x
�
�
�
�
Giải:
2
x
y 2 2 xy
Ta có: 1 �
xy
1
1
. Do đó: 0 xy �
2
2
Mặt khác:
�x
A 2�
�y
1
Đặt t xy , 0 t �
2
�
�1 1 �
y�
1 �
xy
�
� x y � ��4 2 �
�
x�
xy �
�x y �
�
�
1
� 1 �
t 2 1
� 1�
�
0;
Xét hàm số: f t t trên �
. Ta có: f t 2 0, t ��0; �
�
t
t
� 2�
� 2�
TÔ NGỌC DŨNG-THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN
[email protected]
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CMBĐT-TÌM GTLN, GTNN
Do đó
� 1 �
f t
�1 �
1
� 1 �
nghịch biến trên �0; �� f t �f � � 2 , t ��0; � hay
2
� 2�
�2�
� 2�
1
1
� 2
. Vì vậy A �4 3 2
xy
2
1
Vậy: min A 4 3 2 khi x y
.
2
xy
Nhận xét: Bài toán này sử dụng đạo hàm khá hay. Nhưng con đường đi đến việc sử dụng
đạo hàm sẽ không dễ đối với những em học sinh chưa nắm chắc bất đẳng thức. Nếu biết
tách và ghép hợp lý thì bài toán này có thể giải bằng cách áp dụng những bất đẳng thức
đã biết.
Bài 8: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn: x 2 y 2 2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
3
3
nhất của biểu thức: P 2 x y 3xy.
Giải:
Từ: x y x 2 xy y
2
x y
2
2
�2 x y
2
2
2
x y
2 2 xy � xy
� x y
2
2
2
2
�4 � 2 �x y �2
Ta có: P 2 x y 2 xy 3xy .
Đặt t x y � 2 �t �2 .
� t2 2 � t2 2
3
P
2
t
2
t 3 t 2 6t 3
Khi đó
�
� 3
2 �
2
2
�
3
Xét hàm số: f t t 3 t 2 6t 3, t � 2;2
2
2
�
f
t
3
t
3
t
6,
t � 2; 2 ; f �
t 0 � t 1 hoặc t 2 (loại)
Ta có:
13
Có: f 2 7; f 1 ; f 2 1
2
�
1 3 1 3 ��
1 3 1 3 �
13
x; y �
;
,
;
f t f 1
��
�.
Vậy: max P tmax
khi
� 2
� 2;2
2 ��
2 �
2
�
�� 2
�
min P min f t f 2 7 khi x; y 1; 1 .
t� 2;2
Nhận xét: Tương tự bài 7 ta cũng phải khéo trong việc xác định ẩn mới để đưa bài toán
về dạng đơn giản hơn.
Bài 9: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn: a b ab 3 . Chứng minh rằng:
P
4a
4b
2ab 7 3ab �4. (Hà Nội)
b 1 a 1
Giải:
a b
Từ giả thiết, ta có: 3 a b ab �a b
4
TÔ NGỌC DŨNG-THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN
2
� a b �2 .
[email protected]
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CMBĐT-TÌM GTLN, GTNN
4a
4b
Ta có: P b 1 a 1 2ab 7 3ab
4a a 1 4b b 1
2ab 3 a b 2
a 1 b 1
4 a b 4 a b 8ab
2
2ab 3 a b 2 a b a b 3 a b 2
4
Đặt
t a b t 2
Khi đó: P t 2 t 3t 2
Xét hàm số: f t t 2 t 3t 2, t �2
2
3
0, t �2 � f t đồng biến trên 2; �
2 3t 2
Do đó: f t �f 2 4, t � 2; � . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t 2.
Vậy P �4 . Dấu “=” xảy ra � a b 1.
t 2t 1
Ta có: f �
Nhận xét: Sau khi trải qua hai bài 7 và 8 chắc sẽ có một vài em học sinh sẽ làm được bài
toán trên.
Bài 10: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: 4 x 5 y 2 4 y 5 x 2 3 x 2 y 2 40.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P x y 12 x 2 y 2 xy .
Giải:
2
Ta luôn có: a b �0 � a 2 b2 �2ab, a, b �� *
3
x
y
3
5 y2
5 x 2 x 2 y 2 5 1
2
2
8
x
y
3 2
x2 y 2 y 2 x2
3
2
2
2
*
5
5
y
5
x
x
y
�
5 x2 y2 5
Áp dụng
ta được:
2
2
8
8
2
8
2
8
2
�
�x, y �0
�x 2 5 y
� �2
Do đó 1 xảy ra � �
2
2
�x y 8
�
�y 2 5 x
Từ giả thiết ta có:
Đặt t x y ta có: 0 �t x y � 2 x 2 y 2 4 � t � 0; 4
Khi đó: P x y 24 x y 12 xy xy 48
3
� x y 24 x y 12
3
x y
2
x2 y2
2
x y
48
2
49
t 3 6t 2 t.
2
Xét hàm số f t t 3 6t 2
49
t liên tục trên đoạn 0; 4
2
25
0, t � 0; 4 � f t đồng biến trên đoạn 0; 4
2
f t f 4 66 . Vậy MaxP 66 � x y 2
Suy ra tmax
� 0;4
t 3 t 2
Ta có: f �
2
Nhận xét: Hình thức bài 10 dễ làm cho các em học sinh cảm thấy khó khăn bởi cái giả
thiết kia. Rõ ràng, nếu xử lí được cái giả thiết đó thì mọi việc về sau sẽ trở nên đơn giản
hơn bao giờ hết.
TÔ NGỌC DŨNG-THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN
[email protected]
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CMBĐT-TÌM GTLN, GTNN
Bài 11: Cho x, y là những số thực không âm thỏa mãn x 2 xy y 2 3 .
2
2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A x y 1 xy 1 x y .
Giải:
Từ giả thiết ta có: 3 x 2 xy y 2 �xy . Do đó: 0 �xy �3
2
Mặt khác: A x 2 y 2 xy x 2 y xy 2 3 xy x y � A 3 x 2 y 2 3 xy
2
Đặt t xy, t � 0;3 . Khi đó A 3 t 2 3 t
t 0
�
t2
�
2
t 3t 2 6t , f �
t 0 � �
Xét hàm số: f t t 3 t , t � 0;3 . Ta có: f �
Bảng biến thiên:
t
f�
t
0
0
+
2
0
3
-
4
f t
0
0
f t f 2 4
Từ bảng biến thiên � max
t� 0;3
Do đó max A 5 khi x 2 và y 1 .
Nhận xét: Bài này tương đối khó.
Bài 12: Cho x, y là các số thực thỏa mãn x 2 xy y 2 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức: M x 4 x 2 y 2 y 4 .
Giải:
xy y 2
Từ giả thiết ta có: 1 x 2 xy y 2 �xy và 1 x 2 �
3xy
xy
1
3
1
3
Do đó: �xy �1
Mặt khác: M x 2 y 2 3x 2 y 2 2 x 2 y 2 2 xy 1
2
do ( x 2 y 2 1 xy)
1
�3 �
� �
;1�. Khi đó M 2t 2 2t 1
Đặt t xy, t ��
1
�3 �
�
�
2
;1�. Ta có: f �
t 4t 2 , f �
t 0 � t
Xét hàm số: f t 2t 2t 1, t ��
1
2
Bảng biến thiên:
t
f�
t
1
3
+
1
2
0
1
-
3
2
TÔ NGỌC DŨNG-THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN
[email protected]
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CMBĐT-TÌM GTLN, GTNN
f t
1
9
1
3
1
khi: xy và x 2 xy y 2 1
2
2
�
�
� 5 1 5 1 �� 5 1 5 1 �� 5 1 5 1 �� 5 1 5 1 �
�
�
� x; y ��
;
,
;
,
;
,
;
�
��
�
�
�
�
�
�
�2 2 2 2 ��2 2 2 2 �� 2 2
�
�
�
2 2 �� 2 2
2 2 �
�
�
��
��
�
1
1
Vậy min M khi xy và x 2 xy y 2 1
9
3
�
�
1 �� 1 1 �
�1
� x; y ��
,�
;
�.
� ;
�
�
3 �� 3 3 �
�3
�
Vậy max M
Bài 13: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: a 2 b 2 c 2 1 . Chứng minh rằng:
a 5 2a3 a b5 2b3 b c5 2c3 c 2 3
�
b2 c2
c2 a2
a 2 b2
3
Giải:
Từ giả thiết � a, b, c � 0;1
5
3
a 1 a2
Ta có: a 22a 2 a
a3 a
2
b c
1 a
b5 2b3 b
c5 2c 3 c
3
b
b
c 3 c
Tương tự ta cũng có:
và
c2 a2
a2 b2
2 3
Do đó bất đẳng thức trở thành: a3 a b3 b c3 c �
3
2
3
t 3t 2 1, f �
t 0 � t
Xét hàm số: f t t t , t � 0;1 . Ta có: f �
1
3
Bảng biến thiên:
t
0
f�
t
+
1
3
0
1
-
2 3
9
f t
0
0
2 3
2 3
hay a3 a b3 b c3 c �
3
3
1
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a b c
.
3
Do đó f a f b f c �
TÔ NGỌC DŨNG-THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN
[email protected]
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CMBĐT-TÌM GTLN, GTNN
Bài 14: Cho a, b, c �0 thỏa mãn: a b c 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P a 2 a 1 b 2 b 1 c 2 c 1
Giải:
2
2
2
Ta có: ln P 3 ln a a 1 a ln b b 1 b ln c c 1 c
2
Xét hàm số: f t ln t t 1 t , t � 0;3
f�
t
Bảng biến thiên:
t
t 2 t
0 � t 0 hoặc t 1
t2 t 1
0
f�
t
+
1
0
3
-
ln 3 1
f t
0
ln13 3
Từ bảng biến thiên suy ra f t �f 1 ln 3 1, t � 0;3
Do đó: f a f b f c �3 f 1 ln 27 3, a, b, c � 0;3
3 ln
27 3
P 27
Suy ra ln P - �Vậy: maxP 27 � a b c 1.
Nhận xét: Đây là bài toán khá hay, cách để tìm ra cách xét hàm số là điều không hề đơn
giản nếu ta cứ theo lối mòn của những toán trước đó.
Bài 15: (ĐH-KB-2010)
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a b c 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: M 3 a 2b2 b2c 2 c 2 a 2 3 ab bc ca 2 a 2 b 2 c 2
Giải:
2
2
2
2
Ta có: 3 a 2b 2 b2 c 2 c 2 a 2 � ab bc ca và a b c 1 2 ab bc ca
Do đó:
2
M � ab bc ca 3 ab bc ca 2 1 2 ab bc ca (1)
2
�
a b c
1�
1
0 �ab bc ca �
�
Đặt t ab bc ca, 0 �t � do �
�
3
3�
3
�
�
1
� �
2
0;
Xét hàm số: f t t 3t 2 1 2t , t ��
� 3�
�
TÔ NGỌC DŨNG-THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN
[email protected]
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CMBĐT-TÌM GTLN, GTNN
t 2t 3
Ta có: f �
2
�
t 2
, f�
1 2t
1
2
1 2t
3
�0
�1 � 11 6 3
f�
��
3
�3 �
t
, dấu “=” xảy ra khi t 0 � f �
� 1�
0; �
�
3�
�
� 1�
� 1�
� f t đồng biến trên �
0; �. Do đó f t �f 0 2, t ��
0;
� 3�
�
� 3�
� � �
0;
�
f t
nghịch biến trên đoạn �
� 3�
�
0, t
Hay ab bc ca 3 ab bc ca 2 1 2 ab bc ca �2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra M �2
Vậy min M 2 khi a; b; c � 1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 .
Nhận xét: Thông thường muốn làm những bài như thế này thì học sinh phải nhìn nhận ra
được cách đặt ẩn phụ.
2
�1 �
�1 �
�1 �
Bài 16: Cho ba số a, b, c thuộc khoảng 0;1 và thỏa mãn � 1�� 1�� 1� 1. Tìm
�a �
�b �
�c �
2
2
2
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a b c .
Giải:
�1
�
�
�1
�
�
�
�1
�
�
�
�
Từ giả thiết: � 1�� 1�� 1� 1 � ab bc ca 2abc a b c 1
a
b
c
3
�a b c �
��abc
�
Mặt khác theo Cô si, ta có: �
� 3
2
Do đó: P a b c 2 ab bc ca
a b c 2 a b c 4abc 2
2
4
3
2
a b c a b c 2 a b c 2
27
4
Đặt t a b c, t � 0;3 . Khi đó: P � t 3 t 2 2t 2
27
4
Xét hàm số f t t 3 t 2 2t 2, t � 0;3
27
4 2
3
t t 2t 2 ; f �
t 0 � t hoặc t 3 � 0;3
Ta có: f �
9
2
Bảng biến thiên:
3
t
0
3
2
f�
t
0
�
2
f t
3
4
1
3
4
3
2
Từ bảng biến thiên suy ra f t � , t � 0;3 . Dấu bằng xảy ra khi t .
3
4
1
2
Do đó: min P � a b c .
TÔ NGỌC DŨNG-THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN
[email protected]
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CMBĐT-TÌM GTLN, GTNN
Nhận xét: Bài toán tương đối khó.
Bài 17: Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x 2 x y 12 và y �0 . Tìm
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A xy x 2 y 17
Giải:
Từ giả thiết: � 4 �x �3
Thay y x 2 x 12 vào biểu thức A ta được: A x 3 3x 2 9 x 7
3
2
Xét hàm số: f x x 3x 9 x 7 , x � 4;3
Ta có:
x 1
�
f�
x 3x 2 6 x 9, f �
x 0 � �
x 3
�
x
3
4
0
f�
+
x
1
0
3
+
20
20
f x
12
y
0
Vậy: max A 20 khi x 3 và
hoặc x 3 và y 6
min A 12 khi x 1 và y 10 .
13
Nhận xét: Chỗ khó của bài này là nhìn ra cách tìm điều kiện của x , thông thường học
sinh ít khi va chạm loại bài này.
Bài 18: (HSG-VP-2011)
Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện x 2 y 2 z 2 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 6 y z x 27 xyz .
Giải:
Ta có: P 6 y z 27 yz 6 x
Mặt khác:
y z � 2 y2 z 2 2 1 x2
2 yz y�z� 2 1 x 2
27
�2
yz
1 x2
2
�
�
2
2
Do đó: P �6 2. 1 x � 1 x 6 �.x
�
27
�2
�
�
2
2
Xét hàm số: f x 6 2. 1 x � 1 x 6 �.x trên đoạn 0;1
�
Ta có:
f�
x
6 2
1 x
2
81 2 15
x , x � 0;1
2
2
TÔ NGỌC DŨNG-THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN
[email protected]
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CMBĐT-TÌM GTLN, GTNN
6 2
�
f�
x 81x
, x � 0;1
1 x
2 3
1
�1 �
� f�
x nghịch biến trên 0;1 , mà f �
� � 0 nên x là nghiệm duy nhất của phương
3
�3 �
x 0 .
trình f �
Bảng biến thiên:
x
1
3
0
0
f�
x
+
1
-
10
f x
6
6 2
biến thiên f x 10, x 0;1
Từ bảng
1 2 2
�
�
Vậy: max P 10 khi x; y; z � ; ; �.
�3 3 3 �
Nhận xét: Đây là một bài toán biến tướng của bài thi toán quốc gia.
Bài 19: Cho các số thực dương a, b, c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P
1
a b c 1
2
2
2
2
a 1 b 1 c 1
Giải:
3
�a b c 3 �
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a 1 b 1 c 1 ��
�
3
�
�
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:
1
1
1
2
2
2
a 2 b 2 c 2 1 � a b c 1 � a b c 1
2
2
4
2
54
Do đó: P �a b c 1 a b c 3 3
2
54
Đặt t a b c 1, t 1 . Khi đó: P �t t 2 3 , t 1
2
54
Xét hàm số: f t t t 2 3 trên khoảng 1; � .
t 1
�
t 2
t 0 � �
4 , f�
Ta có: f �
t
t4
t 2
�
Bảng biến thiên:
2
t
162
1
4
TÔ NGỌC DŨNG-THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN
�
[email protected]
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CMBĐT-TÌM GTLN, GTNN
f�
t
+
-
0
1
4
f t
0
0
1
4
Từ bảng biến thiên suy ra P � , dấu “=” xảy ra khi t 4 hay a b c 1
Vậy max P 4 khi a b c 1 .
Bài 20: (ĐH-KB-2012)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x y z 0 và x 2 y 2 z 2 1 . Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức: P x5 y 5 z 5 .
Giải:
1
1
2
Ta có: z x y nên từ x 2 y 2 z 2 1 � x 2 y 2 xy � x y xy
2
Vì xy �
2
x y
3 x y
1
6
6
2
� x y xy �
�
�x y �
4
2
4
3
3
� 6 6�
1
2
;
Đặt t x y � t ��
�và xy t
2
� 3 3 �
5
5
5
5
Khi đó P x5 y5 x y 5 xy x3 2 x2 y 2 xy 2 y3 xy x y t 3 t
2
2
4
� 6 6�
5 3 5
;
Xét hàm số: f t t t , t ��
�
2
4
3
3 �
�
15
5
6
Có: f �
t t2 0 � t �
2
4
6
� 6� �6� 5 6
�6� � 6� 5 6
f
;
f
�
�
�
�
�
Và: f �
� 3 � �6 � 36
�3 �
� f �
�
�
�
� � �
� � � 6 � 36
2
Từ đó tìm được
2
max P max f t
� 6 6�
t��
; �
� 3 3 �
5 6
6
6
,z
và các hoán vị của nó.
36 khi x y
6
3
Nhận xét: Bài toán này có nhiều cách giải, tuy nhiên nếu giải theo cách này thì học sinh
thường rất ngại biến đổi biểu thức P , thậm chí có nhiều em còn không biết nên biến đổi
như thế nào cả.
Bài 21: (HSG-TB-2010)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x 2 y 2 z 2 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
F 3x 2 7 y 5 y 5 z 7 z 3x 2
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki
TÔ NGỌC DŨNG-THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN
[email protected]
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CMBĐT-TÌM GTLN, GTNN
2
�
6 x 2 12 y z �
x 2 2 2 y 2 z 2 � 18 �
x2 2 2 3 x2 �
Ta có: F �3 �
�
��18 �
� �
�
3; 3 �
Xét hàm số: f x x 2 2 2 3 x 2 trên đoạn �
�
�
�
2
1
x 2x �
Ta có: f �
2
�
� 3 x
x0
�
�
�
, x � 3; 3 . Khi đó: f �
x 0 � �x 1
�
�
�
�
x 1
�
Dễ dàng tính được: f 3 f 3 3, f 0 2 6, f 1 f 1 5
max f x max f 3 , f 1 , f 0 , f 1 , f 3 f �1 5
Mặt khác: x��
3; 3 �
�
�
90 F 3 10 . Dấu “=” xảy ra khi x �1 và y z 1
Do đó: F 2 �
Vậy max F 3 10 khi x; y; z � 1;1;1 , 1;1;1 .
Bài 22: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 1 . Chứng minh rằng:
7
xy yz zx 2 xyz � . (Toán quốc tế)
27
Giải:
Do vai trò của x, y, z như nhau nên không giảm tổng quát, giả sử:
x�y �z
1
3
z 1
Ta có: xy yz zx 2 xyz xy 1 2 z x y
1
4
Do đó: xy yz zx 2 xyz � 2 z 3 z 2 1
1 z
z�
4
2
1 2z 1 z z
(1)
1
�z 1 .
3
1
z 6 z 2 2 z, f �
z 0 � z
Ta có: f �
3
z
1
3
f�
z 0
3
2
Xét hàm số: f z 2 z z 1 trên
f z
1
28
27
0
1 �
7
�
;1�. Do đó từ (1) ta có xy yz zx 2 xyz � . Vậy bất đẳng thức được
�
3 �
27
�
1
chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi x y z .
3
�
f z
28
, z
27
IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
TÔ NGỌC DŨNG-THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN
[email protected]
.DOC 
23 
243 
77 
