Tài liệu Ứng dụng của đạo hàm trong bài toán giải bài toán Đại số và giải tích

Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI TRƯỜNG THPT SỐ 2 TP LÀO CAI CHUYÊN ĐỀ : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH Người viết : Phạm Hồng Lan Tổ: Toán - Tin Trường: THPT số 2 TP Lào Cai Lào Cai, tháng 11 năm 2010 Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai 1 Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích PHẦN MỞ ĐẦU I. Lí do chọn đề tài -Như ta đã biết, chuyên đề về bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình chiếm một lượng khá lớn trong chương trình phổ thông ( Đại số, lượng giác, ….). Tuy nhiên trong số các bài tập đó có một lượng lớn bài tập mà ta không thể giải được bằng phương pháp thông thường hoặc có thể giải được nhưng gặp rất nhiều khó khăn và phức tạp. - Ta đã biết giữa PT, BPT, HPT, HBPT và hàm số có mối liên quan rất chặt chẽ. Khi định nghĩa PT, BPT, ta cũng dựa trên khái niệm hàm số, nếu ta biết sử dụng hàm số để giải các bài tập đó thì bài toán sẽ đơn giản hơn. Tuy nhiên không phải bài nào cũng có thể sử dụng hàm số để giải nhưng ứng dụng đạo hàm của hàm số để giải là rất lớn, chính vì vậy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: "Sử dụng phương pháp hàm số trong giải bài toán đại số ". II. Mục tiêu đề tài - Trang bị cho học sinh thêm một phương pháp hữu hiệu để giải các bài toán: Chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình - Cung cấp thêm phương pháp cho học sinh và giáo viên trong dạy và học toán. III. Giả thuyết khoa học Nêu hệ thống hoá các kiến thức liên quan cùng với việc đưa ra phương pháp cùng ví dụ minh họa cụ thể thì sẽ giúp học sinh có thêm 1 phương pháp hay khi tìm lời giải những bài toán đại số. Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai 2 Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích IV. Biện pháp thực hiện. - Nghiên cứu các tài liêụ, các sách tham khảo, đề thi đại học, cao đẳng, các đề dự bị đại học, đề thi thử đại học của các trường… - Giới thiệu khoảng 6 tiết cho học sinh lớp 12 và học sinh ôn thi đại học V. Nội dung I . Kiến thức cơ bản II. Phương pháp. hàm số biện luận phương trình, bất phương trình III. Các bài toán minh họa phương pháp hàm số IV. Bài tập tự luyện NỘI DUNG I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. y = f (x) đồng biến / (a, b) ⇔ ∀x1 < x 2 ∈ ( a, b ) ta có f ( x1 ) < f ( x 2 ) 2. y = f (x) nghịch biến / (a, b) ⇔ ∀x1 < x 2 ∈ ( a, b ) ta có f ( x1 ) > f ( x 2 ) 3. y = f (x) đồng biến / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≥ 0 ∀x∈(a, b) đồng thời ƒ′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm ∈ (a, b). 4. y = f (x) nghịch biến / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≤ 0 ∀x∈(a, b) đồng thời ƒ′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm ∈ (a, b). 5. Cực trị hàm số: Hàm số đạt cực trị tại điểm x = xk ⇔ f ′ ( x) đổi dấu tại điểm xk xj −ε a xj xj +ε xi − ε xi xi + ε Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai b x 3 Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích 6. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số • Giả sử y = ƒ(x) liên tục trên [a, b] đồng thời đạt cực trị tại Khi đó: x1 ,..., x n ∈ ( a, b ) . Max f ( x ) = Max { f ( x1 ) ,..., f ( x n ) , f ( a ) , f ( b )} ; x∈[ a ,b ] M in f ( x ) = M in { f ( x1 ) ,..., f ( x n ) , f ( a ) , f ( b )} x∈[ a ,b ] • Nếu y = f (x) đồng biến / [a, b] thì Min f ( x ) = f ( a ) ; Max f ( x ) = f ( b ) x∈[ a ,b ] • Nếu y = f (x) nghịch biến / [a, b] thì • Hàm bậc nhất f ( x ) = αx + β x∈[ a ,b ] Min f ( x ) = f ( b ) ; Max f ( x ) = f ( a ) x∈[ a ,b ] x∈[ a ,b] trên đoạn [ a; b] đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút a; b Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai 4 Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích II. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1. Nghiệm của phương trình u(x) = v(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị y = u ( x) với đồ thị y = v ( x) . 2. Nghiệm của bất phương trình u(x) ≥ v(x) là u(x) phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị y = u ( x) nằm ở phía trên so với phần đồ thị v(x) y = v ( x) . a β α b x 3. Nghiệm của bất phương trình u(x) ≤ v(x) là phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị y = u ( x) nằm ở phía dưới so với phần đồ thị y = v ( x) . 4. Nghiệm của phương trình u(x) = m là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị 5. BPT u(x) ≥ m đúng ∀x∈I ⇔ 6. BPT u(x) ≤ m đúng ∀x∈I ⇔ y = u ( x) . Min u ( x ) ≥ m x∈I y= Max u ( x ) ≤ m x∈I 7. BPT u(x) ≥ m có nghiệm x∈I ⇔ Max u ( x ) ≥ m 8. BPT u(x) ≤ m có nghiệm x∈I ⇔ Min u ( x ) ≤ m x∈I a b x∈I Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai 5 x Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích III. CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Bài 1. Cho hàm số f ( x ) = mx 2 + 2mx − 3 a. Tìm m để phương trình ƒ(x) = 0 có nghiệm x∈[1; 2] b. Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≤ 0 nghiệm đúng ∀x∈[1; 4] c. Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≥ 0 có nghiệm x∈ [ −1;3] Giải: a. Biến đổi phương trình ƒ(x) = 0 ta có: 3 f ( x ) = mx 2 + 2mx − 3 = 0 ⇔ m ( x 2 + 2 x ) = 3 ⇔ g ( x ) = 2 3 = =m. 2 ( x + 1) − 1 Min g ( x ) ≤ m ≤ Max g ( x ) ⇔ 3 ≤ m ≤ 1 x∈[1;2] x∈[1;2] 8 x + 2x Để ƒ(x) = 0 có nghiệm x∈[1; 2] thì b. Ta có ∀x∈[1; 4] thì g ( x) = f ( x ) = mx 2 + 2mx − 3 ≤ 0 3 ( x + 1) 2 − 1 giảm trên [1; 4] nên ycbt ⇔ c. Ta có với x∈ [ −1;3] thì Đặt g ( x ) = 3 , x ∈ [ −1; 3] x + 2x 2 f ( x ) = mx 2 + 2mx − 3 ≥ 0 Min g ( x ) = g ( 4 ) = 1 ≥ m 8 x∈[1;4] ⇔ m ( x 2 + 2x) ≥ 3 . . Xét các khả năng sau đây: thì bất phương trình trở thành m.0 = 0 ≥ 3 nên vô nghiệm. x ∈ ( 0;3] thì BPT ⇔ g ( x ) ≤ m có nghiệm x ∈ ( 0;3] ⇔ Min g ( x ) ≤ m . x=0 x∈( 0;3] Do g ( x ) = + Nếu m ( x 2 + 2x) ≤ 3 ⇔ 3 ≥ m , ∀x ∈ [1; 4] ⇔ M in g ( x ) ≥ m . x∈[1;4] x 2 + 2x Do g ( x ) = + Nếu + Nếu ⇔ 3 ( x + 1) 2 − 1 x ∈ [ −1; 0 ) thì giảm / ( 0; 3] nên ycbt x 2 + 2x < 0 nên BPT ⇔ Min g ( x ) = g ( 3) = 1 ≤ m x∈( 0;3] 5 ⇔ g ( x) ≥ m có nghiệm x ∈ [ −1; 0 ) −3 ( 2 x + 2 ) ≤ 0, ∀x ∈ [ −1; 0] . ( x 2 + 2x) 2 Do đó g ( x ) nghịch biến nên ta có Max g ( x ) = g ( −1) = −3 ≥ m ⇔ Max g ( x ) ≥ m . [ −1;0 ) Ta có g ′( x) = [ −1;0) Kết luận: ƒ(x) ≥ 0 có nghiệm x∈ [ −1;3] ⇔ m ∈ ( −∞; −3] U ⎡⎢ 1 ; +∞ ⎣5 Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai ) 6 Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích − x 3 + 3mx − 2 < −13 nghiệm đúng ∀x ≥ x Giải: BPT ⇔ 3mx < x 3 − 13 + 2, ∀x ≥ 1 ⇔ 3m < x 2 − 14 + 2 = f ( x ) , ∀x ≥ 1 . x x x Ta có f ′ ( x ) = 2 x + 45 − 22 ≥ 2 2 x ⎛⎜ 45 ⎞⎟ − 22 = 4 22− 2 > 0 suy ra f ( x ) tăng. x x x ⎝x ⎠ x f ( x ) = f (1) = 2 > 3m ⇔ 2 > m YCBT ⇔ f ( x ) > 3m, ∀x ≥ 1 ⇔ min x ≥1 3 Bài 2. Tìm m để bất phương trình: Bài 3. Tìm m để bất phương trình m.4 x + ( m − 1) .2 x + 2 + m − 1 > 0 đúng Giải: Đặt t = 2 x > 0 thì m.4 x + ( m − 1) .2 x + 2 + m − 1 > 0 đúng ∀x ∈ ¡ ⇔ m.t 2 + 4 ( m − 1) .t + ( m − 1) > 0, ∀t > 0 ⇔ m ( t 2 + 4t + 1) > 4t + 1, ∀t > 0 ⇔ g (t ) = 4t + 1 < m, ∀t > 0 . t 2 + 4t + 1 trên [ 0; +∞ ) suy ra ycbt ⇔ Ta có 0≤ x≤4. Chú ý: Nếu tính f ′ ( x) −4t 2 − 2t ( t + 4t + 1) 2 2 <0 ∀x ∈ ¡ nên g ( t ) nghịch biến Max g ( t ) = g ( 0 ) = 1 ≤ m t ≥0 Bài 4. Tìm m để phương trình: Giải: Điều kiện g ′ (t ) = 1 x x + x + 12 = m ( 5 − x + 4 − x ) Biến đổi PT có nghiệm. x x + x + 12 ⇔ f ( x) = =m. 5− x + 4− x rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn. x + x + 12 > 0 ⇒ g ′ ( x ) = 3 x + 2 2 − 1 − h ( x ) = 5 − x + 4 − x > 0 ⇒ h′ ( x ) = 2 5− x 2 Suy ra: g ( x ) > 0 và tăng; h ( x ) > 0 và giảm hay 1 > 0 h ( x) g ( x) ⇒ f ( x) = tăng. Suy ra f ( x ) = m có nghiệm h ( x) Thủ thuật: Đặt g ( x ) = x 1 >0 x + 12 1 <0 4−x và tăng ⇔ m ∈ ⎡ min f ( x ) ; max f ( x ) ⎤ = [ f ( 0 ) ; f ( 4 )] = ⎡⎣ 2 ( 15 − 12 ) ;12 ⎤⎦ [ 0;4] ⎣ [0;4] ⎦ Bài 5. Tìm m để bất phương trình: Giải: Điều kiện bất phương trình x ≥1. x 3 + 3x 2 − 1 ≤ m ( x − x − 1 ) Nhân cả hai vế BPT với ( 3 có nghiệm. x + x − 1) > 0 3 ta nhận được f ( x ) = ( x 3 + 3 x 2 − 1) ( x + x − 1 ) ≤ m . Đặt g ( x ) = x 3 + 3x 2 − 1 ; 3 h ( x) = ( x + x − 1) 3 2 1 ⎞>0. g ′ ( x ) = 3 x 2 + 6 x > 0, ∀x ≥ 1; h ′ ( x ) = 3 ( x + x − 1 ) ⎛⎜ 1 + ⎟ ⎝ 2 x 2 x −1 ⎠ g ( x ) > 0 và tăng ∀x ≥ 1 ; h ( x ) > 0 và tăng nên f ( x ) = g ( x ) .h ( x ) tăng ∀x ≥ 1 Ta có Do Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai 7 Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích Khi đó bất phương trình f ( x) ≤ m Bài 6. Tìm m để ( 4 + x ) ( 6 − x ) ≤ x Cách 1. BPT có nghiệm 2 − 2x + m ⇔ min f ( x ) = f (1) = 3 ≤ m x ≥1 nghiệm đúng ⇔ f ( x) = −x 2 + 2x + ( 4 + x) (6 − x) ≤ m f ′ ( x ) = −2 x + 2 + đúng ∀x ∈ [ −4, 6] ∀x ∈ [ −4, 6] −2 x + 2 1 ⎞ = 0 ⇔ x =1 = (1 − x ) ⎛ 2 + ⎜ ⎟ ( ) ( ) x x 2 ( 4 + x) (6 − x) 4 6 + − ⎝ ⎠ Lập bảng biến thiên suy ra Max Max f ( x ) = f (1) = 6 ≤ m [ −4,6] (4 + x) + (6 − x) t = ( 4 + x) (6 − x) ≤ =5. 2 Ta có t 2 = − x 2 + 2 x + 24 . Khi đó bất phương trình trở thành t ≤ −t 2 + m + 24, ∀t ∈ [ 0; 5] ⇔ f ( t ) = t 2 + t − 24 ≤ m; ∀t ∈ [ 0;5] . Ta có: Cách 2. Đặt f ′ ( t ) = 2t + 1 > 0 ⇒ f ( t ) tăng nên f ( t ) ≤ m; ∀t ∈ [0;5] ⇔ Bài 7. Tìm m để max f ( t ) = f ( 5 ) = 6 ≤ m [ 0;5] 3 + x + 6 − x − 18 + 3x − x 2 ≤ m 2 − m + 1 đúng ∀x ∈ [ −3, 6] Giải: 2 Đặt t = 3 + x + 6 − x > 0 ⇒ t 2 = ( 3 + x + 6 − x ) = 9 + 2 ( 3 + x ) ( 6 − x ) ⇒ 9 ≤ t 2 = 9 + 2 ( 3 + x ) ( 6 − x ) ≤ 9 + ( 3 + x ) + ( 6 − x ) = 18 ⇒ 18 + 3x − x 2 = ( 3 + x ) ( 6 − x ) = 1 ( t 2 − 9 ) ; t ∈ ⎡⎣3;3 2 ⎤⎦ Xét ycbt 2 2 9 1 f ( t ) = − t + t + ; f ′ ( t ) = 1 − t < 0; ∀t ∈ ⎣⎡3; 3 2 ⎦⎤ ⇒ max f ( t ) = f ( 3) = 3 ⎡⎣3;3 2 ⎤⎦ 2 2 2 2 ⇔ max f ( t ) = 3 ≤ m − m + 1 ⇔ m − m − 2 ≥ 0 ⇔ m ≤ −1 V m ≥ 2 ⎡⎣3;3 2 ⎤⎦ Bài 8. (Đề TSĐH khối A, 2007) Tìm m để phương trình 3 x − 1 + m Giải: ĐK: x ≥1, Khi có nghiệm thực. biến đổi phương trình ⇔ −3 x − 1 + 2 4 x − 1 = m . x +1 x +1 Đặt x + 1 = 24 x 2 − 1 u = 4 x − 1 = 4 1 − 2 ∈ [ 0,1) . x +1 x +1 2 đó g ( t ) = −3t + 2t = m t 0 g ′ (t ) g (t ) 1 13 + 0 Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai 0 13 – –1 8 Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích Ta có g ′ ( t ) = −6t + 2 = 0 ⇔ t = 1 . 3 Do đó yêu cầu ⇔ −1 < m ≤ 1 3 Bài 9. (Đề TSĐH khối B, 2007): Chứng minh rằng: Với mọi m > 0 , phương trình x 2 + 2 x − 8 = m ( x − 2 ) luôn có đúng hai nghiệm phân biệt. x Giải: Điều kiện: x ≥ 2 . Biến đổi phương trình ta có: g ′ ( x) ⇔ ( x − 2) ( x + 6) = m ( x − 2) g ( x) ⇔ ( x − 2) ( x + 6) = m ( x − 2) 2 2 2 +∞ + +∞ 0 ⇔ ( x − 2 ) ( x 3 + 6 x 2 − 32 − m ) = 0 ⇔ x = 2 V g ( x ) = x 3 + 6 x 2 − 32 = m . có đúng một nghiệm thuộc khoảng ( 2; +∞ ) . Thật vậy ta có: g ′ ( x ) = 3x ( x + 4 ) > 0, ∀x > 2 . Do đó g ( x ) đồng biến mà g ( x ) liên tục và g ( 2 ) = 0; lim g ( x ) = +∞ nên g ( x ) = m có đúng một nghiệm ∈ ( 2; +∞ ) . ycbt ⇔ g ( x) = m x →+∞ Vậy ∀m > 0 , phương trình x 2 + 2 x − 8 = m ( x − 2 ) có Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai hai nghiệm phân biệt. 9 Bài 10. (Đề TSĐH khối A, 2008) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt: 4 2x + 2x + 24 6 − x + 2 6 − x = m Giải: Đặt f ( x ) = 4 2 x + 2 x + 2 4 6 − x + 2 6 − x ; x ∈ [ 0; 6] 1 − Ta có: f ′ ( x ) = 1 ⎛ 1 3 2 ⎜ 4 ( )3 4 ( 6 − x) ⎝ 2x Đặt u ( x ) = 1 4 ( 2x) 3 − ⎞ + ⎛ 1 − 1 ⎞ , x ∈ ( 0; 6 ) ⎟ ⎟ ⎜⎝ 2 x 6− x ⎠ ⎠ 1 4 , x ∈ ( 0, 6 ) ; v ( x) = 1 − 1 2x 6−x (6 − x) 3 ⎧ f ′( x) > 0, ∀x ∈ ( 0, 2 ) ⎧u ( x ) , v ( x ) > 0, ∀x ∈ ( 0, 2 ) ⎪ ⎪ ⇒ ⎨u ( 2 ) = v ( 2 ) = 0 ⇒ ⎨ f ′( x) < 0, ∀x ∈ ( 2, 6 ) ⎪ ⎪ ( ) ( ) ⎩ f ′(2) = 0 ⎩u x , v x < 0, ∀x ∈ ( 2, 6 ) 0 x 2 f ′( x) + 6 0 – 3 2+6 f(x) 2 6 + 24 6 4 Nhìn BBT ta có PT có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 2 12 + 2 3 6 + 24 6 ≤ m < 3 2 + 6 Bài 11. (Đề TSĐH khối D, 2007): Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Giải: Đặt và u = x + 1 ; v = y + 1 ta x y có ⎧x + 1 + y + 1 = 5 ⎪⎪ x y ⎨ 3 ⎪ x + 13 + y 3 + 13 = 15m − 10 x y ⎪⎩ ( x 3 + 13 = x + 1 x x ) 3 ( ) − 3 x ⋅ 1 x + 1 = u − 3u x x u = x+ 1 = x + 1 ≥2 x. 1 =2 ; v = y + 1 ≥2 y . 1 =2 x x x y y Khi đó hệ trở thành ⎧⎪u + v = 5 ⎧u + v = 5 ⇔⎨ ⎨ 3 3 ⎩uv = 8 − m ⎩⎪u + v − 3 ( u + v ) = 15m − 10 ⇔ u, v là nghiệm của phương trình bậc hai f ( t ) = t 2 − 5t + 8 = m Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích Hệ có nghiệm ⇔ f (t ) = m có 2 nghiệm t1 , t 2 Lập Bảng biến thiên của hàm số f ( t ) với t –2 −∞ f ′ (t ) t1 ≥ 2; t 2 ≥ 2 . t ≥2 2 5/2 – f (t ) thỏa mãn 0 – +∞ + +∞ +∞ 22 2 7/4 Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm ⇔ 7 ≤ m ≤ 2 ∨ m ≥ 22 4 Bài 12. (Đề 1I.2 Bộ đề TSĐH 1987-2001): Tìm x để bất phương trình x 2 + 2 x ( sin y + cos y ) + 1 ≥ 0 đúng với Giải: Đặt BPT Min u∈⎡⎣ − 2 , . u = sin y + cos y ∈ ⎡⎣ − 2, 2 ⎤⎦ , ⇔ g ( u ) = ( 2 x ) u + ( x 2 + 1) ≥ 0, ∀u ∈ ⎡⎣ − 2, 2 ⎤⎦ ⇔ Do đồ thị ∀y ∈ ¡ y = g (u ) là một đoạn thẳng với Min u∈⎡⎣ − 2 , 2 ⎤⎦ u ∈ ⎡⎣ − 2, 2 ⎤⎦ g (u ) ≥ 0 nên ⎧⎪ g ( − 2 ) ≥ 0 ⎧⎪ x 2 − 2 2 x + 1 ≥ 0 ⎡ x ≥ 2 +1 ⇔⎨ ⇔⎢ g (u ) ≥ 0 ⇔ ⎨ 2 2 ⎤⎦ ⎢⎣ x ≤ 2 − 1 ⎪⎩ x + 2 2 x + 1 ≥ 0 ⎪⎩ g ( 2 ) ≥ 0 Bài 13. Cho Giải: BĐT ⎧ a , b, c ≥ 0 ⎨ ⎩a + b + c = 3 Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 + abc ≥ 4 ⇔ a 2 + ( b + c ) − 2bc + abc ≥ 4 ⇔ a 2 + ( 3 − a ) + ( a − 2 ) bc ≥ 4 2 2 ⇔ f ( u ) = ( a − 2 ) u + 2a 2 − 6a + 5 ≥ 0 trong Như thế đồ thị y = f (u ) ( đó ( ) 0 ≤ u = bc ≤ b + c 2 là một đoạn thẳng với ) 2 ( ) 2 = 1 (3 − a ) 4 2 u ∈ ⎡0; 1 ( 3 − a ) ⎤ . ⎥⎦ ⎣⎢ 4 2 . Ta có 2 2 f ( 0 ) = 2a 2 − 6a + 5 = 2 a − 3 + 1 ≥ 0; f 1 ( 3 − a ) = 1 ( a − 1) ( a + 2 ) ≥ 0 2 2 4 4 2 1 nên suy ra f ( u ) ≥ 0; ∀ u ∈ ⎡⎢0; ( 3 − a ) ⎤⎥ . ⎣ 4 ⎦ 2 2 2 Vậy a + b + c + abc ≥ 4 . Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1 . Bài 14. (IMO 25 – Tiệp Khắc 1984): Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai 2 Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích Cho ⎧ a , b, c ≥ 0 . ⎨ ⎩a + b + c = 1 Chứng minh rằng: ab + bc + ca − 2abc ≤ 7 . 27 Giải: a ( b + c ) + (1 − 2a ) bc = a (1 − a ) + (1 − 2a ) bc = a (1 − a ) + (1 − 2a ) u = f ( u ) Đồ thị y = f ( u ) = (1 − 2a ) u + a (1 − a ) với ( ) 0 ≤ u = bc ≤ b + c 2 ( ) với 2 giá trị đầu mút f ( 0) = a (1 − a ) ≤ ⎡⎢ a + 1 − a ⎤⎥ ⎣ ( ) ( 2 ⎦ 2 =1< 7 4 27 )( ) 2 f 1 (1 − a ) = 1 ( −2a 3 + a 2 + 1) = 7 − 1 2a + 1 a − 1 4 4 27 4 3 3 Do đồ thị y = f ( u ) là một đoạn thẳng với ) ( 2 f 1 (1 − a ) ≤ 7 4 27 2 2 = (1 − a ) 2 4 là một đoạn thẳng và ≤ 7 27 2 u ∈ ⎡0; 1 (1 − a ) ⎤ ⎥⎦ ⎣⎢ 4 và f (0) < 7 ; 27 nên f ( u ) ≤ 7 . Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1 27 3 Bài 15. Chứng minh rằng: 2 ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) ≤ 4, ∀ a, b, c ∈ [0, 2] . Giải: Biến đổi bất đẳng thức về hàm bậc nhất biến số a, tham số b, c ta có f ( a ) = ( 2 − b − c ) a + 2 ( b + c ) − bc ≤ 4, ∀a, b, c ∈ [ 0, 2] Đồ thị y = f ( a ) là một đoạn thẳng với a ∈ [0, 2] nên f ( a ) ≤ Max { f ( 0 ) ; f ( 2 )} Ta có f ( 0 ) = 4 − ( 2 − b ) ( 2 − c ) ≤ 4; f ( 2 ) = 4 − bc ≤ 4 ⇒ f ( a ) ≤ 4, ∀a, b, c ∈ [0, 2] Bài 16. CMR: (1 − a ) (1 − b ) (1 − c ) (1 − d ) + a + b + c + d ≥ 1, ∀a, b, c, d ∈ [ 0,1] Giải: Biểu diễn bất đẳng thức về hàm bậc nhất biến số a, tham số b, c, d, ta có: f ( a ) = [1 − (1 − b ) (1 − c ) (1 − d )] a + (1 − b ) (1 − c ) (1 − d ) + b + c + d ≥ 1, ∀a, b, c, d ∈ [ 0,1] Đồ thị y = f ( a ) , ∀a ∈ [0,1] là một đoạn thẳng nên aMin f ( a ) = Min { f ( 0 ) , f (1)} ∈ 0,1 [ ] Ta có f (1) = b + c + d + 1 ≥ 1, ∀b, c, d ∈ [ 0,1] f ( 0) = (1 − b)(1 − c ) (1 − d ) + b + c + d ⇔ g ( b) = [1 − (1 − c ) (1 − d )] b + (1 − c ) (1 − d ) + c + d Đồ thị y = g ( b ) , ∀b ∈ [ 0,1] là một đoạn thẳng nên Min g ( b ) = Min { g ( 0 ) , g (1)} b∈[ 0,1] Ta có g (1) = c + d + 1 ≥ 1; g ( 0) = (1 − c ) (1 − d ) + c + d = 1 + cd ≥1 ⇒ f ( 0 ) = g ( b ) ≥ 1, ∀b ∈ [ 0,1] . Vậy f ( a ) ≥ 1 hay ta có (đpcm) Để giải các bài toán dạng trên có bài ta giải được bằng nhiều phương pháp khác nhau , cũng có bài chỉ có thể giải được bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải toán là một phương pháp hay. Để sử dụng phương pháp này,điều cốt yếu là chúng ta cần xây dựng một hàm số thích hợp ,rồi nghiên cứu tính đồng biến ,nghịch biến của nó trên đoạn thích hợp.Các hàm số ấy trong nhiều trường hợp có thể nhận tra ngay từ đầu ,còn trong các trường hợp đặc biệt ta cần khôn khéo để phát hiện ra chúng . Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai 3 Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Giải các phương trình và bất phương trình sau: a. 2 log ( x +3) = x b. 2log3(tgx) = log2(sinx) 5 1= x 2 c. 2 x2 1− 2 x −2 = x2 1 1 − 2 x x 2 x d. 2 = 3 + 1 2 e. 3 x = cos x x −1 + x +1 ≤ m2 +1 Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 2 sin 2 x + 3 cos 2 x = m.3 sin 2 x Bài 4: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R: 2 2 ( m − 1)4cos x + 2.2cos x + m + 1 > 0 Bài 5: Cho phương trình: ( x − 3)( x + 1) + 4( x − 3) x +1 =m x −3 a. Giải phương trình với m = 3 b. Tìm m để phương trình có nghiệm c. Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ [ 4 ; + ∞ ) d. Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ [ 4 ; 5 ] Bài 6: Cho bất phương trình: m.9 2 x 2 −x − ( 2m + 1).6 2x2 −x + m.4 2 x 2 −x ≥0 Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thoả mãn x ≥ Bài 7: Cho phương trình: ( x − 2) log a. Giải PT khi m = 2 2 ( 4 x −8 ) 1 2 = 2 m .( x − 2) 3 b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thoả mãn: Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai 5 ≤ x1 ≤ x 2 ≤ 4 2 4 Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích KẾT LUẬN Xuất phát từ mục đích, nhiệm vụ của đề tài, bản đề tài SKKN đã đề cập đến nhứng vấn đề chính sau : - Cung cấp các kiến thức cơ bản liên quan đến phương pháp - Đưa ra các ví dụ minh họa tương ứng - Bài tập áp dụng Sau khi được rèn luyện hệ thống kiến thức trên,các em học sinh đã mạnh dạn hơn ,linh hoạt hơn trong việc dùng sử dụng phương pháp hàm số để giải toán .Cái hay của cách giải này là sử dụng linh hoạt tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức ,giải phương trình, giải bất phương trình, giải hệ phương trình . - Tránh được việc biện luận theo tham số ở một số bài toán hết sức phức tạp. - Tránh phải xét nhiều trường hợp ở một số bài toán. - Tránh việc bình phương hai vế dễ dẫn đến sai sót ,thừa nghiệm và tránh việc giải phương trình bậc cao. Trên đây là một số ứng dụng mà theo tôi là hay gặp trong khi giải phương trình và bất phương trình. Rất mong các thầy cô và các đồng chí góp ý để bài viết được hoàn thiện hơn. Xác nhận của nhà trường Người viết Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai 5 Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích Phạm Hồng Lan TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản. 2. Sách bài tập giải tích 12 cơ bản. 3. Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao. 4. Sách bài tập giải tích 12 nâng cao. 5. Báo Toán học và tuổi trẻ 6. Đề thi Đại học từ năm 2002-2010 7. Đề dự bị Đại học từ năm 2002-2009 Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai 6