ứng dụng bài toán nội suy lagrange và khai triển tatlor

  • Số trang: 25 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 13 |
  • Lượt tải: 0
nganguyen

Đã đăng 34173 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………….. LUẬN VĂN Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor 1 `u Mo’. d̄â ` u khi ta câ ` n pha’i xác d̄i.nh giá tri. cu’a mô.t hàm sô´ f (x) Trong quá trı̀nh tı́nh toán, nhiê . . ’ ` u kiê.n chı’ mó.i cho biê´t mô.t sô´ giá tri. ta.i mô.t d̄iê m tùy ý cho tru ó c, trong khi d̄ó d̄iê (rò.i ra.c) cu’a hàm sô´ và cu’a d̄a.o hàm hàm sô´ d̄ê´n câ´p nào d̄ó cu’a nó ta.i mô.t sô´ d̄iê’m x1 , x2, · · · , xk cho tru.ó.c. Vó.i nhũ.ng tru.ò.ng ho..p nhu. vâ.y, ngu.ò.i ta thu.ò.ng tı̀m cách xây du..ng mô.t hàm sô´ P (x) ` u kiê.n d̄ã cho. Ngoài da.ng d̄o.n gia’n ho.n, thu.ò.ng là các d̄a thú.c d̄a.i sô´, tho’a mãn các d̄iê . . ra, ta.i nhũ ng giá tri. x ∈ R mà x không trùng vó i x1 , x2, · · · , xk , thı̀ P (x) ≈ f (x) (xâ´p xı’ theo mô.t d̄ô. chı́nh xác nào d̄ó). Hàm sô´ P (x) d̄u.o..c xây du..ng theo cách vù.a mô ta’ trên d̄u.o..c go.i là hàm nô.i suy cu’a f (x); các d̄iê’m x1 , x2, · · · , xk thu.ò.ng d̄u.o..c go.i là các nút nô.i suy và bài toán xây du..ng hàm P (x) nhu. vâ.y d̄u.o..c go.i là Bài toán nô.i suy. Su’. du.ng hàm (d̄a thú.c) nô.i suy P (x), ta dê˜ dàng tı́nh d̄u.o..c giá tri. tu.o.ng d̄ô´i chı́nh ` n d̄úng giá tri. xác cu’a hàm sô´ f (x) ta.i x ∈ R tùy ý cho tru.ó.c. Tù. d̄ó, ta có thê’ tı́nh gâ d̄a.o hàm và tı́ch phân cu’a nó trên R. Các bài toán nô.i suy cô’ d̄iê’n ra d̄ò.i tù. râ´t só.m và d̄óng vai trò râ´t quan tro.ng trong thu..c tê´. Do d̄ó, viê.c nghiên cú.u các bài toán nô.i suy là râ´t có ý nghı̃a. . ` vâ´n d̄ê ` này không d̄u.o..c d̄ê ` câ.p, nhu.ng nhũ.ng O˙’ các tru.ò.ng phô’ thông, lý thuyê´t vê ú.ng du.ng so. câ´p cu’a nó cũng ”â’n hiê.n” không ı́t, chă’ng ha.n trong các phu.o.ng trı̀nh d̄u.ò.ng hoă.c phu.o.ng trı̀nh mă.t bâ.c hai, trong các d̄ă’ng thú.c da.ng phân thú.c và d̄ă.c biê.t là viê.c ú.ng du.ng công thú.c nô.i suy Lagrange và khai triê’n Taylor d̄ê’ gia’i mô.t sô´ bài toán ` thi ho.c sinh gio’i các câ´p. khó trong các d̄ê ` cho.n lo.c nhũ.ng vâ´n d̄ê ` co. ba’n nhâ´t vê ` các bài Vı̀ vâ.y, viê.c hı̀nh thành mô.t chuyên d̄ê . . . . toán nô.i suy, du ó i góc d̄ô. toán phô’ thông, d̄ă.c biê.t là nhũ ng ú ng du.ng cu’a nó trong quá ` n thiê´t. Ho.n nũ.a, chuyên d̄ê ` này cũng có thê’ trı̀nh gia’i mô.t sô´ da.ng toán khó là râ´t câ . ` u cu’a bâ.c làm tài liê.u tham kha’o cho các giáo viên gio’i và các sinh viên nhũ ng năm d̄â d̄a.i ho.c. Ý tu.o’.ng muô´n thu..c hiê.n luâ.n văn này hı̀nh thành tru.ó.c khi cuô´n sách chuyên kha’o - ây vù.a là mô.t thuâ.n lo..i vù.a là mô.t khó khăn cho nô˜ lu..c tı̀m kiê´m nhũ.ng [2] ra d̄ò.i. D nét mó.i cho luâ.n văn cu’a tác gia’, vı̀ cuô´n sách trên là mô.t tài liê.u râ´t quı́ giá, trong khi ` u nhu. chu.a có mô.t tài liê.u toán so. câ´p nào d̄ê ` câ.p d̄ê´n vâ´n d̄ê ` này mô.t cách tro.n d̄ó hâ ` câ.p sâu vê ` lý thuyê´t mà cô´ gă´ng tı̀m kiê´m nhũ.ng ve. n. Do d̄ó, luâ.n văn không quá d̄ê ú.ng du.ng cu’a nó vào viê.c gia’i và sáng tác các bài tâ.p o’. phô’ thông, d̄ă.c biê.t là nhũ.ng ú.ng 2 du.ng thu.ò.ng gă.p cu’a công thú.c nô.i suy Lagrange và khai triê’n Taylor. ` m các phâ ` n Mo’. d̄â ` u, ba chu.o.ng nô.i dung, kê´t Ba’n tóm tă´t luâ.n văn dày 24 trang, gô luâ.n và Tài liê.u tham kha’o. Chu.o.ng 1: Các bài toán nô.i suy cô’ d̄iê’n. ` các bài toán nô.i suy cô’ d̄iê’n, Nô.i dung chu.o.ng này trı̀nh bày mô.t cách co. ba’n nhâ´t vê d̄ó là Bài toán nô.i suy Lagrange, Bài toán nô.i suy Taylor, Bài toán nô.i suy Newton và Bài toán nô.i suy Hermite. Chu.o.ng 2: Mô.t sô´ ú.ng du.ng cu’a công thú.c nô.i suy. - ây là mô.t trong nhũ.ng nô.i dung tro.ng tâm cu’a luâ.n văn. Vó.i tâ ` m quan tro.ng o’. D ` câ.p thành phô’ thông, công thú.c nô.i suy Lagrange và nhũ.ng ú.ng du.ng cu’a nó d̄u.o..c d̄ê . . . . . . ` n riêng trong chu o ng này vó i nhũ ng phu o ng pháp gia’i toán khá d̄a da.ng và mô.t phâ ` xuâ´t khá phong phú. Nhiê ` u d̄ă’ng thú.c du.ó.i da.ng phân thú.c mô.t sô´ lu.o..ng bài tâ.p d̄ê ` n gô´c tù. công thú.c nô.i suy Lagrange d̄ã d̄u.o..c luâ.n văn phát hiê.n. Nhiê ` u bài có nguô . . ` ng cách áp du.ng công toán thi cho.n ho.c sinh gio’i quô´c gia và quô´c tê´ d̄ã d̄u o. c gia’i bă . . . . ` n còn la.i cu’a chu o ng trı̀nh bày mô.t sô´ ú ng du.ng cu’a các công thú.c thú c nô.i suy này. Phâ ` n cuô´i chu.o.ng. nô.i suy còn la.i. Mô.t sô´ bài tâ.p dành cho ba.n d̄o.c cũng d̄u.o..c gió.i thiê.u o’. phâ . Chu.o.ng 3: Ú ng du.ng công thú.c nô.i suy d̄ê’ u.ó.c lu.o..ng và xâ´p xı’ hàm sô´. Chu.o.ng này tách riêng mô.t ú.ng du.ng cu’a các công thú.c nô.i suy d̄ê’ u.ó.c lu.o..ng và xâ´p ` này d̄ã d̄u.o..c d̄ê ` xı’ hàm sô´. Mô.t sô´ da.ng toán khó o’. phô’ thông liên quan d̄ê´n vâ´n d̄ê ` thi cho.n ho.c sinh gio’i quô´c gia và quô´c tê´. Mô.t câ.p, trong d̄ó có nhũ.ng bài trong các d̄ê ` n cu’a luâ.n văn d̄ã d̄u.o..c d̄ăng ta’i trong các ky’ yê´u hô.i nghi. chuyên ngành, chă’ng sô´ phâ ha.n [1]. Luâ.n văn d̄u.o..c hoàn thành nhò. su.. hu.ó.ng dâ˜n khoa ho.c và nhiê.t tı̀nh cu’a Tiê´n sỹ - ào Chiê´n - Ngu.ò.i Thâ ` y râ´t nghiêm khă´c và tâ.n tâm trong công viê.c, truyê ` n d̄a.t Tri.nh D . . . ` u kiê´n thú c quı́ báu cũng nhu kinh nghiê.m nghiên cú u khoa ho.c trong suô´t thò.i gian nhiê ` tài. Chı́nh vı̀ vâ.y mà tác gia’ luôn to’ lòng biê´t o.n chân thành và sâu să´c nghiên cú.u d̄ê - ào Chiê´n. ` y giáo hu.ó.ng dâ˜n - Tiê´n sỹ Tri.nh D d̄ô´i vó.i Thâ . . Nhân d̄ây, tác gia’ xin d̄u o. c bày to’ lòng biê´t o.n chân thành d̄ê´n: Ban Giám Hiê.u, - a.i ho.c và sau D - a.i ho.c, Khoa toán cu’a tru.ò.ng D - a.i ho.c Qui Nho.n, cùng quı́ Phòng d̄ào ta.o D ` y cô giáo d̄ã tham gia gia’ng da.y và hu.ó.ng dâ˜n khoa ho.c cho ló.p cao ho.c toán khóa 8. thâ UBND tı’ nh, So’. giáo du.c và d̄ào ta.o tı’ nh Gia Lai, Ban Giám Hiê.u tru.ò.ng THPT Ia Grai ` y cô giáo cu’a nhà tru.ò.ng d̄ã d̄ô.ng viên, se’ d̄ã cho tác gia’ co. hô.i ho.c tâ.p, cùng vó.i quı́ thâ ` u kiê.n thuâ.n lo..i d̄ê’ tác gia’ nghiên cú.u và hoàn thành luâ.n chia công viê.c và ta.o mo.i d̄iê văn này. Trong quá trı̀nh hoàn thành luâ.n văn, tác gia’ còn nhâ.n d̄u.o..c su.. quan tâm d̄ô.ng viên ` ng nghiê.p, các anh chi. em trong các ló.p cao ho.c khóa VII, VIII, XIX cu’a cu’a các ba.n d̄ô - a.i ho.c Qui Nho.n. Tác gia’ xin chân thành ca’m o.n tâ´t ca’ nhũ.ng su.. quan tâm tru.ò.ng D d̄ô.ng viên d̄ó. 3 - ê’ hoàn thành luâ.n văn này, tác gia’ d̄ã tâ.p trung râ´t cao d̄ô. trong hoc tâ.p và nghiên D . ` u ha.n chê´ cú u khoa ho.c, cũng nhu. râ´t câ’n thâ.n trong nhân chê´ ba’n. Trong d̄ó ı́t nhiê ` thò.i gian cũng nhu. trı̀nh d̄ô. hiê’u biê´t nên trong quá trı̀nh thu..c hiê.n không thê’ tránh vê ` y cô và nhũ.ng kho’i nhũ.ng thiê´u sót, tác gia’ râ´t mong nhâ.n d̄u.o..c su.. chı’ ba’o cu’a quı́ thâ góp ý cu’a ba.n d̄o.c d̄ê’ luâ.n văn d̄u.o..c hoàn thiê.n ho.n. Quy Nho.n, tháng 03 năm 2008 Tác gia’ 4 Chu.o.ng 1 Các bài toán nô.i suy cô˙’ d̄iê˙’n ` câ.p mô.t sô´ bài toán nô.i suy cô’ d̄iê’n sẽ su’. du.ng o’. Trong chu.o.ng này, luâ.n văn d̄ê các chu.o.ng sau, d̄ó là: Bài toán nô.i suy Lagrange, Bai toán nô.i suy Taylor, Bài toán nô.i suy Newton và Bài toán nô.i suy Hermite. Lò.i gia’i cho các bài toán này là các d̄a thú.c nô.i suy tu.o.ng ú.ng mà chú.ng minh chi tiê´t d̄ã d̄u.o..c trı̀nh bày trong [2] 1.1 1.1.1 Bài toán nô.i suy Lagrange Bài toán nô.i suy Lagrange Cho các sô´ thu..c xi , ai, vó.i xi 6= xj , vó.i mo.i i 6= j, i, j = 1, 2, · · · , N . Hãy xác d̄i.nh ` u kiê.n d̄a thú.c L(x) có bâ.c degL(x) ≤ N − 1 và tho’a các d̄iê L(xi ) = ai , ∀i = 1, 2, · · · , N . 1.1.2 - a thú.c nô.i suy Lagrange D Ký hiê.u Li (x) = N Y j=1,j6=i x − xj ; i = 1, 2, · · · , N. xi − x j Khi d̄ó, d̄a thú.c L(x) = N X ai Li (x) i=1 ` u kiê.n cu’a bài toán nô.i suy Lagrange và ta go.i d̄a thú.c là d̄a thú.c duy nhâ´t tho’a mãn d̄iê này là d̄a thú.c nô.i suy Lagrange. 5 1.2 1.2.1 Bài toán nô.i suy Taylor Bài toán nô.i suy Taylor Cho các sô´ thu..c x0 , ai, vó.i i = 0, 1, · · · , N − 1. Hãy xác d̄i.nh d̄a thú.c T (x) có bâ.c ` u kiê.n degT (x) ≤ N − 1 và tho’a mãn các d̄iê T i (x0) = ai , ∀i = 0, 1, · · · , N − 1. 1.2.2 - a thú.c nô.i suy Taylor D - a thú.c D T (x) = N −1 X i=0 ai (x − x0 )i i! ` u kiê.n cu’a bài toán nô.i suy Taylor và go.i d̄a thú.c này là d̄a thú.c duy nhâ´t tho’a mãn d̄iê là d̄a thú.c nô.i suy Taylor. 1.3 1.3.1 Bài toán nô.i suy Newton Bài toán nô.i suy Newton Cho các sô´ thu..c xi , ai , vó.i i = 1, 2, · · · , N . Hãy xác d̄i.nh d̄a thú.c N (x) có bâ.c ` u kiê.n degN (x) ≤ N − 1 và tho’a mãn các d̄iê i−1 N (xi ) = ai , ∀i = 1, 2, · · · , N. 1.3.2 - a thú.c nô.i suy Newton D Ký hiê.u Ri (x1 , x2, · · · , xi, x) = Z x x1 Z t x2 Z t1 ··· Z x3 ti−2 dti−1 ...dt2.dt1.dt; i = 1, 2, · · · , N. xi khi d̄ó, d̄a thú.c N (x) = N X ai Ri−1 (x1, x2, ..., xi−1, x) i=1 = a1 + a2 R(x1, x) + a3 R2 (x1, x2, x) + · · · + aN RN −1(x1 , · · · , xN −1, x) ` u kiê.n cu’a bài toán nô.i suy Newton và ta go.i d̄a thú.c là d̄a thú.c duy nhâ´t tho’a mãn d̄iê này là d̄a thú.c nô.i suy Newton 6 Nhâ.n xét 1.1. Vó.i xi = x0 , vó.i mo.i i = 1, 2, · · · , N , thı̀  Ri (x0 , x1, · · · , xi−1, x) = Ri x0, · · · , x0, x | {z } `n i lâ Z x Z t Z t1 Z ti−2 = ··· dti−1 ...dt2.dt1 .dt x0 x0 x0 x0 (x − x0 )i = ; vó.i i = 1, 2, · · · , N i! Khi d̄ó N (x) = N X  ai R i x 0 , · · · , x 0 , x = | {z } i=1 `n i lâ  = a0 + a1 R(x0, x) + a2 R2 (x0, x0, x) + · · · + aN −1 RN −1 x0 , · · · , x0, x | {z } `n N −1 lâ 2 N −1 (x − x0) (x − x0) = a0 + a1 (x − x0) + a2 + · · · + aN −1 2 (N − 1)! = N −1 X i=0 ai (x − x0)i ≡ T (x). i! Vâ.y, vó.i xi 6= x0 , ; ∀i = 1, 2, · · · , N , thı̀ d̄a thú.c nô.i suy Newton chı́nh là d̄a thú.c nô.i suy Taylor. 1.4 1.4.1 Bài toán nô.i suy Hermite Bài toán nô.i suy Hermite Cho các sô´ thu..c xi , aki , i = 1, 2, · · · , n; k = 0, 1, · · · , pi − 1 và xi 6= xj , vó.i mo.i i 6= j, trong d̄ó p1 + p2 + · · · + pn = N . Hãy xác d̄i.nh d̄a thú.c H(x) có bâ.c degH(x) ≤ N − 1 và ` u kiê.n tho’a mãn các d̄iê H (k)(xi ) = aki , ∀i = 1, 2, · · · , n; ∀k = 0, 1, · · · , pi − 1 1.4.2 - a thú.c nô.i suy Hermite D Ký hiê.u W (x) = n Y (x − xj )pj ; j=1 Wi (x) = W (x) = (x − xi )pi n Y j=1,j6=i (x − xj )pj ; i = 1, 2, · · · , n 7 Go.i d̄oa.n khai triê’n Taylor d̄ê´n câ´p thú. pi −1−k, vó.i k = 0, 1, · · · , l; l = 0, 1, · · · , pi −1, 1 ta.i x = xi cu’a hàm sô´ (i = 1, 2, · · · , n) là Wi (x) T ( 1 Wi (x) )(pi −1−k) pi −1−k X = l=0 (x=xi ) " 1 Wi (x) #(l) (x=xi ) (x − xi )l . l! khi d̄ó, d̄a thú.c H(x) = n pX i −1 X i=1 k=0 (x − xi )k aki Wi (x)T k! ( 1 Wi (x) )(pi −1−k) . (x=xi ) ` u kiê.n cu’a bài toán nô.i suy Hermite và ta go.i d̄a thú.c là d̄a thú.c duy nhâ´t tho’a mãn d̄iê này là d̄a thú.c nô.i suy Hermite. Nhâ.n xét 1.2. Vó.i n = 1, thı̀ i = 1 và p1 = N . Khi d̄ó, ta có W (x) = (x − x1 )N ; W1(x) = W (x) = 1. (x − x1 )N Do d̄ó, d̄oa.n khai triê’n T ( 1 W1(x) )(N −1−k) n o(N −1−k) =T 1 = 1. (x=x1 ) (x=x1 ) Khi d̄ó, ta có H(x) = N −1 X ak1 k=0 (x − x1 )k ≡ T (x). k! Vâ.y, vó.i n = 1, thı̀ d̄a thú.c nô.i suy Hermite chı́nh là d̄a thú.c nô.i suy Taylor. Nhâ.n xét 1.3. Vó.i k = 0, thı̀ pi = 1, vó.i mo.i i = 1, 2, · · · , n. Khi d̄ó p1 + p2 + · · · + pn = N, hay n = N . Do d̄ó, ta có W (x) = N X (x − xj ); j=1 Wi (x) = N Y j=1,j6=i (x − xj ), i = 1, 2, · · · , N. 8 khi d̄ó, d̄oa.n khai triê’n Taylor ( )0 1 1 T = = Wi (x) Wi (xi ) 1 N Q (x=xi ) , i = 1, 2, · · · , N. (xi − xj ) j=1,j6=i Vâ.y, ta có H(x) = N X N Y a0i i=1 j=1,j6=i x − xj ≡ L(x). xi − x j Vâ.y, vó.i k = 0, thı̀ d̄a thú.c nô.i suy Hermite chı́nh là d̄a thú.c nô.i suy Lagrange. Trong tru.ò.ng ho..p tô’ng quát, viê.c biê’u diê˜n d̄a thú.c Hermite khá phú.c ta.p. Du.ó.i d̄ây là mô.t ` u kiê.n chı’ vài tru.ò.ng ho..p riêng d̄o.n gia’n khác cu’a d̄a thú.c nô.i suy Hermite, khi hê. d̄iê . chú a d̄a.o hàm bâ.c nhâ´t. Nhâ.n xét 1.4. Nê´u pi = 2, vó.i mo.i i = 1, 2, · · · , n, thı̀ khi d̄ó k = 0 hoă.c k = 1. + Vó.i k = 0, ta có ( ( )(pi−1−k) )(1) 1 h X 1 1 i(l) (x − xi )l 1 T =T = Wi (x) Wi (x) Wi (x) (x=xi ) l! (x=xi ) = 1 − Wi (xi ) l=0 (x=xi ) 0 Wi (xi ) (x − xi ) Wi2 (xi ) Wi0(xi ) ! 1 = 1− (x − xi ) , vó.i i = 1, 2, · · · , n. Wi (xi ) Wi (xi) + Vó.i k = 1, ta có ( ( )(pi−1−k) )(0) 1 1 T =T Wi (x) Wi (x) (x=xi ) = 1 − Wi (xi ) = 0 h X 1 i(l) (x − xi )l Wi (x) (x=xi ) l! l=0 (x=xi ) 0 Wi (xi) (x − xi ) Wi2 (xi) = 1 . Wi (xi) Khi d̄ó, ta có H(x) = = = = = ( )(pi −1−k) (x − xi )k 1 aki Wi (x)T k! Wi (x) i=1 k=0 (x=xi ) ( ( )(1) )(0) ! n X 1 1 a0i Wi (x)T +a1i (x − xi )Wi(x)T Wi (x) Wi (x) i=1 (x=xi ) (x=xi ) !   n X 1 1 Wi0(xi ) Wi (x) a0i 1− (x − xi ) +a1i (x − xi ) Wi (xi ) Wi (xi) Wi(xi ) i=1 !   n X Wi0 (xi ) Wi (x) a0i 1 − (x − xi ) +a1i (x − xi ) Wi (xi ) Wi (xi ) i=1 !   n X Wi (x) Wi0 (xi ) a0i − a0i − a1i (x − xi ) . Wi (xi ) Wi (xi ) 1 n X X i=1 9 ` ng ` n bài toán nô.i suy Lagrange, ta d̄ã biê´t ră Ngoài ra, trong phâ Li (x) = n X j=1,j6=i x − xj ; i = 1, 2, · · · , n xi − x j  1, khi i = j Li (xj ) = 0, khi i 6= j. và Do d̄ó Li (xi) ≡ 1, ∀i = 1, n. Vâ.y Wi (x) = Wi (xi) n Y j=1,j6=i (x − xj )2 = L2i (x); i = 1, n. (xi − xj )2 - a.o hàm theo x hai vê´ cu’a d̄ă’ng thú.c trên, ta d̄u.o..c D Wi0 (x) = 2Li(x)L0i (x) = 2L0i(xi ). Wi (xi) Do d̄ó, d̄a thú.c nô.i suy Hermite trong tru.ò.ng ho..p này có da.ng H(x) = n X   ! L2i (x) a0i − 2a0i L0i (xi) − a1i (x − xi ) . i=1 Du.ó.i d̄ây là mô.t vài minh ho.a cho viê.c vâ.n du.ng các công thú.c nô.i suy (do tác gia’ sáng tác) ` u kiê.n sau: Bài toán 1.1. Cho d̄a thú.c P (x) bâ.c 4, tho’a mãn các d̄iê P (−1) = 3a + 1 (a > 0) ; P 0 (0) = 0; P 00(1) = 4(3 + a); P (3)(−2) = −48; P (4)(2008) = 24. ` ng: Chú.ng minh ră Q(x) = P (x) + P 0 (x) + P 00 (x) + P (3)(x) + P (4) (x) > 0. ∀x ∈ R. Bài toán 1.2. Cho d̄a thú.c P (x) bâ.c n, tho’a mãn: P (2007) < 0; −P 0 (2007) ≤ 0, P 00(2007) ≤ 0, · · · , (−1)nP (n) ≤ 0; P (2008) > 0, P 0 (2008) ≥ 0, P 00 (2008) ≥ 0, · · · , P (n)(2008) ≥ 0. ` ng các nghiê.m thu..c cu’a P (x) thuô.c (2007; 2008). Chú.ng minh ră 10 Chu.o.ng 2 Mô.t sô´ ú.ng du.ng cu̇’a công thú.c nô.i suy ` câ.p Chu.o.ng này trı̀nh bày mô.t sô´ ú.ng du.ng cu’a các công thú.c nô.i suy, trong d̄ó d̄ê . . . . . ` u ú ng du.ng d̄ê’ gia’i mô.t sâu ho n d̄ô´i vó i công thú c nô.i suy Lagrange, công thú c có nhiê . sô´ bài toán khó o’ hê. phô’ thông chuyên toán. ` ú.ng du.ng công thú.c nô.i suy trong u.ó.c lu.o..ng và xâ´p xı’ hàm sô´ là hai nô.i dung Vâ´n d̄ê quan tro.ng và tu.o.ng d̄ô´i khó, vó.i nhũ.ng kỹ thuâ.t chú.ng minh khá phú.c ta.p, d̄u.o..c trı̀nh bày o’. chu.o.ng sau. 2.1 2.1.1 Mô.t sô´ ú.ng du.ng cu̇’ a công thú.c nô.i suy Lagrange Công thú.c nô.i suy Lagrange - i.nh nghı̃a 2.1. Cho n sô´ x1 , x2, · · · , xn phân biê.t và n sô´ a1 , a2, · · · , an tùy ý. Thê´ D ` n ta.i duy nhâ´t mô.t d̄a thú.c P (x) vó.i bâ.c không vu.o..t quá n − 1, tho’a mãn thı̀ tô P (xj ) = aj ; ∀j = 1, 2, · · · , n. - a thú.c có da.ng D n X aj j=1 n Y i=1,ı6=j x − xi xj − x i (2.1) (2.2) - a thú.c (2.2) d̄u.o..c go.i là d̄a thú.c nô.i suy Lagrange hoă.c công thú.c nô.i suy Lagrange. D Các sô´ x1 , x2, · · · , xn d̄u.o..c go.i là các nút nô.i suy. (?) Tù. công thú.c nô.i suy Lagrange, ta có - i.nh nghı̃a 2.2. Cho n sô´ x1 , x2, · · · , xn phân biê.t. Thê´ thı̀ mo.i d̄a thú.c P (x) vó.i bâ.c D ` u có thê viê´t du.ó.i da.ng không vu.o..t quá n − 1 d̄ê P (x) = n X j=1 P (xj ) n Y i=1,i6=j x − xi . xj − x i (2.3) 11 Nhâ.n xét 2.1. (Ý nghı̃a hı̀nh ho.c) - a thú.c (2.3) và (2.4) khá quen thuô.c trong chu.o.ng trı̀nh toán phô’ thông. Ta thu’. d̄i D tı̀m ý nghı̃a hı̀nh ho.c cu’a chúng, chă’ng ha.n (2.4). ` ng, trên mă.t phă’ng to.a d̄ô. Oxy cho 3 d̄iê’m A(x1; y1 ), B(x2; y2), C(x2; y2), vó.i Gia’ su’. ră x1 , x2.x3 khác nhau tù.ng d̄ôi mô.t. ` n ta.i duy nhâ´t mô.t d̄u.ò.ng cong y = P (x), trong d̄ó là Thê´ thı̀, theo (2.1) và (2.2) tô d̄a thú.c vó.i degP (x) ≤ 2, tho’a mãn P (x1 ) = y1 (nghı̃a là d̄u.ò.ng cong qua d̄iê’m A); P (x2 ) = y2 (nghı̃a là d̄u.ò.ng cong qua d̄iê’m B); P (x3 ) = y3 (nghı̃a là d̄u.ò.ng cong qua d̄iê’m C). Ho.n nũ.a, d̄u.ò.ng cong còn có phu.o.ng trı̀nh cu. thê’ là y = P (x), tròn d̄ó P (x) có da.ng (2.4) và các hê. sô´ aj chı́nh là yj , j = 1, 2, 3. ` thi. y = P (x) là parabol d̄i qua 3 d̄iê’m A, B, C. + Vó.i degP (x) = 2, d̄ô ` thi. y = P (x) là d̄u.ò.ng thă’ng d̄i qua 3 d̄iê’m A, B, C, không + Vó.i degP (x) = 1, d̄ô cùng phu.o.ng vó.i tru.c hoành. ` thi. y = P (x) là d̄u.ò.ng thă’ng d̄i qua 3 d̄iê’m A, B, C, cùng + Vó.i degP (x) = 0, d̄ô phu.o.ng vó.i tru.c hoành. Công thú.c nô.i suy Lagrange chı́nh là ”các gô´c” cu’a mô.t sô´ phu.o.ng trı̀nh d̄u.ò.ng cong (hoă.c d̄u.ò.ng thă’ng) d̄i qua các d̄iê’m cho tru.ó.c trong mă.t phă’ng to.a d̄ô.. Nhâ.n xét 2.2. Vó.i d̄a thú.c P (x) có degP (x) ≤ n − 1 cho tru.ó.c, các sô´ aj trong (2.2) d̄u.o..c thay bo’.i P (xj ), vó.i j = 1, 2, · · · , n. Bây giò. ta thu’. d̄i tı̀m mô.t ú.ng du.ng cu’a (2.5). Gia’ su’. x1 , x2, · · · , xn là n sô´ thu..c phân biê.t, n ≥ 2. Xét d̄a thú.c n Y P (x) = xn − (x − xi ). (2.4) i=1 Tù. d̄ó, áp du.ng (2.5), ta có n X j=1 n X xnj Qn xj . = i=1,i6=j (xj − xi ) (2.5) j=1 Bây giò., ta hãy tı̀m mô.t ú.ng du.ng cu’a (2.15) d̄ê’ ta.o ra nhũ.ng d̄ă’ng thú.c mó.i. Tro’. la.i vó.i d̄a thú.c P (x) = an xn + an−1 xn−1 + .. + a1 x + a0 , an 6= 0, n ≥ 2, có n nghiê.m thu..c phân biê.t x1 , x2, ..., xn. Vó.i n giá tri. phân biê.t x1 , x2, ..., xn, áp du.ng công thú.c nô.i suy Lagrange d̄ô´i vó.i d̄a thú.c f (x) = xk , k 6 n − 1, ta có k x = n X j=1 xkj ωj (x) 12 Ta có k x = n X j=1 n X xkj xkj ω(x) = a n 0 (x − xj )ω (xj ) j=1 Qn i=1,i6=j (x − xi ) 0 P (xj ) . Biê’u thú.c cuô´i cùng là mô.t d̄a thú.c có hê. sô´ cu’a xn−1 là an n X j=1 xkj . P 0 (xj ) So sánh các hê. sô´ cu’a d̄a thú.c xk , ta d̄u.o..c các d̄ă’ng thú.c sau: n X j=1 xkj 0 P (xj ) n X j=1 2.1.2 = 0, ∀k ∈ {0, 1, 2, ..., n − 2}; xkj 1 , vó.i k = n − 1. = P 0 (xj ) an (2.6) (2.7) Mô.t sô´ ú.ng du.ng ` n tro.ng tâm cu’a phâ ` n này tâ.p trung vào viê.c áp du.ng mô.t cách khá linh hoa.t Phâ ` thi cho.n ho.c công thú.c nô.i suy Lagrange d̄ê’ gia’i mô.t sô´ bài toán khó, trong d̄ó có các d̄ê sinh gio’i trong nu.ó.c, khu vu..c và quô´c tê´. ` ng 3; 1; 7, ta.i x bă ` ng −1; 0; 3 Bài toán 2.1. Xác d̄i.nh d̄a thú.c bâ.c hai nhâ.n giá tri. bă . . . tu o ng ú ng. ` ng nê´u d̄a thú.c f (x) Bài toán 2.2. Cho a1 , a2, ..., an là n sô´ khác nhau. Chú.ng minh ră có bâ.c không ló.n ho.n n − 2, thı̀: T= f (a1) f (an ) + ... + = 0. (a1 − a2 )(a1 − a3)...(a1 − an ) (an − a1 )(an − a2 )...(an − an−1 ) ` ng nê´u d̄a thú.c bâ.c hai nhâ.n giá tri. nguyên ta.i ba giá tri. Bài toán 2.3. Chú.ng minh ră nguyên liên tiê´p cu’a biê´n sô´ x, thı̀ d̄a thú.c nhâ.n giá tri. nguyên ta.i mo.i x nguyên. `n Bài toán 2.4. Cho a1 , a2, ..., an là n sô´ khác nhau. Go.i Ai (i = 1, 2, ..., n) là phâ . . . ` n du r(x) trong phép chia f (x) du trong phép chia d̄a thú c f (x) cho x − ai . Hãy tı̀m phâ cho (x − a1 )(x − a2)...(x − an ). Bài toán 2.5. (Vô d̄i.ch Châu Á Thái Bı̀nh Du.o.ng, 2001) Trong mă.t phă’ ng vó.i hê. tru.c to.a d̄ô. vuông góc, mô.t d̄iê’m d̄u.o..c go.i là d̄iê’m hô˜n ho..p ` n to.a d̄ô. cu’a d̄iê’m d̄ó là sô´ hũ.u tı’ , thành phâ ` n kia là sô´ vô nê´u mô.t trong hai thành phâ . . . ˜ ` thi. cu’a môi d̄a thú c d̄ó không chú.a tı’ . Tı̀m tâ´t ca’ các d̄a thú c có hê. sô´ thu. c sao cho d̄ô bâ´t kỳ d̄iê’m hô˜n ho..p nào ca’. Bài toán 2.6. Tı̀m tâ´t ca’ các că.p d̄a thú.c P (x) và Q(x) có bâ.c ba vó.i các hê. sô´ thu..c ` u kiê.n: tho’a mãn 4 d̄iê a) Ca’ hai d̄a thú.c nhâ.n giá tri. 0 hoă.c 1 ta.i các d̄iê’m x = 1, 2, 3, 4; 13 b) Nê´u P (1) = 0 hoă.c P (2) = 1, thı̀ Q(1) = Q(3) = 1; c) Nê´u P (2) = 0 hoă.c P (4) = 0, thı̀ Q(2) = Q(4) = 0; d) Nê´u P (3) = 1 hoă.c P (4) = 1, thı̀ Q(1) = 0. Bài toán 2.7. (Vô d̄i.ch Mỹ - 1975) - a thú.c P (x) bâ.c n tho’a mãn các d̄ă’ ng thú.c P (k) = D 1 k Cn+1 , vó.i k = 0, 1, 2, ..., n. Tı́nh P (n + 1). Bài toán 2.8. Gia’ su’. d̄a thú.c c0 + c1 x + c2 x2 + ... + cn xn có giá tri. hũ.u tı’ khi x hũ.u tı’ . ` ng, tâ´t ca’ các hê. sô´ c0, c1, c2, ..., cn là nhũ.ng sô´ hũ.u tı’ . Chú.ng minh ră Bài toán 2.9. Cho p là mô.t sô´ nguyên tô´ và P (x) ∈ Z[x] là d̄a thú.c bâ.c s tho’a mãn các ` u kiê.n d̄iê 1) P (0) = 0, P (1) = 1. ` ng 1, vó.i mo.i n ∈ Z + . 2) P (n) hoă.c chia hê´t cho p hoă.c có sô´ du. bă ` ng: s ≥ p − 1. Chú.ng minh ră Bài toán 2.10. Tı̀m tâ´t ca’ các d̄a thú.c P (x) có bâ.c nho’ ho.n n (n ≥ 2) và thoa’ mãn ` u kiê.n d̄iê n X (−1)n−k−1 Cnk P (k) = 0. k=0 Bài toán 2.11. Cho sô´ tu.. nhiên s và dãy các d̄a thú.c Pn (x) có bâ.c không vu.o..t s. Gia’ ` ng hàm sô´ g(x) xác d̄i.nh trong (0; 1) và thoa’ mãn d̄iê ` u kiê.n thiê´t ră | g(x) − Pn (x) |< 1 ; ∀x ∈ (0; 1); n = 1, 2, ... n ` ng khi d̄ó tô ` n ta.i d̄a thú.c Q(x) bâ.c không vu.o..t s trùng vó.i g(x) trong Chú.ng minh ră (0; 1). Bài toán 2.12. Cho n sô´ nguyên du.o.ng d̄ôi mô.t khác nhau x1 , x2, ..., xn. Go.i pj = 0 P (xj ), trong d̄ó n Y P (x) = (x − xj ). j=1 ` ng dãy (uk ) xác d̄i.nh theo công thú.c Chú.ng minh ră uk = n X xk i i=1 pi là mô.t dãy sô´ nguyên. Bài toán 2.13. 1) Cho d̄a thú.c f (x) có bâ.c n vó.i các hê. sô´ thu..c và hê. sô´ bâ.c cao nhâ´t ` ng a. Gia’ su’. f (x) có n nghiê.m phân biê.t x1, x2, ..., xn khác 0. Chú.ng minh ră ` ng bă n n X (−1)n−1 X 1 1 = . 2 ax1 x2...xn xk xk f 0 (xk ) k=1 k=1 14 ` n ta.i hay không mô.t d̄a thú.c f (x) bâ.c n le’ vó.i hê. sô´ bâ.c cao nhâ´t a = 1 2) Có tô mà f (x) có n nghiê.m phân biê.t x1 , x2, ..., xn khác 0 thoa’ mãn 1 1 1 1 = 0? + + ... + + 0 0 0 x1 f (x1) x2 f (x2) xn f (xn ) x1 x2 ...xn 2.2 2.2.1 Mô.t sô´ ú.ng du.ng cu̇’ a các công thú.c nô.i suy khác Công thú.c nô.i suy Taylor Công thú.c nô.i suy Taylor cho ta công thú.c d̄o.n gia’n và cũng râ´t tô’ng quát d̄ê’ xác ` n chı́nh cu’a hàm sô´. Do d̄ó, d̄ê’ tı̀m gió.i ha.n, ngu.ò.i ta thu.ò.ng dùng công thú.c d̄i.nh phâ khai triê’n Taylor tó.i mô.t câ´p nào d̄ó. Du.ó.i d̄ây là mô.t sô´ vı́ du. minh ho.a. Bài toán 2.14. Tı́nh gió.i ha.n √ sin(sin x) − x 3 1 − x2 lim . x→0 x5 Bài toán 2.15. Tı́nh gió.i ha.n 3 lim (cos(x.ex) − ln(1 − x) − x)cot x . x→0 Mô.t ú.ng du.ng khá quan tro.ng cu’a công thú.c nô.i suy Taylor là viê.c xâ´p xı’ hàm sô´. Vâ´n ` này sẽ d̄u.o..c trı̀nh bày o’. chu.o.ng sau. d̄ê 2.2.2 Công thú.c nô.i suy Newton Bài toán 2.16. Cho 3 bô. sô´ thu..c (x1; a1), (x2; a2), (x3; a3). Tı̀m d̄a thú.c N (x) vó.i ` u kiê.n degN (x) ≤ 2 và tho’a mãn d̄iê N (x1) = a1, N 0(x2 ) = a2 , N 00(x3 ) = a3 Bài toán 2.17. Cho (n + 1) că.p sô´ (xj , yj ) (j = 0, . . ., n). Vó.i i 6= k ta d̄i.nh nghı̃a [xi , xk ] = y i − yk ([xi , xk ] d̄u.o..c go.i là sai phân tách bâ.c nhâ´t); xi − x k [xi+p , xi+p−1 , . . . , xi+1, xi] = [xi+p, . . . , xi+1 ] − [xi+p−1 , . . . , xi] xi+p − xi ([xi+p , xi+p−1, . . . , xi+1, xi ] d̄u.o..c go.i là sai phân tách bâ.c p). Cho x0 < x1 < . . . < xn và cho hàm sô´ y(x) là hàm kha’ vi liên tu.c d̄ê´n bâ.c n thoa’ mãn ` ng ` u kiê.n y(xj ) = yj (j = 0, 1, . . ., n). Chú.ng minh ră d̄iê [xn , xn−1 , . . . , x0] = vó.i x∗ là mô.t d̄iê’m nào d̄ó trong (x0, xn ). y (n) (x∗) , n! 15 ` ng d̄a thú.c Bài toán 2.18. Chú.ng minh ră Pn (x) = y0 + [x1, x0](x − x0 ) + [x2, x1, x0](x − x0)(x − x1 ) (2.8) + . . . + [xn , xn−1 , . . . , x0](x − x0)(x − x1 ) . . . (x − xn ) thoa’ mãn các hê. thú.c Pn (xj ) = yj ∀j ∈ {0, . . ., n}. Nhâ.n xét 2.3. Công thú.c (2.8) cũng chı́nh là mô.t cách viê´t khác cu’a d̄a thú.c nô.i suy ` n các bài toán nô.i suy. Newton d̄ã d̄u.o..c trı̀nh bày trong phâ 2.2.3 Công thú.c nô.i suy Hermite Nhâ.n xét 2.4. Trong bài toán nô.i suy Hermite, nê´u n = 2 thı̀ i = 1 hoă.c i = 2. Gia’ su’. p1 = 1 và p2 = 3. Thê´ thı̀ p1 + p2 = 4 = N . Khi d̄ó + Nê´u i = 1, thı̀ k = 0, 1, . . . , P1 − 1. Vâ.y k = 0. + Nê´u i = 2, thı̀ k = 0, 1, . . . , P2 − 1. Vâ.y k = 0, k = 1, k = 2. Bây giò., gia’ su’. a01 = 1, a02 = a12 = a22 = 0. Ta có bài tâ.p sau Bài toán 2.19. Cho hai sô´ thu..c x1 6= x2. Hãy xác d̄i.nh d̄a thú.c H(x) có bâ.c degH(x) ≤ 3 ` u kiê.n và tho’a mãn các d̄iê H(x1) = 1, H(x2) = H 0(x2) = H 00(x2 ) = 0. ` n gũi vó.i chu.o.ng trı̀nh phô’ Mô.t cách tô’ng quát, ta có bài toán du.ó.i d̄ây vó.i cách gia’i gâ thông. Bài toán 2.20. Cho hai sô´ phân biê.t x0 và x1 . Tı̀m tâ´t ca’ các d̄a thú.c P (x) vó.i ` u kiê.n degP (x) ≤ n (n ∈ N∗) tho’a mãn các d̄iê P (x0 ) = 1 P ( k)(x1) = 0, k ∈ {0, 1, . . ., n − 1}. Nhâ.n xét 2.5. Trong bài toán nô.i suy Hermite, nê´u n = 2 thı̀ i = 1 hoă.c i = 2. Gia’ su’. p1 = 2 và p2 = 3. Thê´ thı̀ p1 + p2 = 5 = N . Khi d̄ó + Nê´u i = 1, thı̀ k = 0, 1, . . . , P1 − 1. Vâ.y k = 0, k = 1. + Nê´u i = 2, thı̀ k = 0, 1, . . . , P2 − 1. Vâ.y k = 0, k = 1, k = 2. Bây giò., gia’ su’. a01 = a11 = 1, a02 = a12 = a22 = 0. Ta d̄u.o..c bài tâ.p sau 16 Bài toán 2.21. Cho hai sô´ thu..c x1 6= x2. Hãy xác d̄i.nh d̄a thú.c H(x) có bâ.c degH(x) ≤ 4 ` u kiê.n và tho’a mãn các d̄iê  H(x ) = H 0(x ) = 1 1 1 H(x ) = H 0(x ) = H 00(x ) = 0. 2 2 2 ` n gũi vó.i chu.o.ng trı̀nh Mô.t cách tô’ng quát, ta cũng có bài toán du.ó.i d̄ây, vó.i cách gia’i gâ toán phô’ thông. Bài toán 2.22. Cho hai sô´ phân biê.t x0 và x1 . Tı̀m tâ´t ca’ các d̄a thú.c P (x) vó.i ` u kiê.n degP (x) ≤ n + 1 (n ∈ N∗ ) tho’a mãn các d̄iê P (x0) = 1, P 0 (x0 ) = 1, P ( k)(x1) = 0, k ∈ {0, 1, . . ., n − 1}. 2.3 Bài tâ.p ` m. ` xuâ´t 10 bài tâ.p do tác gia’ sáng tác hoă.c su.u tâ Luâ.n văn d̄ã d̄ê 17 Chu.o.ng 3 . Ú ng du.ng công thú.c nô.i suy d̄ê˙’ u.ó.c lu.o..ng và xâ´p xı̇’ hàm sô´ Mô.t trong nhũ.ng ú.ng du.ng quan tro.ng cu’a các công thú.c nô.i suy là u.ó.c lu.o..ng và xâ´p - ây là mô.t nô.i dung quan tro.ng trong lý thuyê´t hàm. Nhũ.ng tru.ò.ng ho..p xı’ hàm sô´. D ` này d̄ã tro’. thành nhũ.ng bài toán khó o’. phô’ thông và thu.ò.ng xuâ´t hiê.n nho’ cu’a vâ´n d̄ê trong các kỳ thi ho.c sinh gio’i quô´c gia và quô´c tê´, ` câ.p d̄ê´n Trong pha.m vi cu’a chu.o.ng trı̀nh phô’ thông chuyên toán, chu.o.ng này sẽ d̄ê các ú.ng du.ng nêu trên . U ó.c lu.o..ng hàm sô´ 3.1 3.1.1 . U ó.c lu.o..ng hàm sô´ theo các nút nô.i suy Lagrange ` u kiê.n: Bài toán 3.1. Cho tam thú.c bâ.c hai f (x) = ax2 + bx + c tho’a mãn d̄iê | f (x) |6 1, khi | x |6 1. ` Chúng minh ră ng vó.i mo.i M ≥ 1, ta có: | f (x) |6 2M 2 − 1, khi | x |6 M. ` u kiê.n Bài toán 3.2. Cho d̄a thú.c P (x) bâ.c không vu.o..t quá 2n và thoa’ mãn d̄iê | P (k) |6 1; ∀k ∈ {−n, −n + 1, ..., n − 1, n}. ` ng Chú.ng minh ră | P (x) |6 4n ; ∀x ∈ {−n; n}. ` u kiê.n | f (x) |6 1 Bài toán 3.3. Cho d̄a thú.c f (x) = ax4 +bx3 +cx2 +dx+e tho’a mãn d̄iê . . . . ` ng vó i mo.i M > 1 cho tru ó c ta d̄ê ` u có khi | x |6 1. Chú ng minh ră 32 4 32 2 | f (x) |6 M − M + 1, khi | x |6 M. 3 3 . . . ` ng Bài toán 3.4. Gia’ su’ cho tru ó c các sô´ nguyên x0 < x1 < ... < xn . Chú.ng minh ră n n−1 . . giũ a các giá tri. cu’a d̄a thú c x + a1 x + ... + an ta.i các d̄iê’m x0 , x1, ..., xn luôn tı̀m n! d̄u.o..c mô.t sô´ mà giá tri. tuyê.t d̄ô´i cu’a nó không bé ho.n n . 2 18 ` u kiê.n Bài toán 3.5. Cho d̄a thú.c P (x) bâ.c 6 2n thoa’ mãn d̄iê |P (k)| 6 1, k = −n, −(n − 1), . . ., 0, 1, . . ., n. ` ng Chú.ng minh ră |P (x)| 6 2n ∀x ∈ [−n, n]. 3.1.2 . U ó.c lu.o..ng hàm sô´ theo các nút nô.i suy Chebyshev - a thú.c Chebyshev 3.1.2.1 D - .inh nghı̃a 3.1. Các d̄a thú.c Tn (x) (n ∈ N) d̄u.o..c xác d̄i.nh nhu. sau D   T (x) = 1; T (x) = x, 0 1  T (x) = 2xT (x) − T (x) ∀n > 1 n+1 n n−1 d̄u.o..c go.i là các d̄a thú.c Chebyshev (loa.i 1). - .inh nghı̃a 3.2. Các d̄a thú.c Un (x) (n ∈ N) xác d̄i.nh nhu. sau D   U (x) = 0; U (x) = 1, 0 1  U (x) = 2xU (x) − U (x) ∀n > 1 n+1 n n−1 d̄u.o..c go.i là các d̄a thú.c Chebyshev (loa.i 2). 3.1.2.2 Tı́nh châ´t cu’a các d̄a thú.c Tn (x) Tı́nh châ´t 3.1. Tn (x) = cos(n arccos x) vó.i mo.i x ∈ [−1, 1] ` ng 2n−1 và là hàm chă˜n khi Tı́nh châ´t 3.2. Tn (x) ∈ Z[x] bâ.c n có hê. sô´ bâ.c cao nhâ´t bă n chă˜n; là hàm le’ khi n le’. Tı́nh châ´t 3.3. Tn (x) có d̄úng n nghiê.m phân biê.t trên [-1, 1 ] là xk = cos 2k + 1 π (k = 0, 1, . . ., n − 1). 2n Tı́nh châ´t 3.4. |Tn(x)| 6 1 ∀x ∈ [−1, 1] và |Tn (x)| = 1 khi x = cos kπ , k ∈ Z. n - a thú.c T ∗(x) = 21−n Tn (x) là d̄a thú.c bâ.c n vó.i hê. sô´ bâ.c cao nhâ´t Tı́nh châ´t 3.5. D ` ng 1 và có d̄ô. lê.ch so vó.i 0 trên [−1, 1] là nho’ nhâ´t trong tâ´t ca’ các d̄a thú.c bâ.c n vó.i bă ` ng 1. hê. sô´ bâ.c cao nhâ´t bă 3.1.2.3 Tı ´nh châ´t cu’a d̄a thú.c Un (x) Tı́nh châ´t 3.6. Un (x) = sin(n arccos x) . √ vó i mo.i x ∈ (−1, 1). 1 − x2 19 1 sin nt Tı́nh châ´t 3.7. Un (x) = Tn0 (x) = , cos t = x, d̄a thú.c bâ.c n − 1 có hê. sô´ bâ.c cao n sin t ` ng 2n−1 và là hàm chă˜n khi n le’; là hàm le’ khi n chă˜n. nhâ´t bă Tı́nh châ´t 3.8. Tn (x) có d̄úng n nghiê.m phân biê.t trên [-1, 1 ] là xk = cos 2k + 1 π (k = 0, 1, . . ., n − 1). 2n Tı́nh châ´t 3.9. |Un (x)| 6 n ∀x ∈ [−1, 1] và |Tn0 (x)| 6 n2 ∀x ∈ [−1, 1]. Du.ó.i d̄ây là mô.t sô´ bài toán áp du.ng. Bài toán 3.6. Cho d̄a thú.c Pn−1 (x) bâ.c 6 n − 1 vó.i hê. sô´ bâ.c cao nhâ´t a0 , tho’a mãn ` u kiê.n d̄iê p 1 − x2 |Pn−1 (x)| 6 1, ∀x ∈ [−1, 1]. ` ng Chú.ng minh ră |a0 | 6 2n−1 . Bài toán 3.7. Cho d̄a thú.c Pn−1 (x) bâ.c 6 n − 1 vó.i hê. sô´ bâ.c cao nhâ´t a0 , tho’a mãn ` u kiê.n d̄iê p 1 − x2 |Pn−1 (x)| 6 1, ∀x ∈ [−1, 1]. ` ng khi d̄ó Chú.ng minh ră |Pn−1 (x)| 6 n, ∀x ∈ [−1, 1]. Bài toán 3.8. Cho d̄a thú.c lu.o..ng giác P (t) = a1 sin t + a2 sin 2t + . . . + an sin(nt) ` u kiê.n thoa’ mãn d̄iê |P (t)| 6 1 ∀t ∈ R \ {. . . , −2π, −π, 0, π, 2π, . . .}. ` ng Chú.ng minh ră P (t) 6 n ∀t ∈ R \ {. . . , −2π, −π, 0, π, 2π, . . .}. sin t Bài toán 3.9. Cho d̄a thú.c lu.o..ng giác P (x) = n X (aj cos jx + bj sin jx) j=0 ` u kiê.n |P (x)| 6 1 vó.i mo.i x ∈ R. thoa’ mãn d̄iê ` ng |P 0 (x)| 6 n vó.i mo.i x ∈ R. Chú.ng minh ră
- Xem thêm -