ứng dụng bài toán nội suy lagrange và khai triển tatlor 1

  • Số trang: 58 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 25 |
  • Lượt tải: 0
nganguyen

Đã đăng 34173 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………….. LUẬN VĂN Ứng dụng bài toán nội suy Lagrange và khai triển Tatlor 1 Mu. c Lu. c `u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mo’. d̄â 1 Các bài toán nô.i suy cô˙’ d̄iê˙’n 1.1 Bài toán nô.i suy Lagrange . . . . 1.1.1 Bài toán nô.i suy Lagrange - a thú.c nô.i suy Lagrange 1.1.2 D 1.2 Bài toán nô.i suy Taylor . . . . . . 1.2.1 Bài toán nô.i suy Taylor . - a thú.c nô.i suy Taylor . . 1.2.2 D 1.3 Bài toán nô.i suy Newton . . . . . 1.3.1 Bài toán nô.i suy Newton . - a thú.c nô.i suy Newton . 1.3.2 D 1.4 Bài toán nô.i suy Hermite . . . . . 1.4.1 Bài toán nô.i suy Hermite . - a thú.c nô.i suy Hermite . 1.4.2 D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mô.t sô´ ú.ng du.ng cu̇’a công thú.c nô.i suy 2.1 Mô.t sô´ ú.ng du.ng cu̇’a công thú.c nô.i suy Lagrange 2.1.1 Công thú.c nô.i suy Lagrange . . . . . . . . 2.1.2 Mô.t sô´ ú.ng du.ng . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Mô.t sô´ ú.ng du.ng cu̇’a các công thú.c nô.i suy khác 2.2.1 Công thú.c nô.i suy Taylor . . . . . . . . . 2.2.2 Công thú.c nô.i suy Newton . . . . . . . . . 2.2.3 Công thú.c nô.i suy Hermite . . . . . . . . 2.3 Bài tâ.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Ú ng du.ng công thú.c nô.i suy d̄ê˙’ u.ó.c lu.o..ng và xâ´p xı̇’ hàm sô´ . 3.1 U ó.c lu.o..ng hàm sô´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 U ó.c lu.o..ng hàm sô´ theo các nút nô.i suy Lagrange . . . . . . . 3.1.2 U ó.c lu.o..ng hàm sô´ theo các nút nô.i suy Chebyshev . . . . . 3.2 Mô.t sô´ phu.o.ng pháp khác d̄ê˙’ u.ó.c lu.o..ng hàm sô´ . . . . . . . . . . 3.3 Xâ´p xı’ hàm sô´ theo d̄a thú.c nô.i suy . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 . . . . . . . . 13 13 13 18 28 28 31 32 35 . . . . . 38 38 38 41 47 50 2 3.4 Bài tâ.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Kê´t luâ.n cu’a luâ.n văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Tài liê.u tham kha’o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3 `u Mo’. d̄â ` u khi ta câ ` n pha’i xác d̄i.nh giá tri. cu’a mô.t hàm Trong quá trı̀nh tı́nh toán, nhiê ` u kiê.n chı’ mó.i cho biê´t mô.t sô´ f (x) ta.i mô.t d̄iê’m tùy ý cho tru.ó.c, trong khi d̄ó d̄iê sô´ giá tri. (rò.i ra.c) cu’a hàm sô´ và cu’a d̄a.o hàm hàm sô´ d̄ê´n câ´p nào d̄ó cu’a nó ta.i mô.t sô´ d̄iê’m x1 , x2, · · · , xk cho tru.ó.c. Vó.i nhũ.ng tru.ò.ng ho..p nhu. vâ.y, ngu.ò.i ta thu.ò.ng tı̀m cách xây du..ng mô.t hàm ` u kiê.n sô´ P (x) da.ng d̄o.n gia’n ho.n, thu.ò.ng là các d̄a thú.c d̄a.i sô´, tho’a mãn các d̄iê . . d̄ã cho. Ngoài ra, ta.i nhũ ng giá tri. x ∈ R mà x không trùng vó i x1 , x2, · · · , xk , thı̀ P (x) ≈ f (x) (xâ´p xı’ theo mô.t d̄ô. chı́nh xác nào d̄ó). Hàm sô´ P (x) d̄u.o..c xây du..ng theo cách vù.a mô ta’ trên d̄u.o..c go.i là hàm nô.i suy cu’a f (x); các d̄iê’m x1 , x2, · · · , xk thu.ò.ng d̄u.o..c go.i là các nút nô.i suy và bài toán xây du..ng hàm P (x) nhu. vâ.y d̄u.o..c go.i là Bài toán nô.i suy. Su’. du.ng hàm (d̄a thú.c) nô.i suy P (x), ta dê˜ dàng tı́nh d̄u.o..c giá tri. tu.o.ng d̄ô´i `n chı́nh xác cu’a hàm sô´ f (x) ta.i x ∈ R tùy ý cho tru.ó.c. Tù. d̄ó, ta có thê’ tı́nh gâ d̄úng giá tri. d̄a.o hàm và tı́ch phân cu’a nó trên R. Các bài toán nô.i suy cô’ d̄iê’n ra d̄ò.i tù. râ´t só.m và d̄óng vai trò râ´t quan tro.ng trong thu..c tê´. Do d̄ó, viê.c nghiên cú.u các bài toán nô.i suy là râ´t có ý nghı̃a. . ` vâ´n d̄ê ` này không d̄u.o..c d̄ê ` câ.p, nhu.ng O˙’ các tru.ò.ng phô’ thông, lý thuyê´t vê nhũ.ng ú.ng du.ng so. câ´p cu’a nó cũng ”â’n hiê.n” không ı́t, chă’ng ha.n trong các phu.o.ng trı̀nh d̄u.ò.ng hoă.c phu.o.ng trı̀nh mă.t bâ.c hai, trong các d̄ă’ng thú.c da.ng phân thú.c và d̄ă.c biê.t là viê.c ú.ng du.ng công thú.c nô.i suy Lagrange và khai triê’n ` thi ho.c sinh gio’i các câ´p. Taylor d̄ê’ gia’i mô.t sô´ bài toán khó trong các d̄ê ` co. ba’n nhâ´t vê ` ` cho.n lo.c nhũ.ng vâ´n d̄ê Vı̀ vâ.y, viê.c hı̀nh thành mô.t chuyên d̄ê các bài toán nô.i suy, du.ó.i góc d̄ô. toán phô’ thông, d̄ă.c biê.t là nhũ.ng ú.ng du.ng cu’a ` n thiê´t. Ho.n nũ.a, chuyên nó trong quá trı̀nh gia’i mô.t sô´ da.ng toán khó là râ´t câ ` này cũng có thê’ làm tài liê.u tham kha’o cho các giáo viên gio’i và các sinh viên d̄ê ` u cu’a bâ.c d̄a.i ho.c. nhũ.ng năm d̄â . . Ý tu o’ ng muô´n thu..c hiê.n luâ.n văn này hı̀nh thành tru.ó.c khi cuô´n sách chuyên - ây vù.a là mô.t thuâ.n lo..i vù.a là mô.t khó khăn cho nô˜ lu..c tı̀m kiê´m kha’o [2] ra d̄ò.i. D 4 nhũ.ng nét mó.i cho luâ.n văn cu’a tác gia’, vı̀ cuô´n sách trên là mô.t tài liê.u râ´t quı́ ` câ.p d̄ê´n vâ´n d̄ê ` ` u nhu. chu.a có mô.t tài liê.u toán so. câ´p nào d̄ê giá, trong khi d̄ó hâ ` câ.p sâu vê ` lý thuyê´t mà cô´ này mô.t cách tro.n ve. n. Do d̄ó, luâ.n văn không quá d̄ê gă´ng tı̀m kiê´m nhũ.ng ú.ng du.ng cu’a nó vào viê.c gia’i và sáng tác các bài tâ.p o’. phô’ thông, d̄ă.c biê.t là nhũ.ng ú.ng du.ng thu.ò.ng gă.p cu’a công thú.c nô.i suy Lagrange và khai triê’n Taylor. ` m các phâ ` n Mu.c lu.c, Mo’. d̄â ` u, ba chu.o.ng nô.i dung, Luâ.n văn dày 56 trang, gô kê´t luâ.n và tài liê.u tham kha’o: Chu.o.ng 1: Các bài toán nô.i suy cô’ d̄iê’n. ` các bài toán nô.i suy Nô.i dung chu.o.ng này trı̀nh bày mô.t cách co. ba’n nhâ´t vê cô’ d̄iê’n, d̄ó là Bài toán nô.i suy Lagrange, Bài toán nô.i suy Taylor, Bài toán nô.i suy Newton và Bài toán nô.i suy Hermite. Chu.o.ng 2: Mô.t sô´ ú.ng du.ng cu’a công thú.c nô.i suy. - ây là mô.t trong nhũ.ng nô.i dung tro.ng tâm cu’a luâ.n văn. Vó.i tâ ` m quan tro.ng D . . . . ` câ.p o’ phô’ thông, công thú c nô.i suy Lagrange và nhũ ng ú ng du.ng cu’a nó d̄u.o..c d̄ê . . . . . . ` n riêng trong chu o ng này vó i nhũ ng phu o ng pháp gia’i toán khá d̄a thành mô.t phâ ` xuâ´t khá phong phú. Nhiê ` u d̄ă’ng thú.c du.ó.i da.ng da.ng và mô.t sô´ lu.o..ng bài tâ.p d̄ê ` n gô´c tù. công thú.c nô.i suy Lagrange d̄ã d̄u.o..c luâ.n văn phát phân thú.c có nguô ` u bài toán thi cho.n ho.c sinh gio’i quô´c gia và quô´c tê´ d̄ã d̄u.o..c gia’i bă` ng hiê.n. Nhiê ` n còn la.i cu’a chu.o.ng trı̀nh bày mô.t sô´ cách áp du.ng công thú.c nô.i suy này. Phâ ú.ng du.ng cu’a các công thú.c nô.i suy còn la.i. Mô.t sô´ bài tâ.p dành cho ba.n d̄o.c cũng ` n cuô´i chu.o.ng. d̄u.o..c gió.i thiê.u o’. phâ . Chu.o.ng 3: Ú ng du.ng công thú.c nô.i suy d̄ê’ u.ó.c lu.o..ng và xâ´p xı’ hàm sô´. Chu.o.ng này tách riêng mô.t ú.ng du.ng cu’a các công thú.c nô.i suy d̄ê’ u.ó.c lu.o..ng ` này và xâ´p xı’ hàm sô´. Mô.t sô´ da.ng toán khó o’. phô’ thông liên quan d̄ê´n vâ´n d̄ê . . . ` câ.p, trong d̄ó có nhũ ng bài trong các d̄ê ` thi cho.n ho.c sinh gio’i quô´c d̄ã d̄u o. c d̄ê . . ` n cu’a luâ.n văn d̄ã d̄u o. c d̄ăng ta’i trong các ky’ yê´u hô.i gia và quô´c tê´. Mô.t sô´ phâ nghi. chuyên ngành, chă’ng ha.n [1]. Luâ.n văn d̄u.o..c hoàn thành nhò. su.. hu.ó.ng dâ˜n khoa ho.c và nhiê.t tı̀nh cu’a Tiê´n - ào Chiê´n - Ngu.ò.i Thâ ` y râ´t nghiêm khă´c và tâ.n tâm trong công viê.c, sỹ Tri.nh D ` n d̄a.t nhiê ` u kiê´n thú.c quı́ báu cũng nhu. kinh nghiê.m nghiên cú.u khoa ho.c truyê ` tài. Chı́nh vı̀ vâ.y mà tác gia’ luôn to’ lòng biê´t trong suô´t thò.i gian nghiên cú.u d̄ê . . - ào Chiê´n. ` y giáo hu.ó.ng dâ˜n - Tiê´n sỹ Tri.nh D o n chân thành và sâu să´c d̄ô´i vó i Thâ 5 Nhân d̄ây, tác gia’ xin d̄u.o..c bày to’ lòng biê´t o.n chân thành d̄ê´n: Ban Giám - a.i ho.c, Khoa toán cu’a tru.ò.ng D - a.i ho.c Qui - a.i ho.c và sau D Hiê.u, Phòng d̄ào ta.o D . . . ` y cô giáo d̄ã tham gia gia’ng da.y và hu ó ng dâ˜n khoa ho.c cho Nho n, cùng quı́ thâ ló.p cao ho.c toán khóa 8. UBND tı’ nh, So’. giáo du.c và d̄ào ta.o tı’ nh Gia Lai, Ban `y Giám Hiê.u tru.ò.ng THPT Ia Grai d̄ã cho tác gia’ co. hô.i ho.c tâ.p, cùng vó.i quı́ thâ . . ` u kiê.n thuâ.n cô giáo cu’a nhà tru ò ng d̄ã d̄ô.ng viên, se’ chia công viê.c và ta.o mo.i d̄iê lo..i d̄ê’ tác gia’ nghiên cú.u và hoàn thành luâ.n văn này. Trong quá trı̀nh hoàn thành luâ.n văn, tác gia’ còn nhâ.n d̄u.o..c su.. quan tâm d̄ô.ng ` ng nghiê.p, các anh chi. em trong các ló.p cao ho.c khóa VII, VIII, viên cu’a các ba.n d̄ô - a.i ho.c Qui Nho.n. Tác gia’ xin chân thành ca’m o.n tâ´t ca’ nhũ.ng XIX cu’a tru.ò.ng D su.. quan tâm d̄ô.ng viên d̄ó. - ê’ hoàn thành luâ.n văn này, tác gia’ d̄ã tâ.p trung râ´t cao d̄ô. trong hoc tâ.p và D `u nghiên cú.u khoa ho.c, cũng nhu. râ´t câ’n thâ.n trong nhân chê´ ba’n. Trong d̄ó ı́t nhiê ` thò.i gian cũng nhu. trı̀nh d̄ô. hiê’u biê´t nên trong quá trı̀nh thu..c hiê.n ha.n chê´ vê không thê’ tránh kho’i nhũ.ng thiê´u sót, tác gia’ râ´t mong nhâ.n d̄u.o..c su.. chı’ ba’o cu’a ` y cô và nhũ.ng góp ý cu’a ba.n d̄o.c d̄ê’ luâ.n văn d̄u.o..c hoàn thiê.n ho.n. quı́ thâ Quy Nho.n, tháng ... năm 2008 Tác gia’ 6 Chu.o.ng 1 Các bài toán nô.i suy cô˙’ d̄iê˙’n ` câ.p mô.t sô´ bài toán nô.i suy cô’ d̄iê’n sẽ su’. du.ng Trong chu.o.ng này, luâ.n văn d̄ê o’. các chu.o.ng sau, d̄ó là: Bài toán nô.i suy Lagrange, Bai toán nô.i suy Taylor, Bài toán nô.i suy Newton và Bài toán nô.i suy Hermite. Lò.i gia’i cho các bài toán này là các d̄a thú.c nô.i suy tu.o.ng ú.ng mà chú.ng minh chi tiê´t d̄ã d̄u.o..c trı̀nh bày trong [2] 1.1 1.1.1 Bài toán nô.i suy Lagrange Bài toán nô.i suy Lagrange Cho các sô´ thu..c xi , ai, vó.i xi 6= xj , vó.i mo.i i 6= j, i, j = 1, 2, · · · , N. Hãy xác ` u kiê.n d̄i.nh d̄a thú.c L(x) có bâ.c degL(x) ≤ N − 1 và tho’a các d̄iê L(xi ) = ai , ∀i = 1, 2, · · · , N . 1.1.2 - a thú.c nô.i suy Lagrange D Ký hiê.u Li (x) = N Y x − xj ; i = 1, 2, · · · , N. xi − xj j=1,j6=i Khi d̄ó, d̄a thú.c L(x) = N X ai Li (x) i=1 ` u kiê.n cu’a bài toán nô.i suy Lagrange và ta go.i là d̄a thú.c duy nhâ´t tho’a mãn d̄iê d̄a thú.c này là d̄a thú.c nô.i suy Lagrange. 7 1.2 Bài toán nô.i suy Taylor 1.2.1 Bài toán nô.i suy Taylor Cho các sô´ thu..c x0 , ai, vó.i i = 0, 1, · · · , N − 1. Hãy xác d̄i.nh d̄a thú.c T (x) có ` u kiê.n bâ.c degT (x) ≤ N − 1 và tho’a mãn các d̄iê T i (x0) = ai , ∀i = 0, 1, · · · , N − 1. 1.2.2 - a thú.c nô.i suy Taylor D - a thú.c D T (x) = N −1 X i=0 ai (x − x0 )i i! ` u kiê.n cu’a bài toán nô.i suy Taylor và go.i d̄a thú.c là d̄a thú.c duy nhâ´t tho’a mãn d̄iê này là d̄a thú.c nô.i suy Taylor. 1.3 Bài toán nô.i suy Newton 1.3.1 Bài toán nô.i suy Newton Cho các sô´ thu..c xi , ai, vó.i i = 1, 2, · · · , N. Hãy xác d̄i.nh d̄a thú.c N (x) có bâ.c ` u kiê.n degN (x) ≤ N − 1 và tho’a mãn các d̄iê N i−1 (xi ) = ai , ∀i = 1, 2, · · · , N. 1.3.2 - a thú.c nô.i suy Newton D Ký hiê.u i R (x1, x2 , · · · , xi , x) = Z x x1 Z tZ x2 t1 ··· Z x3 ti−2 dti−1 ...dt2.dt1.dt; i = 1, 2, · · · , N. xi khi d̄ó, d̄a thú.c N (x) = N X aiRi−1 (x1, x2 , ..., xi−1, x) i=1 = a1 + a2 R(x1 , x) + a3 R2 (x1, x2, x) + · · · + aN RN −1 (x1, · · · , xN −1, x) ` u kiê.n cu’a bài toán nô.i suy Newton và ta go.i d̄a là d̄a thú.c duy nhâ´t tho’a mãn d̄iê thú.c này là d̄a thú.c nô.i suy Newton 8 Nhâ.n xét 1.1. Vó.i xi = x0 , vó.i mo.i i = 1, 2, · · · , N, thı̀  Ri (x0 , x1, · · · , xi−1, x) = Ri x0, · · · , x0, x | {z } `n i lâ Z x Z t Z t1 Z ti−2 = ··· dti−1 ...dt2.dt1.dt x0 x0 x0 x0 (x − x0 )i ; vó.i i = 1, 2, · · · , N = i! Khi d̄ó N X  aiRi x0, · · · , x0, x = | {z } i=1 `n i lâ  = a0 + a1 R(x0 , x) + a2 R2 (x0, x0 , x) + · · · + aN −1 RN −1 x0, · · · , x0, x | {z } `n N −1 lâ 2 N −1 (x − x0) (x − x0) + · · · + aN −1 = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 2 (N − 1)! N −1 X (x − x0)i = ≡ T (x). ai i! i=0 N (x) = Vâ.y, vó.i xi 6= x0, ; ∀i = 1, 2, · · · , N, thı̀ d̄a thú.c nô.i suy Newton chı́nh là d̄a thú.c nô.i suy Taylor. 1.4 Bài toán nô.i suy Hermite 1.4.1 Bài toán nô.i suy Hermite Cho các sô´ thu..c xi , aki , i = 1, 2, · · · , n; k = 0, 1, · · · , pi − 1 và xi 6= xj , vó.i mo.i i 6= j, trong d̄ó p1 + p2 + · · · + pn = N . Hãy xác d̄i.nh d̄a thú.c H(x) có bâ.c ` u kiê.n degH(x) ≤ N − 1 và tho’a mãn các d̄iê H (k) (xi ) = aki , ∀i = 1, 2, · · · , n; ∀k = 0, 1, · · · , pi − 1 1.4.2 Ký hiê.u - a thú.c nô.i suy Hermite D n Y (x − xj )pj ; W (x) = j=1 9 n Y W (x) Wi (x) = = (x − xj )pj ; i = 1, 2, · · · , n p i (x − xi ) j=1,j6=i Go.i d̄oa.n khai triê’n Taylor d̄ê´n câ´p thú. pi − 1 − k, vó.i k = 0, 1, · · · , l; l = 1 (i = 1, 2, · · · , n) là 0, 1, · · · , pi − 1, ta.i x = xi cu’a hàm sô´ Wi (x) T ( 1 Wi (x) )(pi −1−k) pi −1−k X = l=0 (x=xi ) " 1 Wi (x) #(l) (x=xi ) (x − xi )l . l! khi d̄ó, d̄a thú.c H(x) = n pX i −1 X i=1 (x − xi )k Wi (x)T aki k! k=0 ( 1 Wi (x) )(pi −1−k) . (x=xi ) ` u kiê.n cu’a bài toán nô.i suy Hermite và ta go.i d̄a là d̄a thú.c duy nhâ´t tho’a mãn d̄iê thú.c này là d̄a thú.c nô.i suy Hermite. Nhâ.n xét 1.2. Vó.i n = 1, thı̀ i = 1 và p1 = N . Khi d̄ó, ta có W (x) = (x − x1)N ; W1 (x) = Do d̄ó, d̄oa.n khai triê’n ( T 1 W1 (x) W (x) = 1. (x − x1)N )(N −1−k) (x=x1 ) n o(N −1−k) =T 1 = 1. (x=x1 ) Khi d̄ó, ta có H(x) = N −1 X k=0 ak1 (x − x1)k ≡ T (x). k! Vâ.y, vó.i n = 1, thı̀ d̄a thú.c nô.i suy Hermite chı́nh là d̄a thú.c nô.i suy Taylor. Nhâ.n xét 1.3. Vó.i k = 0, thı̀ pi = 1, vó.i mo.i i = 1, 2, · · · , n. Khi d̄ó p1 + p2 + · · · + pn = N, 10 hay n = N . Do d̄ó, ta có N X W (x) = (x − xj ); j=1 N Y Wi (x) = (x − xj ), i = 1, 2, · · · , N. j=1,j6=i khi d̄ó, d̄oa.n khai triê’n Taylor ( )0 1 1 T = = Wi (x) Wi (xi ) 1 N Q (x=xi ) , i = 1, 2, · · · , N. (xi − xj ) j=1,j6=i Vâ.y, ta có H(x) = N X N Y a0i i=1 j=1,j6=i x − xj ≡ L(x). xi − xj Vâ.y, vó.i k = 0, thı̀ d̄a thú.c nô.i suy Hermite chı́nh là d̄a thú.c nô.i suy Lagrange. Trong tru.ò.ng ho..p tô’ng quát, viê.c biê’u diê˜n d̄a thú.c Hermite khá phú.c ta.p. Du.ó.i d̄ây là mô.t vài tru.ò.ng ho..p riêng d̄o.n gia’n khác cu’a d̄a thú.c nô.i suy Hermite, khi ` u kiê.n chı’ chú.a d̄a.o hàm bâ.c nhâ´t. hê. d̄iê Nhâ.n xét 1.4. Nê´u pi = 2, vó.i mo.i i = 1, 2, · · · , n, thı̀ khi d̄ó k = 0 hoă.c k = 1. + Vó.i k = 0, ta có T ( 1 Wi (x) )(pi −1−k) =T ( (x=xi ) = 1 Wi (x) 1 − Wi (xi ) )(1) = 1 h X (x − xi )l 1 i(l) Wi (x) (x=xi ) l! l=0 (x=xi ) 0 Wi (xi ) (x − xi ) Wi2(xi ) ! Wi0 (xi ) 1 1− (x − xi ) , vó.i i = 1, 2, · · · , n. = Wi (xi ) Wi (xi) + Vó.i k = 1, ta có T ( 1 Wi (x) )(pi −1−k) =T (x=xi ) = ( 1 Wi (x) 1 − Wi (xi ) )(0) = 0 h X (x − xi )l 1 i(l) Wi (x) (x=xi ) l! l=0 (x=xi ) 0 Wi (xi ) (x − xi ) Wi2(xi ) = 1 . Wi (xi ) 11 Khi d̄ó, ta có H(x) = = = = = )(pi −1−k) ( 1 (x − xi )k Wi (x)T aki k! Wi (x) i=1 k=0 (x=xi ) ) )(0) ! ( ( (1) n X 1 1 a0i Wi (x)T +a1i(x − xi)Wi (x)T W (x) Wi (x) i i=1 (x=xi ) (x=xi ) !   n X Wi0(xi ) 1 1 1− (x − xi ) +a1i(x − xi) Wi (x) a0i Wi (xi ) Wi (xi ) Wi (xi) i=1 !   n X Wi0(xi ) Wi (x) a0i 1 − (x − xi) +a1i(x − xi ) Wi (xi ) Wi (xi ) i=1 !   n X Wi (x) Wi0(xi ) a0i − a0i − a1i (x − xi ) . Wi (xi ) Wi (xi ) i=1 n X 1 X ` n bài toán nô.i suy Lagrange, ta d̄ã biê´t ră` ng Ngoài ra, trong phâ n X x − xj Li (x) = ; i = 1, 2, · · · , n xi − xj j=1,j6=i  1, khi i = j Li (xj ) = 0, khi i 6= j. và Do d̄ó Li (xi ) ≡ 1, ∀i = 1, n. Vâ.y n Y Wi (x) (x − xj )2 = = L2i (x); i = 1, n. 2 Wi (xi ) j=1,j6=i (xi − xj ) - a.o hàm theo x hai vê´ cu’a d̄ă’ng thú.c trên, ta d̄u.o..c D Wi0(x) = 2Li (x)L0i (x) = 2L0i (xi ). Wi (xi ) Do d̄ó, d̄a thú.c nô.i suy Hermite trong tru.ò.ng ho..p này có da.ng ! n   X 2 0 H(x) = Li (x) a0i − 2a0i Li (xi ) − a1i (x − xi ) . i=1 Du.ó.i d̄ây là mô.t vài minh ho.a cho viê.c vâ.n du.ng các công thú.c nô.i suy (do tác gia’ sáng tác) 12 ` u kiê.n sau: Bài toán 1.1. Cho d̄a thú.c P (x) bâ.c 4, tho’a mãn các d̄iê 0 P (−1) = 3a + 1 (a > 0) ; P (0) = 0; P 00(1) = 4(3 + a); P (3) (−2) = −48; P (4)(2008) = 24. ` ng: Chú.ng minh ră Q(x) = P (x) + P 0 (x) + P 00 (x) + P (3)(x) + P (4)(x) > 0. ∀x ∈ R. Gia’i. Áp du.ng công thú.c nô.i suy Taylor (vó.i N = 3), ta tı̀m d̄u.o..c P (x) = x4 + 2ax2 + a (a > 0) Suy ra: P 0 (x) = 4x3 + 4ax ; P 00 (x) = 12x2 + 4a ; P (3)(x) = 24x ; P (4)(x) = 24 . Do d̄ó: Q(x) = (x2 + 2x)2 + 2a(x + 1)2 + 3a + 8(x2 + 3x + 3) > 0, ∀x ∈ R Bài toán 1.2. Cho d̄a thú.c P (x) bâ.c n, tho’a mãn: P (2007) < 0; −P 0 (2007) ≤ 0, P 00(2007) ≤ 0, · · · , (−1)n P (n) ≤ 0; P (2008) > 0, P 0 (2008) ≥ 0, P 00(2008) ≥ 0, · · · , P (n) (2008) ≥ 0. ` ng các nghiê.m thu..c cu’a P (x) thuô.c (2007; 2008). Chú.ng minh ră Gia’i. Áp du.ng công thú.c nô.i suy Taylor, ta có: P 0 (b) P 00(b) P (n) (b) (x − b) + (x − b)2 + · · · + (x − b)n , vó.i b = 2008. 1! 2! n! Do d̄ó, Nê´u x ≥ b thı̀ P (x) không có nghiê.m x ≥ b. Vó.i a = 2007, áp du.ng công thú.c nô.i suy Taylor, ta có P (x) = P (b) + P 00 (a) −P 0(a) (−1)n P (n) (a) (a − x) + (a − x)2 + · · · + (a − x)n . 1! 2! n! Do d̄ó, nê´u x < a thı̀ P (x) không có nghiê.m x ≤ a. Vâ.y các nghiê.m pha’i thuô.c (2007; 2008). P (x) = P (a) + 13 Chu.o.ng 2 Mô.t sô´ ú.ng du.ng cu̇’a công thú.c nô.i suy ` Chu.o.ng này trı̀nh bày mô.t sô´ ú.ng du.ng cu’a các công thú.c nô.i suy, trong d̄ó d̄ê ` u ú.ng du.ng d̄ê’ câ.p sâu ho.n d̄ô´i vó.i công thú.c nô.i suy Lagrange, công thú.c có nhiê gia’i mô.t sô´ bài toán khó o’. hê. phô’ thông chuyên toán. ` ú.ng du.ng công thú.c nô.i suy trong u.ó.c lu.o..ng và xâ´p xı’ hàm sô´ là hai Vâ´n d̄ê nô.i dung quan tro.ng và tu.o.ng d̄ô´i khó, vó.i nhũ.ng kỹ thuâ.t chú.ng minh khá phú.c ta.p, d̄u.o..c trı̀nh bày o’. chu.o.ng sau. 2.1 2.1.1 Mô.t sô´ ú.ng du.ng cu̇’a công thú.c nô.i suy Lagrange Công thú.c nô.i suy Lagrange - i.nh nghı̃a 2.1. Cho n sô´ x1 , x2, · · · , xn phân biê.t và n sô´ a1, a2, · · · , an tùy ý. D ` n ta.i duy nhâ´t mô.t d̄a thú.c P (x) vó.i bâ.c không vu.o..t quá n − 1, tho’a mãn Thê´ thı̀ tô P (xj ) = aj ; ∀j = 1, 2, · · · , n. - a thú.c có da.ng D n X j=1 aj n Y i=1,ı6=j x − xi xj − xi (2.1) (2.2) - a thú.c (2.2) d̄u.o..c go.i là d̄a thú.c nô.i suy Lagrange hoă.c công thú.c nô.i suy D Lagrange. Các sô´ x1 , x2, · · · , xn d̄u.o..c go.i là các nút nô.i suy. 14 + Vó.i n = 2, d̄a thú.c d̄ó là P (x) = a1 x − x2 x − x1 + a2 . x1 − x2 x2 − x1 (2.3) Ký hiê.u degP (x) là bâ.c cu’a P (x). Thê´ thı̀ degP (x) ≤ 1 và P (x1 ) = a1 ; P (x2) = a2. + Vó.i n = 3, d̄a thú.c d̄ó là P (x) = a1 (x − x2 )(x − x3 ) (x − x3 )(x − x1) (x − x1)(x − x2) + a2 + a3 . (2.4) (x1 − x2 )(x1 − x3) (x2 − x3 )(x2 − x1) (x3 − x1)(x3 − x2) Rõ ràng degP (x) ≤ 2 và P (x1) = a1, P (x2 ) = a2 ), P (x3) = a3. (?) Tù. công thú.c nô.i suy Lagrange, ta có - i.nh nghı̃a 2.2. Cho n sô´ x1 , x2, · · · , xn phân biê.t. Thê´ thı̀ mo.i d̄a thú.c P (x) vó.i D ` u có thê viê´t du.ó.i da.ng bâ.c không vu.o..t quá n − 1 d̄ê P (x) = n X j=1 P (xj ) n Y i=1,i6=j x − xi . xj − xi (2.5) Nhâ.n xét 2.1. (Ý nghı̃a hı̀nh ho.c) - a thú.c (2.3) và (2.4) khá quen thuô.c trong chu.o.ng trı̀nh toán phô’ thông. Ta D thu’. d̄i tı̀m ý nghı̃a hı̀nh ho.c cu’a chúng, chă’ng ha.n (2.4). Gia’ su’. ră` ng, trên mă.t phă’ng to.a d̄ô. Oxy cho 3 d̄iê’m A(x1; y1), B(x2; y2), C(x2; y2), vó.i x1, x2 .x3 khác nhau tù.ng d̄ôi mô.t. ` n ta.i duy nhâ´t mô.t d̄u.ò.ng cong y = P (x), trong Thê´ thı̀, theo (2.1) và (2.2) tô d̄ó là d̄a thú.c vó.i degP (x) ≤ 2, tho’a mãn P (x1) = y1 (nghı̃a là d̄u.ò.ng cong qua d̄iê’m A); P (x2) = y2 (nghı̃a là d̄u.ò.ng cong qua d̄iê’m B); P (x3 ) = y3 (nghı̃a là d̄u.ò.ng cong qua d̄iê’m C). Ho.n nũ.a, d̄u.ò.ng cong còn có phu.o.ng trı̀nh cu. thê’ là y = P (x), tròn d̄ó P (x) có da.ng (2.4) và các hê. sô´ aj chı́nh là yj , j = 1, 2, 3. ` thi. y = P (x) là parabol d̄i qua 3 d̄iê’m A, B, C. + Vó.i degP (x) = 2, d̄ô . ` thi. y = P (x) là d̄u.ò.ng thă’ng d̄i qua 3 d̄iê’m A, B, C, + Vó i degP (x) = 1, d̄ô không cùng phu.o.ng vó.i tru.c hoành. 15 ` thi. y = P (x) là d̄u.ò.ng thă’ng d̄i qua 3 d̄iê’m A, B, C, + Vó.i degP (x) = 0, d̄ô cùng phu.o.ng vó.i tru.c hoành. Vó.i các minh ho.a trên ta thâ´y ră` ng, công thú.c nô.i suy Lagrange chı́nh là ”các gô´c” cu’a mô.t sô´ phu.o.ng trı̀nh d̄u.ò.ng cong (hoă.c d̄u.ò.ng thă’ng) d̄i qua các d̄iê’m cho tru.ó.c trong mă.t phă’ng to.a d̄ô.. - ó là ”cái gô´c” nhı̀n du.ó.i góc d̄ô. hı̀nh ho.c. D Du.ó.i d̄ây, vó.i mô.t góc nhı̀n khác, công thú.c nô.i suy Lagrange còn là ”cái gô´c” cu’a ` u hê´t các d̄ô ` ng nhâ´t thú.c da.ng phân thú.c. hâ Nhâ.n xét 2.2. Vó.i d̄a thú.c P (x) có degP (x) ≤ n − 1 cho tru.ó.c, các sô´ aj trong (2.2) d̄u.o..c thay bo’.i P (xj ), vó.i j = 1, 2, · · · , n. Bây giò. ta thu’. d̄i tı̀m mô.t ú.ng du.ng cu’a (2.5). Gia’ su’. x1 , x2, · · · , xn là n sô´ thu..c phân biê.t, n ≥ 2. Xét d̄a thú.c P (x) = xn − n Y (x − xi ). (2.6) i=1 - a thú.c này d̄u.o..c khai triê’n du.ó.i da.ng D P (x) = S1 xn−1 − S2 xn−2 + S3 xn−3 − · · · + (−1)n+1 Sn , (2.7) trong d̄ó S 1 = x1 + x2 + · · · + xn ; S2 = x1x2 + x1x3 + · · · + xn−1 xn ; (2.8) ··· S n = x1 x2 · · · xn Bo’.i (2.7), ta thâ´y ră` ng degP (x) ≤ n − 1. Ngoài ra, tù. da.ng (2.6), ta có P (xj ) = xnj ; ∀j ∈ {1, 2, · · · , n}. Tù. d̄ó, áp du.ng (2.5), ta có n X j=1 xnj n Y i=1,i6=j x − xi xj − xi (2.9) 16 Dê˜ thâ´y ră` ng vê´ pha’i cu’a (2.9) là d̄a thú.c có hê. sô´ d̄ú.ng tru.ó.c xn−1 là n X j=1 xnj . i=1,i6=j (xj − xi ) Qn (2.10) Bo’.i (2.7), (2.8), (2.9), (2.10), ta có n X j=1 n X xnj Qn = xj . i=1,i6=j (xj − xi ) j=1 (2.11) - ă’ng thú.c (2.11) là mô.t d̄ă’ng thú.c liên quan d̄ê´n phân thú.c, thu.ò.ng gă.p trong D chu.o.ng trı̀nh toán phô’ thông. Ta thu’. minh ho.a mô.t vài tru.ò.ng ho..p riêng cu’a công thú.c (2.11). + Vó.i n = 2, ta có x22 x21 + = x1 + x2 x1 − x2 x2 − x1 hay x21 − x22 = x1 + x2 (2.12) x1 − x2 Ta thâ´y ră` ng, d̄ă’ng thú.c (2.12) chı́nh là mô.t d̄ă’ng thú.c quen thuô.c. + Vó.i n = 3, ta có x32 x33 x31 + + = x1 +x2 +x3 . (2.13) (x1 − x2 )(x1 − x3) (x2 − x3)(x2 − x1 ) (x3 − x1)(x3 − x2) Tù. d̄ă’ng thú.c (2.13), có thê’ sáng tác thành mô.t sô´ bài tâ.p, chă’ng ha.n ` ng vó.i 3 sô´ nguyên bâ´t kỳ khác nhau tù.ng d̄ôi mô.t, sô´ Vı́ du. 2.1. Chú.ng minh ră sau d̄ây cũng là mô.t sô´ nguyên: a3 b3 c3 + + . (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) Vı́ du. 2.2. Phân tı́ch d̄a thú.c sau thành nhân tu’.: x3 y + y 3 z + z 3x − x3z − y 3x − z 3 y. ` u bài tâ.p phong phú. Ngoài Theo hu.ó.ng trên, có thê’ sáng tác d̄u.o..c khá nhiê ra, ta còn có thê’ so sánh S2, S3 , ..., Sn o’. hai vê´ cu’a (2.5) d̄ê’ tı̀m thêm nhũ.ng d̄ă’ng thú.c khác. Sô´ d̄ă’ng thú.c tı̀m d̄u.o..c sẽ phong phú thêm lên nê´u ta tiê´p tu.c xét nhũ.ng d̄a thú.c khác, vó.i degP (x) 6 n − 1. 17 Bây giò., ta tiê´p tu.c tı̀m kiê´m thêm các d̄ă’ng thú.c theo mô.t hu.ó.ng khác. Vó.i n sô´ phân biê.t x1, x2 , ..., xn, xét d̄a thú.c: ω(x) = n Y (x − xi ). i=1 Rõ ràng degω(x) = n. Thê´ thı̀ 0 ω (x) = n n X Y (x − xi ), j=1 i=1,i6=j 0 vó.i degω (x) = n − 1. Vó.i mô˜i j ∈ {1, 2, ..., n}, ta có 0 ω (xj ) = n Y (xj − xi ). i=1,i6=j Bây giò., vó.i mô˜i j ∈ {1, 2, ..., n}, ta xét hàm ωj (x) = n Y ω(x) x − xi = . 0 (x − xj )ω (xj ) xj − xi (2.14) i=1,i6=j Nhâ.n xét ră` ng, vó.i mô˜i j ∈ {1, 2, ..., n}, (2.10) là mô.t d̄a thú.c và degωj (x) = - a thú.c này có tı́nh châ´t n − 1. D ωj (xk ) = 0, vó.i k 6= j; ωj (xk ) = 1, vó.i k = j. Bây giò., nê´u d̄a thú.c P (x) = an xn + an−1 xn−1 + .. + a1 x + a0, an 6= 0, có n nghiê.m thu..c phân biê.t x1 , x2, ..., xn, thı̀ P (x) = an ω(x). Do d̄ó, vó.i mô˜i j ∈ {1, 2, ..., n}, ta có 0 0 P (xj ) = an ω (xj ) hay 0 P (xj ) ω (xj ) = . an Vâ.y, vó.i mô˜i j ∈ {1, 2, ..., n}, (2.10) còn viê´t d̄u.o..c du.ó.i da.ng 0 n Y an ω(x) x − xi = ωj (x) = . 0 (x − xj )P (xj ) i=1,i6=j xj − xi (2.15) Bây giò., ta hãy tı̀m mô.t ú.ng du.ng cu’a (2.15) d̄ê’ ta.o ra nhũ.ng d̄ă’ng thú.c mó.i. Tro’. la.i vó.i d̄a thú.c P (x) = an xn + an−1 xn−1 + .. + a1x + a0 , an 6= 0, n ≥ 2, có 18 n nghiê.m thu..c phân biê.t x1, x2 , ..., xn. Vó.i n giá tri. phân biê.t x1 , x2, ..., xn, áp du.ng công thú.c nô.i suy Lagrange d̄ô´i vó.i d̄a thú.c f (x) = xk , k 6 n − 1, ta có k x = n X xkj ωj (x) j=1 Bo’.i (2.15), ta có k x = n X j=1 n X xkj xkj ω(x) = a n (x − xj )ω 0 (xj ) j=1 Qn i=1,i6=j (x − xi ) 0 P (xj ) . Biê’u thú.c cuô´i cùng là mô.t d̄a thú.c có hê. sô´ cu’a xn−1 là an n X j=1 xkj . P 0 (xj ) So sánh các hê. sô´ cu’a d̄a thú.c xk , ta d̄u.o..c các d̄ă’ng thú.c sau: n X j=1 xkj = 0, ∀k ∈ {0, 1, 2, ..., n − 2}; P 0 (xj ) n X j=1 2.1.2 xkj 1 = , vó.i k = n − 1. 0 P (xj ) an (2.16) (2.17) Mô.t sô´ ú.ng du.ng ` n tro.ng tâm cu’a phâ ` n này tâ.p trung vào viê.c áp du.ng mô.t cách khá linh Phâ . ` hoa.t công thú c nô.i suy Lagrange d̄ê’ gia’i mô.t sô´ bài toán khó, trong d̄ó có các d̄ê . . . thi cho.n ho.c sinh gio’i trong nu ó c, khu vu. c và quô´c tê´. ` ng 3; 1; 7, ta.i x bă ` ng −1; Bài toán 2.1. Xác d̄i.nh d̄a thú.c bâ.c hai nhâ.n giá tri. bă . . . 0; 3 tu o ng ú ng. Gia’i. Ta có x1 = −1, x2 = 0, x3 = 3 và f (x1 ) = 3, f(x2 ) = 1, f(x3 ) = 7. Áp du.ng công thú.c nô.i suy Lagrange vó.i n = 3, ta có: f (x) = f (−1) (x − 0)(x − 3) (x − 3)(x + 1) + f (0) (−1 − 0)(−1 − 3) (0 − 3)(0 + 1) +f (3) (x + 1)(x − 0) = x2 − x + 1. (3 + 1)(3 − 0) 19 ` ng nê´u d̄a thú.c Bài toán 2.2. Cho a1 , a2, ..., an là n sô´ khác nhau. Chú.ng minh ră f (x) có bâ.c không ló.n ho.n n − 2, thı̀: T = f (a1 ) f (an ) + ... + = 0. (a1 − a2)(a1 − a3)...(a1 − an ) (an − a1)(an − a2)...(an − an−1 ) Gia’i. Theo công thú.c nô.i suy Lagrange thı̀, mo.i d̄a thú.c f (x) có bâ.c không ló.n ` u viê´t d̄u.o..c du.ó.i da.ng: ho.n n − 1 d̄ê f (x) = f (a1 ) (x − a2 )(x − a3 )...(x − an ) (x − a1)(x − a3)...(x − an ) + f (a2 ) (a1 − a2)(a1 − a3)...(a1 − an ) (a2 − a1)(a2 − a3)...(a2 − an ) (x − a1 )(x − a2)...(x − an ) . (an − a1)(an − a2 )...(an − an−1 ) o’. vê´ trái bă` ng 0, còn hê. sô´ cu’a xn−1 o’. vê´ pha’i là: +... + f (an ) Hê. sô´ cu’a xn−1 T = f (an ) f (a1 ) + ... + . (a1 − a2)(a1 − a3)...(a1 − an ) (an − a1)(an − a2)...(an − an−1 ) ` u pha’i chú.ng minh. Suy ra d̄iê ` ng nê´u d̄a thú.c bâ.c hai nhâ.n giá tri. nguyên ta.i ba Bài toán 2.3. Chú.ng minh ră giá tri. nguyên liên tiê´p cu’a biê´n sô´ x, thı̀ d̄a thú.c nhâ.n giá tri. nguyên ta.i mo.i x nguyên. Gia’i. Gia’ su’. f (k − 1), f (k), f (k + 1) là nhũ.ng sô´ nguyên vó.i k nguyên. Áp du.ng công thú.c nô.i suy Lagrange cho d̄a thú.c bâ.c hai f (x) vó.i ba sô´ nguyên k − 1, k, k + 1, ta có f (x) = f (k − 1) (x − k + 1)(x − k − 1) (x − k)(x − k − 1) + f (k) 2 −1 +f (k + 1) (x − k)(x − k + 1) . 2 - ă.t m = x − k, ta có D f (x) = f (k − 1) m(m + 1) (m(m − 1) + f (k)(m2 − 1) + f (k + 1) . 2 2 Vı̀ tı́ch hai sô´ nguyên liên tiê´p chia hê´t cho 2, nên f (x) nguyên vó.i mo.i x nguyên. Bài toán 2.4. Cho a1, a2, ..., an là n sô´ khác nhau. Go.i Ai (i = 1, 2, ..., n) là ` n du. r(x) trong phép ` n du. trong phép chia d̄a thú.c f (x) cho x − ai. Hãy tı̀m phâ phâ chia f (x) cho (x − a1 )(x − a2 )...(x − an ).
- Xem thêm -