Tài liệu Tuyển tập tích phân có lời giải chi tiết lưu huy tưởng

TUYỂN TẬP TÍCH PHÂN (ĐÁP ÁN CHI TIẾT) BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG Toàn bộ tài liệu của thầy ở trang: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP :…………………………………………………………………. TRƯỜNG :………………………………………………………………… HÀ NỘI, 4/2014 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 TÍCH PHÂN CƠ BẢN Toàn bộ tài liệu luyện thi đại học môn toán của thầy Lưu Huy Thưởng: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com HT 1.Tính các tích phân sau: 1 a) I1 = ∫ 1 x 3dx b) I 2 = 0 ∫ 1 (2x + 1)3 dx 0 ∫ (1 − 4x ) dx 3 0 1 d) I 4 = c) I 3 = 1 ∫ (x − 1)(x 2 3 − 2x + 5) dx e) I 5 = 0 ∫ (2x − 3)(x 2 − 3x + 1)3 dx 0 Bài giải 1 a) I1 = ∫ 0 x 3dx = x4 4 1 0= 1 4 1 b) I 2 = 1 ∫ (2x + 1) dx Chú ý: d(2x + 1) = 2dx ⇒ dx = 2 d(2x + 1) 3 0 1 ⇒ I2 = ∫ (2x + 1)3 dx = 0 1 2 1 ∫ (2x + 1)3 d(2x + 1) = 0 1 (2x + 1)4 2 4 1 c) I 3 = 1 0= 81 1 − = 10 8 8 1 ∫ (1 − 4x ) dx Chú ý: d(1 − 4x ) = −4dx ⇒ dx = − 4 d(1 − 4x ) 3 0 1 ⇒ I3 = ∫ 0 1 (1 − 4x ) dx = − 4 3 1 d) I 4 = ∫ (x − 1)(x 2 0 1 ⇒ I4 = ∫ 0 = 1 ∫ (1 − 4x )3 d(1 − 4x ) = − 0 1 0= − 81 1 + = −5 16 16 1 − 2x + 5)3 dx Chú ý: d(x 2 − 2x + 5) = (2x − 2)dx ⇒ (x − 1)dx = d (x 2 − 2x + 5) 2 1 (x − 1)(x − 2x + 5) dx = 2 1 (x 2 − 2x + 5)4 . 2 4 1 (1 − 4x )4 4 4 2 3 1 0 = 162 − 1 ∫ (x 2 − 2x + 5)3 d(x 2 − 2x + 5) 0 615 671 = 8 8 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 1 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 e) I 5 = ∫ (2x − 3)(x 2 − 3x + 1)3 dx Chú ý: d (x 2 − 3x + 1) = (2x − 3)dx 0 1 ⇒ I5 = 1 ∫ (2x − 3)(x 2 3 − 3x + 1) dx = 0 = ∫ (x 2 − 3x + 1)3 d (x 2 − 3x + 1) 0 (x 2 − 3x + 1)4 4 1 0= 1 1 − =0 4 4 HT 2.Tính các tích phân sau: 1 a) I 1 = 7 ∫ b) I 2 = xdx 0 c) I 3 = 2 1 d) I 4 = ∫ 4 x + 2dx ∫x 1 + x dx e) I 5 = 0 ∫x 1 2 1 − x dx ∫ f) I 6 = 0 ∫ (1 − x ) x 2 − 2x + 3dx 0 1 g) I 7 = 2x + 1dx 0 1 2 ∫ 1 x 2 x 3 + 1dx h) I 8 = 0 ∫ (x 2 − 2x ) x 3 − 3x 2 + 2dx 0 Bài giải 1 a) I 1 = ∫ 0 xdx = 2 x x 3 7 b) I 2 = ∫ x + 2dx = 2 4 c) I 3 = ∫ 0 ∫ 1 2x + 1dx = 2 x 1 + x 2 dx = 0 1 e) I 5 = ∫ 0 1 f) I 6 = ∫ 0 4 ∫ 2x + 1d (2x + 1) = 0 1 2 ∫ 1 + x 2 d (1 + x 2 ) = 0 1 ∫ 0 1 2 . (1 + x 2 ) 1 + x 2 2 3 1 0= 1 2 1 − x 2 d (1 − x 2 ) = − . (1 − x 2 ) 1 − x 2 2 3 1 (1 − x ) x − 2x + 3dx = − 2 2 1 2 1 26 . (2x + 1) 2x + 1 40 = 9 − = 2 3 3 3 1 1 x 1 − x dx = − 2 2 2 3 2 16 38 (x + 2) x + 2 27 = 18 − = 3 3 3 1 d) I 4 = 1 0= 2 2 1 − 3 3 1 0= 0+ 1 1 = 3 3 1 ∫ x 2 − 2x + 3d (x 2 − 2x + 3) 0 1 2 2 2 = − . (x 2 − 2x + 3) x 2 − 2x + 3 10 = − + 3 2 3 3 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 2 GV. Lưu Huy Thưởng 1 g) I 7 = ∫x 1 x + 1dx = 3 2 3 0 1 h) I 8 = ∫ 0 = 0968.393.899 1 ∫ x 3 + 1d (x 3 + 1) = 0 1 (x − 2x ) x − 3x + 2dx = 3 2 3 2 1 2 3 4 2 −2 . (x + 1) x 3 + 1 10 = 3 3 9 1 ∫ x 3 − 3x 2 + 2d (x 3 − 3x 2 + 2) 0 1 2 3 4 2 4 2 . (x − 3x 2 + 2) x 3 − 3x 2 + 2 10 = 0 − =− 3 3 9 9 HT 3.Tính các tích phân sau: 4 a) I1 = ∫ 1 ∫ 0 b) I 2 = x 1 d) I 4 = 1 dx 0 dx ∫ c) I 3 = 2x + 1 0 ∫ −1 1 (x + 1)dx e) I 5 = 2 x + 2x + 2 ∫ 0 dx 1 − 2x (x − 2)dx x 2 − 4x + 5 Bài giải 4 a) I 1 = ∫ 1 dx x 1 b) I 2 = ∫ 0 0 c) I 3 = ∫ −1 dx 2x + 1 ∫ 0 1 e) I 5 = ∫ 0 = 4 1= 1 2 ∫ (x + 1)dx x + 2x + 2 (x − 2)dx d(2x + 1) = 2x + 1 10 = 3 − 1 2x + 1 0 1 =− 2 1 − 2x 2 4−2 = 2 1 dx 1 d) I 4 = =2 x 0 ∫ d (1 − 2x ) = 1 2 1 − 2x −1 1 = 2 x 2 − 4x + 5 1 ∫ d(x 2 + 2x + 2) 2 x + 2x + 2 0 1 ∫ = − 1 − 2x d (x 2 − 4x + 5) 0 2 x − 4x + 5 0 −1 = −1 + 3 = x 2 + 2x + 2 10 = 5 − 2 = x 2 − 4x + 5 10 = 2 − 5 HT 4.Tính các tích phân sau: 0 e a) I 1 = ∫ dx x 1 1 d) I 4 = (x + 1)dx ∫ x 2 + 2x + 2 0 b) I 2 = ∫ −1 1 dx 1 − 2x c) I 3 = 0 1 e) I 5 = xdx ∫ x2 + 1 x −2 ∫ x 2 − 4x + 5 dx 0 Bài giải BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 3 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 e a) I 1 = ∫ dx = ln x x e 1= ln e − ln 1 = 1 1 0 b) I 2 = ∫ −1 1 c) I 3 = ∫ 0 1 d) I 4 = ∫ 0 dx 1 =− 1 − 2x 2 1 = 2 2 x +1 xdx ∫ −1 1 ∫ d(1 − 2x ) 1 = − ln 1 − 2x 1 − 2x 2 ( 2 x +1 0 1 1 = 2 2 x + 2x + 2 x −2 ∫ x 2 − 4x + 5 ) = 1 ln x d x2 + 1 (x + 1)dx 1 e) I 5 = 0 ∫ 0 1 2 +1 d(x 2 + 2x + 2) x + 2x + 2 1 ∫ d (x 2 − 4x + 5) 2 x − 4x + 5 0 1 ln 3 − (ln 1 − ln 3) = 2 2 1 ln 2 (ln 2 − ln 1) = 2 2 1 0= 1 ln x 2 + 2x + 2 2 = 2 0 dx = 2 2 0 −1 = = 1 0= 1 ln x 2 − 4x + 5 2 1 1 5 (ln 5 − ln 2) = ln 2 2 2 1 0= 1 1 2 (ln 2 − ln 5) = ln 2 2 5 HT 5.Tính các tích phân sau: 2 a) I 1 = 0 dx ∫ x2 b) I 2 = 1 dx ∫ (2x − 1)2 c) I 3 = −1 1 dx ∫ (3x + 1)2 0 Bài giải 2 a) I 1 = 1 dx ∫ x2 = − x 1 2 1= − 2 1 0 +1 = 1 2 0 1 d(2x − 1) 1 1 b) I 2 = = =− . 2 2 2 (2x − 1) 2 2x − 1 (2x − 1) −1 −1 dx ∫ 1 c) I 3 = ∫ dx ∫ (3x + 1)2 0 = 1 3 1 d (3x + 1) 1 0 −1 = 1 1 1 1 − = 2 6 3 1 1 1 ∫ (3x + 1)2 = − 3 . 3x + 1 0 = − 12 + 4 = 6 1 0 HT 6.Tính các tích phân sau: 1 a) I 1 = 1 ∫e 3x b) I 2 = dx 0 ∫ ex + 1 e) I 5 = 0 (2e + 1) dx c) I 3 = ∫ (e2x − 1)2 f) I 6 = e x 2e + 1dx h) I 8 = ∫ x (1 − 4e x )3 dx ∫ (1 − 3e2x )3 1 e 2x e 2x dx 1 1 x ∫e 2 e 2x dx 1 1 ∫ 3 0 2 e x dx 0 g) I 7 = ∫e x 0 1 d) I 4 = 1 x 2x 1 + 3e dx i) I 9 = 0 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN ∫ 0 e x dx ex + 1 Page 4 GV. Lưu Huy Thưởng 1 a) I 1 = ∫ 0 1 b) I 2 = ∫ 0 1 e 3x dx = e 3x 3 0968.393.899 e3 1 − 3 3 1 0= 1 1 e (2e + 1) dx = 2 x 1 (2e x + 1)4 (2e x + 1)3 d(2e x + 1) = . 2 4 ∫ 3 x 0 1 0   1 (2e + 1)4 81 (2e + 1)4 81 =  −  = − 2  4 4  8 8 1 c) I 3 = ∫ ex (1 − 4e x )3 dx = − 0 1 4  1 e x dx ∫ ex + 1 ∫ = 0 e) I 5 = 1 2 f) I 6 = e 2x dx ∫ (1 − 3e2x )3 g) I 7 = ∫e x 0 1 h) I 8 = ∫e 0 1 i) I 9 = ∫ 0 2x 2 2 ex + 1 1 ∫ 0 d(1 − 3e 2x ) 1 1 0= ln(e + 1) − ln 2 = ln e +1 2 −1 1 2 1= 1 4 12(1 − 3e ) − 1 12(1 − 3e 2 ) 1 2 1 2ex + 1d (2e x + 1) = . (2e x + 1) 2e x + 1 10 = (2e + 1) 2e + 1 − 3 2 3 3 ∫ 2x = = ln e x + 1 1 0 1 1 + 3e dx = 6 e x dx  81 81 − (1 − 4e)4 = 4  16 ∫ (1 − 3e2x )3 = − 6 . 2(1 − 3e2x )2 1 2e + 1dx = 2 x − 1 1 1 1 e2 2 =− . = − + = 2 e2x − 1 1 − 1)2 2(e 4 − 1) 2(e 2 − 1) 2(e 4 − 1) 1 1 6 ) d(1 − 4ex ) d (e2x − 1) ∫ (e2x =− 1 1 4 e +1 1 = 2 2 − 1) x 3 0 x e2x dx ∫ (e2x ∫ (1 − 4e d (e x + 1) 0 2 1  1 (1 − 4e)4 1 = −  0 1 (1 − 4ex )4 =− . 4 4 d) I 4 = 1 4 1 ∫ 0 d(ex + 1) ex + 1 1 2 1 + 3e 2x d (1 + 3e2x ) = . (1 + 3e2x ) 1 + 3e 2x 6 3 1 0= 1 8 (1 + 3e2 ) 1 + 3e2 − 9 9 = 2 e x + 1 10 = 2 e + 1 − 2 HT 7.Tính các tích phân sau: e a) I1 = ∫ e ln x dx x b) I 2 = 1 e d) I 4 = ∫ 1 ∫ 3 ln x + 1 dx x e c) I 3 = 1 4 ln3 x + 3 ln2 x − 2 ln x + 1 dx x 1 e2 e) I 5 = ∫ (3 ln x + 1)3 dx x ∫ e e dx x ln x f) I 6 = BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN dx ∫ x(3 ln x + 1) 1 Page 5 GV. Lưu Huy Thưởng e g) I 7 = 0968.393.899 e 3 ln x + 1dx x ∫ h) I 8 = 1 ∫x 1 dx 3 ln x + 1 Bài giải e a) I1 = ∫ e ln x dx = x ∫ 1 e b) I 2 = ∫ ln xd (ln x ) = 1 3 ln x + 1 dx = x 1 e c) I 3 = ∫ 1 e d) I 4 = ∫ ln2 x e ln2 e ln2 1 1 = − = 2 1 2 2 2   3 5  3 ln2 x (3 ln x + 1)d (ln x ) =  + ln x  e1 = ( + 1) − 0 =  2 2  2 1 e ∫ (3 ln x + 1)3 1 dx = x 3 e ∫ (3 ln x + 1)3 d (3 ln x + 1) = 1 4 ln 3 x + 3 ln2 x − 2 ln x + 1 dx = x e ∫ (4 ln 1 e2 ∫ e ∫ 1 ∫ e 1 e e ∫ 1 3 ln x + 1dx 1 = x 3 ∫ 1 d(3 ln x + 1) 1 1 ln 4 = ln(3 ln x + 1) e1 = (ln 4 − ln 1) = 3 ln x + 1 3 3 3 e ∫ 3 ln x + 1d(3 ln x + 1) = 1 e h) I 8 = = (1 + 1 − 1 + 1) − 0 = 2 2 d (ln x ) = ln(ln x ) ee = ln(ln e 2 ) − ln(ln e ) = ln 2 ln x dx 1 = x (3 ln x + 1) 3 e g) I 7 = x + 3 ln2 x − 2 ln x + 1)d (ln x ) e2 dx = x ln x e f) I 6 = 3 1 = (ln4 x + ln 3 x − ln2 x + ln x ) e) I 5 = 1 (3 ln x + 1)4 e 64 1 85 . − = 1= 3 4 3 12 4 e dx ∫x 3 ln x + 1 1 == 1 3 ∫ 1 d(3 ln x + 1) 3 ln x + 1 = 1 2 16 2 14 . (3 ln x + 1) 3 ln x + 1 e1 = − = 3 3 9 9 9 1 4 2 2 .2 3 ln x + 1 e1 = − = 3 3 3 3 HT 8.Tính các tích phân sau: π 2 a) I 1 = d) I 4 = ∫ cos 2 π 2 x sin xdx b) I 2 = ∫ sin 2 π 4 x cos xdx c) I 3 = ∫ sin 0 0 0 π 4 π 2 π 2 sin x ∫ cos x dx 0 e) I 5 = ∫ sin x 3 cos x + 1dx 0 f) I 6 = ∫ 0 3 2x cos 2xdx cos x dx 3 sin x + 1 Giải BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 6 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π 2 a) I1 = ∫ π 2 ∫ cos2 x sin xdx = − 0 0 π 2 π 2 b) I 2 = ∫ sin 2 x cos xdx = 0 ∫ 0 π 4 c) I 3 = ∫ sin 3 2x cos 2xdx = 0 π 4 d) I 4 = ∫ 0 cos2 xd(cos x ) = − sin x dx = − cos x π 4 ∫ 0 sin3 x sin xd (sin x ) = 3 2 1 2 π 4 ∫ ∫ d (cos x ) = − ln(cos x ) cos x sin x 3 cos x + 1dx = 0 π 2 f) I 6 = ∫ 0 cos x sin 3 2xd (sin 2x ) = 0 π 2 e) I 5 = 1 dx = 3 3 sin x + 1 cos3 x 3 π 2 ∫ 0 1 3 π 2 ∫ 0 π 2 0= π 2 0= 1 3 sin4 2x 8 π 4 0 = − ln 1 3 π 4 1 0= 8 2 2 + ln 1 = − ln 2 2 1 2 3 cos x + 1d(3 cos x + 1) = . (3 cos x + 1) 3 cos x + 1 2 3 d(3 sin x + 1) 2 = 3 sin x + 1 3 3 sin x + 1 π 2 0= π 2 0= 1 4 − = −1 3 3 4 2 2 − = 3 3 3 http://www.Luuhuythuong.blogspot.com BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 7 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 PHẦN II TÍCH PHẦN HÀM HỮU TỶ http://www.Luuhuythuong.blogspot.com I.DẠNG 1: 1 dx ∫ ax + b = a ln ax + b + C HT 1.Tính các tích phân sau: 1 a) ∫ 0 0 dx 3x + 1 b) ∫ −1 1 dx 1 − 3x c) ∫ 0  1 3    −  2x + 1 4 − 2x dx Giải 1 a) 1 dx 1 ln 4 3 ∫ 3x + 1 = 3 ln 3x + 1 0 = 3 (ln 4 − ln 1) = 1 0 0 b) 1 dx ∫ 1 − 3x = − 3 ln 1 − 3x 0 −1 −1 1 c) ∫ 0 = 1 ln 4 = − (ln 1 − ln 4) = − 3 3  1 1  1  1  3  3 3 3  dx =  ln 2x + 1 + ln 4 − 2x  10 =  ln 3 + ln 2 −  ln 1 + ln 4 −  2x + 1 4 − 2x    2  2 2 2 2   2  1 3 1 ln 3 + ln 2 2 2 HT 2.Tính các tích phân sau: 2 a) I1 = ∫ x 4 + 3x 3 − 2x 2 + 5x − 1 x2 1 1 dx b) I 2 = ∫ 0 x 3 − 3x 2 + 2x − 1 dx c) I 3 = x −2 0 ∫ −1 2x 3 − 3x 2 + 4x − 1 1 − 2x Giải 2 a) I1 = ∫ 1 x 4 + 3x 3 − 2x 2 + 5x − 1 x2 2 dx = ∫ (x 2 + 3x − 2 + 1 5 1 − )dx x x2  3  8  13 3x 2 1 1 1 3 x =  + − 2x + 5 ln x +  12 =  + 6 − 4 + 5 ln 2 +  −  + − 2 + 5 ln 1 + 1 = + 5 ln 2  3    2 x  2 3 2 3 3   1 b) I 2 = ∫ 0 x 3 − 3x 2 + 2x − 1 dx = x −2 1 ∫ 0  1   dx x 2 − x −  x − 2)  3  1 1  x2 1 x =  − − ln x − 2  10 =  − − ln 1 − (− ln 2) = ln 2 −  3    2 3 2 6     0 c) I 3 = ∫ −1 2x 3 − 3x 2 + 4x − 1 = 1 − 2x 0  ∫ −x −1 2 +x −  3 1  dx + 2 2(−2x + 1) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 8 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899   1  x3 x2 3 = − + − x − ln −2x + 1   2 2 4  3  0 −1 1 1 1 3 1 ln 3 7 = (− ln 1) − ( + + − ln 3) = − 4 3 2 2 4 4 3 II.DẠNG 2: dx ∫ ax 2 + bx + c HT 3.Tính các tích phân sau (mẫu số có hai nghiệm phân biệt) 1 a) ∫ 0 1 dx (x + 1)(x + 2) b) ∫ 0 1 dx (x + 1)(3 − x ) dx ∫ (x + 1)(2x + 3) c) 0 Giải 1 a) ∫ 0 1 dx = (x + 1)(x + 2) ( 1 b) ∫ 0 = 0 ) 10 = ln xx ++ 21 dx 1 = (x + 1)(3 − x ) 4 1 ∫ 0 ( 1 − ln 3 − x + ln x + 1 4 1 c) (x + 2) − (x + 1) dx = (x + 1)(x + 2) ∫ = ln x + 1 − ln x + 2 ∫ 0 dx = (x + 1)(2x + 3) ( = ln x + 1 − ln 2x + 3 1 1 ∫ 0 1 0= ∫ 0  1 1  dx −   x + 1 x + 2  2 1 4 ln − ln = ln 3 2 3 (x + 1) + (3 − x ) 1 dx = (x + 1)(3 − x ) 4 ) 10 = 14 ln x3 −+ x1 1 0 = 1 0=  1 1  ∫  3 − x + x + 1dx 0 1  1 ln 3 ln 1 − ln  = −   4 3 4 (2x + 3) − 2(x + 1) dx = (x + 1)(2x + 3) ) 10 = ln 2xx ++13 1 1  1  2 ∫  x + 1 − 2x + 3 dx 0 2 1 6 ln − ln = ln 5 3 5 HT 4.Tính các tích phân sau: 1 a) 0 dx ∫ x 2 − x − 12 b) 2 dx ∫ 2x 2 − 5x + 2 c) −1 0 dx ∫ 1 − 2x − 3x 2 1 Giải 1 a) dx ∫ x 2 − x − 12 ∫ 0 = = 1 7 0 1  1 dx 1 = (x + 3)(x − 4) 7 1  1 ∫ 0 (x + 3) − (x − 4) dx (x + 3)(x − 4) x −4 ∫  x − 4 − x + 3 dx = 7 (ln x − 4 − ln x + 3 ) 0 = 7 ln x + 3 1 1 1 1 0 0 1 3 4 1 9 (ln − ln ) = ln 7 4 3 7 16 0 b) 1 = dx 0 ∫ 2x 2 − 5x + 2 = ∫ −1 −1 2(x dx 1 − 2)(x − ) 2 0 = ∫ −1 dx 1 = (x − 2)(2x − 1) 3 0 ∫ −1 (2x − 1) − 2(x − 2) dx (x − 2)(2x − 1) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 9 GV. Lưu Huy Thưởng 0 1 = 3 = ∫ −1  1 2  1   −  x − 2 2x − 1dx = 3 ln x − 2 − ln 2x − 1 ( 1 x −2 ln 3 2x − 1 2 c) 0968.393.899 1 ln 2 (ln 2 − ln 1) = 3 3 0 −1 = 2 dx ∫ 1 − 2x − 3x 2 ∫ = 1 1 2  ) −0 1 2 dx 1 −3(x + 1)(x − ) 3 1  = ∫ 1 dx 1 = (x + 1)(1 − 3x ) 4 2 ∫ 1 3(x + 1) + (1 − 3x ) dx (x + 1)(1 − 3x ) x +1 2 1 3 1 3 1 = (ln − ln 1) = ln 4 5 4 5 ∫ 1 − 3x + x + 1dx = 4 (− ln 1 − 3x + ln x + 1 ) 1 = 4 ln 1 − 3x 1 = 4 3 1 1 2 1 HT 5.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm kép) 2 a) 1 dx ∫ x2 b) 1 0 dx ∫ (3x + 1)2 c) 0 dx ∫ (1 − 2x )2 d) −1 0 dx ∫ 9x 2 − 6x + 1 0 e) −1 dx ∫ −16x 2 + 8x − 1 −1 Giải 2 a) dx ∫ x2 =− 1 1 1 2 1 1 = − +1 = x 1 2 2 1 dx 1 1 1  1 ∫ (3x + 1)2 = − 3 . (3x + 1) 0 = −12 − 3  = 4 b) 1 0 0 c) 0 dx −1 1  1 0 1  1 −1 0 dx 0 1 dx 1  1 1  1 ∫ 9x 2 − 6x + 1 = ∫ (3x − 1)2 = − 3 . 3x − 1 −1 = −− 3 + 12  = 4 d) −1 0 −1 0 e) 1 dx ∫ (1 − 2x )2 = ∫ (2x − 1)2 = − 2 . 2x − 1 −1 = −− 2 + 6  = 3 0 dx 0 dx dx 1 1 1 1 1 ∫ −16x 2 + 8x − 1 = −∫ 16x 2 − 8x + 1 = −∫ (4x − 1)2 = 4 . 4x − 1 −1= − 4 + 20 = − 5 −1 −1 0 −1 http://www.Luuhuythuong.blogspot.com HT 6.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm) 1 a) I1 = 3 dx ∫ x2 + 1 b) 2 2 dx ∫ x2 + 3 c) 0 0 0 dx ∫ 2x 2 + 3 Giải 1 a) I1 = dx ∫ x2 + 1 0   π π  Đặt: x = tan t t ∈ − ;    2 2  ⇒ dx = dt cos2 t Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 10 GV. Lưu Huy Thưởng Với x = 1 ⇒ t = π 4 ⇒ I1 = 0968.393.899 π 4 π 4 dt cos2 t. 0 3 b) I 2 = dt ∫ cos2 t(tan2 t + 1) = ∫ 0 π 4 ∫ dt = t = 1 π 4 0 = 0 cos2 t π 4 dx ∫ x2 + 3 0  π π Đặt: x = 3 tan t Với t ∈ − ;   2 2  3dt ⇒ dx = cos2 t Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0 ; Với x = 3 ⇒ t = π 4 ⇒ I2 = 3dt 3 = 2 2 3 cos t(3 tan t + 3) ∫ 0 2 2 c) I 3 = dx 2 2 dx ∫ 2x 2 + 3 = ∫  2 3  0 2 x +   2  0 ∫ 0 = 1 2 3 = 3 dt cos2 t. 2 2 ∫ 0 1 cos2 t π 4 ∫ 0 3 dt = t 3 π 4 0= 3π 12 dx 3 2 x2 +  π π 3 tan t Với t ∈ − ;   2 2  2 Đặt: x = 6 dt 2 cos2 t ⇒ dx = Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0; Với x = ⇒ I3 = π 4 π 4 1 2 π 6 ∫ 0 6dt 3 3 2 cos2 t ( tan2 t + ) 2 2 = 2 π ⇒t = 2 6 6 6 π 6 ∫ 0 dt cos2 t . 1 = 6 6 cos2 t π 6 ∫ 0 π dt = 6 6 6π t 0= 6 36 HT 7.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm) 0 a) I 1 = dx ∫ (x + 1)2 + 1 4 b) I 2 = −1 1 dx ∫ x 2 − 4x + 8 2 c) I 3 = dx ∫ x2 + x + 1 0 Giải 0 a) I 1 = dx ∫ (x + 1)2 + 1 −1  π π Đặt: x + 1 = tan t Với t ∈ − ;   2 2  BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 11 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 dt ⇒ dx = cos2 t Đổi cận: Với x = −1 ⇒ t = 0; Với x = 0 ⇒ t = π 4 ⇒ I1 = π 4 dt ∫ cos2 t(tan2 t + 1) = ∫ 0 4 0 4 dx π 4 dt cos2 t. π 4 ∫ dt = t = 1 0 cos2 t π 4 0= π 4 dx ∫ x 2 − 4x + 8 ∫ (x − 2)2 + 4 b) I 2 = = 2 2  π π Đặt: x − 2 = 2 tan t Với t ∈ − ;   2 2  2dt ⇒ dx = cos2 t Đổi cận: Với x = 2 ⇒ t = 0; Với x = 4 ⇒ t = π 4 2dt ∫ cos2 t(4 tan2 t + 4) ⇒ I2 = = 0 1 1 dx ∫ x2 + x + 1 ∫  c) I 3 = = 0 0 1 2 π 4 ∫ 0 dt cos2 t. ⇒ dx = 3 dt . 2 cos2 t ⇒ I3 = 2 3 3 π 3 ∫ π 6 cos2 t ∫ 0 1 dt = t 2 π 4 0= π 8 π π ;Với x = 1 ⇒ t = 6 3 3dt ∫ 1 1 2 2 x + 1  + 3  2  4  π π 1 3 = tan t Với t ∈ − ;   2 2  2 2 π 3 = π 4 dx Đặt: x + Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = π 4 3 2 3 2 π 2 cos t ( tan t + ) 4 4 6 = 2 3 3 π 3 ∫ dt 2 π cos t . 6 1 = cos2 t π 2 3 3 2 3π 2 3π 2 3π dt = t = − = π 3 9 18 18 6 http://www.Luuhuythuong.blogspot.com BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 12 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 mx + n ∫ ax 2 + bx + c dx III.Dạng 3: HT 8.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có 2 nghiệm phân biệt) 1 a) I 1 = 0 x −1 ∫ x 2 + 4x + 3 dx b) I 2 = 2x + 10 ∫ −x 2 + x + 2 dx 0 c) I 3 = −1 0 7 − 4x ∫ −2x 2 − 3x + 2 dx −1 Giải 1 a) I 1 = 1 x −1 (x − 1)dx ∫ x 2 + 4x + 3 dx = ∫ (x + 1)(x + 3) 0 0 Xét đồng nhất thức: x −1 A B Ax + A + Bx + 3B (A + b)x + A + 3B = + = = (x + 3)(x + 1) x + 3 x + 1 (x + 3)(x + 1) (x + 3)(x + 1) A + B = 1 A = 2 Đồng nhất thức hai vế ta được:  ⇔   A + 3B = −1 B = −1   1 Vậy, I 1 =  2 1  ∫  x + 3 − x + 1dx = (2 ln x + 3 − ln x + 1 ) 0 1 0 = (2 ln 4 − ln 2) − (2 ln 3 − ln 1) = 2 ln 0 b) 0 2x + 10 4 − ln 2 3 2x + 10 ∫ −x 2 + x + 2 dx = ∫ (x + 2)(1 − x ) dx −1 −1 Xét đồng nhất thức: (B − A)x + A + 2B 2x + 10 A B A − Ax + Bx + 2B = + = = (x + 2)(1 − x ) x + 2 1 − x (x + 2)(1 − x ) (x + 2)(1 − x ) B − A = 2 A = 2 ⇔  Đồng nhất thức hai vế ta được:   A + 2B = 10 B = 4   0 Vậy, I 2 =  2 4  ∫  x + 2 + 1 − x dx = (2 ln x + 2 − 4 ln 1 − x ) −1 0 −1 = (2 ln 2 − 4 ln 1) − (2 ln 1 − 4 ln 2) = 2 ln 2 + 4 ln 2 = ln 4 + ln 16 = ln 64 0 c) I 3 = 7 − 4x 0 ∫ −2x 2 − 3x + 2 dx = −1 Xét đồng nhất thức: 7 − 4x ∫ (x + 2)(1 − 2x ) dx −1 (B − 2A)x + A + 2B 7 − 4x A B A − 2Ax + Bx + 2B = + = = (x + 2)(1 − 2x ) x + 2 1 − 2x (x + 2)(1 − 2x ) (x + 2)(1 − 2x ) B − 2A = −4 A = 3 Đồng nhất thức hai vế ta được:  ⇔   A + 2B = 7 B = 2   0 Vậy, I 3 =  3  ∫ 1 − 2x + x + 2 dx = (− ln 1 − 2x + 3 ln x + 2 ) −1 2 0 −1 3 2 http://www.Luuhuythuong.blogspot.com = (− ln 1 + 2 ln 2) − (− ln 3 + 3 ln 2) = ln 3 − ln 2 = ln BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 13 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 9.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm kép) 1 a) I 1 = 0 (3x + 1)dx ∫ x 2 + 2x + 1 b) I 2 = 1 3x − 1 ∫ 4x 2 − 4x + 1 c) I 3 = dx −1 0 3x + 2 ∫ 4x 2 + 12x + 9 dx 0 Giải 1 a) I 1 = (3x + 1)dx 1 3x + 1 ∫ x 2 + 2x + 1 ∫ (x + 1)2 0 = 1 ∫ dx = 0 3(x + 1) − 2 (x + 1)2 0 1 dx = ∫ 0   2   3 − dx  x + 1 (x + 1)2    2  1 = 3 ln x + 1 +  = (3 ln 2 + 1) − (3 ln 1 + 2) = 3 ln 2 − 1  x + 1 0 3 1 2x − 1) + ( 2 2 dx b) I 2 = dx = dx = 2 2 2 (2x − 1) (2x − 1) 4x − 4x + 1 −1 −1 −1 0 0 3x − 1 ∫ 0 3x − 1 ∫ ∫     1 1 1  3 dx =  3 ln 2x − 1 − 1 . 1  + .  .    2  4 2x − 1 4  2 2x − 1 2 (2x − 1)  −1 0 = ∫ 0 −1 3 1 3 1 3 1 =  ln 1 +  −  ln 3 +  = − ln 3 +  4 4   4 12  4 6 3 5 (2x + 3) − 2 2 dx dx = c) I 3 = dx = 2 2 2 4 x + 12 x + 9 (2 x + 3) (2 x + 3) 0 0 0 1 ∫ 1 = ∫ 0 1 3x + 2 1 3x + 2 ∫ ∫   3 1 5 1  3 5 1  − .  dx =  ln 2x + 3 + .  .  2   4 2x + 3  4  2 2x + 3 2 (2x + 3)  1 0 3 1  3 5 3 5 1 =  ln 5 +  −  ln 3 +  = ln −  4 4   4 12  4 3 6 HT 10.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm) 1 a) I 1 = 3 3x + 1 ∫ x2 + 1 b) I 2 = dx 0 3x + 2 1 ∫ x 2 − 4x + 5 c) I 3 = dx 1 3x − 1 ∫ 4x 2 − 4x + 2 dx 0 Giải 1 a) I 1 = 3x + 1 ∫ x 2 + 1 dx 0 1 2 Chú ý: (x + 1)' = 2x Nên: I 1 = ∫ 0 Xét: M = 3 2 1 Xét: N = 1 2x ∫ x2 + 1 0 dx = 3 2 1 ∫ 0 3 .2x + 1 2 dx = x2 + 1 d (x 2 + 1) 2 x +1 = 1 ∫ 0  3 2x 1  3  . + dx =  2 2 2  2  x + 1 x + 1 3 ln x 2 + 1 2 1 0= 1 2x ∫ x2 + 1 0 1 dx + dx ∫ x2 + 1 0 3 3 ln 2 (ln 2 − ln 1) = 2 2 dx ∫ x2 + 1 0 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 14 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899   π π  Đặt: x = tan t t ∈ − ;    2 2  dt ⇒ dx = cos2 t Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0 Với x = 1 ⇒ t = π 4 ⇒M = π 4 π 4 dt cos2 t. 0 3 = 1 ∫ dt = t cos2 t π 4 0 = 0 π 4 3 ln 2 π + 2 4 Vậy, I 1 = M + N = b) I 2 = dt ∫ cos2 t(tan2 t + 1) = ∫ 0 π 4 3x + 2 ∫ x 2 − 4x + 5 dx 1 Chú ý: (x 2 − 4x + 5)' = 2x − 4 3 3 (2x − 4) + 8 2 Khi đó: I 2 = dx = x 2 − 4x + 5 1 1 3 ∫ 3 = 2 3 3  2x − 4 1  ∫  2 x 2 − 4x + 5 + 8. x 2 − 4x + 5 dx 3 2x − 4 1 ∫ x 2 − 4x + 5 dx + 8∫ x 2 − 4x + 5 dx 1 1 3 + Xét: M = 2 3 ∫ 1 3 + Xét: N = 8 2x − 4 3 dx = 2 x 2 − 4x + 5 1 ∫ x 2 − 4x + 5 3 ∫ 1 3 dx = 8 1 d (x 2 − 4x + 5) 3 = ln x 2 − 4x + 5 2 2 x − 4x + 5 3 1= 3 (ln 2 − ln 2) = 0 2 dx ∫ (x − 2)2 + 1 1   π π  Đặt: x − 2 = tan t Với t ∈ − ;    2 2  ⇒ dx = dt cos2 t π π Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = − ; Với x = 3 ⇒ t = 4 4 π 4 ⇒N =8 ∫ dt cos2 t(tan2 t + 1) −π 4 π 4 =8 ∫ dt = 8t − π 4 π 4 = −π 4 4π BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 15 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Vậy, I 2 = M + N = 4π 1 3x − 1 ∫ 4x 2 − 4x + 2 dx c) I 3 = 0 Chú ý: (4x 2 − 4x + 2)' = 8x − 4 3 1 (8x − 4) + 8 2 dx Ta có: I 3 = dx = 2 2 4 x − 4 x + 2 4 x − 4 x + 2 0 0 1 ∫ 3 = 8 1 ∫ 0 1 3x − 1 ∫ 8x − 4 1 dx + 2 2 4x − 4x + 2 3 +) Xét: M = 8 1 +) Xét: N = 2 1 ∫ 0 1 1 dx ∫ 4x 2 − 4x + 2 0 3 dx = 2 8 4x − 4x + 2 1 = 4x 2 − 4x + 2 2 dx ∫ 0 1 8x − 4 ∫ d (4x 2 − 4x + 2) 0 1 2 4x − 4x + 2 = 3 ln 4x 2 − 4x + 2 8 1 0= 3 (ln 2 − ln 2) = 0 8 dx ∫ (2x − 1)2 + 1 0   π π  Đặt: 2x − 1 = tan t Với t ∈ − ;    2 2  ⇒ 2dx = dt 2 ⇔ dx = cos t dt 2 cos2 t π π Đổi cận:Với x = 0 ⇒ t = − ; Với x = 1 ⇒ t = 4 4 ⇒N = 1 2 π 4 ∫ π − 4 dt 2 cos2 t(tan2 t + 1) = 1 2 π 4 ∫ − π 4 π 1 π dt = t 4 = 2 −π 4 4 π Vậy, I 3 = M + N = 4 HT 11.Tính các tích phân sau: 0 a) I1 = ∫ −1 0 c) I 3 = ∫ −1 x 3 − 5x 2 + 6x − 1 x 2 − 3x + 2 x 3 + 3x 2 − 6x + 1 x 2 + 2x + 2 1 dx b) I 2 = ∫ 0 2 dx d) I = x 4 + 5x 3 − 3x 2 + 2x − 1 x 2 + 2x + 1 dx x2 ∫ x 2 − 7x + 12dx 1 Giải BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 16 GV. Lưu Huy Thưởng 0 a) I 1 = ∫ 0968.393.899 0 x 3 − 5x 2 + 6x − 1 dx = 2 x − 3x + 2 −1 ∫ −1   x − 2 + −2x + 3  dx =     x 2 − 3x + 2   2  x (x − 2)dx =  − 2x   2   −1 0 +) Xét: M = ∫ 0 +) Xét: N = −2x + 3 ∫ x 2 − 3x + 2 0 0 −1 = 0 0 −2x + 3 ∫ (x − 2)dx + ∫ x 2 − 3x + 2 dx −1 −1 1  5 −  + 2 = −  2  2 −2x + 3 ∫ (x − 1)(x − 2) dx dx = −1 −1 Dùng đồng nhất thức ta tách được: 0 N =  −1 −1  ∫  x − 1 + x − 2 dx = (− ln x − 1 − ln x − 2 ) −1 = (− ln 1 − ln 2) − (− ln 2 − ln 3) = ln 3 0 − 5 Vậy, I 1 = M + N = ln 3 − 2 1 b) I 2 = ∫ x 4 + 5x 3 − 3x 2 + 2x − 1 2 x + 2x + 1 0 1 dx = ∫ (x 2 + 3x −10 + 0 19x + 9 2 x + 2x + 1 )dx  3  3x 2 1 3 49 x (x 2 + 3x − 10)dx =  + − 10x  10 = ( + − 10) − 0 = −  3 2 3 2 6   0 1 +) Xét: M = ∫ 1 +) Xét: N = 1 19x + 9 ∫ x 2 + 2x + 1 19(x + 1) − 10 ∫ dx = 0 (x + 1)2 0   10   19 −   dx  x + 1 (x + 1)2  0 1 dx = ∫  10  1 = 19 ln x + 1 +  = (19 ln 2 + 5) − (19 ln 1 + 10) = 19 ln 2 − 5  x + 1 0 79 6 Vậy, I 2 = M + N = 19 ln 2 − 0 c) I 3 = ∫ x 3 + 3x 2 − 6x + 1 x 2 + 2x + 2 −1 0 dx =  2  x (x + 1)dx =  + x   2   −1 ∫ 0 +) Xét: N = 10x + 1 ∫ x 2 + 2x + 2 0 dx = −1 0 P =5 2x + 2 ∫ x 2 + 2x + 2 −1 10x + 1  −1 0 +) Xét: M =   ∫ x + 1 − x 2 + 2x + 2 dx 0 dx = 5 ∫ −1 ∫ −1   1 − 1 =  2 2 0 1 −1 = −  5(2x + 2) − 9 x 2 + 2x + 2 d(x 2 + 2x + 2) 2 x + 2x + 2 0 dx =  5(2x + 2)  9   dx −  2  x + 2x + 2 x 2 + 2x + 2  −1 ∫ = 5 ln x 2 + 2x + 2 0 −1 = 5(ln 2 − ln 1) = 5 ln 2 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 17 GV. Lưu Huy Thưởng 0 Q=9 0968.393.899 0 dx dx ∫ x 2 + 2x + 2 = 9∫ (x + 1)2 + 1 −1 −1  π π Đặt: x + 1 = tan t Với t ∈ − ;   2 2  ⇒ dx = dt cos2 t Đổi cận: Với x = −1 ⇒ t = 0; Với x = 0 ⇒ t = π 4 ⇒Q = 9 π 4 dt ∫ cos2 t(tan2 t + 1) = 9∫ dt = 9t 0 0 ⇒ N = P − Q = 5 ln 2 − 2  π 4 π 4 0= 9π 4 9π 1 9π ⇒ I 3 = M + N = + 5 ln 2 − 4 2 4 9  16 2 ∫ 1 + x − 4 − x − 3 dx = (x + 16 ln x − 4 − 9 ln x − 3 ) 1 = 1 + 25 ln 2 − 16 ln 3 . d) I = 1 HT 12.Tính các tích phân sau: 2 dx ∫ x5 + x3 a) I = b) I = 1 1 xdx ∫0 (x + 1)3 Giải 2 dx ∫ x5 + x3 a) I = 1 Ta có: 1 3 2 x (x + 1) =− 1 1 x + + 3 2 x x x +1  2 1 1 3 1 3 + ln(x 2 + 1) = − ln 2 + ln 5 + ⇒ I = − ln x − 2 2 2 2 8 2x  1 b) I = Ta có: ⇒I = 1 xdx ∫0 (x + 1)3 x 3 (x + 1) 1  x + 1−1 = 3 (x + 1) ∫0 (x + 1) −2 = (x + 1)−2 − (x + 1)−3 1  − (x + 1)−3 dx = 8 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 18 GV. Lưu Huy Thưởng BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN 0968.393.899 Page 19