Tài liệu Tuyển tập phương trình, bất phương trình hệ phương trình 2016

Tuyeån taäp PT – BPT – HPT ThS. Nguyeãn Vaên Rin TUYỂN TẬP PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2016 TẬP 3 Những gì chúng ta biết ngày hôm nay sẽ lỗi thời vào ngày hôm sau. Nếu chúng ta ngừng học thì chúng ta sẽ ngừng phát triển. A. TUYỂN TẬP CÁC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Giải bất phương trình 5x 2  5x  10  x  7  2x  6 x  2  x 3  13x 2  6x  32 (THPT ĐOÀN THỊ ĐIỂM – KHÁNH HÒA 2016) Điều kiện : x  2 . Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình : 5x 2  5x  10   x  7  3  2x  6   x  2  2  x 3  2x 2  5x  10  0  5x 2  5x  10 2x  6   x  2    x 2  5  0 *   x  7  3 x 2 2 Với mọi x  2 ta có và x  2  2  2 nên x  7  3  5  3  5 nên Do đó, 5x 2  5x  10 x 7 3  2x  6 x 2 2 5x 2  5x  10 2x  6 x 2 2 x 7 3    2x  6 x 3 2 5x 2  5x  10  x2 x  2 . 5   x 2  5  x 2  x  2  x  3  x 2  5  0 . *  x  2  0  x  2 . Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của bất phương trình là S  2;2 .   Câu 2. Giải bất phương trình 7x  7  7x  6  2 49x 2  7x  42  181  14x (TRƯỜNG ISCHOOL NHA TRANG – KHÁNH HÒA 2016) Điều kiện : x  6 . 7 u  7x  7  Đặt  u; v  0 , khi đó bất phương trình đã cho trở thành : v  7x  6    u  v  2uv  182  u 2  v 2  u  v   u  v   182  0 2  14  u  v  13 . Page 1 Khoâng phaûi luùc naøo baïn coá gaéng cuõng thaønh coâng nhöng phaûi luoân coá gaéng ñeå khoâng hoái tieác khi thaát baïi. ThS. Nguyeãn Vaên Rin Tuyeån taäp PT – BPT – HPT Vì u; v  0 nên 0  u  v  13 . 7x  7  7x  6  13  49x 2  7x  42  84  7x x  1   6  49x 2  7x  42  0 x   x  1   7  .  84  7x  0  x  12   6     x  6 x  6  7 49x 2  7x  42  7056  1176x  49x 2      Khi đó 6  Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của bất phương trình là S   ; 6 .  7   Câu 3. Giải bất phương trình 2 x x  1   2 2x  3  1 x  12x  3 (TRUNG CẤP NGHỀ NINH HÒA – 2016)  x   3 Điều kiện :  2. x  1  Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình : 2 x x  1   2x  3  1   2x  3  1  2x  3  1 2x  3 x x  1 1 2    2x  3  1 2x  3  1  x x  1  2   2x  3  1 2x  3*  x 3  2x 2  x  2x  3 2x  3  2x  3  x 2 x  2  2x  3 2x  3  x  3  0  x 2  0  x  2. 2 Ta có *  x  1  1 x  1      2x  3  1 2x  3  2 Xét hàm số f t   t  1 t 2 với t  1 . f ' t   3t 2  2t  0, t  1 . Suy ra hàm số f t  đồng biến trên khoảng 1;  . Page 2 Con ñöôøng daãn ñeán thaønh coâng bao giôø cuõng ñaày choâng gai. Neáu thieáu nhieät tình vaø nghò löïc thì khoâng theå naøo vöôït qua. Tuyeån taäp PT – BPT – HPT Khi đó f x  1  f  ThS. Nguyeãn Vaên Rin  2x  3  x  1  2x  3 x  2   2  x 2 6. x  4x  2  0   Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  2  6;  .  Câu 4. Giải hệ phương trình   2(4x 2  y 2 )  5x 2  2xy  2y 2  3x  2y , x ; y     2  y  x  6  2 x  y   1  5 x  1  (THPT LÊ QUÝ ĐÔN) x  1  0  x  1 (*) Điều kiện xác định:   2 y  x  6  0  Biến đổi vế trái phương trình thứ nhất (2x  y )2  (2x  y )2  (2x  y )2  (x  y )2  2x  y  x  y  3x  2y  3x  2y 2x  y  0  Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (2x  y )(x  y )  0  2x  y  0  3x  2y  0  Thay vào (2) ta được phương trình:  2x  1 2 4x 2  x  6  2x  1  5 x  1  5 x  1   2x  1  5 x  1 (3) Với x  0 , chia hai vế của phương trình (3) cho x  1 ta được phương trình tương 2 đương  2x  1     5   2x  1  5   x  1  x 1 t  5 t 2 Đặt t  , phương trình được viết t  5  t  5    t  2 x 1    1  x 2x  1   2  2 x  1  2x  1   Giải phương trình: 2  x 1  4 x  1  4x 2  4x  1    2x  1 2   1    1 x   x 7  2 .    x  1  2    2 2 4  28   4x  8x  3  0  x    4   Page 3 Khoâng phaûi luùc naøo baïn coá gaéng cuõng thaønh coâng nhöng phaûi luoân coá gaéng ñeå khoâng hoái tieác khi thaát baïi. ThS. Nguyeãn Vaên Rin Khi x  1  Tuyeån taäp PT – BPT – HPT 7  y  2  7 . 2  7   ; 2  7  . Nghiệm của hệ phương trình là: (x ; y )  1  2   Câu 5. Giải bất phương trình 2x 2  6x  8  2x 2  4x  6  3 x  4  3 x  3  1  0 (THPT TRƯNG VƯƠNG) Điều kiện : x  1 Bất phương trình đã cho tương đương với : 2 x  1x  4  2 x  1x  3  3 x  4  3 x  3  1  0  2 x  1 x  4  2 x  1 x  3  3 x  4  3 x  3  1  0  2 x  1      x 4  x  3  1 x 4  x 3 3 2 x  1  3  x 4   2 x  1  3   x 3 1 1 x 4  x 3  2 x  1  3  x  4  x  3    11 2 x  1  3  0  x   2  2 2    2 x  1  3  x  4  x  3  3 2 x  1  x  4x  3       x  11  11  x 2     x  5  x  6 2  2   x  11x  30  0   x  6      Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  6;  . Câu 6. Giải hệ phương trình  3 2 y  2  3 y  2  x  4  x   y  42y  12  8  x 2  y     x2  2 x2 y  . (THPT TRẦN HƯNG ĐẠO) y  2 Điều kiện :  .  2 x  y  Page 4 Con ñöôøng daãn ñeán thaønh coâng bao giôø cuõng ñaày choâng gai. Neáu thieáu nhieät tình vaø nghò löïc thì khoâng theå naøo vöôït qua. Tuyeån taäp PT – BPT – HPT ThS. Nguyeãn Vaên Rin Từ phương trình thứ (2) ta có y  42y  12  x 2  2x 2  y   0 x2  8  y        2 x 2  8  y  2 y  42y  12  2 x 2  2 x 2  y  0   2y  8  y  6   2 2 2 x  2  x y  0 2    2y  8  y  6   y  2  y  2  0 .  2  x  2  x2 y    Thay vào phương trình (1) ta được 2 y  2  3 y 2  x3  4  x  y  2  3 y 2  x3  4  x   3 y 2  4  3 3 y  2  x 3  4  x * . Xét hàm số f t   t  t 2  4 trên  . Ta có f ' t   1  3t 2 3 2 t 4  0, t   . Do đó, phương trình *  f  3  y  2  f x   3 y  2  x .  y  2  0 x   3 4   Suy ra  (thỏa mãn).   3 y  2  x y  2     Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y    3 4; 2 . Câu 7. Giải bất phương trình   x 2  5x  4 1  x (x 2  2x  4) * . (THPT NGUYỄN TRƯỜNG TỘ) 1  5  x  0  Điều kiện : x x  2x  4  0   x  1  5    2 Khi đó (*)  4 x (x 2  2x  4)  x 2  5x  4      4 x x 2  2x  4  x 2  2x  4  3x * * Trường hợp 1 : x  1  5 , chia hai vế cho x  0 , ta có: Page 5 Khoâng phaûi luùc naøo baïn coá gaéng cuõng thaønh coâng nhöng phaûi luoân coá gaéng ñeå khoâng hoái tieác khi thaát baïi. ThS. Nguyeãn Vaên Rin * *  4 Đặt t  Tuyeån taäp PT – BPT – HPT x 2  2x  4 x 2  2x  4  3 x x x 2  2x  4 t  0 , ta có bất phương trình : x t 2  4t  3  0  1  t  3 x 2  7x  4  0 x 2  2x  4 1  17 7  65  1 3 2  x  x  x  4  0 x 2 2  Trường hợp 2 : 1  5  x  0 , x 2  5x  4  0 , (**) luôn thỏa.  1  17 7  65      ; Vậy tập nghiệm của bất phương trình (*) là S  1  5; 0       2 2  Câu 8. Giải phương trình  2 1  x   x  4x  5  2  x  1 1   .  x x 1 x 2  x  1  3x 2 (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ - 2016) Điều kiện: x  1 . Phương trình đã cho tương đương với  2 1  x    x  1 1   x  2  2  x x 1 x 2  x  1  x 2  2x  1 2  2 1x  1  x  .   1  x   1  2  x 2  x  1  x  x  1 2 2 x  2 Đặt y  1  x , z  x 2  x  1 y  0; z  0 , phương trình trở thành   y 4 2 2  2y   x  2  y  1     z  z 2 2 . Ta có VT  0 ;  2 2y   2y  y4  2  2 y 2 y    VP  y   1  2  y  2   1  y   1  0 .   z   z  z z  z 2 x  2 x  2  0     Do đó, phương trình (2) tương đương với :   y  y  0 . y   1  0    z y  z   Với x  2 thì y  z  3 . Page 6 Con ñöôøng daãn ñeán thaønh coâng bao giôø cuõng ñaày choâng gai. Neáu thieáu nhieät tình vaø nghò löïc thì khoâng theå naøo vöôït qua. Tuyeån taäp PT – BPT – HPT ThS. Nguyeãn Vaên Rin Vậy x  2 . Câu 9. Giải hệ phương trình  2 x  x  y  2 x  1y  1 1  . x 1  2 2 3x  8x  3  4 x  1 y  1 x  1 Điều kiện:  .  y  1  x3  x2  x 1   y  2  x 1  x 3   x     x  1  x 1  x  1y  1  x 3  x x  1 x  1 x 1  y  2 y  1  3 y  1  y  1 3 . Xét hàm số f t   t 3  t trên  . Ta có f ' t   3t 2  1  0, t   . Suy ra hàm số f t  đồng biến trên  .  x    f Do đó, 3  f   x  1    y 1  x x 1  y  1 . Suy ra x  0 . Thay vào phương trình (2) ta được:  3x 2  8x  3  4x x  1  2x  1  x  2 x  1 2 x  1   2 2 x  1  x  1 x  6x  3  0      x  1 2 x  1  1  3x    3 9x 2  10x  3  0    2 x  3  2 3    5  2 13 . x   9 x2  1. Ta có y  x 1 Với x  3  2 3 thì y  Với x  43 3 . 2 5  2 13 : loại do x  0 . 9 Page 7 Khoâng phaûi luùc naøo baïn coá gaéng cuõng thaønh coâng nhöng phaûi luoân coá gaéng ñeå khoâng hoái tieác khi thaát baïi. ThS. Nguyeãn Vaên Rin Tuyeån taäp PT – BPT – HPT  4  3 3   Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y   3  2 3;  .  2  Câu 10. Giải bất phương trình x 2 2   6 x 2  2x  4  2 x  2  1 2 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC – 2016) Điều kiện: x  2 . Ta có   6 x  2x  4  2 x  2  2  2 x 2  2x  4    6 x 2  2x  4  2 x  2  0, x  2 . Bất phương trình đã cho tương đương với : 2     x  2  2  6 x 2  2x  4  2 x  2  2 x  2  2x  12 x  2  6x 2 * . Nhận xét x  2 không là nghiệm của bất phương trình. Khi đó chia 2 vế của bất phương trình (*) cho x  2  0 ta được : 2  x   1 . 2  2.  12  6.    x  2  x 2 x Đặt t  x x 2 , bất phương trình (1) trở thành : t  1 2  2t  0      t  2. 2  2t  12  6t   2 2 2 2 t  2  0 4  8t  4t  12  6t   Với t  2 ta có bất phương trình x  0 x  2   2  x  22 3. x  4x  8  0 x 2  2 Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x  2  2 3 . Câu 11. Giải phương trình x 1  x 2  x  2 3 2x  1 3 2x  1  3 (THPT BÌNH MINH – NINH BÌNH 2016) Page 8 Con ñöôøng daãn ñeán thaønh coâng bao giôø cuõng ñaày choâng gai. Neáu thieáu nhieät tình vaø nghò löïc thì khoâng theå naøo vöôït qua. Tuyeån taäp PT – BPT – HPT ThS. Nguyeãn Vaên Rin x   1 Điều kiện:  . x  13  Phương trình đã cho tương đương với :    x  2 x  1  2 x  1  2 x2  x  6 x 1  2  3  x 1  2  3 2x 1  3 2x  1  3 Vì x  3 không là nghiệm của phương trình nên 1  1   x  2  3 x 1  2 2x  1  3   (2x  1)  3  1 2x  1  (x  1) x  1  x  1 2 Xét hàm số f (t )  t 3  t trên  . 2 Ta có f ' t   3t  1  0, t   . Do đó phương trình 2  3 2x  1  x  1    1 1  x  x      2 2   3 2 3 2  (2x  1)  (x  1)  x  x  x  0     1  x   x  0  2   x  0    x  1  5      x  1  5 2      2    1  5  Vậy phương trình có nghiệm S   0;   2    Câu 12. Giải hệ phương trình x  2 x 2  2x  4  y  1  2 y 2  3   2  4 x  x  6  5 y  2  xy  2 y  x  2  1  2 y  x  2 (THPT THUẬN THÀNH 1 – BẮC NINH 2016) y  2 Điều kiện :  . (x  2)(y  1)  0  Phương trình (1) của hệ tương đương với x  1  2 (x  1)2  3  y  2 y 2  3 Xét hàm số f t   t  2 t 2  3 trên  . Ta có f '(t )  1  2t t2  3  t 2  3  2t t2  3 . Page 9 Khoâng phaûi luùc naøo baïn coá gaéng cuõng thaønh coâng nhöng phaûi luoân coá gaéng ñeå khoâng hoái tieác khi thaát baïi. ThS. Nguyeãn Vaên Rin Tuyeån taäp PT – BPT – HPT t  0 f '(t )  0  t  3  2t   2  t  1. 3t  3  0  t  0 2 f '(t )  0  t  3  2t   2 t 1 3t  3  0  f '(t )  0  t  1 2 Từ điều kiện ta có x  2  0 x  1  1   -Nếu  thì 1  f x  1  f y   x  1  y  y  1  0 y  1   x  2  0 x  1  1  -Nếu  thì 1  f x  1  f y   x  1  y  y  1  0 y  1   Thế y  x  1 vào phương trình (2) ta có :  4x 2  x  6  (1  2x )  5 x  1  x  1  0  x   1   2  4x  x  6  1  2x  x  1  x 1 4x 2  x  6  1  2x  x 1 (4)   1  x 2 7  x  Kết hợp (3) và (4) ta được 2 x  1  2x  1   2  2  4x 2  8x  3  0    Thử lại ta có: Phương trình đã cho có 2 nghiệm: x  1; x  2 7 . 2  2  7 7    . ; Vậy hệ có nghiệm là (x;y) = (-1;-2) và   2 2  Câu 13. Giải hệ phương trình  2  x  x  1  y 2  y  1  x 2  xy  y 2  4 x  1xy  y  1  3x  3 x 4  x 2  1 (THPT CHUYÊN BẮC GIANG – 2016) x 2  x  1  y 2  y  1  1     2 2  x  x  1  y  y  1    x 2 2  xy  y 2 2 . Ta có 2  xy  x  y  2  2 x 2  x  1. y 2  y  1 Page 10 Con ñöôøng daãn ñeán thaønh coâng bao giôø cuõng ñaày choâng gai. Neáu thieáu nhieät tình vaø nghò löïc thì khoâng theå naøo vöôït qua. Tuyeån taäp PT – BPT – HPT ThS. Nguyeãn Vaên Rin xy  x  y  2  0    2 xy  x  y  2  4 x 2  x  1 y 2  y  1 3  2 3  xy  x  y   4 xy  x  y   4  4  x 2  x y 2  y  x 2  x  y 2  y  1 2 2   xy  x  y   4 x 2y 2  xy x  y   x  y            3x 2y 2  6xy x  y   3 x  y   0 2  3 xy  x  y   0  xy  y  x . 2 Thế xy  y  x vào phương trình 4 x  1xy  y  1  3x  3 x 4  x 2 ta được : 4 x  1x  1  3x  3 x 4  x 2 4  Đặt t  3 x 4  x 2 . Vì x  0 không là nghiệm của (4) nên x  0 .  2 3x 2 x  0, x  0 . Suy ra t  tx  x  t     2  4 2 2 Do đó 4   4x 2  3x  4  t  4x 2  4x  4  t  x    4 x  x  1t  x  x  14t   tx  x   x  x  4tx  3x   0  4 x 2  x  1 t 2  tx  x 2  t 3  x 3 2 2 2 2 2 4 3 x2 2  x 2  x  1  0 vì 4t 2  4tx  3x 2  2t  x   2x 2  0, x  0 . 2 x  1 5 . 2 - Với x  1 5 3 5 1 5 1  5 y y  thì (không thỏa mãn điều kiện). 2 2 2 2 1 5 3 5 1 5 1  5 y y  thì (thỏa mãn điều kiện). 2 2 2 2 1  5 1  5    . ; Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y      2 2  - Với x  Câu 14. Giải phương trình  x 3  3x 2  4x  1  x 2  3  x2 x 1 (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – 2016) Page 11 Khoâng phaûi luùc naøo baïn coá gaéng cuõng thaønh coâng nhöng phaûi luoân coá gaéng ñeå khoâng hoái tieác khi thaát baïi. ThS. Nguyeãn Vaên Rin Tuyeån taäp PT – BPT – HPT x  3 x  3   Ta thấy x  3  x 2  x  1  0   (vô nghiệm)  2  x  x  1  x 2  6x  9 x   8   7 Do đó phương trình đã cho tương đương với : x 2    3 x  3  7x  8  x 2  3     x2 x 1  x 2  3 x  3  x 2  x  1  7x  8  0 x  3  x 2  x  1 2   x2  3  x  3  x2 x 1  7x  8   0   x2  3   7x  8  1  0  x  3  x 2  x  1   x   8   7 2 x  3  x  3  x 2  x  1 2  2  x 2  x  x 2  x  1 3 . Đặt t  x 2  x  1 t  0 , phương trình (3) trở thành :  t  1  5  2 . t2  1  t    t  1  5  2 Giá trị t  Với t  1 5 thỏa mãn điều kiện t  0 . 2 1 5 ta có phương trình 2 1 5 1 5 1 32 5  x2 x  0x  2 2 2    8 1  3  2 5  Vậy tập nghiệm của phương trình là S   ; .  7  2   x2 x 1  Câu 15. Giải hệ phương trình  x  3y  7x  2y  5y  x  3 y   2 2x  y 2  x 4  y 2  4  2  5 xy  (THPT CHUYÊN KHTN – 2016) Page 12 Con ñöôøng daãn ñeán thaønh coâng bao giôø cuõng ñaày choâng gai. Neáu thieáu nhieät tình vaø nghò löïc thì khoâng theå naøo vöôït qua. Tuyeån taäp PT – BPT – HPT ThS. Nguyeãn Vaên Rin y  0  x  3y  0  7x  2y  0 Điều kiện :  . 5y  x  0  4 2 x  y  4  0  xy  0 - Nếu y  0 thì từ phương trình thứ nhất của hệ ta có x  0 (không thỏa mãn phương trình (2)). - Nếu y  0 thì chia 2 vế của phương trình thứ nhất cho y ta được : x 7x x 3   2  5   3 1 . y y y Đặt t  x , phương trình (1) trở thành t  3  7t  2  5  t  3 2 . y Vế trái của (2) là hàm đồng biến theo t, vế phải của (2) là hàm nghịch biến theo t nên phương trình (2) nếu có nghiệm thì có nghiệm duy nhất. Mà t  1 là một nghiệm của phương trình (2). Với t  1 ta có x  1  x  y  0. y Thế x  y vào phương trình thứ 2 của hệ ta được : x 2  2  x 4  x 2  4  5x . Chia cả 2 vế cho x  0 rồi đặt t  x  2 ta có phương trình x t  5 t  5  5  t    t  3.   10t  30 2 2 Với t  3 ta có x   3  x 2  3x  2  0  x x  1  x  2 .  Với x  1  y  1 (thỏa điều kiện). Với x  2  y  2 (thỏa điều kiện). Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y   1;1, 2;2 . Câu 16. Giải bất phương trình x  2  2x  3  2 x  1  2x 2  5x  3  1 (THPT CHUYÊN LÀO CAO – 2016) Điều kiện : x  1 . Page 13 Khoâng phaûi luùc naøo baïn coá gaéng cuõng thaønh coâng nhöng phaûi luoân coá gaéng ñeå khoâng hoái tieác khi thaát baïi. ThS. Nguyeãn Vaên Rin Tuyeån taäp PT – BPT – HPT   a 2  2b 2  1  a  2x  3    2   Đặt  a  1; b  0  2x  5x  3  ab    b  x  1    x  2  a 2  b2    Bất phương trình đã cho trở thành : a 2   b 2 a  2b   ab  1  a  b a  b a  2b   ab  1  0    a  b  a 2  2b 2  ab  ab  1  0  a  b 1  ab   1  ab   0  a  b  11  ab   0 a  b  1  0  1  ab  0    a  b  1  0 I .    1  ab  0    a  b  1  0   II    1  ab  0   - Nếu a  b  1  0 ta có phương trình  2x  3  x  1  1  0 2x  3  x  1  1  2x  3  x  1  2 x  1  1  x 1  2 x 1  x 1  x  1 x  1  2  0   . x  3   - Nếu 1  ab  0 ta có phương trình 1  2x 2  5x  3  0  x   1 tm  .  2x  5x  2  0   2  x  2 l  - Giải hệ (I) : x  1 x  3      2 x  3  x  1  1    x  1  2 x  1   I    2 1 VN  .  2  1  x   2x  5x  3  1   2x  5x  2  0   2   - Giải hệ (II) :   x  1  1  x  3     2 x  3  x  1  1   1   x 3  x 1 x 1 2  0   II    2 1  x   2 2x  5x  3  1     2x 2  5x  2  0  2   2   Page 14 Con ñöôøng daãn ñeán thaønh coâng bao giôø cuõng ñaày choâng gai. Neáu thieáu nhieät tình vaø nghò löïc thì khoâng theå naøo vöôït qua. Tuyeån taäp PT – BPT – HPT ThS. Nguyeãn Vaên Rin  1  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  1   ; 3 .  2    Câu 17. Giải phương trình x 4  12x 3  38x 2  12x  67  x  1  7  x  0 (SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC – 2016) TƯ DUY CASIO : Phương trình có nghiệm kép x  3 . - Đặt A  x  1 . Với x  3 thì A  2 Ta có A  2  x  1  2  A  2  x  3. 1 Thay x  3 vào biểu thức Do đó A  2  1 x 1 2 1 ta được x 1 2 x 1 2  1 . 4 1 1 5 x  3  A  x   4A  x  5  4 x  2  x  5  0 .  4 4 4 - Tương tự đặt B  7  x . Với x  3 thì B  2 Ta có B  2  7  x  2  B  2  x  3 . 1 Thay x  3 vào biểu thức Do đó B  2  7x 2 1 7 x 2 ta được 1 7 x 2  1 . 4 1 1 11 x  3  B  x  4B  x  11  4 7  x  11  x   0 .  4 4 4 Điều kiện : 1  x  7 . Phương trình đã cho tương đương với : 4x 4  48x 3  152x 2  48x  268  4 x  1  4 7  x  0    4x 4  48x 3  152x 2  48x  252  4 x  1  x  5   4 7  x  11  x   0     x  3  x  1  x  5 4 2 2    x  3 4x  24x  28  2 4 x  3 0 7  x  11  x  2   1 1    x  3 x  7 x  1   0  4 x  1  x  5 4 7  x  11  x    2 A  x  3 vì A  0, x  1; 7  .   Vậy tập nghiệm của phương trình là S  3 . Page 15 Khoâng phaûi luùc naøo baïn coá gaéng cuõng thaønh coâng nhöng phaûi luoân coá gaéng ñeå khoâng hoái tieác khi thaát baïi. ThS. Nguyeãn Vaên Rin Tuyeån taäp PT – BPT – HPT Câu 18. Giải phương trình  x  x 4  2  x  4 x  4  2x  x  4  50 (THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU – 2016) Điều kiện : x  4 . Phương trình đã cho tương đương với : x  x  4    x  4  2  2x  x  4  50  x  x  4   x  4  2  2x  x  4  50  x  x  4   2 x  x  4   48  0 2 2 2 2 x  x  4  6 4  x  6   x  4  6  x   2  x  5.  x  13x  40  0 x  x  4  8 l    Vậy tập nghiệm của phương trình là S  5 . Câu 19. Giải phương trình 7x 2  20x  86  x 31  4x  x 2  3x  2 (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU – NGHỆ AN 2016) 7x 2  20x  86  0  Điều kiện :  . 31  4x  x 2  0  Xét trường hợp x  2 7x  20x  86  x  2   2  x  2  19 . 6x  24x  90  0  2 Thử lại x  2  19 không thỏa mãn phương trình. Do đó, phương trình đã cho tương đương với :   2 2  7x  20x  86  2  x   x 31  4x  x  4  0    7x 2  20x  86  2  x  2   7x 2  20x  86  2  x   6 x 2  4x  15  7x  20x  86  2  x  2     x 15  4x  x 2  31  4x  x 2  4  x x 2  4x  15  2 31  4x  x  4 0 0 Page 16 Con ñöôøng daãn ñeán thaønh coâng bao giôø cuõng ñaày choâng gai. Neáu thieáu nhieät tình vaø nghò löïc thì khoâng theå naøo vöôït qua. Tuyeån taäp PT – BPT – HPT ThS. Nguyeãn Vaên Rin x 2  4x  15  0 2   6 x    0 3  2 2  7x  20x  86  2  x  31  4x  x  4  x  2  19 tm  . 2   x  2  19 l   3   6 Thay 31  4x  x 2  24  x 7x 2  20x  86  2x  x 2 7x 2  20x  86  3x  2  x 31  4x  x 2 (rút ra từ phương trình đã cho) ta được phương trình hệ quả :   6 31  4x  x 2  x 3x  2  x 31  4x  x 2  2x  x 2   31  4x  x  2x  4x  24  31  4x  x   x  6 31  4x  x  x  x2  6 2 2  2 2 2 2 7  0 x  2  34  31  4x  x  1  x  4x  30  0   . x  2  34  2 2 Thử lại x  2  34 thỏa mãn phương trình.   Vậy tập nghiệm của phương trình là S  2  19; 2  34 . Câu 20. Giải hệ phương trình  2  xy  x  2  x  x  4 x  0  xy  x 2  2  x xy  2  3    (THPT HAI BÀ TRƯNG – HUẾ 2016) x  0 Điều kiện :  .  xy  2  0   2  xy  x  2  x  x  4 x Hệ phương trình đã cho tương đương với  I  xy  x 2  2  x xy  2  3 1  Dễ thấy x  0 không thỏa mãn phương trình (1) nên      y  2   1  x  1  4     x   I        y  2   x  x y  2   3       x  x      Page 17 Khoâng phaûi luùc naøo baïn coá gaéng cuõng thaønh coâng nhöng phaûi luoân coá gaéng ñeå khoâng hoái tieác khi thaát baïi. ThS. Nguyeãn Vaên Rin    a  Đặt     b    Tuyeån taäp PT – BPT – HPT      2  2   y  2   1 1 a  y     x  a  0;b  1    x   b2  x  1  x 1  Ta có hệ phương trình   a  b  4   2 2 2    b2  1 a 2  1  3 a  b   2ab  5  ab   a  b   2ab   1       a  b  4    a  b  4 a  b  4   11    ab     2   ab  4 2 11  2ab  ab   2ab  15   2    3 ab   46ab  136  0 a  2 .  a, b là 2 nghiệm của phương trình X 2  4X  4  0   b  2  x  3 a  2  Với  thì  .  b  2 y  7   3   a b  4    2  a  1  b2  1             7 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y   3;  .  3  Câu 21. Giải hệ phương trình 4x 3  12x 2  15x  y  1 2y  1  7     6 x  2 y  x  26  6 3 16x  24y  28  (THPT CHUYÊN PHÚ YÊN 2016) 1 . 2 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với : Điều kiện : y  8x 3  24x 2  30x  2y  2 2y  1  14 2    2x  2  3 2x  2  14          2  2y  1  3 2y  1  14 1 .     Xét hàm số f t   t 2  3 t  14 trên  . Ta có f ' t   3t 2  3  0, t   . Suy ra hàm số f t  đồng biến trên  . Page 18 Con ñöôøng daãn ñeán thaønh coâng bao giôø cuõng ñaày choâng gai. Neáu thieáu nhieät tình vaø nghò löïc thì khoâng theå naøo vöôït qua. Tuyeån taäp PT – BPT – HPT ThS. Nguyeãn Vaên Rin x  1  Do đó 1  f 2x  2  f 2y  1  2x  2  2y  1   .  y  2x 2  4x  5  2 Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được :       3 x  2 4x 2  8x  5  x  26  6 3 16x  12 4x 2  8x  5  28  12x 3  48x 2  62x  4  12 3 6x 2  10x  4    6 2x  1x  2  6x 2  10x  4  8  8  12 3 6x 2  10x  4 2 . 2 Với x  1 ta có 6 2x  1x  2  0 ; 6x 2  10x  4  0 . 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số không âm 6x 2  10x  4 ; 8; 8 ta có : 6x 2     10x  4  8  8  3 3 6x 2  10x  4 .8.8  12 3 6x 2  10x  4   Suy ra 6 2x  1x  2  6x 2  10x  4  8  8  12 3 6x 2  10x  4 . 2   x 1   2  Dấu “=” xảy ra   2x  1x  2  0  x  2 .    6x 2  10x  4  8    Khi đó 2  x  2  y  5 (thỏa mãn). 2  5 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x ; y   2;  .  2  Câu 22. Giải phương trình 3x 3  2x 2  2  3x 3  x 2  2x  1  2x 2  2x  2 (THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI - 2016) 3x 3  2x 2  2  0  Điều kiện :  3x 3  x 2  2x  1  0  Theo bất đẳng thức Cô-si ta có :   1. 3x 3  2x 2  2   1  3x 3  2x 2  2 2  Và 1. 3x 3  x 2  2x  1  1  3x 3  x 2  2x  1 2 Suy ra 2x 2  2x  2  3x 3  2x 2  2  3x 3  x 2  2x  1  3x 2  2x  3 2 Page 19 Khoâng phaûi luùc naøo baïn coá gaéng cuõng thaønh coâng nhöng phaûi luoân coá gaéng ñeå khoâng hoái tieác khi thaát baïi. ThS. Nguyeãn Vaên Rin Tuyeån taäp PT – BPT – HPT  x  1  0  x  1 . 2 Thử lại x  1 thỏa mãn phương trình đã cho. Vậy tập nghiệm của phương trình là S  1 . Câu 23. Giải hệ phương trình   5  2 x y  2  y  2  x  2y    2   7  2 x  2 x  2  y     4     (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - 2016) x  2 Điều kiện :   y  2  Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với : 4 x  1 y  2  2 x  1  4 y  2  1  0  x  1  4 x  1 y  2  4 y  2  x  1  2 x  1  1 2   x 12 y  2 2  2  x  2 2 x  1  2 y  2  x  2 2 y  2  1     x  1  2 y  2  2  x 2 y  2  2x  3     3  x   7 2  y   hoặc  2  4  4 y  2  2x  3      3  x  7 2  y   hoặc  . 2  4 x  12 x  1 4  y   4   7 - Với y   , phương trình thứ hai của hệ trở thành : 4 x  2 7 7 2 x  2 x  2     x  2 x  2  0   . x   2 4 4   x  3 4x 2  12x  1  2 - Với  , thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được y   4x 2  12x  1 4 y  4  Page 20 Con ñöôøng daãn ñeán thaønh coâng bao giôø cuõng ñaày choâng gai. Neáu thieáu nhieät tình vaø nghò löïc thì khoâng theå naøo vöôït qua.