Mô tả:
I. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1/ NÕu hµm sè
u = u ( x) ®¬n
®iÖu vµ cã ®¹o hµm liªn tôc trªn ®o¹n
th×
I=
∫ f ( x)dx = ∫ g (u)du
a
u = u ( x) ®¬n
NÕu hµm sè
I=
u (b )
∫ f ( x)dx = ∫ g (u)du
a
u(a)
Bài tập
π
2
3
2
1. ∫ sin xcos xdx
3.
π
3
π
2
sin x
∫ 1 + 3cosx dx
0
π
4
4. ∫ cot gxdx
π
2
2
3
2. ∫ sin xcos xdx
π
3
π
4
3. tgxdx
∫
0
5.
π
6
1
π
6
∫
1
7.
0
3
2
8. ∫ x x + 1dx
0
∫x
1 − x 2 dx
1
x2
0
1
9.
∫
∫x
1 − x dx
3
2
0
1
12.
1
2
dx
0
14.
∫
0
π
2
1
∫x
1
dx
x3 + 1
1
1
dx
13. ∫ 2
x + 2x + 2
−1
11.
x2 + 1
1
dx
sin x
16. ∫ e cosxdx
π
4
2
dx
1
∫ 1+ x
1
x3 + 1
0
1
10.
1 + 4sin xcosxdx
0
2
6. ∫ x x + 1dx
15.
1
∫ (1 + 3x )
2 2
dx
0
π
2
cosx
17. ∫ e sin xdx
π
4
sao cho
u(a)
b
th×
[ a; b]
.
®iÖu vµ cã ®¹o hµm liªn tôc trªn ®o¹n
f ( x)dx = g (u ( x))u ' ( x)dx = g (u )du
sao cho
u (b )
b
f ( x)dx = g (u ( x))u ' ( x)dx = g (u )du
[ a; b]
.
1
x
18. ∫ e
2
+2
π
2
3
2
19. ∫ sin xcos xdx
xdx
π
3
π
2
0
π
2
sin x
20. ∫ e cosxdx
cosx
21. ∫ e sin xdx
π
4
1
x
22. ∫ e
2
+2
π
4
π
2
3
2
23. ∫ sin xcos xdx
xdx
π
3
0
π
2
24. ∫ sin xcos xdx
2
3
25.
π
3
π
4
27. ∫ cot gxdx
26. tgxdx
∫
π
6
0
π
6
1
∫
29.
1 + 4sin xcosxdx
1
2
30. ∫ x 1 − x dx
x
∫
31.
x 2 + 1dx
0
dx
33.
35.
dx
x3 + 1
e
sin(ln x)
dx
36. ∫
x
1
1
e
∫
38.
e
1
37.
∫
e
dx
39.
∫ cos
e
2
1
dx
(1 + ln x)
∫ ( sin
0
1 + 3ln x ln x
dx
x
1 + ln x
dx
x ln x
e
∫
e
41.
∫
1
1 + 3ln x ln x
dx
x
43
1 + ln 2 x
∫e x ln x dx
1
45.
∫
x 2 x 3 + 5dx
0
π
2
46.
∫
e2
dx
e2
44.
1 − x 2 dx
2
2ln x +1
x
1
1 + ln x
dx
x
∫
1
e2
sin(ln x)
dx
40. ∫
x
1
4.
e
e
e
e
3
1
2ln x +1
x
∫x
0
1
∫x
34.
3
1
x +1
2
∫x
2
3
0
x 2 + 1dx
1
0
1
∫x
0
0
32.
sin x
∫ 1 + 3cosx dx
0
π
4
28.
π
2
4
4
x + 1) cos xdx
47.
∫
0
4 − x 2 dx
a 2 + x 2 , a 2 − x 2 vµ
2/NÕu hµm sè díi dÊu tÝch ph©n cã chøa c¨n d¹ng
x2 − a2
(trong trong ®ã
a lµ h»ng sè d¬ng) mµ kh«ng cã c¸ch biÕn ®æi nµo kh¸c th× nªn ®æi sang c¸c hµm sè lîng gi¸c ®Ó lµm mÊt
c¨n thøc, cô thÓ lµ:
π π
a 2 − x 2 , ®Æt x = a sin t , t ∈ − ;
2 2
• Víi
x = a cos t , t ∈ [ 0; π ] .
hoÆc
π π
a 2 + x 2 , ®Æt x = atgt , t ∈ − ; ÷
2 2
• Víi
hoÆc
x = acotgt , t ∈ ( 0;π ) .
x 2 − a 2 , ®Æt x =
• Víi
x=
hoÆc
a
π π
, t ∈ − ; \ { 0}
sin t
2 2
a
π
; t ∈ [ 0;π ] \ .
cos t
2
Bài tập: H·y tÝnh c¸c tÝch sau:
4
a)
∫
1
4 − x 2 dx
0
e)
2
2
∫
b)
dx
2
1
+
x
0
∫
2 3
x2
dx
f) ∫
9
c)
dx
5 x x +4
1 − x2
II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
0
2
∫
2
9 − x 2 dx
d)
0
1
g) ∫
0
3
5
2
h) ∫ x 1 + x dx
1 − x 2 dx
0
b
0
b
Công thức tích phân từng phần : ∫ u( x)v'(x)dx = u ( x)v( x) a − ∫ v( x)u '( x)dx
a
Tích phân các hàm số dễ phát hiê ̣n u và dv
β
@ Da ̣ng 1
∫
α
sin ax
f ( x) cosax dx
e ax
∫
b
dx
4 + x2
a
u = f ( x)
du = f '( x)dx
sin ax
sin ax
⇒
dv = cos ax dx v = ∫ cosax dx
e ax
e ax
Đă ̣t
β
∫ f ( x) ln(ax)dx
@ Da ̣ng 2:
α
dx
u = ln(ax)
du = x
⇒
Đă ̣t
dv = f ( x)dx v = f ( x)dx
∫
β
ax sin bx
@ Da ̣ng 3: ∫ e .
dx
cos bx
α
Đặt:
du = ae ax dx
u = e
⇒
1
dv = cos bxdx v = sin bx
b
ax
Bài tập
1
1)
∫ x.e
3x
dx
2)
0
π
2
6
∫ x ln xdx
6)
∫ (1 − x
∫(x
2
+1).e .dx
10)
ln x
dx
x5
1
∫
∫ x ln
2
xdx
1
∫ 4 x. ln x.dx
7)
11)
18) x + sin xdx
∫0 cos2 x
19) ∫ x sin x cos xdx
2
0
α
(trong ®ã
XÐt
ax 2 + bx + c ≠ 0
∆ = b 2 − 4ac .
( a ≠ 0) .
víi mäi
2
+ 2 x). sin x.dx
xdx
20) x(2 cos2 x − 1)dx
∫
a)TÝnh tÝch ph©n d¹ng tæng qu¸t sau:
∫
π
4
0
dx
ax 2 + bx + c
∫(x
0
1. TÝch ph©n hµm sè ph©n thøc
I=
2
0
∫ sin
16)
III.TÝch ph©n mét sè hµm sè thêng gÆp
β
12)
π2
0
π
).dx
π
2
∫ x . cos x.dx
x
15) ∫ e sin xdx
2
0
0
0
π
3
∫ x. ln(3 + x
8)
2
1
14) x cos2 xdx
∫
∫ x. sin 2 xdx
0
π
∫ x. cos x.dx
2
1
1
π
2
2
e
). ln x.dx
0
1
13)
2
π
x
4)
∫ (2 − x) sin 3xdx
3
1
2
π
0
e
1
9)
3)
∫ ( x −1) cos xdx
0
e
5)
π
x ∈[ α; β ] )
17)
β
+)NÕu
I=
∆ = 0 th×
dx
∫ a x − b
α
2
÷
2a
tÝnh ®îc.
β
+)NÕu
1
dx
I=
a α ( x − x1 ) ( x − x2 )
∫
∆ > 0 th×
(trong ®ã
⇒I=
x1 =
−b + ∆
−b − ∆ )
; x2 =
2a
2a
1
x − x1 β
ln
.
a ( x1 − x2 ) x − x2 α
β
+) NÕu
§Æt
x+
∆ < 0 th×
dx
I=
=
2
ax
+
bx
+
c
α
∫
β
∫
α
dx
2
2
b −∆
a x + ÷ +
2 ÷
2
a
4
a
b
−∆
1 −∆
=
tgt
⇒
dx
=
1 + tg 2t ) dt , ta tÝnh ®îc I.
2
2 (
2a
4a
2 a
β
I=
b) TÝnh tÝch ph©n:
∫
α
(trong ®ã
,
f ( x) =
mx + n
dx,
ax 2 + bx + c
mx + n
ax 2 + bx + c
( a ≠ 0) .
liªn tôc trªn ®o¹n
[α;β ] )
+) B»ng ph¬ng ph¸p ®ång nhÊt hÖ sè, ta t×m A vµ B sao cho:
mx + n
A( 2ax + b)
B
= 2
+ 2
ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c
2
β
+)Ta cã I=
β
∫
α
β
.
TÝch ph©n
∫
α
β
TÝch ph©n
β
mx + n
A(2ax + b)
B
dx = ∫
dx + ∫
dx
2
2
2
ax + bx + c
α ax + bx + c
α ax + bx + c
∫
α
A(2ax + b)
dx =
ax 2 + bx + c
dx
ax 2 + bx + c
Aln ax 2 +bx +c
tÝnh ®îc.
β
ε
b
c) TÝnh tÝch ph©n
I=
∫
a
P ( x)
dx víi P(x) vµ Q(x) lµ ®a thøc cña x.
Q( x)
•
NÕu bËc cña P(x) lín h¬n hoÆc b»ng bËc cña Q(x) th× dïng phÐp chia ®a thøc.
•
NÕu bËc cña P(x) nhá h¬n bËc cña Q(x) th× cã thÓ xÐt c¸c trêng hîp:
+ Khi Q(x) chØ cã nghiÖm ®¬n α1 , α 2 ,..., α n th× ®Æt
An
P( x)
A1
A2
=
+
+ ... +
.
Q ( x ) x − α1 x − α 2
x − αn
+ Khi
Q( x) = ( x − α ) ( x 2 + px + q ) , ∆ = p 2 − 4q < 0 th× ®Æt
P ( x)
A
Bx + C
=
+ 2
.
Q( x) x − α x + px + q
+ Khi
Q( x) = ( x − α ) ( x − β )
2
víi α ≠ β th× ®Æt
P ( x)
A
B
C
=
+
+
2
Q( x) x − α x − β ( x − β )
.
Bài tập
1
a/
∫
0
1
4 x + 11
dx
2
x + 5x + 6
b/
∫
0
dx
e/ ∫ 2
−1 x + 2x + 5
dx
x2 + x + 1
c/
2 x −1
dx
f/ ∫ 2
3 x − 3x + 2
1
∫
0
5
1
3x 2 + 3 x + 3
dx
k/ ∫ 3
2 x − 3x + 2
IV.TÝch ph©n hµm v« tØ
.D¹ng 1: BiÕn ®æi vÒ tÝch ph©n v« tØ c¬ b¶n
1
∫
0
dx
.
x +1 + x
.D¹ng 2: BiÕn ®æi vÒ tÝch ph©n hµm lîng gi¸c
D¹ng 3: BiÕn ®æi lµm mÊt c¨n
Gåm: §æi biÕn sè t lµ toµn bé c¨n thøc
x3
dx
x2 − 1
0
d/
∫
−2
b
g/
1
∫a ( x + a)( x + b) dx h/
3
dx
i/ ∫ 2
0 x + 4x + 3
VÝ dô : TÝnh tÝch ph©n: I =
1
2
l/
1
x 3 + x +1
∫0 x + 1 dx
1
3
x +2
∫2 x −1 dx
2x + 2
dx
x + 2x − 3
2
m/
x 2 + 2x + 3
∫0 x + 3 dx
ViÕt biÓu thøc trong c¨n díi d¹ng b×nh ph¬ng ®óng
VÝ dô :TÝnh
1
I = ∫ x 3 1 − x 2 dx
0
Bài tập:
5
a/ ∫
2
5
2
x
1
1 + x −1
b/ ∫
dx
1
dx
0
1 + 1 + 3x
c/ ∫
d/ ∫ x 4 − x dx e/
3
2
∫ x −1dx
−3
2
∫
−2
2
1
2
2
2
x2
∫
1 − x2
0
dx f/
x x2 + 4
V. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1.
2
dx
2 3
∫
dx
x+2 + x−2
x 2 − 1 dx
2
2.
∫
0
x 2 − 4 x + 3 dx
2
3. ∫ x 2 − x dx 4.
0
4
∫
−1
3
x 2 − 3x + 2dx 5. ∫ x − 2 dx 6.
1
- Xem thêm -