Tu
â
n
Th.s ĐỖ MINH TUÂN
Th
.
sĐ
ỗ
M
in
h
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
MÔN TOÁN
NAM ĐỊNH, NĂM 2010
Lời nói đầu
Th
.
sĐ
ỗ
M
in
h
Tu
â
n
Trong những năm gần đây, đề thi đại học đã trở nên cơ bản hơn trước rất nhiều , không còn
tính đánh đố cũng như bắt học sinh phải nhớ nhiều những mẹo rất lặt vặt. Một số tài liệu giảng
dạy rất hay ngày trước như "Các bài giảng luyện thi môn Toán", "Bộ đề thi tuyển sinh" chỉ còn
lại một ít giá trị thực tiễn của nó. Chắt lọc những tài liệu này, bám sát những đề thi tuyển sinh
những năm gần đây (Từ năm 2002-2010) cộng với những kinh nghiệm trong thực tiễn giảng dạy
luyện thi của mình (có tham khảo một số bài giảng ở những trang web dạy học) tôi biên soạn
tài liệu này mục đích chính để mình giảng dạy một cách bài bản.
Tôi nghĩ rằng tài liệu này sẽ có ích đối với những người dạy toán, cũng như những bạn ngấp
nghé cổng trường Đại học.
Tài liệu này gồm 13 chuyên đề (vẫn còn thiếu)
1. Phương trình đại số.
2. Phương trình lượng giác.
3. Phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối.
4. Hệ phương trình đại số
5. Giải tích tổ hợp
6. Hình phẳng tọa độ
7. Giới hạn
8. Bất đẳng thức
9. Hàm số và đồ thị
10. Hình học không gian tọa độ (Đã chỉnh sửa, chỉ thiếu phần tọa độ hóa hình học không gian)
11. Tích phân và ứng dụng
12. Số phức
13. Hình học không gian cổ điển.
Vì số lượng các chuyên đề lớn nên không thể tránh khỏi những lỗi đánh máy, lỗi tính toán sai,
... Mong các bạn lượng thứ, mọi góp ý xin gửi về:
Th.s Đỗ Minh Tuân.
Trường CĐSP Nam Định, 813 đường Trường Chinh, TP Nam Định
Email:
[email protected]
Mobile: 0982843882.
—————————————
Chúc các bạn thành công trong kỳ thi đại học sắp tới!
Nam Định, ngày 18 tháng 12 năm 2010
Tác giả
Đỗ Minh Tuân
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân
Trang 2
Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Mục lục
Mục lục
Mục lục
Lời nói đầu
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
9
10
10
10
10
11
11
15
15
15
16
17
17
18
19
21
21
24
27
27
2 Phương trình lượng giác
2.1 Các kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Công thức liên hệ giữa các hàm lượng giác . . . . . . . . .
2.1.2 Các công thức của các góc liên hệ với α . . . . . . . . . .
2.1.3 Bảng dấu của các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Bảng các giá trị lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Công thức lượng giác của tổng, hiệu . . . . . . . . . . . .
2.1.6 Công thức cộng lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.7 Công thức biến đổi tích thành tổng . . . . . . . . . . . . .
2.1.8 Công thức góc nhân đôi, nhân ba - Công thức hạ bậc . . .
2.1.9 Công thức tính sin 2x, cos 2x, tan 2x, cot 2x theo t = tan x
2.1.10 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Các phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
33
33
33
33
34
34
34
35
35
35
36
36
37
Th
.
sĐ
ỗ
M
in
h
Tu
â
n
1 Phương trình đại số
1.1 Lý thuyết về đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử . . . . . . . .
1.1.2 Tính giá trị một đa thức, phân thức tại điểm lẻ
1.2 Phương trình bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Phương trình bậc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Tính chất của đa thức . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Đa thức bậc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Phương trình bậc 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Các dạng của phương trình bậc 4 . . . . . . . .
1.5.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Dấu của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Đa thức bậc 1 - bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Đa thức - Phân thức tổng quát . . . . . . . . .
1.6.3 Giải hệ bất phương trình . . . . . . . . . . . . .
1.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân
Trang 3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Mục lục
Mục lục
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Tu
â
n
2.2.1 Phương trình sin x = m . . . . . . . .
2.2.2 Phương trình cos x = m . . . . . . . .
2.2.3 Phương trình tan x = m, cot x = m . .
2.2.4 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Các phương trình lượng giác khác . . . . . . .
2.3.1 Phương trình a sin x + b cos x = c . . .
2.3.2 Phương trình đẳng cấp chứa sin và cos
2.3.3 Đại số hóa phương trình lượng giác . .
2.3.4 Phương trình đối xứng sin, cos . . . . .
2.3.5 Phân tích thành nhân tử . . . . . . . .
2.3.6 Sử dụng bất đẳng thức . . . . . . . . .
2.3.7 Loại nghiệm không thích hợp . . . . .
2.3.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . .
Th
.
sĐ
ỗ
M
in
h
3 Phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối
3.1 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . .
3.1.1 Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Phương trình chứa căn thức . . . . . . . . . . .
3.2.1 Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối . .
3.3.1 Dạng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Bất phương trình chứa căn thức . . . . . . . . .
3.4.1 Dạng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Hệ phương trình đại số
4.1 Hệ phương trình bậc nhất . . . . . . . .
4.1.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
4.1.2 Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn .
4.1.3 Hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn
4.2 Hệ phương trình bậc nhất - bậc hai: . . .
4.3 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2: . . . .
4.3.1 Phương trình đẳng cấp bậc 2 . .
4.3.2 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 .
4.4 Hệ đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Hệ đối xứng loại I: . . . . . . . .
4.4.2 Hệ đối xứng loại II: . . . . . . . .
4.5 Hệ phương trình tổng quát . . . . . . . .
4.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân
Trang 4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
37
37
37
38
39
40
40
41
42
43
44
45
45
46
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
51
51
51
51
52
53
53
54
55
55
55
55
55
56
57
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
61
61
61
62
62
63
64
64
65
67
67
68
71
73
Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Mục lục
Mục lục
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
79
79
79
79
80
80
81
84
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
đường Conic
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
87
87
87
88
93
93
96
103
103
103
109
114
116
ỗ
sĐ
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
h
.
.
.
.
.
.
.
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
M
in
6 Hình phẳng tọa độ
6.1 Véc tơ, điểm, đường thẳng
6.1.1 Kiến thức cơ bản .
6.1.2 Dạng bài . . . . . .
6.2 Đường tròn . . . . . . . .
6.2.1 Kiến thức cơ bản .
6.2.2 Các dạng bài . . .
6.3 Ba đường Conic . . . . . .
6.3.1 Kiến thức chung về
6.3.2 Elip . . . . . . . .
6.3.3 Hyperbol . . . . .
6.3.4 Parabol . . . . . .
6.4 Bài tập . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Tu
â
5 Giải tích tổ hợp
5.1 Khái quát chung . . . . . . . . . .
5.2 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . .
5.2.1 Quy tắc cộng - nhân . . . .
5.2.2 Tổ hợp - chỉnh hợp - hoán vị
5.2.3 Công thức nhị thức Newton
5.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
128
128
128
129
130
130
131
131
134
8 Bất đẳng thức
8.1 Các bất đẳng thức cơ bản . . . . .
8.2 Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . .
8.2.1 Tìm min tổng, max của tích
8.2.2 Bất đẳng thức đối xứng . .
8.2.3 Cực trị có điều kiện . . . . .
8.3 Bất đẳng thức Bunhiacopxki . . . .
8.4 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz .
8.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
137
137
140
140
142
146
149
151
152
.
.
.
.
.
155
155
155
158
158
160
Th
.
7 Giới hạn
7.1 Giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Các tính chất cơ bản của giới hạn
7.1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . .
7.2 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Giới hạn cơ bản . . . . . . . . . .
7.2.2 Phương pháp tính giới hạn . . . .
7.2.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . .
7.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Hàm số và đồ thị
9.1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . .
9.1.1 Kiến thức cần nhớ . . . .
9.1.2 Các bước khảo sát hàm số
9.1.3 Hàm đa thức . . . . . . .
9.1.4 Hàm phân thức . . . . . .
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Trang 5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Mục lục
Mục lục
Th
.
sĐ
ỗ
M
in
h
Tu
â
n
9.2 Cực trị và tiệm cận của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Quy tắc tìm cực đại và cực tiểu của hàm số . . . . . . . . .
9.2.2 Cực trị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.3 Các bài toán tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.4 Củng cố kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.2 Các bài toán đơn thuần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.3 Bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất chứa tham số . . . . . .
9.3.4 Phương pháp miền giá trị của hàm số . . . . . . . . . . . . .
9.3.5 Phương pháp chiều biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.6 Củng cố kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.1 Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.2 Tiếp tuyến với đường cong tại điểm M . . . . . . . . . . . .
9.4.3 Tiếp tuyến với đường cong đi qua điểm M . . . . . . . . . .
9.4.4 Lớp các bài toán về sự tiếp xúc rất đa dạng . . . . . . . . .
9.4.5 Củng cố kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . .
9.5.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.2 Tìm điểm không thuộc mọi đường cong trong họ y = f (x, m)
9.6 Sự tương giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.2 Sự tương giao của hàm đa thức với trục Ox . . . . . . . . .
9.6.3 Sự tương giao của hàm phân thức . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.4 Củng cố kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7 Sự tiếp xúc của 2 đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7.3 Củng cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8 Biện luận số nghiệm bằng đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.9 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Hình không gian tọa độ
10.1 Hệ tọa độ, véc tơ, điểm . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Hệ tọa độ Đề Các . . . . . . . . . . . .
10.2 Phép toán trên véc tơ . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.1 Tích có hướng của 2 véc tơ và ý nghĩa
10.3.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Phương trình mặt phẳng . . . . . . . . . . . .
10.4.1 Phương trình tổng quát của mặt phẳng
10.4.2 Phương pháp xác định mặt phẳng . . .
10.4.3 Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng . . .
10.4.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . .
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân
Trang 6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
161
161
162
165
168
170
170
171
173
175
177
179
180
180
181
181
182
183
184
184
186
188
188
189
191
193
194
194
195
198
199
199
199
202
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
210
210
210
210
211
211
212
213
213
213
214
214
214
Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Mục lục
10.7
M
in
10.9
h
Tu
â
10.8
10.5.1 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng .
10.5.2 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường thẳng
10.5.3 Một số dạng toán về đường thẳng và mặt phẳng .
10.5.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7.1 Các công thức khoảng cách . . . . . . . . . . . .
10.7.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mặt cầu và đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8.1 Mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8.2 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu . . . .
10.8.3 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tọa độ hóa hình học không gian . . . . . . . . . . . . . .
10.9.1 Hình chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n
10.6
Mục lục
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
215
216
216
218
220
220
220
221
221
221
222
223
224
224
224
225
226
227
227
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
229
229
229
229
229
230
230
230
231
232
232
234
235
237
238
239
239
240
12 Số phức
12.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . .
12.1.1 Các kiến thức chung . . . . . . . .
12.1.2 Các phép toán trên số phức . . . .
12.2 Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1 Thực hiện các phép toán . . . . . .
12.2.2 Khai căn bậc 2 . . . . . . . . . . .
12.2.3 Giải phương trình đại số và các vấn
12.2.4 Biểu diễn số phức trên mặt phẳng .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
263
263
263
263
264
264
264
266
267
Th
.
sĐ
ỗ
11 Tích phân
11.1 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.3 Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp thường gặp . .
11.2 Nguyên hàm và tích phân bất định . . . . . . . . . . . .
11.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.3 Bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp
11.3 Các phương pháp tính tích phân . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1 Phép đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2 Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.3 Tích phân hàm phân thức . . . . . . . . . . . . .
11.4 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.1 Tính diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.2 Tính thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . . . .
11.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân
Trang 7
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
đề liên
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
quan .
. . . .
Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Mục lục
Mục lục
12.2.5 Chứng minh đẳng thức tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Th
.
sĐ
ỗ
M
in
h
Tu
â
n
13 Hình học không gian
13.1 Mở đầu về hình học không gian . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.1 Đối tượng của hình học không gian . . . . . . . . . . .
13.1.2 Quan hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.3 Hình biểu diễn trong hình học không gian . . . . . . .
13.1.4 Một số hình thông dụng . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.5 Các tiên đề hình học không gian . . . . . . . . . . . . .
13.1.6 Các tiên đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.7 Định lý về giao tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Vị trí tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.1 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt phẳng . . . . .
13.2.2 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng . . . .
13.2.3 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường thẳng . . .
13.2.4 Các phương pháp xác định mặt phẳng . . . . . . . . .
13.3 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.1 Sử dụng tiên đề, vị trí tương đối . . . . . . . . . . . . .
13.3.2 Tìm giao tuyến giữa 2 mặt phẳng (Cách 1) . . . . . . .
13.3.3 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và cắt
13.3.4 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng . . . . .
13.3.5 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường đồng quy . .
13.3.6 Thiết diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân
Trang 8
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
cả 2 đường thẳng
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
267
267
269
269
269
269
269
270
272
272
272
272
272
272
272
273
273
273
276
283
285
288
292
300
Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
Chương 1. Phương trình đại số
Chương 1
Tu
â
1.1.1
Lý thuyết về đa thức
Phân tích đa thức thành nhân tử
h
1.1
n
Phương trình đại số
ỗ
M
in
+) Nếu P (x) là một đa thức bậc 2 có 2 nghiệm x1 , x2 thì P (x) = a.(x − x1 ).(x2 ) (a là hệ số bậc
cao nhất của P (x)).
+) Tổng quát: Nếu P (x) là một đa thức bậc n có đủ n nghiệm x1 , x2 , · · · , xn thì
sĐ
P (x) = a(x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn )
Th
.
+) Một đa thức P (x) bất kỳ bao giờ cũng phân tích thành tích những đa thức bậc nhất và đa
thức bậc 2 (vô nghiệm).
Ví dụ 1.1.1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) P (x) = 2x2 − 5x + 2.
b) P (x) = −3x2 + 12x − 12
c) P (x) = 4x3 − 4x2 − 7x − 2.
d) P (x) = 6x3 − 13x2 + 4x + 3
1
Giải: a) P (x) có a = 2, x1 = 2, x2 =
2
!
1
= (x − 2)(2x − 1).
nên P (x) = 2(x − 2) x −
2
b) P (x) có nghiệm kép x = 2 nên P (x) = −3(x − 2)2 .
1
c) P (x) có a = 4 và 2 nghiệm x = − và x = 2???
2
Chú ý: P (x) là đa thức bậc 3 nhưng lại chỉ có 2 nghiệm. Nên sẽ có một nghiệm là nghiệm
kép. Tốt nhất trong trường hợp này ta dùng lược đồ Hoocne để giải quyết.
!2
1
Kết quả: P (x) = 4 x +
(x − 2).
2
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân
Trang 9
Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
1.2. Phương trình bậc nhất
Chương 1. Phương trình đại số
1
3
d) P (x) có a = 6 và 3 nghiệm x = 1, x = − , x =
3
2
!
!
3
1
x−
= (x − 1)(3x + 1)(2x − 3).
P (x) = 6(x − 1). x +
3
2
1.1.2
Tính giá trị một đa thức, phân thức tại điểm lẻ
Cách làm: Nhập hàm, sử dụng tính năng CALC của máy 570ES.
1.2
1.2.1
Th
.
sĐ
ỗ
M
in
h
Tu
â
√
√
x2 − x − 1
b) y =
tại x = 3 + 2 và x = 3 − 2
2x + 3
√
√
Giải: a) x = 1 − 3 ⇒ y = −4 + 3
√
√
x = 1 + 3 ⇒ y = −4 − 3
√
√
43 + 31 2
b) x = 3 + 2 ⇒ y =
73
√
√
43 − 31 2
x=3− 2⇒y =
73
n
Ví dụ 1.1.2: Tính giá trị biểu thức:
√
√
a) y = x3 − 3x2 − x − 1 tại x = 1 − 3 và x = 1 + 3
Phương trình bậc nhất
Phương pháp giải
☞ Dạng của phương trình: ax + b = 0
☞ Cách giải:
➤ Với a = 0, b = 0: Phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ R
➤ Với a = 0, b 6= 0: Phương trình vô nghiệm.
➤ Với a 6= 0 Phương trình có nghiệm duy nhất x = −
1.2.2
b
a
Các ví dụ
Ví dụ 1.2.1: Giải và biện luận phương trình: (m2 − 1)x + m − 1 = 0
Giải: - Nếu m2 − 1 = 0 ⇔ m = ±1.
+) Với m = 1 phương trình trở thành: 0x + 0 = 0. Phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ R.
+) Với m = −1 phương trình trở thành: 0x − 2 = 0. Phương trình vô nghiệm.
- Nếu m2 − 1 6= 0 ⇔ m 6= ±1.
1
Phương trình có nghiệm duy nhất: x = −
m+1
Ví dụ 1.2.2: Tìm điểm cố định của họ đường thẳng:(dm ) : y = (m − 2)x + 2m − 3
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân
Trang 10
Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
1.3. Phương trình bậc hai
Chương 1. Phương trình đại số
Giải: Gọi (x0 , y0 ) là điểm cố định của (dm )
⇒ y0 = (m − 2)x0 + 2m − 3 ∀m
⇔ m(x0 + 2) − 2x0 − 3 − y0 = 0 ∀m
x0 + 2 = 0
x0 = −20
⇔
⇔
−2x0 − 3 − y0 = 0
y0 = 1
Vậy điểm cố định của họ (dm ) là điểm A(−2; 1)
Phương pháp giải
n
1.3.1
Phương trình bậc hai
Tu
â
1.3
☞ Dạng của phương trình: ax2 + bx + c = 0.
h
☞ Biện luận:
M
in
➢ Nếu a = 0: phương trình bậc nhất
ỗ
➢ Nếu a 6= 0: ∆ = b2 − 4ac hoặc ∆0 = b02 − ac.
+) Nếu ∆ < 0: Phương trình vô nghiệm.
sĐ
+) Nếu ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = −
b
b0
=−
2a
a
Th
.
+) Nếu ∆ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
√
√
−b± ∆
− b0 ± ∆0
x1,2 =
=
2a
a
☞ Nhẩm nghiệm:
➢ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, x2 =
c
a
➢ Nếu a − b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = −1, x2 = −
c
a
☞ Phân tích một tam thức bậc 2 thành nhân tử.
Giả sử f (x) = ax2 + bx + c có 2 nghiệm x1 , x2 thì f (x) = a(x − x1 )(x − x2 ).
1
Ví dụ: f (x) = 2x2 − 5x + 2 có 2 nghiệm x1 = 2, x2 =
2
1
nên f (x) = 2(x − 2)(x − ) = (x − 2)(2x − 1).
2
☞ Định lý Vi-et: Giả sử x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình thì ta có:
b
x1 + x2 = −
a
xx = c
1 2
a
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân
Trang 11
Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
1.3. Phương trình bậc hai
Chương 1. Phương trình đại số
☞ Định lý Vi-et đảo:
x+y =S
Nếu
, x, y là 2 nghiệm của phương trình:
x.y = P
X 2 − S.X + P = 0
☞ Dấu của nghiệm:
Tu
â
n
∆>0
S>0
➢ Pt có 2 nghiệm phân biệt dương ⇔
P >0
∆>0
S<0
➢ Pt có 2 nghiệm phân biệt âm ⇔
P >0
➢ Pt có 2 nghiệm trái dấu: P < 0.
Th
.
sĐ
ỗ
M
in
h
➢ Pt có nghiệm dương
tương đương với phương trình có 2 nghiệm dương hoặc có 2
max(x1 , x2 ) > 0
nghiệm trái dấu ⇔
∆≥0
√
−b + ∆
Nếu a > 0
2a√
Ở đó max (x1 , x2 ) =
−b − ∆
Nếu a < 0
2a
Hoặc ta có thể xét 2 trường hợp:
- Phương trình có 2 nghiệm dương
(không cần phân biệt) hoặc có một nghiệm bằng
∆≥0
S>0
không, một nghiệm dương ⇔
P ≥0
- Phương trình có 2 nghiệm trái dấu ⇔ P < 0.
➢ Phương trình có nghiệm âm ta làm tương tự như trên:
∆≥0
S<0
∆≥0
⇔
⇔
P ≥0
min (x1 , x2 ) < 0
P <0
√
−b − ∆
Nếu a > 0
2a√
Ở đó min (x1 , x2 ) =
−b + ∆
Nếu a < 0
2a
☞ So sánh nghiệm với một số:
➢ α ∈ (x1 , x2 ) ⇔ a.f (α) < 0.
∆≥0
➢ α∈
/ [x1 , x2 ] ⇔
a.f (α) > 0
∆>0
a.f (α) > 0
➢ x1 < x2 < α ⇔
S/2 < α
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân
Trang 12
Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
1.3. Phương trình bậc hai
Chương 1. Phương trình đại số
∆>0
a.f (α) > 0
➢ x1 > x2 > α ⇔
S/2 > α
Ví dụ 1.3.1: Giải các phương trình sau:
a) x2 − 5x + 4 = 0
b) x2 − 2x − 3 = 0
Giải:
a) a + b + c = 0 ⇒ phương trình có nghiệm x1 = 1, x =
c
=4
a
Tu
â
n
c
b) a − b + c = 0 ⇒ phương trình có 2 nghiệm x1 = −1, x = − = 3
a
Ví dụ 1.3.2: Giải và biện luận phương trình sau: (m − 1) x2 − (2m + 1) x + m − 5 = 0.
Th
.
sĐ
ỗ
M
in
h
Giải: +) TH 1: Nếu m − 1 = 0 ⇔ m = 1 thay vào phương trình ta có:
3
−3x − 4 = 0 ⇔ x = − .
4
+) TH 2: Nếu m − 1 6= 0 ⇔ m 6= 1.
∆ = (2m + 1)2 − 4 (m − 1) (m − 5) = 28m − 19
19
- Nếu ∆ > 0 ⇔ m >
có phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
28
√
2m + 1 ± 28m − 19
x1,2 =
2 (m − 1)
- Nếu ∆ = 0 ⇔ m =
19
có nghiệm kép:
28
2m + 1
x1 = x2 =
=
2 (m − 1)
- Nếu ∆ < 0 ⇔ m <
2.
2
19
+1
11
28
!=−
3
19
−1
28
19
: Phương trình vô nghiệm.
28
Ví dụ 1.3.3: Cho phương trình x2 − (m − 1) x + 2m − 5 = 0
a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 .
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m.
c) Lập phương trình bậc 2 nhận 2x1 + x2 là nghiệm.
a) ∆ = (m − 1)2 − 4 (2m − 5) = m2 − 2m + 1 − 8m + 20 = m2 − 10m + 21.
m>7
2
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ m − 10m + 21 > 0 ⇔
m<3
Giải:
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân
Trang 13
Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
1.3. Phương trình bậc hai
Chương 1. Phương trình đại số
b) S = x1 + x2 = m − 1, P = x1 .x2 = 2m − 5. Do đó 2S − P = 2(m − 1) − (2m − 5) = 3
Hệ thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc m là : 2(x1 + x2 ) − x1 .x2 = 3
c) Đặt u = 2x1 + x2 , v = x1 + 2x2 . Do đó:
u + v = 3(x1 + x2 ) = 3.(m − 1) = 3m − 3,
u.v = (2x1 + x2 )(x1 + 2x2 ) = 2x21 + 5x1 .x2 + x22 = 2(x1 + x2 )2 + x1 .x2
= 2(m − 1)2 + 2m − 5 = 2m2 − 2m − 3
Do đó u, v là 2 nghiệm của phương trình:
X 2 − (3m − 3)X + 2m2 − 2m − 3 = 0
9
=0
4
Tu
â
n
Ví dụ 1.3.4: Cho phương trình: x2 − (m + 1)x + m +
1. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 .
M
in
h
2. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương.
3. Tìm m để phương trình có nghiệm dương.
ỗ
4. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn x1 < 1 < x2 .
sĐ
5. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa x1 ≤ x2 < 2
Th
.
9
a) ∆ = (m + 1)2 − 4(m + ) = m2 + 2m + 1 − 4m − 9 = m2 − 2m − 8
4
m>4
2
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ m − 2m − 8 > 0 ⇔
m < −2
m>4
∆>0
m < −2
S =m+1>0
b) Phương trình có 2 nghiệm dương ⇔
⇔
m > −1
P = m + 9/4 > 0
9
m>−
4
⇔m>4
∆≥0
c) Phương trình có nghiệm dương ⇔
max (x1 , x2 ) > 0
−8≥0
m2 − 2m √
√
⇔
⇔ m2 − 2m − 8 > −m − 1
m + 1 + m2 − 2m − 8
>0
2
m
> −1
−m − 1 < 0
2
m≥4
m
−
2m
−
8
≥
0
m≥4
⇔
⇔
⇔
m ≤ −2
−m − 1 ≥ 0
m < −9/4
m ≤ −1
2
2
m − 2m − 8 > (−m − 1)
m < −9/4
Giải:
d) Phương trình có nghiệm x1 < 1 < x2 ⇔ a.f (1) < 0
⇔ 1. (1 − (m + 1) + m + 9/4 < 0) ⇔ 9/4 < 0 (Vô nghiệm)
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân
Trang 14
Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
1.4. Phương trình bậc 3
Chương 1. Phương trình đại số
∆≥0
a.f (2) > 0
e) Phương trình có nghiệm thỏa mãn x1 ≤ x2 < 2 ⇔
S/2 < 2
m ≥ 4 ∨ m ≤ −2
4 ≤ m < 17/4
⇔
m < 17/4
⇔
m ≤ −2
m<3
1.4
Phương trình bậc 3
1.4.1
Tính chất của đa thức
Tu
â
n
❶ Định lý Berzout: Cho P (x) là một đa thức bất kỳ. Khi đó với mọi x0 , đa thức P (x)
chia đa thức x − x0 có số dư là P (x0 ).
.
❷ Hệ quả: Nếu x0 thỏa mãn P (x0 ) = 0 thì P (x).. x − x0 .
M
in
h
❸ Lược đồ Hoocne: Giả sử P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 .
an−1
bn−1
ỗ
x0
an
bn
···
···
a1
b1
a0
b0
sĐ
bn = an , bn−1 = bn .x0 + an−1 , bn−2 = bn−1 .x0 + an−2 , · · · , b0 = b1 .x0 + a0 .
Th
.
P (x) = (x − x0 )(bn xn−1 + bn−1 xn−2 + · · · + b2 x + b1 ) + b0 .
.
Nếu P (x).. x − x0 thì b0 = 0 và P (x) = (x − x0 )(bn xn−1 + bn−1 xn−2 + · · · + b2 x + b1 ).
1.4.2
Đa thức bậc 3
☞ Dạng ax3 + bx2 + cx + d = 0
(1).
☞ Cách giải :
➢ Nhẩm nghiệm : Sử dụng máy tính để nhẩm một nghiệm x0 nào đó.
➢ Dùng lược đồ Hooc-ne để phân tích đa thức trên thành nhân tử :
P (x) = (x − x0 ).Q(x). Ở đó Q(x) là một đa thức bậc 2.
☞ Định lý Viet: Giả sử x1 , x2 , x3 là 3 nghiệm của phương trình (1).
b
x
+
x
+
x
=
−
1
2
3
a
c
x
x
+
x
x
+
x
x
=
1
2
2
3
3
1
a
x1 x2 x3 = − d
a
☞ Định lý Viet đảo: Giả sử x, y, z là 3 số thỏa mãn
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân
x+y+z =m
xy + yz + zx = n
xyz = p
Trang 15
Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
1.4. Phương trình bậc 3
Chương 1. Phương trình đại số
Khi đó x, y, z là 3 nghiệm của phương trình : X 3 − mX 2 + nX − p = 0
1.4.3
Các ví dụ
Ví dụ 1.4.1: Giải các phương trình sau:
a) 2x3 − x2 + x + 4 = 0.
b) x3 − 4x + 3 = 0.
Giải:
a) Dùng máy tính ta thấy được một nghiệm là : x = −1.
Dùng lược đồ Hooc-ne ta có:
1
4
Tu
â
−1
−1
−3
4
0
n
2
2
M
in
h
Phương trình ⇔ (x + 1) (2x2 − 3x + 4) = 0
x = −1
⇔
⇔ x = −1.
2x2 − 3x + 4 = 0Phương trình vô nghiệm
1
1
1
0
1
Th
.
sĐ
ỗ
b) Dùng máy tính ta nhẩm được nghiệm x = 1.
−4
−3
3
0
Phương trình ⇔ (x − 1) (x2 + x − 3) = 0
x=1
√
x=1
⇔
⇒
−1 ± 13
2
x +x−3= 0
x=
2
Ví dụ 1.4.2: Cho phương trình 2x3 − 3x2 − 5x + 5 = 0
a) Chứng minh phương trình có 3 nghiệm x1 , x2 , x3 phân biệt.
b) Tính P = 3 (x21 + x22 + x23 ) − 2 (x31 + x32 + x33 ).
Giải:
a) Đặt f (x) = 2x3 −3x2 −5x+5. Ta có f (−2) = −13, f (−1) = 5, f (1) = −1, f (3) = 17.
Ta có f (−2).f (−1) < 0 nên tồn tại x1 ∈ (−2; −1) sao cho f (x1 ) = 0.
f (−1).f (1) < 0 nên tồn tại x2 ∈ (−1; 1) sao cho f (x2 ) = 0.
f (1).f (3) < 0 nên tồn tại x3 ∈ (1; 3) sao cho f (x3 ) = 0.
Do đó ta được f (x1 ) = f (x2 ) = f (x3 ) = 0 và x1 < x2 < x3 nên phương trình f (x) = 0 có 3
nghiệm phân biệt.
b) Theo định lý Viet ta có:
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân
3
x1 + x2 + x3 =
2
5
x
x
+
x
x
+
x
x
=
−
1
2
2
3
3
1
2
x1 x2 x3 = − 5
2
Trang 16
Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
1.5. Phương trình bậc 4
Chương 1. Phương trình đại số
x21 + x22 + x23 = (x1 + x2 + x3 )2 − 2 (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) =
29
4
x31 + x32 + x33 = (x31 + x32 + x33 − 3x1 x2 x3 ) + 3x1 x2 x3
= (x1 + x2 +!
x3 ) (x21 + x22!+ x23 − (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 )) + 3x1 x2 x3
5
57
3 29 5
+
+ 3. −
=
=
2 4
2
2
8
Do đó ta được P = 3.
29
57 15
− 2. = .
4
8
2
Ví dụ 1.4.3: Giải hệ phương trình:
Th
.
sĐ
ỗ
M
in
h
Tu
â
n
x+y+z =2
x2 + y 2 + z 2 = 6
3
x + y3 + z3 = 8
x+y+z = 2
Giải: Phương trình tương đương với ⇔
(x + y + z)2 − 2 (xy + yz + zx) = 6
3
(x + y 3 + z 3 − 3xyz) + 3xyz = 8
x+y+z = 2
⇔
22 − 2 (xy + yz + zx) = 6
2
2
2
(x + y + z) (x + y + z −
xy − yz − zx) + 3xyz = 8
x+y+z = 2
x+y+z =2
xy + yz + zx = −1 ⇔
xy + yz + zx = −1
⇔
2 (6 + 1) + 3xyz = 8
xyz = −2
Từ đó ta có x, y, z là 3 nghiệm của phương trình:
X = −1
3
2
X − 2X − X + 2 = 0 ⇔ X = 1
X =2
Vậy hệ có 6 nghiệm phân biệt
(−1; 1; 2) , (−1; 2; 1) , (1; −1; 2) , (1; 2; −1) , (2; −1; 1) , (2; 1; −1)
1.5
1.5.1
Phương trình bậc 4
Dạng tổng quát
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
(a 6= 0)
☞ Hướng giải:
➢ Dùng tính năng SOLVE hoặc TABLE của máy tính fx-570ES, fx-500ES để nhẩm
nghiệm của phương trình, sau đó dùng lược đồ Hooc-ne để phân tích thành phương
trình bậc 3 và giải tiếp như ở trên.
➢ Tuy nhiên một số trường hợp cách giải trên trở nên vô hiệu hoặc quá phức tạp không
cần thiết, những trường hợp đó có cách giải riêng biệt.
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân
Trang 17
Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
1.5. Phương trình bậc 4
1.5.2
Chương 1. Phương trình đại số
Các dạng của phương trình bậc 4
❶ Phương trình trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0.
Cách giải: đặt t = x2 ≥ 0. Phương trình trở thành : at2 + bt + c = 0.
❷ Phân tích thành nhân tử:
Cách giải: Biết được một nghiệm, hoặc dùng cách nhóm, sử dụng hằng đẳng thức để phân
tích thành nhân tử, quy về phương trình bậc thấp hơn.
n
❸ Phương trình đối xứng: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 thỏa mãn
!2
d
e
=
b
a
Tu
â
Cách giải: Xét x = 0 thay vào phương trình xem có thỏa mãn không?
M
in
h
Với x 6= 0. Chia cả 2 vế của phương trình cho x2 ta được:
!
!
e
d
e
d
ax2 + bx + c + + 2 = 0 ⇔ a x2 + 2 + b x +
+c=0
x x
ax
bx
b
(∗)
dx
b2
2d
e
2d
⇒ t2 = x2 + 2 2 +
= x2 + 2 + .
d x
b
ax ! b
2d
Phương trình trở thành: a t2 −
+ bt + c = 0
b
Th
.
sĐ
ỗ
Đặt t = x +
Giải phương trình bậc 2 ẩn t. Sau đó thay vào (∗) để tìm x.
❹ Phương trình dạng (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = e sao cho a + b = c + d.
Cách giải: Phương trình ⇔ (x2 + (a + b) x + ab) (x2 + (c + d) x + cd) = e
Đặt t = x2 + (a + b) x = x2 + (c + d) x (∗)
Thay vào phương trình ta được:
(t + ab) (t + cd) = e
Giải phương trình bậc 2 ẩn t sau đó thay vào (∗) để tìm x.
❺ Phương trình dạng (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = ex2 sao cho ab = cd.
Cách giải: giống cách giải phương trình đối xứng.
Nếu x = 0: ta được abcd = 0.
Nếu x 6= 0: Phương trình ⇔ (x2 + (a + b) x + ab) (x2 + (c + d) x + cd) = ex2 .
!
!
ab
cd
⇔ x+ +a+b . x+ +c+d =e
x
x
Đặt t = x +
ab
cd
=x+
(∗). Phương trình trở thành:
x
x
(t + a + b) (t + c + d) = e
Giải phương trình bậc 2 ta tìm được t. Thay vào (∗) để tìm x.
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân
Trang 18
Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
1.5. Phương trình bậc 4
1.5.3
Chương 1. Phương trình đại số
Các ví dụ
Ví dụ 1.5.1: Giải phương trình 2x4 − x2 − 3 = 0
Giải: Đặt t = x2 ≥ 0. Phương trình trở thành :
√
t = −1 (loại)
3
3
6
2
2
2t − t − 3 = 0 ⇔
⇔t= ⇔x = ⇔x=±
3
2
2
2
t=
2
Ví dụ 1.5.2: Giải các phương trình sau:
a) 8x4 + 16x3 − 8x2 − 91x − 42 = 0.
b) x4 − 4x3 + 4x2 − 16 = 0.
Tu
â
Giải:
n
c) x4 − 4x − 1 = 0.
a) Dùng máy tính ta nhẩm được một nghiệm là x = 2.
h
Dùng lược đồ Hooc - ne ta có:
16
32
M
in
8
8
2
−8
56
−91
21
−42
0
ỗ
Phương trình ⇔ (x − 2) (8x3 + 32x2 + 56x + 21) = 0.
Th
.
sĐ
1
Tiếp tục ta nhẩm được 1 nghiệm là x = − . Theo lược đồ Hooc - ne ta có:
2
−
1
2
8
32
56
21
8
28
42
0
!
1
Phương trình ⇔ (x − 2) x +
(8x2 + 28x + 42) = 0
2
x=2
1
⇔
x = −2
8x2 + 28x + 42 = 0
Vô nghiệm
2
b) Phương trình ⇔ (x2 − 2x) − 42 = 0 ⇔ (x2 − 2x − 4) (x2 − 2x + 4) = 0
2
√
x − 2x − 4 = 0
⇔x=1± 5
⇔
2
x − 2x + 4 = 0
Vô nghiệm
c) Phương trình ⇔ x4 + 2x2 + 1 − 2 (x2 + 2x + 1) = 0
√
2
2
⇔ (x2 + 1) − 2 (x + 1) = 0
√
√
⇔ x2 + 1 − 2 (x + 1) x2 + 1 + 2 (x + 1) = 0
√
√
√
√
⇔ x2 − 2x + 1 − 2 x2 + 2x + 1 + 2 = 0
√
2 √
x − √2x + 1 − √ 2 = 0
⇔
x2 + 2x + 1 + 2 = 0
Vô nghiệm
p
√
√
2 ± −2 + 4 2
.
⇔x=
2
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân
Trang 19
Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
1.5. Phương trình bậc 4
Chương 1. Phương trình đại số
Ví dụ 1.5.3: Giải các phương trình sau:
a) x4 + 4x3 − x2 + 8x + 4 = 0.
b) 2x4 − 3x3 − 3x2 + 3x + 2 = 0.
Giải:
a) Với x = 0, phương trình trở thành 2 = 0 (vô lý). Vậy x 6= 0.
Chia cả 2 vế phương trình cho x2 ta được
!
!
8
2
4
4
x2 + 4x − 1 + + 2 = 0 ⇔ x2 + 2 + 4 x +
−1 =0
x x
x
x
2
4
⇒ t2 = x2 + 2 + 4
x
x
2
Phương trình trở thành : t − 4 + 4t − 1 = 0
t=1
2
⇔ t + 4t − 5 = 0 ⇔
t = −5
h
Tu
â
n
Đặt t = x +
M
in
2
= 1 ⇔ x2 − x + 2 = 0
vô nghiệm
x
√
2
−5 ± 17
2
+) Với t = −5: x + = −5 ⇔ x + 5x + 2 = 0 ⇔ x =
x
2
sĐ
ỗ
+) Với t = 1: x +
Th
.
b) x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả 2 vế của phương trình cho x2 6= 0 ta
được
!
!
2
1
1
3
−3 =0
2x2 − 3x − 3 + + 2 = 0 ⇔ 2 x2 + 2 − 3 x −
x x
x
x
1
1
⇒ t2 = x2 + 2 − 2, thay vào phương trình ta có:
x
x
t=1
2 (t2 + 2) − 3t − 3 = 0 ⇔ 2t2 − 3t + 1 = 0 ⇔
1
t=
2
√
1
1± 5
2
+) Với t = 1: x − = 1 ⇔ x − x − 1 = 0 ⇔ x =
x
2
√
1 1
17
1
1
±
.
+) Với t = : x − = 2 ⇔ 2x2 − x − 2 = 0 ⇔ x =
2
x
4
Đặt t = x −
Ví dụ 1.5.4: Giải phương trình sau : x (x + 1) (x − 3) (x − 2) = −2
Giải: Phương trình ⇔ (x2 − 2x) (x2 − 2x − 3) = −2
Đặt t = x2 − 2x. Phương trình trở thành:
t=1
2
t (t − 3) = −2 ⇔ t − 3t + 2 = 0 ⇔
t=2
√
2
2
+) Với t = 1: x − 2x = 1 ⇔ x − 2x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ± √2.
+) Với t = 2: x2 − 2x = 2 ⇔ x2 − 2x − 2 = 0 ⇔ x = 1 ± 3.
Ví dụ 1.5.5: Giải phương trình (x − 2) (x + 3) (x − 1) (x + 6) = 21x2
Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân
Trang 20
Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định
.PDF 
301 
824 
91 
