Trường em
http://truongem.com
TUYỂN TẬP 100 HỆ PHƯƠNG TRÌNH LTĐH NĂM HỌC 2014-2015
NHÓM GIÁO VIÊN THỰC HIỆN
1) PHẠM VĂN QUÝ
2) NGUYỄN VIẾT THANH
3) DOÃN TIẾN DŨNG
ĐƠN VỊ CÔNG TÁC: TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG, TX ĐỒNG XOÀI, TỈNH BÌNH PHƯỚC
2
x 12 − y + y(12 − x ) = 12 (1)
Bài 1 Giải hệ phương trình: 3
(x, y ∈ R)
x − 8x − 1 = 2 y − 2
(2)
(ĐH khối A – 2014)
Giải
2 ≤ y ≤ 12
2 ≤ y ≤ 12
Điều kiện :
⇔
2
−2 3 ≤ x ≤ 2 3
12 − x ≥ 0
Cách 1:
Đặt a = 12 − y , a ≥ 0 ⇒ y = 12 − a 2
PT (1) ⇔ xa + (12 − a 2 )(12 − x 2 ) = 12
⇔ 122 − 12x 2 − 12a 2 + x 2a 2 = 12 − xa
xa ≤ 12
⇔ 2
12 − 12x 2 − 12a 2 + x 2a 2 = 122 − 2.12.xa + x 2a 2
xa ≤ 12
⇔ 2
12x − 2.12xa + 12a 2 = 0
xa ≤ 12
⇔
(x − a )2 = 0
Ta có (x – a)2 = 0 ⇔ x = 12 − y (*)
Thế (*) vào (2) được : (12 − y ) 12 − y − 8 12 − y − 1 = 2 y − 2
⇔ (4 − y ) 12 − y = 2 y − 2 + 1
⇔
(3 − y ) 12 − y + 12 − y − 3 + 2 − 2 y − 2 = 0
⇔ (3 − y ) 12 − y +
3 −y
12 − y + 3
+
2(3 − y )
=0
1+ y −2
y = 3
⇔
1
2
+
= 0(voâ nghieäm)
12 − y +
12 − y + 3 1 + y − 2
x = 3
Vậy
y = 3
1
Trường em
http://truongem.com
Cách 2:
Ta có x 12 − y + (12 − x 2 )y ≤
x
Dấu “=” xảy ra ⇔
12 − y
2
(x
2
)
+ 12 − x 2 (12 − y + y ) = 12
12 − y
=
⇔ x y = (12 − y )(12 − x 2 ) (3)
y
Khi đó (1) tương đương với (3)
x ≥ 0
x ≥ 0
x ≥ 0
(3) ⇔ 2
2
2 ⇔
2 ⇔
x y = 144 − 12x − 12y + x y
12y = 144 − 12x
y = 12 − x 2 (4)
Thế (4) vào (2) ta có
(2) ⇔ x 3 − 8x − 1 = 2 10 − x 2 ⇔ x 3 − 8x − 1 − 2 10 − x 2 = 0
(
)
⇔ x 3 − 8x − 3 + 2 1 − 10 − x 2 = 0
(
)
(
)
⇔ (x − 3) x 2 + 3x + 1 + 2.
⇔ (x − 3) x 2 + 3x + 1 + 2.
1 − (10 − x 2 )
1 + 10 − x
9 − x2
2
=0
=0
1 + 10 − x 2
2(x + 3)
⇔ (x − 3) x 2 + 3x + 1 +
=0
1 + 10 − x 2
x = 3
⇔ 2
2(x + 3)
= 0 (voâ nghieäm vì x ≥ 0)
x + 3x + 1 +
1 + 10 − x 2
⇔x =3⇒y =3
x = 3
Vậy
y = 3
Cách 3:
(
)
Đặt a = x ; 12 − x 2 ;b =
a = b = 12
2
2
(
12 − y ; y
)
(1) ⇔ a + b = 2a.b
⇔ a = b ⇔ x = 12 − y
(2) ⇔ x 3 − 8x − 3 = 2 10 − x 2 − 2
(
)
⇔ (x − 3) x 2 + 3x + 1 = 2
(3 − x )(3 + x )
10 − x 2 + 1
⇔x =y =3
(x
2
)(
+ 3x + 1
)
10 − x 2 + 1 − 2 (3 + x ) = 0
2
Trường em
http://truongem.com
(
)
Đặt f (x ) = (x 2 + 3x + 1) 10 − x 2 + 1 − 2 (3 + x )
f ' (x ) < 0 ∀x > 0 ⇒ phương trình vô nghiệm.
Vậy nghiệm của hpt trên: (3;3)
(1 − y ) x − y + x = 2 + (x − y − 1) y
(ĐH khối B – 2014)
Bài 2 Giải hệ phương trình: 2
2y − 3x + 6y + 1 = 2 x − 2y − 4x − 5y − 3
Giải
y ≥ 0
Điều kiện: x ≥ 2y
4x − 5y ≥ 3
Phương trình thứ nhất viết lại thành
(1 − y ) x − y − (1 − y ) + (x − y − 1) = (x − y − 1) y
y = 1
(1 − y )(x− y− 1)
y −1
⇔
= (x − y − 1)
⇔
x −y +1
y +1
x = y + 1
TH1 : y = 1 thay xuống (2) ta có
9 − 3x = 2 x − 2 − 4x − 8 ⇔ x = 3 (TM )
TH2 : x = y + 1 thay xuống (2) ta có
2y 2 + 3y − 2 = 2 1 − y − 1 − y
⇔ 2y 2 + 3y − 2 − 1 − y = 0
⇔ 2(y 2 + y − 1) + (y − 1 − y ) = 0
1
⇔ (y 2 + y − 1) 2 +
= 0
y + 1 − y
⇔y =
5 −1
⇒x =
2
5 +1
(TM )
2
5 +1 5 −1
;
).
2
2
y(x 2 + 2x + 2) = x (y 2 + 6)
Bài 3 Giải hệ phương trình:
2
2
(y − 1)(x + 2x + 7) = (x + 1)(y + 1)
Vậy hệ đã cho có nghiệm : (x ; y ) = (3;1),(
Giải
ĐK: x , y ∈ R
a = x + 1
Đặt
, ta có hệ trở thành:
b = y
b(a 2 + 1) = (a − 1)(b 2 + 6)
(a − 1)(b 2 + 6) = b(a 2 + 1) (*)
⇔
2
2
(b − 1)(a 2 + 6) = a(b 2 + 1)
(b − 1)(a + 6) = a(b + 1)(**)
Trừ vế theo vế hai phương trình rồi thu gọn ta có:
3
Trường em
http://truongem.com
a = b
(a − b)(a + b − 2ab + 7) = 0 ⇔
a + b − 2ab + 7 = 0
Trường hợp 1: a = b thay vào phương trình (*) ta có:
a = 2
(a − 1)(a 2 + 6) = a(a 2 + 1) ⇔ a 2 − 5a + 6 = 0 ⇔
a = 3
x = 1
⇒
⇒ hệ có 2 nghiệm (x; y) là:
x
=
2
Trường hợp 2: a + b − 2ab + 7 = 0
2
2
5
5
1
Trừ vế theo vế hai phương trình (*) và (**) rồi rút gọn ta có: a − + b − =
2
2
2
a + b − 2ab + 7 = 0
Vậy ta có hệ phương trình:
2
2 1
5
5
a − + b − =
2
2
2
a = 2 a = 3 a = 2 a = 3
Đây là hệ đối xứng loại I, giải hệ ta có các nghiệm:
;
;
;
b = 2 b = 3 b = 3 b = 2
Từ đó ta có các nghiệm (x; y) là: (1;2),(2; 3),(1; 3),(2;2).
Kết luận: Hệ phương trình có 4 nghiệm là: (1;2),(2; 3),(1; 3),(2;2).
x 3 − 12x − y 3 + 6y 2 − 16 = 0
Bài 4 Giải hệ phương trình: 2
2
2
4x + 2 4 − x − 5 4y − y + 6 = 0
Giải
ĐK: x ∈ −2;2 , y ∈ 0; 4
Ta có PT (1) ⇔ (x + 2)3 − 6(x + 2) = y 3 − 6y 2
Xét hàm số f (t ) = t 3 − 6t, t ∈ 0; 4 ta có f '(t ) = 3t 2 − 12t = 3t(t − 4) ≤ 0, ∀t ∈ 0; 4 ⇒ f (t ) nghịch
biến trên 0; 4 . Mà phương trình (1) có dạng: f ( x + 2) = f ( y) ⇔ y = x + 2 thay vào phương trình (2) ta
có: 4x 2 + 6 = 3 4 − x 2 ⇔ x = 0 từ đó ta có y = 2.
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm (0; 2).
x − 2 y + 1 = 3
Bài 5 Giải hệ phương trình: 3
2
x − 4x
y + 1 − 9x − 8y = −52 − 4xy
.
Giải
§K: y ≥ −1 .
x = 3 + 2 y + 1
HPT ⇔ 3
2
x − 4x y + 1 + 4xy + 4x − 13x − 8y + 52 = 0
4
Trường em
http://truongem.com
x = 3 + 2 y + 1
⇔
2
x (x − 2 y + 1) − 13x − 8y + 52 = 0
x = 3 + 2 y + 1
⇔
−x − 2y + 13 = 0
x = 3 + 2 y + 1
⇔
y + 1 = 5 − y
x = 3 + 2 y + 1
⇔ y ≤ 5
2
y − 11y + 24 = 0
x = 3 + 2 y + 1
x = 7
⇔ y ≤ 5
⇔
y = 3
y = 3
y = 8
x = 7
.
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm:
y = 3
y − 2x + y − x
+1 = 0
Bài 6 Giải hệ phương trình:
xy
1 − xy + x 2 − y 2 = 0
ĐK: x > 0; y > 0; xy ≤ 1
(1) ⇔ y − 2x +
(2) , ta được:
y − x + xy = 0 ⇔
(
y− x
)(
)
y + 2 x + 1 = 0 ⇔ y = x ⇔ y = x thay vào
1 − x2 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1
KL: hệ pt có tập nghiệm: S = {(1;1)}
3
3
3 x 2 + y2
2 x + y
−
+ 5 (x + y ) = 8 xy
xy
xy
Bài 7 Giải hệ phương trình:
5x − 1 + 2 − y = 5x + y
2
(
)
(
)
1
5
ĐK: x ≥ ; 0 < y ≤ 2
Đặt u = x + y, u > 0; v = xy , v > 0 khi đó
2
u
u
u
(1) ⇔ 2u − 3u v − uv − 2v = 0 ⇔ v − 22 v + v + 1 = 0 ⇔ uv = 2 ⇔ u = 2v
3
2
2
3
5
Trường em
http://truongem.com
⇒ x + y = 2 xy ⇔
(
2
x− y
5x − 1 + 2 − x = 3x ⇔
)
= 0 ⇔ x = y thay vào (2) , ta được:
5x − 5
5x − 1 + 2
+
5
1
= 3x − 3 ⇔ (x − 1)
−
− 3 = 0
5x − 1 + 2
2 −x +1
2 −x +1
1−x
x = 1 ⇒ y = 1
⇔
5
1
1
−
− 3 = 0 VN vì ≤ x ≤ 2
5
2−x +1
5x − 1 + 2
KL: tập nghiệm của hệ pt là: S = {(1;1)}
3
x
Bài 8 Giải hệ phương trình:
x 3
2
2
x − y)
+x +1
1 − 1 = x (3y − 1) − (
+
2
x
+
1
(
)
y y 2
x −y
y2
2
−x −1 4
+ −1 = 0
y
y2
ĐK: y ≠ 0
2
3
2
y = x + 1
x = 1
(x − y + 1)(x − y ) + 1 = 0
(x − y ) + (x − y ) + (x − y ) + 1 = 0
⇔
⇔
Hệ ⇔ 3
⇔
x − x 2 − 1 + 4y − y 2 = 0
x 3 − x 2 − 1 + 4y − y 2 = 0
x = 1
y = 2
KL: S = {(1;2)}
2
2
2
2
2
2
4x + 3xy − 7y + 4 x + 5xy − 6y = 3x − 2xy − y
Bài 9 Giải hệ phương trình: 2
3x + 10xy + 34y 2 = 47
3x 2 − 2xy − y 2 ≥ 0
ĐK: 2
2
4x + 3xy − 7y ≥ 0
(
)
Chuyển vế nhân liên hợp ở phương trình (1) , ta được:
1
x 2 + 5xy − 6y 2
+ 4 = 0 ⇔
2
2
2
2
4x + 3xy − 7y + 3x − 2xy − y
(
)
x = y (n )
x = −6y
(n )
x = 1 ⇒ y = 1
Với x = y thay vào (2) , ta được: x 2 = 1 ⇔
x = −1 ⇒ y = −1
y = 47 ⇒ x = −6
82
Với x = −6y thay vào (2) , ta được: 82y 2 = 47 ⇔
y = − 47 ⇒ x = 6
82
47
82
47
82
6
Trường em
http://truongem.com
47
47 47
47
; −6
;6
; −
82
82 82
82
KL: S = (1;1), (−1; −1),
x 2 + 3xy − 3 (x − y ) = 0
Bài 10 Giải hệ phương trình: 4
2
2
x + 9y x + y − 5x = 0
x 2 + 3y = 3x − 3xy
Hệ ⇔ 2
2
2
2
x + 3y + 3x y − 5x = 0
x = 0 ⇒ y = 0
1
2
2
Thay (1) vào (2) , ta được: x 9y − 15y + 4 = 0 ⇔ y = ⇒ x = 1
3
y = 4 ⇒ x 2 + x + 4 = 0
3
1
KL: S = (0; 0); 1;
3
(
(
)
)
(
)
VN
2
2
(x + 2) + 4 (y − 1) = 4xy + 13
Bài 11 Giải hệ phương trình: x 2 − xy − 2y 2
2
+ x +y =
2
x −y
x − y2
x + y > 0
ĐK: x − y > 0
x − 2y ≥ 0
x 2 − 4xy + 4y 2 + 4x − 8y − 5 = 0
Hệ ⇔
(x + y ) x − 2y + (x + y ) x − y = 2
x − 2y = 1
2
Ta có PT (1) ⇔ (x − 2y ) + 4 (x − 2y ) − 5 = 0 ⇔
(l )
x − 2y = −5
Với x = 2y + 1 thay vào (2) , ta được:
(3y + 1)
y + 1 = 1 − 3y ⇒ 9y 3 + 6y 2 + 13y = 0 ⇔ y = 0 ⇒ x = 1 thỏa mãn
KL: S = {(1; 0)}
2
x − 5 x 2 − 2y + x 2 + 3 = 2y
Bài 12 Giải hệ phương trình:
x 2 + 3y = 6
ĐK: x ≥ 2y
(
)
(
)
x 2 − 2y + 1
7
Trường em
http://truongem.com
Ta có (2) ⇔ x 2 = 6 − 3y thay vào (1) ta được: (1 − 5y ) 6 − 5y = 5y − 9 ⇒ y = 1 ⇒ x = ± 3 thỏa
mãn
KL: S =
{( 3;1);(− 3;1)}
x2 − y
(y − 1)
=2
x2 −1 + y −1
Bài 13 Giải hệ phương trình:
x 2 + 4y x 2 − 1 + 6 = 5 x 2 − 1 1 +
(
)
(x
2
− 1 (y − 1)
)
x ≤ −1 ∨ x ≥ 1
ĐK: y ≥ 1
x 2 − 1 + y − 1 ≠ 0
2
a = x − 1, a ≥ 0
Đặt:
, ta được:
b = y − 1, b ≥ 0
b 2 (a − b ) = 2
3
2
2
a + 4ab − 5a b = 6
Nhân chéo hai phương trình giải hệ đẳng cấp ta đươc tập nghiệm: S =
{( 10;2);(− 10;2)}
−20y 3 − 3y 2 + 3xy + x − y = 0
Bài 14 Giải hệ phương trình: 2
x + y 2 − 3y = 1
−20y 3 − y (3y − 1) + x (3y + 1) = 0
Hệ ⇔ 2
.
x + y 2 = 3y + 1
Thế (2) vào (1) , ta được phương trình thuần nhất bậc 3
3 1 −3 −1
KL: S ; ; ;
2 2 5 5
2
2
x − 3y + x + 3y = 0
Bài 15 Giải hệ phương trình:
2
2
2y − 1 + 2x − y − 3x + 1 = 0
ĐK: y ≥
1
2
3y ≥ x
3y ≥ x
2
2
Ta có PT (1) ⇔ x + 3y = 3y − x ⇔ 2
⇔ y = 0 (l )
6y − 6xy = 0
x = y
8
Trường em
http://truongem.com
Với x = y thay vào (2) , ta được:
y = 1 ⇒ x = 1
2y − 1 = −y 2 + 3y − 1 ⇒ y 4 − 6y 3 + 11y 2 − 8y + 2 = 0 ⇔ y = 2 + 2 (l )
y = 2 − 2 ⇒ x = 2 − 2
{
(
KL: S = (1;1); 2 − 2;2 − 2
)}
2
3 x 4 + y 4 + 2x 2y 2
x
y2
=
+
2
2
2
Bài 16 Giải hệ phương trình: y 2 x 2
+
x
y
2
2
xy + 3y + 4x = 8
ĐK: x .y ≠ 0
(
)
(
2
Ta có PT (1) ⇔ (x 2 − y 2 )
)
x = y
x 4 − x 2y 2 + y 4
2
2
=
0
⇔
x
=
y
⇔
2
2
2
2
2
x y x + y
x = −y
(
)
• Với x = y thay vào (2) , ta được: x = 1 ⇒ y = 1
• Với x = −y thay vào (2) , ta được: y = −1 ⇒ x = 1
KL: S = {(1;1); (1; −1)}
10x 2 + 5y 2 − 2xy − 38x − 6y + 41 = 0
Bài 17 Giải hệ phương trình: 3
x + xy + 6y − y 3 + x 2 − 1 = 2
x 3 + xy + 6y ≥ 0
ĐK: 3
y + x 2 − 1 ≥ 0
Ta có PT (1) ⇔ 10x 2 − 2x (y + 19) + 5y 2 − 6y + 41 = 0 .
2
Tính ∆ 'x = −49 (y − 1) ≥ 0 ⇔ y = 1 thay vào (1) được x = 2 thỏa hệ phương trình
KL: S = {(2;1)}
x 3 − y 3 − x 2y + xy 2 − 2xy − x + y = 0
Bài 18 Giải hệ phương trình:
x − y = x 3 − 2x 2 + y + 2
ĐK: x ≥ y
y = x −1
Ta có PT (1) ⇔ (x − y − 1)(x 2 + y 2 + x − y ) = 0 ⇔ 2
2
x + y + x − y = 0
9
Trường em
http://truongem.com
•
x = 0 ⇒ y = − 1
y = x − 1 thay vào (2) , ta được: x 3 − 2x 2 + x = 0 ⇔
x = 1 ⇒ y = 0
•
x 2 + y2 + x − y = 0 ⇔ x = y = 0
(vì x − y ≥ 0) thay vào hệ không thỏa
KL: S {(1; 0); (0; −1)}
y 2 + 8x 2 = 3 − 1 + 3 3 y 2 − 1 3 y 2 − 1
Bài 19 Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
2
3 2
3
4 − 3 y − 1 − 2 y − 1 = 12x + y − 1 − 4x
(
(
−1
1
≤x ≤
2
2
2
a = 3 y − 1
Đặt:
, ta có:
b = 1 − 4x 2 , b ≥ 0
)
)
ĐK:
(b
2
+b
3
)
(
+ 3 b2 + b
2
)
(
a 3 + 3a 2 + 2a − 3b 2 − b = 0
⇒ a = b 2 + b thay vào (1) , ta được:
3
a + 3a 2 + a − 2b 2 = 0
)
+ 2 b 2 + b − 3b 2 − b = 0 ⇔ b = 0 ⇒ a = 0 .
1 − 4x 2 = 0
x = ± 1
Khi đó ta có:
⇔
2
3 y 2 − 1 = 0
y = ±1
1 1
1 1
KL: S = ;1; ; −1; − ;1; − ; −1
2 2
2 2
3x 6 − 24y 3 + 2y − x 2 9x 2 + 18y − 11 = 0
Bài 20 Giải hệ phương trình:
1 + 3 2 2y + 1 = x + 3 x + 6y − 1
ĐK: y ≥ 0
(
)(
)
Ta có PT (1) ⇔ (x 2 − 2y )(3x 4 + 6x 2y − 9x 2 + 12y 2 − 18y + 1) = 0
Với x 2 = 2y thay vào (2) , ta được:
1
2
= 0
1 + 2x + 1 = x + 4x − 1 ⇔ (x − 1)
+
x + 1 3
3
2
2
(4x − 1) + 4x − 1 3 2x + 1 + 3 (2x + 1)
3
3
⇔x =1⇒y =
1
2
1
KL: S = 1;
2
2 (x − y )
2
x + y
+ xy =
+
xy
x + y
xy
Bài 21 Giải hệ phương trình:
1
1
−
+x +y = 4
y
x
10
Trường em
http://truongem.com
ĐK: x > 0; y > 0
Ta có PT (1) ⇔
(
(
2
y − x + xy
)
)(
= 0 ⇔ x − y = xy ⇒ x + y = x 2y 2 + 2 xy thay vào (2) ta được:
)
xy − 1 xy xy + xy + xy + 4 = 0 ⇔ xy = 1
x = 3 ± 5
x + y = 3
2
Khi đó ta có:
⇔
xy = 1
3∓ 5
y =
2
3 + 5 3 − 5
KL: thay vào hệ ta có tập nghiệm: S =
;
2
2
x −1
4
4
+ x −1 = 0
x + 2 y − 1 + y − 1 −
y −1
Bài 22 Giải hệ phương trình:
(y − 1)(x − 1) x − 1 + 2 y − 1 − y − 1 = 2
2
ĐK: x ≥ 1; y > 1
a = x − 1, a ≥ 0
b = 2
2
. Ta có (1) ⇔ (b − 2) + a 2b 2 + 2ab + ab 2 = 0 ⇔
Đặt:
b = y − 1, b > 0
a = 0
x − 1 = 0
x = 1
thỏa hệ phương trình
⇒
⇔
y − 1 = 2
y = 5
KL: S = {(1;5)}
x + 3 y
=1
4
y
+
2
x
+
y
Bài 23 Giải hệ phương trình:
1
1
−1
−
=
3
2
y −1
3x − 4y − 8
y > 1
ĐK: 2x + y ≥ 0
3x − 4y ≠ 8
2
Ta có (1) ⇔ (x − 4y )1 −
= 0 ⇔ x = 4y thay vào (2) , ta được:
3 y + 2x + y
1
23 y − 1
⇒
−
1
6
1
1
1
1
= − ⇒ a 2 − a 2 = − ⇔ (a − 1) 2a 2 + a + 1 = 0 ⇔ a = 1
2
2
2
y −1
(
)
1
a
=
6
y − 1
=1⇔y =2⇒x =8
y −1
11
Trường em
http://truongem.com
KL: S = {(8;2)}
x − 1 1 − 2y − y + 2 = 0
(
)
Bài 24 Giải hệ phương trình sau:
(x , y ∈ ).
y y + x − 1 + x − 4 = 0
(
)
Giải
Điều kiện: x ≥ 1.
Đặt t = x − 1, t ≥ 0. Khi đó x = t 2 + 1 và hệ trở thành
t(1 − 2y ) − y + 2 = 0
t − y − 2ty + 2 = 0
(t − y ) − 2ty + 2 = 0
⇔ 2
⇔
2
2
y(y + t ) + t − 3 = 0
y + ty + t − 3 = 0
(t − y )2 + 3ty − 3 = 0
t − y = 0
y = t
Suy ra 2(t − y )2 + 3(t − y ) = 0 ⇔
⇔
3
t − y = −
y = t + 3 .
2
2
Với y = t, ta có −2t 2 + 2 = 0 ⇔ t = 1. Suy ra x = 2, y = 1.
3
3
3
−3 + 13
Với y = t + , ta có − − 2t t + + 2 = 0 ⇔ 4t 2 + 6t − 1 = 0 ⇔ t =
.
2
Suy ra x =
2
2
4
19 − 3 13
3 + 13
,y=
.
8
4
Vậy nghiệm (x; y) của hệ là
(x + 2) x 2 + 4x + 7 + y y 2 + 3 + x + y + 2 = 0
Bài 25 Giải hệ phương trình sau: 2
x +y +1 = x −y +1
Giải
Điều kiện: x 2 + y + 1 ≥ 0
Phương trình (1) ⇔ (x + 2) (x + 2)2 + 3 + x + 2 = −y (−y )2 + 3 − y
Xét hàm số f (t ) = t t + 3 + t Có f '(t ) = t + 3 +
2
2
t2
+ 1 > 0 ∀t
t2 + 3
⇒ Hàm số f(t) đồng biến trên R ⇒ Phương trình (1) ⇔ x + 2 = −y
Thay vào (2) ta có
3
3
x ≥−
x ≥−
x − x − 1 = 2x + 3 ⇔
⇔
2
2
2
2
2
2
x
−
x
−
1
=
4
x
+
12
x
+
9
x
−
x
−
1
=
4
x
+ 12x + 9
x ≥ − 3
:
3
2
x ≥−
x
=
−
1 ⇔ x = −1 ⇒ y = −1 (tmdk)
⇔
⇔
2
2
10
3x + 13x + 10 = 0
x = − 3
2
Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (-1;-1).
12
Trường em
http://truongem.com
53 − 5x 10 − x + 5y − 48 9 − y = 0
)
(
)
(1)
(
Bài 26 Giải hệ phương trình sau:
∀x , y ∈ )
(
2
2x − y + 6 + x = −2x + y + 11 + 2x + 66
(2)
Giải
10 − x ≥ 0
x ≤ 10
9 − y ≥ 0
y ≤ 9
ĐK:
⇔
2x − y + 6 ≥ 0
2x − y + 6 ≥ 0
−2x + y + 11 ≥ 0
−2x + y + 11 ≥ 0
Từ PT(1) ta có 5 (10 − x ) + 3 10 − x = 5 (9 − y ) + 3 9 − y , (3)
2
Xét hàm số f (t ) = 5t + 3 t trên khoảng t ∈ 0; +∞) có f / (t ) = 15t 2 + 3 > 0, ∀t ≥ 0 hàm số đồng
biến .Từ (3) ta có f
(
)
(
10 − x = f
) (
)
9 − y ⇔ 10 − x = 9 − y ⇔ y = x − 1, (4) Thay (4) vào (2) ta
được x + 7 − 10 − x + x 2 − 2x − 66 = 0 (5) ĐK: x ∈ −7;10
Giải (5) ta được
(
) (
)
x −9
x + 7 − 4 + 1 − 10 − x + x 2 − 2x − 63 = 0 ⇔
(x − 9)[
1
x +7 +4
x +7 +4
1
+
x −9
+
1 + 10 − x
+ (x − 9)(x + 7 ) = 0
+ (x + 7 ) ] = 0 ⇔ x = 9, y = 8
1 + 10 − x
Vậy Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y ) = (9; 8)
1−y
x
−
+x +y =1
Bài 27 Giải hệ phương trình sau: 1 + 1 − x 1 + y
1 − x + 4 + y = 2 2
Giải
ĐK: 0 ≤ x ; y ≤ 1
x
PT(1) ⇔
+x =
1+ 1−x
1−y
+ 1 − y (*)
1 + 1 − (1 − y )
1
xét h/s f (t ) =
t
1+ 1−t
+ t ; có f (t ) = 2 t
'
(1 + 1 − t ) +
1
2 1−t
(1 + 1 − t )2
. t
+1> 0
,∀t ∈ (1; +∞)
vì (*) ⇔ f (x ) = f (1 − y ) ⇔ x = 1 − y , thế vào pt(2) ta được :
1 − x + 5 − x = 2 2 ⇔ 6 − 2x + 2 5 − 6x + x 2 = 8
⇔ 5 − 6x + x 2 = x + 1 ⇔ 5 − 6x + x 2 = (x + 1)2 ⇔ x =
1
1
⇒y =
2
2
(tmđk)
13
Trường em
http://truongem.com
x = 1
2
vậy hệ pt có nghiệm là
1
y =
2
27x 3y 3 + 7y 3 = 8
Bài 28 Giải hệ phương trình sau: 2
9x y + y 2 = 6x
Giải
Nhận xét y ≠ 0, nhân hai vế phương trình thứ hai với 7y, trừ đi phương trình thứ nhất, được
(3xy )3 − 7(3xy )2 + 14(3xy ) − 8 = 0
Từ đó tìm được hoặc 3 xy = 1 hoặc 3 xy = 2 hoặc 3 xy = 4
Với 3 xy = 1, thay vào phương trình thứ nhất, được y=1 do đó x =
Với 3 xy = 2, thay vào phương trình thứ nhất, được y=0 (loại)
1
3
Với 3 xy = 4, thay vào phương trình thứ nhất, được y=-2 do đó x = −
2
3
x 3 − y 3 = 4x + 2y
Bài 29 Giải hệ phương trình sau: 2
x + 3y 2 = 4
Giải
Phương trình (1) ⇔ 2(x − y ) = 4(2 x+ y)
Từ phương trình (2) thay 4 = x 2 + 3y 2 vào phương trình trên và rút gọn ta được:
3
3
y = 0
x 2y + 6xy 2 + 5y 3 = 0 ⇔ x = −y
x = −5y
x 3 = 4x
TH1 : y = 0 thay vào hệ ta được 2
⇔ x = ±2 ⇒ nghiệm (x; y) = (±2; 0)
x = 4
2x 3 = 2x
TH2 : x = −y ⇔ y = −x thay vào hệ ta được : 2
⇔ x = ±1
4x = 4
Hệ có nghiệm (x; y) = (1; −1); (−1;1)
TH3 : x = −5y thay vào hệ ta có nghiệm (x; y) = (
5
7
;
−1
); (
−5
7
7
;
1
)
7
Vậy hệ đã cho có 6 nghiệm.
y − 2 . x + 2 − x . y = 0
)
(
Bài 30 Giải hệ phương trình sau:
x + 1. y + 1 = (y − 3). 1 + x 2 + y − 3x
(
)
(
)
(x; y ∈ R).
Giải
x ≥ −1; y ≥ 0
ĐK:
x 2 + y − 3x ≥ 0
14
Trường em
http://truongem.com
PT (1) ⇔ x + 2.y − x . y − 2 x + 2 = 0
2
có ∆y = x 2 + 8 (x + 2) = (x + 4)
2x + 4
với y =
y = 2x + 4
2 x +2
⇔
−2
y =
(< 0) ⇒ loai
4
x
+
2
⇔ y = x + 2 ⇔ y = x + 2 , thế vào (1) ta được
2 x +2
x +1
(
2
x + 2 + 1 = (x − 1) 1 + x 2 − 2x + 2 ⇔ x + 1.( x + 2 + 1) = (x − 1). (x − 1) + 1 (*)
(
)
Xét hàm số f (t ) = t
(
)
)
t 2 + 1 + 1 = t t 2 + 1 + t , có f ' (t ) = t 2 + 1 +
t2
t2 + 1
+ 1 > 0 ⇒ f (t ) đồng
biến.
x ≥ 1
2 ⇔ x = 3
x + 1 = (x − 1)
Vì PT (*) ⇔ f ( x + 1) = f (x − 1) ⇔ x + 1 = x − 1 ⇔
Với x = 3 ⇒ y = 5 (thỏa mãn). Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (3; 5).
2
2
x + y + 1 = 2x + 2y
Bài 31 Giải hệ phương trình sau:
(2x − y ) y = 1 + 2y
Giải
Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:
x = 2
x 2 + 2xy + 1 = 1 + 2x + 4y ⇔ x (x + 2y ) = 2 (x + 2y ) ⇔ (x − 2)(x + 2y ) = 0 ⇔
x + 2y = 0
Trường hợp x=2 thay vào (2) ta có y = 1
Trường hợp x+2y = 0 thay vào (2) ta được phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm x = 2; y = 1.
2
xy (y + 1) + y + 1 = 4y
Bài 32 Giải hệ phương trình sau: 2
1
xy (x + 2) +
+ y2 = 5
2
y
Giải
Điều kiện y ≠ 0
1
1
x (y + 1) + y + = 4
y (x + 1) + + x = 4
y
y
⇔
(I ) ⇔
2
2 2
2
1
1
y x + 2x + 1 + 2 = 5
y (x + 1) + 2 = 5
y
y
(
)
1
y
Đặt u = y (x + 1) + ; v = x + 1
ta có hệ
15
Trường em
http://truongem.com
u + v = 5
v = 5 − u
u = −5 u = 3
⇔ 2
⇔
∨
2
u − 2v = 5
u + 2u − 15 = 0
v = 10 v = 2
1
1
y (x + 1) + = −5 y (x + 1) + = 3
hay
∨
y
y
x + 1 = 10
x + 1 = 2
10y 2 + 5y + 1 = 0 2y 2 − 3y + 1 = 0
x = 1 ∧ y = 1
⇔
∨
⇔
x = 1 ∧ y = 1
x = 9
x = 1
2
Vậy hệ có các nghiệm (1;1) và (1; 1/2 ).
3
2y
+
=1
x 2 + y 2 − 1
x
Bài 33 Giải hệ phương trình sau:
2
4x
2
= 22
x + y +
y
2
Giải
2
Điều kiện: x ≠ 0, y ≠ 0. và x + y - 1 ≠ 0.
3 2
2v 2 − 13v + 21 = 0
+ = 1
⇔
u v
u = 21 − 4v
u = 21 − 4v
x = 14 2
u = 7
x = −3
=3
53
hoặc
Với
⇔ ⇔
7
=1
y = −1
v =
y = 4 2
2
53
x
Đặt u = x + y - 1 và v = Hệ phương trình (I) trở thành
y
2
2
u = 7
u = 9
⇔
hoặc
v = 3
v = 7
2
u = 9
x
+ Với
⇔
v = 3
y
x = −14 2
53
hoặc
2
y = −4
53
2
2
2
2
và −14
.
Vậy hệ có nghiệm (3;1), (-3;-1), 14
;4
; −4
53
53
53
53
x − 1 − y = 1 − x 3
Bài 34 Giải hệ phương trình :
(I) .
(x − 1)4 = y
x − 1 ≥ 0
x ≥ 1
Điều kiện:
⇔
y ≥ 0
y ≥ 0
2
x − 1 − (x − 1) = 1 − x 3
Ta có (I) ⇔
x − 1 4 = y
)
(
2
Từ phương trình : x − 1 − (x − 1) = 1 − x 3 ⇔ x − 1 = −x 3 + x 2 − 2x + 2 (1)
Ta thấy hàm số f (x ) = x − 1 là hàm đồng biến trên
1; +∞)
16
Trường em
http://truongem.com
Xét hàm số g(x ) = −x 3 + x 2 − 2x + 2 . Miền xác định: D = 1; +∞)
Đạo hàm g / (x ) = −3x 2 + 2x − 2 < 0 ∀x ∈ D . Suy ra hàm số nghich biến trên D.
Từ (1) ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình và đó là nghiệm duy nhất.
Vậy hệ có nghiệm (1; 0) .
2
3 + x + 2 x = 3 + y
Bài 35 Giải hệ phương trình :
(II). Điều kiện:
3 + y 2 + 2 y = 3 + x
2
3+x +2 x = 3+ y
Ta có (II) ⇔
3 + x = 3 + y 2 + 2 y
Cộng vế theo vế ta có:
x ≥ 0
y ≥ 0
(2)
3 + x 2 + 3 x + 3 = 3 + y2 + 3 y + 3
Xét hàm số f (t ) = 3 + t 2 + 3 t + 3 . Miền xác định: D = 1; +∞)
Đạo hàm: f / (t ) =
t
2
3 +t
Từ (*) ta có f (x ) = f (y ) ⇔ x = y
+
3
+ 1 > 0 ∀x ∈ D . Suy ra hàm số đồng biến trên D.
2 t
Lúc đó: 3 + x 2 + x = 3 (3)
+ VT (3) là hàm số hàm đồng biến trên D.
+ VP (3) là hàm hằng trên D.
Ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình (3) (thỏa điều kiện)
Suy ra phương trình có nghiệm x = 1 là nghiệm duy nhất.
Vậy hệ có nghiệm (1;1)
3
2y + 2.x 1 − x = 3 1 − x − y (1)
Bài 36 Giải hệ phương trình :
2
y + 1 = 2x + 2xy 1 + x (2)
ĐK : 1 ≥ x ≥ −1
Từ (1) ta có : 2.y 3 + 2(x − 1) 1 − x + 2 1 − x = 3 1 − x − y (thêm vào vế trái 2 1 − x )
⇔ 2y 3 + y = 2( 1 − x )3 + 1 − x
Xét hàm số f(t) = 2.t 3 +t có f’(t ) = 6t2 + 1 >0 suy ra hàm số đồng biến
Suy ra y = 1 − x thế vào (2), ta có 1 − x + 1 = 2x 2 + 2x 1 − x 2 (3)
Vì 1 ≥ x ≥ −1 nên đặt x = cos(t) với t ⊂ [0; π ] sau đó thế vào phương trình (3) là ra kết quả.
2
x + y 2 = 1
5
Bài 37 Giải hệ phương trình:
2
57
= −y(3x + 1)
4x + 3x −
25
(1)
(2)
Giải
ĐK: x , y ∈ R
Nhân 2 vế phương trình (1) với 25 và nhân 2 vế phương trình (2) với 50 ta có:
17
Trường em
http://truongem.com
25x 2 + 25y 2 = 5
Hệ phương trình ⇔
2
200x + 150x − 114 = −50y(3x + 1)
Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ ta có:
225x 2 + 25y 2 + 25 + 150xy + 150x + 50y = 144
15x + 5y + 5 = 12
2
⇔ (15x + 5y + 5) = 144 ⇔
⇔
15x + 5y + 5 = −12
15x + 5y = 7
15x + 5y = −17
15x + 5y = 7
Với 15x + 5y = 7 kết hợp với (1) ta có hệ phương trình: 2
x + y 2 = 1
5
x = 11
5y = 7 − 15x
25
y = 2
5y = 7 − 15x
5y = 7 − 15x
11
25
⇔
⇔
⇔ x = 25
⇔
2
25x 2 + 25y 2 = 5
25x 2 + (7 − 15x ) = 5
x = 2
2
x
=
5
5
1
y =
5
15x + 5y = −17
Với 15x + 5y = −17 kết hợp với (1) ta có hệ phương trình: 2
x + y 2 = 1
5
5y = −17 − 15x
5y = −17 − 15x
5y = 7 − 15x ⇒ hệ vô nghiệm.
⇔
⇔
⇔
2
2
2
2
25x + 25y = 5
25x + (−17 − 15x ) = 5
x ∈ φ
x = 2 x = 11
5 ;
25 .
Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm là:
1
2
y =
y =
5
25
x + y − 3x + 2y = −1 (1)
Bài 38 Giải hệ phương trình:
x + y + x − y = 0
(2)
Giải
x + y ≥ 0
Điều kiện :
3x + 2y ≥ 0
Hệ Phương trình tương đương
18
Trường em
http://truongem.com
x + y + 1 = 3x + 2y x + y + 2 x + y + 1 = 3x + 2y
⇔
x + y = y − x
x + y = y − x
2 x + y = 2x − y
2 (y − x ) = 2x − y
⇔
⇔
x + y = y − x
x + y = y − x
y = 4x − 1
⇔
x + y = y − x
y = 4x − 1
⇔
5x − 1 = 3x − 1
y = 4x − 1
y = 4x − 1
1
1
⇔ x ≥
⇔ x ≥
3
3
5x − 1 = 9x 2 − 6x + 1 9x 2 − 11x + 2 = 0
y = 4x − 1
1
⇔ x ≥
3
x = 1
2
x =
9
x = 1
⇔
y = 3
x = 1
Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm
y = 3
2
2
2
2
2 2x − y = y − 2x + 3 (1)
Bài 39 Giải hệ phương trình:
x 3 − 2y 3 = y − 2x (2)
Giải
ĐK: 2x 2 − y 2 ≥ 0
Đặt : t = 2x 2 − y 2 ( t ≥ 0)
t = 1
+ 2t − 3 = 0 ⇔
t = −3
⇔ t = 1 ⇔ 2x 2 − y 2 = 1
(1) ⇔ t
2
⇔ 2x 2 − y 2 = 1
19
Trường em
http://truongem.com
2x 2 − y 2 = 1
Khi đó hệ phương trình tương đương 3
3
x − 2y = y − 2x
2x 2 − y 2 = 1
2x 2 − y 2 = 1
⇔ 3
⇔ 3
3
2
2
5x − 2x 2y − 2xy 2 − y 3 = 0 ( 3 )
x − 2y = (y − 2x ) 2x − y
Th 1: y = 0
(
)
2x 2 = 1
( vô lí )
Hệ phương trình tương đương 3
5x = 0
Vậy cặp ( x , 0) không là nghiệm của hệ
TH2 : Chia hai vế ( 3 ) cho y 3 ta có hệ phương trình tương đương
2x 2 − y 2 = 1
2x 2 − y 2 = 1
2
⇔
⇔ x 3
x = 1
5 − 2 x − 2 x − 1 = 0
y
y
y
y
x = y = 1
⇔
x = y = −1
{
}
Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm S = (1;1), (−1; −1)
2
1
9
x + y 2 + 6xy −
+ =0
2
(x − y ) 8
Bài 40 Giải hệ phương trình:
2y − 1 + 5 = 0
x −y 4
Giải
Điều kiện: x − y ≠ 0
Hệ phương trình biến đổi tương đương
1
9
2 (x + y )2 − (x − y )2 −
+ =0
2
(x − y ) 8
(x + y ) − (x − y ) − 1 + 5 = 0
x −y 4
a = x + y
Đặt
1
b = x − y +
x −y
2
2a − b 2 + 2 + 9 = 0
8
Ta có hệ tương đương
5
a − b + = 0
4
20
- Xem thêm -
.PDF 
50 
596 
70 
