Tài liệu Tuyển chọn 41 đề thi học sinh dỏi toán lớp 6 mới kèm đáp án

Phßng GD&§T HUYỆN NGA SƠN CỤM CHUYÊN MÔN THANH – THUỶ - BẠCH – TÂN --------------------(Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 MÔN TOÁN 6 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 24 tháng 11 năm 2016 Bài 1: (3điểm) Tính bằng cách hợp lý nhất: a. 2.31.12 + 4.6.42 + 8.27.3 b. (68.8686 – 6868.86).(1+2+3+ …+ 2016) Bài 2: (3điểm) So sánh 11 8 a. 27 và 81 b. 6315 và 3418 Bài 3: (4điểm) a. Cho A = 21 + 22 + 23 + … + 230. Chứng minh rằng: A chia hết cho 21. b. Tìm các chữ số a, b sao cho số a 65b 45 Bài 4: (3 điểm) Khối 6 của một trường có chưa tới 400 học sinh, khi xếp hàng 10; 12; 15 đều dư 3 nhưng nếu xếp hàng 11 thì không dư. Tính số học sinh khối 6. Bài 5: (6 điểm) a. Cho đoạn thẳng AB = 8cm. Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC = 4cm. Tính độ dài đoạn thẳng AC. b. Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Tính số giao điểm của chúng. Bài 6: (1điểm) Tìm các số tự nhiên n có hai chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương. -------------------Hết------------------ ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung Câu Điểm 1a 2.31.12 + 4.6.42 + 8.27.3 (1,5đ) =(2.12).31 + (4.6).42 + (8.3).27 = 24.31 + 24.42 + 24.27 = 24.(31 + 42 + 27) =24. 100 = 2400 0,5 0,25 0,25 0.25 0.25 1b (68.8686 – 6868.86).(1+2+3+ …+ 2016) (1,5đ) = (68.86.111 – 68.111.86).(1+2+3+ …+ 2016) = 0. (1+2+3+ …+ 2016) = 0 1 0.5 2a Ta có 2711 = (33)11 = 333 (1,5đ) 818 = (34)8 = 332 Vì 333>332 nên 2711 > 818 Vậy 2711 > 818 0.25 0.25 0.75 0.25 2b Ta có 6315 < 6415 =(26)15 = 290 (1,5đ) 3418 > 3218 = (25)18 =290 => 6315 < 3418 Vậy 6315 < 3418 0.5 0.5 0.25 0.25 3a (2đ) 3b (2đ) A = 21 + 22 + 23 + … + 230 Ta có: A = 21 + 22 + 23+ … + 230 = (21 + 22) + (23 + 24) + … (229 + 230) = 2.(1+2) + 23.(1+2) + … + 229.(1+2) = 3.( 2 + 23 +…+ 229) suy ra A 3 (1) Ta có: A = 21 + 22 + 23+ … + 230 = (21 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + … (228 +229 + 230) = 2.(1+2+22) + 24.(1+2+22) + … + 228.(1+2+22) = 7 (2 + 24 + … + 228) suy ra A 7 (2) Mà (3,7) = 1. Kết hợp (1) và (2) => A  3.7 hay A  21 Ta có 45 = 5.9 và (5,9)=1 0,75 0,5 0,75 Vì a 65b 5  b= 0 hoặc b = 5 0,25 0,25 0,25 * TH1: b = 0  a 650 9  a+11 9 Mà 1  a  9  12  a + 11  20  a + 11 = 18  a = 7 0,5 * TH2: b = 5  a 655 9  a+16 9 Mà 1  a  9  17  a + 11  25  a + 16 = 18  a = 2 Vậy a=7 và b= 0; a= 2 và b = 5. 0,5 0,25  a 65b 45  a 65b 5 và a 65b 9 4 (3đ) Gọi số học sinh khối 6 là a học sinh ( 3 BC(10;12;15)= B(60) = {0;60;120;180;240;300;360;420;…} Vì 3< a <400 nên 0< a-3 < 397 => a-3  {60;120;180;240;300;360} a-3 60 120 180 240 300 360 a 63 123 183 243 303 363 Vì a 11 => a=363 Vậy khối 6 có 363 học sinh. 5a (4đ) 5b (2đ) 6 (1đ) Xét hai trường hợp : *TH 1: C thuộc tia đối của tia BA. ● ● ● A B C Hai tia BA, BC là hai tia đối nhau  B nằm giữa A và C  AC = AB + BC = 12 cm. Vậy AC = 12 cm. *TH 2 : C thuộc tia BA. ● ● ● A C B C nằm giữa A và B (Vì BA > BC)  AC + BC = AB  AC = AB - BC = 4 cm. Vậy AC = 4 cm. 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0.25 2 2 - Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại nên tạo ra 100 giao điểm. - Có 101 đường thẳng nên có : 101.100 = 10100 giao điểm. - Do mỗi giao điểm được tính hai lần nên số giao điểm là : 10100 : 2 = 5050 giao điểm. Vậy số giao điểm là: 5050 giao điểm. 0.75 Ta có 10  n  99 nên 21  2n+1  199. Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được: 0.25 2n + 1 25 49 81 121 169 n 12 24 40 60 84 3n +1 37 73 121 181 253 Chỉ có 121 là số chính phương. Vậy n = 40. 0.75 0.25 0.25 0.5 0.25 THCS NGUYỄN HỒNG LỄ Họ tên học sinh: Số báo danh: BÀI THI KSCL HSG LẦN I Lớp 6, năm học 2016 – 2017 Môn thi: Toán ( Thời gian: 120 phút) .................................................. Giám thị: Số phách: ......................................................................................................................................... Điểm: Giám khảo: Số phách: ĐỀ BÀI: Bài 1: (6 điểm) Thực hiện phép tính (tính nhanh nếu có thể) a) 3  65  15: 3 :12  25  10 b) 127.53  47.127  53.102 c) 2015. 2015  1. 2015  2. 2015  3.... 2015  k  với k  N và tích trên có đúng 2016 thừa số. Bài 2: (4 điểm) Chứng minh rằng: a) 10n  72n  1 chia hết cho 81 với n  N b) 3  32  33  ...  3100 chia hết cho 120 Bài 3: (5 điểm) a) Chứng minh : 111111222222 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng, khi đem số đó chia cho 13 ta được số dư là 7 còn đem chia cho 19 ta được số dư là 10. Bài 4: (3 điểm) Cho 100 đường thẳng trong đó có đúng 20 đường thẳng song song với nhau, các đường thẳng còn lại đôi một cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của 100 đường thẳng nói trên. Bài 5: (2 điểm) So sánh: 2100 với 1031 . Hết Câu í I a = Nội dung 60 :12  25  10 30  10  40 b c Câu a 2 b =127(53+47) -125.100 =127.100-125.100 =100( 127-125) =200 Vì tích trên có đúng 2016 số nên thừa số cuối cung là 2015-2015=0 Nên tích trên bằng 0 Ta có 10n  72n 1  999...9  72n ( có n số 9) = 9( 111…1 +8n) có đúng n số 1 Vì 111…1 = số chia hết cho 9 +n (có n số 1) Nên 111…1 +8n = số chia hết cho 9 + 9n 9 Nên 9(111…1 + 8n ) (9.9) Hay 10n +72n -1 chia hết cho 9 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ Ta có 3  32  33  ...  3100 == (3  32  33  34 )  (35  36  37  33 )  ...  (397  398  399  3100 ) (3  32  33  34 )  34 (3  32  33  34 )  ...  396 (3  32  33  34 )  120(1  34  38  312  ...  396 ) 120 Vậy : 3  3  3  ...  3 2 Câu a 3 Điểm 1đ 1đ 0,5 đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 3 100 chia hết cho 120 Vì 111111222222 = 111111000000 + 2. 111111 =111111 ( 1000000 +2) 111111 .1000002 = 111111 .3. 333334 =333333.333334 Là tích của hai số tự nhiên liên tiếp 0,5 0.5 0,5 0,5 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b Câu 4 Câu 5 Gọi a là số cần tìm . Vì a chia 19 dư 10 nên a =19k +10 ( k  N ) Mà a chia 13 dư 7 nên a-7 13 Vậy 19k +3 13 suy ra 38 k +6 13 mà 39k 13 Suy ra 39k –(38k +6) =k-6 13 Đặt k-6 =13 q ta có k=13q +6 (q N ) Vậy A= 247q +124 mà a nhỏ nhất suy ra a= 124 Nếu cả 100 đường thẳng không có hai đường nào song song thì Chúng đôi một cắt nhau không có 3 đường nào đồng qui thì số giao điểm là : 100.99 :2 = 4950 ( giao điểm) 20 Đường thẳng không có 3 đường nào đồng qui và đôi một cắt nhau tạo thành 20.19 :2=190 Số giao điểm cần tìm là :4950-190 =4860 giao điểm Ta có 1031 =(2.5)31=231.531 =231 .53 .( 54 )7 =231 .125 .6257 > 231.64 .5127 =231.26.263 =2100 1đ 1đ 1đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Vậy : 531 > 2100 0,25đ PHÒNG GD&ĐT TP BẠC LIÊU Tr-êng THCS Nguyễn Thị Minh Khai ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học: 2015-2016 Môn thi: Toán lớp 6 Thời gian làm bài: 90 phút C©u 1: (3 ®iÓm) TÝnh a) 4. 52 – 3. (24 – 9)  1 b) 7  6.    2 2 25.7  25 c) 5 2 2 .5  25.3 C©u 2: (3 ®iÓm) T×m x biÕt a) (x - 15) : 5 + 22 = 24 b) x  7  15 -(- 4) 1 1 5 5  c)  x   :   9  2 3 7 7 C©u 3: (5 ®iÓm) 1) Cho: A = 1 – 2 + 3 – 4 + …+ 99 – 100. a) TÝnh A b) A cã chia hÕt cho 2, cho 3, cho 5 kh«ng ? c) A cã bao nhiªu -íc tù nhiªn? Bao nhiªu -íc nguyªn? 2) Thay a, b b»ng c¸c ch÷ sè thÝch hîp sao cho 24 a 68b  45 3) Cho a lµ mét sè nguyªn cã d¹ng a = 3b + 7 (b  Z). Hái a cã thÓ nhËn nh÷ng gi¸ trÞ nµo trong c¸c gi¸ trÞ sau ? T¹i sao ? a = 11 ; a = 2002 ; a = 2003 ; a = 11570 ; a = 22789 ; a = 29563 ; a = 299537. C©u 4: (3 ®iÓm) a) T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt biÕt r»ng sè ®ã chia cho 9 d- 5, chia cho 7 d- 4 vµ chia cho 5 th× d- 3 b) Cho A = 1 + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + …+ 201271 + 201272 vµ B = 201273 - 1. So s¸nh A vµ B. C©u 5: (6 ®iÓm) Cho góc bẹt xOy, trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2 cm; trên tia Oy lấy hai điểm M và B sao cho OM = 1 cm; OB = 4 cm. a. Chứng tỏ: Điểm M nằm giữa hai điểm O và B; Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. b. Từ O kẻ hai tia Ot và Oz sao cho tOy = 1300, zOy = 300. Tính số đo tOz. -----------------------------HÕt-----------------------------Hä tªn häc sinh: ……………………….……………………. SBD PHÒNG GD&ĐT BÁ THƯỚC Tr-êng THCS ThÞ trÊn Cµnh Nµng HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học: 2011-2012 C©u §¸p ¸n a) 55 C©u 1: (3 ®iÓm) C©u 2: (3 ®iÓm) b) 17 2 c) 2 (7  1) 8 4   5 2 ( 25  3) 22 11 §iÓm 1 1 5 a) x= 25 b) x = 12 hoÆc x = - 26 c) x = 7 2 1 1 1 1 1) a) A = - 50 b) A  2 cho 5 A kh«ng chia hÕt cho 3 c) A cã 6 -íc tù nhiªn vµ cã 12 -íc nguyªn 1 0,5 0,5 2) Ta cã 45 = 9.5 mµ (5; 9) = 1 Do 24 a 68b  45 suy ra 24a68b 5 C©u 3: (5 ®iÓm) Do 24a68b 5 Nªn b = 0 hoÆc 5 TH1: b = 0 ta cã sè 24a680 §Ó 24a680 9 th× (2 + 4 + a + 6 + 8 + 0)  9 Hay a + 20  9 Suy ra a = 7 ta cã sè 247680 TH2: b = 5 ta cã sè 24a685 §Ó 24a685 9 th× (2 + 4 + a + 6 + 8 + 5)  9 Hay a + 25  9 Suy ra a = 2 ta cã sè 242685 VËy ®Ó 24 a 68b  45 th× ta cã thÓ thay a = 7; b = 0 hoÆc a = 2; b =5 0,5 0,5 0,5 C©u 4: (3 ®iÓm) 3) Sè nguyªn cã d¹ng a = 3b + 7 (b  Z) hay a lµ sè chia cho 3 d- 1 VËy a cã thÓ nhËn nh÷ng gi¸ trÞ nµo trong c¸c gi¸ trÞ sau a = 2002; a = 22789 ; a = 29563 a) T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt biÕt r»ng sè ®ã chia cho 9 d- 5, chia cho 7 d- 4 vµ chia cho 5 th× d- 3 Gäi sè cÇn t×m lµ a Ta cã a chia cho 9 d- 5  a = 9k + 5 (k  N)  2a = 9k1 + 1  (2a- 1)  9 Ta cã a chia cho 7 d- 4  a = 7m + 4 (m  N)  2a = 7m1 + 1  (2a- 1)  7 Ta cã a chia cho 5 d- 3  a = 5t + 3 (t  N)  2a = 5t1 + 1  (2a- 1)  5  (2a- 1)  9; 7 vµ 5 Mµ (9;7;5;) = 1 vµ a lµ sè tù nhiªn nhá nhÊt  2a – 1 = BCNN(9 ;7 ; 5) = 315 VËy a = 158 0,5 1 0,5 0,5 0,5 0,5 b) Cho A = 1 + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + …+ 201271 + 201272 vµ B = 201273 - 1. So s¸nh A vµ B. Ta cã 2012A = 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + …+ 201271 + 201273 LÊy 2012A – A = 201273 – 1 VËy A = (201273 – 1) : 2011 < B = 201273 - 1. 0,5 VÏ h×nh ®óng 0,5 0,5 t z C©u 5: (6 ®iÓm) x A O M y B a) z' Trªn tia Oy ta cã OM = 1 cm < OB = 4 cm VËy M lµ ®iÓm n»m gi÷a O vµ B Do M n»m gi÷a O vµ B ta cã OM + MB = OB MB = OB – OM = 4 – 1 = 3 Do A thuéc tia Ox M thuéc tia Oy nªn O n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ M suy ra OM + OA = MA MA = 2 + 1 = 3 cm MÆt kh¸c do A, B n»m trªn hai tia ®èi nhau, M l¹i n»m gi÷a O vµ B nªn suy ra M n»m gi÷a A vµ B VËy M lµ trung ®iÓm cña AB b) TH1: Tia Ot vµ tia Oz trªn cïng mét n÷a mÆt ph¼ng Do yOt = 1030 , yOz = 300 suy ra tia Oz n»m gi÷a hai tia Ot vµ Oy. Ta cã tOz = tOy – yOz = 1300 – 300 = 1000 TH2: Tia Ot vµ tia Oz kh«ng n»m trªn cïng mét n÷a mÆt ph¼ng bê lµ xy Suy ra tia Oy n»m gi÷a hai tia Ot vµ Oz Ta cã tOz = tOy – yOz = 1300 + 300 = 1600 (Häc sinh kh«ng vÏ h×nh, hoÆc vÏ h×nh sai kh«ng tÝnh ®iÓm) Ghi chó: - ThÝ sinh tr×nh bµy ®óng néi dung bµi lµm cho 20 ®iÓm. - NÕu tr×nh bµy theo c¸ch kh¸c mµ ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a. - §iÓm cña toµn bµi lµ tæng ®iÓm thµnh phÇn vµ ®-îc lµm trßn sè ®Õn 0,5®. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 0,5 0,5 1 Phòng GD & ĐT Tam Đảo ĐỀ KHẢO SÁT HSG TOÁN 6 Trường THCS Bồ Lý Lần: 2 Năm học: 2015 - 2016 Câu 1. Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = (-1).(-1)2.(-1)3.(-1)4… (-1)2010.(-1)2011 131313 131313 131313 + + ) 909090 565656 727272 5d 5d 2a 3b 2a 4c 4c 3b c) C = + + + biết = = = . 5d 5d 2a 2a 3b 4c 3b 4c b) B = 70.( Câu 2. Tìm x là các số tự nhiên, biết: a) 8 x 1 = x 1 2 1 3 b) x : ( 9 - ) = 2 2 2 2  9 11 8 8 1,6   9 11 0,4  Câu 3. a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho 34x5y chia hết cho 36 . b) Không quy đồng mẫu số hãy so sánh A 9  19 9  19  2011 ; B  2011  2010 2010 10 10 10 10 Câu 4. Cho A = n 1 n4 a) Tìm n nguyên để A là một phân số. b) Tìm n nguyên để A là một số nguyên. Câu 5. Cho tam giác ABC có ABC = 550, trên cạnh AC lấy điểm D (D không trùng với A và C). a) Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm. b) Tính số đo của DBC, biết ABD = 300. c) Từ B dựng tia Bx sao cho DBx = 900. Tính số đo ABx. d) Trên cạnh AB lấy điểm E (E không trùng với A và B). Chứng minh rằng 2 đoạn thẳng BD và CE cắt nhau. ………….Hết…………. ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM CÂU NỘI DUNG Câu 1 a) (1,5 đ) (4,5 đ) A = -1.1.(-1).1…(-1).1(-1) = -1 b) (1,5 đ) 13 1 1 1 13 13 + + ) = 70.13.( + + ) 9.10 8.9 7 .8 72 56 90 1 1 = 70.13.( - ) = 39 7 10 B = 70.( ĐIỂM 1,5 1,0 0,5 c) (1,5 đ) 5d 2a 4c 3b = = = =k 5d 2a 3b 4c 2a 3b 4c 5d Ta có . . . = k4 => k4 = 1  k =  1. 3b 4c 5d 2 a 5d 2a 3b 4c + + + =  4 C= 5d 2a 3b 4c Đặt Câu 2 a) (2,0 đ) (3,5đ) x  1 = 8  (x + 1)2 = 16 = (  4)2 2 x 1 +) x + 1 = 4 => x = 3 +) x + 1 = - 4 => x = -5 (loại) Vậy x = 3 b) (1,5 đ) 2 2 2 2 0,4    3 1 9 11  x  1 9 11  x :( 19  3 ) = x : (9 - ) = 8 8 2 2 8 4 2 2 2 2  1,6   4 0,4    9 11 9 11   0,5 0,5 0,5 0,75 0,5 0,5 0,25 0,4  => x = 2 Câu 3 a) (1,5 đ) (3,0 đ) Ta có 36 = 9.4. Mà ƯC(4,9) =1 Vậy để 34x5y chia hết cho 36 thì 34x5y chia hết cho 4 và 9 34x5y chia hết cho 9 khi 3 + 4 + x + 5 + y  9 => 12 + x + y 9 (1) 34x5y chia hết cho 4 khi 5y  4 => y = 2 hoặc y = 6 Với y = 2 thay vào (1) => 14 + x  9 => x = 4 Với y = 6 thay vào (1) => 18 + x  9 => x = 0 hoặc x = 9 Vậy các cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) và (9,6) b) (1,5 đ) Ta có A  9 19 9 10 9  2011  2010  2011  2011 2010 10 10 10 10 10 1,0 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 NỘI DUNG CÂU ĐIỂM 9 19 9 10 9  2010  2011  2010  2010 2011 10 10 10 10 10 10 10 Ta thấy 2011  2010 => Vậy A > B 10 10 B 0,5 0,5 Câu 4 a) (1,0 đ) (3,0 đ) A = n  1 là phân số khi n + 4  0 => n  - 4 1,0 n4 b) (2,0 đ) A= n 1 n45 5  1 = n4 n4 n4 0,5 Với n nguyên, A nhận giá trị nguyên  5  n + 4 hay n + 4  Ư(5) Lập luận tìm ra được n = -9, -5, -3, 1 0,5 1,0 A Câu 5 (6,0 đ) E D B C a) (1,5 đ) D nằm giữa A và C => AC = AD + CD = 4 + 3 = 7 cm b) (1,5 đ) Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nên ABC = ABD + DBC => DBC = ABC –ABD = 550 – 300 = 250 c) (1,5 đ) Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bx và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB Tính được ABx = 900 – ABD Mặt khác tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nên 00 900- 550 < ABx < 900 – 00  350 < ABx < 900 - Trường hợp 2: Tia Bx và BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB Tính được ABx = 900 + ABD Lập luận tương trường hợp 1 chỉ ra được 900 < ABx < 1450 Vậy 350 < ABx < 1450, ABx  900 1,5 1,0 0,5 0,75 0,75 CÂU NỘI DUNG d) (1,5 đ) - Xét đường thẳng BD. Do BD cắt AC nên đường thẳng BD chia mặt phẳng làm 2 nửa: 1 nửa MP có bờ BD chứa điểm C và nửa MP bờ BD chứa điểm A => tia BA thuộc nửa MP chứa điểm A. E thuộc đoạn AB => E thuộc nửa MP bờ BD chứa điểm A => E và C ở 2 nửa MP bờ BD => đường thẳng BD cắt đoạn EC - Xét đường thẳng CE. Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD. Vậy 2 đoạn thẳng EC và BD cắt nhau. ………………………………….HẾT………………………… ĐIỂM 0,75 0,5 0,25 ®Ò thi ¤-lim -pic huyÖn M«n To¸n Líp 6 N¨m häc 2005-2006 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 9. 5 20. 27 9  3. 915. 25 9 7. 3 29.125 6  3. 39. 1519 Bµi 2. Thay dÊu “ * ” b»ng c¸c ch÷ sè thÝch hîp ®Ó 359** chia cho 5; 6; vµ 7 ®Òu cã sè d- lµ 1 Bµi 3. Mét §oµn kh¸ch 300 ng-êi ®i du lÞch tham quan th¾ng c¶nh VÞnh H¹ Long. Trong ®ã cã ba lo¹i thuyÒn ®Ó chë: Lo¹i thø nhÊt 1 ng-êi l¸i chë ®-îc 30 kh¸ch, lo¹i thø hai 2 ng-êi l¸i chë ®-îc 30 kh¸ch, lo¹i thø ba 2 ng-êi l¸i chë ®-îc 24 kh¸ch. TÝnh to¸n sao cho sè thuyÒn, sè ng-êi l¸i thuyÒn ®Ó chë hÕt sè kh¸ch kh«ng thõa, kh«ng thiÕu ng-êi trªn thuyÒn. §oµn ®· dïng 11 chiÕc thuyÒn vµ 19 ng-êi l¸i. TÝnh sè thuyÒn mçi lo¹i ? Bµi 4. Sè 250 viÕt trong hÖ thËp ph©n cã bao nhiªu ch÷ sè ? Bµi 5. T×m ¦CLN cña 77...7, (51 ch÷ sã 7) vµ 777777. H-íng dÉn chÊm «lim pic M«n to¸n líp 6 n¨m häc 2005-2006 Bµi 1. (4 ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 3 2 . 5 20 . 3 27  3 . 330 . 518 9. 5 20. 27 9  3. 915. 25 9  = 7 . 3 29 . 518  310 . 319 . 519 7. 3 29.125 6  3. 39. 1519 3 29 . 5 20  331 . 518 3 29 . 518 (5 2  3 2 )   29 18  8 (Mçi b-íc 1 ®) 7 . 3 29 . 518  3 29 . 519 3 . 5 (7  5) Bµi 2. (5 ®iÓm) Thay dÊu “ * ” b»ng c¸c ch÷ sè thÝch hîp ®Ó 359** chia cho 5; 6; vµ 7 ®Òu cã sè d- lµ 1 Theo bµi ra suy ra: (359** - 1) chia hÕt cho BCNN (5; 6; 7); BCNN (5; 6; 7) = 210 (1 ®) Hay 359ab = 35700 + 200 + ab (a; b  N; 0  a; b  9) (1 ®) => 359ab - 1 = 210 . 170 + 199 + ab (1 ®) => 199 + ab chia hÕt cho 210 => ab = k . 210 - 199 (k  N ) (1,5 ®) <=> k = 1 => ab = 11. VËy sè cÇn t×m lµ 35911 (1,5 ®) Bµi 3. . (4 ®iÓm) Mét §oµn kh¸ch 300 ng-êi ®i du lÞch tham quan th¾ng c¶nh VÞnh H¹ Long. Trong ®ã cã ba lo¹i thuyÒn ®Ó chë: Lo¹i thø nhÊt 1 ng-êi l¸i chë ®-îc 30 kh¸ch, lo¹i thø hai 2 ng-êi l¸i chë ®-îc 30 kh¸ch, lo¹i thø ba 2 ng-êi l¸i chë ®-îc 24 kh¸ch. TÝnh to¸n sao cho sè thuyÒn, sè ng-êi l¸i thuyÒn ®Ó chë hÕt sè kh¸ch kh«ng thõa, kh«ng thiÕu ng-êi trªn thuyÒn. §oµn ®· dïng 11 chiÕc thuyÒn vµ 19 ng-êi l¸i. TÝnh sè thuyÒn mçi lo¹i ? Gi¶ sö mçi thuyÒn ®Òu chë 30 ng-êi th× 11 thuyÒn chë ®-îc: 30 . 11 = 330 (ng-êi). (1 ®) Nªn sè thuyÒn 2 ng-êi l¸i chë 24 ng-êi / thuyÒn lµ (330 - 300): (30 - 24) = 5 (thuyÒn) (1 ®) Gi¶ sö mçi thuyÒn ®Òu cã 2 ng-êi l¸I, th× sè ng-êi l¸I thuyÒn lµ: 11 . 2 = 22 (ng-êi). (1 ®) Nªn sè thuyÒn 1 ng-êi l¸I chë 30 ng-êi lµ: 22 -19 = 3 (thuyÒn) Suy ra sè thuyÒn 2 ng-êi l¸I chë 30 ng-êi / thuyÒn lµ: 11 - (3 + 5) = 3 (thuyÒn) (1 ®) Bµi 4. (4 ®iÓm) Sè 250 viÕt trong hÖ thËp ph©n cã bao nhiªu ch÷ sè ? NhËn xÐt: Sè a cã n ch÷ sè khi vµ chØ khi: 10 n 1  a  10 n (1 ®) Ta thÊy: 2 50  216 . 2 34  216 . (2 9 ) 3 . 2 7  216 . 512 3 . 128 (0,5 ®) (1) 1016  216 . 516  216 . (5 4 ) 4  216 . 625 4 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: 2  10 MÆt kh¸c: 2 50  215 . 2 35  215 . (2 7 ) 5  215 . 128 5 50 10 15  2 .5 15 15 16  2 . (5 )  2 . 125 15 3 5 15 5 (3) (0.5 ®) (0,5 ®) (4) Tõ (3) vµ (4) suy ra: (0.5 ®) 10  2 15 50 16 50 VËy ta cã: 10  2  10 ; Nªn sè 2 cã 16 ch÷ sè viÕt trong hÖ thËp ph©n (1®) 15 50 Bµi 5. (3 ®iÓm) T×m ¦CLN cña 77...7, (51 ch÷ sã 7) vµ 777777. 45 39 3 ... Ta cã: 77  7 = 777777.10 +777777. 10 + . . .+ 777777 .10 +777 (0.5 ®) 51 chu sô 7 = 777777(1045 + 1039 + . . . + 103) + 777 ... Suy ra: 77  7 chia cho 777 777 d- 777 (0.5 ®) (0.5 ®) 51 chu sô 7 45 39 3 ... §Æt 77  7 = A ; 777 777 = B; 10 + 10 + . . . + 10 = C (0.5 ®) 51 chu sô 7 Ta cã A = B.C + 777 hay A - B. C = 777. Tõ ®ã mäi -íc chung cña A vµ B ®Òu lµ -íc cña 777. MÆt kh¸c 777 lµ -íc sè cña A vµ B (0.5 ®) 48 45 ( A = 777.(10 +10 + . . . + 1); B = 777 . 1001) VËy 777 chÝnh lµ ¦CLN cña A vµ B. (0.5 ®) ®Ò thi ¤-lim -pic huyÖn M«n To¸n Líp 6 N¨m häc 2006-2007 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1. T×m ch÷ sè x ®Ó: a) 137 + 3x chia hÕt cho 13. b) 137 x137 x chia hÕt cho 13. Bµi 2. a) So s¸nh ph©n sè: b) So s¸nh tæng S = 15 25 Víi 301 499 1 2 3 n 2007  2  3  ...  n  ...  2007 víi 2. ( n  N*) 2 2 2 2 2 Bµi 3. Víi gi¸ trÞ nµo cña sè tù nhiªn a th×: a) 8a  19 cã gi¸ trÞ nguyªn 4a  1 b) 5a  17 cã gi¸ trÞ lín nhÊt. 4a  23 Bµi 4. T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè 62006, 72007 Bµi 5. Trong mét cuéc thi cã 50 c©u hái. Mçi c©u tr¶ lêi ®óng ®-îc 20 ®iÓm, cßn tr¶ lêi sai bÞ trõ 15 ®iÓm. Mét häc sinh ®-îc tÊt c¶ 650 ®iÓm. Hái b¹n ®ã tr¶ lêi ®-îc mÊy c©u ®óng ? H-íng dÉn chÊm to¸n 6 Bµi 1. T×m ch÷ sè x ®Ó: a) 137 + 3x chia hÕt cho 13. A = 137 + 3x = 137 + 30 + x = 12. 13 + (11 + x) => A  13 Khi 11 + x  13 V× x lµ ch÷ sè tõ 0 - > 9 => x = 2 b) 137 x137 x chia hÕt cho 13. B  137 x137 x  13.10 6  7 x.10 4  13.10 2  7 x  13.(10 6  10 2 )  7 x.10001 10001 kh«ng chia hÕt cho 13 => B  13 Khi 7 x  13 => x = 8 15 25 Víi 301 499 15 15 25 15 1 25 25     . VËy < 301 300 20 500 499 301 499 1 2 3 n 2007 b) So s¸nh tæng S =  2  3  ...  n  ...  2007 víi 2. ( n  N*) 2 2 2 2 2 n n 1 n  2 Víi  n  2 ta cã: n  n 1  n . Tõ ®ã ta cã: 2 2 2 1 3 4 4 5 2008 2009 2009 S =  (  2 )  ( 2  3 )  .....  ( 2006  2007 )  2  2007  2 . VËy S < 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Bµi 2. a) So s¸nh ph©n sè: Bµi 3. Víi gi¸ trÞ nµo cña sè tù nhiªn a th×: 8a  19 cã gi¸ trÞ nguyªn 4a  1 8a  19 8a  2  17 17 N   2 4a  1 4a  1 4a  1 a) §Ó N nguyªn th× 4a + 1 lµ -íc sè cña 17 => a = 0, a = 4 5a  17 cã gi¸ trÞ lín nhÊt. 4a  23 5a  17 20a  68 5(4 a  23)  47 5 47     4a  23 4(4a  23) 4(4 a  23) 4 4(4 a  23) b) Nh- vËy bµi to¸n ®-a vÒ t×m sè tù nhiªn a ®Ó 4a – 23 lµ sè tù nhiªn nhá nhÊt. VËy a = 6 => 5a  17 = 13 4a  23 Bµi 4. T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè 62006, 72007 Ta cã: 62 = 36 ≡ 6 (mod10), vËy 6n ≡ 6 (mod10)  sè nguyªn d-¬ng n => 62006 ≡ 6 (mod10) => ch÷ sè tËn cïng cña 62006lµ 6 74 = 2401 ≡ 1 (mod10), mµ 72007 = 74.501.73 (74)501 ≡ 1 (mod10) => ch÷ sè tËn cïng cña 72004 lµ 1, Mµ ch÷ sè tËn cïng cña 73 lµ 3 => ch÷ sè tËn cïng cña 72007 lµ 3 Bµi 5. NÕu b¹n ®ã tr¶ lêi ®-îc 50 c©u th× tæng sè ®iÓm lµ 50 x 20 = 1.000 (®iÓm) Nh-ng b¹n chØ ®-îc 650 ®iÓm cßn thiÕu 1.000 – 650 = 350 (®iÓm). ThiÕu 350 ®iÓm v× trong sè 50 c©u b¹n ®· tr¶ lêi sai mét sè c©u. Gi÷a c©u tr¶ lêi ®óng vµ tr¶ lêi sai chªnh lÖch nhau 20 + 15 = 35(®iÓm). Do ®ã c©u tr¶ lêi sai cña b¹n lµ 350:35 =10 (c©u) VËy sè c©u b¹n ®· tr¶ lêi ®óng lµ 50 – 10 = 40 (c©u) Phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o HuyÖn yªn m« §Ò kh¶o s¸t chÊt l-îng Häc Sinh Giái 6 N¨m häc 2008 – 2009 §Ò kh¶o s¸t ®ît I M«n: To¸n (Thêi gian lµm bµi: 120 phót) (§Ò thi nµy cã 6 c©u trong 01 trang) Bµi 1. Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau mét c¸ch nhanh nhÊt: a) (-13).(-4).6.(-25) b) -4.523.6 -12.2.186 -8.291.3 2008.2009  1 . 20082  2007 c) d) 864.48  432.96 864.48.432 Bài 2. So s¸nh : 2 3 9 10 a) A  1  2  2  2  ...  2 vµ B  2 450 300 b) C  3 vµ D  5 Bài 3. Cho A  112009  112008  112007  ...  112001  112000 Chøng tá r»ng A chia hÕt cho 5. Bµi 4. Mét khèi häc sinh khi xÕp hµng 2, hµng 3, hµng 4, hµng 5, hµng 6 ®Òu thiÕu 1 ng-êi, nh-ng xÕp hµng 7 th× võa ®ñ. BiÕt sè häc sinh ®ã ch-a ®Õn 200. TÝnh sè häc sinh. Bµi 5. a) T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn n (n0) sao cho 19n  7 lµ sè tù nhiªn. 7 n  11 b) Víi p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3. Chøng tá r»ng tÝch (p-1)(p+1) chia hÕt cho 24. Bµi 6. (Dïng m¸y tÝnh Casio Fx 500MS hoÆc Fx 570MS). ViÕt quy tr×nh Ên phÝm vµ cho biÕt kÕt qu¶ cña phÐp tÝnh sau: A 3 4  0,5(7,5  5,3)  2,2  2(0,6  1,6) Hä vµ tªn häc sinh:…………………………… ….SBD..………. Hä, tªn ng-êi coi 1:………………………………..KÝ tªn…….…. Hä, tªn ng-êi coi 2:………………………………..KÝ tªn………. Phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o HuyÖn yªn m« M«n to¸n 6 (®ît I) BiÓu ®iÓm vµ h-íng dÉn chÊm §Ò kh¶o s¸t chÊt l-îng Häc Sinh Giái 6 N¨m häc 2008 – 2009 H-íng dÉn chÊm Bµi 1. (5,0 ®iÓm) a) (-13).(-4).6.(-25) = (-13).6.[(-4).(-25)]= ……=-7800 b) - 4.523.6 -12.2.186 - 8.291.3 =- 24(523+186+291) = … = -24000 2008.2009  1 2008  2008  1  1  1 20082  2007 20082  2007 864.48  432.96 d) 0 864.48.432 c) Bài 2. (4,0 ®iÓm) a) TÝnh 2.A-A=…….=210 - 1 KÕt luËn B > A a) BiÕn ®æi C  3450  ...27150 vµ D  5300  ...  25150 KÕt luËn : C > D Bài 3. (2,0 ®iÓm) A  112009  112008  112007  ...  112001  112000 cã tËn cïng lµ ch÷ sè 0 (lÝ do……..) KÕt luËn:…… Bµi 4. (4,0 ®iÓm) Gäi sè häc sinh lµ a ( a thuéc sè tù nhiªn nhá h¬n 200) Ta cã a+1 lµ béi chung cña 2, 3, 4, 5, 6 Mµ BC(2, 3, 4, 5, 6) = 60 vµ 1 a =119 KÕt luËn :……. Bµi 5. (4,0 ®iÓm) a) V× n  N , n  0 nªn 19n + 7 > 7n + 11 vµ 3(7n +11) = 21n + 33 > 19n + 7 Suy ra: 3(7n +11) = 21n + 33 > 19n + 7 > 7n + 11 3(7 n  11) 19n  7 (7 n  11) 19n  7 > > ===> 3 > >1 7 n  11 7 n  11 7 n  11 7 n  11 19n  7 19n  7 Khi ®ã ®Ó lµ sè tù nhiªn th× = 2 => n=3. 7 n  11 7 n  11 ==> b)Nh-ng p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 nªn tÝch (p-1)(p+1) chia hÕt cho 3. Vµ p-1 ; p+1 lµ hai sè ch½n liªn tiÕp nªn tÝch (p-1)(p+1) chia hÕt cho 8. V× 3 vµ 8 lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau => ®pcm. Bµi 6. (1.0 ®iÓm) – ViÕt ®óng quy tr×nh Ên phÝm - KÕt qu¶ ®óng: 80.5 Chó ý: KÕt qu¶ ®óng, viÕt sai quy tr×nh th× kh«ng cho ®iÓm §iÓm 0,75 0,75 0,75 0,75 1,00 1,00 1,00 1,00 0,75 0,75 0,50 1,50 0,50 1,00 1,00 1,00 1,00 0.50 0.50 0,50 0,50 0,75 0,75 0,50 0.50 0.50