Tài liệu Tuyển chọn 100 bài phương trình và hệ phương trình

TUYỂN CHỌN 100 BÀI PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10 1 Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH 5x 2 + 14x − 9 − x 2 − x − 20 = 5. x + 1 5 3 2) x − 15x + 45 x − 27 = 0 11 25 3) − =1 2 x (x + 5)2 1) 4) 4 (x − 2 )(4 − x ) + 4 x − 2 + 4 4 − x + 6x 3x = x 3 + 30 x 3 − xy 2 + 2000 y = 0  y 3 − yx 2 − 500 x = 0 5)  6) 5 27 x 10 − 5x 6 + 5 864 = 0 x 2 + x −1 + − x 2 + x +1 = x 2 − x + 2 12 x 2 − 48x + 64 = y 3  2 3 8) 12 y − 48 y + 64 = z  2 3 12z − 48z + 64 = x x 19 + y 5 = 1890z + z 2001  19 5 2001 9)  y + z = 1890 x + x  19 5 2001 z + x = 1890 y + y 2 x + 1 = y 3 + y 2 + y  3 2 10) 2 y + 1 = z + z + z  3 2 2z + 1 = x + x + x 2 11) (x − 18)(x − 7 )(x + 35)(x + 90 ) = 2001x 7) 12) (2001 − x ) + (2003 − x ) = 2000 4 4 1 − x 2x + x 2 13) = x 1+ x2 a − bx (b + c )x + x 2 ðề xuất: Với a ,b,c >0 = cx a + x2 2 14) x − 2 + 4 − x = 2 x − 5x − 1 ðề xuất :  b2 − a 2 b−a  a +b  b−a x −  x − a + b − x = (b − a )x 2 −  2 − −  2   2  2  2 (Với a + 2 < b ) 15) 3 3x 2 − x + 2001 − 3 3x 2 − 7 x + 2002 − 3 6x − 2003 = 3 2002 2 Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10 3  8x 3 + 2001   = 4004x − 2001 16)   2002  (x − a )(x − b ) + (x − c )(x − b ) + (x − a )(x − c ) = 1 17) c(c − a )(c − b ) a (a − c )(a − b ) b(b − a )(b − c ) x Trong ñó a;b;c khác nhau và khác không ( 18) x = 1 − 1978 1 − 1978x ( ) 2 19) x x − 1 = ) 2 2 2 x + 2 x + .... + 2 x + 2 3x = x 20) 2 21) 1 − x + 4 x 2 + x −1 + 6 1− x − 1 = 0  2 22) 1 − x =  − x   3 2 2 23) 3 x 2 − 2 = 2 − x3 24) 1 + 1 − x 2 [ (1 + x ) − 3 (1 − x )3 ]= 2 + 1− x2 36 4 + = 28 − 4 x − 2 − y − 1 x−2 y −1 25) 26) x − 10 x − 2(a − 11)x + 2(5a + 6 )x + 2a + a = 0 27) Tìm m ñể phương trình : 4 (x 3 2 2 2 ) − 1 (x + 3)(x + 5) = m có 4 nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 thỏa mãn 1 1 1 1 + + + = −1 x1 x 2 x 3 x 4 x 5 − x 4 + 2x 2 y = 2  5 4 2 28)  y − y + 2 y z = 2 Tìm nghiệm dương của phương trình  5 4 2 z − z + 2z x = 2 2 29) 18 x − 18x x − 17 x − 8 x − 2 = 0 4 8 3 2x 8 − 1 = 1 2 2 31) x + 2 − x = 2 x 2 − x x 4 + y 4 + z 4 = 8(x + y + z ) 32)  xyz = 8 30) 17 − x − 4 2 ( 2 33) 19 + 10 x − 14 x = 5x − 38 ) x 2 6125 210 12x 34) + 2 + − =0 5 x 5 x 3 x2 − 2 Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10  y 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = 0  3 2 35)  x − 6z + 12z − 8 = 0  3 2 z − 6 y + 12 y − 8 = 0 36) x + 3 x + 2 x + 9 x + 18 = 168 x ( )( ) 37) Tìm m ñể hệ phương trình sau có ñúng 2 nghiệm. (x + y )8 = 256  8 x + y 8 = m + 2 38) x = 2 − x 3 − x + 5 − x 3 − x + 5 − x 2 − x 2 2 39) + x = x+9 x +1 a + x = x + a +1 ðề xuất: (a > 1) x +1 40) 13 x − 1 + 9 x + 1 = 16 x 28 27 2 41) 2 . 4 27 x + 24 x + = 1+ x+6 3 2 2 42) 5x − 1 + 3 9 − x = 2 x + 3x − 1 x + y + z = 1  43)  x y z x+y y+z y + z + x = y + z + x + y +1  3 2 44) x − 3x + 2 (x + 2)3 − 6x = 0 a b  − = c − xz x z b c * 45)  − = a − xy Trong ñó a;b;c ∈ R + y x c a  − = c − yz z y ( 2 )( ) 2 46) x − 12 x − 64 x + 30 x + 125 + 8000 = 0 47) (x − 2 ) x − 1 − 2x + 2 = 0  x 1 + x 2 + ... + x n = n 48)   x 1 + 8 + x 2 + 8 + ... + x n + 8 = 3n 4 Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10 49) Cho hệ phương trình: n ∑ x i = n i =1 ; b > 1 .CMR:Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x1 n ∑ x + b 2 − 1 = bn  i =1 i = x2 = ...= xn = 1 3−x =x 50) 3+x bx + c = x px + q với a; b; q; p∈ R & q 2 = −3pb. Tổng quát: )( ) Tổng quát: ax = (b + c x )(d − ( 51) x = 2004 + x 1− 1− x 2 d2 − e x ) với a;b;c;d;e là các hằng số cho 2 trước. 2 52) 4 x − 4 x − 10 = 8x 2 − 6x − 10 x 3 (2 + 3y ) = 1 x y 3 − 2 = 3 53)  ( ) x 3 + 3xy 2 = −49 54)  x 2 − 8xy + y 2 = 8 y − 17 x 3 4 3 55) 16 x + 5 = 6 . 4 x + x ( ( ( ) ) ) x 2 (x + 1) = 2 y 3 − x + 1  2 3 56)  y (y + 1) = 2 z − y + 1  2 3 z (z + 1) = 2 x − z + 1 57) 3 3x + 1 + 3 5 − x + 3 2 x − 9 − 3 4 x − 3 = 0 Tổng quát: 3 a 1 x + b1 + 3 a 2 x + b 2 + 3 a 3 x + b 3 = 3 (a 1 + a 2 + a 3 )x + b1 + b 2 + b 3 x 3 + y = 2 58)   y 3 + x = 2 x 6 k +3 + y = 2 Tổng quát:  (k ∈ N )  y 6 k +3 + x = 2 2 59) x − x − 1000 1 + 8000 x = 1000 60) x + 5 + x − 1 = 6 61) Tìm nghiệm dương của phương trình: 2x + 62) 1 1 x −1 = 1− + 3 x − x x x x + 4 x (1 − x ) + 4 (1 − x ) = 1 − x + 4 x 3 + 4 x 2 (1 − x ) 2 3 5 Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10 ( 3 ) 63) x + 1 3 = 81x − 27 x +1 − 3 x −1 = 6 x2 −1 2 3 65) 2 x − 3x + 2 = 3 x + 8  y 3 − 9x 2 + 27 x − 27 = 0  3 2 66) z − 9 y + 27 y − 27 = 0  3 2 x − 9z + 27 z − 27 = 0 15 67) 30 x 2 − 4x = 2004 30060 x + 1 + 1 2 2 2 68) 5x + 14 x + 9 − x − x − 20 = 5 x + 1  y 30 2 + 4 y = 2004  x  z 69) 30 2 + 4z = 2004  y  x 30 2 + 4 x = 2004  z 64) 3 ( ) ( ( ) ) x 2 + 15 = 3 .3 x − 2 + x 2 + 8 70) 3 2 71) x − 3 3x − 3x + 3=0  y − 6x + 12 x − 8 = 0  3 2 72) z − 6 y + 12 y − 8 = 0  3 2 x − 6z + 12z − 8 = 0 3 2 3x 2 − x + 2002 − 3 3x 2 − 6x + 2003 − 3 5x − 2004 = 3 2003 3 74) x + 1 = 3 .3 3x − 1 73) 3 2 75) x − 4 x + 2 = Bài tập tương tự: x+2 2 a) 20 x + 52 x + 53 = 2x − 1 b) − 18x + 17 x − 8 = 1 − 5x 2 c) 18x − 37 x + 5 = 14 x + 9 4x + 9 = 7x 2 + 7x d) 28 2 x7 32 x 2 128 16 x 3 +1 76) 3 + 3 +3 =3 77) Cho 0 < a < c < d < b ; a + b = c + d GPT: 2 x + a 2 + x + b2 = x + c2 + x + d2 78) x − 4 x + 6 = 2 x 2 − 5 x + 3 + − 3x 2 + 9 x − 5 6 Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10 2 x + x 2 y = y  2 79) 2 y + y z = z  2 2z + z x = x 80) x 2 − x + 19 + 7 x 2 + 8x + 13 + 13x 2 + 17 x + 7 = 3 3 (x + 2) 81) 4 − x 2 + 4x + 1 + x 2 + y 2 − 2 y − 3 = 4 x 4 − 16 + 5 − y x 2 − 8x + 816 + x 2 + 10 x + 267 = 2003    1 1 1  3 x +  = 4 y +  = 5 z +  83)   x y z   xy + yz + xz =1   x 2 + 21 = y − 1 + y 2 84)   y 2 + 21 = x − 1 + x 2 82) 85) 1 − x 2 = 4 x 3 − 3x x2 + x +1 − x2 − x −1 = m 86) Tìm m ñể phương trình có nghiệm 87) Tìm a ñể phương trình có nghiệm duy nhất 2 + x + 4 − x − 8 + 2x − x 2 = a x + y + z = 0  2 2 2 88)  x + y + z = 10  7 7 7 x + y + z = 350  x + 30.4 + y − 2001 = 2121 89)   x − 2001 + y + 30.4 = 2121 ( 2x 90) 3 ( 2 2 ) ( + 1 − 1 = x 1 + 3x + 8 2 x 2 + 1 ) 3 91) 2 x + 2 − 5 x + 1 = 0 3  2 2 2 x y z + + =  2  3  92) xy + yz + xz = − 4  1  xyz = 8 7 ) Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10  x + x 2 − y 2 9x =  5  x − x 2 − y2 93)   x 5 + 3x  y = 6(5 − y )  x 2 + x + 1 x 2 + 3x + 1 5 = + x 2 + 2x + 1 x 2 + 4x + 1 6 25 1 1369 95) + + = 86 − x − 5 − y − 3 − z − 606 x −5 y −3 z − 606 94) 6 10 + =4 2−x 3− x 96) x 2 − 7 x + 8 + 3 x 2 − 6x + 7 − 3 2 x 2 − 13x − 12 = 3 3 98) x − 6 .3 6 x + 4 − 4 = 0 97) 3 2 99) x − 3x + 1 = − 3 x4 + x2 +1 3 1+ x3 2 100) = x2 + 2 5 8 Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10 HƯỚNG DẪN GIẢI 100 BÀI PT & HPT 1) ðK: x ≥ 5 Chuyển vế rồi bình phương: (x 5x 2 + 14x + 9 = x 2 + 24x + 5 + 10. ⇔ 4x 2 − 10x + 4 = 10. ⇔ 2x 2 − 5x + 2 = 5. ) − x − 20 ( x + 1) ( x − 5)( x + 4 )( x + 1) (x 2 ) (x − 4x − 5 ( x + 4 ) ⇔ 2(x 2 − 4x − 5) + 3 ( x + 4 ) = 5. ( 2 2 ) − 4x − 5 ( x + 4 ) ) u= x 2 − 4x − 5 → ....   v = ( x + 4 ) ( x + 3) x 4 − 3x 3 − 6x 2 + 18x − 9 = 0 ( ) 4 3 2 2) GPT : x − 3x − 6x + 18x − 9 = 0 x 4 − 3x 2 ( x − 1) − 9 ( x − 1) = 0 2 ðặt: x- 1 = y 3) ⇒ x 4 − 3x 2 y − 9y 2 = 0 ⇒ 2x 2 = 3y ± 3y 5 ðK: x ≠ 0; x ≠ −5 ðặt x+5 = y ≠ 0 → x = ( y − 5 ) 2 PT ⇔ y 4 − 10y3 + 39y 2 − 250y + 625 = 0   625  25  ⇔  y 2 + 2  − 10  y +  + 39 = 0 y  y    4) ðK: 2 ≤ x ≤ 4 4 Áp dụng Cauchy: (x − 2) ( 4 − x ) ≤ ( x − 2) + ( 4 − x ) = 1 2 6x 3x = 2 27x 3 ≤ 27 + x 3 Áp dụng Bunhia: ( ( 4 x −2 + 4 4−x )  x x 2 − y 2 = −2000y (1)  5)  2 2 − y x − y = 500x ( 2 ) Nếu x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ ( 0;0 ) là n o ( ) 9 ) 2 ≤2 Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10 2 2 Nếu x ≠ 0.Rút x − y từ (1) thế vào (2) ta có: y ≠ 0  −2000y  −y   = 500y ⇒  2 2  x   x = 4y 6) 5 27 x 10 − 5x 6 + 5 864 = 0 Vì x = 0 không là nghiệm của pt nên chia cả 2 vế cho x6 ta ñược pt: 5 32.27 =5 x6 1 2 x 4 + 6 = 5.5 27 x 5 27 x 4 + 1 2 x4 x4 x4 1 1 + + + 6 + 6 ≥ 5.5 Áp dụng CauChy: x + 6 = 27 3 3 3 x x x 4 7) x2 + x −1 + − x2 + x + 1 = x2 − x + 2 x 2 + x − 1 ≥ 0 ðK:  − x 2 + x + 1 ≥ 0 Áp dụng Cauchy: x2 + x −1+1 x2 + x = 2 2 2 − x + x +1+1 − x2 + x + 2 − x2 + x +1 ≤ = 2 2 2 2 x + x −1 + − x + x +1 ≤ x +1 2 2 Từ PT ⇒ x − x + 2 ≤ x + 1 ⇔ (x − 1) ≤ 0 x2 + x −1 ≤ 12 x 2 − 48x + 64 = y 3 (1)  2 3 8) 12 y − 48 y + 64 = z (2 )  2 3 12z − 48z + 64 = x (3) G/s (x; y; z) là nghiệm của hệ phương trình trên thì dễ thấy ( y; z; x); (z; y; x) cũng là nghiệm của hệ do ñó có thể giả sử : x = max{x; y; z} 2 ( ) 2 Từ 12 x − 48x + 64 =12 x − 4 x + 4 + 16 ≥ 16 ⇒ y 3 ≥ 16 ⇒ y ≥ 2 Tương tự x ≥ 2 ; z ≥ 2 Trừ (1) cho (3): y3 – x3 = 12(x2 – z2) – 48(x-z) ⇔ y3 – x3 = 12(x– z)(x+z-4) VT ≤ 0; VT ≥ 0 . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z 10 Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10 x 19 + y 5 = 1890z + z 2001  19 5 2001 9)  y + z = 1890 x + x  19 5 2001 z + x = 1890 y + y Ta ñi cm hệ trên có nghiệm duy nhất x = y = z Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ ⇒ ( − x; − y; −z) cũng là nghiệm của hệ ⇒ không mất tính tổng quát ta giả sử ít nhất 2 trong 3 số x, y, z không âm. Ví dụ: x ≥ 0; y ≥ 0 . Từ phương trình (1) ⇒ z ≥ 0 . Cộng từng vế phương trình ta có: ( z2001 + 1890z ) + ( x 2001 + 1890x ) + ( y2001 + 1890z ) = ( z19 + z5 ) + ( x19 + x 5 ) + ( y19 + y5 ) . Ta có: 0 < t ≤ 1 ⇒ t 2001 + 1890t ≥ t19 + t 5 t 2000 + 1890 ≥ t18 + t 4 (ñúng) t > 1 ⇒ t 2001 + 1890t > t19 + t 5 Thật vậy: t 2001 + 1890 > 1 + t 2000 ≥ 2t1000 cô si > t18 + t 4 (ñpcm) Vậy x = y = z Bài 10: + Nếu x < 0 từ ( 3) ⇒ 2z + 1 < 0 ⇒ z < −1 −1 −1 ⇒y< ⇒x< 2 2 2 Cộng 3 phương trình với nhau: ( x + 1) ( x − 1) + ( y + 1) ( y − 1) + ( z + 1) ( z − 1) = 0 (*) 2 2 2 1 1 1 Với x < − ; y < − ;z < − ⇒ (*) vô nghiệm 2 2 2 ⇒ x > 0; y > 0;z > 0 Gọi ( x; y;z ) là nghiệm của hệ phương trình, không mất tính tổng quát ta giả sử: x = max {x;y;z} Trừ (1) cho (3) ta ñược: 2 ( x − z ) = ( y − x ) ( x 2 + y 2 + xy + x + y + 1) VT ≤ 0 dấu " = " ⇔ x = y = z ⇒ ....  VP ≥ 0 Bài 11: PT ⇔ ( x 2 + 17x − 630 )( x 2 + 83x − 630 ) = 2001x 2 . Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình ⇒ chia 2 vế phương trình cho x 2 630  630   Ta có:  x + 17 −  x + 83 −  = 2001 x  x   630 =t ðặt: x − x Bài 12: t/d: pt: ( x + a ) + ( x + b ) = c 4 ðặt: y = x + 4 a+b 2 11 Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10 Bài 13: ðk: 0 < x ≤ 1 1− x 2x − 1 = 1+ PT ⇔ (*) x 1+ x2 1 + x = là nghiệm pt (*) 2 VP > 1 1 + < x ≤1 :  2 VT < 1 + 01 :  2  VP<1 12