Tài liệu Trắc nghiệm giới hạn hàm số lớp 11

NGUYỄN BẢO VƯƠNG. GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 GIỚI HẠN HÀM SỐ TẬP 1 220 BÀI TẬP TRẮC GIỚI HẠN HÀM SỐ CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT https://web.facebook.com/phong.baovuong ALBA-CHƯ SÊ-GIA LAI NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 CHƢƠNG IV: GIỚI HẠN TẬP I. GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ GIỚI HẠN DÃY SỐ 1. Giới hạn hữu hạn của dãy số 1.1. Định nghĩa:  Dãy số (un ) được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng n|o đó trở đi, đều có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: lim un  0 .Hay là: lim un  0 khi và chỉ khi với mọi   0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự x  x 0 nhiên n0 sao cho: un   , n  n0 .  lim un  a  lim  un  a   0 , tức là: Với mọi   0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên n0 sao cho x  x  un  a   , n  n0 . Dãy số (un) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn. 1.2. Một số giới hạn đặc biệt  lim 1  0 với k  nk *  Nếu q  1 thì lim qn  0 n   Nếu un  c (với c là hằng số) thì lim un  lim c  c n n Chú ý: Ta viết lim un  a thay cho cách viết lim un  a . n 2. Một số định lí về giới hạn Định lí 1. Nếu dãy số (un) thỏa un  vn kể từ số hạng n|o đó trở đi v| lim vn  0 thì lim un  0 . Định lí 2. Cho lim un  a, lim vn  b . Ta có:  lim(un  vn )  a  b  lim(un  vn )  a  b  lim(un .vn )  a.b lim  un a  (b  0) vn b  Nếu un  0 n thì lim un  a 3. Tổng của CSN lùi vô hạn Cho CSN (un ) có công bội q thỏa q  1 . Khi đó tổng S  u1  u2  ...  un  .... gọi là tổng vô hạn của CSN và S  lim Sn  lim u1 (1  qn ) u  1 . 1 q 1 q 4. Giới hạn vô cực GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 1 CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG 4.1. Định nghĩa:  lim un    với mỗi số dương tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng n|o đó n trở đi, đều lớn hơn số dương đó .  lim un    lim  un    . n n 4.2. Một số kết quả đặc biệt  lim nk   với mọi k  0  lim qn   với mọi q  1 . 4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cựC. Quy tắc 1: Nếu lim un   , lim vn   thì lim(un .vn ) được cho như sau; lim un lim vn lim(un vn )             Quy tắc 2: Nếu lim un   , lim vn  l thì lim(un .vn ) được cho như sau; Dấu của l lim un lim(un vn )             Quy tắc 3: Nếu lim un  l , lim vn  0 và vn  0 hoặc vn  0 kể từ một số hạng nào dó trở đi thì lim un vn được coi như sau; Dấu của l Dấu của vn             lim un vn Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa Phƣơng pháp:  Để chứng minh lim un  0 ta chứng minh với mọi số a  0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao cho un  a n  na .  Để chứng minh lim un  l ta chứng minh lim(un  l)  0 . GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 2 CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG  Để chứng minh lim un   ta chứng minh với mọi số M  0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM sao cho un  M n  nM .  Để chứng minh lim un   ta chứng minh lim(un )   .  Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó l| duy nhất. Các ví dụ Ví dụ 1. Chứng minh rằng: 1. lim n2 1 n1 2. lim n2  1 1  2n 2  1 2 3. lim 1  2n n2  1  2 Lời giải. 1. Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na  1  1 , ta có: a n2 1 1 1    a với n  na n1 n  1 na  1 Suy ra lim n2 n2  1  0  lim  1. n1 n1 2. Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na  3  1 , ta có: a n2  1 1 3 3   2  2  a với n  na 2 2 2n  1 n  1 na  1 Suy ra lim n2  1 1 n2  1 1   0  lim 2  . 2 2n  1 2 2n  1 2 3. Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na  1  2n n 1 2 2  Suy ra lim 1  2 n  2 n2  1 n 1 2 1  2n n 1 2   2  0  lim 9  1 , ta có: a2 1  2n  2(n  1) n 1 2 1  2n n2  1  3 n 1 2  3 n 1 2 a  a với n  na .  2 . Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số (un ) : un  ( 1)n không có giới hạn. Lời giải. Ta có: u2n  1  lim u2n  1; u2n1  1  lim u2n1  1 Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (un) không có giới hạn. Ví dụ 3. Chứng minh các giới hạn sau: 1. lim n2  1   n 2. lim 2n   n Lời giải. 1. Với mọi số thực dương M lớn tùy ý, ta có: GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 3 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 n2  1 M  M2  4  M  n2  Mn  1  0  n  n 2  M  M2  4  n2  1 Ta chọn n0    thì ta có:  M , n  n0 2 n   Do đó: lim n2  1   . n 2. Với mọi M  0 lớn tùy ý, ta có:  M  M2  8    M  n M n 2  0  n     2 n   n2 2 2   n2 M  M2  8     thì ta có:  M , n  n0 Ta chọn n0      2 n     Do đó: lim 2n n   . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Giá trị của lim 1 bằng: n1 A. 0 B.1 Lời giải. Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na  Bài 2. Giá trị của lim 1 nk sin 2 n n2 C.4 k D. 5 1 1 1 1 ta có k  k  a n  na nên có lim k  0 . a n na n bằng: B.3 Lời giải. Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na  lim 1 1 1 1   a n  na nên có lim  1 ta có  0. n  1 na  1 a n1 B.2 Lời giải. Với a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na  A. 0 D. 3 ( k  *) bằng: A. 0 Bài 3. Giá trị của lim C.2 C.5 D. 8 2 sin n 1 1 1    a n  na nên có  2 ta có n  2 n  2 n 2 a a sin 2 n 0. n2 Bài 4. Giá trị của lim(2n  1) bằng: A.  B.  Lời giải. Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn nM  C.0 D. 1 M 1 2 Ta có: 2n  1  2nM  1  M n  nM  lim(2n  1)   . GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 4 NGUYỄN BẢO VƯƠNG Bài 5. Giá trị của lim 1  n2 n CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 bằng: B.  A.  Lời giải. Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn nM thỏa  nM  Ta có: C.0 D. 1 n 1 M nM 2 M M  M2  4 . 2 n2  1 n2  1  M n  nM  lim   n n Vậy lim 1  n2   . n Bài 6. Giá trị của lim 2 bằng: n1 B.  A.  C.0 D. 1 C.0 D. 1 2  Lời giải. Với mọi a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na    1  1 a  Suy ra 2 2  a n  na  lim 0. n1 n1 Bài 7. Giá trị của lim cos n  sin n bằng: n2  1 B.  A.  Lời giải. Ta có cos n  sin n n2 Bài 8. Giá trị của lim  2 1 cos n  sin n mà lim 2  0  lim 0 n2 n n2  1 n1 n2 bằng: B.  A.  C.0 D. 1 1  Lời giải. Với mọi số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na   2  1  1 a  Ta có: n1 1 n1   a n  na  lim 0. n2 n 2 n1 Bài 9. Giá trị của lim A.  3n3  n n2 bằng: B.  C.0 D. 1 M Lời giải. Với mọi M  0 lớn tùy ý, ta chọn nM     1 3 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 5 CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG Ta có: 3n3  n 1  3n   M n  nM n n2 Vậy lim 3n3  n   . n2 Bài 10. Giá trị của lim 2n bằng: n1 B.  A.  C.0 D. 1 2 1  Lời giải. Với mọi M  0 lớn tùy ý , ta chọn nM    3   1 a   n2 Ta có: 1 n Suy ra lim  n1  2n n1 3 n1  1  n  3  M n  nM   . Bài 11. Giá trị của A  lim 2n  1 n2 bằng: B.  A.  C.2 Lời giải. Với số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na  D. 1 5 2 2 a 2n  1 5 5 2    a n  na n2 n  2 na  2 Ta có: Vậy A  2 . Bài 12. Giá trị của B  lim 2n  3 n2  1 bằng: B.  A.  C.0 Lời giải Với số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na thỏa  na  Ta có: na2  1 a 1  a2  4a  13 a 2n  3  a n  na  B  0 . n2  1 Bài 13. Giá trị của C  lim A.  n2  1 n1 bằng: B.  Lời giải. Với số thực a  0 nhỏ tùy ý, ta chọn na  Ta có: 2na  3 D. 1 C.0 D. 1 1 1 a n2  1 n2 1 1  1   a n  na n1 n1 na  1 Vậy C  1 . GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 6 CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG Bài 14. Giá trị của A  lim n2 n 2n B.  A.  Đáp án A  bằng: C. 1 2 D. 1 1 2 Bài 15. Giá trị của B  lim n sin n  3n2 n2 bằng: B.  A.  C. 3 D. 1 C.0 D. 1 C.0 D. 4 C.0 D. 1 Lời giải B  3 Bài 16. Giá trị của C  lim 1 n 2 n 7 2 bằng: B.  A.  Lời giải C  0 Bài 17. Giá trị của D  lim 4n  1 n  3n  2 2 bằng: B.  A.  Lời giải D  4 Bài 18. Giá trị của lim an  0 bằng: n! B.  A.  Lời giải. Gọi m là số tự nhiên thỏa: m  1  a . Khi đó với mọi n  m  1 m a  a  an a a a a a  . ... . ...  .  Ta có: 0  n! 1 2 m m  1 n m !  m  1   a   Mà lim   m1   n m  0 . Từ đó suy ra: lim n m an 0. n! Bài 19. Giá trị của lim n a với a  0 bằng: B.  A.  C.0 D. 1 Lời giải. Nếu a  1 thì ta có đpcm  Giả sử a  1 . Khi đó: a  1    n  n a  1   n   n  a 1 Suy ra: 0  n a  1  a  0 nên lim n a  1 n  Với 0  a  1 thì 1 1  1  lim n  1  lim n a  1 . a a Tóm lại ta luôn có: lim n a  1 với a  0 . GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 7 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 Vấn đề 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản Phƣơng pháp: Sử dụng c{c định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.  Khi tìm lim f (n) ta thường chia cả tử và mẫu cho n k , trong đó k là bậc lớn nhất của tử và mẫu. g(n)  Khi tìm lim  k f (n)  m g(n)  trong đó lim f (n)  lim g(n)   ta thường tách và sử dụng phương ph{p   nh}n lượng liên hơn. Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau : 1. A  lim n 1  3  5  ...  (2n  1) 2. B  lim 2 n2  1 1  2  ...  n  n 3 1  2 2  ...  n2  2n 2 Lời giải. 1. Ta có: 1  3  5  ...  2n  1  n2 Suy ra A  lim n2  lim 2n2  1 2. Ta có: 1  2  ...  n  1 1 2 2 n  1 . 2 n(n  1) ; 2 n(n  1)(2n  1) 6 12  22  ...  n2   1 n2  1   n n(n  1)   n n 2 2  lim  Suy ra : B  lim n(n  1)(2n  1) 1  1 3 3  2n n  1   2   3 6 n  n   2n 6 3 1 1 2 . 1 2 3 Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau :  1  1  1  1. C  lim  1  2  1  2  ...  1  2   3   n   2   1 1 1 1     ...  2. D  lim   n(n  1)   1.2 2.3 3.4 Lời giải. 1. Ta có: 1  1 ( k  1)( k  1) nên suy ra  k2 k2  1  1  1  1  2  1  2  ...  1  2  2  3   n Do vậy C  lim  1.3 2.4 (n  1)(n  1) n  1    2 . 2 ... 2n n2  2 3 n1 1  . 2n 2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 8 NGUYỄN BẢO VƯƠNG 2. Ta có CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 1 1 nên suy ra   k( k  1) k k  1 1 1 1 1 1    ...   1 1.2 2.3 3.4 n(n  1) n1  1  Vậy D  lim  1   1.  n1 Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau : 1. A  lim 4 n  1  5n  1 4 n  5n 2. B  lim 4.3n 2  2.7 n1 4n  7 n 1 Lời giải. n 4 4   5 n 5 4 1. Chia cả tử và mẫu cho 5n ta có: A  lim  n  5 ( do lim    0 ). 5 4  5 1   n 4 2 36    7 7 2  . 2. Ta có: B  lim  n 49 4 7  7    1  1  1  Ví dụ 4. Tìm giới hạn sau : C  lim  1  2  1  2  ...  1  2   3   n   2  Lời giải. Ta có: 1  1 ( k  1)( k  1) nên suy ra  k2 k2  1  1  1  2  1  2  2  3   1  ...  1  2   n Do vậy C  lim  1.3 2.4 (n  1)(n  1) n  1    2 . 2 ... 2n n2  2 3 n1 1  . 2n 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Giá trị của A  lim 2n2  3n  1 bằng: 3n2  n  2 B.  A.  C. 2 3 D. 1 3 1  n n2  2 . Lời giải. Ta có: A  lim 1 2 3 3  2 n n 2 Bài 2. Giá trị của B  lim n2  2n n  3n2  1 bằng: GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 9 CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG B.  A.  C.0 D. 1 1 3 1 n2  n 1 n  1 n Lời giải. Ta có: B  lim  lim 2 1 1 3 n  3n  1 1 3  2 n n  2n Bài 3. Giá trị của C  lim 2  n  2 1 4 9 bằng: n17  1 B.  A.  C.16 D. 1 1 4 9 2 1 2 ) .n (1  )9 (2  2 )4 .(1  )9 n  lim n n2 n 1 1 n17 (1  17 ) 1  17 n n n8 (2  Lời giải. Ta có: C  lim Suy ra C  16 . n2  1  3 3n3  2 Bài 4. Giá trị của D  lim 4 2n4  n  2  n bằng: B.  A.  C. 1 3 3 4 2 1 D. 1  1 2  n 1  2  3 3  3   n n  1  3 3 Lời giải. Ta có: D  lim  .  4   2 1 1 2 4 n  2  3  4  1   n n   Bài 5. Giá trị của A  lim   n2  6n  n bằng: B.  A.  Lời giải. Ta có A  lim   n2  6n  n  lim 6n  lim n  6n  n 2 Bài 6. Giá trị của B  lim A.  Lời giải. Ta có: B  lim    lim 3 n  6n  n 6 6 1 1 n 2 D. 1 C.0 D. 3 n2  6n  n 3  n3  9n2  n bằng: B.  3 C.3 2 n3  9n2  n  9n2  lim 3 n 3  9n 2  2  n 3 n 3  9n 2  n 2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 10 CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG  lim 9 2  9 9 3 1  1  1   n n  Bài 7. Giá trị của C  lim 3. 3.2n  3n bằng: 2 n  1  3n  1 B.  A.  C.  1 3 D. 1 n Lời giải. Ta có: C  lim 3.2n  3n 2 n  1  3n  1 Bài 8. Giá trị của D  lim  n2  2n  3 n3  2n2 Lời giải. Ta có: D  lim  lim  bằng: B.  A.   lim 2 3.    1 3 1  lim  n  3 2 2.    3 3  2n n2  2 n  n 2 1 2 1 n  n2  2n  n  lim 3  3 n3  2n2  n Bài 9. Giá trị của A  lim C.2 D. 1 C.0 D. 1 C.0 D. 1  (n3  2n2 )2  n 3 n3  2n2  n2 2 3 D. 1 2n 2  lim  lim 1 3 C.  2 2 (1  )2  3 1   1 n n 1 . 3   n2  2n  2  n bằng: B.  A.    2 2 Lời giải. Ta có A  lim n  1   2  1      n n     2 2 Do lim n  ; lim  1   2  1   2 .   n n   Bài 10. Giá trị của B  lim   2n2  1  n bằng: B.  A.    1 Lời giải Ta có: B  lim n  2   1      n   Bài 11. Giá trị của C  lim A.  4 3n3  1  n 2n4  3n  1  n B.  bằng: 3. Chia cả tử và mẫu cho n2 ta có được GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 3 1 1  8  5 n n n C  lim 0. 3 1 1 2 3  4  n n n 4 Bài 12. Giá trị của D  lim ak nk  ...  a1n  a0 bp np  ...  b1n  b0 (Trong đó k , p là các số nguyên dương; ak bp  0 ) . bằng: B.  A.  C.Đ{p {n kh{c D. 1 Lời giải Ta xét ba trường hợp sau  k  p . Chia cả tử và mẫu cho n k ta có: D  lim  k  p . Chia cả tử và mẫu cho n k ta có: D  lim ak  1 a  ...  0k  if a b  0 k p n n  .  bp  if ak bp  0 b0    ...  k n np  k ak  ak  1 a  ...  0k n n  ak . b bk bk  ...  0k n ak  ak a  ...  0p pk n n 0.  k  p . Chia cả tử và mẫu cho n : D  lim b0 bp  ...  p n p   Bài 13. Giá trị củA. A  lim n3  2n  1 bằng: B.  A.  C.0 D. 1  1 19 0 Lời giải.Ta có: f ( 2)  95  0, f ( 1)  1  0, f      2 32     1 Bài 14. Giá trị củA.  lim  1    2  f (0) 3 x 0  1 x 1  x 1 bằng: B.  A.  C.0 D. 1 C.Đ{p {n kh{c D. 1 Lời giải. f (0)  1  0, f (2)  47  0, f (10)  7921  0 Bài 15. Giá trị củA. x  0 với  bằng: A.  B.  Lời giải. f ( x)  0  f ( x) khi x  x0  Bài 16. Giá trị củA. y   bằng: khi x  x0  k GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 12 CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG B.  A.  C.0 D. 1 3 2 D. 1 C.8 D. 1 1 2 D. 1  1  1  Lời giải.  2; 1 ,  1;   ,   ; 0  ,  0; 2  ,  2;10  2  2   Bài 17. Giá trị củA. x  x0 bằng: B.  A.  C. 1 1  3 2 3 n n Lời giải.Ta có: E  lim  2 2  1  3  2  n  1  n     3 Bài 18. Giá trị củA. F  lim (n  2)7 (2n  1)3 bằng: (n2  2)5 B.  A.  7 3  2  1 1 n   2  n     8 Lời giải. Ta có: F  lim  5  5  1 2  n   Bài 19. Giá trị củA. H  lim   n2  n  1  n bằng: B.  A.  C. 1 1 n  lim  Lời giải. Ta có: H  lim 2 2 1 1 n n1 n 1  2 1 n n 1 n1 Bài 20. Giá trị củA. M  lim A.  1 12 3 (1  n  8n )  2n 1  n  8n  4n 2 A.  Lời giải. Ta có: N  lim lim  3 3 3 2 4n2  1  2n  lim  3 1 4n  1  2 n 2  C.0 3 8n3  n  2n 3  1 12  D. 1 0 n 8n2  n  2n  lim 2    2 4n2  1  3 8n3  n bằng: B.  4n2  1  2n  lim   D. 1 C.0 1  n2 Bài 21. Giá trị củA. N  lim   1  n2  8n3  2n bằng: 3 B.  Lời giải. Ta có: M  lim Mà: lim  (8n2  n)2  2n 3 8n2  n  4n2 0 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 13 CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG Vậy N  0 . Bài 22. Giá trị củA. K  lim  3  n3  n2  1  3 4n2  n  1  5n bằng: C.  B.  A.  5 12 D. 1 2 3 D. 1  n  n  1  n  3lim  4n  n  1  2n 1 1 Mà: lim  n  n  1  n   ; lim  4n  n  1  2n  4 3 Lời giải. Ta có: K  lim 3 Do đó: K  3 3 3 2 2 2 2 1 3 5   3 4 12 Bài 23. Giá trị củA. A  lim 2n  1 bằng: 1  3n B.  A.  Lời giải A   2 3 Bài 24. Giá trị củA. B  lim 4n2  3n  1 bằng: (3n  1)2 B.  A.  Lời giải B  C. 4 9 D. 1 C. 1 4 D. 1 C.0 D. 1 C.0 D. 1 4 9 Bài 25. Giá trị củA. C  lim n3  1 bằng: n(2n  1)2 B.  A.  Lời giải C  C.  1 4 Bài 26. Giá trị củA. D  lim n3  3n2  2 bằng: n4  4 n3  1 B.  A.  Lời giải D  0 n3  2 n  1 bằng: n2 Bài 27. Giá trị củA. E  lim B.  A.  Lời giải E   Bài 28. Giá trị củA. F  lim 4 n 4  2n  1  2n 3 3n3  n  n bằng: GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 14 CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG B.  A.  Lời giải F  3 3 3 1 D. 1 3 3 3 1 Bài 29. Giá trị củA. M  lim   n2  6n  n bằng: B.  A.  6n Lời giải M  lim  3n  1 3 (n  3n  1)  n. 3 n3  3n2  1  n2 3 2 2 Bài 31. Giá trị củA. H  lim n Lời giải H  lim n  3   8n3  n  4n2  3 bằng: 3  8n3  n  2n  lim n Bài 32. Giá trị củA. K  lim 1 3 D. 1 1 C.  2 3 4n 2  3  2 n   2 3 B.  A.  C.0  2 Lời giải N  lim D. 1 n3  3n2  1  n bằng: 3 B.  A.  C.3 3 n  6n  n 2 Bài 30. Giá trị củA. N  lim A.  C.   D. 1 3.2n  3n bằng: 2 n  1  3n  1 B.  C.2 D. 1 C.2 D. 1 C.0 D. 1 n 2 3   1 3 1  Lời giải K  lim  n 3 2 2   3 3 Bài 33. Giá trị củA. A  lim B.  A.  Lời giải A  lim 2 sin 2n  1 n3 2 1 1 3 n Bài 34. Giá trị củA. B  lim n n! n  2n 3 bằng: B.  A.  n Lời giải. Ta có: 2n3  sin 2n  1 bằng: n3  1 n! n  2n 3  n nn n  2n 3  n n  2n 3 0B0 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 15 CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG 3.3n  4n bằng: 3n  1  4 n  1 Bài 35. Giá trị củA. C  lim A.  Lời giải C  B. C.0 D. 1 1 2 Bài 36. Giá trị củA. D  lim n1 n ( 3n  2  3n2  1) 2 2 bằng: B.  A.  Lời giải D  1 2 2 C. D. 1 3 2 3 3 Bài 37. Giá trị củA. E  lim( n2  n  1  2n) bằng: B.  A.  Lời giải E   Bài 38. Giá trị củA. F  lim  D. 1 C.0 D. 1 C.Đ{p {n kh{c D. 1  n  1  n bằng: B.  A.  C.0 Lời giải F   p Bài 39. Giá trị củA. H  lim( k n2  1  n2  1) bằng: B.  A.  Lời giải. Xét các trường hợp TH1: k  p  H   TH 2: k  p  H   TH 3: k  p  H  0 . Bài 40. Giá trị của K  lim n  n2  1  n bằng: B.  A.  Lời giải K   C. 1 2 1 2 B.  A.  Suy ra un  1  D. 1 1 2 Bài 41. Tính giới hạn của dãy số un  Lời giải. Ta có: 1 2 1 ( k  1) k  k k  1 1 n1   1 3 2 2 3 C.0 1 k   ...  1 (n  1) n  n n  1 : D. 1 1 k 1  lim un  1 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 16 CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG Bài 42. Tính giới hạn của dãy số un  B.  A.   n(n  1)  Lời giải Ta có: 13  2 3  ...  n3     3  Suy ra un  (n  1) 13  23  ...  n3 : 3n3  n  2 C. 1 9 D. 1 2 n(n  1)2 1  lim un  . 3 9 3(3n  n  2) Bài 43. Tính giới hạn của dãy số un  (1  n(n  1) 1 1 1 )(1  )...(1  ) trong đó Tn  .: 2 T1 T2 Tn B.  A.  Lời giải. Ta có: 1  C. 1 3 D. 1 1 2 ( k  1)( k  2)  1  Tk k( k  1) k( k  1) 1 n2 1 Suy ra un  .  lim un  . 3 n 3 Bài 44. Tính giới hạn của dãy số un  A.  Lời giải. Ta có 2 3  1 3 3  1 n3  1 .: . .... 2 3  1 3 3  1 n3  1 B.  2 3 D. 1 C.3 D. 1 C. k3  1 ( k  1)( k 2  k  1)  k 3  1 ( k  1)[( k  1)2  ( k  1)  1] 2 n2  n  1 2  lim un  Suy ra  un  . 3 (n  1)n 3 2k  1 .: 2k k 1 n Bài 45. Tính giới hạn của dãy số un   A.  B.  1 1 1 1 1  2n  1 Lời giải. Ta có: un  un     2  ...  n1   n1 2 2 2 2 2  2 1 3 2n  1  un   n1  lim un  3 . 2 2 2 Bài 46. Tính giới hạn của dãy số un  q  2q2  ...  nqn với q  1 A.  B.  C. q 1  q  2 .: D. q 1  q  2 Lời giải. Ta có: un  qun  q  q2  q3  ...  qn  nqn1  (1  q)un  q 1  qn q  nq n1 . Suy ra lim un  . 2 1 q 1  q  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 n n k 1 n  k Bài 47. Tính giới hạn của dãy số un   B.  A.  Lời giải. Ta có: n  un  1  .: 2 C.3 D. 1 n n n 1  un  n 2  2  un  1  2 n n n 1 n 1 n 1 2 n  0  lim un  1 . n2  1 Bài 48. Tính giới hạn của dãy số A.  A  lim ak .nk  ak 1nk 1  ...  a1n  a0 bp .np  bp 1np 1  ...  b1n  b0 B.  với ak bp  0 C.Đ{p {n kh{c .: D. 1 Lời giải. Ta chia l|m c{c trường hợp sau ak  1 a  ...  0k n n  ak . TH 1: n  k , chia cả tử và mẫu cho n k , ta được A  lim bp 1 bp b bp   ...  0k n n ak  TH 2: k  p , chia cả tử và mẫu cho n k , ta được A  lim ak  1 a  ...  0k  khi ak bp  0  n n  bp 1 b  khi ak bp  0  k  p 1  ...  0k  n n ak  bp nk  p ak TH 3: k  p , chia cả tử và mẫu cho n p , ta được A  lim n pk  bp  Bài 49. Tính giới hạn của dãy số B  lim A.  3 ak  1 p  k 1 n bp 1 n  ...   ...  n6  n  1  4 n4  2n  1 (2n  3)2 B.  C.3 b0 a0 np  0 . np .: D. 3 4 Lời giải. Chia cả tử và mẫu cho n2 ta có được: 3 B  lim 1 1 1 2 1   4 1 3  4 n5 n6 n n  1 4   3 . 2 4 4  3 2 n   Bài 50. Tính giới hạn của dãy số C  lim A.   4n2  n  1  2n B.   C.3 .: D. 1 4 1 1 n  lim  Lời giải. Ta có: C  lim 2 4 1 1 4n  n  1  2n 4  2 2 n n n1 1 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 18 CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 NGUYỄN BẢO VƯƠNG Bài 51. Tính giới hạn của dãy số D  lim Lời giải. Ta có: D  lim lim  3  C.    n2  n  1  n  2 lim  3 n3  n 2  1  n   .: 1 6 D. 1 1 1 n  lim  n2  n  1  n  lim 2 2 1 1 n n1 n 1  2  1 n n   1 n1 n2  1 n3  n2  1  n  lim Vậy D  n2  n  1  2 3 n3  n2  1  n B.  A.  Mà: lim  3 (n  n  1)  n. n  n  1  n 3 2 2 3 3 2 2 1  lim 1 n2 2 3   1 1  1 1 1 4  6   3 1 n  3  1 n n n   1 3 1 2 1   . 2 3 6 Bài 52 . Cho các số thực a,b thỏa a  1; b  1 . Tìm giới hạn I  lim B.  A.  C. 1  a  a2  ...  an . 1  b  b2  ...  bn 1 b 1 a Lời giải. Ta có 1, a, a2 ,..., an là một cấp số nhân công bội a 1  a  a2  ...  an  Tương tự 1  b  b2  ...  bn  D. 1 1  an  1 1 a 1  bn  1 1 b 1  an 1 1 b Suy ra lim I  lim 1  na1  1 a 1 b 1 b ( Vì a  1, b  1  lim an1  lim bn1  0 ). Bài 53. Cho dãy số ( xn ) x{c định bởi x1  Đặt Sn  1 1   x1  1 x2  1  1 , x  xn2  xn ,n  1 2 n1 1 . Tính lim Sn . xn  1 B.  A.  C.2 D. 1 Lời giải. Từ công thức truy hồi ta có: xn1  xn , n  1,2,... Nên dãy ( xn ) là dãy số tăng. Giả sử dãy ( xn ) là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim xn  x Với x là nghiệm của phương trình : x  x2  x  x  0  x1 vô lí Do đó dãy ( xn ) không bị chặn, hay lim xn   . GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 19