,
,
,
,
1. Cho số phức z thỏa mãn
và
2. Cho số phức
3. Cho số phức
thỏa mãn
thỏa mãn
:
thì
,
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P z 1 z 2 z 1 . Tính giá trị của M.n
A.
13 3
4
B.
39
4
C. 3 3
D.
13
4
Cách 1:
Re( z ) là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z, z 1 z.z 1
Đặt t z 1 , ta có: 0 z 1 z 1 z 1 2 t 0; 2
t 2 1 z 1 z 1 z.z z z 2 2 Re( z) Re( z)
t2 2
2
z 2 z 1 z 2 z z.z z z 1 z t 2 3
Xét hàm số: f t t t 2 3 , t 0; 2 . Xét 2 TH:
Maxf t
13 3
13
; Minf t 3 M .n
4
4
Cách 2:
z r cos x i sin x a bi
z.z z 2 1
Do z 1
r a 2 b 2 1
P 2 2cos x 2cos x 1 , đặt t cos x 1;1 f t 2 2t 2t 1
TH1: t 1;
2
1
maxf t f 1 3
f 't
20
1
2 2t
minf t f 3
2
1
TH1: t ;1
2
1
f 't
7
7 13
2 0 t maxf t f
8
2 2t
8 4
1
Maxf t
13 3
13
; Minf t 3 M .n
4
4
Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P z 2 z i . Tính module số phức w M mi .
2
2
A. w 2 314
B. w 1258
D. w 2 309
C. w 3 137
Cách 1:
P 4x 2 y 3 y
P 4x 3
2
z 3 4i 5 x 3 y 4
2
P 4x 3
5 x 3
4 5 f x
2
2
2
2
f ' x 8 x 3 8 P 4 x 11 0 x 0,2P 1,6 y 0,1P 1,7
P 33
P 13
Thay vào f x ta được: 0, 2 P 1,6 3 0,1P 1,7 4 5 0
2
2
Cách 2:
z 3 4i 5 x 3 y 4 5 : C
2
2
() : 4 x 2 y 3 P 0
Tìm P sao cho đường thẳng v| đường tròn C có điểm chung
d I ; R 23 P 10 13 P 33
Vậy MaxP 33 ; MinP 13
w 33 13i w 1258
Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z 1 2 z 1
.
A. Pmax 2 5
B. Pmax 2 10
Giải: Theo BĐT Bunhiacopxki:
P z 1 2 z 1
1
2
22
z 1
C. Pmax 3 5
2
z 1
2
10 z 1 2
2
D. Pmax 3 2
5
Bài 4: Cho số phức z x yi x, y R thỏa mãn z 2 4i z 2i và m min z . Tính
module số phức w m x y i .
A. w 2 3
C. w 5
B. w 3 2
Cách 1:
z 2 4i z 2i x y 4
z x y
2
2
x y
2
2
42
2 2
2
D. w 2 6
x y 4 x 2
w 2 2 4i w 2 6
x y
y 2
min z 2 2 , Dấu “=” xảy ra khi
Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x y
2
2
x y
2
2
Dấu “=” xảy ra khi x y
Cách 2:
z 2 4i z 2i y 4 x
z x2 y 2 x2 4 x 2 x 2 8 2 2
2
2
x y 4 x 2
w 2 2 4i w 2 6
x 2
y 2
min z 2 2 . Dấu “=” xảy ra khi
Bài 5: Cho số phức z x yi x, y R thỏa mãn z i 1 z 2i . Tìm môđun nhỏ nhất
của z.
A. min z 2
C. min z 0
B. min z 1
Cách 1:
z i 1 z 2i x y 1
x2 y 2
x y
2
2
1
2
1
1
2
2
z x2 y 2
Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x 2 y 2
x y
2
2
Cách 2:
z i 1 z 2i y x 1
2
z x 2 y 2 x 2 x 1 2 x
2 2
2
2
2
Vậy min z
1
2
1
1
1
1
D. min z
1
2
Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
biểu thức P z 3 3z z z z . Tính M m
A.
7
4
B.
13
4
C.
3
4
D.
15
4
Sáng tác: Phạm Minh Tuấn
Cách 1:
Ta có z 1 z.z 1
2
Đặt t z z 0;2 t 2 z z z z z 2 2 z.z z 2 z 2 z
2
2
2
z 3 3z z z z 2 3 z t 2 1 t 2 1
2
1 3 3
P t t 1 t
2 4 4
3
Vậy minP ; maxP 3 khi t 2
4
15
M n
4
2
Cách 2: Cách này của bạn Trịnh Văn Thoại
P z 3z z z z
3
2
P z z 1 z z
z 3 3z z
z
2
z z z2 3 z z z z z
2
1 z z
3
. Đến đ}y c{c bạn tự tìm max nhé
4
Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn
3 3 2i
1 2 2i
z 1 2i 3 . Gọi M và m lần lượt là giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 3 3i . Tính M.m
A) M.n 25
B) M.n 20
C) M.n 24
D) M.n 30
Dạng tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1 z z2 r . Tính Min, Max của
z z3 . Ta có Max
z2
z
r
r
z3
; Min
2 z3
z1
z1
z1
z1
Áp dụng Công thức trên với z1
Max 6; Min 4
3 3 2i
1 2 2i
; z2 1 2i , z3 3 3i; r 3 ta được
Bài tập áp dụng:
1) Cho số phức z thỏa mãn z 2 2i 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của z . Tính M.m
A) M.n 7
B) M.n 5
2) Cho số phức z thỏa mãn
C) M.n 2
D) M.n 4
1 2i
z 2 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất
1 i
và giá trị nhỏ nhất của z i . Tính M.m
A) M.n 1
5
B) M.n 1
C) M.n 1
3
10
z
i 4 n1 i 4 n với n
i2
3) Cho số phức z thỏa mãn
D) M.n 1
4
. Gọi M và m lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z 3 i . Tính M.m
A) M.n 20
B) M.n 15
C) M.n 24
D) M.n 30
Bài 8: Cho số phức z thỏa mãn z 1 z 1 4 . Gọi m min z và M max z , khi đó
M.n bằng:
B. 2 3
A. 2
C.
2 3
3
3
Giải:
Dạng Tổng quát: z1z z2 z1z z2 k với z1 a bi; z2 c di; z x yi
Ta có: Min z
k 2 4 z2
2
2 z1
và Max z
k
2 z1
Chứng minh công thức:
Ta có: k z1z z2 z1z z2 z1z z2 z1z z2 2 z1z z
Max z
k
. Suy ra
2 z1
k
2 z1
Mặc khác:
z1z z2 z1z z2 k
ax by c ay bx d
2
2
ax by c ay bx d
2
2
k
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
k 1.
ax by c ay bx d
2
2
1.
ax by c ay bx d
2
2
1 1 ax by c ay bx d ax by c ay bx d
4 a b x y 4 c d
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4 a2 b2
2
2
k 2 4 c 2 d2
Suy ra z x 2 y 2
2
k 2 4 z2
2
2 z1
42 4
m
3
2
ADCT trên ta có: z1 1; z2 1; k 4
M 4 2
2
Bài 9: Cho số phức z thỏa mãn iz
2
2
iz
4 . Gọi m min z và
1 i
i 1
M max z , khi đó M.n bằng:
B. 2 2
A. 2
ADCT Câu 12 ta có: z1 i ; z2
C. 2 3
m 2
2
;k 4
1 i
M 2
Bài 10: Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 z2 z3
2
2
1
3
i . Tính giá trị nhỏ nhất của
2 2
2
biểu thức P z1 z2 z3 .
A. Pmin 1
C. Pmin 3
1
3
D. Pmin 2
B. Pmin
Giải:
2
2
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: P 3 3 z1 . z2 . z3
Mặc Khác: z1 z2 z3
D. 1
2
1
3
i z1 z2 z3 1 z1 z2 z3 1
2 2
Suy ra P 3 . Dấu “=” xảy ra khi z1 z2 z3 1
z3
1
z 1 2i
Bài 11: Cho số phức z x yi với x, y là các số thực không âm thỏa mãn
2
2
và biểu thức P z 2 z i z 2 z z 1 i z 1 i . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của P lần lượt là:
A. 0 và 1
C. 3 và 0
B. 3 và 1
D. 2 và 0
Giải:
z3
1 z 3 z 1 2i x y 1
z 1 2i
2
x y
1
P 16 x y 8 xy , Đặt t xy 0 t
4
2
2
2
1
P 16t 2 8t , t 0; MaxP 0; MinP 1
4
Bài 12: Cho các số phức z thỏa mãn z 1 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P 1 z 1 z2 1 z3 .
A. Pmin 1
C. Pmin 3
B. Pmin 4
D. Pmin 2
Giải:
Ta có: z 1 z 1
P 1 z 1 z2 1 z3 1 z z 1 z2 1 z3 1 z z 1 z2 1 z3 2
Bài 13: Cho số phức z thỏa mãn
1
2
3
B. max z
4
A. max z
6z i
1 . Tìm giá trị lớn nhất của z .
2 3iz
C. max z
1
3
D. max z 1
Giải:
2
2
6z i
1 6 z i 2 3iz 6 z i 2 3iz
2 3iz
6 z i 6 z i 2 3iz 2 3iz 6 z i 6 z i 2 3iz 2 3iz
z.z
2
1
1
1
z z
9
9
3
Bài 14: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 . Gọi M max z 1 i , m min z 1 i .
Tính giá trị của biểu thức M 2 n2 .
A. M 2 m 2 28
C. M 2 m 2 26
B. M 2 m 2 24
D. M 2 m 2 20
Giải:
z 2 3i 1 x 2 y 3 1 (1)
2
2
Đặt P z 1 i x 1 y 1 P 2 (2) với P 0
2
Lấy (1)-(2) ta được: y
2
P 2 10 6 x
. Thay vào (1) :
4
2
P 2 10 6 x
x 2
3 1 52 x 2 40 12 P 2 x P 4 4 P 2 52 0 (*)
4
2
Để PT (*) có nghiệm thì:
40 12 P 2
2
4.52. P 4 4 P 2 52 0 14 2 13 P 14 2 13
Vậy M 14 2 13 , m 14 2 13 M 2 m2 28
Bài 15: Cho số thức z
*
thỏa mãn z 3
1
1
2 và M max z . Khẳng định nào sau
3
z
z
đ}y đúng?
A. 1 M 2
B. 1 M
Giải:
5
2
C. 2 M
7
2
3
2
D. M M M 3
3
3
1
1
1
1
1
1
z z3 3 3 z z3 3 z 3 z
z
z
z
z
z
z
3
3
1
1
1
1
1
z 3 z 3 z z 3 z 2
z
z
z
z
z
3
3
3
1
1
1
1
Mặt khác: z 3 z z
3 z
z
z
z
z
3
1
1
1
z
3 z 2 , đặt t z 0 , ta được:
z
z
z
Suy ra:
t 3 3t 2 0 t 2 t 1 0 t 2 z
2
1
2 M 2
z
Bài 16: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 z2 8 6i và z1 z2 2 . Tính giá trị lớn
nhất của biểu thức P z1 z2 .
A. Pmax 5 3 5
C. Pmax 4 6
B. Pmax 2 26
D. Pmax 34 3 2
Giải:
Ta có: z1 z2 8 6i z1 z2 10
2
2
2
z1 z2 z1 z2 2 z1 z2
2
52 z
1
2
z2
2
z
z2
1
2
2
z1 z2 2.52 2 26
Bài 17: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 z2 z3 1 . Tính giá trị nhỏ nhất của
1
1
1
.
z1 z2 z1 z3 z2 z1 z2 z3 z3 z1 z3 z2
biểu thức P
A. Pmin
3
4
1
2
5
2
C. Pmin
B. Pmin 1
D. Pmin
Giải:
z1 z2 z2 z3 z3 z1 z1 z2 z1 z2 z2 z3 z2 z3 z3 z1 z3 z1
2
2
2
9 z1 z2 z3 z1 z2 z3
9 z1 z2 z3
2
Theo BĐT Cauchy- Schwarz:
P
9
9
9
2
2
2
z1 z2 z1 z3 z2 z1 z2 z3 z2 z1 z2 z3
z1 z2 z2 z3 z3 z1
9 z1 z2 z3
Do đó: P
2
9
1 (do z1 z2 z3 0 )
9
Bài 18: Cho ba số phức z thỏa mãn z 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P
A. Pmax 1
B. Pmax
1
2
C. Pmax
2z i
:
2 iz
3
4
D. Pmax 2
Bài 19: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z i 3 và z 2 2i 5 . Kí hiệu z1 , z2 là
hai số phức thuộc S và là những số phức có môđun lần lượt nhỏ nhất và lớn nhất. Tính
giá trị của biểu thức P z2 2 z1 .
A. P 2 6
C. P 33
B. P 3 2
D. P 8
Giải:
3 z i z 1 z 2
x 2 y 12 9
z1 2i
o Dấu “=” xảy ra khi:
2
2
x y 4
z 2 2 z 2 2i 5 z 5 2 2
2
2
45 2 45 2
x 2 y 2 25
o Dấu “=” xảy ra khi:
z2
i
2
2
2
2
x
y
33
20
2
P
45 2 45 2
i 4i 33
2
2
2
Bài 20: Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 v| thỏa mãn z 1 i 2 z z 5 3i sao
cho biểu thức P z 2 2i đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm phần thực của số phức z đó.
A. ( z )
8 7
2
C. ( z )
4 6
2
B. ( z )
8 2
2
D. ( z )
12 2
2
Giải:
z 1 i 2 z z 5 3i y x 2
2
2
P
2
2
2
3 7
7
x 2 y 2 y y 2 y 2 4 4
3
4 6 3
y 2
z
i
Dấu “=” xảy ra khi:
2
2
y x 2 2
Bài 21: Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z 3 z 2 .
11
2
A. Pmax
B. Pmax 2 3
C. Pmax
13
2
D. Pmax 3 5
Bài 22: Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P z 3 1 z 2 z 1 . Tính M m .
A. 2
B.7
Bài 23: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn
P
z1
z1
A. 2
z2
z2
C.6
z1 z2
z1 z2
D. 5
1
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
.
B.0,75
C.0,5
Bài 24: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 z2 z3
trị lớn nhất của biểu thức P z1 z2 2 z2 z3 2 z3 z1 .
D. 1
2
và z1 z2 z3 0 . Tính giá
2
A. Pmax
7 2
3
C. Pmax
3 6
2
B. Pmax
4 5
5
D. Pmax
10 2
3
Giải:
2
2
2
2
2
2
2
z1 z2 z2 z3 z3 z1 z1 z2 z3 z1 z2 z3
3
2
Theo BĐT Bunhiacôpxki ta có:
P z1 z2 2 z2 z3 2 z3 z1
1 2
2
22
z
1
2
2
z2 z2 z3 z3 z1
2
3 26
Bài 25: Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
2
2
nhỏ nhất của biểu thức P z 2 1 1 z . Tính M n
A. 12
C. 15
B. 20
D. 18
2
Bài 26: Cho bốn số phức a , b , c , z thỏa mãn az bz c 0 và a b c 0 . Gọi
M max z , m min z . Tính môđun của số phức w M mi .
A. w 2
C. w 3
B. w 2
D. w 1
Bài 27: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z i z 2 i . Tính môđun của số phức w M mi .
A. w 2 6
C. w 3 5
B. w 4 2
D. w 4
Giải:
z 1 2 x 1 y 2 2
2
P x2 y 1
2
vecto
2 x 1 y
2
2
x 2 x y 1 1 y
2
2
2 2
P x 2 y 1
2 x 1 y
2
2
2
bunhiacopxki
2
2.2 x 1 y 2 2 4
w 4 2 2i 2 6
Bài 28: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 z2
3
3 4
i , z1 z2 3 và biểu thức
5 5
3
P 4 z1 4 z2 3 z1 3 z2 5 đạt giá trị nhỏ nhất , khi đó gi{ trị của z1 z2 bằng:
A. 1
C. 1
B. 2
D.
3
Giải:
Ta có: z1 z2 1; 3 z1 z2 z1 z2
2
2
2
z1 z2 z1 z2 2 z1 z2
3
P 4 z1 z2
3
3 z
1
2
2 z
2
1
2
z2
z2 5 z1 z2
3
z
1
z2
2
2
3 z1 z2 2
3 z1 z2 5
t 1
Xét hàm số: f t t 3 3t 5, t 3; 2 ; f ' t 3t 2 3 0
L
t 1
Do đó minf t f
3 5 minP 5
Dấu “=” xảy ra khi z1 z2 3
Bài 29: Cho số phức z thỏa mãn z
2
2
3
3 2 . Gọi M max z và m min z , tính
z
môđun của số phức w M mi .
A. w 4 22
C. w 5 10
B. w 7 56
D. w 3 62
Giải:
3
z 3 2
z
4
z2 3
z
2
2
18
z
2
3 z2 3
z
2
18 z 3 z z 6 z
2
z 6 z 9
z
2
2
18 12 3 15 z 12 3 15
2
4
z
2
2
9
18
Do đó: w 3 62
Bài 30: Cho số phức z thỏa mãn z 2 2 z 5 z 1 2i z 3i 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P z 2 2i .
A. Pmin
1
2
C. Pmin 2
B. Pmin 1
D. Pmin
3
2
Giải:
z 2 2 z 5 z 1 2i z 3i 1 z 1 2i z 1 2i z 1 2i z 3i 1
z 1 2i 0 z 1 2i w 1
z 1 2i z 3i 1 b 1
2
1
Với b P
2
a 2
2
9 3
. Vậy min P 1
4 2
Bài 31: Cho số phức z thỏa mãn z 2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của của biểu thức P
A.
zi
. Tính giá trị của biểu thức M.n :
z
1
4
C. 1
B. 2
D.
3
4
Bài 32: Cho số phức z thỏa mãn z 2 4 2 z . Gọi M max z và m min z , tính
môđun của số phức w M mi .
A. w 2 3
B. w
6
3
C. w 14
D. w
2
3
Bài 33: Cho số phức z x yi , x , y
2
2
là số phức thỏa mãn hai điều kiện
z 2 z 2 26 và biểu thức P z
3
2
3
2
i đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của
biểu thức (x.y)
9
4
16
B. xy
9
9
2
17
D. xy
2
A. xy
C. xy
Bài 34: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 z2 z3
biểu thức P
1
15
i . Tìm giá trị nhỏ nhất của
4
4
1
1
1
6
.
z1 z2 z3 z1 z2 z3
A. Pmin 6
C. Pmin 5
B. Pmin 4
D. Pmin 3
Bài 35: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 z2 1 . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P z1 1 z2 1 z1 z2 1 . Khẳng định n|o sau đ}y sai?
A.
7
m3
4
B. 1 m
C. 3 m
11
5
D.
7
2
1
5
m
4
2
Bài 36: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện z1 z2 2017 . Tìm giá trị nhỏ nhất
2
z1 z2
z1 z2
của biểu thức P
2017 2 z z 2017 2 z z
1 2
1 2
1
2017
2
B.
2017
A.
2
2
2017 2
1
D.
2017 2
C.
Đặt z1 2017 cos 2x i sin 2x và z2 2017 cos 2 y i sin 2 y
Ta có:
cos x y
z1 z2
cos 2 x i sin 2 x cos 2 y i sin 2 y
2
2017 z1 z2 2017 1 cos(2 x 2 y) i sin(2 x 2 y) 2017 cos x y
Tương tự:
Suy ra
P
sin y x
z1 z2
2
2017 z1 z2 2017 sin y x
cos 2 x y
2017 cos x y
2
2
sin 2 x y
2
2017 sin
2
y x
1
1
cos 2 x y sin 2 x y
2
2017
2017 2
Bài 37: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P 1008 1 z 1 z 2 ... 1 z 2016 1 z 2017
A. 2017
C. 2018
B. 1008
D. 2016
Bài 38: Xét các số phức thỏa mãn z 2 i z 4 7i 6 2 . Gọi M, m lần lượt là giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z 1 i . Tính M m .
A.
13 73
B. 5 2 73
C.
5 2 2 73
2
D.
5 2 73
2
Cách 1:
Ta có: z 2 i z 4 7 i 6 2
Áp dụng BĐT Mincopxki: VT1
x 2 y 1
2
2
4 x 7 y
2
x 2 4 x y 1 7 y
2
2
2
6 2 1
6 2 VP1
y x 3
Dấu “=” xảy ra khi x 2 7 y 4 x y 1
2; 4
x
3 25 5 2
5 2
m
Suy ra z 1 i 2 x 6 x 17 2 x
2
2
2
2
2
2
Mặc khác xét: f x 2 x 2 6 x 17 , x 2; 4 maxf x f 4 73 M
Vậy M m
5 2 2 73
2
Cách 2:
x 2 y 1
2
Ta có: z 2 i z 4 7 i 6 2
2
x 4 y 7
2
2
6 2
Xét c{c điểm N x; y , A 2;1 , B 4; 7 , khi đó ta được:
NA NB 6 2 AB suy ra N, A, B thẳng hàng (N nằm giữa A v| B). Phương trình
đường thẳng AB: x y 3 0
Theo đề: z 1 i
x 1 b 1
2
2
, xét điểm I 1; 1 IN
x 1 b 1
2
2
, khi
đó:
min IA; IB; d I ; AB IN max IA; IB; d I ; AB
5 2
m IN min d I ; AB
2
M IN IB 73
max
Bài tập tự luyện:
1) Xét các số phức thỏa mãn z 1 i z 3 2i 5 . Gọi M, m lần lượt là giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính M m .
A.
5 5 13
5
C.
5 5 13
B.
2 13
D.
2 2 13
2) Xét các số phức thỏa mãn z 1 i z 3 2i 5 . Gọi M, m lần lượt là giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z 2i . Tính M m .
C.
5 5 10
5
E.
10 5
2 13
D.
F. 2 10 5
3) Xét các số phức thỏa mãn z 2 i z 2 3i 2 5 . Gọi M, m lần lượt là giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính M m .
E.
5 13 4 5
5
F.
13 5
13 2
G.
H. 2 15 2
Bài 39: Xét các số phức thỏa mãn z 4 3i z 8 5i 2 38 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
z 2 4i .
1
2
5
B.
2
Giải:
A.
C. 2
D. 1
Ta có: z 4 3i z 8 5i 2 37
x 4 y 3
2
2
x 8 y 5
2
2
2 38
1
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
2 38
1
2
2
2
2
2
12 x 4 y 3 x 8 y 5 2
Suy ra z 2 4i
x 2 y 4
2
2
x 2 y 4
2
2
37
1
Bài 40: Cho số phức z thỏa mãn z.z 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
2
nhỏ nhất của biểu thức P 2 z z 1 z 1 . Hỏi M 2 n2 gần nhất với giá trị nào sau
đ}y?
A. 327
B. 328
C. 339
D. 382
2
Cách 1: z.z z 1
Đặt t z 1 , ta có: 0 z 1 z 1 z 1 2 t 0; 2
t 2 z 1 z 1 2 z z z z t 2 2
2
2
2 z z 1 2 z z 1 2 z z 1 2 z z 3 z z 2 P 2t 4 5t 2 t 4
Xét hàm số: f t 2t 4 5t 2 t 4, t 0; 2 .
Suy ra minP 2 ; maxP 18 M 2 n2 328
Bài 41: Cho số phức z thỏa mãn z 1 z 2 z 3 12 . Gọi M và m lần lượt là giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z 4 . Tính môđun M mi .
A.
C. 2 10
10
B. 3 10
D. 4 10
Giải:
Đặt w z 4 3w 6 w 3 w 2 w 1 12 w 2 4
Qũy tích điểm biểu diễn số phức w là hình tròn, tâm I 2; 0 bán kính R 4
R OI 2
w
min
M mi 2 10
w
R
OI
6
max
Bài 42: Cho các số phức z , z1 , z2 thỏa mãn
2 z1 2 z2 z1 z2 6 2. Giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P z z z1 z z2 .
A. 6 2 3
C. 3 2 3
B. 6 2 2
D. 3 2 2
Giải:
Chọn A, B, M lần lượt l| điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z ,
dựa v|o điều kiện OAB là tam giác vuông cân tại O có
độ dài AB 6 2 . Dựng tam gi{c đều ABC ở phía mặt
phẳng không chứa O.
Áp dụng hệ quả BĐT Ptoleme: P OM MA MB OM MC OC
Đẳng thức xảy ra khi O, M, C thẳng hàng OC
AB AB 3
3 6 3 2
2
2
- Xem thêm -
.PDF 
27 
1665 
80 
