Tài liệu TÔPÔ TRÊN TẬP HỢP CÓ THỨ TỰ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ___________________ Vũ Đình Tuấn TÔPÔ TRÊN TẬP HỢP CÓ THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ___________________ Vũ Đình Tuấn TÔPÔ TRÊN TẬP HỢP CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành : Hình học và tôpô Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 i LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Hà Thanh. Trong quá trình học tập ở trường và viết luận văn, thầy đã giúp tôi làm quen với nghiên cứu khoa học. Đặc biệt là những kiến thức liên quan đến đề tài luận văn, thầy đã hướng dẫn nhiệt tình, tận tụy, sâu sát, dạy tôi biết cách đọc tài liệu, biết cách viết luận văn và phương pháp nghiên cứu khoa học. Qua đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, chúc thầy sức khỏe và thành công hơn nữa trong sự nghiệp giáo dục. Nếu có cơ hội, hy vọng rằng tôi sẽ được thầy dạy bảo thêm trên con đường học tập và nghiên cứu trong tương lai của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Khoa Toán - Tin, Phòng Khoa học công nghệ và Sau đại học, Thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi được học tập, nghiên cứu tại trường. Đồng gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy trong Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao học. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn nghiên cứu sinh Wojciech Bielas, Đại học Silesia, Ba Lan đã nhiệt tình giúp đỡ tôi nhiều về các kiến thức chuyên ngành liên quan đến luận văn. Đồng thời, tôi cũng bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, động viên tinh thần, tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. Chân thành! Vũ Đình Tuấn. ii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................. i T 5 5T MỤC LỤC ................................................................................................................ ii T 5 5T DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU ......................................................................................1 T 5 5T DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ.....................................................................................2 T 5 5T LỜI MỞ ĐẦU .............................................................................................................3 T 5 5T Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................5 T 5 T 5 1.1. Tập sắp thứ tự riêng phần .....................................................................................5 T 5 5T 1.1.1. Tập sắp thứ tự riêng phần ..........................................................................5 T 5 T 5 1.1.2. Phần tử tối đại và phần tử tối thiểu ...........................................................6 T 5 T 5 1.1.3. Xích, đối xích ............................................................................................7 T 5 5T 1.2. Đại cương về không gian tôpô .............................................................................7 T 5 T 5 1.2.1. Tôpô, không gian tôpô. .............................................................................7 T 5 T 5 1.2.2. Cơ sở của tôpô ...........................................................................................8 T 5 5T 1.2.3. Lân cận, cơ sở lân cận ...............................................................................9 T 5 T 5 1.2.4. Phần trong, bao đóng của tập hợp .............................................................9 T 5 T 5 1.2.5. Ánh xạ liên tục, ánh xạ đồng phôi ..........................................................10 T 5 T 5 1.2.6. Tôpô cảm sinh, không gian con ..............................................................10 T 5 T 5 1.2.7. Các tiên đề tách và một vài không gian tôpô đặc biệt ............................10 T 5 T 5 1.3. Sự hội tụ theo lọc trong không gian tôpô ...........................................................12 T 5 T 5 1.3.1. Lọc...........................................................................................................12 T 5 5T 1.3.2. Siêu lọc ....................................................................................................13 T 5 5T 1.3.3 Lọc hội tụ .................................................................................................14 T 5 5T 1.4. Tính chất liên thông, compact ............................................................................15 T 5 T 5 1.4.1. Tập liên thông .........................................................................................15 T 5 5T 1.4.2. Tập compact, tập CN ..............................................................................16 T 5 T 5 1.4.3. Compact hoá Stone – Cech .....................................................................17 T 5 T 5 1.5. Khái niệm cây ....................................................................................................18 T 5 5T iii Chương 2: CẤU TRÚC TÔPÔ TRÊN CÂY ........................................................21 T 5 T 5 2.1. Cấu trúc cơ bản của tôpô trên cây ......................................................................21 T 5 T 5 2.2. Các trường hợp đặc biệt của F - cây và sự biến dạng của nó ...........................29 T 5 T 5 T 5 T 5 2.2.1. Không gian Arhangle’ski – Franklin Sω . ................................................29 T 5 T 5 T 5 T 5 2.2.2. Cách xây dựng không gian  của Levy ................................................30 T 5 T 5 T 5 5T 2.2.3. Cách xây dựng của El’kin .......................................................................30 T 5 T 5 2.2.4. Tôpô Szymanski trên Seq( X ) .................................................................31 T 5 T 5 2.2.5. Cách xây dựng của Juhasz, Soukup và Szentmiklossy ...........................33 T 5 T 5 Chương 3: VÀI ỨNG DỤNG CỦA F - TÔPÔ ....................................................37 T 5 T 5 T 5 T 5 3.1. Ánh xạ của các F - cây vào chính nó ................................................................37 T 5 5T 5T T 5 3.2. Ánh xạ compact hoá Stone – Cech của các F - cây ..........................................42 T 5 T 5 T 5 T 5 KẾT LUẬN ..............................................................................................................48 T 5 5T TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................50 T 5 5T 1 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Kí hiệu Ý nghĩa B ( x, r ) Quả cầu mở tâm x , bán kính r . clU , U Bao đóng của tập U . n ω Tập các dãy số tự nhiên gồm n phần tử. (X ) Tập hợp các tập con của tập X . Seq Tập các dãy số tự nhiên hữu hạn. succ(t ) x y  dom( x) Tập các phần tử kế tiếp của phần tử t . Họ các lân cận của x . Hạn chế của dãy y lên dãy x . 2 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1: Sơ đồ giao hoán. ........................................................................................18 Hình 1.2: Sơ đồ hình cây trường hợp X có ba phần tử. ...........................................20 U T 5 U T 5 5T U T 5 U U T 5 T 5 U 3 LỜI MỞ ĐẦU Nghiên cứu các tôpô trên một tập hợp và so sánh chúng là một bài toán được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Một trong những sự quan tâm đó là việc xây dựng, nghiên cứu tôpô trên tập hợp có thứ tự mà ta gọi là "cây". Ở đây khái niệm "cây" được hiểu như sau: Cho tập sắp thứ tự riêng phần ( X , ≤) và x ∈ X , ta sử dụng các kí hiệu sau [ x, →) = { z ∈ X : xz} , ( x, →) = { z ∈ X : x < z} , (←, x) ={ z ∈ X : z < x} , [ x, y= ] { z ∈ X : xzy} . Một cây là một tập sắp thứ tự riêng phần (T , ) sao cho các điều kiện sau thoả mãn: (1) Tồn tại phần tử nhỏ nhất (phần tử gốc) trong T , (2) Với mỗi t ∈ T , tập (←, t ) sắp thứ tự tốt bởi quan hệ ≤ . Theo dòng thời sự trên, Arhangle’skii – Franklin đã xây dựng không gian tôpô Sω trên cây T = Seq (1968), Sω được trang vị tôpô  F cảm sinh bởi họ F các lọc Fréchet. Không gian này là Hausdorff 0 - chiều thuần nhất trù mật đếm được. Tiếp theo sau đó, Levy xây dựng không gian tôpô S  cũng trên cây T = Seq (1977), không gian này là Hausdorff 0 - chiều thuần nhất đếm được và không phải là không gian không liên thông nghiêm ngặt. Đến năm 1980, A.G. El’kin đưa ra cách xây dựng tổng quát của một tôpô sinh bởi họ các lọc. Ông xây dựng trên một tập vô hạn tuỳ ý, khi thay tập đó bởi một cây thích hợp ta vẫn có được tôpô - cây. Trong trường hợp tổng quát, không gian tôpô này không Hausdorff. Tuy nhiên, ông đã sửa đổi và tạo ra được tôpô mới Hausdorff có những tính chất khá đẹp. Kế tiếp với cách xây dựng của Levy, năm 1985, Szymanski tạo ra tôpô trên không gian Seq( X ) với tập X tuỳ ý. Đây là cách xây dựng đẹp nhất của tôpô sinh 4 bởi họ các lọc. Tôpô này cho phép ta tạo ra không gian tôpô tích không liên thông nghiêm ngặt. Đặc biệt với sự hợp tác của ba nhà toán học Juhász, Soukup và Szentmiklóssy (2008), không gian tôpô X ( F ) ra đời, được xây dựng trên các siêu lọc. Xét ở một phương diện cụ thể nào đó, tôpô trên X ( F ) trùng với tôpô của F cây . Tuy nhiên trong trường hợp tổng quát, tôpô trên X ( F ) phong phú hơn tôpô của F - cây. Cùng với sự quan tâm đó, tôi đã chọn đề tài “TÔPÔ TRÊN TẬP HỢP CÓ THỨ TỰ làm đề tài luận văn nghiên cứu của mình. Luận văn gồm ba chương như sau: • Chương 1: Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản nhằm phục vụ cho các chương sau. • Chương 2: Trình bày cách xây dựng và đưa ra cấu trúc cơ bản của tôpô trên cây T . Đồng thời nghiên cứu các trường hợp đặc biệt cũng như sự thay đổi dạng của F - cây. • Chương 3: Nêu và làm rõ một vài ứng dụng của F - tôpô. Luận văn được tham khảo chính trong bài báo "Defining topologies on trees" của tác giả Alexsander Blaszczyk (2013), Alabama, USA. Trong luận văn này tôi thu thập và làm rõ các kết quả liên quan đến cấu trúc tôpô xác định trên cây. Đồng thời, tôi cũng trình bày khái niệm tôpô trên cây cảm sinh bởi họ các lọc. Từ đó làm rõ một số ứng dụng của chúng. 5 Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản nhằm phục vụ cho các chương sau như: tập sắp thứ tự riêng phần, không gian tôpô, sự hội tụ trong không gian tôpô, tính chất liên thông, compact (tham khảo từ [1], [2], [27]). Đặc biệt, trong nội dung chương còn nêu khái niệm "cây" và đưa ra một số ví dụ cụ thể minh hoạ khái niệm, tạo hình ảnh trực quan cho việc xây dựng cấu trúc tôpô trên cây. 1.1. Tập sắp thứ tự riêng phần Một tiền thứ tự là một quan hệ hai ngôi trên một tập hợp thoả mãn tính chất phản xạ, tính chất bắc cầu. Nếu tiền thứ tự trên có thêm tính chất phản xứng thì tiền thứ tự đó được gọi là thứ tự riêng phần. 1.1.1. Tập sắp thứ tự riêng phần Một thứ tự riêng phần là một quan hệ hai ngôi " ≤ " trên một tập T thoả mãn các tính chất sau: ∀x, y, z ∈ T 1. Tính phản xạ: x ≤ x ∀x ∈ T ; 2. Tính phản xứng: Nếu x ≤ y và y ≤ x thì x = y ; 3. Tính bắc cầu: Nếu x ≤ y và y ≤ z thì x ≤ z . Định nghĩa 1.1.1. Một tập được trang bị một thứ tự riêng phần được gọi là tập sắp thứ tự riêng phần (hay còn gọi là poset). Trong tập sắp thứ tự riêng phần, hai phần tử bất kì có thể so sánh được, cũng có thể không so sánh được. Nếu hai phần tử bất kì trong tập sắp thứ tự riêng phần đều so sánh được thì tập đó trở thành tập sắp thứ tự toàn phần. Như vậy, quan hệ thứ tự riêng phần rộng hơn quan hệ thứ tự toàn phần. Ví dụ 1.1.2. 6 1. Tập hợp các số thực  là một tập sắp thứ tự toàn phần với quan hệ " ≤ ". Do đó cũng là tập sắp thứ tự riêng phần. 2. Xét tập hợp số tự nhiên  với quan hệ thứ tự như sau: ∀a, b ∈ , a ≤ b ⇔ b  a Khi đó,  trở thành tập sắp thứ tự riêng phần với quan hệ " ≤ ". 3. Cho X là tập bất kì. Xét tập  =  ( X ) với quan hệ thứ tự như sau: ∀A, B ∈  , A ≤ B ⇔ A ⊆ B . Khi đó, dễ dàng kiểm tra rằng  cùng với quan hệ thứ tự như trên trở thành tập sắp thứ tự riêng phần. 4. Với ω là bản số siêu hạn. Kí hiệu n ω là tập các dãy số tự nhiên gồm n phần tử. Dãy không có phần tử nào (ứng với n = 0 ) kí hiệu là ∅ . Xét tập <ω Seq = ω= { n ω : n < ω} , trên Seq ta định nghĩa thứ tự như sau: x, y ∈ Seq , x ≤ y ⇔ y  dom( x) = x. Trong đó y  dom( x) là hạn chế của dãy y lên dãy x . Với thứ tự trên, Seq trở thành tập sắp thứ tự riêng phần. 1.1.2. Phần tử tối đại và phần tử tối thiểu Cho (T , ≤) là tập thứ tự riêng phần, một phần tử m ∈ T được gọi là tối đại (hay tối thiểu) nếu ∀a ∈ T , m  a (haya  m) . Một cách tương đương, phần tử m ∈ T là tối đại (tối thiểu) nếu m ≤ a ( a ≤ m ) với bất kì a ∈ T thì m = a . Chú ý: • Định nghĩa trên đúng với bất kì hai phần tử nào so sánh được của tập sắp thứ tự riêng phần. • Phần tử tối đại (tối thiểu) của T có thể không tồn tại, có thể có một hoặc nhiều hơn một phần tử. 7 • Từ định nghĩa trên ta thấy nếu T có hai phần tử không so sánh được, thì T có thể có nhiều hơn một phần tử tối đại (tối thiểu). Ví dụ: • Xét tập thứ tự riêng phần S = [1, ∞] ⊂  với quan hệ thứ tự " ≤ " thông thường, tập này không có phần tử tối đại. Tương tự tập (−∞,1] không có phần tử tối thiểu. • Tập S ={s ∈  :1 ≤ s 2 ≤ 2} ⊂  cũng không có phần tử tối đại vì 2 ∉. • Xét tập S = {{d , o} , {d , o, g } , { g , o, a, d } , {o, a, f }} sắp thứ tự bởi quan hệ " ⊆ ". Ta thấy {d , o} ⊆ {d , o, g} ⊆ { g , o, a, d } nên {d , o} là phần tử tối thiểu, { g , o, a, d } là phần tử tối đại. {o, a, f } vừa là phần tử tối thiểu, vừa là phần tử tối đại. • Cho A là tập có ít nhất hai phần tử. Đặt = S {{a} : a ∈ A} ⊂  ( A) . $S$ là tập sắp thứ tự riêng phần với thứ tự bao hàm " ⊂ ". S là tập rời rạc, hai phần tử bất kì trong S không thể so sánh. Do vậy, mọi {a} ∈ S là phần tử tối đại và cũng là phần tử tối thiểu. 1.1.3. Xích, đối xích Cho tập sắp thứ tự riêng phần (T , ≤) . Tập A ⊂ T được gọi là xích nếu với mỗi cặp phần tử trong A đều có thể so sánh được. Hay nói cách khác, một xích là một tập sắp thứ tự toàn phần. Tập B ⊂ T được gọi là đối xích nếu bất kì hai phần tử khác nhau nào trong B đều không so sánh được. Nghĩa là không có quan hệ thứ tự giữa hai phần tử khác nhau bất kì trong B . Ví dụ: Tập B = {{1, 2} , {1,3} , {2,3}} với quan hệ " ⊂ " là một đối xích. 1.2. Đại cương về không gian tôpô 1.2.1. Tôpô, không gian tôpô. Định nghĩa 1.2.1. 8 1. Cho tập hợp X ≠ ∅ , một họ τ ⊂  ( X ) được gọi là tôpô trên X nếu τ thoả các tính chất sau: • ∅, X ∈ τ , • G1 , G2 ∈τ ⇒ G1 ∩ G2 ∈τ , • Gi ∈τ , ∀i ∈ I ⇒  Gi ∈τ . i∈I 2. Nếu τ là một tôpô trên X thì cặp ( X ,τ ) được gọi là không gian tôpô. 3. Mỗi G ∈τ gọi là một tập mở trong X . Tập F ⊂ X là tập đóng nếu X \ F là mở. Ví dụ: Cho không gian metric ( X , d ) , định nghĩa họ τ d như sau: G ∈τ d khi và chỉ khi G = ∅ hoặc có tính chất ∀x ∈ G, ∃r > 0 : B( x, r ) ⊂ G . Khi đó, τ d là tôpô trên X và ta gọi là tôpô của không gian metric ( X , d ) . Cho bản số κ > 1 , không gian tôpô X được gọi là κ - giải được nếu X chứa κ tập con trù mật, rời nhau đôi một. 1.2.2. Cơ sở của tôpô Định nghĩa 1.2.2. Cho τ là tôpô trên X , họ σ ⊂ τ được gọi là cơ sở của tôpô τ nếu với mỗi G ∈τ là hợp của một họ nào đó các tập thuộc σ . Tức là: ∀G ∈τ ⇒ ∃{i }i∈I ⊂ σ : G = i . i∈I Định lý 1.2.3. σ là cơ sở của tôpô $\tau$ khi và chỉ khi ∀G ∈τ , ∀x ∈ G ⇒ ∃∈ σ : x ∈⊂ G. Ví dụ: Từ định nghĩa của tập mở trong không gian metric ( X , d ) ta thấy họ = σ {B( x, r ) / x ∈ X , r > 0} là cơ sở của tôpô τ d trên không gian metric ( X , d ) và họ   1  = σ ′  B  x,  / x ∈ X , n ∈ *  cũng là cơ sở.   n  Một không gian tôpô X được gọi là không gian 0 - chiều nếu X có cơ sở tôpô là các tập vừa đóng vừa mở. Ví dụ: Tập rời rạc là tập 0 - chiều. Tập  là tập 0 - chiều. 9 1.2.3. Lân cận, cơ sở lân cận Định nghĩa 1.2.4. Cho không gian tôpô ( X ,τ ) 1. Với x ∈ X , U ⊂ X ta nói U là lân cận của x nếu ∃G ∈τ : x ∈ G ⊂ U . Họ gồm các lân cận của x được kí hiệu là  x . 2. Họ x ⊂  x được gọi là cơ sở lân cận của x nếu ∀U ∈  x ⇒ ∃V ∈ x : V ⊂ U . Hiển nhiên nếu σ là cơ sở của tôpô τ thì họ x =∈ { σ / x ∈} là cơ sở lân cận của x . = Nói riêng họ x {B( x, r ) / r > 0} là cơ sở lân cận của x trong ( X , d ) . 3. Không gian tôpô ( X ,τ ) gọi là thoả tiên đề đếm được thứ nhất nếu mỗi x ∈ X có cơ sở lân cận không quá đếm được. 1.2.4. Phần trong, bao đóng của tập hợp Định nghĩa 1.2.5. 1. Tập mở lớn nhất chứa trong A (hoặc là hợp tất cả các tập mở chứa o trong A ) được gọi là phần trong của A , kí hiệu là A hay IntA . 2. Mỗi x ∈ IntA được gọi là điểm trong của A . Tính chất. • IntA . A là tập mở ⇔ A = • x là điểm trong của A ⇔ ∃G mở sao cho x ∈ G ⊂ A ⇔ A là một lân cận của x . Định nghĩa 1.2.6. 1. Tập đóng nhỏ nhất chứa A (hay giao tất cả các tập đóng, chứa A ) gọi là bao đóng của A , kí hiệu là A hay clA . 2. Mỗi x ∈ clA gọi là điểm dính của A . Tính chất. • clA . A là tập đóng ⇔ A = 10 • x ∈ clA ⇔ ( ∀U ∈  x ⇒ U ∩ A ≠ ∅ ) . 1.2.5. Ánh xạ liên tục, ánh xạ đồng phôi Định nghĩa 1.2.7. Cho các không gian tôpô ( X ,τ ) , (Y ,θ ) và một ánh xạ f : X → Y . Ta nói f liên tục tại x0 ∈ X nếu ∀V là lân cận của f ( x0 ) ⇒ ∃U là lân cận của x0 : f (U ) ⊂ V . hay ∀V là lân cận của f ( x0 ) ⇒ f −1 (V ) là lân cận của x0 . Hiển nhiên, trong 1.1, 1.2 chỉ cần lấy V thuộc một cơ sở lân cận của f ( x0 ) . Ta nói f liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi x ∈ X . Ta nói f là ánh xạ đồng phôi nếu f là song ánh liên tục và f −1 liên tục. Định lý 1.2.8. Các mệnh đề sau đây tương đương i) f liên tục trên X . ii) Mọi tập B mở (đóng) trong Y thì f −1 ( B) là mở (đóng) trong X . Hệ quả 1.2.9. Cho τ ,θ là hai tôpô trên X . Khi đó: τ= θ ⇔ I : ( X ,τ ) → ( X ,θ ) là ánh xạ đồng phôi. 1.2.6. Tôpô cảm sinh, không gian con Định nghĩa 1.2.10. Cho không gian tôpô ( X ,τ ) và ∅ ≠ A ⊂ X 1. Họ τ A = { A ∩ G : G ∈τ } là một tôpô trên A và gọi là tôpô cảm sinh trên A của τ . 2. Không gian tôpô ( A,τ A ) gọi là không gian con (hay không gian tôpô con) của ( X ,τ ) . Định lý 1.2.11. Cho không gian tôpô ( X ,τ ) 1. Nếu ∅ ≠ B ⊂ A thì (τ A ) B = τ B . 2. Nếu f : ( X ,τ ) → Y liên tục thì f | A : ( A,τ A ) → Y liên tục. 1.2.7. Các tiên đề tách và một vài không gian tôpô đặc biệt 11 Không gian tôpô X gọi là T0 - không gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất kì thuộc X đều có một lân cận của x không chứa y hoặc một lân cận của y không chứa x . Định lý 1.2.12. Không gian X là T0 - không gian nếu và chỉ nếu hai điểm x, y khác nhau bất kì thuộc X thì x ∉ { y} hoặc y ∉ { x} . Không gian tôpô X gọi là T1 - không gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất kì của x đều có một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x. Định lý 1.2.13. Không gian X là T1 - không gian nếu và chỉ nếu mọi tập con chỉ gồm một điểm của x là tập đóng. Không gian tôpô X gọi là T2 - không gian (hay không gian Hausdorff) nếu hai điểm x, y khác nhau bất kì của X , tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho U ∩ V = ∅. Không gian tôpô X gọi là T3 - không gian (hay không gian chính quy) nếu X là T1 - không gian và với mọi x ∈ X , mọi tập con đóng F của X không chứa x , tồn tại các tập con mở U và V sao cho x ∈ U , F ⊂ V và U ∩ V = ∅. Định lý 1.2.14. Không gian X là T3 - không gian nếu và chỉ nếu X là T1 - không gian và mọi x ∈ X , mọi lân cận V của x đều chứa một lân cận đóng của x , tức là tồn tại lân cận U của x sao cho x ∈ U ⊂ U ⊂ V . Không gian tôpô X gọi là T 1 - không gian (hay không gian hoàn toàn chính 3 2 quy) nếu X là T1 - không gian và mọi x ∈ X , mọi tập con đóng F của X không chứa x , tồn tại một hàm liên tục f : X → [0,1] sao cho f ( x) = 0 và f ( y ) = 1 với mọi y∈F . Không gian hoàn toàn chính quy còn gọi là không gian Tikhonov. 12 Không gian tôpô X gọi là T4 - không gian (hay không gian chuẩn tắc) nếu X là T1 - không gian và hai tập con đóng A, B bất kì không giao nhau trong X , tồn tại các tập mở U ,V sao cho A ⊂ U , B ⊂ V và U ∩ V ≠ ∅ . Ta gọi T0 , T1 , T2 , T3 , T 1 , T4 là các tiên đề tách và T j ⇒ Ti nếu j > i . 3 2 Định nghĩa 1.2.15. Không gian X gọi là di truyền chuẩn tắc nếu và chỉ nếu mọi tập con Y của X đều là chuẩn tắc. Định nghĩa 1.2.16. Cho X là không gian tôpô và tập (= X) {( x,U ) ∈ X ×τ ( X ) : x ∈U } , X được gọi là chuẩn tắc đơn điệu (hay còn gọi là không gian MN nếu và chỉ nếu X là T1 - không gian và tồn tại một phép toán H : ( X ) → τ ( X ) ( x,U )  H ( x,U ) sao cho các điều kiện sau đây thoả mãn: (1) x ∈ H ( x, U ) ⊂ U với mỗi ( x, U ) ∈ ( X ) , (2) Nếu H ( x,U ) ∩ H ( y,V ) ≠ ∅ thì x ∈ V hoặc y ∈ U . Phép toán H xác định như trên gọi là phép toán chuẩn tắc đơn điệu. 1.3. Sự hội tụ theo lọc trong không gian tôpô 1.3.1. Lọc Định nghĩa 1.3.1. Cho X là tập hợp tuỳ ý. Họ  ≠ ∅ các tập con của X gọi là lọc trong X nếu  thoả các điều kiện dưới đây: (1) A∈  ⇒ A ≠ ∅ , (2) A, B ∈  ⇒ A ∩ B ∈  , (3) B ⊃ A, A ∈  ⇒ B ∈  . Nếu 1 , 2 là các lọc trong X và 1 ⊂ 2 ta nói lọc 2 mạnh hơn lọc 1 . Lọc  được gọi là cố định (hay còn gọi là lọc chính) nếu tồn tại F ∈  sao cho F không có tập con thực nào, nghĩa là lọc  gồm tất cả các phần tử của X chứa F . Phần tử F gọi là phần tử cố định. 13 Lọc  gọi là lọc tự do (lọc không chính) nếu  không là lọc cố định. Ví dụ: • Họ  x tất cả các lân cận của x trong không gian tôpô là lọc. Lọc này là lọc cố định. Nếu x là cơ sở lân cận của x thì x là cơ sở lọc.  x là lọc sinh bởi x . • Cho X ≠ ∅ , x0 ∈ X , họ x := { A ∈  ( X ) / x0 ∈ A} là lọc. x cũng là 0 0 lọc cố định. • Cho  là một cơ sở lọc trong X , f : X → Y thì f ( ) là cơ sở lọc trong Y . • Giả sử  là họ có tâm các tập con của X . Gọi  ′ là họ các giao hữu hạn các tập thuộc  thì  ′ là một cơ sở lọc. Suy ra tồn tại lọc yếu nhất chứa  . • Cho  = A là tập con khác rỗng của tập vô hạn X. Họ { A ⊂ X : X \ A höõu haïn} là lọc. Lọc này còn gọi là lọc Fréchet trên X và là lọc tự do. 1.3.2. Siêu lọc Định nghĩa 1.3.2. Lọc  trong X gọi là siêu lọc nếu (  ′ là lọc trong X ,  ′ ⊃  ) ⇒  ′ = . Nếu  là siêu lọc và  cố định thì  gọi là siêu lọc cố định. Siêu lọc  là tự do nếu  không cố định. Ví dụ: Lọc x ở ví dụ trên là siêu lọc. Siêu lọc này là siêu lọc cố định. 0 Tiêu chuẩn sau đây cho ta nhận biết một lọc là siêu lọc Định lý 1.3.3. Giả sử  là lọc trong X , khi đó  là siêu lọc nếu và chỉ nếu A ∪ B ∈  ⇒ A ∈  hay B ∈  . Chứng minh. ⇒ ) Giả sử  là siêu lọc, A ∪ B ∈  nhưng A∉  và B ∉  . Khi đó  ′ := {M ∈  ( X ) / A ∪ M ∈  } 14 là lọc trong X và  ′ ⊃  ,  ′ ≠  (vô lí). ⇐ ) Xét lọc  ′ ⊃  . Với A ∈  ′ ta có (A C ∉  (do AC ∉  ′ ), AC ∪ A = X ∈  ) ⇒ A∈  Suy ra  ′ ⊂  . Vậy  ′ =  . Hệ quả 1.3.4. Lọc  là siêu lọc khi và chỉ khi ∀A ∈  ( X ) ⇒ A ∈  hay AC ∈  . Hệ quả 1.3.5. Cho f : X → Y và  là siêu lọc trong X . Khi đó f ( ) là cơ sở của siêu lọc. Chứng minh. Gọi  ′ là lọc sinh bởi f ( ) . Xét A, B ⊂ Y mà A ∪ B ∈  ′ , ta có ∃C ∈  : f (C ) ⊂ A ∪ B . Khi đó f −1 ( A) ∪ f −1 ( B) ∈  . Coi f −1 ( A)=: D ∈  , ta có A ⊃ f ( D) nên A∈  . Định lý 1.3.6. Với mỗi lọc  tồn tại siêu lọc mạnh hơn  . Chứng minh. Trong họ  ( X ) các lọc trong X , chứa  ta xét thứ tự: 1 ≤ 2 ⇔ 1 ⊂ 2 . Nếu {i }i∈I là một xích của (  ( X ), ≤ ) thì 0 :=  i là lọc và i ≤ 0 , ∀i ∈ I . i∈I Phần tử tối đại của (  ( X ), ≤ ) là siêu lọc cần tìm. Định nghĩa 1.3.7. Cho λ là một bản số. Một siêu lọc F ⊂ P(λ ) được gọi là λ - đầy đủ nếu với mỗi dãy các tập { Aα | α < λ } ta đều có  Aα ∈  . α <λ Nếu siêu lọc  ở trên có thêm tính chất mọi α < β < λ , Aα ∈  và Aβ ⊆ Aα thì  được gọi là siêu lọc λ - giảm đầy đủ. 1.3.3 Lọc hội tụ Định nghĩa 1.3.8. Lọc (hay cơ sở lọc)  gọi là hội tụ về x0 , kí hiệu  → x0 nếu ∀V ∈  x0 , ∃A ∈  : A ⊂ V 15 Như vậy:  → x0 ⇔  (hay lọc sinh bởi  ) mạnh hơn  x . 0 Mệnh đề 1.3.9. Điều kiện cần và đủ để mỗi lọc trong X có không quá một giới hạn là X là T2 - không gian. Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử trái lại ∃a ≠ b : ∀V ∈ a , ∀U ∈ b ⇒ V ∩ U ≠ ∅. Họ a ∪ b có tâm, gọi  là lọc sinh bởi họ này thì  → a ,  → b (!). Điều kiện đủ. Ta có (  → a,  → b ) ⇒ (  ⊃ a ,  ⊃ b ) Suy ra V ∩ U ≠ ∅, ∀V ∈ a , ∀U ∈ b , hay a = b . Hệ quả 1.3.10. x ∈ clE ⇔ (tồn tại lọc  : F  E ,  → x ). Chứng minh. ( ⇒ ) x ∈ E ⇒ {E ∩ V / V ∈  x } là cơ sở lọc. Gọi  là lọc sinh bởi cơ sở này thì   E (lấy V = X ),  ⊃  x nên  → x . ( ⇐ ) Ta có ( E ∈  ,  → x) ⇒ ( E ∈  ,  x ⊂  ) Suy ra E ∩ V ≠ ∅, ∀V ∈  x hay x ∈ clE . Mệnh đề 1.3.11. Cho f : X → Y , các mệnh đề sau đây là tương đương: (1) f liên tục tại x0 , (2) ∀ → x0 ⇒ f ( ) → f ( x0 ) . 1.4. Tính chất liên thông, compact 1.4.1. Tập liên thông Định nghĩa 1.4.1. Cho không gian tôpô X và A ⊂ X 1. Tập A được gọi là liên thông nếu không tồn tại các tập mở G1 , G2 sao cho