Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
HỆ PHƢƠNG TRÌNH VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI
GIÁO VIÊN: NGUYỄN BÁ TUẤN
Tài liệu học tập dành cho học sinh lớp 10. Tài liệu trình bày 3 phương pháp giải hệ phương trình bao gồm: phương pháp
biến đổi đại số, phép thế và phương pháp đặt ẩn phụ.
Khi gặp 1 bài hệ phƣơng trình thì ta có thứ tự ƣu tiên cho các hƣớng giải sau:
+ Sử dụng các phép biến đổi đại số làm xuất hiện phương trình tích và phép thế
-
-
Phép thế : Hệ có phương trình bậc nhất theo ẩn x hoặc y thì rút x theo y hoặc y theo x và thay vào phương
trình còn lại. Ngoài ra còn tùy thuộc vào từng đề bài cụ thể mà ta có thể thế cụm biểu thức hay thế hằng số.
Nếu 1 trong 2 phương trình của hệ có dạng là hàm bậc 2 của x (y) thì giải PT bậc 2 đó như bình thường để tìm
mối quan hệ giữa x và y.
Phƣơng pháp hệ số bất định (UCT): Với 1 vài hệ đơn giản ta quan sát nếu thấy 2 phương trình của hệ có
form giống nhau thì thử cộng (trừ) 2 vế tương ứng của các phương trình trong hệ khi đó sẽ xuất hiện nhân tử
chung. Đỉnh cao của việc kết hợp 2 phương trình để tìm ra mối liên hệ x, y đó là phương pháp hệ số bất định
(UCT).
Phƣơng pháp liên hợp: biến đổi đưa 1 phương trình trong hệ về dạng nhân tử.
+ Sử dụng PP đặt ẩn phụ:
-
Quan sát phương trình có chứa các biệt thức: xy, x y,( x y) , x y,( x y) ...... thì đặt tổng – tích
2
2
(P=x+y, S=xy).
2
2
k
k
-
Sơ chế hệ bằng các phép nhân, chia x, y, xy, x , y , x , y .... để xuất hiện dấu hiệu đặt ẩn phụ.
-
Với những bài có chứa căn thì thường đặt căn thức đó làm ẩn phụ.
- Trang | 1 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
PHẦN 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ VÀ PHÉP THẾ
CH
N ĐỀ
Sử dụng các phép biến đổi đại số làm xuất hiện phƣơng trình tích và phép thế
1.1 Phép rút - thế
4
3
3
2 2
x x y 9 y y x x y 9 x (1)
Bài 1. Giải hệ phƣơng trình:
3
3
(2)
x y x 7
Giải
Dựa vào PT(2) => x=y không phải là nghiệm=> x y
Từ PT(1) nhận thấy các hệ số tương ứng của các hạng tử cùng bậc là như nhau, ta dễ dạng ghép cặp để tìm nhân tử
chung:
(1) x 4 xy 3 x 3 y x 2 y 2 9 x y 0
x y x x 2 xy y 2 x 2 y 9 0
2
x y x x y 9 0
x x y 9 0 (do x y )
2
x x y 9 (3)
x 0
2
(2) y 3 x3
7
7
y 3 x3
x
x
Thay vào (3) ta được:
2
7
x x 3 x 3 9
x
2
7 3 3 7
2
3
3
x x 2 x. x x 9 0
x
x
2
7
7
x 2 x . x x. 3 x 3 9 0
x
x
3
2 3
3
x3 2 x. 3 x 6 7 x 2 3 x x 4 7 9 0 (4)
2
Xét hàm số: f ( x) x3 2 x 3 x6 7 x2 3 x x4 7
2
6 x 6 14 x 2
f '( x) 3x 2 3 x 6 7 x 2
2
3 3 x6 7 x2
2
9, x 0
8
4
1 9 x 70 x 49
.
0, x 0
3
2
2
3 x x4 7
Suy ra f ( x) đồng biến trên 0; mà: f (1) 0
Suy ra: (4) có nghiệm duy nhất x 1 y 2
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm: x; y 1;2
- Trang | 2 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
x 2 y 2 xy x 3
Bài 2. Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
x 1 4 xy y 1 8 x
Giải
Bình phương 2 vế của phương trình (1): x y x y
2
2
2
2
x 3
2
Hệ phương trình tương đương với:
xy x 3 0
xy x 3 0
2
2 2
2
2
2
2 2
x y x y x 3 x y x 3 0
2
2
2
3 2
2 2
2
2
2 2
x y x y x 3
x y 4 x y 8 x y
x 0
xy x 3 0
x 0; y 0
2 2
2
y 0
x y x 1 0
x 1
x 1; y 5
2
2
2
2 2
5
x y x y x 3
x 2 y 2 x 2 y 2 x 3 2
xy 2 y x 2 2
Bài 3. Giải hệ phương trình:
2
2
2
y 2 x 1 x 2 x 3 2 x 4 x
1
2
Giải
Nhận xét: từ phương trình (1) ta có thể rút y theo biến x và do
x2 2 x x 2 x x x 0 x ¡ x 2 2 x 0 x ¡
Nên ta có (1) y
Thế y
x2 2 x 2 y
2
x 2x
2
x2 2 x
x 2 2 x vào phương trình (2) ta có:
2
x 2 2 x 2 x 1 x 2 2 x 3 2 x 2 4 x
1 x x 2 2 2 x x 1 x 2 2 x 3 0
x 1 1
x 1
2
2 x 1
x
2
2 (*)
Xét hàm số f ( x) t 1 t 2 2 ta có:
f '(t ) 1 t 2 2
t2
t2 2
0, t ¡ f (t ) đồng biến trên ¡
(*) f x 1 f x x 1 x x
1
2
1
1
x
x y 1 . Vậy hệ đã cho có nghiệm là
2
2
y 1
x3 4 y y 3 16 x (1)
Bài 4: Giải hệ phương trình:
2
2
1 y 5 1 x (2)
Giải
- Trang | 3 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
“Thế hằng số”
PT (2) y 5 x 4 (3)
2
2
Thay vào (1) ta được:
x 0
x3 y 2 5 x 2 y y 3 16 x3 5 x 2 y 16 x 0 2
x 5 xy 16 0
x 0 y2 4 y 2
x 2 16
x 5 xy 16 0 y
5x
2
2
x 2 16
2
4
2
2
5 x 4 124 x 132 x 256 0 x 1
5
x
x 1 y 3
x 1 y 3
2 x 2 y 3xy 4 x 2 9 y
2
7 y 6 2 x 9 x
Bài 5. Giải hệ phương trình:
Giải
Ta có từ (2) suy ra: y
2x 9x 6
(3)
7
2
Thay (3) vào (1) ta được:
2 x2 9 x 6
2 x 2 9 x 6 7.4 x 2
2 x2 9 x 6
2x2
3
x
9
7
7
7
7
2 x 2 9 x 6 2 x 2 3 x 9 28 x 2
4 x 4 24 x3 31x 2 99 x 54 0
1
x 2
x 2
1
x x 2 4 x 2 18 x 54 0
x 9 3 33
2
4
x 9 3 33
4
Với x
1
1
y suy ra hệ phương trình có nghiệm
2
7
Với x 2 y
1 1
;
2 7
16
suy ra hệ phương trình có nghiệm
7
16
2;
7
Với x
9 3 33
y 3 suy ra hệ phương trình có nghiệm
4
9 3 33
;3
4
Với x
9 3 33
y 3 suy ra hệ phương trình có nghiệm
4
9 3 33
;3
4
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm x; y là:
- Trang | 4 -
Khai test đầu xuân 2016
1 1
; ,
2 7
16
2;
,
7
Tài liệu học tập
9 3 33 9 3 33
;3 ,
;3
4
4
2
x 3y 9
Bài 6. Giải hệ phương trình: 4
2
y 4 2 x 3 y 48 y 48 x 155 0
Giải
Ta có (1)
9 x
y
3
2
Thay vào (2) ta có:
9 x2
y 4 4 2 x 3 y 2 48
48 x 155 0
3
y 4 4 2 x 3 y 2 16 x 2 48 x 11 0
y 2 4 x 11 y 2 4 x 1 0
y 2 4 x 11 (3)
2
y 4 x 1 (4)
9 x2
y
3
Từ (3) và (1) ta được
2 2
9 x 4 x 11 (*)
3
x 2 3 2 x 3 2 0 (6)
2
(*) x 4 18 x 2 36 x 18 x 4 18 x 1
2
x 3 2 x 3 2 0 (7)
3 2 18 12 2
12 2 6 36 24 2
x
y
2
12
Ta có (6)
x 3 2 18 12 2 y 12 2 6 36 24 2
2
12
3 2 18 12 2
12 2 6 36 24 2
x
y
2
12
(7)
x 3 2 18 12 2 y 12 2 6 36 24 2
2
12
9 x2
y
3
Thay (4) và (1) ta có:
2 2
9 x 4 x 1 (**)
3
- Trang | 5 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
(**) x 4 18 x 2 36 x 72 0
x 2 6 x 12 x 2 6 x 6 0
x 2 6 x 6 0 (do x 2 6 x 12 0, x)
x 3 3 y 1 2 3
x 3 3 y 1 2 3
x3 y 3 4 x 2 y
Bài 7. Giải hệ phương trình: 2
2
x 1 3 1 y
Giải
x 2 1 3 1 y 2 4 x 2 3 y 2
Xét 4 x 0 x 2, y 0 hoặc x 2, y 0 (cả hai đều thỏa mãn HPT)
2
Xét y 0 suy ra x 2 hoặc x 2 (thỏa mãn HPT)
Xét y 0 và x 2
Ta có:
3
3
2
2
4 x x y 2 y
x 4 x y y 2
(*)
2
2
2
2
4 x 3 y
4 x 3 y
2
y 3xy 2 (1)
2
x 10 9 xy (2)
Suy ra 3xy y 2 2 . Vậy
y2
y
Nhân (1) với 5 rồi + (2) ta được: 5 y x 6 xy 5 y x 6 xy 0 5 2 6 1 0
x
x
y
y 1
đến đây các bạn tự làm tiếp.
1,
x
x 5
2
2
2
2
2
3
2
2 y x 2 x y y 1 7 y
Bài 8. Giải hệ phương trình: 2
2 y 2 xy 1 7 y
Giải
Hệ phương trình đã cho tương đương:
y 2 y 2 2 y 1 2 x y 3 y 2 1 7 y
2
2 y 2 y 1 7 y
2 x y 3 6 y 2 8 y 1
2
2 y 2 xy 1 7 y
2 x y 3 6 y 2 8 y 1
2
3
2
2 y y y 6 y 8 y 1 1 7 y
2 x y 3 6 y 2 8 y 1
4
3
2
y 6 y 10 y 6 y 1 0
2 x y 3 6 y 2 8 y 1 x 2
4
y 1
y 1 0
- Trang | 6 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là x; y 2;1
x y 1 1 7 y 1 1
Bài 9. Giải hệ phương trình:
x 2 y x y 1 13 y x 2 12
Giải
ĐK: y 1
Phương trình thứ hai của hệ đã cho, tương đương:
x
2
13 y 1 x y 1 1 0 (*)
Ta thấy x 7 không là nghiệm của hệ.
=> x 7 , phương trình thứ nhất hệ đã cho tương đương:
x
y 1 1 7 y 1 1
7 x y 1 x 1
Thế
y 1
y 1
x 1
7x
x 1
vào (*) ta được:
7x
x 1 x x 1
13
1 0
7x
7x
x 4 x3 5 x 2 33x 36 0
x
Với x 1 , ta được
Với x 3 , ta được
2
x 1
x 1 x 3 x 2 5 x 12 0
x 3
1
9
y 1 y
3
8
y 1 1 y 0
8
9
Vậy hệ đã choc có 2 nghiệm x; y 1; , 3;0
3 3
3
2
16 x y 9 x 2 xy y 4 xy 3
Bài 10. Giải hệ phương trình:
2 2
2
2
4 x y 2 xy y 3
Giải
Với y 0 không là nghiệm hệ.
Với y 0 , ta chia phương trình thứ nhất cho y , phương trình thứ hai cho y ta được
3
2
- Trang | 7 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
3
3
16 x 9 2 x 1 4 x 2 (1)
y
4 x 2 2 x 1 3 (2)
y2
Thế (2) vào (1) ta được:
16 x3 9 2 x 1 4 x 4 x 2 2 x 1 x3 1 x 1
3
3 y 1
y2
Vậy nghiệm của hệ là: 1;1 , 1; 1
x
6 y 2 3 x y 3 y
Bài 11. Giải hệ phương trình:
2 3 x 3 x y 6 x 3 y 4
Giải
Phương trình (1): 3 y 2 3x y
y
3 y 2 3x y 0 (3)
3x y 0
y 3x y 0 (4)
Thế phương trình (3) vào phương trình (2):
1
x 6
y 1
6 x 3 y 8
6 x 3 y 8
3
2
3 y 2 3 x y 0
3 y 16 10 y 0
x 1
6
y 1
3
13
73
5
73
13
73
5
73
Thế phương trình (4) vào phương trình (2)
x 4
y 4
y 3x y 0
y 3x y 0
x 1
2
4
6 x 5 y 4
2 y 4 7 y 0
1
y
2
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
x; y
1
1
1
1
1 1
13 73 ; 5 73 ; 13 73 ; 5 73 ; 4; 4 ; ;
3
3
6
6
4 2
- Trang | 8 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
1.2 Biến đổi đại số
x 4 y 4 240
Bài 1. Giải hệ phương trình: 3
3
2
2
x 2 y 3 x 4 y 4 x 8 y
Giải
Nhân phương trình thứ hai với -8 rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được:
(tại sao lại có -8 các bạn tham khảo thêm về phương pháp hệ số bất đinh UTC ở bên dưới)
x 4 8 x3 24 x 2 32 x 16 y 4 16 y 3 96 y 2 256 y 256
x 2 y 4 x 2 y 4 x 2 4 y x y 2 x 6 y
4
4
Thay vào phương trình đầu ta được:
1 8 y3 24 y 2 32 y 16 240
y 3 3 y 2 4 y 28 0
y 2 y 2 5 y 14 0
y 2 x 4
2 24 y 3 216 y 2 864 y 1296 240
y 3 9 y 2 36 y 44 0
y 2 y 2 7 y 22 0
y 2 x4
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là: x; y 4; 2 , 4;2
4
x 5 y 6 (1)
Bài 2. Giải hệ phương trình: 2 2
x y 5 x 6 (2)
Giải
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
x4 x2 y 2 5 y x 0
x2 x2 y 2 5 x y 0
x 2 x y x y 5 x y 0
x y x 2 x y 5 0
x y
2
x x y 5 0
Nếu x = y, thay vào (1) ta được:
x 2 y 2
x 4 5 x 6 x3 x 3 x 2 x 1 0
x 1 y 1
- Trang | 9 -
Khai test đầu xuân 2016
Nếu x 2 x y 5 0 y
Tài liệu học tập
5
x thay vào (1) ta được:
x2
5
x 4 5 2 6 x6 5 x3 6 x 2 25 0
x
Từ (2) ta có: 5 x 6 x 2 y 2 6 x
3
6
5
2
6
6 432
Do đó: 5 x 6 x 5. 6.
25 x 6 5 x3 6 x 2 25 0
25
5
5
3
2
Suy ra trường hợp này hệ vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x; y 2; 2 , 1;1
x x y 1 1 (1)
Bài 3. Giải hệ phương trình:
2
2
y x 2 y x y x 0 (2)
Giải
x 0
x y 1 0
ĐK:
(1) x x y 1 1
x x y 1 2 x y 1 1
y 2 x y 1
y 2 4 x y 1
y 2 4x
2
y22 x
(2) y x
2
xy 2 y x y x
1
y 2 2 x
x 4
y 2 2 x
y 2 2 x
x
(I )
2
4
y x y x
y 1 y 2
y y 2 0
2 y y 2 y y 2
y xy 2 3x 2 (1)
Bài 4. Giải hệ phương trình:
2
2
y x y 2 x 0 (2)
Giải
y xy 2 3 x 2 (1)
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
2
y y x 2 x (2)
- Trang | 10 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
Suy ra:
xy 2 3x
4 3x3
y
(3)
y x2
2
5x
Thế (3) vào (1), ta được
4 3x3 4 3x3
2 3x 2
x.
5x
5x
4 3x3 10. 4 3 x3 75 x3 0
2
9 x 6 69 x3 24 0
t 8
Đặt x t , ta được 9t 69t 24 0
t 1
3
2
3
Với t 8 suy ra x 2 dẫn đến y 2
Với t
1
suy ra x
3
3
1
1
1
2
dẫn đến y 3 y 2 3 0
3
9
3
2
1
1
Phương trình này vô nghiệm do 3 8. 3 0
9
3
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y duy nhất là 2; 2
2
4
3
4 x y 4 xy 1 (1)
2
2
4 x 2 y 4 xy 2 (2)
Bài 5. Giải hệ phương trình:
Giải
Trừ vế theo vế được:
y 4 2 y 2 4 xy 1 y 2 1
y 2 1 4 xy y 2 1
2
y 2 1 y 2 1 4 xy 0
Với y 1 y 1 . Ta có 4 nghiệm (0; 1) và (1; 1) và (-1; -1) và (0; -1)
2
Với y 1 4 xy , thay vào (2), ta được 4 x y 1 y 1 4 x (3)
2
2
Lại thay (3) vào (1) ta có: 1 4 x 2
2
2
2
2
4 xy 1 4 x 2 1 4 x 2
Nếu 1 4 x 2 0 thì y 0 không thỏa hệ. Vậy 1 4 x 4 xy 1 x xy 0
2
2
Với x 0 y 1
Với x y thay vào hệ được x
1
5
- Trang | 11 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
1 1 1
1
;
;
,
5
5 5
5
Vậy hệ đã cho có các nghiệm (x; y) là: (0; 1), (0; -1), (1; 1), (-1; -1),
x y 4 13x 4
(1)
Bài 6. Giải hệ phương trình:
x y 3x y 2 (2)
Giải
Ta có:
x y 3x y 2
x y 3x y 2
x y 3x y 2
4 x 2 4 x 1 3 x 2 2 xy y 2 , x
1
2
x y 4x 1
2
5
16
x 1
Thay vào (1) ta được: 4 x 1 13x 4
2
Do x 1
x
1
5
3
nên loại nghiệm này. Vậy x
. Suy ra y
.
2
16
16
5 3
;
16 16
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là:
y 3 x3 9 x3 (1)
2
2
(2)
x y y 6 x
Bài 7. Giải hệ phương trình:
Giải
Xét trường hợp x 0 dẫn đến y 0
Xét trường hợp x, y 0 , ta viết lại hệ phương trình dưới dạng:
x 2 y x 4 x 2 y 2 9 x3 (1)
2
6x
(2)
x y
y
Lấy (2) thế vào (1), ta được:
(1) 2 x 4 x 2 y y 2 3x 2 y
2 x4 2 x2 y y 2 9 x2 y
x2 y
2
9 2
x y (3)
2
Bình phương 2 vế phương trình (2), ta có:
- Trang | 12 -
Khai test đầu xuân 2016
(2) x 2 y
2
Tài liệu học tập
36 x 2
(4)
y2
Từ (3) và (4), ta có được phân tích sau: y 8 y 2
3
Với y 2 đem thế vào (2), ta được nghiệm x 2 và x 1
Vậy nên hệ phương trình đã cho có 2 bộ nghiệm (x, y) = (1; 2), (2; 2)
2
2
3
x y 2 xy 3 y 4 x y 0
Bài 8. Giải hệ phương trình:
2
2
2
xy x y 1 3xy x y
Giải
+Phương trình thứ nhất tương đương:
x2 y xy 2 3xy 2 3 y3 4 x y 0
x y 3 y 2 xy 4 0
y x
2
3 y xy 4 0 (*)
Thế y x vào phương trình thứ hai của hệ đã cho, ta được:
x 1
2x x 1 0
x 2
2
4
2
Suy ra x; y 1;1 , 1; 1 ,
2 2 2 2
;
;
,
là bốn nghiệm của hệ đã cho.
2 2 2 2
+ Phương trình thứ hai của hệ đã cho tương đương:
xy 1
xy 1 x 2 y 2 1 0
2
2
x y 1 0 (**)
Thế xy 1 vào (*), ta được: y 1 y 1 .
2
Suy ra x; y 1;1 , 1; 1 là hai nghiệm của hệ đã cho.
Từ x y 1 ta được y 0 . Do đó (*) x
2
Thế x
2
3y2 4
y
3y2 4
4
2
vào (**), ta được: 10 y 25 y 16 0 (vô nghiệm)
y
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm x; y 1;1, 1; 1 ,
2 2 2
2
;
, ;
2 2 2
2
- Trang | 13 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
x
x 2y 6y 2
Bài 9. Giải hệ phương trình: y
x x 2 y x 3y 2
Giải
Điều kiện: y 0
Phương trình thứ nhất tương đương:
2
x 2 y 3y
y
25 y 2
x
2
y
2
4
x 2 y 2 y
+ Với
x 2 y 3 y thay vào PT(2) ta được:
x 3y x 3y 2
x 3y 1
x 3y 2
x 3y 2
x 3 y 4
4 5 y 3 y y
+ Với
4
8
x
9
3
x 2 y 2 y y 0 thay vào PT(2) ta được:
x 2 y x 3y 2 x 2 y x 2 y 5y 2
y 2
2 y 2 y 5 y 2
y 2 x 12
y 1 L
4
2
8 4
3 9
Vậy hệ đã cho có nghiệm: ; , 12; 2 .
x x2 y 2 9x
(1)
5
x x2 y 2
Bài 10. Giải hệ phương trình:
5 3x
x
y 6 5 y (2)
Giải
y 0
Điều kiện: x 2 y 2 0
(*)
2
2
x x y 0
Ta biến đổi phương trình (2):
(2) 30 x 6 xy 5 y 3xy
x 5 9x
10 x 5
x
(**)
y
30
3y 9
Trục căn thức ở (1) ta được:
- Trang | 14 -
Khai test đầu xuân 2016
x
(1)
x2 y 2
y2
2
Tài liệu học tập
2
2
x
9x
x
9x
1
y
5
5
y
2
2
2
x
x
x x
9x
x
xx
0
2 2
1
1
6
1
1
3
y y
5
y
y y
y
y
x
y 0
2
x
x
1 3 0
y
y
x 0
x
Với: 0
5 (vô nghiệm)
y
x
9
2
x
x
Với: 1 3 0
y
y
2
x
x
1 3
y
y
x
y 3
2
2
x 1 9 6 x x
y
y y
x 5
y 3
Từ
x 5
thay vào (**) ta được
y 3
x 5
. Thử lại điều kiện (*) ta thấy thỏa.
y 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 5;3
2
4
( x y )( x 4 y y ) 3 y 0
Bài 11. Giải hệ phương trình:
2
2
x 2 y 1 y y 1 0
HD
Từ phương trình (1) ta chỉ thấy có các cụm x y , y xuất hiện => để quan sát PT dễ hơn ta đặt tạm
2
a x y, b y 2 (1) : a a b 3b2 0 đây là PT đẳng cấp bậc 2 => dễ dàng tìm được mối liên hệ giữa a và b
đó là a 3b 0, a b 0 . Vậy ta có lời giải sau:
- Trang | 15 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
PT 1 ( x y ) 2 y 4 x y 4 y 2 4 y 4 0
x y y 2 x y y 2 4 y 2 x y y 2 0
x y 3 y 2 x y y 2 0
x y 3y2
2
x y y
) x y 3 y 2
PT 2 : y 3 y 2 2 y 2 1 y 2 y 1 0
y y 2 1 y 2 y 1 *
y y 2 1 y 4 y 2 1 2 y 3 2 y 2 y 2
y 4 2 y3 y 0
y y 1 y 2 y 1 0
y 0, y 1
y 1 5 , y 1 5
2
2
L
) x y y 2
PT 2 : y y 2 2 y 2 1 y 2 y 1 0
y y2 1 y2 y 1
y y 2 1 y 4 y 2 1 2 y 3 2 y 2 y 2
y 4 2 y3 2 y 2 3 y 0
y 0 L
y 1
y 1 13
2
y 1 13
2
1 13
ĐS : 4 13;
2
1 13
4 13;
; (2; 1)
2
- Trang | 16 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
1.3 Quy 1 phương trình về dạng phương trình bậc 2
1
y 2 x
2 (1)
y
Bài 1. Giải hệ phương trình: x x
y x 2 1 1 = 3 x 2 3 (2)
Giải
x 0
y 0
ĐK:
(1) y x y 2 2 x x 2 xy
y2
=
x 2 x y 2 x 0 (3)
2
x 2 x 8x x
x 2x
2
0
y x
(3)
y 2x
Nếu y x , thay vào (2) ta được:
Ta có: x
x
x 2 1 1 3x 2 3
x 2 1 1 0 3x 2 3 nên phương trình này vô nghiệm
Nếu y 2 x , thay vào (2) ta được:
2x
x 2 1 1 3x 2 3
x2 1 2 x 3 2 x
x2 1
(vì x
3
không thỏa phương trình)
2
Xét 2 hàm số: f ( x)
f '( x)
x
x 1
2
2x
2x 3
x2 1, x 0; và g ( x)
0, x 0; ; g '( x)
2x
, x 0;
2x 3
2 3
, x 0;
2x 3
Suy ra f(x) đồng biến trên 0; và g(x) nghịch biến trên 0;
Ta thấy x 3 là nghiệm của (4)
Suy ra (4) có nghiệm duy nhất x 3 y 2 3
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y
3; 2 3
- Trang | 17 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
2
2
xy x y x 2 y (1)
Bài 2. Giải hệ phương trình
x 2 y y x 1 2 x 2 y (2)
Giải
Điều kiện: x 1; y 0 . Phương trình (1) x x y 1 2 y y 0
2
2
Ta coi PT trên là pt bậc 2 với ẩn x và y là tham số khi đó ta có
y 1 4 2 y 2 y 3 y 1
2
2
x y
x 2 y 1
Do có x + y > 0, nên tâ được: x 2 y 1
Thay vào phương trình (2) ta được:
(2 y 1) 2 y y 2 y 2(2 y 1) 2 y
2 y ( y 1) 2( y 1)
( y 1)( 2 y 2) 0 y 2
( Do y 0)
Với y = 2 ta có x = 2y + 1 = 5
Hệ có nghiệm (x,y) = (5,2)
y 2 (5 x 4)(4 x)
Bài 3. Giải hệ phương trình: 2
2
y 5 x 4 xy 16 x 8 y 16 0
(1)
(2)
Giải
Biến đổi phương trình (2) về dạng:
y 2 (4 x 8) y 5 x 2 16 x 16 0
y 5x 4
' 9 x2
y 4 x
Với y = 5x + 4 thay vào phương trình (1) (5x + 4)2 = (5x+ 4)(4-x)
4
4
x, y ; 0
x
5
5
x, y 0, 4
x 0
Với y = 4 - x thay vào (1) ta được:
x 4 y 0
(4 x)2 (5 x 4)(4 x)
x 0 y 4
Hệ có 3 nghiệm (x,y) là: (0;4); (4;0); (-
4
; 0).
5
- Trang | 18 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
x 2 y 4 9 y x(9 y y 3 )
Bài 4. Giải hệ phương trình:
3
x 1 1 y 2
HD
PT 1 x x(9 y y ) y 9 y 0
2
3
4
x (9 y y 3 ) 4 y 4 36 y y 3 y 9
2
9 y y3 y3 y 9
x
9 y3
2
3
9 y y y3 y 9
x
y
2
+ Với x 9 y thế vào PT (2) sử dụng hàm số => vô nghiệm
3
+Với x=y thế vào PT(2) ta được đáp số:
ĐS :
0;0 , 11 6
11 6
3; 11 6 3
3; 11 6 3
(Sử dụng phương trình bậc 2 kết hợp vi-et)
2 x 2 xy 1
(1)
2
Bài 4. Giải hệ phương trình: 9 x
3xy
2 1 x 4 1 2 1 x 2 (2)
Giải
Xét phương trình bậc hai: 2t yt 1 0 (3)
2
(1) 2 x2 yx 1 0
Cho thấy t = x là một nghiệm của phương trình (3)
(2) 2.
Cho thấy t
9x2
2 1 x
3x
2 1 x
2
4
y.
3x
2 1 x
2
1 0
là một nghiệm của phương trình (3)
Dễ thấy phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt mà x
định lý Vi- et ta có: x.
3x
2 1 x
2
3x
nên áp dụng
2 1 x 2
1 3
y2
x
1
2
2
1 3
y2
x
2
1 3 1 3
2 ; 2 , 2 ; 2
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là: ( x; y )
- Trang | 19 -
Khai test đầu xuân 2016
Tài liệu học tập
1.4 Hệ đồng bậc
A B
có dấu hiệu các hạng tử trong A, B, C, D cùng đồng bậc với nhau
C D
Nếu thấy hệ
và bậc A +bậc D= bậc C+bậc B. Thì ta nhân chéo: AD=BC sẽ được 1 phương trình đồng bậc => sử dụng phép chia
để đưa về PT bậc 2, 3.... Khi đó giải phương trình bậc 2, 3.. ta sẽ tìm được mối liên hệ giữa x và y.
2 x 3 y x 2 3xy y 2
Bài 1. Giải hệ phương trình: 2
2
x 2 y x 2 y
Giải
Nhân theo vế hai phương trình của hệ ta được:
(2 x 3 y )( x 2 2 y 2 ) ( x 2 y )( x 2 3xy y 2 ) x 3 4 y 3 3xy 2 2 x 2 y 0
x y
( x y )( x xy 4 y ) 0
x 1 17 y
2
2
2
x 0 x y 0
x 1
x y 1
Với y = x thay vào phương trình thứ hai suy ra 3x 2 3x
1 17
y
x
2
x2 2 y 2 x 2 y
1 17
Với x
y khi đó ta có hệ:
2
2 y 2 x 2 1
1
Bài 2. Giải hệ phương trình 3
3
2 x y 2 y x 2
Giải
Từ (1) và (2) ta được phương trình đồng bậc
2 x3 y 3 2 y 2 x 2 2 y x x3 2 x 2 y 2 xy 2 5 y 3 0 x y x 2 3xy 5 y 2 0
x y
2
2
x 3xy 5 y 0 3
Với x y thay vào (1) ta được y 1 y 1 .
2
2
Ta có x 2 3xy 5 y 2 x
3 11 2
y y 0 . Rõ ràng x y 0 không phải là nghiệm hệ phương trình. Vậy (3)
2
4
vô nghiệm.
Vậy hệ đã cho có nghiệm là 1;1 ,
1; 1 .
x3 4 xy 2 8 y 3 1
4
4
2 x 8 y 2 x y
Bài 3: Giải hệ phương trình
Giải
Từ hệ phương trình trên nhân chéo 2 vế ta được:
2 x y x3 4 xy 2 8 y 3 2 x 4 8 y 4
x3 y 8 x 2 y 2 12 xy 3 0(1)
Với y 0 x 1
- Trang | 20 -
- Xem thêm -
.PDF 
54 
373 
149 
