Tài liệu Tổng hợp hình học oxy tuyển chọn 2016 – 2017 (hot)

Tất cả vì học sinh thân yêu 1 Tất cả vì học sinh thân yêu LÝ THUYẾT Hình vuông có tính chất : 1) AB  AC  CD  DA 2) IA  IB  IC  ID  C D   90o 3)  AB   DBC   ...  45o 4) DAC 5) AC Vuông góc BD Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD và M là một điểm thuộc cạnh CD  M  C , D  . Qua điểm A dựng đường thẳng d vuông góc với AM , d cắt đường thẳng BC tại điểm M . Biết rằng trung điểm của đoạn thẳng MN là gốc tọa độ O, I là giao điểm của AO và BC. Tìm tọa độ điểm B của hình vuông biết A  6; 4  , O  0;0  .I  3; 2  và điểm N có hoành độ âm. 2 Tất cả vì học sinh thân yêu Phương trình đường thẳng AB : 7 x  4 y  26  0  6 22  AB  BC  B  B   ;   5   5 Câu 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A  4;6  . Gọi M , N   450 , M  4;0  và đường lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC và CD sao cho MAN thẳng MN có phương trình :11x  2 y  44  0. Tìm tọa độ các điểm B, C , D. B  0; 2  , C  8; 2  , D  4;10  Câu 3 (Thpt – Chu Văn An – An Giang) Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy , cho hình vuông ABCD có đỉnh C thuộc đường thẳng d : x  2y  6  0 , điểm M (1;1) thuộc cạnh BD biết rằng hình chiếu vuông góc của điểm M trên cạnh AB và AD đều nằm trên đường thẳng  : x  y  1  0 . Tìm tọa độ đỉnh C . Đáp số : C  2; 2  Câu 4 ( THPT - Ngô Gia Tự - Vĩnh Phúc ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tâm I. Trung điểm cạnh AB là M (0;3) , trung điểm đoạn CI là J (1;0) . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết đỉnh D thuộc đường thẳng  : x  y  1  0 . Đáp số : A(2;3), B(2;3), C (2; 1), D (2; 1). Câu 5 ( THPT – Hiền Đa – Phú Thọ ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có C  2; 2  . Gọi điểm I , K lần lượt là trung điểm của DA và DC ; M  1; 1 là giao của BI và AK . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD biết điểm B có hoành độ dương. Đáp số: A  2;0  , B 1;1 , D  1; 3 . Câu 6 ( THPT Lê Hồng Phong – Nam Định lần 2 – 2016 ) – Quan hệ vuông góc 3 Tất cả vì học sinh thân yêu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm B thuộc đường thẳng 2 x  y  0. Điểm M M  3;0  là trung điểm AD, điểm K  2; 2  thuộc cạnh DC sao cho KC  3KD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông.  Vậy A  3; 2  , B 1; 2  , C 1; 2  , D  3; 2  Câu 7(1,0 điểm ). CHUYÊN HẠ LONG Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A  4;6  . Gọi M, N lần lượt là các điểm nằm trên cạnh BC và CD sao cho   450 , M  4;0  và đường thẳng MN có phương trình 11x  2 y  44  0 . Tìm tọa độ MAN các điểm B, C, D. B  0; 2  D  4;10  Câu 8 – Chuyên Biên hòa : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD tâm I, G là trọng tâm tam giác ABI, M là trung điểm AI, đường thẳng qua G và cắt ID tại E (7;-2) sao cho GE  2GM . Viết phương trình AB biết A có tung độ dương và AG : 3x  y  13   Vậy A 5; 2 , Câu 9 : CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – ĐÀ NẴNG 11 Trong mặt phẳng Oxy , cho hình vuông ABCD , điểm F ( ;3) là trung điểm của AD , điểm 2 E là trung điể AB , điểm K thuộc CD sao cho KD = 3KC . Đường thẳng EK có phương trình là 19x – 8y – 18 = 0 . Tìm tọa độ điểm C của hình vuông biết rằng điểm E có hành độ nhỏ hơn 3 . C (3,8) THANH CHƯƠNG 1 – NGHỆ AN 4 Tất cả vì học sinh thân yêu Câu 10 (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tâm I. Các 2  10 11   điểm G  ;  , E  3;   lần lượt là trọng tâm của tam giác ABI và tam giác ADC . Xác 3  3 3  định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD , biết tung độ đỉnh A là số nguyên. A(1;4), B (7;6), C (9; 2), D(1; 4) Câu 11 : Đề 6 – NHÓM HỌC SINH THẦY QUANG BABY Cho hình vuông ABCD tâm K , M là điểm di động trên cạnh AB . Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho AM  AE , trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BM  BF , phương trình EF : x  2  0 .Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M tới đường thẳng EF .Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH là x 2  y 2  4 x  2 y  15  0 và tung độ điểm A và điểm H dương. A  0;5 , B  4; 3 , C  4; 7  , D  8;1 Câu 12 – Đề 11 (ĐỀ THI NHÓM HỌC SINH THẦY QUANG BABY) Cho hình vuông ABCD , vẽ hai đường tròn  C1  có đường kính là AD và  C2  có bán kính là AD tâm D . Lấy điểm P thuộc  C2  sao cho AP có phương trình x  2 y  3  0 . Đường thẳng DP cắt  C1  tại N biết rằng AN có phương trình x  3 y  7  0 . Tìm các đỉnh hình vuông biết rằng điểm E  9; 6  thuộc đường thẳng CD . Vậy A 1; 2  , B  3;8 , C  9;6  , D  7;0  Câu 13 – Đề 19 (Nhóm Học Sinh Thầy Quang Baby) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A  4;6  . Goi M , N lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC và   450 , N  5;8 và đường thẳng MN có phương trình 38x  y  182  0. CD sao cho MAN Tìm tọa độ các điểm B, C, D B  0; 2  5 Tất cả vì học sinh thân yêu Bài 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Điểm E(7;3) là một điểm nằm trên cạnh BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE cắt đường chéo BD tại điểm N  N  B  . Đường thẳng AN có phương trình 7x +11y + 3 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnhA, B, C,D của hình vuông ABCD , biết A có tung độ dương, C có tọa độ nguyên và nằm trên đường thẳng 2 x  y  23  0 . (Đề thi thử THPT Hàn Thuyên Bắc Ninh 2016 Lần 1) Câu 18. ( Đề 22 – thầy Quang Baby) : Cho hình vuông ABCD, A(1;4), vẽ hai đường tròn (C1) có đường kính AD và (C2) có bán kính AD tâm D. Lấy điểm P nằm trên đường tròn (C2), AP có phương trình x + y – 5 = 0. Đường thẳng DP cắt đường tròn (C1) tại N, AN có phương trình 3x – 5y + 17 = 0. Tìm các đỉnh hình vuông biết rằng xC > 0, điểm E(7; -2) thuộc đường thẳng BC. Bài 19: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, AD lần lượt lấy hai điểm E, F sao cho AE = AF. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên DE. Biết  2 14   8  H  ;   , F  ; 2  , C thuộc đường thẳng d : x  y  2  0 , D thuộc đường thẳng 5  3 5  d ' : x  3 y  2  0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông. (Đề thi thử THPT Thuận Thành 1 Bắc Ninh 2016 Lần 2) Bài 20. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh C  4; 3 và M là một điểm nằm trên cạnh AB ( M không trùng với A và B). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, C lên DM và I  2;3 là giao điểm của CE và BF. Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD biết rằng đỉnh B nằm trên đường thẳng d có phương trình x  2 y  10  0 6 Tất cả vì học sinh thân yêu (Đề thi thử THPT Yên Thế 2016 Lần 3) Kết luận: A  8;1 , B  0;5 , D  4; 7  Bài 21. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có K là điểm đối xứng với A qua B. Trên cạnh BC, CD lấy các điểm M và N thỏa mãn BM  DN . Phương trình đường thẳng MK : x  y  0 , điểm N  1; 5  . Viết phương trình cạnh AB biết điểm A thuộc trục hoành và điểm M có hoành độ dương. (Đề thi thử THPT Offine Thầy Nguyễn Đại Dương sienghoc.com Lần 7) Bài 22. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD . Gọi M, N lần lượt là các điểm nằm trên cạnh AB, CD thỏa mãn AM  DN . Đường thẳng qua M và vuông góc BN cắt cạnh AC tại E. Biết E  10;3 , phương trình MN : x  2 y  1  0 , điểm C thuộc d : 3 x  y  7  0 . Viết phương trình đường thẳng AB. (Đề thi thử THPT Offine Thầy Nguyễn Đại Dương sienghoc.com Lần 8) Bài 24:Cho hình vuông ABCD có tâm I. gọi M là điểm đối xứng của D qua C. Gọi H,K lần lượt là chân đường cao hạ từ D, C lên AM. Giả sử K(1;1), đỉnh B thuộc đt: 5x+3y10=0 và pt đt HI: 3x+y+1=0. Tìm đọa độ đỉnh B. 7 Tất cả vì học sinh thân yêu Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD và M là một điểm thuộc cạnh CD  M  C , D  . Qua điểm A dựng đường thẳng d vuông góc với AM , d cắt đường thẳng BC tại điểm N Biết rằng trung điểm của đoạn thẳng MN là gốc tọa độ O, I là giao điểm của AO và BC. Tìm tọa độ điểm B của hình vuông biết A  6; 4  , O  0;0  .I  3; 2  và điểm N có hoành độ âm. Ta có:   MAD  ( Cùng phụ BAM ) NAB  AB  AD    BAN ABN và ADM có:  DAM    ADM  ABN  ABN  ADM  AM  AN O là trung điểm MN  AO  MN Mà MAN vuông  OA  ON 8 Tất cả vì học sinh thân yêu Phương trình đường thẳng MN   AI  : 3x  2 y  0 OA  ON  N  4; 6  ( Thỏa mãn ) hoặc N  4;6  ( Loại vì xA  0 )  N (4; 6)  Phương trình đường thẳng BC : 4 x  7 y  26  0 Phương trình đường thẳng AB : 7 x  4 y  26  0  6 22  AB  BC  B  B   ;   5   5 Câu 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A  4;6  . Gọi M , N   450 , M  4;0  và đường lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC và CD sao cho MAN thẳng MN có phương trình :11x  2 y  44  0. Tìm tọa độ các điểm B, C , D. Bài giải Đường thẳng vuông góc với AM tại A cắt CD tại E   BAD   900  EAD   BAM  ( Phụ góc MAD  )  EAM  AD  AB ADE và AMB   ADE  ABM  AM  AE   BAM   EAD   NAE   450  AN là đường phân giác MAE   AN  ME Mà MAN Mà AE  AM  Phương trình đường thẳng AE : 4 x  3 y  34  0 9 Tất cả vì học sinh thân yêu  E 10; 2  AE  AM    E  2;14  Với E 10; 2  , phương trình đường thẳng AN : 7 x  y  22  0. AN  MN  N  N  0; 22   D 12; 2  , B  0; 2  , C  8; 6  (loại vì xét điều kiện D,N cùng phía AM) Với E  2;14  , phương trình đường thẳng AN : x  7 y  46  0.  16 22  AN  MN  N  N   ;   B  0; 2  , C  8; 2  , D  4;10   3 3  Câu 3 (Thpt – Chu Văn An – An Giang) Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy , cho hình vuông ABCD có đỉnh C thuộc đường thẳng d : x  2y  6  0 , điểm M (1;1) thuộc cạnh BD biết rằng hình chiếu vuông góc của điểm M trên cạnh AB và AD đều nằm trên đường thẳng  : x  y  1  0 . Tìm tọa độ đỉnh C . Đáp số : C  2; 2  Bài giải Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, AD. Gọi KM  BC  N , CM  HK  I . 10 Tất cả vì học sinh thân yêu   450  KM  KD  KM  NC Ta có DKM vuông tại K và DKM 1 Lại có MH  MN ( Do MHBN là hình vuông )   MCN   KMH vuông và CNH vuông bằng nhau  HKM  nên    IMK   HKM   900  CI  HK . NMC  IMK NMC  NCM Mà  Đường thẳng CI đi qua M 1;1 và vuông góc với đường thẳng d nên có VTPT  nCI  1; 1  Phương trình đường thẳng CI : x  y  0. x  y  0 x  2 Tọa độ của C là nghiệm của hệ phương trình    C  2; 2  x  2 y  6  0 y  3  Vậy C  2; 2  Câu 4 ( THPT - Ngô Gia Tự - Vĩnh Phúc ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tâm I. Trung điểm cạnh AB là M (0;3) , trung điểm đoạn CI là J (1;0) . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết đỉnh D thuộc đường thẳng  : x  y  1  0 . Đáp số : A(2;3), B(2;3), C (2; 1), D (2; 1). Bài giải A M H B I J D N C Gọi N là trung điểm CD và H là tâm hình chữ nhật AMND. Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật AMND. Từ giả thiết, suy ra NJ // DI , do đó NJ  AC NJ hay 11 Tất cả vì học sinh thân yêu J   C  ( Vì AN là đường kính của  C  ). Mà MD cũng là đường kính của  C  nên JM  JD (1)   D   nên D (t ; t  1)  JD  (t  1; t  1), JM  (1;3). Theo (1)   JD.JM  0  t  1  3t  3  0  t  2  D ( 2; 1) . Gọi a là cạnh hình vuông ABCD. Dễ thấy DM  2 5  a 2  a2  a  4. 4  x  2; y  3 2 2  AM  2  x  ( y  3)  4  Gọi A( x; y ). Vì    6 7 2 2  AD  4 ( x  2)  ( y  1)  16  x  5 ; y  5 - Với A(2;3)  B(2;3)  I (0;1)  C (2; 1)  J (1;0) ( Thỏa mãn ) 6 7 6 23 8 9 22 11  - Với A  ;   B   ;   I  ;   C  ;   J  3; 2  ( Loại ). 5 5  5 5   5 5  5 5 Vậy tọa độ các đỉnh hình vuông là A(2;3), B(2;3), C (2; 1), D(2; 1). Câu 5 ( THPT – Hiền Đa – Phú Thọ ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có C  2; 2  . Gọi điểm I , K lần lượt là trung điểm của DA và DC ; M  1; 1 là giao của BI và AK . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD biết điểm B có hoành độ dương. Đáp số: A  2;0  , B 1;1 , D  1; 3 . Bài giải 12 Tất cả vì học sinh thân yêu A J B N M I D K C Gọi J là trung điểm của AB. Khi đó  AJKC là hình bình hành  AK // CJ . Gọi CJ  BM  N  N là trung điểm của BM . Chứng minh được AK  BI  BMC cân tại C.   Ta có MC  3; 1  MC  10  CM  BM  AB  10. Trong ABM vuông có: AB 2  BM .BI  BM . AB 2  AI 2  BM . AB   5  BM  2 2 2    B là giao của hai đường tròn C ; 10 và M ; 2 2 . Tọa độ điểm B thỏa mãn:  x  2  2   y  2 2  10  B 1;1 .  2 2  x  1   y  1  8 Phương trình đường thẳng AB có dạng : x  3 y  2  0. Phương trình đường thẳng AM có dạng : x  y  2  0.  A  2;0  .   Ta có BA  CD  D  1; 3 . Câu 6 ( THPT Lê Hồng Phong – Nam Định lần 2 – 2016 ) – Quan hệ vuông góc 13 Tất cả vì học sinh thân yêu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm B thuộc đường thẳng 2 x  y  0. Điểm M M  3;0  là trung điểm AD, điểm K  2; 2  thuộc cạnh DC sao cho KC  3KD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông. Bài giải Ta có: AM 1   AMB  600 AB 2 MD   300  2  DMK MK   900  BM  MK  BMK  Phương trình đường thẳng BM : x  2 y  3  0  B 1; 2   Gọi n  (a; b) là VTPT của AB  DMK  ABM  MK  BK   300  MBK 2  MB là phân giác của  ABK Lấy đối xứng với K qua M được điểm H  H  4; 2   Phương trình đường thẳng AB : y  2  0. 14 Tất cả vì học sinh thân yêu  Phương trình đường thẳng AD : x  3  0.  A  3; 2   D  3; 2   C 1; 2   Vậy A  3; 2  , B 1; 2  , C 1; 2  , D  3; 2  Câu 7(1,0 điểm ). CHUYÊN HẠ LONG Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A  4;6  . Gọi M, N lần lượt là các điểm nằm trên cạnh BC và CD sao cho   450 , M  4;0  và đường thẳng MN có phương trình 11x  2 y  44  0 . Tìm tọa độ MAN các điểm B, C, D. Bài giải : Gọi E  BD  AN , F  BD  AM , I  ME  NF   NBD   MBD   450 nên hai tứ giác ADNF, ABNE nội tiếp. Do đó Ta có: MAN ME  AN , NF  AM . Suy ra AI  MN Gọi H  AI  MN . Ta có ABME , MNEF là các tứ giác nội tiếp nên  AMB   AEB   AMH . Suy ra AMB  AMH . Do đó B là đối xứng của H qua đường thẳng AM. 15 Tất cả vì học sinh thân yêu  24 22  Từ AH  MN tại Hm tìm được H   ;  . Do B là đối xứng của H qua AM, nên tìm  5 5  được B  0; 2  Tìm được BC : 2 x  4 y  8  0, CD : 2 x  y  18  0 suy ra C  8; 2    Từ AD  BC ta tìm được D  4;10  Câu 8 – Chuyên Biên hòa : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD tâm I, G là trọng tâm tam giác ABI, M là trung điểm AI, đường thẳng qua G và cắt ID tại E (7;-2) sao cho GE  2GM . Viết phương trình AB biết A có tung độ dương và AG : 3x  y  13 Bài giải : ABI vuông cân tại I, G là trọng tâm *) GA  GB  GE   AIG  BIG  G là tâm ngoại tiếp ABE IA  IB  AGE  2  ABE  900  AIG  BIG   AGE vuông cân tại G.  GA  GB *) Phương trình GE là Mà GB  2GM  GA  2GM Mà GE  2GM  GA  GE  GAE cân tại G x7 y 2   x  3y 1  0 3 1  Tọa độ G thỏa mãn:  x  3 y 1  0 x  4   G  4; 1  3 x  y  13  y  1 A  AG  A  a;3a  13  GA   a  4;3a  12   *) GE   3; 1   GE  10 16 Tất cả vì học sinh thân yêu *) GA  GE  2  a  4    3a  12  2  a  5  A  5; 2  nhaän   10    a  3  A  3; 4  loaïi  * Gọi F là giao của AG và BD  AF  3   7 5    7 1  AG  F  ;   EF   ;  2 2 2   2 2  Phương trình EF: x - 7y  21  0 *) Phương trình AI ( AI  EF ) là: 7 x  y  37  0   8 6   28 11  ;   IG   ;   5 5   5 5  Tọa độ I thỏa mãn: I   Phương trình AB (do vuông góc IG) là: 4 x  3 y  14  0   Vậy A 5; 2 , Câu 9 : CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – ĐÀ NẴNG 11 Trong mặt phẳng Oxy , cho hình vuông ABCD , điểm F ( ;3) là trung điểm của AD , điểm 2 E là trung điể AB , điểm K thuộc CD sao cho KD = 3KC . Đường thẳng EK có phương trình là 19x – 8y – 18 = 0 . Tìm tọa độ điểm C của hình vuông biết rằng điểm E có hành độ nhỏ hơn 3 . Bài giải : 17 Tất cả vì học sinh thân yêu Cách 1 dùng chuẩn hóa : Ta chuẩn hóa như sau (đưa điểm A trùng gốc tọa độ , AB trùng Ox , AD trùng Oy) , mục đích tính độ dài cạnh hình vuông . Ta biểu diễn tọa độ các điểm trong hệ trục tọa độ mới như hình vẽ . Từ đó tính được  1 EK  ( a, a) //(1,4) vuông góc (-4,1) => phương trình EK : -4x + y + 2a = 0 4 a  2a 5a 2  16  1 2 17 04 Theo hình chuẩn hóa : d ( F , EK )  Theo đề bài thì ta lại có : d ( F , EK )   a  5 , nên EF  11 .19  24  18 2 192  64  25 17 34 2 5 2 a 2 2 a  2  19a  18   E  EF  E  a;  EF  58 (loai )  a  8   17  Gọi I là trung điểm EF  15 11   I  ,   AC : 7 x  y  29  0  4 4  C (c, 29  7c ) c  3 C (3,8) 5 5 5 2 5 5 2 2   (c  2)  (29  7c  )  ( )   9 5 Ta có BC  c  9 C ( ,  ) 2 2 2  2  2 2 Xét vị trí của C và EF ta có đáp số là C (3,8) Cách 2 : Dùng Cosin: 18 Tất cả vì học sinh thân yêu AB  a  AB  4a  AE  AF  2a 4 DC MK  KC  a 4 *) EF  2a 2, FK  a 13, EK  a 17   3 34  cos FEK 34  *)Gọi véc tơ pháp tuyến của EF : n(a, b)  19a  8b 2 2 2  3 34 34 a  b . 19  64  2(19a  8b)2  225(a 2  b2 )  a 97  b  71   a  1  b 7 a 97 11 *)   EF : 97( x  )  71( y  3)  0 b 71 2 a 97 11 5 15 11   EF : ( x  )  7( y  3)  0  E (2, )  N ( , ) b 71 2 2 4 4 15 11 x y 4  4  7 x  y  29  0  C (c, 29  7c )  AC : 1 7 *) 19 Tất cả vì học sinh thân yêu *) EC (c  2, 53 5 5  7c), EF  2a 2  EC  2 2 5 5  53  (c  2)  (  7c)2    2  2  9  c   2  c  3 2 2 Loại trường hợp c  9 vì điểm C cùng phía vơi A bờ EF . 2 ĐS : C (3,8) THANH CHƯƠNG 1 – NGHỆ AN Câu 10 (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tâm I. Các 2  10 11   điểm G  ;  , E  3;   lần lượt là trọng tâm của tam giác ABI và tam giác ADC . Xác 3  3 3  định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD , biết tung độ đỉnh A là số nguyên. Bài giải : Gọi M là trung điểm của BI và N là hình chiếu vuông góc của G lên BI. Ta có GN / / AI  IN AG 2 2 1    IN  IM  BI (1) IM AM 3 3 3 E là trọng tâm ACD 1 1 2  IE  DI  BI  EN  IN  IE  BI  BN 3 3 3  BN  EN  BGE cân tại G  GA  GB  GE  A, E , B cùng thuộc đường tròn tâm G  AGE  2  ABE  2.450  900  AGE vuông cân tại G qua G Phương trình ( AG ) :   ( AG ) : x  13 y  51  0  A(51  13a; a )  GE 20