Tài liệu Tổng hợp đề thi môn toán từ năm 2002 - 2013 ở tất các khối có lời chi tiết (226 trang)

MỤC LỤC STT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 TÊN ĐỀ Đề thi đại học khối A năm 2002 Đề thi đại học khối B năm 2002 Đề thi đại học khối D năm 2002 Đề thi đại học khối A năm 2003 Đề thi đại học khối B năm 2003 Đề thi đại học khối D năm 2003 Đề thi đại học khối A năm 2004 Đề thi đại học khối B năm 2004 Đề thi đại học khối D năm 2004 Đề thi đại học khối A năm 2005 Đề thi đại học khối B năm 2005 Đề thi đại học khối D năm 2005 Đề thi đại học khối A năm 2006 Đề thi đại học khối B năm 2006 Đề thi đại học khối D năm 2006 Đề thi đại học khối A năm 2007 Đề thi đại học khối B năm 2007 Đề thi đại học khối D năm 2007 Đề thi đại học khối A năm 2008 Đề thi đại học khối B năm 2008 Đề thi đại học khối D năm 2008 Đề thi đại học khối A năm 2009 Đề thi đại học khối B năm 2009 Đề thi đại học khối D năm 2009 Đề thi đại học khối A năm 2010 Đề thi đại học khối B năm 2010 Đề thi đại học khối D năm 2010 Đề thi đại học khối A năm 2011 Đề thi đại học khối B năm 2011 Đề thi đại học khối D năm 2011 Đề thi đại học khối A năm 2012 Đề thi đại học khối B năm 2012 Đề thi đại học khối D năm 2012 Đề thi đại học khối A năm 2013 Đề thi đại học khối B năm 2013 Đề thi đại học khối D năm 2013 TRANG 1 11 19 27 33 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103 109 115 121 127 133 139 145 151 157 163 169 175 181 187 193 199 205 211 217 bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao §¼nG n¨m 2002 -----------------------------M«n thi : to¸n §Ò chÝnh thøc (Thêi gian lµm bµi: 180 phót) _____________________________________________ C©u I (§H : 2,5 ®iÓm; C§ : 3,0 ®iÓm) Cho hµm sè : y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 3 − m 2 (1) ( m lµ tham sè). 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (1) khi m = 1. 2. T×m k ®Ó ph−¬ng tr×nh: − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 cã ba nghiÖm ph©n biÖt. 3. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè (1). C©u II.(§H : 1,5 ®iÓm; C§: 2,0 ®iÓm) log 32 x + log 32 x + 1 − 2m − 1 = 0 Cho ph−¬ng tr×nh : 1 (2) ( m lµ tham sè). m = 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh (2) khi 2. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh (2) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc ®o¹n [ 1 ; 3 3 ]. C©u III. (§H : 2,0 ®iÓm; C§ : 2,0 ®iÓm ) cos 3x + sin 3x   1. T×m nghiÖm thuéc kho¶ng (0 ; 2π ) cña ph−¬ng tr×nh: 5 sin x +  = cos 2 x + 3. 1 + 2 sin 2 x   2. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: y =| x 2 − 4 x + 3 | , y = x + 3. C©u IV.( §H : 2,0 ®iÓm; C§ : 3,0 ®iÓm) 1. Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S . ABC ®Ønh S , cã ®é dµi c¹nh ®¸y b»ng a. Gäi M vµ N lÇn l−ît lµ c¸c trung ®iÓm cña c¸c c¹nh SB vµ SC. TÝnh theo a diÖn tÝch tam gi¸c AMN , biÕt r»ng mÆt ph¼ng ( AMN ) vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng ( SBC ) . 2. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz cho hai ®−êng th¼ng:  x = 1+ t  x − 2y + z − 4 = 0  ∆1 :  vµ ∆ 2 :  y = 2 + t . x + 2 y − 2z + 4 = 0  z = 1 + 2t  a) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( P) chøa ®−êng th¼ng ∆ 1 vµ song song víi ®−êng th¼ng ∆ 2 . b) Cho ®iÓm M (2;1;4) . T×m to¹ ®é ®iÓm H thuéc ®−êng th¼ng ∆ 2 sao cho ®o¹n th¼ng MH cã ®é dµi nhá nhÊt. C©u V.( §H : 2,0 ®iÓm) 1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é §ªcac vu«ng gãc Oxy , xÐt tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A , ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng BC lµ 3 x − y − 3 = 0, c¸c ®Ønh A vµ B thuéc trôc hoµnh vµ b¸n kÝnh ®−êng trßn néi tiÕp b»ng 2. T×m täa ®é träng t©m G cña tam gi¸c ABC . 2. Cho khai triÓn nhÞ thøc: n n n −1 n −1 −x  x2−1   −3x   x −1   x2−1   −3x   x2−1  −3x  1 n −1 n  2 + 2 3  = C n0 2 2         + C n  2   2  + L + C n  2  2  + C n  2                 3 1 ( n lµ sè nguyªn d−¬ng). BiÕt r»ng trong khai triÓn ®ã C n = 5C n vµ sè h¹ng thø t− b»ng 20n , t×m n vµ x . ---------------------------------------HÕt--------------------------------------------Ghi chó: 1) ThÝ sinh chØ thi cao ®¼ng kh«ng lµm C©u V. n 2) C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. Hä vµ tªn thÝ sinh:.................................................... Sè b¸o danh:..................... 1 bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o ------------------------------------- C©u ý I 1 Kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2002 §¸p ¸n vµ thang ®iÓm m«n to¸n khèi A Néi dung §H m = 1 ⇒ y = − x 3 + 3x 2 x = 0 y' = 0 ⇔  1  x2 = 2 TËp x¸c ®Þnh ∀x ∈ R . y ' = −3 x 2 + 6 x = −3x( x − 2) , y" = −6 x + 6 = 0, C§ ∑1,0 ® ∑1,5 ® 0,25 ® 0,5® 0,5 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,5 ® y" = 0 ⇔ x = 1 B¶ng biÕn thiªn −∞ x 0 − y' +∞ 0 + 0 − lâm U 4 CT 0 2 C§ låi x = 0 y=0⇔ , x = 3 §å thÞ: +∞ 2 + 0 y" y 1 − −∞ y (−1) = 4 y 4 2 -1 0 1 2 3 x ( ThÝ sinh cã thÓ lËp 2 b¶ng biÕn thiªn) 2 I 2 C¸ch I. Ta cã − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 ⇔ − x 3 + 3 x = −k 3 + 3k 2 . §Æt a = − k 3 + 3k 2 Dùa vµo ®å thÞ ta thÊy ph−¬ng tr×nh − x 3 + 3 x 2 = a cã 3 nghiÖm ph©n biÖt ⇔ 0 < a < 4 ⇔ 0 < − k 3 + 3k 2 < 4  −1 < k < 3 0≠k <3 0≠k <3   ⇔ ⇔ ⇔   2 2 k ≠ 0 ∧ k ≠ 2 (k + 1)(k − 4k + 4) > 0 (k + 1)(k − 2 ) > 0 C¸ch II. Ta cã − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 ⇔ ( x − k ) x 2 + (k − 3) x + k 2 − 3k ] = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt ⇔ f ( x) = x 2 + (k − 3) x + k 2 − 3k = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c k  ∆ = −3k 2 + 6k + 9 > 0  −1 < k < 3 ⇔ 2 ⇔  2 2 k ≠ 0 ∧ k ≠ 2 k + k − 3k + k − 3k ≠ 0 [ 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® ----------- ----------- 0,25® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® ∑1,0 ® ∑1,0 ® 3 C¸ch I.  x = m −1 y' = 0 ⇔  1  x2 = m + 1 Ta thÊy x1 ≠ x 2 vµ y ' ®æi dÊu khi qua x1 vµ x 2 ⇒ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1 vµ x 2 . y1 = y ( x1 ) = − m 2 + 3m − 2 vµ y 2 = y ( x 2 ) = − m 2 + 3m + 2 Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm cùc trÞ M 1 m − 1;− m 2 + 3m − 2 vµ M 2 m + 1;− m 2 + 3m + 2 lµ: y ' = −3x 2 + 6mx + 3(1 − m 2 ) = −3( x − m) 2 + 3 , ( ) ( ) x − m + 1 y + m 2 − 3m + 2 = ⇔ y = 2x − m2 + m 2 4 ' 2 C¸ch II. y = −3x + 6mx + 3(1 − m 2 ) = −3( x − m) 2 + 3 , Ta thÊy 2 2 ∆' = 9m + 9(1 − m ) = 9 > 0 ⇒ y ' = 0 cã 2 nghiÖm x1 ≠ x 2 vµ y ' ®æi dÊu khi qua x1 vµ x 2 ⇒ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x1 vµ x 2 . Ta cã y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 3 − m 2 m 1 =  x −  − 3 x 2 + 6mx + 3 − 3m 2 + 2 x − m 2 + m. 3 3 Tõ ®©y ta cã y1 = 2 x1 − m 2 + m vµ y 2 = 2 x 2 − m 2 + m . VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm cùc trÞ lµ y = 2 x − m 2 + m . ( II ∑ 0,5 ® ∑ 0,5 ® ) 1. Víi m = 2 ta cã log x + log x + 1 − 5 = 0 2 3 2 3 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® ---------- ----------- 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® ∑ 0,5 ® ∑1,0 ® 0,25 ® 0,5 ® §iÒu kiÖn x > 0 . §Æt t = log 32 x + 1 ≥ 1 ta cã t 2 −1+ t − 5 = 0 ⇔ t 2 + t − 6 = 0 t = −3 . ⇔1  t2 = 2 3 t1 = −3 (lo¹i) , t 2 = 2 ⇔ log 32 x = 3 ⇔ log 3 x = ± 3 ⇔ x = 3 ± 3 0,25 ® 0,5 ® x = 3 ± 3 tháa m·n ®iÒu kiÖn x > 0 . (ThÝ sinh cã thÓ gi¶i trùc tiÕp hoÆc ®Æt Èn phô kiÓu kh¸c) ∑1,0 ® ∑1,0 ® 2. log x + log x + 1 − 2m − 1 = 0 (2) 2 3 2 3 §iÒu kiÖn x > 0 . §Æt t = log 32 x + 1 ≥ 1 ta cã t 2 − 1 + t − 2 m − 1 = 0 ⇔ t 2 + t − 2m − 2 = 0 (3) 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® ----------- ---------- 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® x ∈ [1,3 3 ] ⇔ 0 ≤ log 3 x ≤ 3 ⇔ 1 ≤ t = log 32 x + 1 ≤ 2. VËy (2) cã nghiÖm ∈ [1,3 3 ] khi vµ chØ khi (3) cã nghiÖm ∈ [ 1,2 ]. §Æt f (t ) = t 2 + t C¸ch 1. Hµm sè f (t ) lµ hµm t¨ng trªn ®o¹n [1; 2] . Ta cã f (1) = 2 vµ f (2) = 6 . Ph−¬ng tr×nh t 2 + t = 2m + 2 ⇔ f (t ) = 2m + 2 cã nghiÖm ∈ [1;2]  f (1) ≤ 2m + 2 2 ≤ 2 m + 2 ⇔ ⇔ ⇔ 0 ≤ m ≤ 2.  f (2) ≥ 2m + 2 2 m + 2 ≤ 6 C¸ch 2. TH1. Ph−¬ng tr×nh (3) cã 2 nghiÖm t1 ,t 2 tháa m·n 1 < t1 ≤ t 2 < 2 . t +t 1 Do 1 2 = − < 1 nªn kh«ng tån t¹i m . 2 2 TH2. Ph−¬ng tr×nh (3) cã 2 nghiÖm t1 ,t 2 tháa m·n t1 ≤ 1 ≤ t 2 ≤ 2 hoÆc 1 ≤ t1 ≤ 2 ≤ t 2 ⇔ −2m(4 − 2m ) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2 . (ThÝ sinh cã thÓ dïng ®å thÞ, ®¹o hµm hoÆc ®Æt Èn phô kiÓu kh¸c ) III 1. cos 3 x + sin 3 x  1  5  sin x +  = cos 2 x + 3 . §iÒu kiÖn sin 2 x ≠ − 1 + 2 sin 2 x  2  cos 3x + sin 3x   sin x + 2 sin x sin 2 x + cos 3 x + sin 3 x   Ta cã 5  sin x +   = 5 1 + 2 sin 2 x  1 + 2 sin 2 x     sin x + cos x − cos 3 x + cos 3 x + sin 3 x   (2 sin 2 x + 1) cos x  =5   =5  = 5 cos x 1 + 2 sin 2 x    1 + 2 sin 2 x  2 VËy ta cã: 5 cos x = cos 2 x + 3 ⇔ 2 cos x − 5 cos x + 2 = 0 1 π cos x = 2 (lo¹i) hoÆc cos x = ⇒ x = ± + 2kπ (k ∈ Z ). 2 3 ∑1,0 ® ∑1,0 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 4 5π π vµ x 2 = . Ta thÊy x1 , x 2 tháa m·n ®iÒu 3 3 1 5π π kiÖn sin 2 x ≠ − . VËy c¸c nghiÖm cÇn t×m lµ: x1 = vµ x 2 = . 2 3 3 (ThÝ sinh cã thÓ sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi kh¸c) V× x ∈ (0 ; 2π ) nªn lÊy x1 = 2. y 0,25 ® 0,25 ® ∑1,0 ® ∑1,0 ® 8 3 1 0 -1 -1 1 2 5 3 x Ta thÊy ph−¬ng tr×nh | x 2 − 4 x + 3 |= x + 3 cã 2 nghiÖm x1 = 0 vµ x 2 = 5. MÆt kh¸c | x 2 − 4 x + 3 |≤ x + 3 ∀ x ∈ [0;5] . VËy 5 ( 1 ) ( 3 ) ( 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25® 0,25® ∑1® ∑1® ) S = ∫ x + 3− | x 2 − 4 x + 3 | dx = ∫ x + 3 − x 2 + 4 x − 3 dx + ∫ x + 3 + x 2 − 4 x + 3 dx 0 0 5 1 ( ) + ∫ x + 3 − x 2 + 4 x − 3 dx 3 1 ( 3 ) ( ) 5 ( ) S = ∫ − x + 5 x dx + ∫ x − 3 x + 6 dx + ∫ − x 2 + 5 x dx 2 0 1 1 2 3 3 5 5  3 5   1 1   1 S =  − x3 + x 2  +  x3 − x 2 + 6x  +  − x3 + x 2  2 0 3 2 2 3  3 1  3 13 26 22 109 S= + + = (®.v.d.t) 6 3 3 6 (NÕu thÝ sinh vÏ h×nh th× kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i nªu bÊt ®¼ng thøc | x 2 − 4 x + 3 |≤ x + 3 ∀ x ∈ [0;5] ) IV 1. 5 S N I M A C 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® K B Gäi K lµ trung ®iÓm cña BC vµ I = SK ∩ MN . Tõ gi¶ thiÕt 1 a ⇒ MN = BC = , MN // BC ⇒ I lµ trung ®iÓm cña SK vµ MN . 2 2 Ta cã ∆SAB = ∆SAC ⇒ hai trung tuyÕn t−¬ng øng AM = AN ⇒ ∆AMN c©n t¹i A ⇒ AI⊥MN . (SBC )⊥( AMN )  (SBC ) ∩ ( AMN ) = MN  MÆt kh¸c  ⇒ AI⊥(SBC ) ⇒ AI⊥SK . AI ⊂ ( AMN )   AI⊥MN Suy ra ∆SAK c©n t¹i A ⇒ SA = AK = a 3 . 2 3a 2 a 2 a 2 SK = SB − BK = − = 4 4 2 2 2 2 2  SK  ⇒ AI = SA − SI = SA −   =  2  2 Ta cã 2 S ∆AMN 2 3a 2 a 2 a 10 . − = 4 8 4 a 2 10 1 = MN . AI = (®vdt) 2 16 chó ý 1) Cã thÓ chøng minh AI⊥MN nh− sau: BC⊥(SAK ) ⇒ MN⊥(SAK ) ⇒ MN⊥AI . 2) Cã thÓ lµm theo ph−¬ng ph¸p täa ®é: Ch¼ng h¹n chän hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz sao cho a   a   −a 3   −a 3  K (0;0;0), B ;0;0 , C  − ;0;0 , A 0; ;0 , S  0; ; h 2 6 2   2      trong ®ã h lµ ®é dµi ®−êng cao SH cña h×nh chãp S. ABC . 6 2a) C¸ch I. Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P ) chøa ®−êng th¼ng ∆1 cã d¹ng: α (x − 2 y + z − 4) + β (x + 2 y − 2 z + 4) = 0 ( α 2 + β 2 ≠ 0 ) ⇔ (α + β )x − (2α − 2 β ) y + (α − 2 β )z − 4α + 4 β = 0 r r VËy n P = (α + β ;−2α + 2 β ;α − 2 β ) .Ta cã u 2 = (1;1;2 ) // ∆ 2 vµ M 2 (1;2;1) ∈ ∆ 2 r r  n P .u 2 = 0 α − β = 0 (P ) // ∆ 2 ⇔  VËy (P ) : 2 x − z = 0 ⇔ M 2 (1;2;1) ∉ (P )  M 2 ∉ (P ) ∑ 0,5 ® ∑1,0 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,25 ® ----------- 0,5 ® ----------- 0,25 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,5 ® ∑ 0,5 ® ∑1,0 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,25 ® ----------0,25 ® 0,25 ® 0,5 ® ----------0,5 ® 0,5 ® Ta cã thÓ chuyÓn ph−¬ng tr×nh ∆1 sang d¹ng tham sè nh− sau:  x = 2t '  Tõ ph−¬ng tr×nh ∆ 1 suy ra 2 x − z = 0. §Æt x = 2t ' ⇒ ∆ 1 :  y = 3t '−2  z = 4t '  r ⇒ M 1 (0;−2;0) ∈ ∆ 1 , u1 = (2;3;4) // ∆ 1 . (Ta cã thÓ t×m täa ®é ®iÓm M 1 ∈ ∆ 1 b»ng c¸ch cho x = 0 ⇒ y = −2 z = 0 C¸ch II r −2 1 1 1 1 −2 vµ tÝnh u1 =  ; ;  = (2;3;4) ).  2 −2 −2 1 1 2  r Ta cã u 2 = (1;1;2 ) // ∆ 2 . Tõ ®ã ta cã vÐc t¬ ph¸p cña mÆt ph¼ng (P) lµ : r r r n P = [u1 , u 2 ] = (2;0;−1) . VËy ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua M 1 (0;−2;0 ) r vµ ⊥ n P = (2;0;−1) lµ: 2 x − z = 0 . MÆt kh¸c M 2 (1;2;1) ∉ (P ) ⇒ ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng cÇn t×m lµ: 2 x − z = 0 2b) b)C¸ch I. H ∈ ∆ 2 ⇒ H (1 + t ,2 + t ,1 + 2t ) ⇒ MH = (t − 1; t + 1;2t − 3) ⇒ MH = (t − 1) + (t + 1) + (2t − 3) = 6t − 12t + 11 = 6(t − 1) + 5 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi vµ chØ khi t = 1 ⇒ H (2;3;3) C¸ch II. H ∈ ∆ 2 ⇒ H (1 + t ;2 + t ;1 + 2t ) . r MH nhá nhÊt ⇔ MH⊥∆ 2 ⇔ MH .u 2 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ H (2;3;4) 2 V 1. 2 2 2 2 Ta cã BC I Ox = B(1;0 ) . §Æt x A = a ta cã A(a; o) vµ ( ∑1® ) xC = a ⇒ y C = 3a − 3. VËy C a; 3a − 3 . 1   2a + 1 3 (a − 1)   xG = 3 ( x A + x B + x C ) ; Tõ c«ng thøc  ta cã G . 1 3  3   yG = ( y A + y B + yC ) 3  C¸ch I. Ta cã : AB =| a − 1 |, AC = 3 | a − 1 |, BC = 2 | a − 1 | . Do ®ã 0,25 ® 7 S ∆ABC = Ta cã VËy 1 3 (a − 1)2 . AB. AC = 2 2 2 2S 3 (a − 1) | a −1| r= = = = 2. AB + AC + BC 3 | a − 1 | + 3 | a − 1 | 3 +1 | a − 1 |= 2 3 + 2. 0,25 ® 0,25 ® 7+4 3 6+2 3 ; TH1. a1 = 2 3 + 3 ⇒ G1  3 3    − 4 3 −1 − 6 − 2 3  ; TH2 a 2 = −2 3 − 1 ⇒ G2  . 3 3   C¸ch II. y C 0,25 ® ----------- I O B A x Gäi I lµ t©m ®−êng trßn néi tiÕp ∆ABC . V× r = 2 ⇒ y I = ±2 . x −1 Ph−¬ng tr×nh BI : y = tg 30 0.( x − 1) = ⇒ xI = 1 ± 2 3 . 3 TH1 NÕu A vµ O kh¸c phÝa ®èi víi B ⇒ x I = 1 + 2 3. Tõ d ( I , AC ) = 2 7+4 3 6+2 3 ⇒ a = x I + 2 = 3 + 2 3. ⇒ G1  ; 3 3   TH 2. NÕu A vµ O cïng phÝa ®èi víi B ⇒ x I = 1 − 2 3. T−¬ng tù  − 4 3 −1 − 6 − 2 3  ; ta cã a = x I − 2 = −1 − 2 3. ⇒ G2   3 3   2. Tõ C n3 = 5C n1 ta cã n ≥ 3 vµ 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® ∑1 ® 8 n! n! n(n − 1)(n − 2) =5 ⇔ = 5n ⇔ n 2 − 3n − 28 = 0 (n − 1)! 3!(n − 3)! 6 ⇒ n1 = −4 (lo¹i) hoÆc n 2 = 7. Víi n = 7 ta cã  x2−1  C 2    3 7 4 0,25 ® 0,25 ® 3  −3x   2  = 140 ⇔ 35.2 2 x −2.2 − x = 140 ⇔ 2 x − 2 = 4 ⇔ x = 4.     0,5 ® 9 10 bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao §¼ng n¨m 2002 ®Ò chÝnh thøc M«n thi : to¸n, Khèi B. (Thêi gian lµm bµi : 180 phót) _____________________________________________ C©u I. (§H : 2,0 ®iÓm; C§ : 2,5 ®iÓm) Cho hµm sè : y = mx 4 + m 2 − 9 x 2 + 10 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè (1) khi m = 1 . 2. T×m m ®Ó hµm sè (1) cã ba ®iÓm cùc trÞ. ( ) (1) ( m lµ tham sè). C©u II. (§H : 3,0 ®iÓm; C§ : 3,0 ®iÓm) 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x . 2. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: log x log 3 (9 x − 72) ≤ 1 . ( )  3 x − y = x − y   x + y = x + y + 2 . C©u III. ( §H : 1,0 ®iÓm; C§ : 1,5 ®iÓm) TÝnh diÖn tÝch cña h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng : x2 x2 y = 4− vµ y = . 4 4 2 3. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: C©u IV.(§H : 3,0 ®iÓm ; C§ : 3,0 ®iÓm) 1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxy cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã t©m 1  I  ;0  , ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AB lµ x − 2 y + 2 = 0 vµ AB = 2 AD . T×m täa ®é c¸c ®Ønh 2  A, B, C , D biÕt r»ng ®Ønh A cã hoµnh ®é ©m. 2. Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCDA1 B1C1 D1 cã c¹nh b»ng a . a) TÝnh theo a kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng A1 B vµ B1 D . b) Gäi M , N , P lÇn l−ît lµ c¸c trung ®iÓm cña c¸c c¹nh BB1 , CD , A1 D1 . TÝnh gãc gi÷a hai ®−êng th¼ng MP vµ C1 N . C©u V. (§H : 1,0 ®iÓm) Cho ®a gi¸c ®Òu A1 A2 L A2 n (n ≥ 2, n nguyªn ) néi tiÕp ®−êng trßn (O ) . BiÕt r»ng sè tam gi¸c cã c¸c ®Ønh lµ 3 trong 2n ®iÓm A1 , A2 , L , A2 n nhiÒu gÊp 20 lÇn sè h×nh ch÷ nhËt cã c¸c ®Ønh lµ 4 trong 2n ®iÓm A1 , A2 , L , A2 n , t×m n . --------------------------------------HÕt------------------------------------------Ghi chó : 1) ThÝ sinh chØ thi cao ®¼ng kh«ng lµm C©u IV 2. b) vµ C©u V. 2) C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. Hä vµ tªn thÝ sinh:................................................................... Sè b¸o danh:............................... 11 Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2002 ------------------------§¸p ¸n vµ thang ®iÓm ®Ò thi chÝnh thøc M«n to¸n, khèi b C©u I ý 1 Néi dung §H C§ y = x 4 − 8 x 2 + 10 lµ hµm ch½n ⇒ ®å thÞ ®èi xøng qua Oy .  x=0 TËp x¸c ®Þnh ∀ x ∈ R , y ' = 4 x 3 − 16 x = 4 x x 2 − 4 , y '= 0 ⇔   x = ±2 ∑1,0 ® ∑1,5 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,5 ® Víi m = 1 ta cã ( ) 4 2  . y" = 12 x 2 − 16 = 12 x 2 − , y" = 0 ⇔ x = ± 3 3  B¶ng biÕn thiªn: x −∞ −2 − y' y" 0 + −2 3 + 0 +∞ y lâm CT −6 U 2 0 0 − 10 C§ låi +∞ 2 3 − 0 0 + + +∞ U lâm CT −6 y Hai ®iÓm cùc tiÓu : A1 (− 2;−6 ) vµ A2 (2;−6 ) . Mét ®iÓm cùc ®¹i: B (0;10 ) .  − 2 10   2 10  Hai ®iÓm uèn: U 1  ;  vµ U 2  ; .  3 9  3 9 Giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc tung lµ B(0;10 ) . §å thÞ c¾t trôc hoµnh t¹i 4 ®iÓm cã hoµnh ®é: 10 B x = ± 4 + 6 vµ x = ± 4 − 6 . U1 U2 -2 2 0 A1 -6 x A2 (ThÝ sinh cã thÓ lËp 2 b¶ng biÕn thiªn) 12 I II 2 ( ) ( ) y ' = 4mx 3 + 2 m 2 − 9 x = 2 x 2mx 2 + m 2 − 9 , x=0  y' = 0 ⇔  2 2 2mx + m − 9 = 0 Hµm sè cã ba ®iÓm cùc trÞ ⇔ ph−¬ng tr×nh y '= 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt (khi ®ã y ' ®æi dÊu khi qua c¸c nghiÖm) ⇔ ph−¬ng tr×nh 2mx 2 + m 2 − 9 = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 0.  m ≠ 0 2mx 2 + m 2 − 9 = 0 ⇔  2 9 − m 2 . Ph−¬ng tr×nh 2mx 2 + m 2 − 9 = 0 x =  2m  m < −3 cã 2 nghiÖm kh¸c 0 ⇔  0 < m < 3.  m < −3 VËy hµm sè cã ba ®iÓm cùc trÞ ⇔  0 < m < 3. 1 sin 2 3x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x 1 − cos 6 x 1 + cos 8 x 1 − cos10 x 1 + cos12 x ⇔ − = − 2 2 2 2 ⇔ (cos 12 x + cos 10 x ) − (cos 8 x + cos 6 x ) = 0 ⇔ cos x(cos 11x − cos 7 x ) = 0 ⇔ cos x sin 9 x sin 2 x = 0 kπ  x = 9 k ∈ Z. ⇔ sin 9 x sin 2 x = 0 ⇔  kπ x = 2  Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ sö dông c¸c c¸ch biÕn ®æi kh¸c ®Ó ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh tÝch. 2 ( ) log x log 3 (9 x − 72) ≤ 1 (1).  x > 0, x ≠ 1  §iÒu kiÖn:  9 x − 72 > 0 ⇔ 9 x − 72 > 1 ⇔ x > log 9 73 log (9 x − 72) > 0  3 ( (2). ∑ 1,0 ® ∑ 1,0 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® ∑ 1,0 ® ∑ 1,0 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,5 ® ∑1,0 ® ∑1,0 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® ) Do x > log 9 73 > 1 nªn (1) ⇔ log 3 9 x − 72 ≤ x ( ) x 2 ⇔ 9 x − 72 ≤ 3 x ⇔ 3 − 3 x − 72 ≤ 0 (3). §Æt t = 3 x th× (3) trë thµnh t 2 − t − 72 ≤ 0 ⇔ −8 ≤ t ≤ 9 ⇔ −8 ≤ 3 x ≤ 9 ⇔ x ≤ 2 . KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (2) ta ®−îc nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ: log 9 73 < x ≤ 2 . 13 3  3 x − y = x − y (1) x− y ≥ 0 §iÒu kiÖn:  (3)   x + y = x + y + 2 (2).  x + y ≥ 0.  x= y (1) ⇔ 3 x − y 1 − 6 x − y = 0 ⇔   x = y + 1. Thay x = y vµo (2), gi¶i ra ta ®−îc x = y = 1. 3 1 Thay x = y + 1 vµo (2), gi¶i ra ta cã: x = , y = . 2 2 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (3) hÖ ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm: 3 1 x = 1, y = 1 vµ x = , y = 2 2 Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ n©ng hai vÕ cña (1) lªn luü thõa bËc 6 ®Ó di ®Õn kÕt qu¶:  x= y  x = y + 1.  ( ) III y x2 y= 4− 4 -4 2 2 4 ] 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® ∑1,0 ® ∑ 1,5 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,25 ® x x2 x2 vµ y = : 4 4 2 x2 x2 x4 x2 = ⇔ + − 4 = 0 ⇔ x2 = 8 ⇔ x = ± 8 . 32 4 4 4 2 [ 0,25 ® A2 0 T×m giao ®iÓm cña hai ®−êng cong y = 4 − 4− 0,25 ® 4 2 2 2 -2 2 ∑1,0 ® x2 y= A1 ∑1,0 ® x2 x2 Trªn − 8 ; 8 ta cã ≤ 4− vµ do h×nh ®èi xøng qua trôc tung 4 4 2 8 8 8 x2 x 2  1 nªn S = 2 ∫  4 − dx = ∫ 16 − x 2 dx − x 2 dx = S1 − S 2 . − ∫   4 4 2 2 2 0 0 0 §Ó tÝnh S1 ta dïng phÐp ®æi biÕn x = 4 sin t , khi 0 ≤ t ≤  π dx = 4 cos tdt vµ cos t > 0 ∀ t ∈ 0;  . Do ®ã  4 π 4 th× 0 ≤ x ≤ 8 . 14 8 S1 = ∫ 0 π π 4 4 0 0 0,25 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,25 ® ∑ 1,0 ® ∑ 1,5 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,25 ® 16 − x 2 dx = 16 ∫ cos 2 tdt = 8 ∫ (1 + cos 2t )dt = 2π + 4 . S2 = 1 2 2 8 ∫x 0 2 dx = 1 6 2 8 = x3 0 4 8 . VËy S = S1 − S 2 = 2π + . 3 3 2 2    4 − x − x dx . ∫ 4 4 2  − 8 8 Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ tÝnh diÖn tÝch S = IV 1 y B H O A I C x D Kho¶ng c¸ch tõ I ®Õn ®−êng th¼ng AB b»ng 5 ⇒ AD = 5 vµ 2 5 . 2 Do ®ã A, B lµ c¸c giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng AB víi ®−êng trßn t©m I vµ b¸n 5 kÝnh R = . VËy täa ®é A, B lµ nghiÖm cña hÖ : 2 x − 2y + 2 = 0   2 2  x − 1  + y 2 =  5      2 2  Gi¶i hÖ ta ®−îc A(− 2;0 ), B(2;2 ) (v× x A < 0 ) ⇒ C (3;0 ), D(− 1;−2 ) . IA = IB = Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ t×m täa ®é ®iÓm H lµ h×nh chiÕu cña I trªn ®−êng th¼ng AB . Sau ®ã t×m A, B lµ giao ®iÓm cña ®−êng trßn t©m H b¸n kÝnh HA víi ®−êng th¼ng AB . 15 IV ∑ 1,0 ® ∑1,5 ® 2a) T×m kho¶ng c¸ch gi÷a A1 B vµ B1 D . z D1 A1 B1 C1 G I A yx D 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,5 ® C B x C¸ch I. Chän hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz sao cho A(0;0;0), B(a;0;0 ), D(0; a;0 ), A1 (0;0; a ) ⇒ C (a; a;0 ); B1 (a;0; a ); C1 (a; a; a ), D1 (0; a; a ) [ ] ⇒ A1 B = (a;0;− a ), B1 D = (− a; a;− a ), A1 B1 = (a;0;0) vµ A1 B, B1 D = (a 2 ;2a 2 ; a 2 ) . VËy d ( A1 B, B1 D ) = [A B, B D].A B [A B, B D] 1 1 1 C¸ch II. 1 1 1 = a3 a 2 6 = a 6 . A1 B⊥AB1   ⇒ A1 B⊥( AB1C1 D ) ⇒ A1 B ⊥B1 D . A1 B⊥AD  T−¬ng tù A1C1 ⊥B1 D ⇒ B1 D⊥( A1 BC1 ) . Gäi G = B1 D ∩ ( A1 BC1 ) . Do B1 A1 = B1 B = B1C 1 = a nªn GA1 = GB = GC1 ⇒ G lµ t©m tam gi¸c ®Òu A1 BC1 cã c¹nh b»ng a 2 . Gäi I lµ trung ®iÓm cña A1 B th× IG lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña A1 B vµ B1 D , nªn 1 1 3 a d ( A1 B, B1 D ) = IG = C1 I = A1 B = . 3 3 2 6 Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ viÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P ) chøa A1 B vµ song song víi B1 D lµ: x + 2 y + z − a = 0 vµ tÝnh kho¶ng c¸ch tõ B1 (hoÆc tõ D ) tíi (P ) , hoÆc viÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q ) chøa B1 D vµ song song víi A1 B lµ: x + 2 y + z − 2a = 0 vµ tÝnh kho¶ng c¸ch tõ A1 (hoÆc tõ B) tíi (Q ) . 16