BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
TỔNG HỢP BÀI TẬP PHÉP
TỊNH TIẾN
–
PHÉP BIẾN
HÌNH CÁC DẠNG TRONG ÔN
11
HỌC 2017-2018 (
QUYỀN )
Mục Lục
THI TOÁN LỚP
NĂM
ĐỘC
:
1. 32 BÀI TẬP - TRẮC NGHIỆM PHÉP TỊNH TIẾN - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
2. HƯỚNG DẪN GIẢI 32 BÀI TẬP - TRẮC NGHIỆM PHÉP TỊNH TIẾN
3. PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH PHÉP TỊNH TIẾN
[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018
Page 1
BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
I. 32 BÀI TẬP - TRẮC NGHIỆM PHÉP TỊNH TIẾN - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
2
2
Câu 1. Tìm m để C : x 2 y 2 4 x 2my 1 0 là ảnh của đường tròn C ' : x 1 y 3 9
qua phép tịnh tiến theo vectơ v 3;5 .
A. m 2
B. m 2
C. m 3
D. m 3
Câu 2. Cho parabol P : y x 2 mx 1 . Tìm m sao cho P là ảnh của P ' : y x 2 2 x 1 qua
phép tịnh tiến theo vectơ v 0,1 .
A. m 1
B. m 1
C. m 2
D. m
Câu 3. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Ảnh tam giác FEO là qua T là:
AB
A. ABO
Câu
4.
C ' : x 7
B. ODC
Trong
2
mặt
phẳng
C. AOB
Oxy,
cho
đường
D. OCD
tròn
C : x 4
2
2
y 5 36
và
x x ' a
2
y 2 36 là ảnh của C qua
. Vậy tọa độ v là:
y y ' b
A. 3;7
B. 3; 7
C. 3;7
D. 3; 7
Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy cho v 2; 1 . Tìm tọa độ điểm A biết ảnh của nó là điểm A ' 4; 1
qua phép tịnh tiến theo vectơ v :
A. A 2;0
B. A 1;1
C. A 2;3
D. A 0; 2
Câu 6. Ảnh d ' của đường thẳng d : 2 x 3 y 1 0 qua phép tịnh tiến theo vectơ v 3; 2 là:
A. d ' : 2 x y 1 0
B. d ' : 2 x 3 y 1 0
C. d ' : 3x 2 y 1 0
D. d ' : 2 x 3 y 11 0
Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v a; b . Với mỗi điểm M x; y ta có M ' x '; y ' là ảnh
của M qua phép tịnh tiến theo v . Khi đó MM ' v sẽ cho
x ' x a
y' y b
A.
x ' x a
y' y b
B.
x x ' a
y y ' b
x x ' a
y y ' b
C.
D.
Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A 4;5 . Phép tịnh tiến v 1; 2 biến điểm A thành
điểm nào trong các điểm sau đây?
A. A ' 5;7
B. A ' 1;6
C. A ' 3;1
D. A ' 4;7
[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018
Page 2
BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
Câu 9. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường tròn thành chính nó?
A. 0
B. 2
C. 1
2
Câu 10. Cho đường tròn C : x 2 y 2
2
D. Vô số
16 và v 3;4 . Đường tròn C ' là ảnh của
C qua phép Tv . Vậy C ' cần tìm là:
2
2
B. x 5 y 6 16
2
2
2
D. x 4 y 5 16
C. x 3 y 6 16
2
2
A. x 5 y 3 16
2
Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ảnh của đường thẳng d : 2 x y 3 qua phép tịnh tiến
v 1;3 là:
A. x 2 y 6
B. 2 x y 6
C. 2 x y 8
D. x 2 y 8
Câu 12. Cho đường thẳng d : x 2 y 1 0 . Ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ u 1; 2 là:
A. 2 x y 4 0
B. x 2 y 1 0
C. 2 x y 4 0
D. x 2 y 4 0
2
Câu 13. Cho đường tròn C : x 1 y 2 4 . Ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ
u 1;3 là:
2
2
A. x 2 y 3 10
B. x 2 y 3 4
C. x 2 y z 1 0
D. x y z 4 0
Câu 14. Cho 2 điểm A 1; 2 và B 0; 1 . Ảnh của đường thẳng AB qua phép tịnh tiến theo vectơ
u 3; 2 là:
A. 3 x y 1 0
B. 3 x y 12 0
C. x 3 y 9 0
D. x 3 y 12 0
Câu 15. Ảnh của đường tròn C : x 2 y 2 4 x 2 y 4 0 qua phép tịnh tiến theo vectơ u 2;1 .
2
2
B. x 2 y 2 9
2
2
D. x 2 y 2 3
A. x 4 y 2 9
C. x 4 y 2 3
Câu 16. Cho 3 điểm A 1;2 , B 2;3 , C 6;7 . Giả sử qua phép tịnh tiến theo vectơ u các điểm A, B,
C lần lượt biến thành các điểm A ' 2;0 , B ', C ' . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. C ' 7;5
B. B ' 3;5
C. u 1; 2
D. C ' 7;9
[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018
Page 3
BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A 1;3 và B 2; 4 , tọa độ M ' là ảnh của
M 4;3 qua phép tính tiến T là:
AB
A. M ' 4;3
B. M ' 5;10
C. M ' 3; 4
D. M ' 3; 4
Câu 18. Trong mặt phẳng Oxy cho A 3; 1 , phép tịnh tiến theo vectơ v 3;2 thành điểm nào
sau đây:
A. B 6;3
B. C 6;1
C. D 0;3
D. E 0; 3
Câu 19. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến vectơ AB thành vectơ CD với AB CD ?
A. Một
B. Hai
C. Ba
D. Bốn
Câu 20. Trong mặt phẳng cho vectơ v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M ' được gọi
là phép tịnh tiến theo vectơ v thỏa mãn
A. MM ' v
B. M ' M v
C. MM ' kv
D. MM ' v
Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn
C có phương trình:
x2 y2 x 2 y 3 0
A. x 2 y 2 7 x 2 y 9 0
B. x 2 y 2 5 x 2 y 3 0
C. x 2 y 2 7 x 2 y 9 0
D. x 2 y 2 5 x 2 y 3 0
Câu 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A 3;6 , B 1;5 , C 0; 2 . Gọi G là trọng tâm của tam
giác ABC. Ảnh của G qua phép tịnh tiến theo vectơ AB là
26 10
A. ;
3
10 26
B. ;
3
3
3
10 10
C. ;
26 26
D. ;
3 3
3
3
Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn C và C ' có phương trình lần lượt là
x 2 y 2 2 x 4 y 11 0 và x 2 y 2 6 x 8 y 9 0 . Phép tịnh tiến theo vectơ u biến đường tròn
C ' thành đường tròn C khi đó tọa độ vectơ u là:
A. 4;6
B. 4; 6
C. 4;6
D. Đáp án khác
Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép tịnh tiến Tv với v 2;1 , cho đường tròn
C : x 2
2
2
y 3 25 . Tìm ảnh của đường tròn C ?
2
2
A. x 2 y 4 25
2
2
B. x 2 y 3 25
[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018
Page 4
BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
2
2
2
C. x 3 y 2 25
2
D. x 4 y 4 25
2
2
Câu 25. Tạo ảnh của đường tròn C ' : x 3 y 1 25 qua phép tịnh tiến theo vectơ
v 3;2 là đường tròn C có phương trình
2
B. x 6 y 3 25
2
2
D. x 2 y 1 25
A. x 2 y 1 5
2
2
C. x 2 y 1 25
2
2
Câu 26. Trong mặt phẳng Oxy và vectơ u 1; 2 . Ảnh của đường tròn C : x 2 y 3 4
qua phép tịnh tiến vectơ u là:
2
2
2
2
2
A. C ' : x 1 y 3 4
2
B. C ' : x 3 y 5 4
2
C. C ' : x 2 y 5 4
D. C ' : x 2 y 1 4
Câu 27. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. Tv M M ' T M ' M
v
B. Tv M M ' Tv M ' M
C. Tv M M ' T M M '
v
D. Tv M M ' T M ' M '
v
Câu 28. Cho điểm A 2;5 và vectơ v 3; 2 . Tìm tọa độ của A ' sao cho A là ảnh của A ' qua
phép tịnh tiến vectơ v
A. A ' 2;4
B. A ' 2;2
C. A ' 5;7
D. A ' 5;1
Câu 29. Trong mặt phẳng Oxy cho v 2;3 , C : x 2 y 2 4 x 6 y 4 0 . Gọi C ' là ảnh của
đường tròn C qua phép tịnh tiến Tv . Phương trình C ' có dạng:
2
2
2
2
A. x 4 y 6 9
B. x 4 y 6 9
C. x 2 y 2 9
D. x 4 y 2 9
2
Câu 30. Cho hai đồ thị của hàm số f x x 3 3 x 1 (C) và g x x 3 6 x 2 15 x 2
vectơ v a; b sao cho khi tịnh tiến đồ thị C theo vectơ v ta được đồ thị C ' .
A. v 2; 9
B. v 2;11
C. v 3;2
D. v 9; 2
Câu 31. Trong mặt phẳng Oxy, phép tịnh tiến điểm M 1;0 qua v là phép đồng nhất khi:
A. v 1;0
B. v 0;1
C. v 1;1
D. v 0;0
[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018
C ' .Tìm
Page 5
BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
2
2
Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 đường tròn C : x m 2 y 3 m 10 ;
2
y 5 m 10 . Biết C ' Tv C . Tìm v ?
A. v 2; 8
B. v 6 2m; 2m 2 C. v 3 m; m 1
C ' : x 4 m
2
D. v 6; 2
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn đáp án B
Đường tròn C có tâm I 2; m , bán kính R m 2 5 .
2 1 3
m 2.
m 3 5
Đường tròn C ' có bán kính tâm I ' 1; 3 , bán kính R ' 3 . Ta có
Câu 2. Chọn đáp án D
Giả sử M x; y P là ảnh của M x '; y ' P ' qua phép tịnh tiến theo vectơ v 0;1
x x '
x ' x
y 1 x 2 2 x 1 y x2 2 x 2
y y ' 1 y ' y 1
Ta có
Câu 3. Chọn đáp án B
Ảnh tam giác FEO là qua T là ODC .
AB
Câu 4. Chọn đáp án D
Đường tròn C có tâm I 4;5 , đường tròn C ' có tâm I ' 7; 2 v 3; 7
Câu 5. Chọn đáp án A
Ta có A 2;0
Câu 6. Chọn đáp án D
x ' x 3
x x ' 3
y' y 2
y y ' 2
Giả sử M x '; y ' d ' là ảnh của điểm M x; y d
Suy ra 2 x ' 3 3 y ' 2 1 0 2 x ' 3 y ' 11
Câu 7. Chọn đáp án A
x ' x a
y' y b
Ta có
[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018
Page 6
BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
Câu 8. Chọn đáp án A
Ta có A ' 5;7
Câu 9. Chọn đáp án C
Có 1 phép tịnh tiến biến một đường tròn thành chính nó.
Câu 10. Chọn đáp án B
2
2
Ta có C ' : x 5 y 6 16
Câu 11. Chọn đáp án C
Ta có d ' : 2 x y 8 0
Câu 12. Chọn đáp án D
Ta có d ' : x 2 y 4 0
Câu 13. Chọn đáp án B
2
Ta có C ' : x 2 y 3 4
Câu 14. Chọn đáp án B
u 3;2
A 1;2 , B 0; 1 A ' 4;0 , B 3; 3
x4 y
3 x y 12 0
1
3
Câu 15. Chọn đáp án A
C : x2 y 2 4 x 2 y 4 0 x 2
2
2
y 1 9 I 2;1 ; R 3
2
2
Theo công thức tịnh tiến T : u 2;1 J 4;2 x 4 y 2 9 .
Câu 16. Chọn đáp án A
Ta có u 1; 2 B ' 3;1 , C ' 7;5
Câu 17. Chọn đáp án C
AB 1; 7 ; M 4;3 M ' 3; 4
Câu 18. Chọn đáp án B
C 6;1
Câu 19. Chọn đáp án A
Biến AB thành chính nó là vectơ 0
Câu 20. Chọn đáp án D
[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018
Page 7
BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
Câu 21. Chọn đáp án D
2
1
17
2
1
x y x 2 y 3 0 x y 1 I ;1
2
4
2
2
Tịnh
2
theo
tiến
phương
Ox
về
bên
trái
3
đơn
vị:
5
v 3;0 J ;0 C ' : x 2 y 2 5 x 2 y 3 0
2
Câu 22. Chọn đáp án C
2 13
10 10
Ta có G ; , AB 4; 1 G ' ;
3 3
3 3
Câu 23. Chọn đáp án B
Dễ thấy hai tâm là I 1; 2 và J 3; 4 suy ra u 4; 6
Câu 24. Chọn đáp án D
2
2
Tâm I 2;3 suy ra ảnh là tâm J 4;4 , suy ra ảnh đường tròn: x 4 y 4 25
Câu 25. Chọn đáp án B
2
2
Tâm I 3; 1 suy ra tâm tạo ảnh J 6; 3 , suy ra tạo ảnh là đường tròn x 6 y 3 25 .
Câu 26. Chọn đáp án B
Ta có I 2; 3 , khi đó II ' u xI ' 2; yI ' 3 1; 2
2
2
I ' 3; 5 C ' : x 3 y 5 9 .
Câu 27. Chọn đáp án A
Tv M M ' MM ' v
Ta có
T M M ' T v M ' M
v
T v M ' M M ' M v MM ' v
Câu 28. Chọn đáp án C
2 x A ' 3
A ' 5;7
5 y A ' 2
Ta có A ' A v 2 x A ' ;5 y A ' 3; 2
Câu 29. Chọn đáp án C
2
2
Ta có C : x 2 y 3 9 I 2; 3
[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018
Page 8
BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
Khi đó II ' v xI ' 2; y I ' 3 2;3 I ' 0;0 c ' : x 2 y 2 9
Câu 30. Chọn đáp án B
y x3 3 x 1
x ' x a
Ta có
3
2
y ' y b y b x a 6 x a 15 x a 2
x3 3 x 2 a 3 xa 2 a 3 6 x 2 2 xa a 2 15 x a 2 b x 3 3 x 1
3a 6 0
a 2
3a 2 12a 15 3
v 2;11
a 3 6a 2 15a 2 b 1 b 11
Cách khác nhanh hơn như sau:
2
a 2
v 2;11
b 12 1 11
3
Ta có g x x 2 3 x 6 x 2 3 x 2 12
Câu 31. Chọn đáp án D
Phép tịnh tiến theo vectơ–không chính là phép đồng nhất.
Câu 32. Chọn đáp án A
I 2 m; m 3
v II ' 2; 8
I ' 4 m; m 5
Ta có
II. CHUYÊN ĐỀ: PHÉP BIẾN HÌNH
Câu 1: Cho hình bình hành ABCD. Phép tịnh tiến T biến:
DA
A/. B thành C.
B/. C thành A.
C/. C thành B.
D/. A thành D.
Câu 2: Cho hình bình hành ABCD. Phép tịnh tiến T biến điểm A thành điểm:
AB AD
A/. A’ đối xứng với A qua C.
B/. A’ đối xứng với D qua C.
C/. O là giao điểm của AC và BD.
D/. C.
Câu 3: Cho đường tròn (C) có tâm O và đường kính AB. Gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm A. Phép
tịnh tiến T biến thành:
AB
A/. Đường kính của (C) song song với .
B/. Tiếp tuyến của (C) tại điểm B.
[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018
Page 9
BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
C/. Tiếp tuyến của (C) song song với AB.
D/. Cả 3 đường trên đều không phải.
Câu 4: Cho v 1;5 và điểm M ' 4; 2 . Biết M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến Tv . Tìm M.
A/. M 5; 3 .
B/. M 3;5 .
C/. M 3; 7 .
D/. M 4;10 .
Câu 5: Cho v 3;3 và đường tròn C : x 2 y 2 2 x 4 y 4 0 . Ảnh của C qua Tv là C ' :
2
2
B/. x 4 y 1 9 .
2
2
D/. x 2 y 2 8 x 2 y 4 0 .
A/. x 4 y 1 4 .
C/. x 4 y 1 9 .
2
2
Câu 6: Cho v 4; 2 và đường thẳng ' : 2 x y 5 0 . Hỏi ' là ảnh của đường thẳng nào qua Tv :
A/. : 2 x y 13 0 .
B/. : x 2 y 9 0 .
C/. : 2 x y 15 0 .
D/. : 2 x y 15 0 .
Câu 7: Khẳng định nào sai:
A/. Phép tịnh tiến biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
B/. Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
C/. Phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác bằng nó.
D/. Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Câu 8: Khẳng định nào sai:
A/. Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
B/. Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
C/. Nếu M’ là ảnh của M qua phép quay QO , thì OM '; OM .
D/. Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của điểm M 6;1 qua phép quay Q O ,90 là:
o
A/. M ' 1; 6 .
B/. M ' 1; 6 .
C/. M ' 6; 1 .
D/. M ' 6;1 .
Câu 10: Trong mặt phẳng Oxy, qua phép quay Q O ,90 , M ' 3; 2 là ảnh của điểm :
o
A/. M 3; 2 .
B/. M 2;3 .
C/. M 3; 2 .
D/. M 2; 3 .
[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018
Page 10
BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
Câu 11: Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của điểm M 3; 4 qua phép quay Q O ,45 là:
o
7 2 7 2
;
.
2
2
A/. M '
2
2
2 7 2
B/. M '
2 ; 2 .
7 2
C/. M '
2 ; 2 .
2
D/. M '
2 ; 2 .
Câu 12: Trong mặt phẳng Oxy, qua phép quay Q O , 135 , M ' 3; 2 là ảnh của điểm :
o
5 2 5 2
;
.
2
2
A/. M
5 2
2
2
B/. M
2 ; 2 .
2
2
C/. M
;
.
2
2
2
D/. M
2 ; 2 .
II/. Bài tập tự luận:
1/. Trong mặt phẳng Oxy, cho v 3; 4 và đường thẳng : x y 6 0 . Viết phương trình đường thẳng
' là ảnh của qua phép tịnh tiến Tv .
2/. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng : 2 x y 3 0 . Viết phương trình đường thẳng ' là ảnh của
qua phép quay Q O ,90o .
3/. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x 2 y 2 4 x 4 y 8 0 . Viết phương trình đường tròn
C ' là ảnh của C qua phép quay QO ,120 .
o
4/. Trong mặt phẳng Oxy, cho v 3; 2 và đường tròn C : x 2 y 2 4 x 4 y 1 0 . Viết phương trình
đường tròn C ' là ảnh của C qua phép tịnh tiến Tv .
5/. Trong mặt phẳng Oxy, cho v 5; 4 và điểm M 3; 2 . Gọi M ' là ảnh của M qua phép tịnh tiến Tv ,
M '' là ảnh của M ' qua phép quay Q O ,90o . Tìm tọa độ M '' .
[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018
Page 11
BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
6/. Trong mặt phẳng Oxy, cho v 1;3 và điểm M 4; 7 . Gọi M ' là ảnh của M qua phép quay Q O ,90 ,
o
M '' là ảnh của M ' qua phép tịnh tiến Tv . Tìm tọa độ M '' .
7/. Trong mặt phẳng Oxy, cho v 4;1 và đường thẳng : x 2 y 5 0 . Gọi ' là ảnh của qua phép
quay Q O ,90 , '' là ảnh của ' qua phép tịnh tiến Tv . Viết phương trình '' .
o
2
2
8/. Trong mặt phẳng Oxy, cho v 2;5 và đường tròn C : x 2 y 1 25 . Gọi C ' là ảnh của C
qua phép tịnh tiến Tv , C '' là ảnh của C ' qua phép quay Q O ,90 . Viết phương trình C '' .
o
9/. Cho đường tròn C I , R , trên C lấy hai điểm cố định B và C, một điểm A thay đổi trên C . Họi H
là trực tâm ABC , B’ là điểm đối xứng với B qua tâm I.
b/. Tìm tập hợp điểm H khi A thay đổi.
a/. CMR AH B ' C
10/. Cho đường tròn C I , R và điểm A nằm ngoài đường tròn C . Điểm B thay đổi trên đường tròn C .
Dựng ABC đều. Tìm tập hợp điểm C khi B thay đổi.
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
D
B
A
B
D
B
C
A
D
B
C
IV.
PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH PHÉP TỊNH TIẾN
I.Tóm tắt lý thuyết :
1. Định nghĩa : Trong mặt phẳng , cho véc tơ v a; b . Phép tịnh tiến theo véc tơ v a; b là phép
biến hình , biến một điểm M thành một điểm M’ sao cho MM ' v
Ký hiệu : Tv .
[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018
Page 12
BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
2.Các tính chất của phép tịnh tiến :
a/ Tính chất 1:
*Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ thì MN=M’N’.
b/ Tính chất 2:
* Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay
đổi thứ tự của ba điểm đó .
HỆ QUẢ :
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng , biến một tia thành một tia , biến một đoạn
thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó , biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một
đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính , biến một góc thành một góc bằng nó .
3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
- Giả sử cho v a; b và một điểm M(x;y) . Phép tịnh tiến theo véc tơ v biến điểm M thành điểm M’
x ' a x
y ' y b
thì M’ có tọa độ là :
4. Ứng dụng của phép tịnh tiến
BÀI TOÁN 1: TÌM QUỸ TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM
Bài toán : Cho một hình H , trên hình H có một điểm M . Tìm quỹ tích của điểm M khi trên hình
H có một điểm A thay đổi . ( Thường điểm A chạy trên một đường (C ) cho sẵn ).
Cách giải :
- Dựa vào các tính chất đã biết , ta tìm ra một véc tơ cố dịnh nằm trên hình H ( Với điều kiện : véc
tơ này có phương song song với đường thẳng kẻ qua A ).
- Sau đó dựa vào định nghĩa về phép tịnh tiến ta suy ra M là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo véc
tơ cố định .
- Dựa vào tính chất thay đổi của A ta suy ra giới hạn quỹ tích .
Ví dụ 1: Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó .
Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định .
Giải
[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018
Page 13
BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
- Kẻ đường kính BB’ .Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì AH=B’C. Do C,B’ cố định , cho
nên B’C là một véc tơ cố định AH B ' C . Theo định nghĩa về phép tịnh tiến điểm A đã biến
thành điểm H . Nhưng A lại chạy trên (O;R) cho nên H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của
(O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo v B ' C
- Cách xác định đường tròn (O’;R) . Từ O kẻ đường thẳng song song với B’C . Sau đó dựng véc
tơ : OO ' B ' C . Cuối cùng từ O’ quay đường tròn bán kính R từ tâm O’ ta được đường tròn cần
tìm .
Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A,B cố định , còn đỉnh C chạy trên một đường
tròn (O;R). Tìm quỹ tích đỉnh D khi C thay đổi .
Giải :
- Theo tính chất hình bình hành : BA=DC AB CD . Nhưng theo giả thiết A,B cố định , cho nên
AB cố định . Ví C chạy trên (O;R) , D là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo AB , cho nên D chạy
trên đường tròn O’ là ảnh của đường tròn O
- Cách xác định (O’) : Từ O kẻ đường thẳng // với AB , sau đó dựng véc tơ OO ' AB . Từ O’ quay
đường tròn bán kính R , đó chính là đường tròn quỹ tích của D.
Ví dụ 3. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cùng với hai điẻm A,B . Tìm điểm M trên (O;R) và
điểm M’ trên (O’R’) sao cho MM ' AB .
Giải
a. Giả sử ta lấy điểm M trên (O;R). Theo giả thiết , thì M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo
véc tơ AB . Nhưng do M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn ảnh của (O;R) qua phép
tịnh tiến . Mặt khác M’ chạy trên (O’;R’) vì thế M’ là giao của đường tròn ảnh với đường tròn
(O’;R’).
b/ Tương tự : Nếu lấy M’ thuộc đường tròn (O’;R’) thì ta tìm được N trên (O;R) là giao của (O;R)
với đường tròn ảnh của (O’;R’) qua phép tịnh tiến theo véc tơ AB
c/ Số nghiệm hình bằng số các giao điểm của hai đường tròn ảnh với hai đường tròn đã cho .
Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định . Một đường kính MN thay đổi . Các đường
thẳng AM và AN cắt các tiếp tuyến tại B lần lượt là P,Q . Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác
MPQ và NPQ ?
Giải
- Tam giác MPQ có QA là một đường cao , vì vậy nếu ta kẻ MM’ vuông góc với PQ thì MM’ cắt
QA tại trực tâm H . OA là đường trung bình của tam giác MNH suy ra : MH 2OA BA . Vậy phép
[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018
Page 14
BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
tịnh tiến theo BA biến điểm M thành điểm H . Nhưng M chạy trên (O;AB) cho nên H chạy trên
đường tròn ảnh của (O;AB) qua phép tịnh tiến BA .
- Tương tự đối với tam giác NPQ .
- Giới hạn quỹ tích . Do M không trùng với A,B cho nên trên đường tròn ảnh bỏ đi hai điểm ảnh
của A,B .
BÀI TOÁN 2:
TÌM ĐIỂM M TRÊN ĐƯỜNG THẲNG D SAO CHO KHOẢNG CÁCH MA+MB NGẮN
NHẤT ( A,B- CỐ ĐỊNH CHO TRƯỚC )
Cách giải
Bước 1: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d . ( Khi đó đường thẳng d là
đường trung trực của AB , suy ra M thuộc d thì MA=MA’ ).
Bước 2: Kẻ đường thẳng A’B , thì đường thằng này cắt d tại M . M sẽ là điểm duy nhất
Bước 3: Chứng minh nhận xét trên : Vì MA+MB=MA’+MB=A’B ( không đổi) do A cố
dịnh , thì A’ cố định , suy ra A’B không đổi
Chú ý : Trường hợp trên xảy ra khi A,B nằm trái phía với d .
Ngoài ra : Có trường hợp biến thể là thay đường thẳng d bằng hai đường thẳng // cách nhau một
đoạn cho trước không đổi .
Ví dụ 1. Hai thôn nằm ở hai vị trí A,B cách nhau một con sông ( Xem hai bờ sống là hai đường
thẳng song song ) . Người ta dự kién xây một cây cầu bắc qua sông (MN) và làm hai đoạn thẳng
AM và BN .Tìm vị trí M,N sao cho AM+BN là ngắn nhất .
Giải
- Vì khoảng cách giữa hai bờ sống là không đổi , cho nên MN U .
- Tìm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo U . Khi đó AMNA’ là hình bình hành : A’N=AM .
- Do đó : MA+NB ngắn nhất Vì : MA+NB=A’N+NB
Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD . Trên tia đối của tia AB lấy điểm P , trên tia đối của tia CD lấy
điểm Q . Hãy xác định điểm M trên BC và điểm N trên AD sao cho MN//CD và PN+QM nhỏ
nhất .
Giải
- Giống bài toán trên là khoảng cách giữa hai cạnh của hình chữ nhật không đổi . cho nên ta thực
hiện theo cách của bài toán trên như sau :
[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018
Page 15
BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
- Tìm ảnh của điểm Q qua phép tịnh tiến theo CD U QQ ' .Khi đó MN=QQ’ , suy ra MQ=NQ’ .
Cho nên PN+MQ=PN+NQ’ ngắn nhất khi P,N,Q’ thẳng hàng .
- Các bước thực hiện :
+/ Tìm Q’ sao cho : CD U QQ '
+/ Nối PQ’ cắt AD tại điểm N
+/ Kẻ NM //CD cắt BC tại M . Vậy tìm được M,N thỏa mãn yêu cầu bài toán .
BÀI TOÁN 3:
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG ( C ‘) QUA PHÉP TỊNH TIẾN THEO u a; b
KHI BIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG (C ).
Cách giải :
Bước 1: lấy một điểm M(x;y=f(x) ) trên (C )
Bước 2: Thay x,y vào công thức tọ độ của phép tịnh tiến
Bước 3: Rút gọn ta có phương trình F(x;y)=0 . Đó chính là phương trình của (C’ ) cần
tìm .
Ví dụ . Trong mặt phẳng (Oxy) cho u 1; 2
a/ Viết phương trình ảnh của mỗi đường trong trường hợp sau :
+/Đường thẳng a có phương trình : 3x-5y+1=0 ?
+/Đường thẳng b có phương trình : 2x+y+100=0
b/ Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (C ) : x 2 y 2 4x y 1 0
x2 y2
c/ Viết phương trình đường (E) ảnh của (E) : 1
9
4
d/ Viết phương trình ảnh của (H) :
x2 y2
1
16 9
Giải
a/ Gọi M(x;y) thuộc các đường đã cho và M’(x’;y’) thuộc các đường ảnh của chúng. Theo công
x ' 1 x
x x ' 1
y ' 2 y y y ' 2
thức tọa độ của phép tịnh tiến ta có :
Thay x,y vào phương trình các đường ta có :
- Đường thẳng a’ : 3(x’-1)-5(y’+2)+1=0 3x’-5y’-12=0
[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018
Page 16
BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
- Đường thẳng b’ : 2(x’-1)+(y’+2)+100=0 hay : 2x’+y’+100=0
2
2
b/ Đường tròn (C’) : x ' 1 y ' 2 4 x ' 1 y ' 2 1 0 hay : x 2 y 2 6x 5 y 10 0
x ' 1
c/ Đường (E’) :
2
9
x ' 1
d/ Đường (H’):
y ' 2
2
4
2
16
y ' 2
2
9
x 1
1
2
9
x 1
1
16
2
y 2
2
4
y 2
1
2
9
1
Bài tập về nhà :
Bài 1. Cho hai đường tròn không đồng tâm (O;R) và (O’;R’) và một điểm A trên (O;R) . Xác định
điểm M trên (O;R) và diểm N trên (O’;R’) sao cho MN OA .
Bài 2. ( Làm bài tập 4;5;6 – HH11NC-trang 9)
Bài 3. ( Làm bài tập : 2;3- HH11CB-trang 7 )
Gợi ý
Bài 1. Vì : MN OA TOA : M N . Do đó N nằm trên đường tròn ảnh của (O;R) . Mặt khác N lại
nằm trên (O’;R’) do đó N là giao của đường tròn ảnh với với (O’;R’) . Từ đó suy ra cách tìm :
- Vè đường tròn tâm A bán kính R , đường tròn náy cắt (O’;R’) tại N
- Kẻ đường thẳng d qua N và song song với OA , suy ra d cắt (O;R) tại M
Bài 2.
a/ Bài 4-trang 9-HH11NC.
- Vì A,B cố định suy ra : AB U .
- Từ giả thiết : MM ' MA MB MM ' MB MA AB . Chứng tỏ : T : M M ' .
AB
- Nhưng M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) .
b/ Bài 5.
x1' x1cos y1 sin a
x ' x2cos y2 sin a
; N ' 2'
'
y1 x1 sin y1cos b
y2 x2 sin y2cos b
- Tọa độ của M’ và N’ là : M '
- Khoảng cách d giữa M,N và khoảng cách d’ giữa M’N’ .
2
Ta có : MN x2 x1 y2 y1
M 'N '
x2 x1
2
2
cos sin y
2
2
2
2
y1 cos 2 sin 2
2
x2 x1 y2 y1
2
- Phép F là phép dời hình
[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018
Page 17
BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
x ' x a
. Đây là công thức của phép tịnh tiến .
y' y b
- Khi : 0 sin 0; cos 1
c/ Bài 6.
- Nếu F1 : M x; y M ' y; x ; N x '; y ' N ' y '; x ' thì khoảng cách giữa hai điểm MN và M’N’
2
2
2
2
là : MN x ' x y ' y ; M ' N ' y ' y x ' x . Chứng tỏ MN=M’N’cho nên đó chính là
phép dời hình .
- Nếu : F2 : M ( x; y ) M ' 2x; y ; N x '; y ' N ' 2x '; y ' . Khi đó khoảng cách hai điểm là :
MN
2
x ' x y ' y
2
2
2
; M ' N ' 4 x ' x y ' y .
- Rõ ràng : MN< M’N’ : Do đó đây không phải là phép dời hình vì theo định nghĩa : Phép dời hình
là phép biến hình biến hai điểm thành hai điểm mà không làm thay đổi khoảng cách giữa chúng .
Bài 3.
a/ Bài 2- trang 7.
- Từ B và C kẻ các đường thẳng // với AG . Sau đó đặt BB’=CC’=AG ( Tứ giác BCC’B’ là hình
bình hành )
- A’ sẽ trùng với G . Tam giác GB’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo véc tơ AG .
- Nếu D là ảnh của phép tịnh tiến theo véc tơ AG thì : AG AD D phải trùng với G .
b/ Bài 3-trang 7.
x A' 3 1 2
A ' 2;7 và tọa độ của điểm
y A' 5 2 7
- Theo công thức tọa độ của phép tịnh tiến : A '
xB ' 1 1 2
B'
B ' 2;3 .
yB ' 1 2 3
- Nếu gọi M(x;y) thuộc đường thẳng d và M’(x’;y’) thuộc đường thẳng d’ : là ảnh của đường
thẳng d qua phép tịnh tiến theo véc tơ v thì theo công thức tọa độ củ phép tịnh tiến ta có :
x ' x 1
x x ' 1
. Thay vào phương trình của d : (x’+1)-2(y’-2)+3=0 . Hay d’: x’M '
y ' y 2 y y ' 2
2y’+8=0 .
Bài 3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
1. ĐỊNH NGHĨA :
[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018
Page 18
BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
* Cho đường thẳng d . Phép biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó . Biến mỗi điểm M không
thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của MM’ , được gọi là phép đối xứng qua
đường thẳng d ( hay là phép đối xứng trục ) . Đường thẳng d gọi là trục đối xứng
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
Ta chọn đường thẳng d trùng với trục Ox . Với mỗi điểm M(x;y) , gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua
x ' x
( Đó chính là biểu thức tọa độ )
y ' y
phép đối xứng trục thì :
3. TÍNH CHẤT
a/ Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ .
b/ Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng , biến một đoạn
thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó , biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một
đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính .
4. TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH
Định nghĩa :
* Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép dối xứng qua d biến hình H thành chính
nó .
5. ỨNG DỤNG
BÀI TOÁN 1. TÌM QUỸ TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM
Bài toán :
Cho hình H và một điểm A thuộc hình H thay đổi . Tìm quỹ tích của điểm M khi A thay đổi .
Cách giải .
Bước 1: Xét một vị trí bất kỳ của A và M . Sau dó tìm trên H có một đường thẳng cố định là
trung trực của đoạn thẳng AM ( Chính là trục đối xứng ).
Nếu A chạy trên một đường (C ) nào đó , theo tính chất của phép dối xứng trục , thì M chạy
trên đường (C’) là ảnh của (C ) qua phép đối xứng trục .
Ví dụ 1. ( Bài 10-tr13-HH11NC ) .
Cho hai điểm B,C cố định nằm trên đường tròn (O;R) và điểm A thay đổi trên đường tròn đó . Hãy
dùng phép đối xứng trục để chứng minh rằng trực tâm H nằm trên một đường tròn cố định .
Giải
- Vẽ hình . Gọi H là giao ba đường cao của tam giác ABC . Kéo dài AH cắt (O;R) tại H’ . Nối CH’
- Chứng minh IH=IH’ . Thật vậy
[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018
Page 19
BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN
Ta có : A BCH ' ( Góc nội tiếp chẵn cung BH’ ).(1)
CH AB
A BCH 2 . Từ (1) và (2) suy ra : BCH BCH '
CI AH '
Mặt khác :
Chứng tỏ tam giác HCH’ là tam giác cân . Do BC vuông góc với HH’ , chứng tỏ BC là
đường trung trực của HH’ . Hay H và H’ đối xứng nhau qua BC . Cho nên khi A chạy trên đường
tròn (O;R) thì H’ cũng chạy trên (O;R) và H sẽ chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của đường tròn
(O;R) qua phép đối xứng trục BC
- Giới hạn quỹ tích : Khi A trùng với B và C thì tam giác ABC suy biến thành đường thẳng . Vì
thế trên đường tròn (O’;R) bỏ đi 2 điểm là ảnh của B,C .
* Chú ý : Ta còn có cách khác chứng minh H và H’ đối xứng nhau qua BC .
- Kẻ AA’ ( là đường kính của (O) ) suy ra BHCA’ là hình bình hành , cho nên BC đi qua trung
điểm I của A’H .
- A’H’ song song với BC ( vì cùng vuông góc với AH )
- Từ đó suy ra BC là đường trung bình của tam giác AHH’ – Có nghĩa là BC đi qua trung điểm
của HH’ . Mặt khác AH vuông góc với BC suy ra BC là trục đối xứng của HH’ , hay H và H’ đối
xứng nhau qua BC.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có trực tâm H
a/ Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB,HBC,HCA có bán kính bằng
nhau
b/ Gọi O1 , O2 , O3 là tâm các đường tròn nói trên . Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm
O1 , O2 , O3 bằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Giải .
a/ Giả sử O1 là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC , thì theo bài taons của ví dụ 1 O1
chính là ảnh của (O) qua phép đối xứng trục BC . Cho nên bán kính của chúng bằng nhau . Tương
tự hai đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác còn lại có bán kính bằng bán kính của (O) .
b/ Ta hoàn toàn chứng minh được O1 , O2 , O3 là các ảnh của O qua phép đối xứng trục BC,CA,AB .
Vì vậy bán kính các đường tròn này bằng nhau . Mặt khác ta chứng minh tam giác ABC bằng tam
giác O1O2O3 .
BÀI TOÁN 2. TÌM ĐIỂM
[Tổng hợp các dạng bài tập thường ra đề thi Toán 11 năm học 2017-2018
Page 20
- Xem thêm -
.PDF 
50 
217 
111 
