Tài liệu Tóm tắt kiến thức cơ bản toán 12

Trang 51 PHẦN I. HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1.1. Định nghĩa Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số   y f x xác định trên K ta có:  Hàm số   được gọi là đồng biến (tăng) trên K y f x   nếu:   x1, x2  K , x1  x2  f x1  f x2  Hàm số   y f x được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu:     x1, x2  K , x1  x2  f x1  f x2 Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K * Nhận xét:   đồng biến trên K f x    Hàm số   1 x2  x1  Hàm số của hàm số đi lên từ trái sang phải. f x    0  x , x f x2  f x1    2  K ,  x1  x2. Khi đó đồ thị    0  x , x f x2  f x1  x2  x1 nghịch biến trên K 1 2  K ,  x1  x2. Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.  Nếu  Nếu    f  x   0, x   a; b     Nếu  Nếu  Nếu   f  x  0, x  a;b  hàm số hàm số     đồng biến trên khoảng  a;b . f x   nghịch biến trên khoảng  a;b . f x     f  x  0, x  a;b  f x a;b . hàm số không đôi trên khoảng   đồng biến trên khoảng  a;b  f  x  0, x   a;b . f x   nghịch biến trên khoảng  a;b  f  x  0, x   a;b . f x  Nếu tha࣐ đổi khoảng giả thiết “hàm số  a;b bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bô sunng thêm   liên tụ trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. f x 1.2. Quny tắc và công thức tính đạo hàm Quy tặ́ tính đạo hàm: Cho     u u x ; v v x ; C : là hằng số . Trang 52  Tổng, hiệu:  Tích:  u v  u v.  uv.   u.v  v.u  C .u  C .u.  u  u.v  v.u  C  C .u  , v  0       v v2 u2 u  Thương:     Đạo hàm hàm hợp: Nếu      y  f u , u u x  yx yu.ux . 1.3. Bảng công thức tính đạo hàm Đạo hàm của hàm sơ cấp  C 0 (C là hằng số). Đạo hàm của hàm hợp  x  .x  1      x    .x  u    . u  1  1    2 (x  0) x x  1  u    2 u  0 u u  x   21x  x  0  u    2uu  u  0  sin x  cosx  sinu  u.cosu  cosx   sin x  cosu   u.sinu  tanx  cos1 x  tanu  cosu u  cot x   sin1 x  cot u   sinu u  e   e  a   a .lna  ln x    x1  e   u.e  a   u.a .lna  ln u    uu  log x    x ln1 a u  log u    u.ln a 1    2  2 2 x x .u  2 x  1  u x u u a u a 1.4 . Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức    ax  b  ad  bc .    2  cx  d  cx  d   ax2  bx  c   2   dx  ex  f    a   b 2 a   c b   c x 2 x d   e d   f e   f  dx 2  ex  f  2 . Trang 53 1.5. Đạo hàm cấp 2 1.5.1. Định nghĩa  f  x   f  x   1.5.2. Ý nghĩa cơ học Gia tốc tức thời của chu࣐ển động  s f t tại thời điểm t0 là:     a t0  f  t0 . 1.5.3. Đạo hàm cấp cao f  n   x   f    x  ,  n  , n 2 . n 1 * Một số chú ý:   f x  Nếu hàm số     f x g x đối với hiệu  Nếu hàm số   gx và cũng đồng biến (nghịch biến) trên K . Tính chất nà࣐ có thể không đúng    . f x  gx   f x K thì hàm số   gx và     f x .g x là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên cũng đồng biến (nghịch biến) trên K . Tính chất nà࣐ có thể không đúng khi các hàm số  Cho hàm số xác định với cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số     f x ,g x không là các hàm số dương trên K .   , xác định với x   a;b u u x   x  a;b và     . Hàm số u x  c;d f  u  x   cũng . Ta có nhận xét saun:  Giả sử hàm số với     u u x đồng biến với   . Khi đó, hàm số x  a;b f  u  x   đồng biến   đồng biến với u   c; d  . x  a;b  f u  Giả sử hàm số biến với   u u x x   a; b   f  u  nghịch biến với nghịch biến với x   a; b  . Khi đó, hàm số   f u x    nghịch  . u  c;d Quy tặ́ xét tính đơn điệu ̣ủa hàm số. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K         f ' x 0 với mọi x  K và chỉ tại một số hữu hạn điểm x  K thì hàm số f đồng biến trên K .  Nếu f ' x 0 f ' x 0 với mọi x  K và chỉ tại một số hữu hạn điểm x  K thì hàm số f nghịch biến trên K .  Nếu f ' x 0 Chú ý: Trang 54 y * Đối với hàm phân thức hữu tỉ đạo hàm y không xả࣐ ra. ax  b  d  x   cx  d  c thì dấu "  " khi xét dấu     y  f x ax3  bx2  cx  d  f  x  3ax2  2bx  c. Giả sử Hàm số đồng biến trên  Hàm số nghịch biến trên   a  0     0  f  x  0; x     a  0 .   b  0   c  0  a  0     0  f  x  0; x     a  0 .   b  0   c  0     Trường hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a b c  0thì   f x d (Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu) * Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài bằng l ta giải như sau: Bước 1: Tính   y  f  x;m ax2  bx  c.  x ;x   y  0 có 2 nghiệm phân biệt 1 Bước 2: Hàm số đơn điệu trên 2    0   a  0  * Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng l   x1  x2 l  x1  x2 Bước 4: Giải  * và giao với  2  4x1x2 l 2  S2  4 P l 2  * *  * * để su࣐ ra giá trị m cần tìm. 2. CỰC TRỊ HÀM SỐ 2.1. Định nghĩa x K Giả sử hàm số f xác định trên tập K và 0 . Ta nói:  a; b  chứa x0 sao cho  x0 là điểm cực tiểun của hàm số f nếu tồn tại một khoảng  a; b   K và f  x  f  x  , x   a;b \  x  . Khi đó f  x  0 0 0 được gọi là giá trị cực tiểun của hàm số f . Trang 55    a;b x là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng chứa 0 sao cho x0  a; b   K và f  x   f  x  , x   a;b \  x  . Khi đó f  x  0 0 0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số f .  Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.  Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.  Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm ̣ự̣ trị ̣ủa hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K.  Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị ̣ự̣ trị (hay ̣ự̣ trị) của hàm số.    x ; f x0  Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì điểm 0 đồ thị hàm số f . được gọi là điểm cực trị của * Nhận xét:  Giá trị cực đại (cực tiểu)   nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) f x0 của   f x0 hàm số f trên tập D; chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng  a;b nào đó chứa tại khoảng (a;b) chứa khoảng x0 x0 ha࣐ nói cách khác khi sao cho x0 điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn   là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f f x0 trên  a;b .  Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K . Hàm số có thể không có cực trị trên một tập cho trước. 2.2. Điềun kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số x0 thì   đạt cực trị tại điểm x . Khi đó, nếu y  f  x y f x 0 có đạo hàm tại điểm   f  x0  0. Chú ý:  Đạo hàm x0 f  x  có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm .  Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.  Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm. Trang 56 2.3. Điềun kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2: x x Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm 0 . Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm 0 thì f '  x0  0 .  Nếu   f x  0 trên khoảng x 0   f x  0 trên khoảng  và   f x  0 trên khoảng  x ;x 0 0 h  thì x0 là thì x0 là   f x . một điểm cực đại của hàm số  Nếu  h;x0 x 0 một điểm cực tiểu của hàm số  h;x0  và   f x  0 trên khoảng  x ;x 0 0  h   f x . 2.4. Quny tắc tìm cực trị Quy tặ́ 1:  Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm  Bước 2: Tìm các điểm xi   f x .  i 1;2;... mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.  Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu thì hàm số đạt cực trị tại xi   . Nếu f  x f x đổi dấu khi đi qua . Định lí 3: Giả sử   y f x  Nếu  Nếu có đạo hàm cấp 2 trong khoảng   x 0  h;x0  h  với h  0. Khi đó:   x. thì hàm số f đạt cực đại tại 0   x. thì hàm số f đạt cực tiểu tại 0 f  x0  0, f  x0  0 f  x0  0, f  x0  0 Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số Quy tặ́ 2:  Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm  Bước 2: Tìm các nghiệm  Bước 3: Tính  Nếu  Nếu   f  x   f x .   xi i 1;2;... và tính của phương trình   f  xi .   x. thì hàm số f đạt cực đại tại điểm i   thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xi . f  xi  0 f  xi  0   f  x  0. Trang 57 xi 3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 3 2 3.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba y ax  bx  cx  d. 3.1.1. Tìm điềun kiện để hàm số có cực đại, cực tiểun thỏa mãn hoành độ cho trước Bài toán tổng uát: Cho hàm số đại, cực tiểu tại   y  f x;m ax3  bx2  cx  d. x1, x2 Tìm tham số m để hàm số có cực thỏa mãn điều kiện K cho trước? Phương pháp:  Bước 1:  Tập xác định: D . 2 2  Đạo hàm: y  3ax  2bx  c  Ax  Bx  C  Bước 2: Hàm số có cực trị (ha࣐ có hai cực trị, hai cực trị phân biệt ha࣐ có cực đại và cực tiểu)  y  0 có hai nghiệm phân biệt và y đổi dấu qua 2 nghiệm đó  phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt A  3a  0    2 2 y  B  4AC  4b  12ac  0  Bước 3: Gọi x1, x2 a  0  m  D1.  2 b  3ac  0 là hai nghiệm của phương trình y  0.  B 2b  x1  x2  A 3a .  C c x .x   1 2 A 3a Khi đó:   Bước 4: Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P . Từ đó giải ra tìm được m  D2.  Bước 5: Kết luận các giá trị m thỏa mãn: * Chú ý: Hàm số bậc ba: m  D1  D2.   y ax3  bx2  cx  d a  0 . 2 Ta có: y '  3ax  2bx  c. Điều kiện Kết luận Hàm số không có cực trị. b  3ac  0 Hàm số có hai điểm cực trị. b2  3ac  0 Điều kiện để hàm số ̣ó ̣ự̣ trị ̣ùng dấu, trái dấu. 2   Hàm số có 2 cực trị trái dấu Trang 58  phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu  AC .  3ac  0  ac  0.   Hàm số có hai cực trị cùng dấu  phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu y  0    C P x1.x2   0  A Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương  phương trình y  0 có hai nghiệm dương phân biệt  y  0  B  S x1  x2  0 A  P  x .x C  0 1 2  A  Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm  phương trình y  0 có hai nghiệm âm phân biệt  y '  0  B  S x1  x2  0 A  P  x .x C  0 1 2  A  Tìm điều kiện để hàm số ̣ó hai ̣ự̣ trị x1, x2 thỏa mãn: x1    x2 x1  x2     x1  x2  Hai cực trị x1, x2  thỏa mãn  x1    x2     x1   x2    0  x1.x2   x1  x2   2  0  Hai cực trị x1, x2  thỏa mãn   x1  x2    x   x    0 2   1  x  x  2  2  1  Hai cực trị  x1, x2  thỏa mãn   x   x    0 2   1  x  x  2  2  1    x .x   x  x   2  0 1 2 1 2  x  x  2  2  1   x1  x2   x .x   x  x   2  0 1 2 1 2  x  x  2  2  1 Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng x khi có 1 nghiệm là b 3a , có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có 1 nghiệm là Trang 59 d a . 3.1.2. Tìm điềun kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểun nằm cùng phía, khác x  3 phía so với một đường thẳng Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng: Cho 2 điểm Nếu  ax A    A xA ;yA , B xB ;yB   và đường thẳng  : ax  by  c  0.   byA  c axB  byB  c  0 thì hai điểm A, B nằm về hai phía so với đường thẳng . Nếu  ax A    byA  c axB  byB  c  0 phía so với đường thẳng thì hai điểm A, B nằm cùng . Một số trương hợp đặ̣ biệt:  Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy  hàm số có 2 cực trị cùng dấu  phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu  Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy  hàm số có 2 cực trị trái dấu  phương trình y  0 có hai nghiệm trái dấu  Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox  phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt và yC Đ .yCT  0 Đặ̣ biệt:  Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox yC Đ .yCT  0  y  yCT  0  y  0  phương trình có hai nghiệm phân biệt và  C Đ  Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox yC Đ .yCT  0  y  yCT  0  phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt và  C Đ  Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox  phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt và yC Đ .yCT  0 (áp dụng khi không nh̉m được nghiệm và viết được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số) Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox  đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt    phương trình hoành độ giao điểm f x  0 có 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi nh̉m được nghiệm) 3.1.3. Phương trình đường thẳng quna các điểm cực trị Trang 60  2c 2b2  bc y.y y.y g x   x d  g x y  g x  y  .   9a 3y  3 9a  18a hoặc hoặc     3.1.4. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3 là 4e  16e3 b2  3ac AB  e a 9a với 3.2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương y ax4  bx2  c,  a  0 3.2.1. Một số kết qunả cần nhớ  Hàm số có một cực trị  ab  0.  Hàm số có ba cực trị  ab  0. a  0   b  0 .  Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu a  0   b  0 .  Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại a  0   b  0 .  Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại a  0   b  0 .  Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại 3.2.2. Một số công thức tính nhanh  b   b  A(0;c), B    ;   ,C   ;      4 2 2 a 4 a 2 a 4 a y  ax  bx  c     Giả sử hàm số có 3 cực trị: tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện: ab  0 · Đặt: BAC = a   b3 cot  2 8a 2 Tổng quát: Dữ kiện Tam giác ABC vuông cân tại A Tam giác ABC đều S S0 Tam giác ABC có diện tích ABC max(S0) Tam giác ABC có diện tích Công thức thỏa mãn ab  0;c  0 b3  8a b3  24a 32a3(S0)2  b5  0 b5 S0   32a3 Trang 61 Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp rABC r0 r  Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R RABC  R BC m0 Tam giác ABC có độ dài cạnh AB AC n0 Tam giác ABC có độ dài Tam giác ABC có cực trị B,C  Ox b2  b3   4 a  1 1  8a    b3  8a 8a b am02  2b  0 16a2n02  b4  8ab  0 b2  4ac b(8a  b3)  0 Tam giác ABC có 3 góc nhọn Tam giác ABC có trọng tâm O b2  6ac Tam giác ABC có trực tâm O b3  8a  4ac  0 Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành hình 2 b  2ac thoi Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội 3 b  8a  4abc  0 tiếp Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại 3 b  8a  8abc  0 tiếp Tam giác ABC có cạnh BC kAB kAC b3.k2  8a(k2  4)  0 Trục hoành chia tam giác ABC thành b2  4 2 ac hai phần có diện tích bằng nhau Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục 2 b  8ac hoành C  : y ax 4  bx2  c Đồ thị hàm số cắt trục 100 2 ac Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số b  9 cộng Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ 36 C : y ax4  bx2  c b2  ac thị và trục hoành có 5 diện tích phần trên và phần dưới bằng nhau. Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là:   2   2   x2  y2     c y  c    0  b 4a   b 4a  4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 4.1. Định nghĩa. Cho hàm số   y f x xác định trên tập D. Trang 62  f (x)  M , x  D  x  D, f (x0) M y f x D  Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên nếu:  0 . Kí   hiệu: M max f ( x) xD .  Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số hiệu: m  minf (x) xD   y f x trên D nếu:  f (x) m, x  D  x0  D, f (x0) m . Kí . 4.2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN 4.2.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp f  x   Bước 1: Tính và tìm các điểm x1, x2,..., xn  D mà tại đó   f  x 0 hoặc hàm số không có đạo hàm.  Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó su࣐ ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. 4.2.2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn  Bước 1:  Hàm số đã cho  Tìm các điểm   y f x  a;b . xác định và liên tục trên đoạn   x1, x2,..., xn trên khoảng  a;b , tại đó f  x  0 hoặc f  x không xác định.  Bước 2: Tính          f a , f x1 , f x2 ,..., f xn , f b .  Bước 3: Khi đó:               max f x max f x1 , f x2 ,..., f xn , f a , f b .  a,b   min f  x  min f  x1  , f  x2  ,..., f  xn  , f  a  , f  b .  a,b    4.2.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng  Bước 1: Tính đạo hàm f (x) .  Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm i  (a;b) xi  (a;b) của phương trình f (x)  0 và tất cả các điểm làm cho f (x) không xác định.  Bước 3. Tính A  lim f (x) B  lim f (x) f (x ) f( ) i , i . x a x b , ,  Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M  maxf (x) m  minf (x) (a;b) (a;b) , . Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất). Chú ý:         min f x  f a   a;b  f x f b max y f x  a;b  a;b  Nếu đồng biến trên thì .   Trang 63    min f (x)  f b  a;b .  max f ( x )  f a  y f x  a;b  a;b  Nếu nghịch biến trên   thì       Hàm số liên tục trên một khoảng ̣ó thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. 5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 5.1. Đường tiệm cận ngang    a;  ,  ;b Cho hàm số y  f (x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng hoặc   ;  ). Đường thẳng y y 0 là đường tiệm cận ngang (ha࣐ tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y  f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f (x) y0, lim f (x) y0 x  x   5.2. Đường tiệm cận đứng x x0 Đường thẳng được gọi là đường tiệm cận đứng (ha࣐ tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y  f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f (x) , lim f (x)  , lim f ( x)  , lim f ( x)  x x0 x x0 x  x0 x  x0 y Với đồ thị hàm phân thức dạng ax  b c  0; ad  bc  0 cx  d luôn có tiệm cận   Lưu ý: y ngang là a d x  . c và tiệm cận đứng c 6. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 6.1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức 6.1.1. Hàm số bậc ba y ax3  bx2  cx  d TRƯỜNG HỢP / Phương trình y  0 có a0  a  0 a0 2 nghiệm phân biệt Trang 64 / Phương trình y  0 có nghiệm kép / Phương trình y 0 vô nghiệm 6.1.2. Hàm số trùng phương a0 TRƯỜNG HỢP y ax4  bx2  c  a  0 a0 / Phương trình y  0 có 3 nghiệm phân biệt (ab<0) / Phương trình y  0 có 1 nghiệm. 6.1.3. Hàm số nhất biến D ad  bc  0 y ax  b cx  d  c 0, ad  bc 0  D ad  bc  0 Trang 65 6.2. Một số phép biến đôi đồ thị 6.2.1. Dạng 1 Từ đồ thị C  : y  f  x su࣐ ra đồ thị      f x y  f x   f  x Ta có:   và   y f x * Cách vẽ C  : y  f  x  . khi x  0 khi x  0 là hàm chẵn nên đồ thị  C nhận Oy làm trục đối xứng. C  từ C  :  Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị  Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của Ví dụ: Từ đồ thị su࣐ ra đồ thị C  : y  f  x  x C  : y  x 3  3x C  : y  f  x . C  , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy. 3  3x C  : y x 3  3x . C  : Biến đổi  Bỏ phần đồ thị của Oy, giữ ngu࣐ên   C C  bên trái bên phải Oy. C  : y  x  Lấ࣐ đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy . 6.2.2. Dạng 2 Từ đồ thị C  : y  f  x su࣐ ra đồ thị      f x y  f x   f x Ta có:   * Cách vẽ C  : y  f  x .   f  x  0 khi f x  0 khi C  từ  C  : Trang 66 3  3x  Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C):  . y f x  Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.  C  : y  f  x  x Ví dụ: Từ đồ thị 3  3x  C  : y x 3 y  x  3x su࣐ ra đồ thị . Bỏ phần đồ thị của   Ox , giữ ngu࣐ên C Ox.   3x  C : Biến đổi  3 C  C  : y  x dưới 3  3x phía trên Lấ࣐ đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox . Chú ý với dạng:   yf x ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị C  : y  f  x x Ví dụ: Từ đồ thị 3   y f x và   yf x  3x C  : y  x 3 3  3x y  x  3x su࣐ ra đồ thị C  . Biến đổi để được đồ thị Biến đổi C  : y  x C  : y  x 3 C  : y  x 3  3x . ta được đồ  3x thị 6.2.3. Dạng 3 Từ đồ thị  3x 3 . C  : y u  x .v  x su࣐ ra đồ thị C  : y  u  x .v  x .             u x .v x  f x y  u x .v x    u x .v x  f x Ta có:     * Cách vẽ   khi u  x   0 khi u x  0 C  từ  C  :  Giữ nguyên phần đồ thị trên miền  Bỏ phần đồ thị trên miền     u x 0 u x 0 của của đồ thị C  : y  f  x . C  , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ Ví dụ C  : y  f  x 2x a) Từ đồ thị 3  3x2  1 b) Từ đồ thị C  : y  f  x  x x 1 su࣐ Trang 67 qua Ox. C  : y  x  1  2x 2 su࣐ ra đồ thị   x 1 ra đồ thị C  : y  x x 1  f x  x khi x 1 khi x  1;   y  x  1 2x2  x  1   x x  1  f x khi x  1 y   .   x  1  x khi x   ;1  x  1 Đồ thị (C’):  Giữ ngu࣐ên (C) với x 1 . Đồ thị (C’):  Bỏ (C) với x  1. Lấ࣐ đối xứng C  Bỏ phần đồ thị của với phần đồ thị bị bỏ qua Ox. x  1, giữ ngu࣐ên C với x  1.                Lấ࣐ đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. Nhận xét: Trong quá trình thực hiện phép su࣐ đồ thị nên lấy đối xứng các điểm đặc biệt của (C): giao điểm với Ox, Oy, CĐ, CT… Nhận xét: Đối với hàm phân thức thì nên lấy đối xứng các đường tiệm cận để thực hiện phép su࣐ đồ thị một cách tương đối chính xác. 7. TIẾP TUYẾN 7.1. Tiếp tunyến Cho hàm số dạng: y  f  x   , có đồ thị (C). Tiếp tunyến của đồ thị (C) tại điểm  y  f  x0 x  x0  y0   M 0 x0;y0  (C ) có . Trong đó: Điểm   M 0 x0;y0  (C ) được gọi là tiếp điểm. ( với   ) và k  f ' x  là hệ số gọ́ của y0  f x0 0 tiếp tu࣐ến. Trang 68 7.2. Điềun kiện tiếp xúc O Cho hai hàm số C  : y  f  x và C ' : y g x . Đồ thị C  và  C  tiếp xúc nhau khi chỉ          f x g x  / f x  g/ x   khi hệ phương trình: có nghiệm. 8. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ (C ) Cho hàm số y  f (x) có đồ thị 1 và y g(x) có đồ thị (C 2 ) . Phương trình hoành độ giao điểm của (C 1)  f (x) g(x) 1 và (C2 ) là . Khi đó: (C ) 1  Số giao điểm của (C1 ) và 2 bằng với số nghiệm của phương trình   . x0  Nghiệm của phương trình  Để tính tung độ  Điểm M  x0 ; y0  y0  1 chính là hoành độ x 0 của giao điểm, ta tha࣐ hoành độ là giao điểm của (C 1) và (C 2) x0 của giao điểm. vào   y f x hoặc  . y g x . 9. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG 9.1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong (C ) Xét họ đường cong m có phương trình y  f (x, m) , trong đó f là hàm đa thức theo biến x với m là tham số sao cho bậc của m không quá 2. Tìm những điểm cố định thuộc họ đường cong khi m tha࣐ đổi? Phương pháp giải:  Bước 1: Đưa phương trình y  f ( x , m) về dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau: Am  B  0 hoặc Am2  Bm  C  0 .  Bước 2: Cho các hệ số bằng 0 , ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình: A  0  A  0 B  0   B  0 hoặc C  0 .  Bước 3: Kết luận: - Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong (C m ) không có điểm cố định. - Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (C m ) . 9.2. Bài toán tìm điểm có tọa độ ngunyên Cho đường cong (C ) có phương trình y  f (x) (hàm phân thức). Hã࣐ tìm những điểm có tọa độ ngu࣐ên của đường cong? Trang 69 Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên. Phương pháp giải:  Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số.  Bước 2: Lập luận để giải bài toán. 9.3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng Cho đường cong (C ) có phương trình y  f (x) . Tìm những điểm đối xứng nhau qua một điểm, qua đường thẳng. Bài toán 1: Cho đồ thị nhau qua điểm I (xI ,yI ) C  : y Ax 3  Bx2  Cx  D C  trên đồ thị tìm những cặp điểm đối xứng . Phương pháp giải:  Gọi    M a;Aa3  Ba2  Ca  D , N b;Ab3  Bb2  Cb  D  là hai điểm trên C  đối xứng nhau qua điểm I . a  b 2xI  A(a3  b3)  B a2  b2  C a  b  2D 2yI    Ta có . Giải hệ phương trình tìm được a,b từ đó tìm được toạ độ M, N.  Bài toán 2: Cho đồ thị  C  : y Ax 3    Bx2  Cx  D . Trên đồ thị C  tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Phương pháp giải:  Gọi    M a, Aa3  Ba2  Ca  D , N b, Ab3  Bb2  Cb  D  là hai điểm trên C đối xứng nhau qua gốc tọa độ. a  b  0  A(a3  b3)  B a2  b2  C a  b  2D  0    Ta có . a,b  Giải hệ phương trình tìm được từ đó tìm được toạ độ M , N .  C  : y Ax Bài toán 3: Cho đồ thị nhau qua đường thẳng  3    Bx2  Cx  D d : y  A1x  B1 C  trên đồ thị tìm những cặp điểm đối xứng . Phương pháp giải:  Gọi    M a; Aa 3  Ba2  Ca  D , N b; Ab 3  Bb 2  Cb  D  là hai điểm trên  C đối xứng nhau qua đường thẳng d . I  d (1)    MN .ud  0 (2)   u I MN  Ta có: (với là trung điểm của và d là vectơ chỉ phương của đường thẳng d ).  Giải hệ phương trình tìm được M, N. Trang 70