Tóm tắt công thức xác xuất thống kê

  • Số trang: 22 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 31 |
  • Lượt tải: 0
minhtuan

Đã đăng 15929 tài liệu

Mô tả:

ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ (ðại học và Cao ñẳng) Tài liệu tham khảo: 1. Giáo trình Xác suất – Thống kê và Ứng dụng – Nguyễn Phú Vinh – NXB Thống kê. 2. Ngân hàng câu hỏi Xác suất – Thống kê và Ứng dụng – ðHCN TP.HCM. 3. Lý thuyết Xác suất và Thống kê – ðinh Văn Gắng – NXB Giáo dục. 4. Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán – Nguyễn Thanh Sơn, Lê Khánh Luận – NXBTKê. 5. Xác suất – Thống kê – Lý thuyết và các bài tập – ðậu Thế Cấp – NXB Giáo dục. 6. Lý thuyết Xác suất và Thống kê – ðinh Văn Gắng – NXB Giáo dục. 7. Xác suất – Thống kê và Ứng dụng – Lê Sĩ ðồng – NXB Giáo dục. 8. Xác suất và Thống kê – ðặng Hấn – NXB Giáo dục. 9. Giáo trình Xác suất và Thống kê – Phạm Xuân Kiều – NXB Giáo dục. 10. Giáo trình Lý thuyết Xác suất & Thống kê Toán–Nguyễn Cao Văn–NXB Ktế Quốc dân. PHẦN I. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1. Tính chất các phép toán ∩ , ∪ a) Tính giao hoán: A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A. b) Tính kết hợp: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) , (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) . c) Tính phân phối: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) , BỔ TÚC ðẠI SỐ TỔ HỢP 2. Quy tắc nhân Giả sử một công việc nào ñó ñược chia thành k giai ñoạn. Có n1 cách thực hiện giai ñoạn thứ 1, có n2 cách thực hiện giai ñoạn thứ 2,..., có nk cách thực hiện giai ñoạn thứ k. Khi ñó ta có n = n1.n2…nk cách thực hiện toàn bộ công việc. 3. Quy tắc cộng Giả sử một công việc có thể thực hiện ñược k cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ nhất cho m1 kết quả, cách thứ hai cho m2 kết quả, …, cách thứ k cho mk kết quả. Khi ñó việc thực hiện công việc trên cho m = m1 + m2 + … + mk kết quả. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) . d) Tính ñối ngẫu (De–Morgan): A ∩ B = A ∪ B, A ∪ B = A ∩ B. 5. Các công thức thường dùng 5.1. Hoán vị ðịnh nghĩa: Hoán vị của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm ñủ mặt n phần tử ñã cho. Số hoán vị của n phần tử ñược ký hiệu là Pn , Pn = n ! . 4. Mẫu lặp, mẫu không lặp − Mẫu không lặp: các phần tử của mẫu chỉ có mặt một lần (các phần tử khác nhau từng ñôi một). − Mẫu có lặp: các phần tử của mẫu có thể lặp lại nhiều lần trong mẫu. − Mẫu không thứ tự: khi thay ñổi vị trí các phần tử khác nhau của mẫu ta không nhận ñược mẫu mới. − Mẫu có thứ tự: khi thay ñổi vị trí các phần tử khác nhau của mẫu ta nhận ñược mẫu mới. 5.2. Chỉnh hợp lặp (có thứ tự) ðịnh nghĩa: Chỉnh hợp lặp k của n phần tử (k ≤ n) là một nhóm (bộ) có thứ tự gồm phần k tử không nhất thiết khác nhau chọn từ n phần tử ñã cho. Số các chỉnh hợp lặp k của n phần tử là nk. 5.4. Tổ hợp (mẫu không lặp, không có thứ tự) ðịnh nghĩa: Tổ hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một nhóm (bộ) không phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử ñã cho. 5.3. Chỉnh hợp (mẫu không lặp, có thứ tự) ðịnh nghĩa: Chỉnh hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một nhóm (bộ) có thứ tự gồm phần k tử khác nhau chọn từ n phần tử ñã cho. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử ký hiệu là Akn Số tổ hợp chập k của n phần tử ký hiệu là Ckn và . Ckn = n! Akn = n(n − 1)...(n − k + 1) = . (n − k)! n! . Quy ước: 0! = 1. k !( n − k )! Tính chất: Ckn = Cnn−k ; ---------------------------------------------Trang 1 1 k Ckn = Ckn− −1 + Cn−1 . ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA XÁC SUẤT §1. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 1.1. Phép thử và biến cố • Phép thử là việc thực hiện 1 thí nghiệm hay quan sát một hiện tượng nào ñó ñể xem có xảy ra hay không. Hiện tượng có xảy ra hay không trong phép thử ñược gọi là biến cố ngẫu nhiên. Biến cố ngẫu nhiên thường ñược ký hiệu A, B, C… VD 1. + Tung ñồng tiền lên là một phép thử, biến cố là “mặt sấp xuất hiện” hay “mặt ngửa xuất hiện”. + Chọn ngẫu nhiên một số sản phẩm từ một lô hàng ñể kiểm tra là phép thử, biến cố là “chọn ñược sản phẩm tốt” hay “chọn ñược phế phẩm”. + Gieo một số hạt lúa là phép thử, biến cố là “hạt lúa nảy mầm” hay “hạt lúa không nảy mầm”. 1.2. Các loại biến cố a) Không gian mẫu và biến cố sơ cấp • Trong một phép thử, tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra ñược gọi là không gian mẫu ký hiệu là Ω . • Mỗi phần tử ω ∈ Ω không thể phân nhỏ thành hai biến cố ñược gọi là biến cố sơ cấp. VD 2. Xét phép thử gieo 3 hạt lúa. Gọi Ai là biến cố “có i hạt nảy mầm” (i = 0, 1, 2, 3). Khi ñó các Ai là các biến cố sơ cấp và Ω = {A0, A1, A2, A3}. Gọi B là “có ít nhất 1 hạt nảy mầm” thì B không là biến cố sơ cấp. • Trong một phép thử mà mọi biến cố sơ cấp ñều ñồng khả năng thì số phần tử của không gian mẫu ñược gọi là số trường hợp ñồng khả năng của phép thử. VD 4. Gọi ngẫu nhiên một học sinh trong lớp ñể kiểm tra thì mỗi học sinh trong lớp ñều có khả năng bị gọi như nhau. d) Các phép toán • Tổng của A và B là C, ký hiệu C = A ∪ B hay C = A + B, xảy ra khi ít nhất 1 trong hai biến cố A, B xảy ra. VD 5. Bắn hai viên ñạn vào 1 tấm bia. Gọi A1: “viên thứ nhất trúng bia”, A2: “viên thứ hai trúng bia” và b) Biến cố chắc chắn và biến cố không thể • Trong một phép thử, biến cố nhất ñịnh xảy ra là chắc chắn, ký hiệu là Ω . • Biến cố không thể là biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử, ký hiệu ∅ . VD 3. Từ một nhóm có 6 nam và 4 nữ chọn ra 5 người. Khi ñó, biến cố “chọn ñược 5 người nữ” là không thể, biến cố “chọn ñược ít nhất 1 nam” là chắc chắn. c) Số trường hợp ñồng khả năng • Hai hay nhiều biến cố trong một phép thử có khả năng xảy ra như nhau ñược gọi là ñồng khả năng. C: “bia bị trúng ñạn” thì C = A1 ∪ A2 . • Tích của A và B là C, ký hiệu C = AB = A ∩ B , xảy ra khi và chỉ khi cả A và B cùng xảy ra. VD 6. Một người chọn mua áo. Gọi A: “chọn ñược áo màu xanh”, B: “chọn ñược áo sơ–mi” và C: “chọn ñược áo sơ–mi màu xanh” thì C = AB. VD 7. Chọn ngẫu nhiên 10 linh kiện trong 1 lô ra kiểm tra. Gọi Ai: “chọn ñược linh kiện thứ i tốt” và C: “chọn ñược 10 linh kiện tốt” thì • Phần bù của A, ký hiệu: A = Ω \ A = {ω ∈ Ω ω ∉ A} . VD 8. Bắn lần lượt 2 viên ñạn vào 1 tấm bia. Gọi Ai: “có i viên ñạn trúng bia” (i = 0, 1, 2), B: “có không quá 1 viên ñạn trúng bia”. Khi ñó B = A2 , A0 ≠ A2 và A1 ≠ A2 . 1.3. Quan hệ giữa các biến cố a) Biến cố xung khắc • Hai biến cố và B ñược gọi là xung khắc nếu chúng không ñồng thời xảy ra trong một phép thử. 10 C = A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ A10 = ∩ Ai . i =1 • Họ các biến cố A1, A2,…, An ñược gọi là xung khắc (hay ñôi một xung khắc) khi một biến cố bất kỳ trong họ xảy ra thì các biến cố còn lại không xảy ra. VD 10. Trồng 1 cây bạch ñàn. Gọi A: “cây bạch ñàn sống”, B: “cây bạch ñàn chết” thì A và B là ñối lập. Nghĩa là Ai ∩ A j = ∅, ∀i ≠ j . • Họ các biến cố {Ai} (i = 1,…, n) ñược gọi là hệ ñầy ñủ các biến cố nếu thỏa mãn 2 ñiều sau: VD 9. Một hộp có 3 viên phấn màu ñỏ, xanh và trắng. Chọn ngẫu nhiên 1 viên. Gọi A: “chọn ñược viên màu ñỏ”, B: “chọn ñược viên màu trắng” và C: “chọn ñược viên màu xanh” thì A, B, C là xung khắc. b) Biến cố ñối lập • Hai biến cố A và B ñược gọi là ñối lập nhau nếu chúng thỏa mãn 2 ñiều sau: 1) A và B xung khắc với nhau. 2) Phải có ít nhất một trong 2 biến cố xảy ra. 1) Họ xung khắc, nghĩa là Ai ∩ A j = ∅, ∀ i ≠ j . 2) Phải có ít nhất 1 biến cố trong họ xảy ra, nghĩa là A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = Ω . VD 11. Họ {A, B, C} trong VD 9 là ñầy ñủ. { } Chú ý. Họ A, A là ñầy ñủ với biến cố A tùy ý. Trang 2 ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK §2. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ VD 2. Một hộp có 10 sản phẩm trong ñó có 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ñó ra 3 sản phẩm (lấy 1 lần), tính xác suất ñể: a) Cả 3 sản phẩm ñều tốt; b) Có ñúng 2 phế phẩm. VD 3. Một lớp có 60 học sinh trong ñó có 28 em giỏi toán, 30 em giỏi lý, 32 em giỏi ngoại ngữ, 15 em vừa giỏi toán vừa giỏi lý, 10 em vừa giỏi lý vừa giỏi ngoại ngữ, 12 em vừa giỏi toán vừa giỏi ngoại ngữ, 2 em giỏi cả 3 môn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp. Tính xác suất: a) Chọn ñược em giỏi ít nhất 1 môn. b) Chọn ñược em chỉ giỏi toán. c) Chọn ñược em giỏi ñúng 2 môn. 2.1. ðịnh nghĩa xác suất dạng cổ ñiển • Trong một phép thử có tất cả n biến cố sơ cấp ñồng khả năng, trong ñó có m khả năng thuận lợi cho biến cố A xuất hiện thì xác suất của A là: P(A) = m Soá bieán coá thuaän lôïi cho A = . n Soá taát caû caùc bieán coá coù theå VD 1. Một hộp chứa 10 sản phẩm trong ñó có 3 phế phẩm. Tính xác suất: a) Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ hộp ñược phế phẩm. b) Chọn ngẫu nhiên 1 lần từ hộp ra 2 sản phẩm ñược 2 phế phẩm. VD 7. Hai người bạn hẹn gặp nhau tại 1 ñịa ñiểm theo quy ước như sau: – Mỗi người ñộc lập ñi ñến ñiểm hẹn trong khoảng từ 7 ñến 8 giờ. – Mỗi người ñến ñiểm hẹn nếu không gặp người kia thì ñợi 30 phút hoặc ñến 8 giờ thì không ñợi nữa. Tìm xác suất ñể hai người gặp nhau. 2.4. Tính chất của xác suất 1) 0 ≤ P(A) ≤ 1 , với mọi biến cố A; Ưu ñiểm và hạn chế của ñịnh nghĩa dạng cổ ñiển • Ưu ñiểm: Tính ñược chính xác giá trị của xác suất mà không cần thực hiện phép thử. • Hạn chế: Trong thực tế có nhiều phép thử vô hạn các biến cố và biến cố không ñồng khả năng. 2.3. ðịnh nghĩa theo hình học Cho miền Ω . Gọi ñộ ño của Ω là ñộ dài, diện tích, thể tích (ứng với Ω là ñường cong, miền phẳng, khối). Gọi A là biến cố ñiểm M ∈ S ⊂ Ω . ñoä ño S Ta có P(A) = . ñoä ño Ω VD 6. Tìm xác suất của ñiểm M rơi vào hình tròn nội tiếp tam giác ñều cạnh 2 cm. 2) P(∅) = 0 ; 3) P(Ω) = 1 . 2.5. Ý nghĩa của xác suất • Xác suất là số ño mức ñộ tin chắc, thường xuyên xảy ra của 1 biến cố trong phép thử. Chú ý. Xác suất phụ thuộc vào ñiều kiện của phép thử. §3. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3.1. Công thức cộng xác suất a) Biến cố xung khắc • A và B xung khắc thì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) . • Họ {Ai} (i = 1, 2,…, n) thì: P ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) =P(A1 )+P(A2 )+...+P(An ) . b) Biến cố tùy ý • A và B là hai biến cố tùy ý thì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB) . • Họ {Ai} (i = 1, 2,…, n) các biến cố tùy ý thì: n  n   P  ∪ Ai  = ∑ P(Ai ) − ∑ P(Ai A j )  i =1  i =1 i< j + ∑ i < j 0 . Xác suất có ñiều kiện của A với ñiều kiện B ñã xảy ra ñược ký hiệu và ñịnh nghĩa: P(AB) P( A B ) = . P(B) • Xác suất có ñiều kiện cho phép chúng ta sử dụng thông tin về sự xảy ra của 1 biến cố ñể dự báo xác suất xảy ra biến cố khác. • Tính chất: 1) 0 ≤ P ( A B ) ≤ 1 ; 2) P ( B B ) = 1 ; ( ( ) P A = 1 − P(A) . VD 3. Một hộp có 10 vé, trong ñó có 3 vé trúng thưởng. Người thứ nhất ñã bốc 1 vé không trúng thưởng. Tính xác suất ñể người thứ 2 bốc ñược vé trúng thưởng (mỗi người chỉ bốc 1 vé). b) Công thức nhân • A và B là 2 biến cố ñộc lập nếu B có xảy ra hay không cũng không ảnh hưởng ñến khả năng xảy ra A và ngược lại, nghĩa là P ( A B ) = P(A) và P ( B A ) = P(B) . Khi ñó ta có P(AB) = P(A).P(B) . • Với A, B không ñộc lập (phụ thuộc) thì: P(AB) = P(B)P ( A B ) = P(A)P ( B A ) . ) 3) P A B = 1 − P ( A B ) ; Trang 3 ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK VD 4. Một lô hàng có 100 sản phẩm trong ñó có 10 phế phẩm. Kiểm tra liên tiếp không hoàn lại 5 sản phẩm, nếu có ít nhất 1 phế phẩm thì không nhận lô hàng ñó. Tính xác suất ñể nhận lô hàng. VD 5. Một lô hàng gồm 12 sản phẩm trong ñó có 8 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. Rút ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô hàng và không ñể ý tới sản phẩm ñó, sau ñó rút tiếp sản phẩm thứ 2. Tính xác suất ñể sản phẩm thứ hai là tốt. VD 6. Một cầu thủ bóng rổ có 4 quả bóng ñang ném từng quả vào rổ. Nếu bóng vào rổ hoặc hết bóng thì cầu thủ ngừng ném. Biết xác suất vào rổ của quả bóng thứ 1, 2, 3 và 4 lần lượt là 90%, 80%, 85% và 70%. Tính xác suất cầu thủ ném ñược bóng vào rổ. 3.3. Công thức xác suất ñầy ñủ và Bayes. a) Công thức xác suất ñầy ñủ • Cho họ các biến cố {Ai} (i = 1, 2,…, n) ñầy ñủ và B là biến cố bất kỳ trong phép thử, ta có: b) Công thức Bayes • Cho họ các biến cố {Ak} (k = 1, 2,…, n) ñầy ñủ và B là biến cố bất kỳ trong phép thử. Xác suất ñể xuất hiện Ak sau khi ñã xuất hiện B là: P(Ak )P ( B Ak ) P ( Ak B ) = . VD 9. Có 3 bao lúa cùng loại. Bao 1 nặng 20kg chứa 1% hạt lép, bao 2 nặng 30kg chứa 1,2% hạt lép và bao 3 nặng 50kg chứa 1,5% hạt lép. Trộn cả 3 bao lại rồi bốc ngẫu nhiên 1 hạt thì ñược hạt lép. Tính xác suất ñể hạt lép này là của bao thứ ba. n P(B) = ∑ P(Ai )( B Ai ) . i =1 = P(A1 )P ( B A1 ) + ... + P(An )P ( B An ) VD 7. Một ñám ñông có số ñàn ông bằng nửa số ñàn bà. Xác suất ñể ñàn ông bị bịnh tim là 0,06 và ñàn bà là 0,0036. Chọn ngẫu nhiên 1 người từ ñám ñông, tính xác suất ñể người này bị bịnh tim. n VD 10. Ba kiện hàng ñều có 20 sản phẩm với số sản phẩm tốt tương ứng là 12, 15, 18. Lấy ngẫu nhiên 1 kiện hàng (giả sử 3 kiện hàng có cùng khả năng) rồi từ kiện ñó lấy tùy ý ra 1 sản phẩm. a) Tính xác suất ñể sản phẩm chọn ra là tốt. b) Giả sử sản phẩm chọn ra là tốt, tính xác suất ñể sản phẩm ñó thuộc kiện hàng thứ hai. ∑ P(Ai )P ( B Ai ) i =1 VD 8. Tỷ số ôtô tải và ôtô con ñi qua ñường có trạm bơm dầu là 5/2. Xác suất ñể 1 ôtô tải ñi qua ñường này vào bơm dầu là 10%; ôtô con là 20%. Có 1 ôtô qua ñường ñể bơm dầu, tính xác suất ñể ñó là ôtô tải. Chương II. BIẾN (ðẠI LƯỢNG) NGẪU NHIÊN §1. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 1.1. Khái niệm và phân loại biến ngẫu nhiên a) Khái niệm • Một biến số ñược gọi là ngẫu nhiên nếu trong kết quả của phép thử nó sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó tùy thuộc vào sự tác ñộng của các nhân tố ngẫu nhiên. • Các biến ngẫu nhiên ñược ký hiệu: X, Y, Z, …còn các giá trị của chúng là x, y, z,… VD 1. Khi tiến hành gieo n hạt ñậu ta chưa thể biết có bao nhiêu hạt sẽ nảy mầm, số hạt nảy mầm có thể là 0, 1, …, n. Kết thúc phép thử gieo hạt thì ta biết chắc chắn có bao nhiêu hạt nảy mầm. Gọi X là số hạt nảy mầm thì là X biến ngẫu nhiên và X = {0, 1, 2, …, n}. b) Phân loại biến ngẫu nhiên • Biến ngẫu nhiên (bnn) ñược gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó lập nên 1 tập hợp hữu hạn hoặc ñếm ñược. • Biến ngẫu nhiên ñược gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp ñầy 1 khoảng trên trục số. VD 2. + Biến X trong VD 1 là bnn rời rạc (tập hữu hạn). + Gọi Y là số người ñi qua 1 ngã tư trên ñường phố thì Y là bnn rời rạc (tập ñếm ñược). VD 3. + Bắn 1 viên ñạn vào bia, gọi X là “khoảng cách từ ñiểm chạm của viên ñạn ñến tâm của bia” thì X là biến ngẫu nhiên liên tục. + Gọi Y là “sai số khi ño 1 ñại lượng vật lý” thì Y là biến ngẫu nhiên liên tục. Trong ñó: 1.2. Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên • Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là một cách biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên với các xác suất tương ứng mà nó nhận các giá trị ñó. 1.2.1. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên a) Trường hợp rời rạc • Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có X = {x1, x2 ,..., x n } n pi ≥ 0 ; ∑ pi = 1 ; i =1 P(a < X < b) = ∑ a x n  4) P(a ≤ X < b) = F(b) − F(a) . • Liên hệ với phân phối xác suất 1) X rời rạc: pi = F(xi+1) – F(xi); 2) X liên tục: F(x) liên tục tại x và F′(x) = f(x) . VD 8. Một phân xưởng có 2 máy hoạt ñộng ñộc lập. Xác suất trong 1 ngày làm việc các máy ñó hỏng tương ứng là 0,1 và 0,2. Gọi X là số máy hỏng trong 1 ngày làm việc. Lập hàm phân phối xác suất của X và vẽ ñồ thị của F(x). VD 9. Tuổi thọ X(giờ) của 1 thiết bị có hàm mật ñộ xác x < 100 0,  suất f (x) = 100 .  x 2 , x ≥ 100 a) Tìm hàm phân phối xác suất của X. b) Thiết bị ñược gọi là loại A nếu tuổi thọ của nó kéo dài ít nhất là 400 giờ. Tính tỉ lệ (xác suất) loại A. VD 10. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật ñộ xác suất:  π π  a cos x, x ∈  − ;   2 2   f(x) =  .  π π    0, x ∉ − ;   2 2  VD 11. Thời gian chờ phục vụ của khách hàng là bnn 0, x ≤ 0  X(phút) liên tục có hàm ppxs F(x) = ax 4 , x ∈ (0; 3] . 1, x > 3  a) Tìm a và hàm mật ñộ xác suất f(x) của X. b) Tính P ( c) Vẽ ñồ thị của F(x). Tìm a và hàm phân phối xác suất F(x). Trang 5 ) 2 < Y ≤ 5 với Y = X 2 + 1 . ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK 1.3. Phân phối xác suất của hàm của biến ngẫu nhiên • Trong thực tế, ñôi khi ta xét bnn phụ thuộc vào 1 hay nhiều bnn khác ñã biết luật phân phối. b) Trường hợp nhiều biến VD 13. Cho bảng: Y –1 X 1 0,1 2 0,3 Bài toán. Cho hàm ϕ(x) và bnn rời rạc X có phân phối xác suất cho trước. Tìm phân phối xác suất của ϕ(x) . a) Trường hợp 1 biến VD 12. Lập bảng phân phối xác suất của b) Bảng phân phối xác suất ñồng thời của (X, Y) Y y1 y2 … yj … yn PX X x1 p11 p12 … p1j … p1n p1 x2 p21 p22 … p2j … p2n p2 …. .................................................. ... xi pi1 pi2 … pij … pin pi …. ……………………………….. … xm pm1 pm2 … pmj … pmn pm PY q1 q2 … qj … qn 1 Pij = P(X = xi, Y = yj) (i = 1,…,m; j = 1,…,n) là xác suất m ñể X = xi, Y = yj và VD 14. Cho bảng phân phối xác suất ñồng thời của X và Y: Y 10 20 30 40 X 10 0,2 0,04 0,01 0 20 0,1 0,36 0,09 0 30 0 0,05 0,1 0 40 0 0 0 0,05 • Phân phối xác suất biên của Y Y y1 y2 … yi … yn P Y q1 q2 … qi … qn m i =1 i =1 ∑ ∑ pij = 1 . Tính chất. X và Y ñộc lập ⇔ pij = p i .q j, ∀i, j . ∑ pij = ∑ p(X = xi , Y = y j ) = p(X = xi ) = pi . m n i =1 j=1 c) Phân phối xác suất biên (lề) Từ bảng phân phối xác suất ñồng thời của X, Y ta có: • Phân phối xác suất biên của X X x1 x2 … xi … xm P X p1 p2 … pi … pm j=1 0,05 0,2 c) Z = ϕ(X, Y) = X2 − Y 2 . Chú ý 1) Nếu X, Y ñộc lập thì hàm phân phối ñồng thời của X, Y ñược xác ñịnh qua các hàm phân phối của X, của Y. 2) Chương trình chỉ xét hàm phân phối biên của X, Y. j=1 0,15 0,2 a) Y = 2X2 + X − 1 . b) Z = ϕ(X, Y) = 2X − Y + 5 . 1.4. Phân phối xác suất của bnn 2 chiều (X, Y) rời rạc a) ðịnh nghĩa • Cặp 2 ñại lượng ngẫu nhiên rời rạc ñược xét ñồng thời (X, Y) ñược gọi là 1 vector ngẫu nhiên rời rạc. Ký hiệu biến cố (X < x).(Y < y) = (X < x; Y < y). • Hàm phân phối xác suất ñồng thời của X và Y là: F(x, y) = P(X < x; Y < y), ∀x, y ∈ ℝ . • X và Y ñược gọi là ñộc lập nếu: F(x, y) = FX (x).FY (y), ∀x, y ∈ ℝ . n 1 Lập bảng phân phối xác suất của: Y = ϕ(X) = X2 + 2 , biết: X –1 0 1 2 P 0,1 0,3 0,4 0,2 n 0 a) Tìm phân phối biên của X, của Y. b) Xét xem X và Y có ñộc lập không ? c) Tìm phân phối xác suất của Z = X + Y. ∑ pij = ∑ p(X = x i , Y = y j ) = p(Y = y j ) = q j . §2. CÁC ðẶC TRƯNG SỐ (THAM SỐ ðẶC TRƯNG) CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN • Những thông tin cô ñọng phản ánh từng phần về biến ngẫu nhiên giúp ta so sánh giữa các ñại lượng với nhau ñược gọi là các ñặc trưng số. Có ba loại ñặc trưng số: 2.1. Kỳ vọng toán 2.1.1. ðịnh nghĩa a) Biến ngẫu nhiên rời rạc • Cho X = {x1, x2,…, xn} với xác suất tương ứng là p1, p2,…, pn thì kỳ vọng toán (gọi tắt là kỳ vọng) của X, ký hiệu EX hay M(X), là: – Các ñặc trưng số cho xu hướng trung tâm của bnn: Kỳ vọng toán, Trung vị, Mod,… n EX = x1p1 + x2 p2 + ... + x n pn = – Các ñặc trưng số cho ñộ phân tán của bnn: Phương sai, ðộ lệch chuẩn, Hệ số biến thiên,… ∑ x i pi . i =1 VD 1. Một lô hàng gồm 10 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ lô hàng ñó, gọi X là số phế phẩm trong 2 sản phẩm lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất và tính kỳ vọng của X. – Các ñặc trưng số cho dạng phân phối xác suất. Trang 6 ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK VD 3. Thời gian chờ mua hàng của khách là biến ngẫu nhiên liên tục T (ñơn vị: phút) có hàm mật ñộ xác suất  4 3  t , t ∈ (0; 3) f(t) =  81 . Tính thời gian trung bình  0, t ∉ (0; 3)  chờ mua hàng của 1 khách hàng. VD 4. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật ñộ xác suất  ax + bx 2 , x ∈ (0; 1) f(x) =  .  0, x ∉ (0; 1)   1 Cho biết EX = 0,6 hãy tính P  X <  .  2  b) Biến ngẫu nhiên liên tục +∞ • Bnn X có hàm mật ñộ là f(x) thì: EX = ∫ x.f(x)dx . −∞ VD 2. Tìm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X có hàm mật  3 2  (x + 2x), x ∈ (0; 1) ñộ xác suất f(x) =  . 4  0, ∉ x (0; 1)  Chú ý 1) Nếu X = {x ∈ A} , X liên tục thì EX ∈ A . 2) Nếu X = {x1,…, xn} thì: EX ∈ [min{x1,..., x n }; max{x1,..., x n }] . 2.1.2. Ý nghĩa của EX • Kỳ vọng là giá trị trung bình (theo xác suất) của biến ngẫu nhiên X, nó phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất của X. • Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh nếu cần chọn phương án cho năng suất (hay lợi nhuận) cao, người ta chọn phương án sao cho năng suất kỳ vọng (hay lợi nhuận kỳ vọng) cao. VD 5. Theo thống kê, một người Mỹ 25 tuổi sẽ sống thêm trên 1 năm có xác suất là 0,992 và người ñó chết trong vòng 1 năm tới là 0,008. Một chương trình bảo hiểm ñề nghị người ñó bảo hiểm sinh mạng cho 1 năm với số tiền chi trả là 10000 USD, phí bảo hiểm là 100 USD. Hỏi công ty ñó có lãi không? VD 6. Một dự án xây dựng ñược viện C thiết kế cho cả 2 bên A và B xét duyệt một cách ñộc lập. Xác suất (khả năng) ñể A và B chấp nhận dự án này khi xét duyệt thiết kế là 70% và 80%. Nếu chấp nhận dự án thì bên A phải trả cho C là 400 triệu ñồng, còn ngược lại thì phải trả 100 triệu ñồng. Nếu chấp nhận dự án thì bên B phải trả cho C là 1 tỉ ñồng, còn ngược lại thì phải trả 300 triệu ñồng. Biết chi phí cho thiết kế của C là 1 tỉ ñồng và 10% thuế doanh thu. Hỏi viện C có nên nhận thiết kế hay không? 2.1.3. Tính chất của EX 1) E(C) = C với C là hằng số. 2) E(CX) = C.EX. 3) E(X ± Y) = EX ± EY, với X và Y là hai biến ngẫu nhiên. 4) E(XY) = EX.EY nếu X và Y là hai bnn ñộc lập. 5) Nếu Y = ϕ(X) thì: VD 7. Tính EY với Y = ϕ(X) = X2 − 3 , biết X có bảng phân phối xác suất: X –1 0 1 2 P 0,1 0,3 0,35 0,25 VD 8. Cho bnn X có hàm mật ñộ xác suất:  2  , x ∈ [1; 2] f(x) =  x2 .  0, x ∉ [1; 2]  a) Tính EX. 2 b) Tính kỳ vọng của Y = X5 − . X neáu X rôøi raïc  ∑ ϕ(x i )p i ,  i EY =  +∞ .  ϕ(x)f(x)dx, neáu X lieân tuïc  ∫  −∞ 2.2. Phương sai 2.2.1. ðịnh nghĩa • Phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu VarX hay VX hay D(X), ñược xác ñịnh: VD 9. Tính phương sai của biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất: X 1 2 3 P 0,2 0,7 0,1 VarX = E ( X − EX ) = E(X2 ) − ( EX )   2  ∑ x i2 .p i −  ∑ x i .pi  , neáu X rôøi raïc  i  i   =  +∞  +∞ 2     2   ∫ x .f(x)dx −  ∫ x.f(x)dx  , neáu X lieân tuïc   −∞  −∞ VD 10. Tính phương sai của biến ngẫu nhiên X trong VD 2. 2 2 VD 11. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật ñộ xác suất:  3  (1 − x 2 ), x ≤ 1 f(x) =  4 .  0, x > 1  Tìm phương sai của biến ngẫu nhiên Y = 2X2. Trang 7 ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK 2.2.2. Ý nghĩa của VarX • Do X – EX là ñộ lệch giữa giá trị của X so với trung bình của nó nên phương sai là trung bình của bình phương ñộ lệch ñó. Phương sai dùng ñể ño mức ñộ phân tán của X quanh kỳ vọng. Nghĩa là: phương sai nhỏ thì ñộ phân tán nhỏ nên ñộ tập trung lớn và ngược lại. • Trong kỹ thuật, phương sai ñặc trưng cho ñộ sai số của thiết bị. Trong kinh doanh, phương sai ñặc trưng cho ñộ rủi ro ñầu tư. • Do ñơn vị ño của VarX bằng bình phương ñơn vị ño của X nên ñể so sánh ñược với các ñặc trưng khác người ta ñưa vào khái niệm ñộ lệch tiêu chuẩn σ(X) = VD 12. Năng suất của hai máy tương ứng là các bnn X, Y (ñơn vị: sản phẩm/phút) có bảng phân phối xác suất: 1 0,3 2 0,1 3 0,5 4 0,1 Y P 2 0,1 3 0,4 4 0,4 5 0,1 và Nếu phải chọn mua 1 trong 2 loại máy này thì ta nên chọn máy nào? VarX . – Nếu X rời rạc thì medX = xi với 1 F(x i ) ≤ ≤ F(x i +1 ) . 2 – Nếu X liên tục thì medX = m với 2.2.3. Tính chất của VarX 1) VarX ≥ 0 ; VarC = 0, với C là hằng số. 2) Var(CX) = C2.VarX; X P σ(CX) = C .σX . 3) Nếu a và b là hằng số thì Var(aX + b) = a2.VarX. 4) Nếu X và Y ñộc lập thì: Var(X ± Y) = VarX + VarY ; m F(m) = ∫ f(x)dx = 0, 5 . −∞ σ(X ± Y) = σ2 (X) + σ2 (Y) . 2.3. Trung vị và Mod 2.3.1. Trung vị • Trung vị của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu medX, là số m 1 1 thỏa P(X < m) ≤ và P(X > m) ≤ . 2 2 VD 13. Cho bnn X có bảng phân phối xác suất: X 1 2 P 0,1 0,2 Khi ñó ta có medX = 4. VD 14. Tìm med của bnn X có bảng phân phối xác suất: X –1 0 1 2 P 0,25 0,15 0,30 0,30  4  , x≥1 VD 15. Cho hàm f(x) =  .  x5  x <1  0, a) Chứng tỏ f(x) là hàm mật ñộ xác suất của biến ngẫu nhiên X. b) Tìm medX. 2.3.2. Mod • ModX là giá trị x0 mà tại ñó X nhận xác suất lớn nhất (nếu X rời rạc) hay hàm mật ñộ ñạt cực ñại (nếu X liên tục). ModX còn ñược gọi là số có khả năng nhất. 3 0,15 4 0,3 5 0,45 VD 16. Cho bnn X có bảng phân phối xác suất: X 0 1 4 5 2 P 0,1 0,2 0,3 0,05 0,25 Khi ñó ta có modX = 2. VD 17. Tìm medX và modX với biến ngẫu bảng phân phối xác suất: X 20 21 22 23 P 0,30 0,25 0,18 0,14 VD 18. Cho bnn X có hàm mật ñộ xác suất: f(x) = 1 2π − .e x2 2, 8 0,1 nhiên X có 24 0,13 x ∈ ℝ . Tìm modX. §3. MỘT SỐ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG VD 1. Trong 1 cửa hàng bán 100 bóng ñèn có 5 bóng hỏng. Một người chọn mua ngẫu nhiên 3 bóng từ cửa hàng này. Gọi X là số bóng hỏng người ñó mua phải. Lập bảng phân phối xác suất của X. b) Các số ñặc trưng N−n EX = np; VarX = npq , N−1 N với p = A , q = 1 − p . N VD 2. Một rổ mận có 20 trái trong ñó có 6 trái bị hư. Chọn ngẫu nhiên từ rổ ñó ra 4 trái. Gọi X là số trái mận hư chọn phải. Lập bảng phân phối xác suất của X và tính EX, VarX bằng hai cách. 3.1. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc 3.1.1. Phân phối siêu bội • Xét tập có N phần tử, trong ñó có NA phần tử có tính chất A. Từ tập ñó lấy ra n phần tử. Gọi X là số phần tử có tính chất A thì X có phân phối siêu bội. Ký hiệu: X ∈ H(N, NA , n) hay X ∼ H(N, NA , n) . a) ðịnh nghĩa • Phân phối siêu bội là phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc X = {0; 1; 2; …; n} với xác suất tương ứng là: pk = P(X = k) = CkN CnN−−kN A n CN A . Trang 8 ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK VD 3. Một bà mẹ sinh 2 con (mỗi lần sinh 1 con) với xác suất sinh con trai là 0,51. Gọi X là số con trai trong 2 lần sinh. Lập bảng phân phối xác suất của X. VD 4. Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm với xác suất 1 phế phẩm là 1%. a) Cho máy sản xuất ra 10 sản phẩm, tính xác suất có 2 phế phẩm. b) Máy cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm ñể xác suất có ít nhất 1 phế phẩm nhỏ hơn 3%.  4x 3 , x ∈ (0; 1) VD 5. Cho X có hàm mật ñộ f(x) =  .   0, x ∉ (0; 1) Tính xác suất ñể trong 3 phép thử ñộc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng (0, 25; 0,5) . 3.1.2. Phân phối nhị thức a) Công thức Bernoulli • Dãy phép thử Bernoulli là dãy n phép thử thỏa 3 ñiều kiện: 1) Các phép thử của dãy ñộc lập với nhau. 2) Trong mỗi phép thử ta chỉ quan tâm ñến 1 biến cố A, nghĩa là chỉ có A và A xuất hiện. 3) Xác suất xuất hiện A trong mọi phép thử của dãy luôn là hằng số: ( ) P(A) = p, P A = 1 − p = q, (0 < p < 1) . • Cho dãy n phép thử Bernoulli, xác suất xuất hiện k lần biến cố A là: pk = Ckn pk q n−k , p = P(A) . b) ðịnh nghĩa • Phân phối nhị thức là phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc X = {0; 1; 2; …; n} với xác suất tương ứng là: VD 6. Một nhà vườn trồng trồng 5 cây lan quý, với xác suất nở hoa của mỗi cây trong 1 năm là 0,8. a) Lập bảng phân phối xác suất của số cây lan trên nở hoa trong 1 năm. b) Giá 1 cây lan nở hoa là 1,2 triệu ñồng. Giả sử nhà vườn bán hết những cây lan nở hoa thì mỗi năm nhà vườn thu ñược chắc chắn nhất là bao nhiêu tiền? c) Nếu muốn trung bình mỗi năm có 10 cây lan nở hoa thì nhà vườn phải trồng mấy cây lan? VD 7. Một lô hàng chứa 20 sản phẩm trong ñó có 4 phế phẩm. Chọn liên tiếp 3 lần (có hoàn lại) từ lô hàng, mỗi lần chọn ra 4 sản phẩm. Tính xác suất ñể trong 3 lần có ñúng 1 lần chọn có nhiều nhất 3 phế phẩm. pk = P(X = k) = Ckn p k q n−k . Ký hiệu: X ∈ B(n, p) hay X ~ B(n, p). Chú ý • Khi n = 1 thì X ∈ B(1, p) ≡ B(p), khi ñó X còn ñược gọi là có phân phối không – một hay Bernoulli. c) Các số ñặc trưng EX = np; VarX = npq; ModX = x 0 , np − q ≤ x 0 ≤ np + p . Chẳng hạn, số xe qua 1 trạm hoặc số cuộc ñiện thoại tại 1 trạm công cộng… có phân phối Poisson. 3.1.3. Phân phối Poisson a) Bài toán dẫn ñến phân phối Poisson • Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A tại những thời ñiểm ngẫu nhiên trong khoảng thời gian (t1; t2) thỏa mãn hai ñiều kiện: 1) Số lần xuất hiện biến cố A trong khoảng (t1; t2) không ảnh hưởng ñến xác suất xuất hiện A trong khoảng thời gian kế tiếp. 2) Số lần xuất hiện biến cố A trong 1 khoảng thời gian bất kỳ tỉ lệ với ñộ dài của khoảng ñó. Khi ñó X có phân phối Poisson, ký hiệu X ∈ P(λ) với b) ðịnh nghĩa • Biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số λ > 0 (trung bình số lần xuất hiện A) nếu X nhận các giá trị 0, 1, 2,…, n,… với xác suất tương ứng là: pk = P(X = k) = e−λ .λ k . k! c) Các số ñặc trưng EX = VarX = λ; ModX = x 0 , λ − 1 ≤ x 0 ≤ λ . λ = c(t2 − t1 ) > 0 , c: cường ñộ xuất hiện A. VD 8. Trung bình cứ 3 phút có 1 khách ñến quầy mua hàng. Tính xác suất ñể trong 30 giây có 2 khách ñến quầy mua hàng. VD 9. Một trạm ñiện thoại trung bình nhận ñược 300 cuộc gọi trong 1 giờ. a) Tính xác suất ñể trạm nhận ñược ñúng 2 cuộc gọi trong 1 phút. b) Tính xác suất ñể trạm nhận ñược ñúng 5 cuộc gọi trong 3 phút. c) Tính xác suất ñể 2 trong 3 phút liên tiếp, mỗi phút trạm nhận ñược nhiều nhất 1 cuộc gọi. VD 10. Trung bình 1 ngày (24 giờ) có 10 chuyến tàu vào cảng Cam Ranh. Chọn ngẫu nhiên liên tiếp 3 giờ trong 1 ngày. Tính xác suất ñể 2 trong 3 giờ ấy có ñúng 1 tàu vào cảng. 3.2. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục 3.2.1. Phân phối chuẩn a) ðịnh nghĩa • Bnn X ñược gọi là có phân phối chuẩn với tham số µ và σ2 (σ > 0) , ký hiệu X ∈ N ( µ, σ2 ) , nếu hàm mật ñộ phân phối xác suất của X có dạng: f(x) = 1 σ 2π − e (x −µ )2 2σ2 , x ∈ ℝ. Các số ñặc trưng ModX = MedX = EX = µ; VarX = σ2 . Trang 9 ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK b) Phân phối chuẩn ñơn giản x Hàm ϕ(x) = ∫ 1 − t2 2 dt • Cho X ∈ N ( µ, σ2 ) , ñặt T = X−µ thì T có phân σ phối chuẩn ñơn giản T ∈ N ( 0, 1 ) . e ( x ≥ 0 ) ñược gọi là hàm 2π Laplace (giá trị ñược cho trong bảng B). • Hàm mật ñộ phân phối xác suất của T: Tính chất của hàm Laplace (dùng ñể tra bảng) 1) ϕ(−x) = −ϕ(x) (hàm lẻ); f(t) = 1 t2 − e 2 2π • Công thức xác suất: 0 (giá trị ñược cho trong bảng A). b P(a < T < b) = ∫ a 1 2π 2) với x > 5 thì ϕ(x) ≈ 0, 5 ; 3) P(T < x) = 0, 5 + ϕ(x) . Phân vị mức α • Ta gọi tα là phân vị mức α của T nếu: t2 − e 2 dt . P ( T > tα ) = α . VD 12. Thống kê ñiểm thi X (ñiểm) trong một kỳ tuyển sinh ðại học môn toán của học sinh cả nước cho thấy X là biến ngẫu nhiên với X ∈ N(4; 2, 25) . Tính tỉ lệ ñiểm thi X ≥ 5,5. c) Phương pháp tính xác suất phân phối chuẩn tổng quát • Cho X ∈ N ( µ, σ2 ) , ñể tính P(a < X < b) ta ñặt a−µ b−µ , β= σ σ ⇒ P(a < X < b) = ϕ(β) − ϕ(α) , tra bảng B ta ñược kết quả. VD 11. Thời gian X (phút) của 1 khách chờ ñược phục vụ tại 1 cửa hàng là bnn với X ∈ N ( 4, 5; 1,21 ) . α= VD 13. Tuổi thọ của 1 loại bóng ñèn là X (năm) với X ∈ N(4, 2; 6, 25) . Khi bán 1 bóng ñèn thì lãi ñược 100 ngàn ñồng nhưng nếu bóng ñèn phải bảo hành thì lỗ 300 ngàn ñồng. Vậy ñể có tiền lãi trung bình khi bán mỗi bóng ñèn loại này là 30 ngàn ñồng thì cần phải quy ñịnh thời gian bảo hành là bao nhiêu? a) Tính xác suất khách phải chờ ñể ñược phục vụ từ 3,5 phút ñến 5 phút; không quá 6 phút. b) Tính thời gian tối thiểu t nếu xác suất khách phải chờ vượt quá t là không quá 5%. VD 14. Cho X có phân phối chuẩn với EX = 10 và P ( 10 < X < 20 ) = 0, 3 . Tính P ( 0 < X ≤ 15 ) . 3.2.3. Phân phối χ2(n) (xem giáo trình) VD 15. Một công ty cần mua 1 loại thiết bị có ñộ dày từ 0,118cm ñến 0,122cm. Có 2 cửa hàng cùng bán loại thiết bị này với ñộ dày là các biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(µ, σ2). Giá bán của cửa hàng X là 3 USD/hộp/1000 cái và cửa hàng Y là 2,6 USD/hộp/1000 cái. Chỉ số ñộ dày trung bình µ (cm) và ñộ lệch chuẩn σ (cm) ñược cho trong bảng: Cửa hàng µ (cm) σ (cm) I 0,12 0,001 II 0,12 0,0015 Hỏi công ty nên mua loại thiết bị này ở cửa hàng nào? 3.2.4. Phân phối Student T(n) (với n bậc tự do) • Cho T ∈ N(0, 1) và Y ∈ χ2 (n) thì X= T Y n ∈ T(n) có hàm mật ñộ xác suất:  n + 1  n +1 Γ  −   2   x2  2  f(x) = . 1 +  n   n   nπ.Γ    2  Giá trị ñược của t(n) ñược cho trong bảng C. Chú ý. Nếu X ∈ N ( µ, σ2 ) thì: aX + b ∈ N ( aµ + b, a σ2 ) . Chương III. ðỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG XÁC SUẤT §1. MỘT SỐ LOẠI HỘI TỤ TRONG XÁC SUẤT VÀ CÁC ðỊNH LÝ (Hệ ñại học) n 1.1. Hội tụ theo xác suất – Luật số lớn 1 P ⇔ →0 . a) ðịnh nghĩa ∑ ( Xi − EXi )  n i =1 • Dãy biến ngẫu nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñược gọi là hội tụ theo xác suất ñến biến ngẫu nhiên X nếu: b) Bất ñẳng thức Tchébyshev ∀ω ∈ Ω, ∀ε > 0 : lim P ( X n (ω) − X(ω) ≥ ε ) = 0 . n →∞ • Nếu biến ngẫu nhiên X có EX và VarX hữu hạn thì: P VarX Ký hiệu: Xn  → X (n → ∞) . ∀ε > 0 : P ( X − EX ≥ ε ) ≤ ε2 • Họ biến ngẫu nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñược gọi là hay tuân theo luật số lớn (dạng Tchébyshev) nếu: n  1 n  VarX 1   P ( X − EX < ε ) ≥ 1 − . ∀ε > 0 : lim P  ∑ Xi − ∑ EXi < ε  = 1 ε2 n →∞  n i =1   n i =1 Trang 10 ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK c) ðịnh lý luật số lớn Tchébyshev ðịnh lý • Nếu họ các biến ngẫu nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñộc lập từng ñôi có EXi hữu hạn và VarXi bị chặn trên bởi hằng C thì: n  1 n  1  ∀ε > 0 : lim P  ∑ Xi − ∑ EXi ≥ ε  = 0 . n →∞  n i =1  n i =1  Hệ quả • Nếu họ các biến ngẫu nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñộc lập từng ñôi có EXi = µ và VarXi = σ2 thì: VD (tham khảo). Thu nhập trung bình hàng năm của dân cư 1 vùng là 700USD với ñộ lệch chuẩn 120USD. Hãy xác ñịnh một khoảng thu nhập hàng năm xung quanh giá trị trung bình của ít nhất 95% dân cư vùng ñó. Giải. Gọi X(USD) là thu nhập hàng năm của dân cư vùng ñó. Ta có: VarX P ( X − EX < ε ) ≥ 1 − ε2 ⇔ P ( X − 700 < ε ) ≥ 1 − 1202 ε2 = 0, 95 ⇒ ε = 536, 656USD . Vậy ít nhất 95% dân cư vùng ñó có thu nhập hàng năm trong khoảng (163,344USD; 1236,656USD). n 1 P Xi  →µ . ∑ n i =1 1.2. Hội tụ yếu – ðịnh lý giới hạn trung tâm Ý nghĩa a) ðịnh nghĩa • Dãy biến ngẫu nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñược gọi là hội tụ yếu hay hội tụ theo phân phối ñến b.n.n X nếu: lim Fn (x) = F(x), ∀x ∈ C(F) . • Thể hiện tính ổn ñịnh của trung bình số học các biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối và có phương sai hữu hạn. n →∞ Trong ñó, C(F) là tập các ñiểm liên tục của F(x). • ðể ño 1 ñại lượng vật lý nào ñó ta ño n lần và lấy trung bình các kết quả làm giá trị thực của ñại lượng cần ño. d d Ký hiệu: Xn   → X hay Fn   →F . • Áp dụng trong thống kê là dựa vào một mẫu khá nhỏ ñể kết luận tổng thể. Chú ý P d Nếu Xn  → X thì Xn   →X . §2. CÁC LOẠI XẤP XỈ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2.1. Liên hệ giữa phân phối Siêu bội và Nhị thức • Nếu n cố ñịnh, N tăng vô hạn và NA → p (0 ≠ p ≠ 1) N n −k CkN CN − NA d A   → Ckn p k q n−k . thì n CN b) ðịnh lý Liapounop (giới hạn trung tâm) • Cho họ các biến ngẫu nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñộc n lập từng ñôi. ðặt Y = ∑ Xi , n µ= i =1 ∑ EXi , i =1 n σ2 = ∑ VarXi . Nếu EXi, VarXi hữu hạn và i =1 n ∑ n →∞ lim i =1 E Xi − EXi σ3 3 Xấp xỉ phân phối siêu bội bằng Nhị thức • Nếu N khá lớn và n rất nhỏ so với N (n < 0,05N) thì N X ∼ B(n; p), p = A . N VD 1. Một vườn lan có 10000 cây sắp nở hoa, trong ñó có 1000 cây hoa màu ñỏ. Chọn ngẫu nhiên 20 cây lan trong vườn này. Tính xác suất ñể chọn ñược 5 cây lan có hoa màu ñỏ. = 0 thì Y ∈ N ( µ, σ2 ) . Ý nghĩa • Dùng ñịnh lý giới hạn trung tâm ñể tính xấp xỉ (gần ñúng) các xác suất. • Xác ñịnh các phân phối xấp xỉ ñể giải quyết các vấn ñề của lý thuyết ước lượng, kiểm ñịnh,… 2.2. Liên hệ giữa Nhị thức và Poisson • Nếu n → ∞, p → 0, np → λ thì: 2.3. ðịnh lý giới hạn Moivre – Laplace e−λ .λ k . k! Xấp xỉ phân phối Nhị thức bằng Poisson • Cho X có phân phối nhị thức B(n, p), λ = np . Khi ñó: a) Nếu n lớn và p khá bé (gần bằng 0) thì X ∼ P(λ) . b) Nếu n lớn và p cũng khá lớn (gần bằng 1) thì X ∼ P(λ) . VD 2. Một lô hàng có 0,1% phế phẩm. Tìm xác suất ñể khi chọn ra 1000 sản phẩm có: a) Tất cả ñều tốt; b) Không quá 2 phế phẩm. ðịnh lý 1 (giới hạn ñịa phương) Ckn pk q n−k  → d • Gọi pk là xác suất xuất hiện k lần biến cố A trong n phép thử Bernoulli với P(A) = p (p không quá gần 0 và không quá gần 1) thì lim n →∞ Trong ñó, f(x) = Trang 11 1 2π − e npq.Pn (k) = 1. f(x k ) x2 2, xk = k − np npq hữu hạn. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK ðịnh lý 2 (giới hạn Moivre – Laplace) X − np • Cho X ∈ B(n, p) và Sn = thì: npq VD 3. Trong một kho lúa giống có tỉ lệ hạt lúa lai là 13%. Tính xác suất sao cho khi chọn 1000 hạt lúa giống trong kho thì có không quá 15 hạt lúa lai. F Sn  → N(0, 1) . VD 4. Một khách sạn nhận ñặt chỗ của 325 khách hàng cho 300 phòng vào ngày 1/1 vì theo kinh nghiệm của những năm trước cho thấy có 10% khách ñặt chỗ nhưng không ñến. Biết mỗi khách ñặt 1 phòng, tính xác suất: Xấp xỉ Nhị thức bằng phân phối chuẩn • Cho X ∈ B(n, p) , nếu n khá lớn, p không quá gần 0 và 1 thì X ∼ N(µ; σ2 ) với µ = np, σ2 = npq . Khi ñó: 1  k − µ  1) P(X = k) = .f   (tra bảng A, f(–x) = f(x)). σ  σ  a) Có 300 khách ñến vào ngày 1/1 và nhận phòng. b) Tất cả các khách ñến vào ngày 1/1 ñều nhận ñược phòng.  k − µ   k − µ   − ϕ  1 . 2) P(k1 ≤ X ≤ k 2 ) = ϕ  2  σ   σ  ………………………………………………………………….. PHẦN II. LÝ THUYẾT THỐNG KÊ Chương IV. LÝ THUYẾT MẪU §1. KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG PHÁP XÁC ðỊNH MẪU Nếu từ hồ ñó bắt lên 1 con cá rồi thả xuống, sau ñó tiếp tục bắt con khác, tiến hành 10 lần như thế ta ñược mẫu có hoàn lại kích thước 10. • Khi mẫu có kích thước lớn thì ta không phân biệt mẫu có hoàn hay không hoàn lại. 1.2. Phương pháp xác ñịnh mẫu • Mẫu ñịnh tính là mẫu mà ta chỉ quan tâm ñến các phần tử của nó có tính chất A nào ñó hay không. VD 2. ðiều tra 100 hộ dân của một thành phố về thu nhập trong 1 năm. Nếu hộ có thu nhập dưới 10 triệu ñồng/năm là hộ nghèo. Thì trong 100 hộ ñược ñiều tra ta quan tâm ñến hộ nghèo (tính chất A). 1.1. Mẫu và tổng thể (ñám ñông) • Tập hợp có các phần tử là các ñối tượng mà ta nghiên cứu ñược gọi là tổng thể. Số phần tử của tổng thể ñược gọi là kích thước của tổng thể. • Từ tổng thể ta chọn ra n phần tử thì n phần tử ñó ñược gọi là một mẫu có kích thước (cỡ mẫu) n. Mẫu ñược chọn ngẫu nhiên một cách khách quan ñược gọi là mẫu ngẫu nhiên. VD 1. Khi nghiên cứu về số cá trong một hồ thì số cá trong hồ là kích thước của tổng thể. Từ hồ ñó bắt lên 10 con cá thì ñược 1 mẫu không hoàn lại kích thước là 10. • Mẫu ñịnh lượng là mẫu mà ta quan tâm ñến một yếu tố về lượng (như chiều dài, cân nặng,…) của các phần tử trong mẫu. VD 3. Cân 100 trái dưa gang ñược chọn ngẫu nhiên từ 1 cách ñồng là mẫu ñịnh lượng. VD 4. Chiều cao của cây bạch ñàn là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. ðo ngẫu nhiên 5 cây X1, X2,…, Xn ta ñược X1=3,5m; X2=3,2m; X3=2,5m; X4=4,1m; X5=3m. Khi ñó, {X1, X2,…, Xn} là mẫu tổng quát có phân phối chuẩn và {3,5m; 3,2m; 2,5m; 4,1m; 3m} là mẫu cụ thể. • Mẫu có kích thước n là tập hợp của n biến ngẫu nhiên ñộc lập X1, X2,…, Xn ñược lập từ biến ngẫu nhiên X và có cùng luật phân phối với X là mẫu tổng quát. Tiến hành quan sát (cân, ño,…) từng biến Xi và nhận ñược các giá trị cụ thể Xi = xi, khi ñó ta ñược mẫu cụ thể x1, x2,…, xn. • Xác suất nghiên cứu về tổng thể ñể hiểu về mẫu còn thống kê thì ngược lại. • Xét về lượng – Trung bình tổng thể là µ = EX . 1.3. Sắp xếp số liệu thực nghiệm 1.3.1. Sắp xếp theo các giá trị khác nhau • Giả sử mẫu (X1, X2,…, Xn) có k quan sát khác nhau là X1, X2,…, Xk ( k ≤ n ) và Xi có tần số ni (số lần lặp lại) – Phương sai tổng thể σ2 = VarX là biểu thị cho mức ñộ biến ñộng của dấu hiệu X. • Xét về chất – ðám ñông ñược chia thành 2 loại phần tử: loại có tính chất A ñó mà ta quan tâm và loại không có tính chất A. – Gọi X = 0 nếu phần tử không có tính chất A và X = 1 nếu phần tử có tính chất A, p là tỉ lệ phần tử có tính chất A thì: Soá phaàn töû coù tính chaát A X ∈ B(p), p = EX = . Soá phaàn töû cuûa toång theå với n1 + n 2 + ... + n k = n . Số liệu ñược sắp xếp theo thứ tự tăng dần của Xi. VD 5. Kiểm tra ngẫu nhiên 50 sinh viên, kết quả: X (ñiểm) ni (số SV) Trang 12 2 4 4 6 5 20 6 10 7 5 8 2 9 2 10 1 ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK 1.3.2. Sắp xếp dưới dạng khoảng • Giả sử mẫu (X1, X2,…, Xn) có nhiều quan sát khác nhau, khoảng cách giữa các quan sát không ñồng ñều hoặc các Xi khác nhau rất ít thì ta sắp xếp chúng dưới dạng khoảng. Xét khoảng ( x min , x max ) chứa toàn bộ quan sát Xi. VD 6. ðo chiều cao của n = 100 thanh niên, ta có bảng số liệu ở dạng khoảng: Ta chia ( x min , x max ) thành các khoảng bằng nhau (còn gọi là lớp ) theo nguyên tắc: Số khoảng tối ưu là 1 + 3,322lgn, ñộ dài khoảng là: x − x min h = max . 1 + 3, 322 lg n a i−1 + a i ta có bảng số liệu ở 2 dạng bảng (dùng ñể tính toán): n Tần suất i Tần số ni xi n 150 5 0,05 154 20 0,2 158 35 0,35 162 25 0,25 166 15 0,15 Chú ý • ðối với trường hợp số liệu ñược cho bởi cách liệt kê thì ta sắp xếp lại ở dạng bảng. Lớp (khoảng) (ñơn vị: cm) Tần số ni (số thanh niên) 148 – 152 152 – 156 156 – 160 160 – 164 164 – 168 5 20 35 25 15 Tần suất ni n 0,05 0,2 0,35 0,25 0,15 VD 7. Theo dõi mức nguyên liệu hao phí ñể sản xuất ra một ñơn vị sản phẩm ở một nhà máy, ta thu ñược các số liệu sau (ñơn vị: gam). Hãy sắp xếp số liệu dưới dạng bảng? Sử dụng công thức x i = 20; 19; 21; 20; 19; 22; 19; 20; 22; 19; 21; 20; 18; 21; 20; 20; 18; 19; 21; 21; 22; 19; 19; 22; 21. 22; 20; 21; 20; 20; 20; 22; 20; 19; 18; 21; 20; 20; 19; 21; 19; 22; 20; 20; 20; 21; 20; 19; 21; §2. CÁC ðẶC TRƯNG MẪU (tham khảo) 2.1. Các ñặc trưng mẫu • Giả sử tổng thể có trung bình EX = µ , phương sai Tính chất VarX = σ và tỉ lệ p phần tử có tính chất A. 2.1.1. Tỉ lệ mẫu Fn • Cho mẫu ñịnh tính kích thước n, ta gọi n  0 1 Fn = ∑ Xi , Xi =  là tỉ lệ mẫu tổng quát. 1 n i =1  • Cho mẫu ñịnh tính kích thước n, trong ñó có m phần tử có tính chất A. Khi ñó ta gọi: m f = fn = là tỉ lệ mẫu cụ thể. n 2 a) Kỳ vọng của tỉ lệ mẫu bằng tỉ lệ tổng thể:  X + ... + X n   = p . M ( Fn ) = M  1  n  b) Phương sai của tỉ lệ mẫu:  X + ... + X n  pq  = VarFn = Var  1   n n (các Xi có phân phối Bernoulli). 2.1.2. Trung bình mẫu • Trung bình mẫu: Chú ý n X = Xn = 1 ∑X . n i =1 i • Tỉ lệ mẫu Fn = Trung bình mẫu cụ thể: X1 + ... + X n khác nhau ở chỗ là trong Fn, các n Xn chỉ có phân phối Bernoulli:  0, neáu phaàn töû khoâng coù tính chaát A Xi =  . 1, neáu phaàn töû coù tính chaát A  n x = xn = Xn = 1 ∑x . n i =1 i Tính chất ( ) ( ) E X n = µ = EX , Var Xn = X1 + ... + X n và trung bình mẫu n σ2 VarX = . n n Trang 13 ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK • Trong tính toán ta sử dụng công thức: 2.1.3. Phương sai mẫu 2 S = • Phương sai mẫu: ɵ n 2 ɵ Sn = n ( 1 ∑ X − Xn n i =1 i ( 2 2 1 s =ɵ sn = ∑ x i − x n Mẫu cụ thể: ɵ n i =1 • Phương sai mẫu hiệu chỉnh: n S2 = S2n = ) 2 Mẫu cụ thể: s2 = s2n = 2 n 2 2 n  2 1  x n − x n  , x n = ∑ x2i .  n − 1  n i =1 2.2. Liên hệ giữa ñặc trưng của mẫu và tổng thể ( ( 1 ∑ x − xn n − 1 i =1 i ( ) s2n = . . 1 ∑ X − Xn n − 1 i =1 i n ) • Các ñặc trưng mẫu Fn , Xn , Sn2 là các thống kê dùng ) 2 ñể nghiên cứu các ñặc trưng p, µ, σ2 tương ứng của tổng thể. Từ luật số lớn ta có: . ) 2 Fn → p, Xn → µ, S2n → σ2 (theo xác suất). • Trong thực hành, khi cỡ mẫu n khá lớn (cỡ hàng chục trở lên) thì các ñặc trưng mẫu xấp xỉ các ñặc trưng tương . 2 ứng của tổng thể: x ≈ µ, f ≈ p, ɵ s ≈ σ2 , s2 ≈ σ2 .  2  n − 1 2 S = σ , E ( S2 ) = σ2 . Tính chất. E  ɵ   n §3. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA CÁC ðẶC TRƯNG MẪU (tham khảo) 3.1. Phân phối xác suất của tỉ lệ mẫu F σ2 • Do EF = p và EX = µ , VarX = nên: pq n • Do EF = p và VarF = nên với n khá lớn thì: n  σ2  X−µ  hay X ∈ N  µ, n ∈ N ( 0, 1 ) .   pq    σ n F ∈ N  p,  .     n  • Với mẫu cụ thể kích thước n ñủ lớn, thì σ2 ≈ s2 . Ta • Với mẫu cụ thể kích thước n, tỉ lệ mẫu f thì p ≈ f .  s2  X−µ Ta có:  hay có: X ∈ N  µ, n ∈ N ( 0, 1 ) .  n s   f(1 − f)  (F − p) n  F ∈ N  p, ∈ N(0, 1) .  hay  n  f(1 − f) • Khi n < 30 và σ2 chưa biết thì: 3.2. Phân phối xác suất của trung bình mẫu X−µ n ∈ χ2 (n − 1) có phân phối Student với n – 1 3.2.1. Trường hợp tổng thể X có phân phối chuẩn s X ∈ N ( µ, σ2 ) bậc tự do. 3.2.2. Trường hợp X không có phân phối chuẩn • Từ ñịnh lý giới hạn trung tâm, ta suy ra: b) σ2 chưa biết thì:  X−µ S2   . n ≈ N ( 0, 1 ), X ≈ N  µ,  S n  X−µ d n   → N ( 0, 1 ) σ X−µ d n   → N ( 0, 1 ) . s • Với n ≥ 30 , ta có các phân phối xấp xỉ chuẩn: 3.3. Phân phối xác suất của phương sai mẫu • Giả sử tổng thể X ∈ N ( µ, σ2 ) , khi ñó: n n ɵ2 n −1 2 1 S = S = ∑ Xi − Xn 2 2 σ σ σ2 i =1 a) σ2 ñã biết thì:  X−µ σ2   . n ≈ N ( 0, 1 ), X ≈ N  µ,  σ n  ( 2 sẽ có phân phối χ2 (n − 1) . §4. THỰC HÀNH TÍNH CÁC ðẶC TRƯNG MẪU CỤ THỂ 4.1. Tính tỉ lệ mẫu f • Trong mẫu có m phần tử có tính chất A mà ta quan tâm m thì tỉ lệ mẫu là f = . n VD. Xét 10 kết quả quan sát: 102, 102, 202, 202, 202, 302, 302, 302, 302, 402. 1 Ta có: x = (102.2 + 202.3 + 302.4 + 402.1) . 10 4.2. Tính trung bình mẫu x • Mẫu có n giá trị xi thì trung bình mẫu là: 2 4.3. Tính phương sai mẫu ɵ s n x + x 2 + ... + x n 1 x= 1 = ∑ xi . n n i =1 • Nếu xi lặp lại ni (i = 1,…, k ≤ n ) lần thì trung bình • Tính x và x = 2 n 1 2 1 x1 + x 22 + ... + x2n ) = ∑ x 2i . ( n n i =1 ( ). 2 2 s =x − x • Phương sai mẫu là: ɵ k mẫu là: x = ) 1 ∑x n . n i =1 i i 2 • Phương sai mẫu có hiệu chỉnh là: s2 = Trang 14 n ɵ2 s . n −1 ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI ðỂ TÍNH CÁC ðẶC TRƯNG CỦA MẪU 1. SỐ LIỆU ðƠN (không có tần số) VD 1. Cho mẫu có cỡ mẫu là 5: w = (12, 13, 11, 14, 11). a) Máy fx 500MS • Xóa nhớ: MODE -> 3 -> = -> = • Vào chế ñộ thống kê nhập dữ liệu – MODE -> 2 (chọn SD ñối với fx500MS); MODE -> MODE -> 1 (chọn SD ñối với fx570MS) – Nhập các số: 12 M+ 13 M+…. 11 M+ • Xuất kết quả – SHIFT -> 2 -> 1 -> = (xuất kết quả x : trung bình mẫu) ⌢ – SHIFT -> 2 -> 2 -> = (xuất kết quả s = xσn : ñộ lệch chuẩn của mẫu) – SHIFT -> 2 -> 3 -> = (xuất kết quả s = xσn − 1 : ñộ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh) b) Máy fx 500ES • Xóa nhớ: SHIFT -> 9 -> 3 -> = -> = • Vào chế ñộ thống kê nhập dữ liệu – SHIFT -> MODE -> dịch chuyển mũi tên tìm chọn mục Stat -> 3 (chế ñộ không tần số) – MODE -> 3 (stat) -> 1 (1-var) -> (nhập các số) 12 = 13 =…. 11 = • Xuất kết quả – SHIFT -> 1 -> 5 (var) -> 1 -> = (n: cỡ mẫu) – SHIFT -> 1 -> 5 (var) -> 2 -> = ( x : trung bình mẫu) – SHIFT -> 1 -> 5 (var) -> 3 -> = ( xσn : ñộ lệch chuẩn của mẫu) – SHIFT -> 1 -> 5 (var) -> 4 -> = ( xσn − 1 : ñộ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh) 2. SỐ LIỆU CÓ TẦN SỐ VD 2. Cho mẫu như sau xi ni 12 3 11 2 15 4 a) Máy fx 500MS • Xóa nhớ: MODE -> 3 -> = -> = • Vào chế ñộ thống kê nhập dữ liệu – MODE -> 2 (chọn SD ñối với fx500MS); MODE -> MODE -> 1 (chọn SD ñối với fx570MS) – Nhập các số: 12 -> SHIFT -> , -> 3 -> M+ 11 -> SHIFT -> , -> 2 -> M+ 15 -> SHIFT -> , -> 4 -> M+ • Xuất kết quả, làm như 1a) b) Máy fx 500ES • Xóa nhớ vào chế ñộ thống kê nhập dữ liệu có tần số: – SHIFT -> MODE (SETUP) dịch chuyển mũi tên -> 4 -> 1 – MODE -> 3 (stat) -> 1 (1-var) – Nhập các giá trị và tần số vào 2 cột trên màn hình X FREQ 12 3 11 2 15 4 • Xuất kết quả, làm như 1b) VD 3. ðiều tra năng suất của 100 ha lúa trong vùng, ta có bảng số liệu sau: Năng suất (tấn/ha) 3 - 3,5 3,5 - 4 4 - 4,5 4,5 - 5 5 - 5,5 5,5 - 6 Diện tích (ha) 7 12 18 27 20 8 Những thửa ruộng có năng suất ít hơn 4,4 tấn/ha là có năng suất thấp. a) Tính tỉ lệ diện tích lúa có năng suất thấp. b) Tính năng suất lúa trung bình, phương sai và ñộ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh. …………………………………………………………… Trang 15 6 - 6,5 5 6,5 - 7 3 ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Chương V. ƯỚC LƯỢNG ðẶC TRƯNG CỦA TỔNG THỂ (ðÁM ðÔNG) §1. ƯỚC LƯỢNG ðIỂM VD 1. 1.1. Thống kê • Một hàm của mẫu tổng quát T = T(X1, X2,…, Xn) ñược gọi là 1 thống kê. • Các vấn ñề của thống kê toán ñược giải quyết chủ yếu nhờ vào việc xây dựng các hàm thống kê chỉ phụ thuộc vào mẫu tổng quát, không phụ thuộc các tham số. X1 + X2 + ... + Xn là ước lượng n ñiểm của tỉ lệ tổng thể p. X + X2 + ... + Xn là ước • Trung bình mẫu X = 1 n lượng ñiểm của trung bình tổng thể µ . 1.3. Ước lượng không chệch (tham khảo) θ X ,..., X là ước lượng không chệch của • Thống kê ɵ • Tỉ lệ mẫu F = 1.2. Ước lượng ñiểm • Ước lượng ñiểm của tham số θ (tỉ lệ, trung bình, phương sai,…) là thống kê ɵ θ =ɵ θ ( X1,..., X n ) chỉ phụ ( 1 n ) θ nếu E  ɵ θ ( X1,..., Xn )  = θ .   thuộc vào n quan sát X1, …, Xn, không phụ thuộc vào θ . Ta có: VD 2. • EF = p (tỉ lệ mẫu là ước lượng không chệch của tỉ lệ tổng thể). của trung bình tổng thể µ ). 498.40+502.20+506.20+510.20 = 502, 8(gr) . 100 Dự ñoán (ước lượng): Trọng lượng trung bình của các sản phẩm trong xí nghiệp là µ ≈ 502, 8(gr) .  2  • E ( S2 ) = E  ɵ S  = σ2 (phương sai mẫu là ước lượng   VD 4 (tham khảo). Từ mẫu tổng quát W = (X1, X2) ta xét hai ước lượng của trung bình tổng thể µ sau: x= ( ) • E X = µ (trung bình mẫu là ước lượng không chệch không chệch của phương sai tổng thể σ2 ). VD 3. Cân 100 sản phẩm của 1 xí nghiệp ta có bảng số liệu: x (gr) 498 502 506 510 ni 40 20 20 20 X= a) Chứng tỏ X và X′ là ước lượng không chệch của µ . b) Ước lượng nào hiệu quả hơn? 1  1 b) Var X = Var  X1 + X2    2 2 Giải ( ) 1  1 1 1 a) E X = E  X1 + X2  = E ( X1 ) + E ( X2 )  2  2  2 2 ( ) 1 1 σ2 σ2 σ2 Var ( X1 ) + Var ( X2 ) = + = . 4 4 4 4 2 1  2 Var X ′ = Var  X1 + X2   3 3  = 1 1 µ + µ = µ. 2 2 1  1 2 2 E X ′ = E  X1 + X2  = E ( X1 ) + E ( X2 )  3  3  3 3 = ( ) ( ) = 1 1 1 2 X + X và X ′ = X1 + X2 . 2 1 2 2 3 3 = 1 2 µ + µ = µ ⇒ (ñpcm). 3 3 1 4 σ2 4σ2 5σ2 Var ( X1 ) + Var ( X2 ) = + = 9 9 9 9 9 ( ) ( ) ⇒ Var X < Var X ′ . Vậy ước lượng X hiệu quả hơn. §2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG 2.1. ðịnh nghĩa • Khoảng ɵ θ; ɵ θ ( 1 2 ) Chú ý • Do tổng thể X là biến ngẫu nhiên liên tục nên: P ɵ θ < θ <ɵ θ =P ɵ θ ≤ θ ≤ɵ θ . của thống kê ɵ θ ñược gọi là khoảng ( tin cậy của tham số θ nếu với xác suất 1 − α cho trước thì P ɵ θ1 < θ < ɵ θ2 = 1 − α . ( ) 1 2 2 ) ( 1 2 ) Do ñó, ta có thể ghi θ ∈  ɵ θ1 ; ɵ θ2  .   • Xác suất 1 − α là ñộ tin cậy của ước lượng, ɵ θ2 − ɵ θ1 = 2ε là ñộ dài khoảng tin cậy và ε là ñộ chính θ; ɵ θ . xác của ước lượng. Khi ñó: θ ∈ ɵ ( 1 2.2. Ước lượng khoảng cho tỉ lệ tổng thể p • Giả sử tỉ lệ p các phần tử có tính chất A của tổng thể chưa biết. Với ñộ tin cậy 1 − α cho trước, khoảng tin cậy cho p là ( p1 ; p2 ) thỏa: ) • Bài toán tìm khoảng tin cậy của θ là bài toán ước lượng khoảng. P ( p1 < p < p2 ) = 1 − α . Trang 16 ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK m (n: cỡ mẫu; n m: số phần tử quan tâm), khoảng tin cậy cho p là: Trong thực hành với tỉ lệ mẫu f = fn = ( f − ε; f + ε ) , với ε = tα f (1 − f ) n VD 1. Một trường ðH có 10.000 sinh viên. ðiểm danh ngẫu nhiên 1000 sinh viên thấy có 76 người bỏ học. Hãy ước lượng số sinh viên bỏ học của trường với ñộ tin cậy 95%. . Trong ñó tα là mức phân vị, tìm ñược từ ϕ(tα ) = 1−α bằng cách tra bảng B. 2 VD 2. ðể ước lượng số cá trong 1 hồ người ta bắt lên 3000 con, ñánh dấu rồi thả lại xuống hồ. Sau 1 thời gian bắt lên 400 con thấy có 60 con có ñánh dấu. Với ñộ tin cậy 97%, hãy ước lượng số cá có trong hồ. Chú ý  t2  • n =  α f ( 1 − f )  + 1 là kích thước mẫu cần chọn 2  ε  ứng với ε , 1 − α cho trước ([x] là phần nguyên của x). 2.3. Ước lượng trung bình tổng thể µ • Giả sử tổng thể có trung bình µ chưa biết. Với ñộ tin VD 3. Lấy ngẫu nhiên 200 sản phẩm trong 1 kho hàng thấy có 21 phế phẩm. cậy 1 − α cho trước, khoảng tin cậy cho µ là ( µ1 ; µ 2 ) thỏa: P ( µ1 < µ < µ 2 ) = 1 − α . a) Ước lượng tỉ lệ phế phẩm có trong kho hàng với ñộ tin cậy 99%. Trong thực hành ta có 4 trường hợp sau a) Trường hợp 1. Kích thước mẫu n ≥ 30 và phương b) Dựa vào mẫu trên, nếu muốn ñộ chính xác của ước lượng là ε = 0,035 thì ñộ tin cậy của ước lượng là bao nhiêu ? sai tổng thể σ2 ñã biết. • Tính x (trung bình mẫu). 1−α B Từ 1 − α ⇒ = ϕ(tα )  → tα . 2 c) Dựa vào mẫu trên, nếu muốn ñộ chính xác là 0,01 với ñộ tin cậy 97% thì cần kiểm tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa ? ( ) • Suy ra µ ∈ x − ε; x + ε với ε = tα σ n . VD 4. Khảo sát ngẫu nhiên 100 sinh viên thấy ñiểm trung bình môn XSTK là 5,12 ñiểm với ñộ lệch chuẩn 0,26 ñiểm. Hãy ước lượng ñiểm trung bình môn XSTK của sinh viên với ñộ tin cậy 97%. b) Trường hợp 2. Kích thước mẫu n ≥ 30 và phương VD 5. ðo ñường kính của 100 trục máy do 1 nhà máy sản xuất thì ñược bảng số liệu: ðường kính (cm) 9,75 9,80 9,85 9,90 Số trục máy 5 37 42 16 sai tổng thể σ2 chưa biết. a) Hãy ước lượng ñường kính trung bình của trục máy với ñộ tin cậy 97%. b) Dựa vào mẫu trên, với ñộ chính xác 0,006, hãy xác ñịnh ñộ tin cậy. c) Dựa vào mẫu trên, nếu muốn có ñộ chính xác là 0,003 với ñộ tin cậy 95% thì cần phải ño bao nhiêu trục máy ? ⌢ • Tính x, s 2 ⇒ s2 = n ⌢2 s ⇒ s (ñộ lệch chuẩn n −1 mẫu hiệu chỉnh). 1−α B • Từ 1 − α ⇒ = ϕ(tα )  → tα (bảng B) 2 s ⇒ µ ∈ x − ε; x + ε với ε = tα . n ( c) Trường hợp 3. Với n < 30 , phương sai tổng thể σ2 ñã biết và X có phân phối chuẩn thì ta làm như trường hợp 1. ) mẫu chưa hiệu chỉnh là 0,04m. Tìm khoảng ước lượng chiều dài trung bình của loại sản phẩm này với ñộ tin cậy 95%. VD 7. Năng suất lúa trong 1 vùng là ñại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Gặt ngẫu nhiên 115 ha lúa của vùng này ta có số liệu: Năng suất (tạ/ha) 40 – 42 42 – 44 44 – 46 Diện tích (ha) 7 13 25 Năng suất (tạ/ha) 46 – 48 48 – 50 50 – 52 Diện tích (ha) 35 30 5 a) Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình ở vùng này với ñộ tin cậy 95%. b) Những thửa ruộng có năng suất không quá 44 tạ/ha là năng suất thấp. Hãy ước lượng năng suất trung bình của những thửa ruộng có năng suất thấp với ñộ tin cậy 99%. d) Trường hợp 4. Với n < 30 , phương sai tổng thể σ2 chưa biết và X có phân phối chuẩn. n ⌢2 ⌢ • Tính x, s 2 ⇒ s2 = s ⇒ s. n −1 C Từ 1 − α ⇒ α  → tnα−1 (bảng C) ( ) • Suy ra µ ∈ x − ε; x + ε với ε = tnα−1. s n . Chú ý • Trong thực hành, nếu ñề bài không cho X có phân phối chuẩn thì ta bổ sung vào. VD 6. Biết chiều dài của 1 sản phẩm là ñại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. ðo ngẫu nhiên 10 sản phẩm này thì ñược trung bình 10,02m và ñộ lệch chuẩn của Trang 17 ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK VD 8. ðể nghiên cứu nhu cầu về loại hàng A ở 1 khu vực người ta tiến hành khảo sát 400 trong toàn bộ 4000 gia ñình, kết quả: Nhu cầu (kg/tháng) 0–1 1–2 2–3 3–4 Số gia ñình 10 35 86 132 Nhu cầu (kg/tháng) 4–5 5–6 6–7 7–8 Số gia ñình 78 31 18 10 2.4. Ước lượng phương sai tổng thể σ2 • Giả sử tổng thể X có phân phối chuẩn với phương sai a) Ước lượng nhu cầu trung bình loại hàng A của khu vực trên trong 1 năm với ñộ tin cậy 95%. b) Với mẫu khảo sát trên, nếu muốn có ước lượng với ñộ chính xác 4,8 tấn và ñộ tin cậy 95% thì cần khảo sát tối thiểu bao nhiêu gia ñình trong khu vực? Trong thực hành ta có hai trường hợp sau a) Trường hợp 1. Trung bình tổng thể µ ñã biết. b) Trường hợp 2. Trung bình tổng thể µ chưa biết. • Từ mẫu ta tính ɵ2 = • Từ mẫu ta tính n.s k ∑ ni ( xi − µ ) , 2 σ2 chưa biết. Với ñộ tin cậy 1 − α cho trước, khoảng tin cậy cho σ2 là ( σ12 ; σ22 ) thỏa: P ( σ12 < σ2 < σ22 ) = 1 − α . k≤n. k x ⇒ (n − 1)s2 = i =1 α • Từ 1 − α ⇒ , tra bảng D tìm ñược: 2  α α χ2n  1 − , χ2n   .   2   2 ⇒ σ12 ∑ ni ( xi − x ) , 2 k≤n. i =1 • Từ 1 − α ⇒ ɵ2 ɵ2 n.s n.s 2 = , σ = .    α  2 2 2 α χn  1 −  χn     2  2  ⇒ σ12 = VD 9. Trọng lượng gói mì X(gr) là bnn có phân phối chuẩn. Cân kiểm tra 15 gói mì có số liệu: X(gr) 84 84,5 85 85,5 Số gói 2 3 8 2 Với ñộ tin cậy 93%, hãy ước lượng phương sai X trong mỗi trường hợp sau: a) Biết trọng lượng trung bình gói mì là 84,9gr. b) Chưa biết trọng lượng trung bình gói mì. α , tra bảng D tìm ñược: 2  α α χ2n −1  1 − , χ2n−1   .   2   2 (n − 1)s2 (n − 1)s2 , σ22 = .  α  α χ2n−1  1 −  χ2n−1    2  2  VD 11. Mức hao phí nguyên liệu cho 1 ñơn vị sản phẩm là ñại lượng ngẫu nhiên X (gr) có phân phối chuẩn. Quan sát 28 sản phẩm này người ta thu ñược bảng số liệu: X (gr) Số sản phẩm VD 10. Khảo sát 16 sinh viên về ñiểm trung bình của học kỳ 2 thì tính ñược s2 = 2,25 ñiểm. Ước lượng phương sai về ñiểm trung bình học kỳ 2 của sinh viên với ñộ tin cậy 97%, biết rằng ñiểm trung bình X của sinh viên là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. 19,0 5 19,5 6 20,0 14 20,5 3 Với ñộ tin cậy 90%, hãy ước lượng phương sai của mức hao phí nguyên liệu trên trong 2 trường hợp: a) Biết EX = 20gr. b) Chưa biết EX. Chương VI. KIỂM ðỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ §1. KIỂM ðỊNH GIẢ THIẾT VỀ ðẶC TRƯNG TỔNG THỂ (ðÁM ðÔNG) Chú ý 1.1. Khái niệm bài toán kiểm ñịnh • Mức ý nghĩa α giảm thì P(loại I) giảm ⇒ P(loại II) • Dùng các thống kê từ mẫu ñể chấp hay bác bỏ một giả tăng, nghĩa là khả năng chấp nhận H tăng. thiết H nào ñó nói về tổng thể gọi là kiểm ñịnh giả thiết thống kê. 1.2. Kiểm ñịnh giả thiết tỉ lệ tổng thể p • Khi kiểm ñịnh giả thiết H có thể xảy ra 1 trong 2 sai lầm sau: 1) Loại 1: Bác bỏ H trong khi H ñúng; 2) Loại 2: Chấp nhận H trong khi H sai. • Phương pháp kiểm ñịnh là cho phép xác suất xảy ra sai lầm loại 1 không vượt quá mức ý nghĩa α. Với mức ý nghĩa α ñã cho, ta chấp nhận H nếu xác suất xảy ra sai lầm loại 2 là nhỏ nhất. Trang 18 ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Với tỉ lệ p0 cho trước thì T = Slide baøi giaûng XSTK F − p0 • Từ mức ý nghĩa α ⇒ 1 − α 1−α B ⇒ = ϕ(tα )  → tα . 2 – Nếu t ≤ tα thì ta chấp nhận giả thiết, nghĩa là p = p0. ∈ N(0; 1) và p0q 0 n Wα = { t ∈ T P(t > tα ) ≤ α } là miền bác bỏ giả – Nếu t > tα thì ta bác bỏ giả thiết, nghĩa là p ≠ p0 . thiết H. Các bước giải • ðặt giả thiết H: p = p0 (nghĩa là tỉ lệ tổng thể như tỉ lệ cho trước). m • Từ mẫu cụ thể ta tính tỉ lệ mẫu f = và n f − p0 giá trị kiểm ñịnh t = . p0q 0 n • Trong trường hợp bác bỏ, nếu f > p0 thì kết luận p > p0 và f < p0 thì p < p0. VD 1. Kiểm tra 800 sinh viên thấy có 128 sinh viên giỏi. Trường báo cáo tổng kết là có 40% sinh viên giỏi thì có thể chấp nhận ñược không với mức ý nghĩa 5%? VD 2. ðể kiểm tra 1 loại súng thể thao, người ta cho bắn 1000 viên ñạn vào bia thấy có 540 viên trúng ñích. Sau ñó, bằng cải tiến kỹ thuật người ta nâng tỉ lệ trúng lên 70%. Hãy cho kết luận về cải tiến với mức ý nghĩa 1%. 1.3. Kiểm ñịnh giả thiết trung bình tổng thể µ • Với trung bình µ0 cho trước, tương tự bài toán ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể, ta có các trường hợp sau (tóm tắt): • ðặt giả thiết H: µ = µ0 (nghĩa là trung bình tổng thể như trung bình cho trước). VD 3. Theo báo cáo, tỉ lệ hàng phế phẩm trong kho là 12%. Kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm thấy có 13 phế phẩm. Với mức ý nghĩa 5% thì báo cáo trên có ñáng tin không ? a) Trường hợp 1. Với n ≥ 30, σ2 ñã biết. • Tính tα , t = VD 4. Một công ty tuyên bố rằng 40% dân chúng ưa thích sản phẩm của công ty. Một cuộc ñiều tra 400 người tiêu dùng thấy có 175 người ưa thích sản phẩm của công ty. Với mức ý nghĩa 3%, hãy kiểm ñịnh tuyên bố trên ? . t > tα ta bác bỏ giả thiết. Chú ý • Trong trường hợp bác bỏ: c) Trường hợp 3. Với n < 30, σ2 ñã biết, X có phân phối chuẩn (làm như trường hợp 1). Nếu x > µ 0 ⇒ µ > µ 0 và x < µ 0 ⇒ µ < µ 0 . d) Trường hợp 4. Với n < 30, σ2 chưa biết, X có phân phối chuẩn. x − µ0 C • Tính t = . Từ mức ý nghĩa α  → tnα−1 . s VD 5. Trọng lượng trung bình của của một loại sản phẩm là 6kg. Kiểm tra 121 sản phẩm thấy trọng lượng 2 trung bình là 5,795 kg và phương sai ɵ s = 5, 712 . Hãy kiểm ñịnh về trọng lượng trung bình của sản phẩm này với mức ý nghĩa 5%. n • Nếu t ≤ σ n • Nếu t ≤ tα ta chấp nhận giả thiết; b) Trường hợp 2. Với n ≥ 30, σ2 chưa biết. Làm như trường hợp 1 nhưng thay σ = s . tαn−1 x − µ0 ta chấp nhận giả thiết; t > tnα−1 ta bác bỏ giả thiết. VD 7. Khối lượng của một bao gạo của 1 nhà máy là biến ngẫu nhiên có ñộ lệch tiêu chuẩn là 0,3kg. Ban giám ñốc tuyên bố khối lượng mỗi bao gạo của nhà máy là 50kg. Cân thử 50 bao thì thấy khối lượng trung bình là 49,97kg. Với mức ý nghĩa 1%, hãy kiểm tra lời tuyên bố trên ? VD 8. ðiểm trung bình môn toán của sinh viên năm trước là 5,72. Năm nay theo dõi 100sv ñược số liệu: ðiểm 3 4 5 6 7 8 9 Số sinh viên 3 5 27 43 12 6 4 Với mức ý nghĩa 5%, phải chăng ñiểm trung bình của sinh viên năm nay cao hơn năm trước? VD 6. Cân thử 15 con gà tây ở 1 trại chăn nuôi khi xuất chuồng ta tính ñược x = 3, 62kg . Biết trọng lượng gà tây là biến ngẫu nhiên có σ2 = 0, 01 . a) Giám ñốc trại nói rằng trọng lượng trung bình của gà tây là 3,5kg, với mức ý nghĩa 2% hãy kiểm ñịnh lời nói trên ? b) Giả sử người ta dùng thức ăn mới và khi xuất chuồng trọng lượng trung bình của gà tây là 3,9 kg. Với mức ý nghĩa 3%, hãy cho kết luận về loại thức ăn này ? Trang 19 ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK VD 9. Chiều cao cây giống X(m) trong một vườm ươm là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. ðo ngẫu nhiên 25 cây ta có: X (m) 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 Số cây 1 2 9 7 4 2 Theo quy ñịnh khi nào cây cao trung bình trên 1m thì ñem ra trồng. Với mức ý nghĩa 5%, có thể ñem cây ra trồng ñược chưa ? • Từ mẫu ta tính giá trị kiểm ñịnh χ2 = • Từ 1 − α ⇒ VD 10. Tiến hành 25 quan sát về chỉ tiêu X của 1 loại sản phẩm, ta tính ñược s2 = 416,667. Có tài liệu nói rằng phương sai của chỉ tiêu X là 400. Với mức ý nghĩa 3%, cho nhận xét về tài liệu này? • ðặt giả thiết H: σ2 = σ20 (nghĩa là phương sai tổng thể như phương sai cho trước). §2. KIỂM ðỊNH SO SÁNH HAI ðẶC TRƯNG 2.1. So sánh hai tỉ lệ px và py của hai tổng thể X, Y • ðặt giả thiết H: px = py. my m • Từ 2 mẫu ta tính fx = x , fy = , nx ny • Nếu t ≤ tα thì chấp nhận H ⇒ p x = p y ;  t > tα nếu  ⇒ px < p y ; nếu   fx < fy  fx − fy  1 1  p0q 0  +  n y   n x  t > tα ⇒ px > p y .   fx > fy  VD 1. Từ hai tổng thể X1, X2 tiến hành 2 mẫu có kích thước n1 = 100, n2 = 120 ta tính ñược f1 = 0,2 và f2 = 0,3. Với mức ý nghĩa 1% hãy so sánh hai tỉ lệ của hai tổng thể ñó. VD 2. Kiểm tra 120 sinh viên trường A thấy có 80 sinh viên giỏi, 150 sinh viên trường B có 90 sinh viên giỏi. Hỏi tỉ lệ sinh viên giỏi của 2 trường như nhau không với mức ý nghĩa là 5%? (tỉ lệ thực nghiệm chung của hai mẫu). • Tính q 0 = 1 − p0 ⇒t= α   α α D  → χ2n−1  , χ2n−1  1 −  .    2 2  2  σ2 > σ20 và s2 < σ20 thì σ2 < σ20 . Với σ20 cho trước, ta thực hiện các bước sau: nx + ny . • Trong trường hợp bác bỏ, nếu s2 > σ20 thì kết luận phối chuẩn σ2 (tham khảo) mx + my σ20 α   α • Nếu χ2n−1   < χ2 < χ2n−1  1 −  ta chấp nhận  2   2  giả thiết, ngược lại thì bác bỏ giả thiết. 1.4. Kiểm ñịnh giả thiết phương sai tổng thể có phân p0 = (n − 1)s2 (giá trị kiểm ñịnh). • Từ 2 mẫu cụ thể ta tính kiểm ñịnh t = VD 3. Kiểm tra 120 sản phẩm ở kho I thấy có 6 phế phẩm. Kiểm tra 200 sản phẩm ở kho II thấy có 24 phế phẩm. Chất lượng hàng ở hai kho có khác nhau không với: 1) Mức ý nghĩa 5% ? 2) Mức ý nghĩa 1% ? x−y σ2 σ2x + y nx ny và so sánh với tα . 2.2. So sánh hai trung bình µx và µy của hai tổng thể Tóm tắt 4 trường hợp (chấp nhận hay bác bỏ giả thiết như bài kiểm ñịnh trung bình): Trường hợp 2. n x , n y ≥ 30 và σ2x , σ2y chưa biết. Ta thay σ2x , σ2y bởi s2x , s2y trong trường hợp 1. Trường hợp 3. n x , n y < 30 và σ2x , σ2y ñã biết ñồng • ðặt giả thiết H: µ x = µ y. Trường hợp 1. n x , n y ≥ 30 và σ2x , σ2y ñã biết. thời X, Y có phân phối chuẩn (như trường hợp 1). VD 4. Cân thử 100 trái cây ở nông trường I ta tính ñược Trường hợp 4. n x , n y < 30 và σ2x , σ2y chưa biết; X, Y có phân phối chuẩn. x = 101, 2gr; s2x = 571, 7 và 361 trái cây ở nông • Tính phương sai mẫu chung chưa hiệu chỉnh của 2 mẫu trường II tính ñược y = 66, 39gr; s2y = 29, 72 . s = 2 (n x − 1)s2x + (n y − 1)s2y nx + ny − 2 • Tính giá trị kiểm ñịnh t = • Từ α n + n −2  → tαx y C Hãy so sánh trọng lượng trung bình của trái cây ở 2 nông trường với mức ý nghĩa 1%. . x−y 1 1 s. + nx ny VD 5. ðo ñường kính 20 trục máy do máy I sản xuất và 22 trục máy do máy II sản xuất ta tính ñược . x = 251, 7mm ; s2x = 52, 853 và y = 249, 8mm ; s2y = 56, 2 . Có thể xem ñường kính trung bình của các và so sánh với t. trục máy ở 2 máy như nhau với mức ý nghĩa 1% không? Trang 20
- Xem thêm -