ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
LƯƠNG THỊ THU THỦY
TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU
CHO NGHIỆM HIỆU CHỈNH CỦA BẤT ĐẲNG
THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN – 2009
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
LƯƠNG THỊ THU THỦY
TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU
CHO NGHIỆM HIỆU CHỈNH CỦA
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60. 46. 36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY
THÁI NGUYÊN - 2009
none
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn1
Môc lôc
Më ®Çu
4
Ch¬ng 1.
BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu vµ bµi to¸n ®Æt kh«ng
chØnh
1.1.
8
Mét sè kiÕn thøc bæ trî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
. . . . . . . . . . . . .
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
. . . . . . . . .
17
. . . . . . . . . . . .
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
. . . . . . . . . . . . . . . .
20
. . . . . .
24
1.1.1. Kh«ng gian Banach
1.1.2. PhiÕm hµm låi nöa liªn tôc díi
1.1.3. To¸n tö ®¬n ®iÖu
1.2.
1.2.1. Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh
1.2.2. VÝ dô vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh
1.3.
BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n
1.3.1. Ph¸t biÓu bµi to¸n vµ vÝ dô
1.3.2. Sù tån t¹i nghiÖm vµ tÝnh chÊt cña tËp nghiÖm
Ch¬ng 2.
NghiÖm hiÖu chØnh cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n
®iÖu
2.1.
27
NghiÖm hiÖu chØnh
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.1.1. Bµi to¸n hiÖu chØnh
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn2
. . . . . . . . . . . . .
28
2.1.3. Tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh
. . . . . . . . . .
31
XÊp xØ h÷u h¹n chiÒu nghiÖm hiÖu chØnh
. . . . . . . . . .
34
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
KÕt qu¶ tÝnh to¸n thö nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.1.2. Sù héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh
2.2.
2.2.1. XÊp xØ h÷u h¹n chiÒu
2.2.2. Tèc ®é héi tô
2.3.
KÕt luËn
43
Tµi liÖu tham kh¶o
44
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn3
Më ®Çu
Cho
hîp cña
X
X,
lµ mét kh«ng gian Banach ph¶n x¹ thùc,
c¶ hai cã chuÈn ®Òu ®îc kÝ hiÖu lµ
tö ®¬n ®iÖu ®¬n trÞ vµ
t×m
x0 ∈ K
K
X∗
lµ kh«ng gian liªn
k.k, A : X → X ∗
lµ mét tËp con låi ®ãng trong
lµ to¸n
X . Víi f ∈ X ∗ , h·y
sao cho
hA(x0 ) − f, x − x0 i ≥ 0 ∀x ∈ K,
ë ®©y
hx∗ , xi
x ∈ X.
kÝ hiÖu gi¸ trÞ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc
(0.1)
x∗ ∈ X ∗
t¹i
Bµi to¸n ®îc gäi lµ bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (variational
inequality). NÕu
K≡X
th× bµi to¸n (0.1) cã d¹ng ph¬ng tr×nh to¸n tö
A(x) = f.
(0.2)
BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu lµ líp bµi to¸n n¶y sinh ra tõ nhiÒu
vÊn ®Ò cña to¸n häc øng dông nh ph¬ng tr×nh vi ph©n, c¸c bµi to¸n vËt lý
to¸n, tèi u ho¸. Ngoµi ra nhiÒu vÊn ®Ò thùc tÕ nh c¸c bµi to¸n c©n b»ng
m¹ng giao th«ng ®« thÞ, c¸c m« h×nh c©n b»ng kinh tÕ.... ®Òu cã thÓ m« t¶
®îc díi d¹ng cña mét bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu. RÊt tiÕc lµ bÊt
®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu, nãi chung, l¹i lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh.
Do tÝnh kh«ng æn ®Þnh cña bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh nªn viÖc gi¶i sè
cña nã gÆp khã kh¨n. Lý do lµ mét sai sè nhá trong d÷ kiÖn cña bµi to¸n
cã thÓ dÉn ®Õn mét sai sè bÊt kú trong lêi gi¶i. V× thÕ n¶y sinh vÊn ®Ò t×m
c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i æn ®Þnh cho c¸c bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh, sao cho
khi sai sè cña d÷ kiÖn ®Çu vµo cµng nhá th× nghiÖm xÊp xØ t×m ®îc cµng
gÇn víi nghiÖm ®óng cña bµi to¸n ban ®Çu.
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn4
N¨m 1963, A. N. Tikhonov ®a ra ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh næi tiÕng vµ
kÓ tõ ®ã lý thuyÕt c¸c bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh ®îc ph¸t triÓn hÕt søc s«i
®éng vµ cã mÆt ë hÇu hÕt c¸c bµi to¸n thùc tÕ.
Môc ®Ých cña ®Ò tµi luËn v¨n nh»m nghiªn cøu mét ph¬ng ph¸p gi¶i
æn ®Þnh bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu trªn c¬ së x©y dùng nghiÖm hiÖu
chØnh h÷u h¹n chiÒu cho bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n . Nghiªn cøu sù héi tô vµ
®¸nh gi¸ tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh víi to¸n tö ngîc ®¬n ®iÖu
m¹nh trong kh«ng gian Banach ph¶n x¹ thùc dùa trªn viÖc chän tham sè
hiÖu chØnh tiªn nghiÖm.
Néi dung cña luËn v¨n ®îc tr×nh bµy trong hai ch¬ng. Ch¬ng 1 tr×nh
bµy mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n nhÊt vÒ to¸n tö ®¬n ®iÖu, bµi to¸n ®Æt kh«ng
chØnh vµ bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n.
Trong ch¬ng 2 sÏ tr×nh bµy ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh Tikhonov cho bÊt
®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu. KÕt qu¶ chÝnh cña ch¬ng nµy lµ ®¸nh gi¸
tèc ®é héi tô cña ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh víi tham sè hiÖu chØnh ®îc chän
tiªn nghiÖm. §ång thêi x©y dùng nghiÖm hiÖu chØnh h÷u h¹n chiÒu vµ ®¸nh
gi¸ tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh nµy.
ë phÇn cuèi cña ch¬ng lµ kÕt
qu¶ sè cã tÝnh chÊt minh ho¹ cho ph¬ng ph¸p nghiªn cøu, ch¬ng tr×nh
thùc nghiÖm ®îc viÕt b»ng ng«n ng÷ MATLAB.
KÕt qu¶ vÒ sù héi tô vµ tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh h÷u h¹n
chiÒu cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (0.1) ®îc ®¨ng t¶i trªn T¹p chÝ Khoa
häc vµ C«ng nghÖ §¹i häc Th¸i Nguyªn, sè 5 n¨m 2009.
Em mong muèn bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi c« gi¸o TiÕn sÜ NguyÔn
ThÞ Thu Thuû, c« ®· rÊt tËn t×nh híng dÉn, chØ b¶o em trong suèt thêi gian
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn5
em thùc hiÖn khãa luËn vµ trùc tiÕp híng dÉn em hoµn thµnh khãa luËn
nµy.
Em xin göi lêi c¶m ¬n ch©n thµnh tíi c¸c gi¸o s , tiÕn sÜ ë ViÖn To¸n
häc , ViÖn C«ng nghÖ th«ng tin thuéc ViÖn Khoa häc vµ C«ng nghÖ ViÖt
nam, c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o trong Trêng §¹i häc Khoa häc nãi chung vµ
Khoa To¸n-Tin nãi riªng ®· hÕt lßng gi¶ng d¹y, truyÒn ®¹t cho em nhiÒu
kiÕn thøc khoa häc trong suèt thêi gian em häc tËp t¹i Trêng.
Cuèi cïng, t«i xin göi lêi c¶m ¬n tíi nh÷ng ngêi th©n, nh÷ng ngêi
b¹n cña t«i ®· ®éng viªn vµ cæ vò t«i rÊt nhiÒu trong suèt thêi gian võa qua.
Do ®iÒu kiÖn, thêi gian vµ tr×nh ®é cã h¹n nªn khãa luËn nµy kh«ng
tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. T«i rÊt mong nhËn ®îc nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp
quý b¸u cña c¸c quý thÇy c« vµ toµn thÓ c¸c b¹n.
Th¸i Nguyªn, th¸ng 10 n¨m 2009
L¬ng ThÞ Thu Thuû
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn6
Mét sè ký hiÖu vµ ch÷ viÕt t¾t
H
kh«ng gian Hilbert thùc
X
kh«ng gian Banach thùc
X∗
kh«ng gian liªn hîp cña
Rn
kh«ng gian Euclide
∅
tËp rçng
X
n chiÒu
x := y
x ®îc ®Þnh nghÜa b»ng y
∀x
víi mäi
∃x
tån t¹i
inf F (x)
x∈X
x
x
infimum cña tËp
{F (x) : x ∈ X}
I
¸nh x¹ ®¬n vÞ
AT
ma trËn chuyÓn vÞ cña ma trËn
a∼b
a t¬ng ®¬ng víi b
A∗
to¸n tö liªn hîp cña to¸n tö
D(A)
R(A)
xk → x
xk * x
miÒn x¸c ®Þnh cña to¸n tö
miÒn gi¸ trÞ cña to¸n tö
d·y
A
A
A
A
{xk } héi tô m¹nh tíi x
d·y
{xk } héi tô yÕu tíi x
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn7
Ch¬ng 1
BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n ®¬n ®iÖu vµ bµi
to¸n ®Æt kh«ng chØnh
1.1.
Mét sè kiÕn thøc bæ trî
Trong môc nµy chóng t«i tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n cña gi¶i
tÝch hµm vµ gi¶i tÝch hµm phi tuyÕn cã liªn quan ®Õn néi dung nghiªn cøu
cña ®Ò tµi. C¸c kiÕn thøc nµy ®îc tham kh¶o trong c¸c tµi liÖu [1], [2], [3],
[4], [5] vµ [8].
1.1.1. Kh«ng gian Banach
§Þnh nghÜa 1.1.1.
Kh«ng gian Banach lµ mét kh«ng gian ®Þnh chuÈn ®Çy
®ñ.
VÝ dô 1.1.1.
Kh«ng gian
Lp [a, b], 1 ≤ p < ∞
x(t) x¸c ®Þnh vµ p-kh¶ tÝch trªn ®o¹n [a, b]
víi c¸c phÇn tö lµ c¸c hµm
Rb
sao cho
|x(t)|p dt < ∞, lµ mét
a
kh«ng gian Banach víi chuÈn
Z
kxk =
b
1/p
|x(t)| dt
.
p
a
Cho
X
lµ kh«ng gian Banach thùc,
Kh«ng gian liªn hîp cña
vµ kÝ hiÖu lµ
X∗
X ∗∗ , tøc lµ X ∗∗
X∗
lµ kh«ng gian liªn hîp cña
®îc gäi lµ kh«ng gian liªn hîp thø hai cña
=
L( X ∗ , R).
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn8
X.
X
§Þnh nghÜa 1.1.2.
Kh«ng gian ®Þnh chuÈn
X
gäi lµ kh«ng gian ph¶n x¹ nÕu
X = X ∗∗ .
VÝ dô 1.1.2.
Lp [0, 1], p > 1
lµ mét kh«ng gian ph¶n x¹. Mäi kh«ng gian
®Þnh chuÈn h÷u h¹n chiÒu ®Òu ph¶n x¹.
§Þnh nghÜa 1.1.3.
1) låi nÕu
TËp
M ⊂X
∀x, y ∈ M, ∀λ ∈ [0, 1] ta cã λx + (1 − λ)y ∈ M ;
2) compact nÕu mäi d·y
mét phÇn tö
®îc gäi lµ
{xn } ⊂ M
tô yÕu ®Õn mét phÇn tö
héi tô ®Õn
§Þnh nghÜa 1.1.4.
®Òu chøa mét d·y con
x nk
héi
{xn } ⊂ M , xn → x (xn * x) th× x ∈ M.
D·y c¸c phÇn tö
gäi lµ héi tô m¹nh ®Õn phÇn tö
xn
{xn } ⊂ M
x0 ∈ M ;
4) ®ãng (®ãng yÕu) nÕu
ta cã
x nk
x0 ∈ M ;
3) compact yÕu nÕu mäi d·y
c¸c phÇn tö
®Òu chøa d·y con
x0
xn
khi
trong kh«ng gian Banach
X
®îc
n → ∞ nÕu k xn − x0 k−→ 0. D·y
®îc gäi lµ héi tô yÕu ®Õn phÇn tö
x0
nÕu víi mäi
f ∈ X∗
f (xn ) → f (x0 ) , khi n → ∞.
Ta sÏ sö dông kÝ hiÖu
→
®Ó chØ sù héi tô m¹nh vµ
*
®Ó chØ sù héi tô
yÕu. Víi ®Þnh nghÜa nh trªn ta cã (xem [2]):
1) Tõ sù héi tô m¹nh cña d·y
{xn } suy ra sù héi tô yÕu cña d·y ®ã.
2) Giíi h¹n yÕu cña mét d·y nÕu cã lµ duy nhÊt.
3) Mäi d·y héi tô yÕu ®Òu giíi néi.
4) NÕu
X lµ kh«ng gian ph¶n x¹ th× xn * x khi vµ chØ khi d·y {hf, xn i}
héi tô trong
5) NÕu
R víi mäi f ∈ X ∗ .
xn * x0
th×
kx0 k ≤ limn→∞ kxn k.
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn9
? NhËn xÐt: Mét sè trêng hîp tõ héi tô yÕu cã thÓ suy ra héi tô m¹nh lµ:
1)
X
2)
{xn } ⊂ M , ë ®©y M
lµ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu.
§Þnh lý 1.1.1.
vµ gi¶ sö d·y
trong
lµ mét tËp compact trong
(Banach-Steinhaus) Cho
{hfn , xi}
X
bÞ chÆn víi mäi
X.
lµ kh«ng gian Banach,
x ∈ X.
Khi ®ã d·y
fn ∈ X ∗
{fn }
bÞ chÆn
X ∗.
§Þnh lý 1.1.2.
héi tô yÕu ®Õn
Gi¶ sö
x∈X
héi tô m¹nh tíi
{fn } ⊂ X ∗
hoÆc
héi tô m¹nh ®Õn
f ∈ X∗
vµ
{xn } ⊂ X
{fn } ⊂ X ∗ héi tô yÕu ®Õn f ∈ X ∗ vµ {xn } ⊂ X
x ∈ X. Khi ®ã lim hfn , xn i = hf, xi.
§Þnh nghÜa 1.1.5.
n→∞
Cho
X
lµ kh«ng gian Banach ph¶n x¹ thùc,
X
®îc gäi
lµ kh«ng gian cã tÝnh chÊt Ephimov-Stechkin (hay tÝnh chÊt E-S) nÕu trong
X
sù héi tô yÕu c¸c phÇn tö
lu«n kÐo theo sù héi tô m¹nh
xn * x
vµ sù héi tô chuÈn
kxn k → kxk
kxn − xk → 0 .
1.1.2. PhiÕm hµm låi nöa liªn tôc díi
Cho
X, Y
lµ c¸c kh«ng gian Banach, to¸n tö
tö ®¬n trÞ. Chóng ta kÝ hiÖu miÒn x¸c ®Þnh cña
A:X→Y
lµ mét to¸n
A lµ D(A) víi
D(A) = domA = {x ∈ X|Ax 6= ∅}
vµ miÒn gi¸ trÞ lµ
R(A) = {f ∈ Y |f ∈ Ax, x ∈ D(A)}.
§Þnh nghÜa 1.1.6.
1)
To¸n tö
A gäi lµ tuyÕn tÝnh nÕu
A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2
víi mäi
x1 , x 2 ∈ X ;
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn10
2)
NÕu
f
A(αx) = αAx víi mäi x ∈ X , ∀α ∈ R.
Y ≡R
th× ta cã phiÕm hµm tuyÕn tÝnh
f
víi miÒn x¸c ®Þnh cña hµm
lµ
domf = {x ∈ X|f (x) 6= ∅}.
§Þnh nghÜa 1.1.7.
To¸n tö
A ®îc gäi lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc nÕu
nã lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh, ®ång thêi lµ to¸n tö liªn tôc gi÷a hai kh«ng gian
X
vµ
Y.
VÝ dô 1.1.3.
Cho
X = Rk , Y = Rm , to¸n tö A ®îc x¸c ®Þnh bëi
A(x1 , x2 , ..., xk ) = (y1 , y2 , ..., ym )
víi
yi =
k
X
aij xj ,
i = 1, . . . , m
(1.1)
j=1
trong ®ã
aij
tö tuyÕn tÝnh
Rk
vµo
lµ c¸c h»ng sè.
A
Ma trËn
(aij )k×m
gäi lµ ma trËn cña to¸n
vµ (1.1) lµ d¹ng tæng qu¸t cña mäi to¸n tö tuyÕn tÝnh tõ
Rm . Mét to¸n tö tuyÕn tÝnh tõ Rk
§Þnh nghÜa 1.1.8.
To¸n tö tuyÕn tÝnh
(giíi néi) nÕu tån t¹i sè
vµo
Rm
bao giê còng liªn tôc.
A : X → Y
®îc gäi lµ bÞ chÆn
K > 0 tháa m·n:
kAxkY 6 K.kxkX , ∀x ∈ X.
VÝ dô 1.1.4.
Cho
A : L2 [a, b] → L2 [a, b] lµ mét to¸n tö x¸c ®Þnh bëi
Zb
(Aϕ)(x) =
K(x, s)ϕ(s)ds,
a
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn11
trong ®ã
K(x, s) lµ mét hµm hai biÕn cã b×nh ph¬ng kh¶ tÝch, nghÜa lµ
Z bZ b
K 2 (x, s)dxds = N 2 < ∞.
a
Khi ®ã,
a
A lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc. To¸n tö nµy gäi lµ to¸n tö tÝch
ph©n Fredholm sinh bëi h¹ch
Cho
§Þnh nghÜa 1.1.9.
K(x, s).
A:X→Y
lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc. Khi
®ã sè
inf{K, K > 0 : kAxk 6 K.kxk, ∀x ∈ X}
®îc gäi lµ chuÈn cña to¸n tö
A, kÝ hiÖu lµ kAk.
? NhËn xÐt:
1) Ba chuÈn thêng dïng trong
n
X
kxk1 =
|xi |, kxk2 =
i=1
ë ®©y
Rn
n
X
2
|xi |
1/2
, kxk∞ = max |xi |,
1≤i≤n
i=1
x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn .
2) Trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu
ma trËn
th× ba chuÈn t¬ng øng cña
A lµ:
kAk1 = max
1≤j≤n
trong ®ã
n
X
1
2
T
|aij |, kAk2 = { max λi (A A)} , kAk∞ = max
1≤i≤n
i=1
1≤i≤n
n
X
|aij |,
j=1
λi (AT A) lµ c¸c gi¸ trÞ riªng cña ma trËn ®èi xøng AT A.
Víi to¸n tö
ta sÏ viÕt
KÝ hiÖu
Rn , khi cã mét c¬ së cè ®Þnh, to¸n
A ®îc cho bëi ma trËn (aij )ni,j=1
tö tuyÕn tÝnh
Y,
lµ:
r:X→Y
tõ kh«ng gian Banach
r(x) = o(kxk)
víi
x → θX ,
nÕu
X vµo kh«ng gian Banach
r(x)/kxk → 0
khi
x → θX .
L(X, Y ) lµ tËp tÊt c¶ c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc T : X → Y .
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn12
Cho
§Þnh nghÜa 1.1.10.
X
A:X→Y
vµo kh«ng gian Banach
lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian Banach
Y . To¸n tö A ®îc gäi lµ kh¶ vi FrÐchet t¹i ®iÓm
x ∈ X , nÕu tån t¹i T ∈ L(X, Y ) sao cho
A(x + h) = A(x) + T h + o(khk),
víi mäi
h thuéc mét l©n cËn cña ®iÓm θ. NÕu tån t¹i th× T
A t¹i x, vµ ta viÕt A0 (x) = T .
hµm FrÐchet cña
Hµm
§Þnh nghÜa 1.1.11.
víi mäi
x, y ∈ X
f : X → R ∪ {+∞}
®îc gäi lµ låi trªn
f
X
nÕu
ta cã
f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y),
Hµm
®îc gäi lµ ®¹o
låi ngÆt trªn
X
∀t ∈ [0, 1].
nÕu bÊt ®¼ng thøc trªn kh«ng x¶y ra dÊu b»ng víi
x 6= y .
§Þnh nghÜa 1.1.12.
nÕu víi mäi d·y
Hµm
f :X→R
®îc gäi lµ nöa liªn tôc díi trªn
X
{xn } : xn → x th×
lim inf f (xn ) ≥ f (x), ∀x ∈ X.
n→∞
§Þnh nghÜa 1.1.13.
X
nÕu víi mäi d·y
Hµm
f : X → R ®îc gäi lµ nöa liªn tôc díi yÕu trªn
{xn } : xn * x th×
lim inf f (xn ) ≥ f (x), ∀x ∈ X.
n→∞
§Þnh nghÜa 1.1.14.
Hµm
1) chÝnh thêng nÕu
2) h÷u h¹n nÕu
f : X → R ®îc gäi lµ
domf 6= ∅ vµ f (x) > −∞, ∀x ∈ X;
|f (x)| < ∞, ∀x ∈ X.
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn13
§Þnh nghÜa 1.1.15.
tån t¹i
x∗ ∈ X ∗
Hµm
f
®îc gäi lµ kh¶ vi G©teaux t¹i ®iÓm
f (x + λy) − f (x)
= hx∗ , yi,
λ→+0
λ
x∗
®îc gäi lµ ®¹o hµm G©teaux cña
§Þnh nghÜa 1.1.16.
cÇu ®¬n vÞ
kÐo theo
nÕu
sao cho
∀y ∈ X.
lim
vµ
x∈X
f
t¹i
Kh«ng gian ®Þnh chuÈn
S = {∀x ∈ X : kxk = 1}
kx + yk < 2
cña
x, kÝ hiÖu lµ f 0 (x).
X
X
®îc gäi lµ låi chÆt nÕu mÆt
lµ låi chÆt, tøc lµ tõ
(nãi c¸ch kh¸c biªn cña
S
x, y ∈ S
kh«ng chøa bÊt k× mét
®o¹n th¼ng nµo).
VÝ dô 1.1.5.
Kh«ng gian
Lp [a, b], 1 < p < ∞ lµ kh«ng gian låi chÆt.
1.1.3. To¸n tö ®¬n ®iÖu
Cho
X
vµo
A : X → X ∗ lµ to¸n tö ®¬n trÞ tõ kh«ng gian Banach ph¶n x¹ thùc
X ∗ víi miÒn x¸c ®Þnh lµ D(A) ⊆ X
(th«ng thêng ta coi
nÕu kh«ng nãi g× thªm) vµ miÒn gi¸ trÞ (miÒn ¶nh)
§Þnh nghÜa 1.1.17.
To¸n tö
D(A) ≡ X
R(A) n»m trong X ∗ .
A ®îc gäi lµ ®¬n ®iÖu nÕu
hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0,
∀x, y ∈ D(A).
A ®îc gäi lµ ®¬n ®iÖu chÆt nÕu dÊu b»ng chØ ®¹t ®îc khi x = y .
§Þnh nghÜa 1.1.18.
NÕu
∀x ∈ X
tö x¸c ®Þnh kh«ng ©m, kÝ hiÖu lµ
?
NhËn xÐt: NÕu
A
ta cã
hAx, xi ≥ 0 th× A ®îc gäi lµ to¸n
A ≥ 0.
lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian Banach
th× tÝnh ®¬n ®iÖu t¬ng ®¬ng víi tÝnh x¸c ®Þnh kh«ng ©m cña to¸n tö.
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn14
X
§Þnh nghÜa 1.1.19.
kh«ng ©m
To¸n tö
A ®îc gäi lµ ®¬n ®iÖu ®Òu nÕu tån t¹i mét hµm
δ(t), kh«ng gi¶m víi t ≥ 0, δ(0) = 0 vµ
hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ(kx − yk),
NÕu
δ(t) = cA t2
víi
cA
∀x, y ∈ D(A).
lµ mét h»ng sè d¬ng th× to¸n tö
A ®îc gäi lµ ®¬n
®iÖu m¹nh.
§Þnh nghÜa 1.1.20.
To¸n tö A ®îc gäi lµ h-liªn tôc trªn X nÕu A(x+ty)
*
Ax khi t → 0 víi ∀x, y ∈ X vµ d-liªn tôc nÕu xn → x th× suy ra Axn * Ax.
Chó ý r»ng nÕu
A
lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu vµ
h-liªn
tôc th×
A
lµ to¸n tö
d-liªn
tôc.
§Þnh nghÜa 1.1.21.
To¸n tö
A ®îc gäi lµ to¸n tö bøc, nÕu
hA(x), xi
= +∞.
kxk
kxk→+∞
lim
§Þnh nghÜa 1.1.22.
¸nh x¹ U s : X → X ∗ (nãi chung ®a trÞ) x¸c ®Þnh bëi
U s (x) = {x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , xi = kx∗ ks−1 .kxk = kxks }, s ≥ 2
®îc gäi lµ ¸nh x¹ ®èi ngÉu tæng qu¸t cña kh«ng gian
X.
th×
Us
thêng ®îc viÕt lµ
chuÈn t¾c cña
X.
TÝnh ®¬n trÞ cña ¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c ®îc cho
Khi
s = 2
U
vµ ®îc gäi lµ ¸nh x¹ ®èi ngÉu
trong mÖnh ®Ò sau.
MÖnh ®Ò 1.1.1.
(xem [5]) Gi¶ sö
X
lµ mét kh«ng gian Banach. Khi ®ã,
1)
U (x) lµ tËp låi, U (λx) = λU (x) víi mäi λ ∈ R;
2)
U
lµ ¸nh x¹ ®¬n trÞ khi vµ chØ khi
X∗
lµ kh«ng gian låi chÆt.
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn15
? NhËn xÐt:
H,
1) Trong kh«ng gian Hilbert
to¸n tö ®¬n vÞ
2)
I
trong
¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c chÝnh lµ
H.
¸nh x¹ ®èi ngÉu lµ mét trong nh÷ng vÝ dô vÒ to¸n tö ®¬n ®iÖu, nã
tån t¹i trong mäi kh«ng gian Banach.
Víi
gian
Rn
X = Lp (Ω), 1 < p < ∞
vµ
th× ¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c
U
Ω
lµ mét tËp ®o ®îc cña kh«ng
cã d¹ng
(U x)(t) = kxk2−p |x(t)|p−2 x(t),
Gi¶ thiÕt r»ng ¸nh x¹ ®èi ngÉu
Us
t ∈ Ω.
tháa m·n
hU s (x) − U s (y), x − yi ≥ mU kx − yks ,
kU s (x) − U s (y)k ≤ C(R)kx − ykν ,
ë ®©y
(1.2)
0 < ν ≤ 1,
(1.3)
C(R) lµ mét hµm d¬ng vµ ®¬n ®iÖu t¨ng theo R = max{kxk, kyk}
(xem [1] vµ tµi liÖu dÉn). NÕu
vµ
mU > 0,
X lµ kh«ng gian Hilbert H th× mU = 1, ν = 1
C(R) = 1.
§Þnh lý 1.1.3.
(xem [5]) NÕu
®èi ngÉu chuÈn t¾c
H¬n n÷a, nÕu
X
X∗
lµ kh«ng gian Banach låi chÆt th× ¸nh x¹
U : X → X∗
lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu, bøc vµ
lµ kh«ng gian Banach låi chÆt th×
U
d-liªn
tôc.
lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu
chÆt.
§Þnh nghÜa 1.1.23.
Cho
X
lµ kh«ng gian Banach ph¶n x¹,
mét phiÕm hµm låi, chÝnh thêng trªn
f :X →R
lµ
X . Ta ®Þnh nghÜa ∂f (x) bëi
∂f (x) = {x∗ ∈ X ∗ : f (x) ≤ f (y) + hx∗ , x − yi, ∀y ∈ X}.
PhÇn tö
x∗ ∈ X ∗
®îc gäi lµ díi Gradient cña hµm
gäi lµ díi vi ph©n cña
f
t¹i
f
t¹i
x vµ ∂f (x) ®îc
x.
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn16
? NhËn xÐt:
1)
∂f (x) lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu (nãi chung ®a trÞ) tõ X
2)
∂f (x) lµ mét tËp låi ®ãng.
1.2.
vµo
X ∗.
Bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh
1.2.1. Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh
XÐt mét bµi to¸n ë d¹ng ph¬ng tr×nh to¸n tö
A(x) = f,
ë ®©y
A : X → Y
gian Banach
Y, f
(1.4)
lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian Banach
lµ phÇn tö thuéc
Y.
X
vµo kh«ng
Sau ®©y lµ mét ®Þnh nghÜa cña J.
Hadamard:
§Þnh nghÜa 1.2.1.
Cho
A
lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian
X
vµo kh«ng gian
Y . Bµi to¸n (1.4) ®îc gäi lµ bµi to¸n ®Æt chØnh nÕu
1) ph¬ng tr×nh
A(x) = f
cã nghiÖm víi mäi
f ∈Y;
2) nghiÖm duy nhÊt vµ;
3) nghiÖm phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ban ®Çu.
NÕu Ýt nhÊt mét trong ba ®iÒu kiÖn trªn kh«ng tho¶ m·n th× bµi to¸n
(1.4) ®îc gäi lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh.
? NhËn xÐt:
1) Bµi to¸n t×m nghiÖm
x phô thuéc vµo d÷ kiÖn f , nghÜa lµ x = R(f ),
®îc gäi lµ æn ®Þnh trªn cÆp kh«ng gian
(X, Y ) nÕu víi mçi ε > 0 cã thÓ t×m
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn17
®îc mét sè
δ(ε) > 0,
sao cho tõ
ρY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε)
ta cã
ρX (x1 , x2 ) ≤ ε,
ë ®©y
f1 , f2 ∈ Y, x1 , x2 ∈ X.
x1 = R(f1 ), x2 = R(f2 ),
2) Mét bµi to¸n cã thÓ ®Æt chØnh trªn cÆp kh«ng gian nµy nhng l¹i ®Æt
kh«ng chØnh trªn cÆp kh«ng gian kh¸c.
Trong nhiÒu øng dông th× vÕ ph¶i cña (1.4) thêng ®îc cho bëi ®o
®¹c, nghÜa lµ thay cho gi¸ trÞ chÝnh x¸c
m·n
kfδ − f k ≤ δ .
Gi¶ sö
xδ
thiÕt r»ng nghiÖm tån t¹i). Khi
kh«ng chØnh th×
xδ
f
ta chØ biÕt xÊp xØ
lµ nghiÖm cña (1.4) víi
δ→0
th×
fδ → f
nãi chung kh«ng héi tô ®Õn
f
fδ
cña nã tho¶
thay bëi
fδ
(gi¶
nhng víi bµi to¸n ®Æt
x.
1.2.2. VÝ dô vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh
Sau ®©y ta sÏ chØ ra mét vÝ dô vÒ to¸n tö
A
mµ (1.4) lµ bµi to¸n ®Æt
kh«ng chØnh.
§Þnh nghÜa 1.2.2.
To¸n tö (phi tuyÕn)
A ®îc gäi lµ liªn tôc m¹nh, nÕu nã
¸nh x¹ mäi d·y héi tô yÕu thµnh d·y héi tô m¹nh tøc lµ nÕu
xn * x suy ra
Axn → Ax.
MÖnh ®Ò 1.2.1.
NÕu
(xem [4]) Cho
X
vµ
Y
lµ c¸c kh«ng gian Banach thùc.
A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh compact th× A liªn tôc m¹nh.
NÕu
A
lµ to¸n tö liªn tôc m¹nh th× bµi to¸n (1.4) (v« h¹n chiÒu) nãi
chung lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. ThËt vËy,gi¶ sö
tô yÕu ®Õn
x, xn * x, xn 6→ x
liªn tôc m¹nh cña
vµ
{xn } lµ mét d·y chØ héi
yn = A(xn ), y = A(x).
A suy ra yn → y
Khi ®ã do tÝnh
vµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
A(x) = f
kh«ng phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ban ®Çu.
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn18
- Xem thêm -
.PDF 
47 
182 
60 
