Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Tốc độ hội tụ và luật số lớn đối với mảng các biến ngẫn nhiên (tt)...

Tài liệu Tốc độ hội tụ và luật số lớn đối với mảng các biến ngẫn nhiên (tt)

.PDF
27
188
82

Mô tả:

UBND THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN ---------------------------- BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI MẢNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN Mã số: CS2013-15 Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Văn Huấn Thành viên tham gia: ThS. Trần Thanh Bình TP. Hồ Chí Minh, 03/2014 UBND THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN ---------------------------- BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI MẢNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN Mã số: CS2013-15 Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Văn Huấn Thành viên tham gia: ThS. Trần Thanh Bình TP. Hồ Chí Minh, 03/2014 i MỤC LỤC Mở đầu 1 Chương 1. Các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ 3 1.1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ 4 . . . . . . . . . . . Chương 2. Tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ 8 2.1. Tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn 8 . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Kết luận 22 Tài liệu tham khảo 23 1 MỞ ĐẦU Hsu và Robbins [7] đã giới thiệu khái niệm hội tụ đầy đủ và chứng minh rằng dãy trung bình số học của các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối hội tụ đầy đủ đến giá trị kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên nếu phương sai các biến ngẫu nhiên hữu hạn. Điều ngược lại đã được chứng minh bởi Erd¨s [4, 5]. Kết quả của o Hsu, Robbins và Erd¨s trở thành một định lý cơ sở và nhận được sự quan tâm o của nhiều tác giả. Một kết quả quan trọng mở rộng định lý Hsu-Robbins-Erd¨s o được xuất hiện trong bài báo nổi tiếng của Baum và Katz [3]. Các tác giả đã sử dụng phương pháp đối xứng hóa để thiết lập định lý đánh giá tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn. Các kết quả trong [3, 4, 5, 7] đã mở ra những hướng nghiên cứu có tính thời sự liên quan đến sự hội tụ đầy đủ và đánh giá tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn. Trong lý thuyết xác suất, tính độc lập của các biến ngẫu nhiên là một tính chất mạnh và đã được nghiên cứu rộng rãi. Sau đó, nhiều kiểu phụ thuộc khác của các biến ngẫu nhiên cũng đã được xét đến. Chẳng hạn như: phụ thuộc martingale, phụ thuộc Markov, m-phụ thuộc, m-phụ thuộc theo khối, phụ thuộc âm, phụ thuộc dương, liên kết âm, liên kết dương, mixing,... Khái niệm các biến ngẫu nhiên liên kết âm đã được giới thiệu bởi Alam và Saxena [1]. Sau đó, Joag-Dev và Proschan [8] đã chứng minh nhiều tính chất quan trọng của các biến ngẫu nhiên liên kết âm và chỉ ra nhiều phân phối quan trọng trong thống kê có tính chất liên kết âm. Gần đây, Ko, Kim và Han [9] đã phát triển khái niệm liên kết âm cho các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực sang trường hợp các véc tơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian véctơ thực Rd , trường hợp các véc tơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert thực 2 khả ly và họ đã thu được sự hội tụ hầu chắc chắn cho các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm. Công cụ chìa khóa để họ nghiên cứu sự hội tụ hầu chắc chắn là một bất đẳng thức moment đối với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm có kỳ vọng không. Bất đẳng thức moment của Ko, Kim và Han [9] tiếp tục được sử dụng bởi Miao [14] khi chứng minh bất đẳng thức cực đại Hájek-Rényi và bởi Thanh [17] khi thiết lập luật mạnh số lớn. Trong đề tài này, chúng tôi tập trung nghiên cứu về tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ. Chúng tôi cũng chỉ ra rằng lớp các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ thực sự rộng hơn lớp các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm được giới thiệu bởi Ko, Kim và Han [9]. Hơn nữa, bất đẳng thức moment trong [9] đã được nâng cấp. Các kết quả của đề tài đã được báo cáo tại Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 8 (Trường Sĩ quan Thông tin, 8/2013) và đã được viết thành một bài báo khoa học: Nguyen Van Huan, Nguyen Van Quang and Nguyen Tran Thuan, BaumKatz type theorems for coordinatewise negatively associated random vectors in Hilbert spaces, Acta Mathematica Hungarica (accepted, February 2014). Về cấu trúc, ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, phần nội dung chính của đề tài được trình bày trong hai chương. Chương 1 chủ yếu được dành để giới thiệu khái niệm các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ và chứng minh một bất đẳng thức moment đối với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ. Các kết quả chính của Chương 1 là Định nghĩa 1.2.2 và Mệnh đề 1.2.6. Chương 2 trình bày điều kiện cần và đủ cho tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ. Kỹ thuật được sử dụng để chứng minh các kết quả này là kỹ thuật chặt cụt đơn điệu. Chúng tôi cũng đề cập một số nhận xét và ví dụ để làm sáng tỏ hơn cho các kết quả và những vấn đề liên quan. Các kết quả chính của Chương 2 là Định lý 2.1.2 và Định lý 2.1.7. 3 CHƯƠNG 1 CÁC VÉCTƠ NGẪU NHIÊN LIÊN KẾT ÂM THEO TỌA ĐỘ Trong chương này, chúng tôi giới thiệu khái niệm các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ và chỉ ra rằng khái niệm này tổng quát hơn khái niệm véctơ ngẫu nhiên liên kết âm của Ko, Kim và Han [9]. Chúng tôi cũng thiết lập bất đẳng thức moment đối với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ. Kết quả này khắc phục được sai sót trước đó trong [9]. Mục đầu của chương được dành để trình bày phần kiến thức chuẩn bị để dùng chung cho cả đề tài. 1.1. Kiến thức chuẩn bị Trong đề tài này, R là tập các số thực, C là một hằng số dương và giá trị của nó có thể khác nhau giữa các lần xuất hiện. Cho trước số thực âm α và hàm f : R → R, ký hiệu f (n) = o(nα ) được hiểu là f (n)/nα → 0 khi n → ∞. Với A là một tập hợp, |A| là lực lượng của tập hợp A. H là một không gian Hilbert thực, khả ly với phép nhân trong ·, · và chuẩn · . Biến ngẫu nhiên được hiểu là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị thực, véctơ ngẫu nhiên được hiểu là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian véctơ thực Rd hay không gian Hilbert thực khả ly. Với X là một phần tử ngẫu nhiên, kỳ vọng và phương sai của X lần lượt được ký hiệu bởi EX và VarX . Ta nói X có kỳ vọng không thay cho cách viết EX = 0. Với {ej , j 1} là một cơ sở trực chuẩn của H và X là một véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong H , X, ej sẽ được ký hiệu bởi X (j) . Giả sử {Xn , n 1} là các véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong H . Khi đó, 4 cấu trúc của {Xn , n 1} được thể hiện dưới dạng mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên như sau: (1) (2) X1 (1) X2 X1 (2) X2 (1) Xn Xn ... ... ... (2) ... (d) ... X1 ... (d) ... X2 ... ... ... ... (d) ... ... Xn ... ... ..., (d) trong đó Xn là biến ngẫu nhiên với mọi n Giả sử {X, Xn , n 1 và d 1. 1} là các véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong H . Ta xét bất đẳng thức kẹp sau đây C1 P(|X (j) | > t) 1 n n (j) P(|Xk | > t) C2 P(|X (j) | > t). (1.1.1) k=1 Nếu tồn tại hằng số dương C1 (tương ứng, C2 ) thỏa mãn vế trái (tương ứng, vế phải) của (1.1.1) với mọi j 1, n 1 và t 0 thì ta nói {Xn , n 1} bị chặn dưới yếu theo tọa độ (tương ứng, bị chặn trên yếu theo tọa độ ) bởi X . Ta nói {Xn , n 1} là các véctơ ngẫu nhiên bị chặn yếu theo tọa độ bởi X nếu nó vừa bị chặn dưới yếu và bị chặn trên yếu theo tọa độ bởi X . Rõ ràng, nếu {Xn , n 1} là các véctơ ngẫu nhiên cùng phân phối thì nó bị chặn yếu theo tọa độ bởi X1 . 1.2. Các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên. Khi đó, giá trị E (X − EX)(Y − EY ) (nếu tồn tại) được gọi là hiệp phương sai của X và Y , ký hiệu là Cov(X, Y ). Rõ ràng nếu X , Y độc lập thì Cov(X, Y ) = E(XY ) − EX EY = 0. Theo Alam và Saxena [1], họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên {Yi , 1 i n} được gọi là họ các biến ngẫu nhiên liên kết âm nếu với mọi tập con A, B rời nhau của tập {1, 2, ..., n}, với mọi hàm f, g không giảm theo tọa độ và tương ứng xác định trên R|A| , R|B| thì Cov f (Yi , i ∈ A), g(Yj , j ∈ B) 0 với điều kiện hiệp phương sai tồn tại. Họ vô hạn các biến ngẫu nhiên được gọi là họ các biến ngẫu nhiên liên kết âm nếu mọi họ con hữu hạn của họ này đều liên kết âm. 5 Ko, Kim và Han [9] đã phát triển khái niệm liên kết âm cho các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực sang trường hợp véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert thực khả ly. Để làm được điều này, các tác giả đã đưa ra khái niệm các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không gian véctơ thực Rd . Họ hữu hạn các véctơ ngẫu nhiên {Xi , 1 n} nhận giá trị trong i Rd được gọi là họ các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nếu với mọi tập con A, B rời nhau của tập {1, 2, ..., n}, với mọi hàm f, g không giảm theo tọa độ và tương ứng xác định trên Rd|A| , Rd|B| thì Cov f (Yi , i ∈ A), g(Yj , j ∈ B) 0 với điều kiện hiệp phương sai tồn tại. Họ vô hạn các véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian véctơ thực Rd được gọi là họ các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nếu mọi họ con hữu hạn của họ này đều liên kết âm. Khi đó, Ko, Kim và Han [9] đã giới thiệu khái niệm các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert thực khả ly theo cách tiếp cận như sau: 1.2.1 Định nghĩa. [9] Họ {Xn , n 1} các véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong H được gọi là họ các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nếu (1) (2) (d) Xn , Xn , ..., Xn là họ các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong Rd với mọi d ,n 1 1. Trong định nghĩa tiếp theo, chúng tôi sẽ giới thiệu một cách định nghĩa khá đơn giản về khái niệm các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert thực khả ly. Chú ý rằng, khái niệm này tổng quát hơn khái niệm các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm được đề cập trong Định nghĩa 1.2.1. 1.2.2 Định nghĩa. Họ {Xn , n 1} các véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong H được gọi là họ các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nếu với mỗi j (j) {Xn , n 1, 1} là họ các biến ngẫu nhiên liên kết âm. Hiển nhiên, các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ. Tuy nhiên, nói chung, điều ngược lại không đúng. Ví dụ sau đây sẽ cho ta thấy điều này. 6 2), {Yn , n = 1, 2, ..., d} 1.2.3 Ví dụ. Giả sử d là một số nguyên dương (d là các biến ngẫu nhiên và không là các biến ngẫu nhiên liên kết âm. Ta xét (d) (2) (1) họ Xn = (Xn , Xn , ..., Xn ), n = 1, 2, ..., d các véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị (n) trong Rd như sau: Với mỗi n = 1, 2, ..., d, Xn = Yn và với mỗi j = 1, 2, ..., d, (j) {Xn , n = 1, 2, ..., d} là các biến ngẫu nhiên độc lập. Khi đó {Xn , n = 1, 2, ..., d} là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, tuy nhiên {Xn , n = 1, 2, ..., d} không là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm. Ko, Kim và Han [9] đã thu được sự hội tụ hầu chắc chắn cho các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm. Công cụ chìa khóa để chứng minh kết quả này là một bất đẳng thức moment được cung cấp bởi mệnh đề sau đây. 1.2.4 Mệnh đề. [9] Giả sử {Xn , n 1} là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm, có kỳ vọng không, nhận giá trị trong H và E Xn k E max 1 k n 2 < ∞, n 1. Khi đó ta có n E Xi 2 , n Xi i=1 2 (1.2.1) 1. i=1 Nhớ rằng Bổ đề 1.2.4 cần được nâng cấp. Sự hạn chế của bổ đề này sẽ được chỉ ra trong ví dụ sau. 1.2.5 Ví dụ. Giả sử {X, Xn , n 1} là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối, có kỳ vọng không và moment cấp hai hữu hạn. Khi đó k E max 1 k 2 2 Xi = E max{|X1 |, |X1 + X2 |} 2 i=1 |X1 | + |X1 + X2 | + |X1 | − |X1 + X2 | =E 2 1 1 2 2 2 = EX1 + EX2 + E|X2 + 2X1 X2 | 2 2 1 1 2 2 2 EX1 + EX2 + |EX2 + 2E(X1 X2 )| 2 2 2 2 = EX1 + EX2 . 2 Do đó, nếu ta xét X là biến ngẫu nhiên đối xứng, nhận giá trong tập {−1; 1} thì 2 2 E|X2 + 2X1 X2 | = |EX2 + 2E(X1 X2 )|. Vì vậy (1.2.1) sai. 7 Mệnh đề sau đây sẽ tổng quát và nâng cấp Mệnh đề 1.2.4. Kết quả này đã được chứng minh bởi Shao [16] trong trường hợp các biến ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị thực. 1.2.6 Mệnh đề. Giả sử {Xn , n 1} là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo 2 tọa độ, có kỳ vọng không, nhận giá trị trong H và E Xn < ∞, n 1. Khi đó ta có k E n 2 1 k n E Xi 2 , n 2 Xi max 1. i=1 i=1 Chứng minh. Theo Bổ đề 4 của Matula [13], k E Xi max 1 k n ∞ 2 =E k max 1 k n i=1 2 Xi , ej j=1 i=1 ∞ k max E 1 k n j=1 2 Xi , ej i=1 ∞ = k E max max 1 k n j=1 ∞ k E j=1 ∞ (j) Xi max 1 k n (j) Xi i=1 k 2 ; i=1 1 k n ∞ 2 + (j) 2 − Xi max 1 k n 2 i=1 k E j=1 (j) − Xi max i=1 n E Xi(j) 2 2 j=1 i=1 n E Xi 2 . =2 i=1 Do đó, mệnh đề được chứng minh. 1.2.7 Nhận xét. Từ Mệnh đề 1.2.6 và lược đồ chứng minh Định lý 3.4 của Ko, Kim và Han [9], điều thú vị dễ nhận thấy là kết quả chính trong [9] (cũng như Miao [14, Định lý 3.2 và Định lý 3.3], Thanh [17, Định lý 2.2 và Định lý 3.1]) không chỉ đúng cho lớp các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm mà còn đúng cho lớp rộng hơn - lớp các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ. 8 CHƯƠNG 2 TỐC ĐỘ HỘI TỤ TRONG LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI CÁC VÉCTƠ NGẪU NHIÊN LIÊN KẾT ÂM THEO TỌA ĐỘ Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu điều kiện cần và đủ cho tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ. Kỹ thuật được sử dụng để chứng minh các kết quả này là kỹ thuật chặt cụt đơn điệu. Chúng tôi cũng đề cập một số nhận xét và ví dụ để làm sáng tỏ hơn cho các kết quả chính và những vấn đề liên quan. 2.1. Tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn Hsu và Robbins [7] đã giới thiệu khái niệm hội tụ đầy đủ và chứng minh rằng dãy trung bình số học của các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối hội tụ đầy đủ đến giá trị kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên nếu phương sai các biến ngẫu nhiên hữu hạn. Điều ngược lại đã được chứng minh bởi Erd¨s [4, 5]. Kết o quả của Hsu, Robbins và Erd¨s đã trở thành một định lý cơ sở của lý thuyết xác o suất với tên gọi là định lý Hsu-Robbins-Erd¨s. Một kết quả quan trọng mở rộng o định lý Hsu-Robbins-Erd¨s được xuất hiện trong bài báo nổi tiếng của Baum và o Katz [3]. Các tác giả đã sử dụng phương pháp đối xứng hóa để thu được định lý đánh giá tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn như sau: 2.1.1 Định lý. [3] Giả sử r, α là hai số thực (r > 1; α > 1/2; αr > 1), {Xn , n 1} là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối và có kỳ vọng không. Khi đó ba phát biểu sau là tương đương: (a) E|X1 |r < ∞. 9 ∞ (b) n n αr−2 n=1 ∞ k=1 αr−2 (c) Xk > εnα < ∞ với mọi ε > 0. P n n=1 1 P sup α k nk k Xl > ε < ∞ với mọi ε > 0. l=1 Định lý 2.1.1 đã được nghiên cứu cho nhiều lớp biến ngẫu nhiên phụ thuộc khác nhau. Đối với trường hợp các biến ngẫu nhiên liên kết âm, một số kết quả quan trọng thuộc về Shao [16], Kuczmaszewska [10], Baek, Choi và Niu [2], Kuczmaszewska và Lagodowski [11], cùng với một số tác giả khác. Dựa vào công cụ chìa khóa là bất đẳng thức moment được đề cập trong Mệnh đề 1.2.6, trong định lý sau đây, chúng tôi thiết lập tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ. 2.1.2 Định lý. Giả sử r, α là hai số thực (1 r < 2; αr > 1), {Xn , n 1} là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, có kỳ vọng không, nhận giá trị trong H và bị chặn trên yếu theo tọa độ bởi véctơ ngẫu nhiên X . Nếu ∞ E|X (j) |r < ∞ (2.1.1) j=1 thì ∞ k αr−2 n P n=1 Xl > εnα < ∞ với mọi ε > 0. max 1 k n (2.1.2) l=1 Để chứng minh Định lý 2.1.2, ta cần bổ đề dưới đây. Chú ý rằng, việc chứng minh bổ đề này khá đơn giản trong trường hợp H hữu hạn chiều. 2.1.3 Bổ đề. Giả sử p, r, α là các số thực dương (r < p; αr > 1), X là một véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong H và thỏa mãn điều kiện (2.1.1). Khi đó ∞ ∞ nα(r−p)−1 E (X (j) )p I(|X (j) | j=1 n=1 nα ) < ∞. 10 Chứng minh (Bổ đề 2.1.3). Ta có ∞ ∞ nα(r−p)−1 E (X (j) )p I(|X (j) | nα ) nα(r−p)−1 E (X (j) )p I(|X (j) | 1) j=1 n=1 ∞ ∞ = j=1 n=1 ∞ ∞ nα(r−p)−1 E (X (j) )p I(1 < |X (j) | + nα ) j=1 n=1 = I1 + I2 . Từ điều kiện (2.1.1) kéo theo ∞ ∞ nα(r−p)−1 < ∞. (j) r E|X | I1 n=1 j=1 Tiếp theo ta sẽ chỉ ra I2 < ∞. Thật vậy, ∞ ∞ nα α(r−p)−1 I2 = p xp−1 P |X (j) | I(1 < |X (j) | n 0 j=1 n=1 ∞ ∞ 1 n p α(r−p)−1 xp−1 P |X (j) | > 1 dx 0 j=1 n=1 ∞ ∞ nα n +p nα ) > x dx α(r−p)−1 xp−1 P |X (j) | > x dx 1 j=1 n=1 ∞ ∞ (j) r ∞ E|X | n α(r−p)−1 n α(r−p)−1 P |X (j) | > k α k pα−1 n +C n=1 j=1 ∞ j=1 n=1 k=1 ∞ =C +C I3 (j), j=1 và ∞ ∞ P |X (j) | > k α k pα−1 I3 (j) = k=1 ∞ n=k ∞ (j) α P |X | > k k C nα(r−p)−1 k k=1 C = α(p − r) 1 pα−1 xα(p−r)+1 ∞ k αr−1 P |X (j) | > k α k=1 dx 11 ∞ ∞ k =C P nα < |X (j) | αr−1 n=k k=1 ∞ nαr P nαr < |X (j) |r C (n + 1)α (n + 1)αr n=1 C E|X (j) |r . Vì hằng số C ở số hạng sau cùng chỉ phụ thuộc vào p, r và α nên I2 < ∞. Chứng minh (Định lý 2.1.2). Với n, k, j (j) (j) (j) Ynk = Xk I(|Xk | 1, đặt (j) (j) nα ) + nα I(Xk > nα ) − nα I(Xk < −nα ); ∞ (j) Ynk ej . Ynk = j=1 Khi đó, với mọi ε > 0, ∞ k n αr−2 P n=1 ∞ = n αr−2 P n=1 ∞ Xl > εnα max 1 k n l=1 k ∞ (j) Xl ej > εnα max 1 k n l=1 j=1 (j) nαr−2 P max max |Xk | > nα 1 k n j 1 n=1 ∞ + k n αr−2 n=1 ∞ P ∞ (j) Ynl ej > εnα max 1 k n l=1 j=1 n (j) P(|Xk | > nα ) nαr−2 n=1 ∞ j=1 k=1 ∞ k n ∞ + αr−2 ∞ P n=1 Ynl > εnα max 1 k n l=1 nαr−1 P(|X (j) | > nα ) C (sử dụng (1.1.1)) j=1 n=1 ∞ + k n αr−2 n=1 ∞ + n n=1 αr−2 P (Ynl − EYnl ) > εnα /2 max 1 k n l=1 1 P α max n 1 k n = J1 + J2 + J3 . k EYnl > ε/2 l=1 12 Bằng những lập luận đưa ra ở phần cuối trong chứng minh Bổ đề 2.1.3, ta chỉ ra được J1 < ∞. (j) Dễ thấy rằng {Ynk , k do đó {Ynk , k 1} là các biến ngẫu nhiên liên kết âm với mọi j 1, 1} là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ. Từ bất đẳng thức Markov và Mệnh đề 1.2.6 ta có ∞ J2 k α(r−2)−2 C n n=1 ∞ 1 k n n=1 ∞ E Ynk − EYnk 2 k=1 n nα(r−2)−2 C l=1 n nα(r−2)−2 C 2 (Ynl − EYnl ) max E n=1 ∞ ∞ =C E Ynk 2 k=1 n n (j) E(Ynk )2 . α(r−2)−2 j=1 n=1 k=1 (j) (j) (j) (j) Nhớ rằng E(Ynk )2 = n2α P(|Xk | > nα ) + E (Xk )2 I(|Xk | nα ) . Theo Bổ đề 2.1 của Gut [6], ∞ ∞ n n (j) E(Ynk )2 α(r−2)−2 n=1 nαr−1 P(|X (j) | > nα ) C n=1 ∞ k=1 nα(r−2)−1 E (X (j) )2 I(|X (j) | +C nα ) n=1 ∞ nαr−1 P(|X (j) | > nα ). +C n=1 Vì các hằng số trên không phụ thuộc vào j nên Bồ đề 2.1.3 đảm bảo rằng J2 < ∞. Để chứng minh J3 < ∞, ta chỉ cần chỉ ra J4 = o(1), trong đó 1 J4 = α max n 1 k n Nhận xét rằng EXl(j) = 0 với mọi l J4 1 max nα 1 k n ∞ k (j) EYnl j=1 l=1 k EYnl . l=1 1 và j 1. Khi đó theo (2.1.1), 13 1 max nα 1 k n 1 max nα 1 k n ∞ k (j) (j) Xl I(|Xl | E j=1 n ) l=1 ∞ α k C j=1 (j) j=1 k=1 n P |X (j) | > nα j=1 l=1 ∞ n P |X (j) | > n1/r j=1 j=1 ∞ C n nα P |Xk | > nα E Xl(j) I(|Xl(j) | > nα ) + C E |X (j) |I(|X (j) | > nα ) + C nαr−1 ∞ ∞ ∞ nα−1 1 + α n ∞ E |X (j) |r I(|X (j) | > n1/r ) = o(1). E|X (j) |r + C j=1 j=1 Vì vậy J3 < ∞. Định lý được chứng minh. 2.1.4 Nhận xét. Từ (2.1.2) và Bồ đề 4 của Lai [12] ta có ∞ αr−2 n n=1 1 P sup α k nk k Xl > ε < ∞ với mọi ε > 0. l=1 Khi đó, theo bổ đề Kronecker, 1 P sup α k nk k Xl > ε = o n1−αr với mọi ε > 0. l=1 Vì vậy, kết luận (2.1.2) trong Định lý 2.1.2 đánh giá về tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn. 2.1.5 Nhận xét. Định lý 2.1.2 vẫn đúng nếu điều kiện {Xn , n 1} bị chặn trên yếu theo tọa độ bởi X được thay thế bằng điều kiện yếu hơn sau đây 1 n n ∞ ∞ (j) P(|Xk | k=1 j=1 > t) P(|X (j) | > t), C n 1, t 0. j=1 Phần chứng minh của Nhận xét 2.1.5 là tương tự như đối với Định lý 2.1.2 với một số thay đổi nhỏ nên sẽ không được đề cập. 2.1.6 Nhận xét. Trong trường hợp 0 < r < 1, kết luận của Định lý 2.1.2 vẫn đúng mà không cần đến giả thiết các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ và kỳ vọng không. 14 Chứng minh. Từ những lập luận được đề cập ở phần đầu trong chứng minh của Định lý 2.1.2, nhận xét trên là rõ ràng nếu ta chỉ ra được ∞ k αr−2 n Ynl > εnα < ∞ với mọi ε > 0. max P 1 k n n=1 (2.1.3) l=1 Thật vậy, ∞ k αr−2 n 1 k n n=1 ∞ n=1 ∞ ∞ E Ynk k=1 n n C k=1 n (j) P(|Xk | > nα ) nαr−2 =C j=1 n=1 ∞ ∞ k=1 n n +C j=1 n=1 ∞ (j) (j) E |Xk |I(|Xk | α(r−1)−2 nα ) k=1 ∞ nα(r−1)−1 E |X (j) |I(|X (j) | C +C +C (j) E|Ynk | α(r−1)−2 j=1 n=1 ∞ ∞ ∞ l=1 n nα(r−1)−2 C Ynl > εnα max P j=1 n=1 ∞ αr−1 n P(|X (j) | > nα ) < ∞ nα ) (từ Bổ đề 2.1.3). j=1 n=1 Vì vậy (2.1.3) đúng. Dưới các giả thiết của Định lý 2.1.2, (2.1.1) kéo theo (2.1.2). Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là điều ngược lại có đúng không. Câu trả lời trong trường hợp này là không (xem Ví dụ 2.2.1 trong mục tiếp theo). Vậy điều kiện nào sẽ đảm bảo cho (2.1.1) đúng? Định lý sau đây sẽ giải quyết vấn đề này. 2.1.7 Định lý. Giả sử r, α là hai số thực dương thỏa mãn αr 1, {Xn , n 1} là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, có kỳ vọng không, nhận giá trị trong H và bị chặn yếu theo tọa độ bởi véctơ ngẫu nhiên X với ∞ E |X (j) |r I(|X (j) | j=1 1) < ∞. (2.1.4) 15 Nếu ∞ ∞ k n αr−2 (j) 1 k n j=1 n=1 > εnα < ∞ với mọi ε > 0 Xl max P (2.1.5) l=1 thì (2.1.1) đúng. Chứng minh. Vì (2.1.4) đúng nên ∞ ∞ ∞ (j) r (j) r (j) E |X | I(|X | E|X | = j=1 j=1 j=1 E |X (j) |r I(|X (j) | > 1) 1) + ∞ ∞ (k + 1)αr P k α < |X (j) | C+ (k + 1)α j=1 k=1 ∞ ∞ k nαr−1 P k α < |X (j) | C +C j=1 k=1 ∞ ∞ (k + 1)α n=1 nαr−1 P |X (j) | > nα . =C +C j=1 n=1 Do đó, ta chỉ cần chứng minh ∞ ∞ nαr−1 P |X (j) | > nα < ∞. (2.1.6) j=1 n=1 Trước hết, ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại số nguyên dương n0 để ∞ ∞ (j) α P |X | > n n (j) P max |Xk | > nα C j=1 với mọi n > n0 . 1 k n j=1 (2.1.7) Từ (1.1.1) ta có n C1 n P |X (j) (j) P |Xk | > nα α |>n k=1 n (j) P |Xk | > nα ; max l=k;1 l n |Xl | (j) P |Xk | > nα ; = max |Xl | > nα k=1 n + k=1 l=k;1 l n (j) P max |Xk | > nα + K1 . 1 k n (j) nα (j) (2.1.8) 16 Và cũng từ (1.1.1), n K1 (j) (j) I(|Xk | > nα ) I( max |Xl | > nα ) E 1 l n k=1 n (j) (j) (j) I(|Xk | > nα ) − P(|Xk | > nα ) I max |Xl | > nα ) =E 1 l n k=1 n (j) P(|Xk | > nα ) I max |Xl(j) | > nα +E 1 l n k=1 (j) K2 + C2 n P(|X (j) | > nα ) P max |Xl | > nα . (2.1.9) 1 l n (j) (j) 1, {I(Xk > nα ), k Nhớ rằng với mọi n, j 1} và {I(Xk < −nα ), k 1} là các biến ngẫu nhiên liên kết âm. Khi đó K2 được đánh giá như sau: n (j) P max |Xl(j) | > nα I(|Xk | > nα ) Var K2 1 l n k=1 n n (j) I(Xk 2Var > nα ) (j) I(Xk < −nα ) + 2Var k=1 P max |Xl(j) | > nα 1 l n k=1 n n Var 2 (j) I(Xk > nα ) k=1 (j) Var I(Xk < −nα ) + k=1 P max |Xl(j) | > nα 1 l n n (j) P(|Xk | > nα ) P max |Xl(j) | > nα 2 1 l n k=1 2 a n (j) P(|Xk | > nα ) + k=1 a P max |Xl(j) | > nα 2 1 l n 2C2 n a P(|X (j) | > nα ) + P max |Xl(j) | > nα , a 2 1 l n (2.1.10) trong đó a > 4C2 /C1 . Kết hợp (2.1.8)-(2.1.10), ta thu được C1 − 2C2 n P(|X (j) | > nα ) a 1+ a (j) P max |Xk | > nα 2 1 k n (j) + C2 n P(|X (j) | > nα ) P max |Xl | > nα . 1 l n (2.1.11) Mặt khác, (2.1.5) kéo theo ∞ ∞ nαr−2 P j=1 n=1 (j) max |Xk | > εnα < ∞ với mọi ε > 0. 1 k n (2.1.12) 17 Vậy nên ∞ ∞ n(αr−1) 2 n=1 (j) max n |Xk | > ε 2nα P 1 k 2 j=1 ∞ 2n+1 −1 ∞ C (j) max n |Xk | > ε 2nα P 1 k 2 j=1 n=1 ∞ ∞ 2 n+1 m=2n −1 (j) max |Xk | > (ε/2α )mα mαr−2 P C j=1 n=1 m=2n ∞ ∞ αr−2 C mαr−2 n j=1 n=1 P 1 k m (j) max |Xk | > (ε/2α )nα < ∞. 1 k n Điều này đảm bảo rằng ∞ (j) P max |Xk | > nα = o(1), 1 k n j=1 nên tồn tại số nguyên dương n0 sao cho ∞ 2 a P max |Xl(j) | > nα 1 l n j=1 với mọi n > n0 . Do đó, (2.1.11) kéo theo C1 − 4C2 n P(|X (j) | > nα ) a 1+ a (j) P max |Xk | > nα 2 1 k n với mọi n > n0 . Vì a > 4C2 /C1 và n0 không phụ thuộc vào j nên (2.1.7) đúng. Khi đó (2.1.7) và (2.1.12) kéo theo ∞ ∞ nαr−1 P |X (j) | > nα j=1 n=1 ∞ n0 = ∞ n αr−1 ∞ nαr−1 P |X (j) | > nα + j=1 n=n0 +1 n (j) P |Xk | > nα nαr−2 C α P |X | > n j=1 n=1 ∞ n0 j=1 n=1 ∞ ∞ k=1 (j) nαr−2 P max |Xk | > nα +C C (j) j=1 n=n0 +1 ∞ ∞ αr−2 n j=1 n=1 1 k n (j) P max |Xk | > nα < ∞, 1 k n
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan