Tài liệu Toán vector với máy tính bỏ túi

Nhöõng taøi lieäu khaùc Sử dụng máy tính Casio fx 570ES và Casio fx 570MS để giải các bài toán thống kê lớp 10 Chuyên đề điện từ trường dành cho lớp 11 Chuyên đề tính các dạng bài tập giới hạn bằng máy Casio fx 570ES Dùng phương pháp Giản đồ vectơ để giải các dạng bài tập điện xoay chiều Ứng dụng số phức để giải nhanh các dạng bài tập điện xoay chiều Chuyên đề thời gian, quãng đường trong dao động điều hòa Tóm tắt chương trình thi Đại học môn Toán Tóm tắt chương trình thi Đại học môn Lí Bộ đĩa DVD ôn thi Đại học. Cách lưu văn bản vào máy Casio Fx 570ES Và còn nhiều chuyên đề khác tại: http://phuongphaphoctap.net Mong các bạn đón xem. Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Mong nhaän ñöôïc söï uûng hoä cuûa caùc baïn ñeå taøi lieäu ngaøy caøng hay vaø hoaøn thieän hôn nöõa. Moïi yù kieán goùp yù xin göûi veà:  Nguyeãn Troïng Nhaân  [email protected]  http://phuongphaphoctap.net Xin chaân thaønh caûm ôn! Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Giới thiệu chung Vectơ là một phần rất quan trọng trong môn Toán cấp 3. Theo cấu trúc của bộ Giáo dục và Đào tạo thì trong đề thi Đại học, cao đẳng luôn có những phần này và chúng chiếm số điểm tương đối cao. Thông thường khi làm việc với những phần vectơ này, chúng ta thường tính nhẩm hoặc làm trong nháp. Nhưng như thế thì không chính xác và tốn nhiều thời gian, đặc biệt là với những bài phức tạp. Vì vậy chúng ta sẽ tận dụng chức năng tính toán vectơ có sẵn trong máy Casio Fx570ES để giải chính xác những bài này và giúp tiết kiệm nhiều thời gian, đặc biệt là khi đi thi Đại học. Một điều quan trọng nữa là khi các bạn làm bài thi, nếu các bạn biết kết quả mình làm đúng hoặc bước vừa rồi mình làm đúng thì chắc chắn các bạn sẽ tự tin hơn nhiều và bớt phân tâm trong những bài kế tiếp đúng không nào. Bây giờ chúng ta sẽ lần lượt nghiên cứu qua cách bấm vectơ 2 chiều, 3 chiều rồi sau đó ứng dụng vào làm các bài tập. Coøn nhieàu taøi lieäu haáp daãn khaùc taïi: http://phuongphaphoctap.net Tính vectơ duøng Casio Trang 28/28 phuongphaphoctap.net Tính vectơ duøng Casio Trang 1/28 phuongphaphoctap.net Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Ñöôøng cao MH cuûa töù dieän MABC laø khoaûng töø M ñeán (ABC): Muïc luïc MH  d(M(ABC))  I. Vectơ 2 chiều ......................................................................... 3 1  2t  2(2  t)  2(3  2t)  2 1 4  4  4t  11 3 1. Nhập vectơ vào máy: ........................................................... 3 1 9 4t  11 Theå tích töù dieän MABC baèng 3  V  . . 3 3 2 3 5 17  4t  11  6  t   hay t   . 4 4 Vaäy, coù 2 ñieåm M caàn tìm laø:  3 3 1  15 9 11  M   ;  ;  hay M   ; ;   2 4 2  2 4 2 2. Cách gọi vectơ để tính toán. ................................................ 5 3. Phép cộng, trừ các vectơ: .................................................... 6 4. Nhân vô hướng 2 vectơ: ...................................................... 7 5. Độ dài của vectơ :................................................................ 9 6. Góc giữa 2 vectơ : ............................................................. 11 II. Vectơ 3 chiều ....................................................................... 14 7. Nhập vectơ 3 chiều vào máy: ............................................ 14 Phần này có tham số nên ta bắt buộc phải làm tay. Có cách để kiểm tra nhanh kết quả phần này nhưng không thuộc mode vectơ nên mình sẽ không trình bày vào đây. 8. Tích có hướng ................................................................... 15 III. Những lưu ý khi sử dụng mode vectơ trên máy tính: ........ 17 IV. Bài tập ví dụ ...................................................................... 18 N  ()  N(1  2t;  2  t; 3  2t) SABN 1   1 2 3 2  [NA; NB]  32t 2  128t  146  (4t  8)2  9  2 2 2 2 3 2  4t  8  0  t  2. 2 Vaäy, ñieåm N caàn tìm laø N(-3; 0; 1).  max SABN  Tính vectơ duøng Casio Trang 2/28 phuongphaphoctap.net Tính vectơ duøng Casio Trang 27/28 phuongphaphoctap.net Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân I. Vectơ 2 chiều Nhấn =, ta được kết quả : 1. Nhập vectơ vào máy: Gọi u  ( a , b ) và v  (a1 , b1 ) là 2 vectơ tùy ý trong không gian 2 chiều. Chúng ta trình bày và ghi kết quả này vào Ví dụ: Ta có: lại   [AB; AC]  (3;  6; 6)  3(1; 2;  2)  3.n ,  vôùi n  (1; 2;  2)  Suy ra phöông trình mp (ABC) qua A vôùi phaùp vectô n : (ABC): x + 2y – 2z – 2 = 0. u  (2, 3) và v  (4,5) Khi đó chúng ta lưu 2 vectơ này vào máy bằng cách: Nhấn mode, chọn 8 (VECTOR) Chúng ta tính tiếp diện tích tam giác ABC : Máy có thể lưu tối đa 3 vectơ theo thứ tự là VTA, VTB, VTC Vì kết quả tính tích có hướng đã được tự động lưu vào vectơ Ans nên ta không cần phải nhập lại nữa. Chúng ta nhấn 1 để lưu vectơ u vào biến vectơ A trên máy tính. Máy sẽ chờ chúng ta chọn số chiều của vectơ A. Chúng ta trình bày và ghi kết quả này vào SABC 1   1 9  [AB; AC]  (3)2  (6)2  62  . 2 2 2 Tính vectơ duøng Casio Trang 26/28 phuongphaphoctap.net Vì vectơ u có 2 chiều nên sẽ chọn số 2 (nếu 3 chiều thì sẽ chọn số 1). Tính vectơ duøng Casio Trang 3/28 phuongphaphoctap.net Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Bài 4 : Trong khoâng gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1) vaø ñöôøng thaúng () : x  1  y  2  z  3 2 Chúng ta nhấp tọa độ của vectơ u vào: 1 2 1. Tìm ñieåm M thuoäc () ñeå theå tích töù dieän MABC baèng 3. 2. Tìm ñieåm N thuoäc () ñeå theå tích tam giaùc ABN nhoû nhaát. Giải: Sau đó chúng ta sẽ nhập vectơ v vào biến vectơ B trên máy tính bằng cách: nhấn Shift 5 để vào Mode riêng của chức năng vectơ: x  1  2t  Phöông trình tham soá cuûa (D): y  2  t z  3  2t  Ta có M  ( )  M(1  2t;  2  t; 3  2t)   AB  (2; 1; 2), AC  (2; 2;1) Nhấn chọn 1 (Dim) để nhập vectơ vào biến vectơ trên máy:  Tìm vectơ pháp tuyến bằng cách nhân có hướng AB  và AC . Ta nhập 2 vectơ vào máy. Tính tích có hướng 2 vectơ này : Chọn 2 để lưu biến vectơ v vào biến vectơ B (Lúc này biến VTA đã lưu vectơ u rồi nên không lưu vào biến VTA được). Chọn số chiều và nhập tọa độ theo các bước giống như khi lưu vectơ u: Tính vectơ duøng Casio Trang 4/28 phuongphaphoctap.net Tính vectơ duøng Casio Trang 25/28 phuongphaphoctap.net Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Kiểm tra lại bằng máy trong trường hợp chưa tính độ dài ở trên : Vậy là đã kết thúc phần lưu vectơ vào máy, chúng ta nhấn AC hay On để xóa màn hình. Khi đó các biến vectơ A, B vẫn còn giữ nguyên giá trị mà không bị mất vì chúng ta đã lưu vào máy. Lưu ý: không được chuyển mode khi tính toán với vectơ (Vd: chuyển từ mode Vectơ sang mode giải phương trình), vì như thế sẽ làm mất giá trị của các biến vectơ A, B. Nhấn = Chúng ta kiểm tra 15  5 5 có phải là số này không bằng cách tương tự ở trên. Diện tích tam giác ABC : S  1 1 AB. AC  5.10  25 2 2 2. Cách gọi vectơ để tính toán. Sau khi đã lưu các vectơ vào máy tính, mỗi lần cần tính toán với vectơ nào thì chúng ta sẽ gọi vectơ ấy ra và tính toán với chúng. Cách gọi như sau: Nhấn Shift 5 để vào mode riêng của vectơ. Bấm máy Nhấn = Chúng ta thấy số 3, 4, 5 là tên của các vectơ A, B, C. Cho nên khi cần gọi vectơ nào ra thì chúng ta sẽ nhấn số tương ứng của tên vectơ đó. Ví dụ: chúng ta cần gọi vectơ A ra thì sẽ nhấn Shift 5 rồi chọn số 3. Tính vectơ duøng Casio Trang 24/28 phuongphaphoctap.net Tính vectơ duøng Casio Trang 5/28 phuongphaphoctap.net Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân  AC  82  62  10 Màn hình hiển thị:  BC  112  2 2  125  5 5 Vậy là vectơ A đã được gọi ra và sẵn sàng để tính toán. Các vectơ B, C cũng tương tự. Ta bấm máy : 3. Phép cộng, trừ các vectơ: Ta có công thức: Kết quả ra 11.830 giống kết quả đã ghi nháp phía trên ! u  v  ( a  a1 , b  b1 )  (6,8) Lưu ý là không ra khỏi mode vectơ vì sẽ làm mất giá trị của các biến vectơ lưu trong máy. Nếu ra cũng được, tuy nhiên nếu tính tiếp thì ta vào vào nhập lại các vectơ này. u  v  (a  a1, b  b1 )  (2, 2) Thực hiện trên máy: Gọi vectơ A, nhấn +, rồi gọi tiếp vectơ B. Khi đó màn hình hiển thị: Suy ra tam giác ABC là tam giác vuông tại A. Chu vi tam giác ABC : P  AB  AC  BC  5  10  5 5  15  5 5 Nhấn = để máy tính hiện kết quả: Tính vectơ duøng Casio Trang 6/28 phuongphaphoctap.net Tính vectơ duøng Casio Trang 23/28 phuongphaphoctap.net Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Suy ra AB vuông góc với AC Ta tiếp tục kiểm tra độ dài các cạnh xem ngoài vuông ra, tam giác này có cân hay không. Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Phép – cũng tương tự phép +, chỉ cần thay đổi dấu + thành – là xong. Gọi vectơ A, nhấn -, rồi gọi tiếp vectơ B. Ta nhấn ABS(vectơ A) Suy ra độ dài vectơ AB là 5, và chúng ta ghi kết quả vào phần trình bày bên dưới. Lưu ý: khi màn hình hiển thị kết quả, các bạn sẽ thấy trên màn hình có ghi là vectơ Ans. Điều đó có nghĩa là vectơ kết quả vừa tính sẽ tự động lưu vào biến vectơ Ans. Và biến vectơ này có thể được gọi ra bằng cách nhấn Shift 5 và chọn số 6. Chức năng này giống như chức năng của phím Ans trên máy tính, chỉ khác là biến Ans tự động lưu số vừa tính, còn biến vectơ Ans tự động lưu vectơ vừa tính. Tương tự cho vectơ B và C 4. Nhân vô hướng 2 vectơ: Ta thấy độ dài vectơ C là số phẩy không tuần hoàn nên ta biết chắc nó sẽ chứa căn. Vì vậy ta ghi 3 chữ số đầu của số này vào nháp (11.180) để lát nữa kiểm tra lại kết quả trong trình bày. Ta lại có :  AB  ( 3) 2  4 2  5 Tính vectơ duøng Casio Theo công thức ta có: u.v  a.a1  b.b1  2.4  3.5  23 Mặt khác, tích vô hướng giữa 2 vectơ là 1 số nên nó sẽ tự động lưu vào biến Ans (chứ không phải biến vectơ Ans). Cách thực hiện trên máy như sau: Gọi vectơ A ra (Shift 5 3) Trang 22/28 phuongphaphoctap.net Tính vectơ duøng Casio Trang 7/28 phuongphaphoctap.net Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân  AC  (9  1;8  2)  (8;6)  BC  (9  (2);8  6)  (11;2) Lúc này ta không biết ∆ABC cân tại đâu nên ta sẽ dùng máy tính để kiểm tra nhanh tích vô hướng : Nhấn Shift 5, chọn 7 (Dot) Nhập 3 vectơ này vào máy tính tương ứng theo thứ tự A, B, C   Tính vectơ A.vectơ B (tương ứng AB. AC ) : Sau đó gọi tiếp vectơ B (Shift 5 4). Màn hình hiển thị: Nhấn = Nhấn =, ra kết quả là 32. May quá ! Kết quả ra 0 nên ta biết AB vuông góc AC. Nếu kết quả chưa ra 0 thì ta kiểm tra tương tự với các cạnh còn lại   Ta thấy AB. AC  3.8  4.6  0 Tính vectơ duøng Casio Trang 8/28 phuongphaphoctap.net Tính vectơ duøng Casio Trang 21/28 phuongphaphoctap.net Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân 5. Độ dài của vectơ : Độ dài của vectơ được định nghĩa như sau :  u  a 2  b 2  22  32  13  3,606 Tọa độ trọng tâm G : Cách hiển thị trên máy Casio rất trực quan. Các bạn thấy cách ghi độ dài của vectơ giống như là mình ghi trị tuyệt đối của vectơ vậy. Vì thế mình bấm trên máy như sau: Bấm ABS (trị tuyệt đối) 7 Nhấn =, kết quả (1, ) : 3 Sau đó nhập vectơ A vào :  Kết hợp máy tính trong trình bày tự luận : Bài 3 : Cho tam giác ABC có A(1; 2), B ( 2;6), C (9;8) 1/Tam giác ABC là tam giác gì ?  Tương đương với chúng ta nhập u 2/Tính chu vi và diện tích tam giác ABC. Sau đó chúng ta nhấn = (Có thể bỏ qua dấu đóng ngoặc cũng được vì Casio sẽ tự đóng ngoặc cho mình) Giải  Ta có : AB  (2  1;6  2)  ( 3;4) Tính vectơ duøng Casio Trang 20/28 phuongphaphoctap.net Tính vectơ duøng Casio Trang 9/28 phuongphaphoctap.net Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân 20   1 x  2  I (1,2) Gọi I(x,y) là trung điểm AB, ta có :   0 4 y  2  2 Lưu ý : Trong mode vectơ, kết quả sẽ được hiển thị dưới dạng một dòng (line) chứ không hiển thị dưới dạng toán học (Math) được. Vì vậy các phép căn cũng sẽ hiển thị dưới dạng số phẩy chứ không hiển thị dạng căn được. Để khắc phục điều này ta làm như sau : Gọi G(xG,yG) là trọng tâm ∆ABC, ta có : 2  0 1  x  1  G 7 3  G (1, )  3 y  0  4  3  7  G 3 3 Các bạn nhấn tiếp tục dấu -, rồi nhập kết quả tính tay phía trên vào. Bấm máy : Sau đó nhấn =, nếu kết quả =0 thì có nghĩa là ta đã tính đúng. Còn nếu kết quả khác 0 thì chúng ta đã làm sai ! Tọa độ trung điểm I : Hoặc có cách khác là sau khi bấm Abs(Vct A) =, chúng ta ghi kết quả trên máy tính vào nháp. Sau đó nhấn AC, nhập kết quả tính tay phía trên vào, rồi chuyển sang số phẩy. Nếu số đó giống số trong nháp thì ta đã làm đúng, ngược lại thì đã sai và cần kiểm tra lại . Tính vectơ duøng Casio Trang 10/28 phuongphaphoctap.net Nhập tọa độ 3 điểm A,B,C : Nhấn =, kết quả (1,2) : Tính vectơ duøng Casio Trang 19/28 phuongphaphoctap.net Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân IV. Bài tập ví dụ    Bài 1 : Cho a  (1;  2), b  (3;4),c  (5, 1) . Tìm tọa độ vectơ     u  2a  b  c . Giải Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân 6. Góc giữa 2 vectơ : Ta có công thức tính góc giữa 2 vectơ như sau :    u.v cos(u , v )    u v     Ta có u  2a  b  c  (2.1  3  5;2.(2)  4  ( 1))  (0;1) Ta có thể phát biểu bằng lời như sau : Góc giữa 2 vectơ bằng tích vô hướng chia cho tích độ dài của 2 vectơ đó! Bấm máy : Chúng ta bấm máy dựa theo cách phát biểu bằng lời này. Tức là bấm tích vô hướng của 2 vectơ sau đó chi cho tích độ dài. Thực hiện trên máy : Chúng ta nhập tích vô hướng của 2 vectơ như đã hướng dẫn trong phần trước : Nhấn = ra kết quả : Sau đó chúng ta nhấn dấu chia : Bài 2 : Cho A(2,0), B(0,4), C(1,3). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB và tọa độ trọng tâm của tam giác ABC. Giải Vì tích vô hướng này chia cho một tích nên ta phải đưa tích ở mẫu vào ngoặc. Tính vectơ duøng Casio Trang 18/28 phuongphaphoctap.net Tính vectơ duøng Casio Trang 11/28 phuongphaphoctap.net Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Chúng ta nhấn dấu mở ngoặc : Lưu ý: Abs sẽ tự động mở ngoặc cho chúng ta, cho nên sau khi gọi xong vectơ A ra, ta phải đóng ngoặc của Abs lại. Vì tích 2 độ dài là phép nhân 2 số bình thường nên ta nhấn dấu nhân rồi nhập tiếp độ dài vectơ B : Trang 12/28 Nguyeãn Troïng Nhaân III. Những lưu ý khi sử dụng mode vectơ trên máy tính: Sau đó nhập độ dài vectơ A như đã hướng dẫn ở phần trước: Tính vectơ duøng Casio Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh phuongphaphoctap.net - Mode vectơ thích hợp cho việc kiểm tra nhanh kết quả. Đối với bài toán lớn, các bước tính vectơ nhỏ nếu thầy cô cho phép bỏ qua thì các bạn bấm máy và ghi kết quả luôn, không cần làm tay. - Máy tính chỉ là công cụ hỗ trợ vì vậy các bạn phải nắm chắc lý thuyết và phải biết giải thuần thục bằng tay. - Để bấm nhanh, chúng ta nên nhớ thứ tự bước mà không cần phải nhớ chi tiết từng bước. Ví dụ để khai báo vectơ A, ta phải nhớ shift 5 1 1 và chọn 1 nếu 3 chiều, chọn 2 nếu 2 chiều. Lúc đó ta không cần nhớ là phải vào mode vectơ rồi chọn dim, sau đó chọn vectơ A rồi chọn chiều… cách này rất lâu, tuy nhiên chúng ta phải biết các từ này. Các bạn cố gắng tập làm sau mà khi mình chọn chức năng, màn hình hiển thị không kịp thao tác mình bấm, như vậy mới tiết kiệm thời gian. Ví dụ nữa là khi mình lấy vectơ A nhân vô hướng vectơ B thì ta vừa nhẩm vừa bấm : shift 53, shift 57, shift 54. Nếu các bạn biết kỹ thuật đặt tay và lướt tay thì thao tác này chỉ tốn 2s mà thôi! - Khi đang thao tác trên mode vectơ, nếu các bạn chuyển qua mode khác thì dữ liệu vectơ trong máy sẽ bị mất và phải nhập lại. Tính vectơ duøng Casio Trang 17/28 phuongphaphoctap.net Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Chúng ta nhấn = mà không cần đóng ngoặc cũng được, vì Casio sẽ tự đóng giúp chúng ta. Hoặc chúng ta có thể bấm đơn giản hơn là: Kết quả hiển thị : 0.99624 Tuy nhiên đây là giá trị của Cos, muốn tìm giá trị của góc thì ta phải lấy arccos (hay gọi là lấy cos ngược). Bỏ qua dấu X giữa 2 vectơ luôn, lúc này máy tính sẽ hiểu ngầm là có dấu nhân có hướng ở giữa. Chúng ta nhấn tiếp : Nhấn =, kết quả hiển thị: Shift Cos, nhập vào Ans : Nhấn = : Kết quả là 4.97 độ. Lưu ý : Phải xem kỹ đơn vị khi thao tác với góc (độ, radian…) Tính vectơ duøng Casio Trang 16/28 phuongphaphoctap.net Tính vectơ duøng Casio Trang 13/28 phuongphaphoctap.net Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Tuyeån taäp nhöõng phöông phaùp giaûi nhanh Nguyeãn Troïng Nhaân Sau đó nhập vectơ u vào: II. Vectơ 3 chiều 7. Nhập vectơ 3 chiều vào máy: Gọi u  ( a , b , c ) và v  (a1 , b1 , c1 ) là 2 vectơ tùy ý trong không gian 3 chiều. Ví dụ: u  (1, 2, 3) và v  (4,5, 6) Tương tự như vectơ 2 chiều, chúng ta nhập 2 vectơ này vào máy bằng cách: Các phép tính vectơ 3 chiều hoàn toàn tương tự như vectơ 2 chiều. Nên các bạn chỉ cần xem cách làm đối với vectơ 2 chiều rồi dễ dàng suy ra cách làm đối với vectơ 3 chiều. Tuy nhiên vectơ 3 chiều có thêm 1 điểm khác mà vectơ 2 chiều không có, đó chính là: Tích có hướng. Nhấn mode, chọn 8 (VECTOR) 8. Tích có hướng Nếu tích vô hướng của 2 vectơ trong Casio là dot (.) thì tích có hướng chính là dấu nhân (X) trên bàn phím. Có 3 vectơ cho chúng ta lựa chọn Sau khi nhập xong 2 vectơ, để tính tích có hướng của 2 vectơ, ta bấm: Tại bước chọn số chiều của vectơ, chúng ta sẽ nhấn 1 để chọn số chiều là 3. Nhấn =, kết quả là (-3;6;-3) : Tính vectơ duøng Casio Trang 14/28 phuongphaphoctap.net Tính vectơ duøng Casio Trang 15/28 phuongphaphoctap.net