Toán tử Sturm-Liouville

  • Số trang: 61 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 162 |
  • Lượt tải: 2
nhattuvisu

Đã đăng 26946 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------ TRẦN THỊ MÂY TOÁN TỬ STURM-LIOUVILLE LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN VĂN NGỌC HÀ NỘI- 2013 Lời cám ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tới TS. Nguyễn Văn Ngọc, người đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Qua đây, tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong tổ Toán giải tích trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, những người đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về thời gian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Hà Nội, năm 2013 1 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lý thuyết phổ đối với trường hợp chính quy 1.1 3 4 Khái niệm về bài toán Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Dáng điệu tiệm cận của giá trị riêng và hàm riêng . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Lý thuyết Sturm trên các không điểm của các nghiệm . . . . . . . . . . 14 1.4 Bài toán tuần hoàn và nửa tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.1 Số bội của những giá trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.2 Các không điểm của các hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5 1.6 Chứng minh định lý về sự khai triển bằng phương pháp phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chứng minh định lý về sự khai triển trong trường hợp tuần hoàn . . . 32 2 Một số ví dụ và bài toán áp dụng lý thuyết phổ đối với trường hợp chính quy 35 2.1 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.1 Các ví dụ đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.2 Các ví dụ phức tạp hơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Phương trình dao động của một dây (thanh) hữu hạn . . . . . . . . . . 42 2.2.1 Nghiệm của bài toán dao động của một dây . . . . . . . . . . . 42 2.2.2 Tính duy nhất nghiệm của bài toán dao động của một dây . . . 45 Phương trình truyền nhiệt của dây hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.1 Nghiệm của bài toán truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình truyền nhiệt . 53 Phương trình Laplace trong hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2 2.3 2.4 2 Mở đầu Lý thuyết toán tử là một lĩnh vực quan trọng của giải tích. Ngày nay, nhiều ngành của giải tích không thể tách rời lý thuyết toán tử, đáng chú ý phải kể đến phép tính biến phân, lý thuyết biến đổi và các phương trình vi phân. Các ngành này đều phát triển sau lý thuyết toán tử đến hàng thế kỉ. Vì thế, không phải ngạc nhiên khi nhiều vấn đề của lý thuyết toán tử được giới thiệu trong các ngành này. Phương trình vi phân và phương pháp tính nhiều biến được phát triển nhờ sự đóng góp to lớn của Euler, Lagrange và gia đình Bernoulli. Mối liên hệ đáng chú ý đầu tiên của các giá trị riêng với các phương trình vi phân được nhắc đến trong lý thuyết phát triển bởi Charles Francois Sturm năm 1836 và Joseph Liouville năm 1838. Đây là một bước liên hệ rất có ý nghĩa, bởi vì không giống trường hợp không gian cơ sở là vô hạn chiều, ở đó cho phép các vấn đề không thể phát triển được trong trường hợp của đại số tuyến tính. Lý thuyết Sturm-Liouville được bắt đầu với lý thuyết phổ của các toán tử vi phân thường. Lý thuyết phổ của toán tử Sturm-Liouville là một lĩnh vực cổ điển của giải tích, bao gồm một lớp rộng các bài toán. Nhiều bài toán phương trình đạo hàm riêng trong cơ học, lượng tử được đưa về bài toán biên Sturm-Liouville. Bởi tầm quan trọng của toán tử Sturm-Liouville và được sự gợi ý, hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Ngọc nên tôi đã thực hiện đề tài "Toán tử Sturm-Liouville" để hoàn thành luận văn tốt nghiệp cao học chuyên ngành Toán giải tích của mình. Luận văn bao gồm hai chương. Chương 1 trình bày các vấn đề cơ bản trong lý thuyết phổ của toán tử SturmLiouville đối với trường hợp chính quy, bao gồm đáng điệu tiệm cận của giá trị riêng và hàm riêng, và các định lý khai triển hàm riêng. Bài toán Sturm-Liouville tuần hoàn và nửa tuần hoàn cũng được giới thiệu trong chương này. Chương 2 trình bày một số ví dụ và bài toán áp dụng lý thuyết phổ đối với trường hợp chính quy. Đặc biệt, trong chương này bài toán truyền sóng, bài toán truyền nhiệt, phương trình Laplace trong hình chữ nhật cũng được đưa về bài toán biên SturmLiouville bằng phương pháp tách biến. 3 Chương 1 Lý thuyết phổ đối với trường hợp chính quy 1.1 Khái niệm về bài toán Sturm-Liouville 1.1.1 Khái niệm Định nghĩa 1.1.1. Cho L là một toán tử tuyến tính được xác định trên một tập hợp đã biết của các phần tử. Một phần tử y 6= 0 được gọi là một vectơ riêng của L nếu Ly = λy, và λ được gọi là giá trị riêng tương ứng của L. Một trong những toán tử đơn giản nhất thường được sử dụng trong ứng dụng là d2 L = − 2 + q (x) . dx Toán tử này được gọi là toán tử Sturm-Liouville. Giả sử rằng q (x) là một hàm giá trị thực và liên tục trên đoạn [a, b]. Những điều kiện giá trị biên quan trọng nhất cho toán tử là 1. y (a) cosα + y 0 (a) sin α = 0, y (b) cosβ + y 0 (b) sin β = 0, ở đó α và β là hai số thực tùy ý, và 2. y (a) = y (b), y 0 (a) = y 0 (b). Định nghĩa 1.1.2. Bài toán giá trị biên Ly (x) = −y 00 + q (x) y = λy, y (a) cosα + y 0 (a) sin α = 0, y (b) cosβ + y 0 (b) sin β = 0, được gọi là bài toán Sturm-Liouville. 4 (1.1) (1.2) Bài toán Sturm-Liouville được gọi là chính quy nếu đoạn [a, b] là hữu hạn và hàm q (x) là khả tổng trên đoạn đó. Ngược lại, nếu đoạn [a, b] là vô hạn, hoặc nếu q (x) là không khả tổng trên đoạn đó, hoặc cả hai thì bài toán Sturm-Liouville được gọi là kì dị. 1.1.2 Tính chất Chúng ta xét bài toán giá trị biên (1.1) , (1.2). Không mất tổng quát, có thể giả sử rằng a = 0 và b = π. Thực tế đoạn [a, b] được ánh xạ vào đoạn [0, π] bởi phép thế t = x−a π, b−a phép thế này không làm thay đổi dạng của (1.1) , (1.2). Nếu bài toán giá trị biên có một nghiệm không tầm thường y (x, λ1 ) 6= 0 với λ1 đã biết, thì khi đó λ1 được gọi là một giá trị riêng, và y (x, λ1 ) 6= 0 được gọi là hàm riêng của (1.1) , (1.2). Bổ đề 1.1.1. Hai hàm riêng y (x, λ1 ) 6= 0 và y (x, λ2 ) 6= 0 tương ứng với những giá trị riêng khác nhau là trực giao, tức là Zπ y (x, λ1 )y (x, λ2 ) dx = 0, λ1 6= λ2 . 0 Chứng minh. Lấy f (x) và g (x) là các hàm liên tục và khả vi hai lần. Đặt Lf = −f 00 (x) + q (x) f (x) . Tích phân từng phần hai lần, chúng ta có Zπ Zπ Lf.g (x)dx = Wπ {f, g} − W0 {f, g} + 0 ở đó Lg.f (x)dx, (1.5) 0 f (x) g (x) Wx {f, g} = 0 f (x) g 0 (x) . Lấy f (x) = y (x, λ1 ) và g (x) = y (x, λ2 ) . Từ điều kiện biên (1.2) ta có W0 {f, g} = Wπ {f, g} = 0. Do đó, từ (1.5) , ta có Zπ (λ1 − λ2 ) y (x, λ1 )y (x, λ2 ) dx = 0. 0 Vì λ1 6= λ2 nên ta có điều phải chứng minh. 5 Bổ đề 1.1.2. Các giá trị riêng của bài toán giá trị biên (1.1) , (1.2) là thực. Chứng minh. Lấy λ1 = u + iv là một giá trị riêng phức. Vì q (x) có giá trị thực và α, β là thực, nên λ2 = λ1 = u − iv cũng là một giá trị riêng, tương ứng với hàm riêng y (x, λ1 ). Khi đó, từ bổ đề trước ta có Zπ |y (x, λ1 )|2 dx = 0; 0 do đó, y (x, λ1 ) ≡ 0, mâu thuẫn với y (x, λ1 ) là một hàm riêng. Vậy ta có điều phải chứng minh. Định lý 1.1.1. Nếu q (x) là một hàm liên tục trên đoạn [a, b], khi đó với bất kì α, tồn tại duy nhất một nghiệm ϕ (x, λ) , a ≤ x ≤ b, của phương trình (1.1), sao cho ϕ (a, λ) = sin α và ϕ0 (a, λ) = −cosα. Với bất kì x cố định thuộc đoạn [a, b], ϕ (x, λ) là một hàm nguyên của λ. 1.2 Dáng điệu tiệm cận của giá trị riêng và hàm riêng Đặt cot α = −h và cot β = H. Các điều kiện biên (1.2) có thể được viết dưới dạng y 0 (0) − hy (0) = 0, y 0 (π) + Hy (π) = 0. (2.1) Biểu thị nghiệm của (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu ϕ (0, λ) = 1, ϕ0x (0, λ) = h (2.2) ψ (0, λ) = 0, ψx0 (0, λ) = 1. (2.3) và Bổ đề 1.2.1. Cho λ = s2 . Khi đó 1 h ϕ (x, λ) = cos sx + sin sx + s s Zx sin [s (x − τ )]q (τ ) ϕ (τ, λ) dτ, (2.4) 0 sin sx 1 ψ (x, λ) = + s s Zx sin [s (x − τ )]q (τ ) ψ (τ, λ) dτ. 0 6 (2.5) Chứng minh. Để chứng minh (2.4), chúng ta chú ý rằng, ϕ (x, λ) thỏa mãn (1.1), do đó ta có Zx sin [s (x − τ )]q (τ ) ϕ (τ, λ) dτ 0 Zx sin [s (x − = τ )]ϕ00τ (τ, λ) dτ + s 2 Zx sin [s (x − τ )]ϕ (τ, λ) dτ. 0 0 Hai lần lấy tích phân từng phần cho tích phân đầu tiên ở vế phải và sử dụng (2.2), chúng ta có Zx sin [s (x − τ )]q (τ ) ϕ (τ, λ) dτ = −h sin sx + sϕ (x, λ) − s cos sx, 0 từ đây ta có công thức (2.4). (2.5) có thể được chứng minh tương tự. Bổ đề 1.2.2. Cho s = σ + it. Khi đó, tồn tại s0 > 0 sao cho, với |s| > s0 , các ước lượng  ϕ (x, λ) = O e|t|x , ψ (x, λ) = O |s|−1 e|t|x  (2.6) là hợp lệ; một cách chính xác hơn là  e|t|x , ϕ (x, λ) = cos sx + O |s|  |t|x  sin sx e ψ (x, λ) = +O . s |s|2  (2.7) Tất cả các ước lượng là đều đối với x thuộc đoạn [0, π]. Chứng minh. Đặt ϕ (x, λ) = e|t|x f (x) . Từ (2.4) ta có   Zx 1 h −|t|x f (x) = cos sx + sin sx e sin [s (x − τ )]e−|t|(x−τ ) q (τ ) f (τ ) dτ. + s s 0 Lấy µ = max0≤x≤π |f (x)|. Khi đó, từ đẳng thức trên ta nhận được |h| µ µ≤1+ + |s| |s| Zx |q (τ )|dτ ; 0 do đó  µ≤ 1+ |h| |s|   1 − 1 |s| Zπ |q (τ )|dτ  , 0 7 −1 với điều kiện mẫu số dương, hay Zπ |s| ≥ |q (τ )|dτ. 0 Bởi vậy (2.6) được chứng minh cho ϕ (x, λ), có thể chứng minh tương tự cho ψ (x, λ) bằng việc sử dụng (2.5). Ước lượng (2.7) thu được bằng việc thay thế (2.6) trong tích phân ở vế phải của (2.4) và (2.5). Rõ ràng sự khai triển tiệm cận nói chung của ϕ (x, λ) và ψ (x, λ) như hàm của s có thể thu được bằng việc lặp lại quy trình. Bây giờ chúng ta sẽ nhận được công thức tiệm cận cho những giá trị riêng và hàm riêng, trong trường hợp đặc biệt, công thức này chứng minh sự tồn tại vô hạn giá trị riêng. Trước tiên, chúng ta giả sử rằng h 6= ∞ và H 6= ∞. Hàm ϕ (x, λ) rõ ràng thỏa mãn điều kiện biên đầu tiên trong (2.1) với λ bất kì. Bởi vậy, chúng ta tìm được giá trị riêng bằng phép thay thế ϕ (x, λ) trong điều kiện thứ hai của (2.1) . Từ Bổ đề 1.1.2, những giá trị riêng là thực, tức là Ims = t = 0. Do đó ước lượng đầu tiên trong (2.7) đưa đến công thức  ϕ (x, λ) = cos sx + O s−1 . (2.8) Lấy vi phân (2.4) đối với x và sử dụng (2.8), ta thu được ước lượng ϕ0x (x, λ) = −s sin sx + O (1) . (2.9) Bây giờ, thay thế giá trị của ϕ (x, λ) và ϕ0x (x, λ), được xác định bởi (2.7) và (2.9), trong điều kiện của (2.1), chúng ta đi đến phương trình −s sin sπ + O (1) = 0, (2.10) phương trình này rõ ràng có những nghiệm gần nguyên với s lớn, do đó, sự tồn tại vô hạn những giá trị riêng đã được chứng minh. Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng, từ một số nguyên đủ lớn N đã biết, chỉ có một nghiệm của (2.10) gần với mỗi số nguyên n > N . Vi phân vế trái của (2.10) theo biến s, chúng ta thu được −πs cos sπ + O (1). Ta thấy rằng biểu thức này không triệt tiêu nếu s gần với những số nguyên lớn. Lấy sn là nghiệm thứ n của (2.10). Từ định lý Sturm (Phần 3) và từ công thức tiệm cận cho những hàm riêng ta có sn gần với n, và không gần với bất kì số nguyên khác. Phép chứng minh khác, không dựa trên cơ sở lý thuyết Sturm có thể thu được như sau. 8 Chúng ta chú ý rằng giá trị riêng λ thỏa mãn ϕ (π, λ) + Hϕ0x (π, λ) = ω (λ) = 0. Đặt λ = s2 . Khi đó ω (λ) = ω1 (s), hàm này, theo (2.4), là một hàm nguyên của s. Cũng từ công thức tiệm cận (2.8) và (2.9), với sin πs 6= 0, ta có   ω1 (s) = −Hs sin sπ 1 + O |s|−1 . (2.11) Lấy đường tròn DR bán kính R = N + 21 trong s-phẳng, ở đó N là một số tự nhiên. Từ Định lý Rouche và công thức tiệm cận (2.11), ta thấy có nhiều không điểm của ω1 (s) bên trong DR như của hàm s sin sπ, tức là 2 (N + 1). Hàm ω1 (s) là hàm chẵn, do đó chúng ta chỉ cần xét nghiệm dương của nó. Mỗi không điểm dương là liên hợp với một giá trị riêng, và chúng ta có N + 1 giá trị riêng sk nhỏ hơn N + 21 . Ta có sn = n + O (1) . (2.12) Thật vậy, lấy sn = mn +O (1) , mn 6= n. Mặt khác, có n+1 giá trị riêng sk (k = 0, 1, ..., n) nhỏ hơn sn . Từ trên ta thấy rằng phải có 2 (mn + 1) không điểm của ω1 (s) trong một đĩa bán kính mn + 21 , tức là phải có mn + 1 6= n + 1 giá trị riêng sk nhỏ hơn sn , mâu thuẫn, và (2.12) được chứng minh. Đặt sn = n + δn . Phương trình (2.10) khi đó đưa về dạng (n + δn ) sin δn π + O (1) = 0. Do đó sin δn π = O (n−1 ), tức là δn = O (n−1 ). Như vậy, với n lớn, các nghiệm của (2.10) là  sn = n + O n−1 . (2.13) Công thức tiệm cận (2.13) có thể được làm tăng thêm nhiều nếu chúng ta giả sử rằng đạo hàm của q (x) trong (1.1) là bị chặn. Thật vậy, vi phân (2.4) theo biến x và thay thế ϕ (x, λ) và ϕ0x (x, λ) trong điều kiện biên thứ hai của (2.1), chúng ta thu được phép biến đổi đơn giản sau (−s + B) sinsπ + A cos sπ = 0, ở đó Zπ  A=h+H +  H cos sτ + sinsτ q (τ ) ϕ (τ, λ) dτ, s 0 hH B= + s Zπ   H sinsτ + q (τ ) ϕ (τ, λ) dτ. s 0 9 (2.14) Bởi (2.8) nên 1 A=h+H + 2 Zπ Zπ 1 q (τ )dτ + 2 0   1 q (τ )cos2sτ dτ + O , s 0 1 B= 2 Zπ   1 q (τ ) sin 2sτ dτ + O . s 0 Vì q (x) có đạo hàm bị chặn bởi giả thiết, lấy tích phân từng phần, chúng ta có Zπ   1 q (τ )cos2sτ dτ = O , s Zπ 0   1 q (τ ) sin 2sτ dτ = O , s 0 và   1 A = h + H + h1 + O , s 1 h1 = 2 Zπ   1 B=O . s q (τ )dτ, 0 Bởi vậy, phương trình (2.14) có thể được viết dưới dạng sau  h + H + h1 + O 1s  . tansπ = s + O 1s Đặt sn = n + δn , chúng ta thu được h + H + h1 tan πδn = +O n   1 n2 1 n2  . Do đó, h + H + h1 +O δn = πn và c sn = n + + O n ở đó  c= 1 1 h+H + π 2  1 n2   , (2.15)  Zπ q (τ ) dτ  . 0 2 Giả sử rằng q (x) ∈ C ([0, π]), chúng ta có thể chứng minh rằng phương trình tiệm cận đúng đắn hơn là c c1 sn = n + + 3 + O n n ở đó c1 là một hằng số. 10  1 n4  Sử dụng công thức (2.15), chúng ta thu được công thức tiệm cận cho hàm riêng ϕ (x, λn ) ≡ ϕn (x), Thay thế biểu thức ϕ (x, λ) từ (2.8) vào (2.4), và vì q (x) khả vi nên chúng ta thu được h 1 ϕ (x, λ) = cos sx + sin sx + s s Zπ  sin [s (x − τ )] cos sτ q (τ ) dτ + O 1 s2  0 h sin sx = cos sx + sin sx + s 2s Zπ  q (τ ) dτ + O 1 s2  . 0 Thay sn cho s, từ (2.15) chúng ta nhận được Zx  1 q (τ )dτ + O n2 0   β (x) 1 sin nx + O = cos nx + , n n2 cx h sin nx ϕ (x, λn ) ≡ ϕn (x) = cos nx − sin nx + sin nx + n n 2n ở đó β (x) = −cx + h + 1 2 Rx  q (τ )dτ. 0 Để nhận được sự khai triển tiệm cận của các hàm riêng thông thường, chúng ta xét tích phân αn2 Zπ = ϕ2n Zπ (x) dx = 0 1 cos2 nxdx + n 0 Zπ  β (x) sin 2nxdx + O 1 n2  . 0 Vì hàm β (x) là khả vi, nên Zπ   1 β (x) sin 2nxdx = O . n 0 Do đó, αn2 = π 2 +O 1 n2  , 1 = αn r    2 1 1+O , π n2 và công thức tiệm cận cho các hàm riêng thông thường là r     1 2 β (x) 1 vn (x) = ϕn (x) = cos nx + sin nx + O . αn π n n2 Bây giờ chúng ta sẽ xét trường hợp h = ∞, H 6= ∞ (trường hợp h 6= ∞, H = ∞ được biến đổi đến trường hợp này bằng phép thế t = π − x). Điều kiện biên đầu tiên trong (2.1) đưa đến công thức y (0) = 0. 11 Hàm ψ (x, λ) của phần trước thỏa mãn điều kiện này. Do đó, chúng ta sẽ xác định giá trị riêng trong trường hợp này bằng phép thế ψ (x, λ) trong điều kiện biên thứ hai của (2.1). Vi phân đẳng thức (2.5) theo biến x chúng ta thu được ψx0 (x, λ) = cos sx + Zx cos [s (x − τ )]q (τ ) ψ (τ, λ) dτ. 0 Từ điều kiện biên thứ hai của (2.1) ta có Zπ cos [s (π − τ )]q (τ ) ψ (τ, λ) dτ cos sπ + 0 +H   sinsπ  s + 1 s Zπ sin [s (π − τ )]q (τ ) ψ (τ, λ) dτ   = 0.  0 Chúng ta có 1 cos sπ + s Zπ sinsπ +O cos [s (π − τ )]q (τ ) sinsτ dτ + H s  1 s2  = 0, (2.16) 0 cũng dựa trên ước lượng (2.7) đối với ψ (x, λ) . Lại giả sử rằng q (x) có đạo hàm bị chặn, chúng ta nhận được Zπ sinsπ q (τ ) cos [s (π − τ )] sinsτ dτ = 2 Zπ   1 q (τ )dτ + O . s 0 0 Bởi vậy, phương trình (2.16) cho ta       Zπ sinsπ sinsπ 1 1 1   cos sπ + H+ q (τ )dτ + O 2 = cos sπ + H1 + O 2 = 0, s 2 s s s 0 (2.17) Có thể thấy rằng, với s lớn, các nghiệm của (2.17) gần với n + 1 , 2 ở đó n là một số tự nhiên. Hơn nữa, như đã chứng minh trước, với n đủ lớn chỉ có một nghiệm của phương trình gần với mỗi n + 21 . Đặt sn = n + 12 + δn . Từ (2.17) ta có    1 H1 −2 cot n + + δn π = − tan δn π = − 1 +O n 2 n+ 2 và δn = H1 π (n+ 12 ) + O (n−2 ); do đó sn = n +  1 H1  + O n−2 , + 1 2 π n+ 2 12 ở đó H1 = H + 1 2 Rπ q (τ )dτ . 0 Bây giờ, thay sn trong (2.5), chúng ta thu được công thức tiệm cận     1 1 1 ψn (x) = x+O 1 sin n + 2 n2 n+ 2 với những hàm riêng ψ (x, λn ) ≡ ψn (x) . Công thức cho αn−1 là r     1 2 1 1 = n+ 1+O . αn π 2 n Do đó, các hàm đã chuẩn hóa là 1 ψn (x) = vn (x) = αn r     1 1 2 sin n + x+O . π 2 n Cuối cùng, chúng ta nghiên cứu trường hợp h = ∞ và H = ∞, ở đó điều kiện biên (2.1) có dạng y (0) = y (π) = 0, do đó, hàm ψ (x, λ) của phần trước cũng thỏa mãn điều kiện ψ (π, λ) = 0. Từ (2.5) ta có Zπ sinsπ + sin [s (π − τ )]q (τ ) ψ (τ, λ) dτ = 0, 0 hoặc   Zπ Zπ cos sτ q (τ ) ψ (τ, λ) dτ  − cos sπ sinsπ 1 + 0 sin sτ q (τ ) ψ (τ, λ) dτ = 0. 0 Từ phương trình cuối và ước lượng (2.7) đối với ψ (x, λ), ta có     Zπ 1 1 1 c sinsπ − cos sπ q (τ ) dτ + O 2 = sinsπ − cos sπ + O 2 = 0, 2s s s s (2.18) 0 với giả sử rằng q (x) có đạo hàm bị chặn. Đây là một phương trình có dạng như (2.10). Tiếp tục như trước, chúng ta thiết lập các nghiệm của (2.18) gần với các số nguyên, và bắt đầu với số nguyên n đủ lớn, chỉ có một nghiệm gần với n. Do đó, các nghiệm sn của (2.18) là   Zπ c 1 1 sn = n + + O , c= q (τ )dτ. n n2 2π 0 Thế sn trong (2.5), chúng ta thu được công thức tiệm cận   sin nx 1 ψn (x) = +O n n2 với hàm riêng ψ (x, λn ) ≡ ψn (x), và công thức r   2 1 sin nx + O vn (x) = π n với các hàm riêng đã chuẩn hóa. 13 (2.19) 1.3 Lý thuyết Sturm trên các không điểm của các nghiệm Nghiên cứu sâu hơn sự phân phối của các không điểm của hàm riêng cho phép Sturm chứng minh sự tồn tại của vô hạn các giá trị riêng của bài toán giá trị biên (1.1), (1.2) theo cách khác. Trong phần này chúng ta xét bài toán giá trị biên đơn giản nhất y 00 + λy = 0, y 0 (0) = y 0 (π) = 0 với các hàm riêng ϕ0 (x) = 1, ϕ1 (x) = cos x, ϕ2 (x) = cos 2x, ..., ϕn (x) = cos nx, ... và các giá trị riêng tương ứng λ0 = 0, λ1 = 12 , λ2 = 22 , ..., λn = n2 , ... Các hàm riêng được sắp thứ tự theo các giá trị riêng tăng dần, bắt đầu từ 0. Các không điểm của chúng có hai tính chất sau: (1) Hàm riêng thứ n trong đoạn [0, π] có đúng n không điểm, và (2) Các không điểm của hàm riêng thứ n và n + 1 đan xen nhau, tức là có một không điểm của hàm riêng thứ n + 1 nằm giữa hai không điểm liên tiếp của hàm riêng thứ n. Những tính chất này cũng được trang bị hợp lệ trong trường hợp tổng quát. Định lý Sturm cơ bản sau đây là phần quan trọng nhất: Định lý 1.3.1. Cho u00 + g (x) u = 0 (3.1) v 00 + h (x) v = 0 (3.2) trong toàn bộ đoạn [a, b], nếu g (x) < h (x), thì có ít nhất một không điểm của mỗi nghiệm của (3.2) nằm giữa hai không điểm của nghiệm không tầm thường bất kì của (3.1). Chứng minh. Nhân (3.1) với v, (3.2) với u, và trừ cho nhau, chúng ta thu được u00 v − v 00 u = d 0 (u v − v 0 u) = [h (x) − g (x)] uv dx (3.3) Kí hiệu các không điểm liên tiếp của u là x1 và x2 . Khi đó, lấy tích phân từng phần đồng nhất thức (3.3) từ x1 đến x2 , chúng ta thu được 0 0 Zx2 u (x2 ) v (x2 ) − u (x1 ) v (x1 ) = [h (x) − g (x)]u (x) v (x) dx. x1 14 Giả sử rằng v không bị triệt tiêu trong (x1 , x2 ). Không mất tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng u > 0 và v > 0 trong (x1 , x2 ). Do đó vế phải của phương trình cuối là dương. Vì u (x) > 0 bởi giả thiết, hàm tăng tại x1 . Do vậy, u0 (x1 ) > 0 (nó không thể triệt tiêu, bởi vì khi đó từ định lý về tính duy nhất nghiệm của (3.1) ta có u (x) ≡ 0, điều này không thể xảy ra). Tương tự, u0 (x2 ) < 0. Do đó, u0 (x2 ) v (x2 ) − u0 (x1 ) v (x1 ) ≤ 0; mâu thuẫn. Như vậy, định lý được chứng minh. Hệ quả 1.3.1. Bất kì nghiệm của phương trình y 00 + g (x) y = 0, −∞ ≤ a ≤ x ≤ b ≤ +∞, (3.4) với g (x) < −m2 < 0 không thể có nhiều hơn một không điểm. Chứng minh. Thật vậy, phương trình y 00 − m2 y = 0 có nghiệm emx không triệt tiêu tại bất kì đâu. Do đó, từ định lý trên, bất kì nghiệm của (3.4) không thể có hơn một không điểm trong bất kì đoạn hữu hạn nào. Định lý 1.3.2. (Định lý so sánh.) Cho u (x) là nghiệm của phương trình (3.1), thỏa mãn điều kiện ban đầu u0 (a) = −cosα u (a) = sin α, (3.5) và cho v (x) là nghiệm của phương trình (3.2) với điều kiện biên tương tự. Hơn nữa, giả sử rằng g (x) < h (x) trên toàn bộ đoạn [a, b]. Khi đó, nếu u (x) có m không điểm trong (a, b], thì v (x) có không ít hơn m không điểm cũng trên khoảng đó và không điểm thứ k của v (x) nhỏ hơn không điểm thứ k của u (x). Chứng minh. Lấy x1 là không điểm của hàm u (x) gần với a (nhưng khác a). Định lý trước đủ để chỉ ra rằng v (x) có ít nhất một không điểm trong [a, x1 ]. Giả sử ngược lại, không giảm tổng quát, chúng ta có thể lấy v (x) > 0 và u (x) > 0 trong đoạn [a, x1 ]. Vì u (x1 ) = 0, hàm u (x) giảm trong lân cận của điểm x1 . Do đó, u0 (x1 ) ≤ 0. Lấy tích phân đồng nhất thức (3.3) từ a đến x1 , chúng ta thu được 0 Zx1 [h (x) − g (x)]u (x) v (x) dx. u (x1 ) v (x1 ) = a Từ giả thiết, v (x) > 0 và u (x) > 0 trong [a, x1 ], và h (x) > g (x), ta có vế phải của phương trình cuối là dương. Tuy nhiên, biểu thức ở vế trái nhỏ hơn hoặc bằng 0, mâu thuẫn. Như vậy, định lý được chứng minh. 15 Cho ϕ (x, λ) là hàm được đưa ra ở Phần 2. Xét phương trình ϕ (x, λ) = 0, a ≤ x ≤ b. Rõ ràng các nghiệm của phương trình này là các hàm của λ. Chúng ta sẽ chứng minh chúng liên tục. Bổ đề 1.3.1. Nếu x0 ∈ (a, b) là một nghiệm của hàm ϕ (x, λ0 ) thì với một số ε > 0 đủ nhỏ, tồn tại một số δ > 0 sao cho, với |λ − λ0 | < δ, hàm ϕ (x, λ) có đúng một không điểm trong khoảng |x − x0 | < ε. Chứng minh. Không điểm x0 của nghiệm ϕ (x, λ0 ) của phương trình (1.1) là đơn, vì nếu chúng ta có ϕ0x (x0 , λ0 ) = 0, thì từ định lý về tính duy nhất nghiệm của bài toán (1.1), (3.5), ta có ϕ (x, λ0 ) ≡ 0. Bởi vậy, ϕ0x (x0 , λ0 ) 6= 0. Từ định nghĩa, chúng ta đặt ϕ0x (x0 , λ0 ) > 0. Cho ε > 0 đủ nhỏ để ϕ0x (x, λ0 ) > 0 trong toàn bộ khoảng |x − x0 | ≤ ε. Khi đó ϕ (x0 − ε, λ0 ) < 0 và ϕ (x0 + ε, λ0 ) > 0. Hơn nữa, vì ϕ0 (x, λ) liên tục đối với λ (theo Định lý 1.1.1, ϕ (x, λ) là hàm nguyên của λ), có δ > 0 sao cho, với |λ − λ0 | ≤ δ, ϕ0x (x, λ) cũng dương trên toàn bộ khoảng |x − x0 | ≤ ε. Bởi vậy, hàm tăng đơn điệu ϕ (x, λ) rõ ràng không thể có hai không điểm trong khoảng này. Hơn nữa, nếu chúng ta chọn δ nhỏ để sao cho với |λ − λ0 | < δ, hàm ϕ (x0 − ε, λ0 ) âm, và ϕ (x0 + ε, λ0 ) dương (điều này có thể có được do tính liên tục của ϕ (x, λ) đối với λ), thì từ bổ đề ta có: Nghiệm ϕ (x, λ) với |λ − λ0 | < δ có đúng một không điểm trong đoạn [x0 − ε, x0 + ε]. Như vậy, bổ đề được chứng minh. Sau đây là một kết quả quan trọng. Hệ quả 1.3.2. Khi λ thay đổi, ϕ (x, λ) có thể mất đi hoặc thu được không điểm chỉ nếu không điểm nhận bên trong khoảng hoặc bên ngoài khoảng thông qua một trong những điểm đầu mút a, b. Sau đây chúng ta sẽ chứng minh sự tồn tại của vô hạn các giá trị riêng. Định lý 1.3.3. Có một dãy tăng vô hạn các giá trị riêng λ0 , λ1 , ..., λn , ... của bài toán giá trị biên (1.1), (1.2), và các hàm riêng tương ứng với giá trị riêng λm có đúng m không điểm trong khoảng a < x < b. Chứng minh. Cho ϕ (x, λ) là nghiệm của phương trình (1.1), thỏa mãn điều kiện ban đầu (3.5). Từ Định lý 1.3.2, vì λ tăng, số các không điểm của hàm ϕ (x, λ) không giảm. Lấy |q (x)| < c với a ≤ x ≤ b. So sánh (1.1) với phương trình y 00 +(λ + c) y = 0. Nghiệm của nó thỏa mãn điều kiện ban đầu (3.5) là hàm h i h i 1 1 1 y = sin α. cosh (−λ − c) 2 (x − a) − cosα.(−λ − c) 2 sinh (−λ − c) 2 (x − a) . Với λ âm có giá trị tuyệt đối đủ lớn, y tuyệt đối không bị triệt tiêu. Bởi vậy, áp dụng Định lý 1.3.2, chúng ta thấy rằng ϕ (x, λ) không bằng 0 với những giá trị này của λ. 16 Tuy nhiên, lựa chọn phương trình y 00 + (λ − c) y = 0, chúng ta thấy rằng số không điểm của ϕ (x, λ) trong đoạn [a, b] tăng lên vô hạn nếu λ dương và tăng vô hạn. Xét phương trình ϕ (x, λ) = 0. Từ Bổ đề 1.3.1 ta thấy rằng các nghiệm của nó phụ thuộc liên tục vào λ. Mặt khác, từ Định lý 1.3.2, khi λ tăng, mỗi không điểm của ϕ (x, λ) dịch chuyển về bên trái nhưng không qua điểm a, vì số các không điểm không giảm. Từ hệ quả của Bổ đề 1.3.1, các không điểm mới được đưa vào qua điểm b. Lấy µ0 là giá trị đầu tiên của tham số λ sao cho ϕ (b, µ0 ) = 0. Hiển nhiên là tồn tại một giá trị như thế. Lấy µ1 là giá trị thứ hai của λ với ϕ (b, µ1 ) = 0. Dãy giá trị µ0 , µ1 , ..., µm , ... có tính chất hàm ϕ (x, µm ) có đúng m không điểm bên trong đoạn [a, b], và ϕ (b, µm ) = 0. Nếu sin β = 0, thì điều kiện biên thứ hai trong (1.2) xảy ra (điều kiện biên đầu tiên xảy ra bởi vì có (3.5)); bởi vậy µm là giá trị riêng, và định lý được chứng minh trong trường hợp này. Bây giờ, giả sử rằng sin β 6= 0, và u (x) , v (x) là những hàm được xét trong Định lý 1.3.2. Khi đó   0      0  00  02 d v0 v0 v 00 v02 u u u u 2 0 2 2 − − − − 2 u = 2uu +u −u dx u v u v u v u2 v (u0 v − uv 0 )2 + u2 [h (x) − g (x)] > 0. (3.6) = 2 v Bởi vậy hàm u2 u0 u − v0 v  đơn điệu tăng trong bất kì đoạn nào mà ở đó v không bị triệt tiêu. Giả sử rằng u (x) và v (x) có cùng số không điểm trong [a, b]. Lấy xν là nghiệm của u (x) gần nhất với điểm b. Chúng ta chỉ ra rằng hàm v (x) không thể có bất kì không điểm nào với xν ≤ x ≤ b. Thật vậy, từ Định lý 1.3.2, có ít nhất ν không điểm của v (x) ở giữa a và xν . Nếu v (x) bị triệt tiêu với xν ≤ x ≤ b, nó sẽ có nhiều hơn số không điểm trong toàn bộ [a, b] so với u (x), trái giả thiết. Lấy tích phân (3.6) từ xν đến b, chúng ta thu được  0   0  u (b) v 0 (b) u (xν ) v 0 (xν ) 2 2 u (b) − ≥ u (xν ) − = 0. u (b) v (b) u (xν ) v (xν ) Do đó, u0 (b) v 0 (b) > . u (b) v (b) (3.7) Lấy ϕ (x, λ0 ) = u (x) và ϕ (x, λ00 ) = v (x), ở đó µm < λ0 < λ00 < µm+1 . Theo (3.7), hàm ϕ0 (b,λ) ϕ(b,λ) đơn điệu giảm trong (µm , µm+1 ). Vì ϕ (b, µm ) = ϕ (b, µm+1 ) = 0, hàm giảm từ +∞ đến −∞. Bởi vậy, tồn tại một giá trị λm bên trong (µm , µm+1 ), với ϕ0 (b,λm ) ϕ(b,λm ) = − cot β, và điều kiện thứ hai trong (2.1) xảy ra. Do đó, λm là một giá trị riêng, và ϕ (x, λm ) có nhiều không điểm trong khoảng (a, b) như ϕ (x, µm ), nghĩa là m không điểm. Định lý được chứng minh. 17 1.4 Bài toán tuần hoàn và nửa tuần hoàn Xét phương trình y 00 + [λ − q (x)] y = 0, (4.1) ở đó q (x) là một hàm giá trị thực và tuần hoàn với chu kì a, tức là q (x + a) = q (x). Bởi tính tuần hoàn, chúng ta có thể xét bài toán giá trị biên cho (4.1) với điều kiện biên y 0 (0) = y 0 (a) (4.2) y 0 (0) = −y 0 (a) . (4.3) y (0) = y (a) , y (0) = −y (a) , Bài toán (4.1), (4.2) được gọi là bài toán tuần hoàn, và (4.1), (4.3) là nửa tuần hoàn. Dễ thấy cả hai bài toán là tự liên hợp (sử dụng đồng nhất thức của Green). Kí hiệu ϕ (x, λ) và ϑ (x, λ) là nghiệm của (4.1) với điều kiện ban đầu ϕ (0, λ) = ϑ0 (0, λ) = 0, ϕ0 (0, λ) = ϑ (0, λ) = 1. Lấy y (x, λ) là hàm riêng của bài toán (4.1), (4.2) hoặc (4.1), (4.3), tương ứng với giá trị riêng λ. Vì y (x, λ) là một nghiệm của (4.1) và ϕ (x, λ) , ϑ (x, λ) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (4.1), nên y (x, λ) = C1 ϑ (x, λ) + C2 ϕ (x, λ) , (4.4) ở đó C1 và C2 là hai hằng số. Thay biểu thức (4.4) trong điều kiện biên (4.2), chúng ta thu được C1 ϑ (a, λ) + C2 ϕ (a, λ) = C1 , C1 ϑ0 (a, λ) + C2 ϕ0 (a, λ) = C2 ; do đó C1 [ϑ (a, λ) − 1] + C2 ϕ (a, λ) = 0, C1 ϑ0 (a, λ) + C2 [ϕ0 (a, λ) − 1] = 0. Để hệ (4.5) có nghiệm không tầm thường, thì điều kiện cần và đủ là ϑ (a, λ) − 1 ϕ (a, λ) =0 ϑ0 (a, λ) ϕ0 (a, λ) − 1 (4.5) (4.6) Vì ma trận Wronskian W [ϕ (a, λ) , ϑ (a, λ)] = ϕ (a, λ) ϑ0 (a, λ) − ϕ0 (a, λ) ϑ (a, λ) = −1, nên từ (4.6) ta có ϕ0 (a, λ) + ϑ (a, λ) − 2 = 0. Bởi vậy, giá trị riêng của bài toán tuần hoàn (4.1), (4.2) thỏa mãn phương trình F (λ) = 2, ở đó F (λ) = ϑ (a, λ) + ϕ0 (a, λ) . Có thể chỉ ra tương tự rằng giá trị riêng của bài toán nửa tuần hoàn (4.1), (4.3) thỏa mãn phương trình F (λ) = −2. Những giá trị riêng của bài toán tuần hoàn và nửa tuần hoàn là thực, kết quả này được chứng minh tương tự như trong Phần 1. 18 1.4.1 Số bội của những giá trị riêng Đối lập bài toán (4.1) với điều kiện biên tách biệt, giá trị riêng của bài toán tuần hoàn và nửa tuần hoàn có thể được lặp lại nhưng số bội không vượt quá 2. Kết quả sau đây đưa ra một sự kiểm tra đơn giản cho một giá trị riêng lặp. Bổ đề 1.4.1. Để một giá trị riêng λ0 của bài toán tuần hoàn (nửa tuần hoàn) là lặp thì điều kiện cần và đủ là     ϑ a, λ0 = ϕ0 a, λ0 = 1, ϑ0 a, λ0 = ϕ a, λ0 = 0      ϑ a, λ0 = ϕ0 a, λ0 = −1, ϑ0 a, λ0 = ϕ a, λ0 = 0. (4.7) Chứng minh. (Điều kiện cần.) Lấy λ0 là một giá trị lặp của bài toán tuần hoàn (4.1), (4.2). Khi đó, tồn tại hai nghiệm độc lập tuyến tính y1 (x, λ0 ) và y2 (x, λ0 ) của phương trình (4.1), thỏa mãn điều kiện biên (4.2). Bất cứ nghiệm khác của (4.1) cũng là tổ hợp tuyến tính của y1 (x, λ0 ), y2 (x, λ0 ), và bởi vậy cũng thỏa mãn (4.2). Đặc biệt, điều này cũng hợp lệ với nghiệm ϑ (x, λ0 ) và ϕ (x, λ0 ). Bởi vậy,   ϑ a, λ0 = ϑ 0, λ0 = 1,   ϑ0 a, λ0 = ϑ0 0, λ0 = 0,   ϕ a, λ0 = ϕ 0, λ0 = 0,   ϕ0 a, λ0 = ϕ0 0, λ0 = 1, và điều kiện (4.7) được thỏa mãn. (Điều kiện đủ.) Giả sử (4.7) được thỏa mãn. Khi đó   ϑ a, λ0 = 1 = ϑ 0, λ0 ,   ϑ0 a, λ0 = 0 = ϑ0 0, λ0 ,   ϕ a, λ0 = 0 = ϕ 0, λ0 ,   ϕ0 a, λ0 = 1 = ϕ0 0, λ0 . Bởi vậy, ϑ (x, λ0 ) và ϕ (x, λ0 ) thỏa mãn (4.2) và là hàm riêng của bài toán tuần hoàn. Chứng minh cho bài toán nửa tuần hoàn là tương tự. Như vậy, định lý được chứng minh. Chú ý. Để xét xem một giá trị riêng của bài toán tuần hoàn hoặc nửa tuần hoàn là lặp, ta kiểm tra điều kiện thứ hai trong (4.7), hoặc ϑ0 (a, λ0 ) = ϕ (a, λ0 ) = 0. Thật vậy, nếu nó là lặp, chúng ta sẽ có ϑ (a, λ0 ) ϕ0 (a, λ0 ) = 1, bởi vì ma trận Wronskian là hằng. Hơn nữa, ϕ0 (a, λ0 ) + ϑ (a, λ0 ) = ±2. Bởi vậy, ϕ0 (a, λ0 ) , ϑ (a, λ0 ) là các nghiệm của phương trình bậc hai X 2 ∓ 2X + 1 = (X ∓ 1)2 = 0, và ϑ (a, λ0 ) = ϕ0 (a, λ0 ) = ±1. Để chứng minh điều kiện số bội của một giá trị riêng là lặp đến các không điểm của hàm F (λ) − 2 (hoặc F (λ) + 2) là không đơn giản. 19
- Xem thêm -