Tài liệu Toán tử năng lượng - luận văn tốt nghiệp chuyên nghành vật lý.

Trêng ®¹i häc s ph¹m hµ néi 2 Khoa vËt lý NguyÔn ThÞ Ng©n To¸n tö n¨ng lîng Kho¸ luËn tèt nghiÖp ®¹i häc Chuyªn ngµnh: VËt lý lý thuyÕt Hµ néi- 2007 Trêng ®¹i häc s ph¹m hµ néi 2 Khoa vËt lý NguyÔn ThÞ Ng©n To¸n tö n¨ng lîng Kho¸ luËn tèt nghiÖp 1 Chuyªn ngµnh: VËt lý lý thuyÕt Ngêi híng dÉn khoa häc Th.S. Ph¹m ThÞ Minh H¹nh Hµ néi- 2007 Lêi c¶m ¬n! Tríc tiªn em xin bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c nhÊt cña m×nh tíi c« Ph¹m ThÞ Minh H¹nh, ngêi ®· híng dÉn tËn t×nh vµ thêng xuyªn ®éng viªn em trong qu¸ tr×nh hoµn thµnh ®Ò tµi. Em xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy c« gi¸o trong tæ vËt lý lý thuyÕt ®· t¹o ®iÒu kiÖn vµ ®ãng gãp ý kiÕn ®Ó em hoµn thµnh luËn v¨n tèt nghiÖp. Tuy nhiªn do thêi gian vµ khu«n khæ cho phÐp cña ®Ò tµi cßn h¹n chÕ nªn ch¾c ch¾n kh«ng thÓ tr¸nh khái thiÕu sãt. RÊt mong ®îc sù ®ãng gãp ý kiÕn vµ tiÕp tôc x©y dùng ®Ò tµi cña quý thÇy c« vµ c¸c b¹n ®Ó luËn v¨n cña em ®îc hoµn thiÖn h¬n. Em xin ch©n thµnh c¶m ¬n ! Xu©n hoµ, ngµy 16 th¸ng 5 n¨m 2007 Sinh viªn NguyÔn ThÞ Ng©n 2 Lêi cam kết! T«i xin cam ®oan kho¸ luËn lµ kÕt qu¶ nghiªn cøu cña riªng t«i vµ cã sù híng dÉn nhiÖt t×nh cña c« Ph¹m ThÞ Minh H¹nh. Kho¸ luËn víi ®Ò tµi: To¸n tö n¨ng lîng cha tõng ®îc c«ng bè trong bÊt k× c«ng tr×nh nghiªn cøu nµo kh¸c. NÕu sai t«i xin hoµn toµn chÞu tr¸ch nhiÖm. Xu©n Hoµ,ngµy 16 th¸ng 5 n¨m 2007 Sinh viªn NguyÔn ThÞ Ng©n 3 Môc Lôc Më ®Çu Néi dung Ch¬ng 1 : Cë së lý luËn cña ®Ò tµi. 1.1. To¸n tö 1.1.1. §Þnh nghÜa 1.1.2. Hµm riªng, trÞ riªng vµ ph¬ng tr×nh trÞ riªng cña to¸n tö 1.1.3.To¸n tö Hermite 1.2. C¸c ®¹i lîng ®éng lùc vµ c¸c to¸n tö 1.3. Mét sè to¸n tö vi ph©n 1.4. C¸c biÓu diÔn kh¸c nhau cña to¸n tö Ch¬ng 2 : To¸n tö n¨ng lîng theo quan ®iÓm cæ ®iÓn. Ch¬ng 3 : To¸n tö n¨ng lîng theo quan ®iÓm c¬ lîng tö. 6 8 8 8 8 8 8 9 11 11 14 22 3.1. To¸n tö Hamilton H 22 3.2. øng dông cña H 29 3.3. BiÓu diÔn kh¸c nhau cña H Ch¬ng 4 : To¸n tö n¨ng lîng theo lý thuyÕt trêng lîng tö. 4.1. Nguyªn lý t¸c dông tèi thiÓu, ph¬ng tr×nh Euler-Lagrange 4.2. §Þnh lý Noether 4.3. PhÐp biÕn ®æi tÞnh tiÕn KÕt luËn Tµi liÖu tham kh¶o 4 34 38 38 39 40 44 46 5 Më ®Çu 1. LÝ do chän ®Ò tµi. VËt lý häc lµ mét trong nh÷ng m«n khoa häc tù nhiªn nghiªn cøu nh÷ng qui luËt ®¬n gi¶n nhÊt vµ tæng qu¸t nhÊt cña c¸c hiÖn tîng tù nhiªn nghiªn cøu tÝnh chÊt vµ cÊu tróc cña vËt chÊt vµ nh÷ng ®Þnh luËt cña sù vËn ®éng cña vËt chÊt. C¬ häc lµ mét bé phËn cña vËt lý häc. Nã nghiªn cøu sù dÞch chuyÓn cña c¸c vËt vµ sù biÕn d¹ng cña chóng vµ nh÷ng t¬ng t¸c diÔn ra gi÷a c¸c vËt ®ang dÞch chuyÓn hoÆc biÕn d¹ng. §Ó m« t¶ tr¹ng th¸i cña vËt, m« t¶ quy luËt chuyÓn ®éng cña hÖ vËt, trong vËt lý ngêi ta dïng mét hÖ thèng c¸c ®¹i lîng vËt lý. Mét trong c¸c ®¹i lîng Êy ®ã lµ n¨ng lîng. N¨ng lîng lµ sè ®o chuyÓn ®éng cña vËt chÊt thÓ hiÖn díi mäi d¹ng cña chuyÓn ®éng ®ã. Trong vËt lý häc cã nhiÒu h×nh thøc chuyÓn ®éng cña vËt chÊt (chuyÓn ®éng c¬ häc, chuyÓn ®éng nhiÖt, chuyÓn ®éng ®iÖn tõ…) nhng n¨ng lîng lµ sè ®o duy nhÊt cña chuyÓn ®éng vËt chÊt díi mäi h×nh thøc kh¸c nhau. N¨ng lîng øng víi h×nh thøc chuyÓn ®éng c¬ häc gäi lµ c¬ n¨ng. §Þnh luËt b¶o toµn n¨ng lîng lµ mét ®Þnh luËt c¬ b¶n cña thiªn nhiªn. Trong mçi giai ®o¹n ph¸t triÓn cña vËt lý häc, ®¹i lîng n¨ng lîng ®îc nh×n nhËn ë nh÷ng khÝa c¹nh kh¸c nhau. Cµng vÒ sau nµy, th× n¨ng lîng cµng ®îc nh×n nhËn hoµn chØnh, s©u s¾c vµ ®óng víi thùc nghiÖm h¬n. Trong c¬ häc cæ ®iÓn nã lµ ®aÞ lîng ®éng lùc n¨ng lîng. §Õn c¬ häc lîng tö c¸c ®¹i lîng ®éng lùc ®îc thay t¬ng øng b»ng c¸c to¸n tö vµ n¨ng lîng ®îc t¬ng øng b»ng to¸n tö n¨ng lîng. §Õn lý thuyÕt trêng lîng tö th× n¨ng lîng lµ mét thµnh phÇn cña vect¬ n¨ng xung lîng bèn chiÒu ®îc suy ra tõ Tenx¬ n¨ng xung lîng. Vµ dï ë giai ®o¹n nµo th× n¨ng lîng lu«n lµ mét trong nh÷ng kh¸i niÖm vËt lý quan träng nhÊt. ChÝnh v× vËy, nªn t«i ®· chän ®Ò tµi “To¸n tö n¨ng lîng”. 6 2. §èi tîng nghiªn cøu. §èi tîng nghiªn cøu cña ®Ò tµi lµ to¸n tö n¨ng lîng. 3. Môc ®Ých nghiªn cøu. T«i nghiªn cøu ®Ò tµi nµy lµ nh»m môc ®Ých cã mét c¸i nh×n s©u s¾c h¬n vÒ to¸n tö n¨ng lîng nh : To¸n tö n¨ng lîng theo lý thuyÕt cæ ®iÓn th× nh thÕ nµo, theo lý thuyÕt cña c¬ häc lîng tö vµ theo lý thuyÕt trëng lîng tö th× ra sao. 4. NhiÖm vô cña nghiªn cøu. - To¸n tö n¨ng lîng theo quan ®iÓm cæ ®iÓn. - To¸n tö n¨ng lîng theo quan ®iÓm cña c¬ häc lîng tö. - To¸n tö n¨ng lîng theo lý thuyÕt trêng lîng tö. 5. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu. T«i sö dông c¸c ph¬ng ph¸p nghiªn cøu sau: Ph¬ng ph¸p to¸n cho vËt lý; ph¬ng ph¸p to¸n tö; gi¶i ph¬ng tr×nh hµm riªng vµ trÞ riªng cña to¸n tö. Néi dung Ch¬ng 1: C¬ së lý luËn cña To¸n tö n¨ng lîng 1.1. To¸n tö 7 1.1.1. §Þnh nghÜa : Mét phÐp to¸n nµo ®ã, biÕn phÇn tö x X thµnh phÇn tö y  Y ®îc gäi lµ mét ¸nh x¹. KÝ hiÖu phÐp to¸n nµy lµ F , phÐp to¸n biÕn x  y ®îc viÕt nh sau: F x = y (x X, y  Y). 1.1.2. Hµm riªng, trÞ riªng vµ ph¬ng tr×nh trÞ riªng cña to¸n tö. XÐt mét to¸n tö F , nãi chung th× khi t¸c dông lªn mét hµm  (x) bÊt k× nã cho mét hµm kh¸c : F  (x) = (x). NÕu : F  (x) = f  (x) (1.1), víi f lµ mét h»ng sè. Khi ®ã ta nãi r»ng  (x) lµ hµm riªng; f lµ trÞ riªng øng víi hµm riªng  (x) cña to¸n tö  F . Mét to¸n tö cã thÓ cã nhiÒu hµm riªng. Sè c¸c trÞ riªng cña mét to¸n tö cã thÓ h÷u h¹n, cã thÓ v« h¹n. TrÞ riªng cã thÓ cã gi¸ trÞ gi¸n ®o¹n, còng cã thÓ cã gi¸ trÞ liªn tôc. TËp hîp c¸c gi¸ trÞ riªng cña to¸n tö F gäi lµ phæ cña F . Ph¬ng tr×nh (1-1) gäi lµ ph¬ng tr×nh trÞ riªng cña to¸n tö F . Gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta cã thÓ t×m ®îc c¸c hµm riªng vµ trÞ riªng cña to¸n tö. 1.1.3. To¸n tö Hermite. + Mét to¸n tö F nµo ®ã Hermite nÕu nã tho¶ m·n hÖ thøc :   * *  F .dq  (F ) dq + C¸c tÝnh chÊt cña to¸n tö Hermite : - Phæ trÞ riªng cña to¸n tö Hermite lµ thùc - TËp hîp c¸c vect¬ riªng cña to¸n tö Hermite trong trêng hîp kh«ng suy biÕn lµ trùc giao. - Trong kh«ng gian Hilbert mäi to¸n tö Hermite ®Òu cã mét hÖ trùc chuÈn ®ñ c¸c vect¬ riªng ®éc lËp tuyÕn tÝnh. 1.2. C¸c ®¹i lîng ®éng lùc vµ c¸c to¸n tö. Trong c¸c qu¸ tr×nh x©y dùng c¬ häc lîng tö ngêi ta thõa nhËn tiªn ®Ò sau : 8 “Mçi ®¹i lîng vËt lý F trong c¬ häc lîng tö ®îc biÓu diÔn b»ng mét to¸n tö tuyÕn tÝnh, Hermite F . Trong phÐp ®o ®¹i lîng F hÖ lîng tö  (q,t) ë thêi ®iÓm t, ®Ó ®îc sè ®o nµo ®ã, hÖ lîng tö sÏ chuyÓn vÒ n»m ë tr¹ng th¸i liªn kÕt m¸y ®o – hÖ lîng tö. Tr¹ng th¸i liªn kÕt nµy ®îc m« t¶ bëi hµm riªng  n(q,t) cña to¸n tö F t¬ng øng víi trÞ riªng fn. Gi¸ trÞ riªng fn lµ sè ®o fn cña phÐp ®o ®¹i lîng F”. Tõ tiªn ®Ò trªn chóng ta thÊy r»ng cÇn ph¶i ®èi øng ®¹i lîng vËt lý F víi to¸n tö F nµo ®ã: Nh vËy nÕu nghiªn cøu n¨ng lîng cña hÖ, cÇn ph¶i biÕt to¸n tö Hermite, cßn nÕu nghiªn cøu xung lîng cña hÖ, cÇn ph¶i biÕt to¸n tö xung lîng… VÊn ®Ò ®Æt ra lµ d¹ng têng minh cña c¸c to¸n tö t¬ng øng víi c¸c ®¹i lîng vËt lý cÇn nghiªn cøu sÏ viÕt nh thÕ nµo? ViÖc x©y dùng d¹ng cña c¸c to¸n tö ph¶i dùa trªn c¸c c¬ së : + C¬ häc lîng tö x©y dùng trªn c¬ së cña c¬ häc cæ ®iÓn, bëi vËy nh÷ng ®¹i lîng vËt lý cña c¬ häc lîng tö ph¶i trïng víi c¸c ®¹i lîng vËt lý cæ ®iÓn trong nh÷ng ®iÒu kiÖn mµ hÖ lîng tö ®îc coi nh hÖ cæ ®iÓn. + C¸c ph¬ng tr×nh to¸n tö chÝnh lµ c¸c ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña c¬ häc lîng tö. C¸c kÕt qu¶ rót ra tõ c¸c ph¬ng tr×nh nµy ph¶i ®îc thùc tÕ kiÓm nghiÖm. r  r  (r,t) + Ph¬ng tr×nh to¸n tö : ih.  H (r,t) (1.2) m« t¶ chuyÓn t ®éng tù do cña h¹t víi n¨ng lîng E lµ ph¬ng tr×nh cho hµm riªng vµ trÞ riªng 2  cña to¸n tö Hamilton H   h . 2m 2 D¹ng cña H trong c¸c trêng lùc kh¸c nhau, trong trêng hîp kh«ng cã t¬ng t¸c ph¶i chuyÓn vÒ d¹ng (1.2) §Ó tho¶ m·n nh÷ng yªu cÇu trªn ngêi ta ®a ra c¸c tiªn ®Ò sau : + C¸c hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c to¸n tö gièng nh c¸c hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c ®¹i lîng vËt lý t¬ng øng trong c¬ häc cæ ®iÓn. 9 NÕu tr¹ng th¸i cña hÖ lîng tö ®îc biÓu diÔn bëi hµm cña to¹ ®é q vµ thêi gian t vµ nÕu L(p, q, t), Pk vµ qk (k1) lµ hµm Lagrangi¬, xung lîng suy réng vµ to¹ ®é suy réng th× : .  . Hµm Hamilton H(p,q,t) =  p k .q k  L(q,q,t) ®îc chuyÓn t¬ng k  øng thµnh to¸n tö H = ih t  Xung lîng suy réng Pk= L .  qk ®îc chuyÓn t¬ng øng thµnh to¸n  tö P k = - ih q k Tøc trong hÖ to¹ ®é §Ò c¸c c¸c to¸n tö h×nh chiÕu xung lîng cña 1 h¹t :      = ; ; i h y = - ih z = - ih P y P x P z r  r  r r r r    i  P j  P .k   i h (i  j  k )  ih y z => P = P x. x y z  x * To¹ ®é suy réng qk ®îc chuyÓn t¬ng øng thµnh to¸n tö nh©n víi qk 1.3. Mét sè to¸n tö vi ph©n : * To¸n tö nabla : (  ) : r  r  r  + Trong hÖ to¹ ®é §Ò c¸c :  = i.  j.  k. x y z uur r ur  e  e   + Trong hÖ to¹ ®é cÇu :  = e r .    .  r r  r sin   uur uu r  e  r  + Trong hÖ to¹ ®é trô :  = e .   ez .    z * To¸n tö laplax¬ :     2  + Trong hÖ to¹ ®é §Ò c¸c :  2 2 2 2 = = 2  2  2 x  y  z 10 + Trong hÖ to¹ ®é cÇu :  = 1  2  1 . (r . )  2   2 r r r r 1   1 2 Víi    . (sin  )  2 sin    sin  2 1.4. C¸c biÓu diÔn kh¸c nhau cña to¸n tö . Trong biÓu diÔn to¹ ®é, c¸c to¸n tö ®îc biÓu diÔn b»ng mét hµm cña to¹ ®é vµ c¸c ®¹o hµm cña to¹ ®é. Khi t¸c dông lªn c¸c hµm cña biÓu diÔn to¹ ®é, c¸c to¸n tö biÕn ®æi c¸c hµm nµy thµnh c¸c hµm kh¸c cña riªng mét biÓu diÔn :  F (q)  (q) (1.3) Khi chuyÓn tõ phÐp biÓu diÔn nµy sang phÐp biÓu diÔn kh¸c cña vect¬ tr¹ng th¸i cÇn ph¶i thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi cho c¸c to¸n tö. Trong (1.3)   nÕu chuyÓn sang G - biÓu diÔn : G = G +  n = Gn  n (n= 1,2,3…), G (q)   a n  n (1.4) n  (q)   b n  n (1.5) n Th×  a n  v� b n  chÝnh lµ c¸c hµm sãng trong G - biÓu diÔn t¬ng øng víi c¸c hµm sãng  vµ  trong q - biÓu diÔn. Thay (1-4) ; (1.5) vµo (1-3), nh©n  *m vµo 2 vÕ, sau ®ã lÊy tÝch ph©n theo q, ta cã :   F  a n  n   b n  n   *m F  a n n   b m m  *m n  n n  * *  m F  a n  n dq   m  b m m dq    a n  F n dq   b n mn   Fmn a n  b m (1.6) * m n n  Trong ®ã : Fmn =  * (q)F (q)dq (1.7) n  m VÕ ph¶i cña (1.6) cã thÓ coi nh tÝch cña hai ma trËn. (b) = (F).(a) Ma trËn (F) víi c¸c phÇn tö ®îc x¸c ®Þnh bëi (1-7) vµ ma trËn cét (a) víi c¸c phÇn tö ®îc x¸c ®Þnh bëi : 11 an =  *n (q).(q)dq (1.8) cßn ma trËn cét (b) víi c¸c phÇn tö ®îc x¸c ®Þnh bëi: bn =  *n (q).(q)dq (1.9) Nh vËy trong G-biÓu diÔn, to¸n tö F ®îc chuyÓn t¬ng øng thµnh ma trËn (F) vµ hµm sãng ®îc chuyÓn t¬ng øng thµnh ma trËn cét (a) trong hÖ c¬ së   n  cña G cña kh«ng gian Hilbert c¸c hµm sè liªn tôc. B©y giê : gi¶ sö : F = G , hÖ thøc (1-7) ®îc biÕn ®æi nh sau:  Fmn =  *m .F. n dq  Fn  *m . n dq   NÕu phæ cña F gi¸n ®o¹n th× : Fmn = Fn mn (1.10) Vµ ma trËn (F) lµ ma trËn chÐo. Cßn nÕu phæ cña F liªn tôc, ta cã thÓ thay cho  m vµ  n lµ c¸c hµm  f’ vµ  f : Fff’ = F (f-f’) (1.11) Vµ ®©y lµ ma trËn chÐo liªn tôc. 12 Ch¬ng 2: To¸n tö n¨ng lîng theo quan ®iÓm cæ ®iÓn Trong c¬ häc nãi riªng vµ trong c¬ häc nãi chung, c¸c ®Þnh luËt b¶o toµn xung lîng, m«men xung lîng vµ n¨ng lîng cña hÖ kÝn ®îc suy ra t tÝnh chÊt ®èi xøng cña kh«ng gian, thêi gian vµ c¸c ph¬ng tr×nh Lagrangi¬. Hµm Lagrangi¬ cña hÖ kÝn hoµn toµn x¸c ®Þnh mäi tÝnh chÊt vËt lý cña hÖ vµ hµm nµy sÏ bÊt biÕn ®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi ®èi xøng cña kh«ng gian vµ thêi gian. Ta biÕt r»ng c¸c ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng Lagrangi¬ lµ c¸c ph¬ng tr×nh vi ph©n h¹ng hai. Hµm Lagrangi¬ lµ hµm cña to¹ ®é suy réng q k ; vËn . tèc suy réng q vµ thêi gian t. Gi¶i hÖ s ph¬ng tr×nh Largange víi ®iÒu kiÖn k g0 g ban ®Çu q o v�q ta hoµn toµn x¸c ®Þnh ®îc qk (t) vµ q (t) ë thêi ®iÓm bÊt k×. k k k g Tr¹ng th¸i c¬ häc cña hÖ khi ®ã ®îc x¸c ®Þnh bëi qk vµ q (k=1,2,….). ViÖc k g m« t¶ tr¹ng th¸i cña c¬ hÖ b»ng c¸ch cho q k vµ q nh vËy kh«ng ph¶i lµ c¸ch k duy nhÊt. Trong nhiÒu trêng hîp, khi nghiªn cøu c¸c vÊn ®Ò kh¸c nhau cña c¬ häc, ta x¸c ®Þnh tr¹ng th¸i cña c¬ hÖ b»ng S to¹ ®é suy réng q 1, q2 ……qs vµ S xung lîng suy réng p1, p2,......ps : Pk = L g  qk  T g  qk (2.1) (k= 1,2,3…s) 13 Do ®ã chóng ta sÏ ®i t×m mét hµm mµ nã lµ hµm cña qk, pk vµ t. Hay dïng tËp hîp nh÷ng biÕn sè ®éc lËp qk, pk vµ t ®Ó m« t¶ tr¹ng th¸i cña c¬ hÖ. §Ó t×m lo¹i hµm nµy cÇn ph¶i thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi sau: g Vi ph©n toµn phÇn hµm Lagrangi¬ L = L( qk , q , t) ta cã : k   L  L .   L .dq k  . d q k   dt (2.2)   t   q k   qk s dL =  k 1 Lu ý r»ng: pk = L .  qk ; trong trêng lùc thÕ ph¬ng tr×nh Lagrangi¬ lo¹i 2 d L L L dPk . .   0    Pk cã d¹ng: . dt  q q k dt  qk k Thay vµo (2.2) ta cã : s dL =  k 1  . . P k dq k  Pk d q k  L .dt t s . . .  L  dL    p k .dq k  d(Pk .q k )  q k .dPk   .dt t k 1   s  k 1 . . (q k .dp k  p k dq k )  Hay dH = s  k 1 . . s . L .dt   d(p k .q k )  dL t k 1 s .  d   p k .q k  L   k 1  (q k .dp k  p k dq k )  Trong ®ã H = s  k 1 L .dt (2.3) t . p k .q k  L (2.4) lµ hµm cña qk, pk, t vµ gäi lµ hµm Hamilton Tõ (2.4) ta thÊy khi biÕt d¹ng cña hµm Lagrangi¬ ta sÏ x¸c ®Þnh ®îc d¹ng cña hµm Hamilton. g Trong biÓu thøc cña hµm Hamilton c¸c vËn tèc suy réng q ®îc biÓu k diÔn qua qk, pk vµ t nhê c¸c hÖ thøc (2.1) BiÓu thøc vi ph©n cña hµm Hamilton cã thÓ viÕt díi d¹ng: 14  H  H H .dq k  .dp k   dt ( 2.5)   p  t k 1   q k k Tõ (2.3) vµ (2.5) ta dÔ thÊy: dH = s  H .  qk ; p k . H   P k (2.6) , (k= 1,2,…s) q k dH  H L (2.7)   dt t t C¸c ph¬ng tr×nh vi ph©n h¹ng nhÊt cña (2.6) gäi lµ c¸c ph¬ng tr×nh Hamilton. §ã lµ hÖ 2s ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng trong biÕn sè qk vµ pk. Gi¶i hÖ 2s ph¬ng tr×nh vi ph©n h¹ng nhÊt nµy, ta t×m ®îc:  q k  q k (t, 1 ,  2 ...,  2s )   p k  p k (t, 1 ,  2 ...,  2s ) (k= 1,2,…,s) Trong ®ã 1 ,  2 ,... 2s lµ nh÷ng tÝch ph©n cña chuyÓn ®éng ®îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu q0k vµ p0k. Nh vËy gi¶i hÖ 2s ph¬ng tr×nh Hamilton dÉn ®Õn cÇn nghiªn cøu d¹ng cña hµm Hamilton H. Ta h·y t×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hµm Hamilton H víi ®éng n¨ng vµ thÕ n¨ng cña c¬ hÖ. Ta cã: s . H=  q k 1 k s T k 1  qk .p k  L   . . .q k  L 2 N s . Mµ T=T0 + T1 + T2 víi T0 = 1  m i   ri  ;T1   b k q k 2 i 1   t  k 1 T2 = 1 s  2 j1 s  k 1 . . a jk q j q k r r  ri  ri . . Víi bk = bk (q1, q2, …qs, t) =  m i i 1 q k t N r r  ri  ri . . ajk= akj= ajk(q1, q2,…, qs ,t) =  m i i 1 q j q k N 15 s = > H = k 1  T  . s  . 1 qk    q  k 1  k  T  .  . 2 q k  L  q   k =T1 + 2T2 –L = T1 + 2T2 – (T0+ T1+ T2-U) =U+ T2-T0 r  r §Æc biÖt khi liªn kÕt ®Æt lªn c¬ hÖ lµ liªn kÕt dõng th× i = 0 t (i =1,2,…N) Vµ ta cã : T0 = 0; T1 = 0; T = T2 => H = T + U = E. Nh vËy trong trêng hîp nµy hµm Hamilton trïng víi c¬ n¨ng cña hÖ. N H=T+U=  i 1 r pi   2 2m i u r ur ur  U r1 ,r2 ...rN .   Tõ (2.7) ta thÊy khi liªn kÕt ®Æt lªn c¬ hÖ lµ dõng th×: H L dH   0 v�  0 hay H = E = const. t t dt Do ®ã trong c¸c bµi to¸n c¬ hÖ chÞu liªn kÕt dõng, nÕu biÕt d¹ng n¨ng lîng cña hÖ th× chóng ta sÏ biÕt ®îc d¹ng cña hµm Hamilton. Råi dùa vµo c¸c ph¬ng tr×nh Hamilton (2.6) ®Ó t×m qui luËt chuyÓn ®éng cña hÖ. * Mét sè vÝ dô vÒ d¹ng cña hµm Hamiltonvµ sö dông ph¬ng ph¸p Hamilton trong mét sè hÖ: VÝ dô 1: Mét chÊt ®iÓm cã khèi lîng m, chuyÓn ®éng díi t¸cdông cña lùc thÕ F = - kx, trong ®ã k lµ h»ng sè. T×m ®Þnh luËt chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm ? Bµi lµm 16 . 2 §éng n¨ng cña chÊt ®iÓm : T = m x 2 2 ThÕ n¨ng cña chÊt ®iÓm : U =  Fdx  kxdx  kx 2 . 2 2 kx m x Hµm lagragi¬ : L = T – U = 2 2 px  L . x .  m.x . Hµm Hamilton cña chÊt ®iÓm : H = x . . L . x L . m(x)2 k(x)2 m(x)2 kx 2 p x 2 kx 2  H  m(x)       E 2 2 2 2 2m 2 . 2 ¸p dông c¸c ph¬ng tr×nh Hamilton ta cã: . .. H p x p x   x x p x m m . g px   gg x H   kx x gg gg kx k k  x x  0  x  2 x  0 , víi 2  m m m Gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta ®îc: x = Acos(t+) §ã lµ ph¬ng tr×nh dao ®éng ®iÒu hoµ. A vµ  lµ c¸c h»ng sè tÝch ph©n ®îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu. VÝ dô 2: ChÊt ®iÓm chuyÓn ®éng trong trêng träng lùc. T×m qui luËt chuyÓn ®éng ? 17 Bµi lµm: . 2 §éng n¨ng cña chÊt ®iÓm: T  m z 2 ThÕ n¨ng cña chÊt ®iÓm: U = - Pdz  mgdz  mgz Hµm lagrangi¬: . 2 . 2 L = T – U = m z  mgz  p z  mgz 2 2m pz  L . z .  mz Hµm Hamilton: L . 2 . 2 . mz mz P H  z .  L  mz   mgz   mgz  z  mgz  E 2 2 2m z . . 2 ¸p dông c¸c ph¬ng tr×nh Hamilton ta cã: g z H p z  p z m g pz   H   mg z g g pz t2  z   g  z  gt  c1  z  g  c1t  c 2 m 2 gg Víi c1, c2 lµ c¸c h»ng sè tÝch ph©n Nh vËy, ta thÊy r»ng hµm Hamilton vµ c¸c ph¬ng tr×nh hamilton ®îc ¸p dông ®Ó t×m qui luËt chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm. Kh«ng chØ vËy mµ nã cßn ®îc øng dông ®Ó t×m mét ®¹i lîng vËt lý lµ tÝch ph©n chuyÓn ®éng tõ ®ã suy ra c¸c ®¹i lîng b¶o toµn. ThËt vËy: gi¶ sö cã ®¹i lîng vËt lý f = f(qk, pk, t), ta cã: 18 df  f s   f g f g     .q k  pk  dt  t k 1   q k p k   df  f s   f  H  f H  (2.8)    .  .  dt t k 1   q k  p k  p k q k  s  f g f g  §a vµokÝ hiÖu:  f,g    .  .  gäi lµ mãc Po¸tx«ng. p k p k q k  k 1   q k Khi ®ã (2.8) ®îc viÕt l¹i: df  f    f,H dt  t NÕu f kh«ng phô thuéc têng minh vµo thêi gian, tøc f = 0 ta ®îc t df   f,H dt  f,H  0  NÕu  f  f kh�ng ph�thu�c t��ng minh v�o th�i gian, t�c  0 t  => df  f    f,H = 0 => f = const => f lµ ®¹i lîng b¶o toµn. dt  t Khi ®ã f(qk, pk, t ) gäi lµ tÝch ph©n chuyÓn ®éng. NÕu biÕt 2s tÝch ph©n chuyÓn ®éng ®éc lËp: fk (qi, pi, t ) = constk (k = 1, 2, …, 2s ) th× gi¶i 2s ph¬ng tr×nh nµy t¬ng ®èi víi qi vµ pi ta nhËn ®îc ph¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña c¬ hÖ. qi = qi (t, 1, 2, …, 2s ) pi = pi (t, 1, 2, …, 2s ) (i = 1, 2,…, s) 19 Thµnh thö nÕu biÕt 2s tÝch ph©n chuyÓn ®éng ®éc lËp th× ta biÕt ®îc ®Çy ®ñ vÒ qui luËt chuyÓn ®éng cña c¬ hÖ. Tãm l¹i, tõ nh÷ng ph©n tÝch trªn ta thÊy r»ng: Hµm Hamilton cã vai trß rÊt lín trong c¬ häc cæ ®iÓn. Dùa vµo hµm Hamilton H ®Ó t×m qui luËt chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm, t×m ra c¸c ®¹i lîng b¶o toµn trong c¬ hÖ. Vµ khi liªn kÕt ®Æt lªn c¬ hÖ lµ dõng th× hµm Hamilton trïng víi c¬ n¨ng cña hÖ hay trïng víi n¨ng lîng cña c¬ hÖ øng víi chuyÓn ®éng c¬. 20